Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X

Transkrypt

1 Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X

2 ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący dwóm argumentom (wektorom) tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną. E n n-wymiarowa przestrzeń euklidesowa. Iloczyn skalarny dwóch wektorów a = (a, a 2,, a n ) i b = (b, b 2,, b n ) w przestrzeni E n dany jest wzorem: n a b = a i b i = a b + a 2 b a n b n. i= 2

3 W przestrzeni euklidesowej istnieje zależność między iloczynem skalarnym a długością i kątem. Niech a, b będą dowolnymi wektorami w R 3. Iloczyn skalarny wektorów a i b określamy wzorem: a b = a b cosφ, gdzie φ jest kątem między wektorami a i b. 3

4 Interpretacja geometryczna iloczynu skalarnego. Jeżeli kąt między wektorami oznaczymy przez α, a operację mnożenia skalarnego przez a b, to otrzymamy: a b = a b cosα. Iloczyn skalarny możemy przedstawić jako iloczyn rzutu jednego wektora na kierunek drugiego i modułu drugiego. a b = a b cosα = b a cosα = arz a b = brz b a 4

5 Własności iloczynu skalarnego: a b = b a (przemienność), m a b = ma b = a (mb) (łączność), a (b + c) = a b + a c (rozdzielność względem dodawania wektorów), a (rb + c) = r(a b) + (a c) (dwuliniowość), a a 0 (nieujemność) niezerowe wektory a i b są prostopadłe (ortogonalne), wtedy i tylko wtedy gdy a b = 0, a b a b (równość jest możliwa tylko wtedy, gdy a i b są równoległe), a a = a 2 5

6 Przykłady. Przykład. a = 2,4,6, b = [,3,5] a b = = = 44 Przykład 2. Sprawdzić, czy funkcja x, y = 3x y 2x y 2 2x 2 y + 4x 2 y 2 jest iloczynem skalarnym w przestrzeni R 3. ) x, y = 3x y 2x y 2 2x 2 y + 4x 2 y 2 = 3y x 2y x 2 2y 2 x + 4y 2 x 2 = y, x 2) x + y, z = 3 x + y z 2 x + y z 2 2 x 2 + y 2 z + 4 x 2 + y 2 z 2 = = 3x z 2x z 2 2x 2 z + 4x 2 z 2 + 3y z 2y z 2 2y 2 z + 4y 2 z 2 = = x, z + (y, z ) 3) αx, y = 3(αx )y 2 αx y 2 2 αx 2 y + 4 αx 2 y 2 = = α 3x y 2x y 2 2x 2 y + 4x 2 y 2 = α x, y 4) x, x = 3x 2 4x x 2 + 4x 2 2 Δ = 32 x x, x 0 5) x, x = 0 x = 0 Δ = 0 x 2 = x = 0 x = 0 6

7 ILOCZYN WEKTOROWY Iloczyn wektorowy - dwuargumentowe działanie przyporządkowujące parze wektorów ze zorientowanej, trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wektor do nich prostopadły, tzn. normalny do płaszczyzny je zawierającej. Mnożenie wektorowe jest to operacja, której wynikiem jest nowy wektor. Iloczynem wektorowym wektorów niezerowych a i b nazywamy wektor c, taki, że: ) c = a b sin (a, b), 2) c jest wektorem prostopadłym do wektorów a i b, 3) jego zwrot jest taki, że układ wektorów a, b, c ma orientację zgodną z przyjętą orientacją przestrzeni. 7

8 Niech a = (x, y, z ), b = (x 2, y 2, z 2 ), c = (x 3, y 3, z 3 ), będą wektorami w R 3. Mówimy, że wektory a, b, c tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, jeżeli x y z x 2 y 2 z 2 > 0. x 3 y 3 z 3 W przypadku, gdy podany wyznacznik jest ujemny mówimy, że orientacja układu wektorów a, b, c jest przeciwna do orientacji układu współrzędnych. Układ a, b, c nazywamy prawoskrętnym (lewoskrętnym), gdy jest on zgodny z prawoskrętnym (lewoskrętnym) układem współrzędnych. 8

9 9

10 Wzór do obliczenia iloczynu wektorowego. Niech a = (x, y, z ), b = (x 2, y 2, z 2 ) będą wektorami w R 3. Wtedy: a b = i j k x y z, x 2 y 2 z 2 gdzie i, j, k oznaczają wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz. 0

11 Własności iloczynu wektorowego : a b = b a (antyprzemienność ), (a + b) c = a c + b c, a b a b, (α a) b = a (α b) = α (a b) a (b + c) = a b + a c, wektory a i b są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy a b = 0.

12 Interpretacja geometryczna iloczynu wektorowego. Jeżeli kąt między wektorami oznaczymy przez α, a operację mnożenia wektorowego przez a b, to otrzymamy: a b = a b sinα. Z określenia modułu iloczynu wektorowego oraz powyższego rysunku wynika, że jest on równy polu równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b. 2

13 Przykłady. Przykład. a = 2,3,5, b = 3,,0. Oblicz a b. Rozwiązanie: a b = Przykład 2. i j k = i j k = 5i + 5j k = [5,5, ] W przestrzeni euklidesowej R 3 dane są wektory v = [0,, ], w = [2,, 3]. Obliczyć sin (v, w). Rozwiązanie: v w = i j k = i 3 j k 0 2 = [4, 2, 2] v w = 24, v = 2, w = 4 a b a b = sinα sin v, w = = = 6 7

14 ILOCZYN MIESZANY Iloczyn mieszany trójki wektorów a, b, c to liczba, którą otrzymujemy mnożąc skalarnie iloczyn wektorowy a b przez wektor c. Iloczyn mieszany trójki wektorów a, b, c określamy wzorem: (a, b, c) = (a b) c. 4

15 Wzór do obliczania iloczynu mieszanego. 5

16 Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego. W interpretacji geometrycznej iloczyn mieszany jest równy liczbowo objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach u, v i w. Przyjmijmy, że podstawa równoległościanu jest równoległobokiem rozpiętym na wektorach u, v. Objętość V tego równoległościanu jest równa iloczynowi pola P = u v jego podstawy oraz wysokości = w cos (u v, w). Z podanej interpretacji geometrycznej wynika, że gdy wektory te leżą w jednej płaszczyźnie, to iloczyn mieszany jest równy zeru. 6

17 Własności iloczynu mieszanego. Niech a, b, c, d będą wektorami w R 3 oraz niech αεr. Wtedy: (a, b, c) = ( b, c, a), (a, b, c) = ( b, a, c), (a + d, b, c) = (a, b, c) + (d, b, c), (αa, b, c) = α (a, b, c), wektory a, b, c, leżą w jednej płaszczyźnie wtedy i tylko wtedy gdy (a, b, c) = 0, (a, b, c) a b c. 7

18 Przykład. Oblicz objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach: a = [2, 4, 5], b = [0, 2, 4], c = [3, 4, ]. Rozwiązanie: a b c = = = 0 a b c = 0 = 0 8

19 ORTOGONALNOŚĆ WEKTORÓW Ortogonalność (z gr. ortho proste, gonia kąt) uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym czyli tzw. przestrzenie unitarne. Elementy x, y należące do tej przestrzeni są ortogonalne, jeśli x y = 0. W szczególności wektor 0 jest ortogonalny do każdego wektora. Układ elementów przestrzeni nazywa się układem ortogonalnym, jeżeli każde dwa różne jego elementy są ortogonalne. Ortonormalność ortogonalność wraz z dodanym warunkiem unormowania, tzn. wymagania, aby elementy ortogonalne miały długość jednostkową (były wersorami). 9

20 Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Ortogonalizacja Grama-Schmidta to metoda za pomocą której można przekształcić zbiór liniowo niezależnych wektorów przestrzeni w zbiór wektorów ortogonalnych. Przestrzenie liniowe, rozpinane przez zbiory przed i po ortogonalizacji są tożsame, tak więc proces może służyć do ortogonalizowania bazy. Baza przestrzeni V - dowolny uporządkowany zbiór n wektorów liniowo niezależnych n-wymiarowej przestrzeni V. Mówimy, że wektory v, v 2,, v n należące do przestrzeni liniowej V są liniowo niezależne, jeżeli dla dowolnych rzeczywistych współczynników α, α 2,, α n z warunku wynikają równości: α v + α 2 v 2 + α n v n = 0, α = α 2 =, = α n = 0. 20

21 Twierdzenie. (ortogonalizacja Grama-Schmidta) Niech {u, u 2,, u n } będzie bazą przestrzeni euklidesowej E. Wtedy układ wektorów {v, v 2,, v n } określonych wzorami jest bazą ortogonalną tej przestrzeni. 2

22 proj v u = <u,v> v - operator wektora v na wektor u <v,v> v k = u k k j = proj vj u k - {v, v 2,, v n } zbiór wektorów ortogonalnych 22

23 23

24 24

25 25

26 Przykład. Zortogonalizuj wektory u =,,, u 2 =,, 0, u 3 = [, 0, 0]w przestrzeni E 3. v = u = [,, ] v 2 = u 2 proj v u 2 proj v u 2 = < u 2, v > < v, v > v < u 2, v > =,, 0,, = 2 < v, v > =,,,, = 3 proj v u 2 = 2 3,, = [2 3, 2 3, 2 3 ] v 2 =,, 0 2 3, 2 3, 2 3 = [ 3, 3, 2 3 ] 26

27 v 3 = u 3 2 j = proj vj u 3 = u 3 proj v u 3 proj v2 u 3 proj v u 3 = < u 3, v > < v, v > v proj v2 u 3 = < u 3, v 2 > < v 2, v 2 > v 2 < u 3, v > =, 0, 0,, = < u 3, v 2 > =, 0, 0 3, 3, 2 3 = 3 < v, v > =,,,, = 3 < v 2, v 2 > = 3, 3, 2 3 3, 3, 2 3 = 2 3 proj v u 3 = 3,, = [ 3, 3, 3 ] proj v 2 u 3 = , 3, 2 3 = [ 6, 6, 3 ] v 3 =, 0, 0 3, 3, 3 [ 6, 6, 3 ] = [ 2, 2, 0] 27

28 Jeżeli iloczyn skalarny funkcji ciągłych jest określony wzorem: b f, g w = w x f x g x dx, a gdzie w(x) jest funkcją wagową, to dla zbioru funkcji liniowo niezależnych przekształcenie w zbiór funkcji ortogonalnych przebiega następująco: g 0 x = f 0 x g i x = f i x i j =0 g j x b a w t f i t g j t dt b a w t g j 2 t dt 28

29 Przykład: Znaleźć bazę ortogonalną przestrzeni euklidesowej E = R 2 [x] z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem f, g = f x g x dx, f 0 = x. Rozwiązanie: 0 Będziemy zortogonalizować bazę standardową, x, x 2 przestrzeni R 2 [x]. Wektory bazy ortogonalnej obliczamy ze wzorów: g 0, g = x t dt dt = x 2 t 2 0 = x 2, g 2 = x = x 2 t 2 dt 2 dt 3 t3 0 = x 2 x + 6 x 2 t 2 t 0 2 dt 0 t 2 x 2 4 t4 6 t3 0 2 dt = 3 t3 2 t2 + 4 t 0 = x2 3 x = 29