2. Charakterystyki geometryczne przekroju

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "2. Charakterystyki geometryczne przekroju"

Transkrypt

1 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi przekroju. Służą one na przykład do wyznaczenia naprężeń w prętach poddanych działaniu siły osiowej, momentu zginającego, siły poprzecznej oraz momentu skręcającego. Rysunek.1 przedstawia dowolny przekrój pręta wraz ze związanym z nim układem współrzędnych YZ. Elementarne pole powierzchni d posiada współrzędne y oraz z. Y z d y Z Rys..1. Przekrój pręta. Pierwszą wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest pole powierzchni. Definicja tej wielkości ma postać d. (.1) Jednostką pola powierzchni w układzie SI jest m. W budownictwie najczęściej używa się cm. Pole powierzchni jest zawsze większe od zera. Drugą wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest moment statyczny. Definicje momentu statycznego względem osi Y S Y oraz względem osi Z S Z mają postać S Y z d, S Z (.) y d. (.) Jednostką momentu statycznego jest m. W budownictwie najczęściej używa się cm. Moment statyczny może przyjmować wartości dodatnie, ujemne oraz zero. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

2 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU Trzecią wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest moment bezwładności. Definicje momentów bezwładności względem osi Y I Y oraz względem osi Z I Z (są to tak zwane osiowe momenty bezwładności) mają postać I Y z d, I Z (.4) y d. (.5) Oprócz osiowych momentów bezwładności istnieje jeszcze moment dewiacyjny. Jego definicja ma postać I YZ y z d. (.6) Jednostką momentu bezwładności jest m 4. W budownictwie najczęściej używa się cm 4. Osiowe momenty bezwładności przyjmują zawsze wartości dodatnie, natomiast moment dewiacyjny może być dodatni, ujemny lub równy zero. Osiowe momenty bezwładności są pewną miarą rozproszenia przekroju względem danej osi. Im osiowy moment bezwładności jest większy tym rozproszenie przekroju jest większe. Wartość bezwzględna momentu dewiacyjnego jest miarą asymetrii przekroju względem przyjętego układu współrzędnych. Łatwo zauważyć, że jeśli jedna z osi układu współrzędnych jest osią symetrii to moment dewiacyjny względem tego układu wynosi zero. Przedstawia to rysunek.. Y Oś symetrii d d z y -y Rys... Przekrój pręta z jedną osią symetrii. Z Oś środkowa jest to oś, względem której moment statyczny wynosi zero. Środek ciężkości jest to punkt przecięcia dwóch dowolnych osi środkowych. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

3 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU Chcąc wyznaczyć współrzędne y C, z C środka ciężkości SC obieramy dowolny układ współrzędnych YZ. Przedstawia to rysunek.. Y d z 0 z C SC Z z y 0 y C y Rys... Wyznaczenie środka ciężkości przekroju. Współrzędne elementarnego pola powierzchni d w układzie osi środkowych wynoszą y 0 = y y C, (.7) z 0 =z z C. (.8) Momenty statyczne względem osi oraz wynoszą (y C oraz z C traktujemy jako stałą) S Y0 S Z0 z 0 d z z c d y 0 d y y c d z d z C d, (.9) y d y C d. (.10) Wzory.9 i.10 po przekształceniu i uwzględnieniu faktu, że moment statyczny względem osi środkowej wynosi zero będą miały postać S Y0 =S Y z C =0, (.11) S Z0 =S Z y C =0. (.1) Ostatecznie współrzędne środka ciężkości wynoszą Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

4 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 4 z C = S Y, (.1) y C = S Z. (.14) Jeżeli przekrój składa się z n części o znanych polach powierzchni i oraz współrzędnych środków ciężkości y i i z i to współrzędne środka ciężkości oblicza się ze wzorów z C = S i z i Y = i=1 n i i=1 n, (.15) y C = S i y i Z = i=1 n i i=1 n. (.16) Oczywiście jeżeli przekrój posiada oś symetrii to środek ciężkości musi znajdować się na niej. W przekroju posiadającym dwie osie symetrii środek ciężkości znajduje się w punkcie ich przecięcia.. Momenty bezwładności przy przesunięciu układu współrzędnych Załóżmy, że znane są momenty bezwładności w układzie osi środkowych. Poszukujemy momentów bezwładności w dowolnym układzie YZ. Współrzędne środka ciężkości przekroju w układzie YZ wynoszą y P oraz z P. Przedstawia to rysunek.4. Moment bezwładności względem osi Y zgodnie z definicją wyrażoną przez wzór (.4) wynosi I Y Po rozwinięciu wyrażenia w nawiasie wzór.17 będzie miał postać z d z 0 z P d. (.17) I Y z 0 z 0 z P z P d. (.18) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

5 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 5 Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. Wzór.18 będzie miał postać (z P jako stałą wyciągamy przed całkę) I Y z 0 d z P z 0 d z P d. (.19) Y d z 0 z P SC Z z y 0 y P y Rys..4. Wyznaczenie momentów bezwładności przy przesunięciu układu współrzędnych.. Interpretując poszczególne całki otrzymano I Y =I Y0 z P S Y0 z P. (.0) Ponieważ oś jest osią środkową więc moment statyczny względem tej osi S Y0 wynosi zero. Ostatecznie wzór na obliczenie momentu bezwładności I Y będzie miał postać I Y =I Y0 z P. (.1) nalogicznie wzór na obliczenie momentu bezwładności I Z będzie miał postać I Z =I Z0 y P, (.) W celu wyznaczenia momentu dewiacyjnego wykorzystano definicję według wzoru (.6). I YZ y z d y 0 y P z 0 z P d. (.) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

6 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 6 Po rozwinięciu wyrażeń w nawiasach wzór. będzie miał postać I YZ y 0 z 0 y 0 z P z 0 y P y P z P d. (.4) Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. Wzór.4 będzie miał postać (y P oraz z P taktujemy jako stałe) I YZ y 0 z 0 d z P Interpretując poszczególne całki otrzymano y 0 d y P z 0 d y P z P d. (.5) I YZ =I Y0Z0 z P S Z0 y P S Y0 y P z P. (.6) Ponieważ osie oraz są osiami środkowymi więc momenty statyczne względem tych osi S Y0 oraz S Z0 wynoszą zero. Ostatecznie wzór na obliczenie momentu bezwładności I YZ będzie miał postać I YZ =I Y0Z0 y P z P. (.7) Wzory.1,. oraz.7 noszą nazwę wzorów Steinera i są podstawowymi wzorami służącymi do obliczania momentów bezwładności dowolnego przekroju względem dowolnego układu współrzędnych.. Momenty bezwładności przy obrocie układu współrzędnych Zakładamy, że znamy momenty bezwładności w układzie YZ. Szukamy momentów bezwładności w układzie Y`Z` obróconym o kąt a. Dodatni kąt jest zgodny z obrotem osi Y w kierunku osi Z. Przedstawia to rysunek.5. Współrzędne elementarnego pola powierzchni d w układzie Y`Z` opisują wzory transformacyjne, które mają znaną postać y '= y cos z sin, (.8) z '= y sin z cos. (.9) Korzystając z definicji momentu bezwładności względem osi Y` otrzymano I Y ' z ' d y sin z cos d. (.0) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

7 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 7 Y y` a z` z Y` d y Z Z` Rys..5. Przekrój z obróconym układem współrzędnych Y`Z`. Rozwijając wyrażenie w nawiasie wzór (.0) będzie miał postać I Y ' y sin y z sin cos z cos d. (.1) Ponieważ sinus i cosinus kąta a są stałe możemy wyciągnąć je przed znak całki. Zapisując całkę sumy jako sumę całek wzór (.1) przybierze postać I Y ' =sin y d sin cos y z d cos z d. (.) Interpretując poszczególne całki wzór (.) będzie miał postać I Y ' =sin I Z sin cos I YZ cos I Y. (.) Wprowadzając funkcje kąta a, które mają postać sin = 1 1 cos, (.4) cos = 1 1 cos, (.5) sin cos =sin, (.6) otrzymano ostateczną postać wzoru transformacyjnego. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

8 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 8 I Y ' = I I Y Z I I Y Z cos I YZ sin. (.7) Postępując analogicznie otrzymano następujące wzory transformacyjne I Z ' = I I Y Z I I Y Z cos I YZ sin, (.8) I Y ' Z ' = I Y I Z sin I YZ cos. (.9).4 Główne momenty bezwładności Istnieje pewien wyróżniony układ współrzędnych, w którym osiowe momenty bezwładności przyjmują wartości ekstremalne, a moment dewiacyjny znika. Taki układ nazywamy układem głównych osi bezwładności, a momenty osiowe w tym układzie głównymi momentami bezwładności. Kąt, który określa położenie głównych osi bezwładności wyznacza się ze wzoru tg gl = I YZ I Y I Z. (.40) Wstawiając wartość kąta a gl do wzorów transformacyjnych (.7) i (.8) otrzymamy wzory na obliczenie momentów głównych w postaci I Ygl = I I Y Z I I Y Z cos gl I YZ sin, gl (.41) I Zgl = I I Y Z I I Y Z cos gl I YZ sin. gl (.4) Główne momenty możemy uporządkować tak aby I I =max{ I Ygl I Zgl, (.4) I II =min{ I Ygl I Zgl. (.44) Momenty I I oraz I II można wyznaczyć także z następujących wzorów ( można je wykorzystać do sprawdzenia obliczeń głównych momentów bezwładności) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

9 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 9 I I = I I Y Z I I Y Z, I YZ (.45) I II = I I Y Z I I Y Z. I (.46) YZ.5 Niezmienniki Niezmiennikiem nazywamy taką wielkość fizyczną, która nie zmienia swojej wartości przy obrocie układu współrzędnych. W przypadku charakterystyk geometrycznych mamy dwie takie wielkości. Pierwszy niezmiennik ma postać sumy momentów osiowych. Wynosi on odpowiednio w dowolnym układzie współrzędnych i w układzie osi głównych J 1 =I Y I Z =I Ygl I Zgl. (.47) Drugi niezmiennik w dowolnym układzie współrzędnych oraz w układzie osi głównych wynosi (moment dewiacyjny w układzie osi głównych równa się zero) J =I Y I Z I YZ =I Ygl I Zgl. (.48).6 Momenty bezwładności prostokąta Jako przykład zostanie wyznaczony moment bezwładności względem osi przekroju prostokątnego o szerokości b i wysokości h. Oczywiście środek ciężkości znajduje się w środku wysokości i szerokości prostokąta. Przedstawia to rysunek.6. b b h d z 0 dz 0 h h b Rys..6. Przekrój prostokątny. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

10 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 10 Elementarne pole d wynosi d=b dz 0. (.49) Moment bezwładności względem osi zgodnie z definicją będzie wynosił I Y0 h z 0 d z 0 b dz 0 =b z 0 dz. 0 (.50) h h h Ostatecznie wartość momentu bezwładności będzie miał wartość I Y0 =b [ z h 0 =b ] [ h h 4 4] h = b h 1. (.51) nalogicznie moment bezwładności względem osi będzie wynosił I Z0 = h b 1. (.5) Ogólnie osiowe momenty bezwładności prostokąta względem osi środkowych będą miały postać wymiarrównoległydo osi wymiar prostopadły do osi I oś = 1. (.5) Ponieważ osie oraz są osiami symetrii to moment dewiacyjny prostokąta będzie wynosił zero..7 Momenty bezwładności innych figur Położenie środka ciężkości trójkąta prostokątnego o wymiarach przyprostokątnych b i h przedstawia rysunek.7. Momenty osiowe bezwładności trójkąta prostokątnego wynoszą I Y0 = b h 6, (.54) I Z0 = h b 6. (.55) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

11 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 11 h h h b b b Rys..7. Przekrój w formie trójkąta prostokątnego. Ogólnie osiowe momenty bezwładności trójkąta prostokątnego względem osi środkowych będą miały postać wymiarrównoległydo osi wymiar prostopadły do osi I oś = 6. (.56) Osie i nie są osiami głównymi dla trójkąta prostokątnego więc moment dewiacyjny będzie różny od zera. Jego wartość bezwzględną oblicza się ze wzoru I Y0Z0 = b h 7. (.57) h h h b b b Rys..8. Trójkąt prostokątny z zaznaczonym większym polem powierzchni w ćwiartkach ujemnych. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

12 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1 Znak momentu dewiacyjnego ustala się na podstawie położenia trójkąta prostokątnego w układzie współrzędnych. Na rysunku.8 została zaznaczona większa część przekroju trójkąta. Część ta znajduje się w ćwiartkach, w których wyrażenie y 0z 0d jest ujemne (będą to tak zwane ćwiartki ujemne) więc moment dewiacyjny trójkąta ma wartość ujemną. W przypadku innego usytuowania trójkąta w układzie współrzędnych znak momentu dewiacyjnego należy ustalić w zależności od położenia większej części przekroju. W przypadku przekroju kołowego o promieniu R środek ciężkości znajduje się oczywiście w środku koła. Osiowe momenty bezwładności w układzie osi środkowych wynoszą I Y0 =I Z0 = R4 4. (.58) Moment dewiacyjny przekroju kołowego wynosi oczywiście zero. R Rys..9. Przekrój kołowy..10. W przypadku przekroju będącego połową koła położenie środka ciężkości zostało pokazane na rysunku Oś symetrii 4 R R Rys..10. Przekrój będący połową koła. Osiowe momenty bezwładności wynoszą Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

13 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1 I Y0 = R4 =0,1098 R 4, (.59) I Z0 = R4 =0,97 R 4. (.60) 8 Moment dewiacyjny wynosi oczywiście zero. Położenie środka ciężkości w przekroju będącego ćwiartką koła o promieniu R przedstawione zostało na rysunku.11. R 4 R 4 R Rys..11. Przekrój będący ćwiartką koła. Osiowe momenty bezwładności wynoszą I Y0 =I Z0 =0,05488 R 4. (.61) Wartość bezwzględna momentu dewiacyjnego wynosi I Y0Z0 =0,01647 R 4. (.6) 4 R 4 R Rys..1. Przekrój będący ćwiartką koła z zaznaczonym większym polem powierzchni w ćwiartkach dodatnich. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

14 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 14 Znak momentu dewiacyjnego ustala się podobnie jak dla przekroju trójkątnego. Większą część przekroju przedstawia rysunek.1. W tym przypadku większa część przekroju znajduje się w ćwiartkach dodatnich więc moment dewiacyjny będzie dodatni..8 Przekroje walcowane Osobną grupę prętów stanowią pręty wykonane z kształtowników walcowanych. Charakterystyki tego typu przekrojów znajdują się w Tablicach do projektowania konstrukcji metalowych. Istnieje wiele rodzajów tego typu przekrojów. Poniżej zostaną przedstawione podstawowe typy. 1. Dwuteownik. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.1. Rys..1. Przekrój dwuteowy. Poziome elementy nazywamy półkami natomiast pionowy element nazywany jest środnikiem.. Połówka dwuteownika. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.14.. Ceownik. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek Kątownik równoramienny. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.16. Dla grubości półki,0 mm odczytąc należy wartości górne a dla 4,0 mm dolne. 5. Kątownik nierównoramienny. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.17. Dla grubości półki 5,0 mm odczytując należy wartości górne a dla 6,0 mm dolne. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

15 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 15 Rys..14. Połówka dwuteownika. Rys..15. Przekrój ceowy. Rys..16. Kątownik równoramienny. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

16 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 16 Rys..17. Kątownik nierównoramienny..9 Momenty bezwładności w klasycznym układzie XY W wielu podręcznikach charakterystyki geometryczne są wyznaczone w układzie XY, który został przedstawiony na rysunku.18. Y d y X x Rys..18. Przekrój w klasycznym układzie współrzędnych XY. Definicje momentu statycznego względem osi X i Y mają postać S X y d, (.6) S Y x d. (.64) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

17 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 17 Definicje momentu bezwładności mają postać I X y d, I Y x d, (.65) (.66) I YZ x y d. (.67) Położenie środka ciężkości oblicza się ze wzorów x C = S Y, (.68) y C = S X. Jeżeli przekrój składa się z n części o znanych polach powierzchni i oraz współrzędnych środków ciężkości x i i y i to współrzędne środka ciężkości oblicza się ze wzorów x C = S i x i Y = i=1 n i i=1 n, (.69) y C = S i y i X = i=1 n i i=1 n. (.70) Twierdzenie Steinera będzie miało postać I X =I X0 y P, (.71) I Y =I Y0 x P, (.7) I XY =I X0Y0 x P y P. (.7) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

18 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 18 We wzorach (.71), (.7) i (.7) I X0, I Y0 i I X0Y0 oznaczają momenty względem osi środkowych, x P i y P oznaczają współrzędne środka ciężkości w układzie XY. Wzory transformacyjne będą miały postać I X ' = I I X Y I I X Y cos I XY sin, I Y ' = I I X Y I I X Y cos I XY sin, (.74) (.75) I X ' Y ' = I X I Y sin I XY cos. (.76) Kąt nachylenia osi głównych oblicza się ze wzoru tg gl = I XY I X I Y. (.77) Wartości głównych momentów bezwładności oblicza sięze wzorów I Xgl = I I X Y I I X Y cos gl I XY sin, gl (.78) I Ygl = I I X Y I I X Y cos gl I XY sin. gl (.79) Do sprawdzenia obliczeń można zastosować następujące wzory I I = I I X Y I I X Y, I XY (.80) I II = I I X Y I I X Y. I (.81) XY Wartości niezmienników w dowolnym układzie współrzędnych oraz w układzie osi głównych będą wynosiły J 1 =I X I Y =I Xgl I Ygl (.8) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

19 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 19 J =I X I Y I XY =I Xgl I Ygl (.8).10 Przykłady liczbowe.10.1 Przekrój blachownicowy - dwuteowy Wyznaczyć główne momenty bezwładności I Ygl oraz I Zgl przekroju pokazanego na rysunku.19. Wszystkie wymiary są podane w centymetrach. 1,0 8,0,0 9,0,0 Rys..19. Przekrój blachownicowy dwuteowy. Ponieważ przekrój dwuteowy posiada dwie osie symetrii środek ciężkości znajduje się w punkcie przecięcia się obu osi symetrii. Przedstawia to rysunek.0. W celu wyznaczenia położenia środka ciężkości przekrój został podzielony na trzy figury składowe. Wszystkie figury są prostokątami. Zostało to przedstawione na rysunku.1. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur składowych wynoszą y 01 =0,0 cm y 0 =0,0 cm y 0 =0,0 cm z 01 = 15,0 cm z 0 =0,0 cm z 0 = 15,0 cm. (.84) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

20 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 0 1,0 16,0,0 16,0 8,0 9,0,0 4,5 4,5 Rys..0. Położenie środka ciężkości przekroju dwuteowego.,0 1 1,0 15,0 = 15,0 8,0 =1 = = 9,0,0 Rys..1. Podział dwuteownika na figury składowe. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

21 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1 Momenty bezwładności względem osi oraz wynoszą 9,0,0 I Y0 = 15,0 9,0,0 1 1,0 8,0 0,0 1,0 8,0 1 9,0,0 15,0 9,0,0=9941 cm 4 1, (.85),0 9,0 I Z0 = 0,0 9,0,0 1 8,0 1,0 0,0 1,0 8,0 1,0 9,0 0,0 9,0,0=45, cm 4 1. (.86) Ze względu na to, że osie oraz są osiami symetrii przekroju dwuteowego moment dewiacyjny wynosi zero. Skoro więc moment dewiacyjny równa się zero to można wyciągnąć wniosek, że osie i są głównymi osiami bezwładności..10. Przekrój blachownicowy - teowy Wyznaczyć główne momenty bezwładności I Ygl oraz I Zgl przekroju pokazanego na rysunku.. Wszystkie wymiary są podane w centymetrach. 9,0,0 1,0 8,0 Rys... Przekrój blachownicowy teowy. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

22 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU Ponieważ przekrój teowy posiada jedną oś symetrii środek ciężkości znajduje się na tej osi. W ten sposób znamy współrzędną y C środka ciężkości. Chcąc wyznaczyć współrzędną z C środka ciężkości został obrany układ współrzędnych YZ. Przedstawia to rysunek.. Przekrój został podzielony na dwie figury składowe. Obie figury są prostokątami. Y 9,0 1,0,0 1 1,0 16,0 8,0 Z= =1 = Rys... Położenie środków ciężkości poszczególnych figur. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur w układzie YZ wynoszą y 1 =0,0 cm z 1 =1,0 cm y =0,0 cm z =16,0 cm. (.87) Współrzędna z C środka ciężkości wynosi z C = 9.0,0 1,0 8,0 1,0 16,0 =10,1 cm 9.0,0 8,0 1,0. (.88) Rysunek.4 przedstawia przekrój z zaznaczonym układem osi środkowych. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur w układzie wynoszą y 01 =0,0 cm z 01 = 9,1 cm y 0 =0,0 cm z 0 =5,87 cm. (.89) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

23 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 9,0,0 1 9,1 5,87 8,0 1,0 =1 = Rys..4. Przekrój teowy z zaznaczonym układem osi środkowych. Momenty bezwładności w układzie wynoszą 9,0,0 I Y0 = 9,1 9,0,0 1 1,0 8,0 5,87 1,0 8,0=401 cm 4 1, (.90),0 9,0 I Z0 = 0,0 9,0,0 1 8,0 1,0 0,0 1,0 8,0=1,8 cm 4 1. (.91) Ze względu na to, że oś jest osią symetrii przekroju teowego moment dewiacyjny wynosi zero. Skoro więc moment dewiacyjny równa się zero to można wyciągnąć wniosek, że osie i są głównymi osiami bezwładności..10. Zastosowanie twierdzenia Steinera Dany jest moment bezwładności przekroju będącego połówką koła względem osi Y 1. Wyznaczyć moment bezwładności względem osi Y. Przekrój został przedstawiony na rysunku.5. Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

24 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 4 I Y1 = R4 8. (.9) Y 4 R R Y 1 =Z 1 =Z Rys..5. Przekrój będący ćwiartką koła. Zgodnie z twierdzeniem Steinera moment bezwładności względem osi Y 1 wynosi I Y1 =I Y0 z 1 (.9) Współrzędna z 1 środka ciężkości przekroju w układzie Y 1Z 1 wynosił z 1 = 4 R (.94) Ostatecznie moment bezwładności względem osi Y 1 wynosi I Y1 = R4 8 =I R Y0 4 R (.95) Moment bezwładności względem osi środkowej wynosi I Y0 = R4 (.96) Moment bezwładności względem osi Y wynosi (z jest współrzędną środka ciężkości przekroju w układzie Y Z ) I Y =I Y0 z = R 9 R4 R R (.97) Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

25 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 5 Prof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

9. Mimośrodowe działanie siły

9. Mimośrodowe działanie siły 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 9. 9. Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc.

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Kryteria oceniania z matematyki KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Arytmetyka: Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który potrafi : - określić pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM OPRACOWANO NA PODSTAWIE PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI Matematyka 1 Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja, praca zbiorowa

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Na ocenę dopuszczającą uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej,

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-15

Ć W I C Z E N I E N R E-15 NSTYTUT FZYK WYDZAŁ NŻYNER PRODUKCJ TECNOLOG MATERAŁÓW POLTECNKA CZĘSTOCOWSKA PRACOWNA ELEKTRYCZNOŚC MAGNETYZMU Ć W C Z E N E N R E-15 WYZNACZANE SKŁADOWEJ POZOMEJ NATĘŻENA POLA MAGNETYCZNEGO ZEM METODĄ

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia przedmiotowe

Osiągnięcia przedmiotowe 1. Zbieranie, porządkowanie i prezentowanie danych przedstawione w tabelach przedstawione na przedstawiać dane w tabelach przedstawiać dane na przedstawione w tabelach przedstawione na porównywać informacje

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 72 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Bardziej szczegółowo

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM I PODRĘCZNIKA O NR DOP. 168/1/2015/z1

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE DO PROGRAMU MATEMATYKA 2001 GIMNAZJUM KL. IA, ID ROK SZK. 2010/2011. Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

WYMAGANIA EDUKACYJNE DO PROGRAMU MATEMATYKA 2001 GIMNAZJUM KL. IA, ID ROK SZK. 2010/2011. Osiągnięcia ponadprzedmiotowe WYMAGANIA EDUKACYJNE DO PROGRAMU MATEMATYKA 2001 GIMNAZJUM KL. IA, ID ROK SZK. 2010/2011 W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Bardziej szczegółowo

2. Kryteria oceniania

2. Kryteria oceniania 2. Kryteria oceniania OSIĄGNIĘCIA PONADPRZEDMIOTOWE W rezultacie kształcenia matematycznego w klasie 1 gimnazjum uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe Umiejętności ponadpodstawowe Konieczne

Bardziej szczegółowo

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

Dział programowy: Liczby i działania ( 1 )

Dział programowy: Liczby i działania ( 1 ) 1 S t r o n a Dział programowy: Liczby i działania ( 1 ) 14-20 Liczby. Rozwinięcia liczb dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. MnoŜenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający ocena

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D -

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa pierwsza.

Wymagania edukacyjne klasa pierwsza. Wymagania edukacyjne klasa pierwsza. TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników Dodawanie

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający

Bardziej szczegółowo

Profile zimnogięte. Typu Z i C

Profile zimnogięte. Typu Z i C Profile zimnogięte Typu Z i C Profile zimnogięte Głównym zastosowaniem produkowanych przez nas profili zimnogiętych są płatwie dachowe oraz rygle ścienne. Na elementy te (jako stosunkowo mało obciążone

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I Ocena Celujący (obejmuje wymagania na ocenę bardzo dobrą) Ocena śródroczna DZIAŁ I - LICZBY I DZIAŁANIA - umie znajdować liczby spełniające określone nietypowe

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016 Litery w nawiasach oznaczają kolejno: K - ocena dopuszczająca P - ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

Wewnętrzny stan bryły

Wewnętrzny stan bryły Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA KLASA I

KRYTERIA OCENIANIA KLASA I KRYTERIA OCENIANIA KLASA I POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający ocena bardzo dobra

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM I PODRĘCZNIKA O NR DOP. 168/1/2015/z1

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2015/2016 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2); P podstawowy - ocena dostateczna (3); R rozszerzający

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM I PODRĘCZNIKA O NR DOP. 168/1/2015/z1

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w klasie 1ab w roku szkolnym 2011/2012

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w klasie 1ab w roku szkolnym 2011/2012 Wymagania ocen z matematyki klasa 1 gimnazjum Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w klasie 1ab w roku szkolnym 2011/2012 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P -

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w I klasie gimnazjum Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Kryteria ocen z matematyki w I klasie gimnazjum Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej porównuje liczby wymierne zaznacza liczby wymierne na osi liczbowej zamienia ułamki zwykłe na dziesiętne i odwrotnie zna pojęcia:

Bardziej szczegółowo

Cele kształcenia wymagania ogólne (przedruk z podstawy programowej) kształcenie w zakresie rozszerzonym. Podręcznik 3 (6 godzin 25 tygodni)

Cele kształcenia wymagania ogólne (przedruk z podstawy programowej) kształcenie w zakresie rozszerzonym. Podręcznik 3 (6 godzin 25 tygodni) PLAN WYNIKOWY dla techników i liceów ogólnokształcących zakres podstawowy i rozszerzony do Podręcznika 3 z serii Matematyka w otaczającym nas świecie Wydawnictwa Podkowa Plan wynikowy polega na zaplanowaniu

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą

Bardziej szczegółowo

Wymagania: na kolejną - wyższą ocenę konieczna jest również znajomość materiału i posiadanie umiejętności wymaganych na ocenę niższą.

Wymagania: na kolejną - wyższą ocenę konieczna jest również znajomość materiału i posiadanie umiejętności wymaganych na ocenę niższą. 1 Wymagania: na kolejną - wyższą ocenę konieczna jest również znajomość materiału i posiadanie umiejętności wymaganych na ocenę niższą. dopuszczający zna pojęcie notacji wykładniczej, zna sposób zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 24 kwietnia 2013 roku do sprawdzenia u uczniów

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ Z PODZIAŁEM NA POZIOMY W ODNIESIENIU DO DZIAŁÓW NAUCZANIA

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ Z PODZIAŁEM NA POZIOMY W ODNIESIENIU DO DZIAŁÓW NAUCZANIA Poziomy wymagań edukacyjnych : KONIECZNY (K) - OCENA DOPUSZCZAJĄCA, PODSTAWOWY( P) - OCENA DOSTATECZNA, ROZSZERZAJĄCY(R) - OCENA DOBRA, DOPEŁNIAJĄCY (D) - OCENA BARDZO DOBRA WYKRACZAJACY(W) OCENA CELUJĄCA.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY I DZIAŁANIA

I. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA PIERWSZA GIMNAZJUM I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne. 3. Umie

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram. Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram

ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram. Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram Wykresy N i Q Wykres sił dodatnich może być narysowany zarówno po górnej jak i dolnej stronie

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA I LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby

Bardziej szczegółowo

1. Obliczenia sił wewnętrznych w słupach (obliczenia wykonane zostały uproszczoną metodą ognisk)

1. Obliczenia sił wewnętrznych w słupach (obliczenia wykonane zostały uproszczoną metodą ognisk) Zaprojektować słup ramy hali o wymiarach i obciążeniach jak na rysunku. DANE DO ZADANIA: Rodzaj stali S235 tablica 3.1 PN-EN 1993-1-1 Rozstaw podłużny słupów 7,5 [m] Obciążenia zmienne: Śnieg 0,8 [kn/m

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Kryteria oceniania z zakresu klasy trzeciej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM Wymagania podstawowe(k- ocena dopuszczająca, P ocena dostateczna), wymagania ponadpodstawowe( R ocena dobra, D ocena bardzo dobra, W ocena celująca) DZIAŁ 1:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2 05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU MATEMATYKA GIMNAZJUM KLASA I Na ocenę dopuszczającą: DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Uczeń: zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu roku szkolnego

Bardziej szczegółowo

KLASA 1 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA (17 h) Aby otrzymać ocenę dopuszczającą uczeń:

KLASA 1 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA (17 h) Aby otrzymać ocenę dopuszczającą uczeń: KLASA 1 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA (17 h) zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu roku szkolnego na lekcjach matematyki; zna PSO; posiada zeszyt, książkę oraz potrzebne przyrządy;

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą wtedy gdy: 1. zna pojęcie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM Opracowano na podstawie programu Matematyka z plusem dla III etapu edukacyjnego (klasy I III) dopuszczonego przez MEN do użytku szkolnego

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy)

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku:

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Korzystając z rysunku oblicz długość odcinka OA, jeśli CD=4, AB=5, OC=8

Zad. 1 Korzystając z rysunku oblicz długość odcinka OA, jeśli CD=4, AB=5, OC=8 Testy do gimnazjum Jednokładność, podobieństwo, twierdzenie Talesa. Test dla klasy III Przekształcenia geometryczne. Grupa I Zad. Korzystając z rysunku oblicz długość odcinka OA, jeśli CD=4, AB=5, OC=

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna imię i nazwisko Kalendarz gimnazjalisty Tydz. Dział start 22.09 29 26.09 Przygotowanie do pracy zapoznanie się z informacjami na temat egzaminu gimnazjalnego

Bardziej szczegółowo

dla symboli graficznych O bardzo dużej liczbie szczegółów 0,18 0,35 0,70 0,25 A3 i A4 O dużej liczbie szczegółów

dla symboli graficznych O bardzo dużej liczbie szczegółów 0,18 0,35 0,70 0,25 A3 i A4 O dużej liczbie szczegółów 6/ LINIE RYSUNKOWE Normy rysunkowe PN-EN ISO 128-20:2002 Rysunek techniczny. Zasady ogólne przedstawiania Część 20: Wymagania podstawowe dotyczące linii PN-ISO 128-23:2002 Rysunek techniczny. Ogólne zasady

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY

MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY OCENA DOPUSZCZEJĄCY: DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE zna algorytmy działań

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo