2. Charakterystyki geometryczne przekroju

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "2. Charakterystyki geometryczne przekroju"

Transkrypt

1 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi przekroju. Służą one na przykład do wyznaczenia naprężeń w prętach poddanych działaniu siły osiowej, momentu zginającego, siły poprzecznej oraz momentu skręcającego. Rysunek.1 przedstawia dowolny przekrój pręta wraz ze związanym z nim układem współrzędnych YZ. Elementarne pole powierzchni d posiada współrzędne y oraz z. Y z d y Z Rys..1. Przekrój pręta. Pierwszą wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest pole powierzchni. Definicja tej wielkości ma postać d. (.1) Jednostką pola powierzchni w układzie SI jest m. W budownictwie najczęściej używa się cm. Pole powierzchni jest zawsze większe od zera. Drugą wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest moment statyczny. Definicje momentu statycznego względem osi Y S Y oraz względem osi Z S Z mają postać S Y z d, S Z (.) y d. (.) Jednostką momentu statycznego jest m. W budownictwie najczęściej używa się cm. Moment statyczny może przyjmować wartości dodatnie, ujemne oraz zero. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

2 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU Trzecią wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest moment bezwładności. Definicje momentów bezwładności względem osi Y I Y oraz względem osi Z I Z (są to tak zwane osiowe momenty bezwładności) mają postać I Y z d, I Z (.4) y d. (.5) Oprócz osiowych momentów bezwładności istnieje jeszcze moment dewiacyjny. Jego definicja ma postać I YZ y z d. (.6) Jednostką momentu bezwładności jest m 4. W budownictwie najczęściej używa się cm 4. Osiowe momenty bezwładności przyjmują zawsze wartości dodatnie, natomiast moment dewiacyjny może być dodatni, ujemny lub równy zero. Osiowe momenty bezwładności są pewną miarą rozproszenia przekroju względem danej osi. Im osiowy moment bezwładności jest większy tym rozproszenie przekroju jest większe. Wartość bezwzględna momentu dewiacyjnego jest miarą asymetrii przekroju względem przyjętego układu współrzędnych. Łatwo zauważyć, że jeśli jedna z osi układu współrzędnych jest osią symetrii to moment dewiacyjny względem tego układu wynosi zero. Przedstawia to rysunek.. Y Oś symetrii d d z y -y Rys... Przekrój pręta z jedną osią symetrii. Z Oś środkowa jest to oś, względem której moment statyczny wynosi zero. Środek ciężkości jest to punkt przecięcia dwóch dowolnych osi środkowych. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

3 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU Chcąc wyznaczyć współrzędne y C, z C środka ciężkości SC obieramy dowolny układ współrzędnych YZ. Przedstawia to rysunek.. Y d z 0 z C SC Z z y 0 y C y Rys... Wyznaczenie środka ciężkości przekroju. Współrzędne elementarnego pola powierzchni d w układzie osi środkowych wynoszą y 0 = y y C, (.7) z 0 =z z C. (.8) Momenty statyczne względem osi oraz wynoszą (y C oraz z C traktujemy jako stałą) S Y0 S Z0 z 0 d z z c d y 0 d y y c d z d z C d, (.9) y d y C d. (.10) Wzory.9 i.10 po przekształceniu i uwzględnieniu faktu, że moment statyczny względem osi środkowej wynosi zero będą miały postać S Y0 =S Y z C =0, (.11) S Z0 =S Z y C =0. (.1) Ostatecznie współrzędne środka ciężkości wynoszą Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

4 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 4 z C = S Y, (.1) y C = S Z. (.14) Jeżeli przekrój składa się z n części o znanych polach powierzchni i oraz współrzędnych środków ciężkości y i i z i to współrzędne środka ciężkości oblicza się ze wzorów z C = S i z i Y = i=1 n i i=1 n, (.15) y C = S i y i Z = i=1 n i i=1 n. (.16) Oczywiście jeżeli przekrój posiada oś symetrii to środek ciężkości musi znajdować się na niej. W przekroju posiadającym dwie osie symetrii środek ciężkości znajduje się w punkcie ich przecięcia.. Momenty bezwładności przy przesunięciu układu współrzędnych Załóżmy, że znane są momenty bezwładności w układzie osi środkowych. Poszukujemy momentów bezwładności w dowolnym układzie YZ. Współrzędne środka ciężkości przekroju w układzie YZ wynoszą y P oraz z P. Przedstawia to rysunek.4. Moment bezwładności względem osi Y zgodnie z definicją wyrażoną przez wzór (.4) wynosi I Y Po rozwinięciu wyrażenia w nawiasie wzór.17 będzie miał postać z d z 0 z P d. (.17) I Y z 0 z 0 z P z P d. (.18) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

5 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 5 Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. Wzór.18 będzie miał postać (z P jako stałą wyciągamy przed całkę) I Y z 0 d z P z 0 d z P d. (.19) Y d z 0 z P SC Z z y 0 y P y Rys..4. Wyznaczenie momentów bezwładności przy przesunięciu układu współrzędnych.. Interpretując poszczególne całki otrzymano I Y =I Y0 z P S Y0 z P. (.0) Ponieważ oś jest osią środkową więc moment statyczny względem tej osi S Y0 wynosi zero. Ostatecznie wzór na obliczenie momentu bezwładności I Y będzie miał postać I Y =I Y0 z P. (.1) nalogicznie wzór na obliczenie momentu bezwładności I Z będzie miał postać I Z =I Z0 y P, (.) W celu wyznaczenia momentu dewiacyjnego wykorzystano definicję według wzoru (.6). I YZ y z d y 0 y P z 0 z P d. (.) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

6 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 6 Po rozwinięciu wyrażeń w nawiasach wzór. będzie miał postać I YZ y 0 z 0 y 0 z P z 0 y P y P z P d. (.4) Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. Wzór.4 będzie miał postać (y P oraz z P taktujemy jako stałe) I YZ y 0 z 0 d z P Interpretując poszczególne całki otrzymano y 0 d y P z 0 d y P z P d. (.5) I YZ =I Y0Z0 z P S Z0 y P S Y0 y P z P. (.6) Ponieważ osie oraz są osiami środkowymi więc momenty statyczne względem tych osi S Y0 oraz S Z0 wynoszą zero. Ostatecznie wzór na obliczenie momentu bezwładności I YZ będzie miał postać I YZ =I Y0Z0 y P z P. (.7) Wzory.1,. oraz.7 noszą nazwę wzorów Steinera i są podstawowymi wzorami służącymi do obliczania momentów bezwładności dowolnego przekroju względem dowolnego układu współrzędnych.. Momenty bezwładności przy obrocie układu współrzędnych Zakładamy, że znamy momenty bezwładności w układzie YZ. Szukamy momentów bezwładności w układzie Y`Z` obróconym o kąt a. Dodatni kąt jest zgodny z obrotem osi Y w kierunku osi Z. Przedstawia to rysunek.5. Współrzędne elementarnego pola powierzchni d w układzie Y`Z` opisują wzory transformacyjne, które mają znaną postać y '= y cos z sin, (.8) z '= y sin z cos. (.9) Korzystając z definicji momentu bezwładności względem osi Y` otrzymano I Y ' z ' d y sin z cos d. (.0) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

7 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 7 Y y` a z` z Y` d y Z Z` Rys..5. Przekrój z obróconym układem współrzędnych Y`Z`. Rozwijając wyrażenie w nawiasie wzór (.0) będzie miał postać I Y ' y sin y z sin cos z cos d. (.1) Ponieważ sinus i cosinus kąta a są stałe możemy wyciągnąć je przed znak całki. Zapisując całkę sumy jako sumę całek wzór (.1) przybierze postać I Y ' =sin y d sin cos y z d cos z d. (.) Interpretując poszczególne całki wzór (.) będzie miał postać I Y ' =sin I Z sin cos I YZ cos I Y. (.) Wprowadzając funkcje kąta a, które mają postać sin = 1 1 cos, (.4) cos = 1 1 cos, (.5) sin cos =sin, (.6) otrzymano ostateczną postać wzoru transformacyjnego. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

8 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 8 I Y ' = I I Y Z I I Y Z cos I YZ sin. (.7) Postępując analogicznie otrzymano następujące wzory transformacyjne I Z ' = I I Y Z I I Y Z cos I YZ sin, (.8) I Y ' Z ' = I Y I Z sin I YZ cos. (.9).4 Główne momenty bezwładności Istnieje pewien wyróżniony układ współrzędnych, w którym osiowe momenty bezwładności przyjmują wartości ekstremalne, a moment dewiacyjny znika. Taki układ nazywamy układem głównych osi bezwładności, a momenty osiowe w tym układzie głównymi momentami bezwładności. Kąt, który określa położenie głównych osi bezwładności wyznacza się ze wzoru tg gl = I YZ I Y I Z. (.40) Wstawiając wartość kąta a gl do wzorów transformacyjnych (.7) i (.8) otrzymamy wzory na obliczenie momentów głównych w postaci I Ygl = I I Y Z I I Y Z cos gl I YZ sin, gl (.41) I Zgl = I I Y Z I I Y Z cos gl I YZ sin. gl (.4) Główne momenty możemy uporządkować tak aby I I =max{ I Ygl I Zgl, (.4) I II =min{ I Ygl I Zgl. (.44) Momenty I I oraz I II można wyznaczyć także z następujących wzorów ( można je wykorzystać do sprawdzenia obliczeń głównych momentów bezwładności) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

9 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 9 I I = I I Y Z I I Y Z, I YZ (.45) I II = I I Y Z I I Y Z. I (.46) YZ.5 Niezmienniki Niezmiennikiem nazywamy taką wielkość fizyczną, która nie zmienia swojej wartości przy obrocie układu współrzędnych. W przypadku charakterystyk geometrycznych mamy dwie takie wielkości. Pierwszy niezmiennik ma postać sumy momentów osiowych. Wynosi on odpowiednio w dowolnym układzie współrzędnych i w układzie osi głównych J 1 =I Y I Z =I Ygl I Zgl. (.47) Drugi niezmiennik w dowolnym układzie współrzędnych oraz w układzie osi głównych wynosi (moment dewiacyjny w układzie osi głównych równa się zero) J =I Y I Z I YZ =I Ygl I Zgl. (.48).6 Momenty bezwładności prostokąta Jako przykład zostanie wyznaczony moment bezwładności względem osi przekroju prostokątnego o szerokości b i wysokości h. Oczywiście środek ciężkości znajduje się w środku wysokości i szerokości prostokąta. Przedstawia to rysunek.6. b b h d z 0 dz 0 h h b Rys..6. Przekrój prostokątny. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

10 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 10 Elementarne pole d wynosi d=b dz 0. (.49) Moment bezwładności względem osi zgodnie z definicją będzie wynosił I Y0 h z 0 d z 0 b dz 0 =b z 0 dz. 0 (.50) h h h Ostatecznie wartość momentu bezwładności będzie miał wartość I Y0 =b [ z h 0 =b ] [ h h 4 4] h = b h 1. (.51) nalogicznie moment bezwładności względem osi będzie wynosił I Z0 = h b 1. (.5) Ogólnie osiowe momenty bezwładności prostokąta względem osi środkowych będą miały postać wymiarrównoległydo osi wymiar prostopadły do osi I oś = 1. (.5) Ponieważ osie oraz są osiami symetrii to moment dewiacyjny prostokąta będzie wynosił zero..7 Momenty bezwładności innych figur Położenie środka ciężkości trójkąta prostokątnego o wymiarach przyprostokątnych b i h przedstawia rysunek.7. Momenty osiowe bezwładności trójkąta prostokątnego wynoszą I Y0 = b h 6, (.54) I Z0 = h b 6. (.55) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

11 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 11 h h h b b b Rys..7. Przekrój w formie trójkąta prostokątnego. Ogólnie osiowe momenty bezwładności trójkąta prostokątnego względem osi środkowych będą miały postać wymiarrównoległydo osi wymiar prostopadły do osi I oś = 6. (.56) Osie i nie są osiami głównymi dla trójkąta prostokątnego więc moment dewiacyjny będzie różny od zera. Jego wartość bezwzględną oblicza się ze wzoru I Y0Z0 = b h 7. (.57) h h h b b b Rys..8. Trójkąt prostokątny z zaznaczonym większym polem powierzchni w ćwiartkach ujemnych. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

12 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1 Znak momentu dewiacyjnego ustala się na podstawie położenia trójkąta prostokątnego w układzie współrzędnych. Na rysunku.8 została zaznaczona większa część przekroju trójkąta. Część ta znajduje się w ćwiartkach, w których wyrażenie y 0z 0d jest ujemne (będą to tak zwane ćwiartki ujemne) więc moment dewiacyjny trójkąta ma wartość ujemną. W przypadku innego usytuowania trójkąta w układzie współrzędnych znak momentu dewiacyjnego należy ustalić w zależności od położenia większej części przekroju. W przypadku przekroju kołowego o promieniu R środek ciężkości znajduje się oczywiście w środku koła. Osiowe momenty bezwładności w układzie osi środkowych wynoszą I Y0 =I Z0 = R4 4. (.58) Moment dewiacyjny przekroju kołowego wynosi oczywiście zero. R Rys..9. Przekrój kołowy..10. W przypadku przekroju będącego połową koła położenie środka ciężkości zostało pokazane na rysunku Oś symetrii 4 R R Rys..10. Przekrój będący połową koła. Osiowe momenty bezwładności wynoszą Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

13 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1 I Y0 = R4 =0,1098 R 4, (.59) I Z0 = R4 =0,97 R 4. (.60) 8 Moment dewiacyjny wynosi oczywiście zero. Położenie środka ciężkości w przekroju będącego ćwiartką koła o promieniu R przedstawione zostało na rysunku.11. R 4 R 4 R Rys..11. Przekrój będący ćwiartką koła. Osiowe momenty bezwładności wynoszą I Y0 =I Z0 =0,05488 R 4. (.61) Wartość bezwzględna momentu dewiacyjnego wynosi I Y0Z0 =0,01647 R 4. (.6) 4 R 4 R Rys..1. Przekrój będący ćwiartką koła z zaznaczonym większym polem powierzchni w ćwiartkach dodatnich. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

14 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 14 Znak momentu dewiacyjnego ustala się podobnie jak dla przekroju trójkątnego. Większą część przekroju przedstawia rysunek.1. W tym przypadku większa część przekroju znajduje się w ćwiartkach dodatnich więc moment dewiacyjny będzie dodatni..8 Przekroje walcowane Osobną grupę prętów stanowią pręty wykonane z kształtowników walcowanych. Charakterystyki tego typu przekrojów znajdują się w Tablicach do projektowania konstrukcji metalowych. Istnieje wiele rodzajów tego typu przekrojów. Poniżej zostaną przedstawione podstawowe typy. 1. Dwuteownik. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.1. Rys..1. Przekrój dwuteowy. Poziome elementy nazywamy półkami natomiast pionowy element nazywany jest środnikiem.. Połówka dwuteownika. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.14.. Ceownik. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek Kątownik równoramienny. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.16. Dla grubości półki,0 mm odczytąc należy wartości górne a dla 4,0 mm dolne. 5. Kątownik nierównoramienny. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.17. Dla grubości półki 5,0 mm odczytując należy wartości górne a dla 6,0 mm dolne. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

15 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 15 Rys..14. Połówka dwuteownika. Rys..15. Przekrój ceowy. Rys..16. Kątownik równoramienny. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

16 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 16 Rys..17. Kątownik nierównoramienny..9 Momenty bezwładności w klasycznym układzie XY W wielu podręcznikach charakterystyki geometryczne są wyznaczone w układzie XY, który został przedstawiony na rysunku.18. Y d y X x Rys..18. Przekrój w klasycznym układzie współrzędnych XY. Definicje momentu statycznego względem osi X i Y mają postać S X y d, (.6) S Y x d. (.64) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

17 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 17 Definicje momentu bezwładności mają postać I X y d, I Y x d, (.65) (.66) I YZ x y d. (.67) Położenie środka ciężkości oblicza się ze wzorów x C = S Y, (.68) y C = S X. Jeżeli przekrój składa się z n części o znanych polach powierzchni i oraz współrzędnych środków ciężkości x i i y i to współrzędne środka ciężkości oblicza się ze wzorów x C = S i x i Y = i=1 n i i=1 n, (.69) y C = S i y i X = i=1 n i i=1 n. (.70) Twierdzenie Steinera będzie miało postać I X =I X0 y P, (.71) I Y =I Y0 x P, (.7) I XY =I X0Y0 x P y P. (.7) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

18 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 18 We wzorach (.71), (.7) i (.7) I X0, I Y0 i I X0Y0 oznaczają momenty względem osi środkowych, x P i y P oznaczają współrzędne środka ciężkości w układzie XY. Wzory transformacyjne będą miały postać I X ' = I I X Y I I X Y cos I XY sin, I Y ' = I I X Y I I X Y cos I XY sin, (.74) (.75) I X ' Y ' = I X I Y sin I XY cos. (.76) Kąt nachylenia osi głównych oblicza się ze wzoru tg gl = I XY I X I Y. (.77) Wartości głównych momentów bezwładności oblicza sięze wzorów I Xgl = I I X Y I I X Y cos gl I XY sin, gl (.78) I Ygl = I I X Y I I X Y cos gl I XY sin. gl (.79) Do sprawdzenia obliczeń można zastosować następujące wzory I I = I I X Y I I X Y, I XY (.80) I II = I I X Y I I X Y. I (.81) XY Wartości niezmienników w dowolnym układzie współrzędnych oraz w układzie osi głównych będą wynosiły J 1 =I X I Y =I Xgl I Ygl (.8) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

19 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 19 J =I X I Y I XY =I Xgl I Ygl (.8).10 Przykłady liczbowe.10.1 Przekrój blachownicowy - dwuteowy Wyznaczyć główne momenty bezwładności I Ygl oraz I Zgl przekroju pokazanego na rysunku.19. Wszystkie wymiary są podane w centymetrach. 1,0 8,0,0 9,0,0 Rys..19. Przekrój blachownicowy dwuteowy. Ponieważ przekrój dwuteowy posiada dwie osie symetrii środek ciężkości znajduje się w punkcie przecięcia się obu osi symetrii. Przedstawia to rysunek.0. W celu wyznaczenia położenia środka ciężkości przekrój został podzielony na trzy figury składowe. Wszystkie figury są prostokątami. Zostało to przedstawione na rysunku.1. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur składowych wynoszą y 01 =0,0 cm y 0 =0,0 cm y 0 =0,0 cm z 01 = 15,0 cm z 0 =0,0 cm z 0 = 15,0 cm. (.84) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

20 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 0 1,0 16,0,0 16,0 8,0 9,0,0 4,5 4,5 Rys..0. Położenie środka ciężkości przekroju dwuteowego.,0 1 1,0 15,0 = 15,0 8,0 =1 = = 9,0,0 Rys..1. Podział dwuteownika na figury składowe. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

21 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1 Momenty bezwładności względem osi oraz wynoszą 9,0,0 I Y0 = 15,0 9,0,0 1 1,0 8,0 0,0 1,0 8,0 1 9,0,0 15,0 9,0,0=9941 cm 4 1, (.85),0 9,0 I Z0 = 0,0 9,0,0 1 8,0 1,0 0,0 1,0 8,0 1,0 9,0 0,0 9,0,0=45, cm 4 1. (.86) Ze względu na to, że osie oraz są osiami symetrii przekroju dwuteowego moment dewiacyjny wynosi zero. Skoro więc moment dewiacyjny równa się zero to można wyciągnąć wniosek, że osie i są głównymi osiami bezwładności..10. Przekrój blachownicowy - teowy Wyznaczyć główne momenty bezwładności I Ygl oraz I Zgl przekroju pokazanego na rysunku.. Wszystkie wymiary są podane w centymetrach. 9,0,0 1,0 8,0 Rys... Przekrój blachownicowy teowy. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

22 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU Ponieważ przekrój teowy posiada jedną oś symetrii środek ciężkości znajduje się na tej osi. W ten sposób znamy współrzędną y C środka ciężkości. Chcąc wyznaczyć współrzędną z C środka ciężkości został obrany układ współrzędnych YZ. Przedstawia to rysunek.. Przekrój został podzielony na dwie figury składowe. Obie figury są prostokątami. Y 9,0 1,0,0 1 1,0 16,0 8,0 Z= =1 = Rys... Położenie środków ciężkości poszczególnych figur. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur w układzie YZ wynoszą y 1 =0,0 cm z 1 =1,0 cm y =0,0 cm z =16,0 cm. (.87) Współrzędna z C środka ciężkości wynosi z C = 9.0,0 1,0 8,0 1,0 16,0 =10,1 cm 9.0,0 8,0 1,0. (.88) Rysunek.4 przedstawia przekrój z zaznaczonym układem osi środkowych. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur w układzie wynoszą y 01 =0,0 cm z 01 = 9,1 cm y 0 =0,0 cm z 0 =5,87 cm. (.89) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

23 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 9,0,0 1 9,1 5,87 8,0 1,0 =1 = Rys..4. Przekrój teowy z zaznaczonym układem osi środkowych. Momenty bezwładności w układzie wynoszą 9,0,0 I Y0 = 9,1 9,0,0 1 1,0 8,0 5,87 1,0 8,0=401 cm 4 1, (.90),0 9,0 I Z0 = 0,0 9,0,0 1 8,0 1,0 0,0 1,0 8,0=1,8 cm 4 1. (.91) Ze względu na to, że oś jest osią symetrii przekroju teowego moment dewiacyjny wynosi zero. Skoro więc moment dewiacyjny równa się zero to można wyciągnąć wniosek, że osie i są głównymi osiami bezwładności..10. Zastosowanie twierdzenia Steinera Dany jest moment bezwładności przekroju będącego połówką koła względem osi Y 1. Wyznaczyć moment bezwładności względem osi Y. Przekrój został przedstawiony na rysunku.5. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

24 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 4 I Y1 = R4 8. (.9) Y 4 R R Y 1 =Z 1 =Z Rys..5. Przekrój będący ćwiartką koła. Zgodnie z twierdzeniem Steinera moment bezwładności względem osi Y 1 wynosi I Y1 =I Y0 z 1 (.9) Współrzędna z 1 środka ciężkości przekroju w układzie Y 1Z 1 wynosił z 1 = 4 R (.94) Ostatecznie moment bezwładności względem osi Y 1 wynosi I Y1 = R4 8 =I R Y0 4 R (.95) Moment bezwładności względem osi środkowej wynosi I Y0 = R4 (.96) Moment bezwładności względem osi Y wynosi (z jest współrzędną środka ciężkości przekroju w układzie Y Z ) I Y =I Y0 z = R 9 R4 R R (.97) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

25 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 5 Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu.

4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu. 4. CZYSTE ZGINNIE 1 4. 4. Czyste zginanie 4.1 odstawowe definicje Momentem M siły względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r oraz wektora siły. M= r. (4.1) Wektor r jest promieniem

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości

Mechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do laboratorium Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Środek ciężkości Moment bezwładności Wskaźnik wytrzymałości na zginanie Naprężenia

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

9. Mimośrodowe działanie siły

9. Mimośrodowe działanie siły 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 9. 9. Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc.

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM)

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM) PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM) Automatyka i Robotyka Sem. 3 Dr inŝ. Anna DĄBROWSKA-TKACZYK (4,, 8, 5) X; (8, 3,, 9) XI; (6, 3, 0), XII; (3, 0, 7, 4) I 3 XI (wtorek) zamiast 5 XI (czwartek) Dzień

Bardziej szczegółowo

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM PROP3 (06.91) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do wyznaczania charakterystyki geometryczno-wytrzymałościowej przekroju złożonego z kształtowników walcowanych oraz elementów o

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć: adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

2012/13. Mechanika Płynów (studia dzienne rok II, semestr 3) Praca domowa nr 1. http://www.ip.simr.pw.edu.pl

2012/13. Mechanika Płynów (studia dzienne rok II, semestr 3) Praca domowa nr 1. http://www.ip.simr.pw.edu.pl 2012/13 Mechanika Płynów (studia dzienne rok II, semestr 3) Praca domowa nr 1 http://www.ip.simr.pw.edu.pl Studia Inżynierskie Mechanika płynów Praca domowa 1 Zadanie nr 1 Wyprowadzić równanie równowagi

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności. Magdalena Krokowska KBI III 2010/2011

Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności. Magdalena Krokowska KBI III 2010/2011 Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności Magdalena Krokowska KBI III 010/011 Wyznaczyć zakres strefy spręŝystej dla belki o zadanym przekroju poprzecznym

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM

REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM Treści nauczania wg podstawy programowej Podręcznik M+ Klasa I Klasa II Klasa III 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) odczytuje

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

5. Zginanie ze ścinaniem

5. Zginanie ze ścinaniem 5. 1 5. Zginanie ze ścinaniem 5.1 Belki i ramy płaskie W wykładzie tym rozpatrywane będzie działanie siły poprzecznej, która powstaje w przekroju pręta pryzmatycznego wykonanego z materiału jednorodnego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KL.I

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KL.I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KL.I a w roku szkolnym 2015/2016 na poszczególne stopnie w oparciu o PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM i podręcznik nr w wykazie 168/1/2015/z1 Prowadzący zajęcia: mgr Elżbieta

Bardziej szczegółowo

Charakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji

Charakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji Charakterstki geometrczne figur płaskich dr hab. inż. Tadeusz Chż Katedra Mechaniki Konstrukcji Wielkości geometrczne charakterzujące przekrój pod względem wtrzmałościowm to: pole przekroju (A), (ang.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE Przekształcenia algebraiczne Równania i układy równań Pojęcie funkcji. Własności funkcji. WYRAŻENIA

Bardziej szczegółowo

Uczeo spełnia wymagania poziomu koniecznego oraz umie: porównywać liczby zapisane w różny sposób, obliczyć potęgę o wykładniku całkowitym,

Uczeo spełnia wymagania poziomu koniecznego oraz umie: porównywać liczby zapisane w różny sposób, obliczyć potęgę o wykładniku całkowitym, szacować wyniki działań, zaokrąglać liczby do podanego rzędu, zapisywać i odczytywać liczby naturalne w systemie rzymskim, podać rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego, odczytać współrzędną punktu na osi

Bardziej szczegółowo

Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi

Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi 1 Geometryczne podstawy obróbki CNC 1.1. Układy współrzędnych. Układy współrzędnych umożliwiają

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Marzec 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 2 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Marzec 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 2 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Marzec 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron.

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania SPIS TREŚCI Do Nauczyciela... 6 Regulamin konkursu... 7 Zadania Liczby i działania... 9 Procenty... 14 Figury geometryczne... 19 Kąty w kole... 24 Wyrażenia algebraiczne... 29 Równania i nierówności...

Bardziej szczegółowo

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny

Bardziej szczegółowo

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,

Bardziej szczegółowo

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki

Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki 1. Układ sił na przedstawionym rysunku a) jest w równowadze b) jest w równowadze jeśli jest to układ dowolny c) nie jest w równowadze d) na podstawie tego rysunku

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

1. LICZBY (1) 2. LICZBY (2) DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

1. LICZBY (1) 2. LICZBY (2) DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY (1) 2. LICZBY (2) 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne.

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa II Potęgi zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym, umie zapisać potęgę w postaci iloczynu, umie zapisać iloczyn jednakowych czynników

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe dla klasy 3as i 3b gimnazjum matematyka

Wymagania przedmiotowe dla klasy 3as i 3b gimnazjum matematyka Wymagania przedmiotowe dla klasy 3as i 3b gimnazjum matematyka TEMAT 5. Przekątna kwadratu. Wysokość trójkąta równobocznego 6. Trójkąty o kątach 90º, 45º, 45º oraz 90º, 30º, 60º 1. Okrąg opisany na trójkącie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI Wymagania podstawowe: oceny dopuszczająca i dostateczna Wymagania ponadpodstawowe: oceny dobra, bardzo dobra i celująca Aby uzyskać kolejną, wyższą ocenę,

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna Przewodnik do rozwiązywania typowych zadań

Bryła sztywna Przewodnik do rozwiązywania typowych zadań Bryła sztywna Przewodnik do rozwiązywania typowych zadań Przed przystąpieniem do korzystania z poniższego poradnika: wydrukuj jego treść, przygotuj kartki w kratkę, na których będziesz rozwiązywał zadania,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum

WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum Oceny z plusem lub minusem otrzymują uczniowie, których wiadomości i umiejętności znajdują się na pograniczu wymagań danej oceny głównej. (Znaki + i -

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

PG im. Tadeusza Kościuszki w Kościerzycach Przedmiot

PG im. Tadeusza Kościuszki w Kościerzycach Przedmiot KARTA MONITOROWANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ KSZTAŁCENIA OGÓLNEGO III etap edukacyjny PG im. Tadeusza Kościuszki w Kościerzycach Przedmiot matematyka Klasa......... Rok szkolny Imię i nazwisko nauczyciela

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY RZECZYWISTE I/1 1 Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne.

I. LICZBY RZECZYWISTE I/1 1 Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne. Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: I 80 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE GIMNAZJUM NR 2 W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z MATEMATYKI w klasie I gimnazjum str. 1 Wymagania edukacyjne niezbędne

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY III A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY III A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY III A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi Rozkład materiału nauczania został opracowany na podstawie programu

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa III program Matematyka z plusem Dział: LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE POZIOM KONIECZNY - ocena dopuszczająca Uczeń umie: szacować wyniki działań, zaokrąglać liczby

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa 3 Rozkład materiału i plan wynikowy

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa 3 Rozkład materiału i plan wynikowy Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa Rozkład materiału i plan wynikowy I. FUNKCJE 1 1. Pojęcie funkcji zbiór i jego elementy pojęcie przyporządkowania pojęcie funkcji

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. III GIMNAZJUM LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. III GIMNAZJUM LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. III GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, niewymiernej, rzeczywistej; - sposób zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego (Katera)

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego (Katera) Politechnika Łódzka FTMS Kierunek: nformatyka rok akademicki: 2008/2009 sem. 2. Termin: 6 V 2009 Nr. ćwiczenia: 112 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego

Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego 1 z 7 JM-test-MathJax Ćw. nr 41. Wyznaczanie ogniskowych soczewek za pomocą wzoru soczewkowego Korekta 24.03.2014 w Błąd maksymalny (poprawione formuły na niepewności maksymalne dla wzorów 41.1 i 41.11)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

Ścinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

Ścinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Ścinanie i skręcanie dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 Ścinanie proste Ścinanie czyste Ścinanie techniczne 2 Ścinanie Czyste ścinanie ma miejsce wtedy, gdy na czterech ścianach prostopadłościennej kostki występują

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY PIERWSZEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY PIERWSZEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY PIERWSZEJ POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem. PODSTAWOWE Uczeń zna:

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem. PODSTAWOWE Uczeń zna: Ewa Koralewska LP... OGÓLNA PODSTA- WA PROGRA MOWA b c PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem TEMATYKA LEKCJI LICZBA GODZIN Lekcja organizacyjna. Liczby.

Bardziej szczegółowo

Projekt Planu wynikowego do programu MATEMATYKA 2001 Gimnazjum klasa 1. Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Projekt Planu wynikowego do programu MATEMATYKA 2001 Gimnazjum klasa 1. Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJĄCE WYKRACZAJĄCE czytać teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne dla uczniów posiadających orzeczenie PPPP kl. I

Wymagania edukacyjne dla uczniów posiadających orzeczenie PPPP kl. I Wymagania edukacyjne dla uczniów posiadających orzeczenie PPPP kl. I Liczby zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej (k) rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne (p) umie zaznaczać

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki do programu pracy z podręcznikiem Matematyka wokół nas

Wymagania edukacyjne z matematyki do programu pracy z podręcznikiem Matematyka wokół nas Wymagania edukacyjne z matematyki do programu pracy z podręcznikiem Matematyka wokół nas klasa I 1)Działania na liczbach: dopuszczający: uczeń potrafi poprawnie wykonać cztery podstawowe działania na ułamkach

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KL I NA POSZCZEGÓLNE OCENY W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ RUDKACH Marzena Zbrożyna

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KL I NA POSZCZEGÓLNE OCENY W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ RUDKACH Marzena Zbrożyna WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KL I NA POSZCZEGÓLNE OCENY W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytywać informacje przedstawione w tabelach

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w klasie I gimnazjum

Kryteria ocen z matematyki w klasie I gimnazjum 1. Zbieranie, porządkowanie i prezentowanie danych 1. Liczby naturalne 1. Cechy podzielności 1. Działania na liczbach naturalnych 1. Algorytmy działań pisemnych odczytywać informacje przedstawione w tabelach

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy drugiej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. POTĘGI

Kryteria oceniania z zakresu klasy drugiej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. POTĘGI Kryteria oceniania z zakresu klasy drugiej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. POTĘGI HASŁO PROGRAMOWE Potęga o wykładniku naturalnym. Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych

Bardziej szczegółowo

trygonometria Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów.

trygonometria Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów. Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów. Funkcje trygonometryczne dla kątów ostrych to stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego.

Bardziej szczegółowo

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych MATEMATYKA - klasa 3 gimnazjum kryteria ocen według treści nauczania (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wszystkich wymagań na oceny niższe.) Dział programu

Bardziej szczegółowo

Modelowanie Wspomagające Projektowanie Maszyn

Modelowanie Wspomagające Projektowanie Maszyn Modelowanie Wspomagające Projektowanie Maszyn TEMATY ĆWICZEŃ: 1. Metoda elementów skończonych współczynnik kształtu płaskownika z karbem a. Współczynnik kształtu b. MES i. Preprocesor ii. Procesor iii.

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo