dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311

Transkrypt

1 dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 3 Politechnika Gdaoska, 20 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 Funkcje jak cegły Dotychczasowe rozważania ograniczały się do pojedynczej sinusoidy. Ponieważ większość sygnałów ma kształt niesinusoidalny, należy w jakiś sposób powiązać je z przebiegami trygonometrycznymi. Przekonamy się, że sinus i kosinus mogą stanowić cegły, z których można budować inne funkcje.

3 Sygnały ciągłe częstotliwość częstotliwość Przyjmujemy, że obecność prążka na osi częstotliwości oznaczać będzie obecność fali sinusoidalnej o określonej długości. Ponieważ prążek na stronie ujemnej jest symetryczny, dla uproszczenia nie rysujemy go. Omawiamy sygnały ciągłe, więc nie martwimy się o powielenia. Wysokość prążka odpowiada amplitudzie fali. 3

4 Superpozycja fal częstotliwość + Rozsądnie jest przyjąć, że dwa prążki oznaczają obecność dwóch fal, które dodają się do siebie. Otrzymaliśmy przebieg nie będący sinusoidą, ale zachowujący periodyczność. 4

5 Okresowość f,5 f częstotliwość Częstotliwość szybszej fali jest,5 razy większa od częstotliwości wolniejszej. Poniżej fala o częstotliwości większej 2 razy. Jeżeli stosunek częstotliwości każdej pary składowych jest wymierny, to otrzymamy sygnał okresowy. f 2 f częstotliwość Sygnał prawie okresowy 5

6 Szereg trygonometryczny Ciągły przebieg periodyczny przedstawiać będziemy jako superpozycję fal sinusoidalnych. częstotliwość Jean Baptiste Joseph Fourier częstotliwość Dotychczasowy sposób opisu fal składowych jest niewystarczający. Dwa powyższe przebiegi posiadają identyczny układ prążków, a wyglądają inaczej. 6

7 faza / stopnie Brakująca informacja 0 90 Porównanie wyglądu cegieł tworzących superpozycję, pozwala stwierdzić, że czynnikiem różniącym je jest wzajemne położenie gór i dolin na osi odciętych, czyli faza sygnału. Obraz w dziedzinie częstotliwości powinien zostać uzupełniony o wykres fazy sinusoid. 7

8 amplituda Afaza f Prążki i matematyka 2 f 3 f 4 f częstotliwość Każdy prążek to sposób zakodowania jednej fali sinusoidalnej. A A sin 2 f 2 sin 2 2 f 2 A3 sin 2 3 A4 sin 4 f 3 2 f 4 Sinusoidalne cegły wraz z zaprawą w postaci zasady superpozycji stanowią budulec dla przebiegów w postaci nieskończonego szeregu: n A n sin 2 n f n 8

9 Prążki i matematyka Aby całą konstrukcję można było przesuwać w górę i w dół, dodajemy jeszcze wyraz stały A 0. A0 0 A 0 0 Dzięki zastosowaniu tożsamości trygonometrycznej sin sin cos cos sin szereg można zapisywać inaczej: 2 nft a cos2 nft bn sin n n0 Z kolei wykorzystanie zależności Eulera pozwala zapisać formę wykładniczą szeregu Fouriera: cn exp 2 jntf n0 Warto zauważyć, że współczynniki c n to niekoniecznie liczby rzeczywiste. Sumowanie rozpoczyna się od zera. Ponieważ sinus zera wynosi zero, a kosinus stała A 0 staje się teraz zerowym współczynnikiem kosinusowym. 9

10 Budowa Oprócz cegieł i zaprawy przydatny jest jeszcze projekt mówiący, w jaki sposób połączyć ze sobą funkcje sinusoidalne. Projekt opisuje, jakie powinny być częstotliwości, amplitudy i fazy kolejnych wyrazów szeregu. Przykładowy szereg, który chcemy skonstruować, ma postać: 4U sin 3 t sin 3 t sin t W oparciu o powyższy zapis wykonamy sumowanie kolejnych wyrazów szeregu. Ponieważ jest to szereg nieskończony w pewnym momencie trzeba będzie się zatrzymać. Stan budowy sygnału w momencie wstrzymania prac jest powiązany ze zbieżnością szeregu, czyli wielkością mówiącą, ile wyrazów trzeba zsumować dla uzyskania przyzwoitej aproksymacji sygnału. U Wielkość U, występująca we wzorze, zapewne będzie amplitudą powstającego przebiegu. Niech U=3. 0

11 Kolejne etapy Zakładamy, że częstotliwość pierwszej fali wynosi Hz, okres to s. Jest to częstotliwość podstawowa. Kolejne składowe to harmoniczne. Superpozycja 3 pierwszych wyrazów. Fala jest periodyczna i wygląda jak sinusoida podstawowa ze zniekształconymi wierzchołkami. 7 wyrazów wierzchołki fali stają się coraz bardziej płaskie. Rośnie liczba zafalowań, ale są one sukcesywnie coraz mniejsze. Wzrasta skok w sąsiedztwie zmiany znaku fali.

12 Produkt finalny Wyjściowy Finalny / 3 / Szereg trygonometryczny zbudowany ze 00 wyrazów. Okres fali równy jest okresowi fali podstawowej. Amplituda równa jest 3 zgodnie z założeniem. Na granicach kolejnych fal widoczny jest skok. Jest to tak zwany efekt Gibbsa, który nie znika nawet w granicznym przypadku szeregu nieskończonego. Wynika on z próby aproksymacji nieciągłego sygnału komponentami ciągłymi (sinusoidalnymi). 2

13 Przykłady szeregów 8U sin t sin 3 t sin t trójkątny bipolarny T 2U sin A T 2 t sin 2 t sin t piłokształtny bipolarny 2A T n impulsowy sin n / T n / T cos n t 0 2A 4A cos 4n n prostownik dwupołówkowy 2 2 n t 0 3

14 Symetria 4U sin 3 5 t sin 3 t sin t 4U cos 3 5 t cos3 t cos t Zapis szeregu za pomocą sinusów i kosinusów pozwala zauważyć, że przebiegi nieparzyste konstruowane są tylko ze składowych nieparzystych (sinusów) natomiast przebiegi parzyste tylko z parzystych (kosinusów). 4

15 Kształtowanie sygnału Rozpoczynamy od przebiegu prostokątnego wytwarzanego przykładowo przez generator kwarcowy. Za pomocą filtra możliwe jest stłumienie intensywności wybranych prążków w reprezentacji częstotliwościowej szeregu (niebieska linia). 5

16 Jakość fali W zależności od rodzaju zastosowanego filtra kształt wyekstrahowanej podstawowej składowej mniej lub bardziej przypomina sinusoidę. THD 6,9 % Im więcej składowych harmonicznych, tym gorsza sinusoida. Ilościową miarą jest współczynnik zawartości harmonicznej (THD) określający procentowy stosunek prążków harmonicznych do podstawowego. THD 3,7 % 6

17 Wyższe harmoniczne Zastosowanie filtra pasmowoprzepustowego umożliwia ekstrakcję wyższych składowych harmonicznych. Wynik filtracji jest zbliżony do sinusoidy, jego amplituda jest obniżona, a częstotliwość jest 3 razy większa od częstotliwości fali prostokątnej. Stosowanie filtra wprowadza zniekształcenie początku sygnału. 7

18 Problem odwrotny Przedstawione przykłady pokazują istnienie zależności pomiędzy prążkami w dziedzinie częstotliwości, a sygnałami w dziedzinie czasu. Wzory opisujące poszczególne szeregi podane zostały na wiarę. Czy istnieje sposób na obliczenie współczynników szeregu Fouriera? Najłatwiej zacząć od współczynnika stałego. Jeśli ma opisywać przesunięcie całej ciągłej okresowej funkcji s(t) to stanowi on jej wartość średnią: A 0 T T o s t dt Przyjmując zapis sygnału s(t) w postaci szeregu: n n t a n t s( t) A0 bn sin 0 n cos T 2 bn s 0 T o t sin n tdt an st cosn0t 2 T T o 0 dt 8

19 Następne zagadnienie Przedstawione w końcowej części wzory kryją w sobie ważną własność funkcji trygonometrycznych oraz wykładniczych. Z tego powodu kolejny wykład stanowić będzie próbę uzasadnienia ich postaci i pokazania istoty w sposób analityczny. W przypadku ciągłym podejście analityczne jest trochę nużące, ale pozwala zauważyć kwestię dającą się w prosty sposób uzasadnić graficznie w przypadku przebiegów o charakterze dyskretnym. 9

20 Podsumowanie Periodyczne przebiegi ciągłe (nie wszystkie) można przedstawiać jako nieskończone szeregi trygonometryczne (szeregi Fouriera). Rozkład prążków opisujących amplitudy częstotliwości i fazy wyrazów szeregu w dziedzinie częstotliwości jest charakterystyczny dla danego przebiegu w dziedzinie czasu. Istnieją zależności pozwalające wyznaczyć opis widmowy (rozkład prążków) sygnału. 20