20 PAK 2/2007. Wyznaczanie niepewności typu A pomiarów o skorelowanych rezultatach obserwacji. Mykhaylo DOROZHOVETS 1, Zygmunt L.

Transkrypt

1 PK /7 Myhaylo DOROZHOVETS, Zygmut L. WRSZ POLITECHNIK RZESZOWSK Wyzaczae epewośc typu pomarów o orelowaych rezultatach oberwac Prof. dr hab. ż. Myhaylo DOROZHOVETS Jet abolwetem (975 Katedry Tech Iformacyo-Pomarowe Poltech Lwowe, tytuł dotora au techczych uzyał w 986 r. a w r. obroł pracę habltacyą. Obece et zatrudoy a taowu profeora w Załadze Metrolog Sytemów Pomarowych Poltech Rzezowe. W pracy auowo-badawcze zamue ę zagadeam pomarów tomografczych, problemam przetwarzaa ygałów pomarowych oraz aalzą oceą edoładośc wyów pomarów. e-mal: mchdor@prz.edu.pl Dr ż. Zygmut L. WRSZ Uończył Merctwo El. (959 dotorat (967 w Poltechce Warzawe, powołay a doceta w 97 r. przez CK za dorobe rówoważy habltac. utor lub wpółautor dwu moograf (z tech hallotroowe oraz owe lay motów dwuprądowych, ludzeęcu publac (laaśce zagraczych, welu prac badawczo-otrucyych luatu patetów. Specalzował ę w welu dzedzach pomarów welośc eletryczych, magetyczych eeletryczych. e-mal: zlw@op.pl Strezczee Omówoo zaęg ograczee zaad wyzaczaa parametrów epewośc pomarów wg zaleceń mędzyarodowych zawartych w publac azywae aromem GUM [, ]. Podao propozycę rozzerzea zareu toowaa oblczeń epewośc wyzaczae metodą typu obemuącą uwzględee w pomarach wpływu orelowaa orygowaych oberwac. Polega oa a wprowadzeu efetywe lczby oberwac. Jet oa meza od rzeczywte oblcza ę ą z fuc autoorelac. Propoowae rozzerzee metody oblczeń epewośc typu zlutrowao przyładem lczbowym zaweraącym też ao poprzedzaące operace uuęce tredu z urowych wartośc oberwac prawdzee wybraego typu rozładu. Słowa luczowe: epewość typu, autoorelaca, rozład prawdopodobeńtwa. Evaluato of the ucertaty type of autocorrelated meauremet obervato btract Prcple of the etmato of ucertaty parameter troduced by the teratoal gude amed by acroym GUM [] are gve ad ther cope ad lmtato are dcued. Propoal of expadg the applcato rage of the ucertaty evaluated by the type method to the meauremet the cae of correlated obervato are preeted. Effectve umber of obervato troduced, maller the real oe. It calculated from the autocorrelato fucto of corrected obervato. Propoed method ha bee llutrated by the umercal example cluded alo a the begg operato the lear tred elmato from ucorrected obervato reult ad tetg the choed type of dtrbuto. Keyword: type ucertaty, autocorrelato, radom dtrbuto.. Wtęp Metoda wyzaczaa wyu pomarów opu ego edoładośc poprzez epewość zotała uedolcoa w al mędzyarodowe w publac ISO zae pod aromem GUM [, ]. Służby Mar aredytowae laboratora od lu lat touą uż te zalecea. Rozpowzechaą ę też oe coraz bardze w pratyce pomarowe w motorgu proceów przemyłowych, badau materałów urządzeń oraz w eploatac. Wzyte zawarte w GUM operace taową procedurę odtwarzaa zboru możlwych wartośc welośc merzoe x z wartośc ygałów lub odczytów oberwac pomarowych. Przebega oa w eruu odwrotym ż ygał w początowe częśc toru pomarowego. Realzaca może odbywać ę: - w dalze, zwyle omputeryzowae częśc toru pomarowego, w poób eawy pratycze a beżąco (o le poprzez operace a otrzymywaych oleo wartoścach ygałów pozczególych oberwac. - poza ytemem pomarowym (off le, a drodze oblczeń z wartośc wyów oberwac (odczytów, zwyle obece omputeryzowaych. W zczególych przypadach wytępuą w pratyce pomary o domuące ede z wyzaczaych według GUM epewośc, t.: u (x oblczae tylo metodam tatytyczym p. w badau zumów, wahań parametrów apęca ec, parametrów środowa, przepływów etacoarych lub ych obetów o parametrach le przypadowo zmeych, u B (x B wyzaczae w y poób p. pomary w obwodach prądu tałego, pomary parametrów RLC tp. W te publac omówoo wyzaczae epewośc u (x dla orelowaych oberwac.. Zaady oblczaa epewośc typu Perwzą czyoścą poprzedzaącą oblczae epewośc u (x et detyfaca wyelmowae z wyów oberwac wpływów oddzaływań ytematyczych. Trzeba wząć pod uwagę, że zależe od długośc czau zberaa oberwac pomarowych ta ama ładowa epewośc może wytępować ao zdetermowaa lub ao loowa p. wywołaa wahaam temperatury otoczea w rótm lub długm czae zberaa oberwac pomarowych [4, 5]. Wzyte pozotałe ładowe wywołuące epewość pomarów, ezależe od przyczyy ch powtaa charateru oddzaływaa, tratue ę uż łącze w edolty poób t. według zaad tatyty. Według zaleceń GUM epewość tadardową u (x merzoe wartośc x wyzacza ę ao eperymetale odchylee tadardowe er wyów oberwac pomarowych o wartoścach q orygowaych przez popraw. Stoue ę atępuący cyl oblczeń: Wartość średa: x q q ( gdze: q, q, q3,..., q - orygowae wartośc oberwac, lczba oberwac. Ocea warac prób e odchylea tadardowego eperymetalego: ( q ( q q ( ( q ( (3 q Nepewość tadardowa typu : u ( x ( q ( q ( ( q q (4

2 PK /7 Nepewość et odchyleem tadardowym eperymetalym orygowaych oberwac prób taow etymatę średe całe populac. Teoretycze założea powyżze metody oblczeń ą atępuące: wy oberwac e ą orelowae (ą ezależe tatytycze o edaowe wadze dla rozładu prawdopodobeńtwa, tóry odwzorowue z zadaym pozomem totośc ch populacę, parametry x q, (q daą ę wyzaczyć taową oceę edoładośc. W oblczeach epewośc tadardowe u (x rozzerzoe U(x ależy też brać pod uwagę epewość ch wyzaczea. Przy próbce o ograczoe lczbe ezależych tatytycze oberwac pomarowych o rozładze ormalym wyorzytue ę rozład Studeta. W [] (tabela E. podao, że względa epewość wyzaczea u (x zależy w przyblżeu od, a węc wzrata zacze, awet do ludzeęcu %, przy małe lczbe. Warto tu podreślć, że poday w Przewodu GUM poób wyzaczaa parametrów epewośc u (x et pratycze tożamy ze toowaym wcześe dla pozorych błędów przypadowych. Jedye termologa et a. Z amego zboru wartośc oberwac pomarowych e moża bezpośredo, t. bez dodatowe albrac, wyelmować beżących wpływów oddzaływań tałych w dae er pomarów, lecz o ezaych wartoścach. Mogą być oe e w ażde z er oberwac pozywaych w pełym oree badań obetu oraz oree eploatac przyrządu, w tym wute zma waruów pomaru parametrów wewętrzych. Przy poaweu ę erozpozaego tredu awet w przyblżeu lowego, eżel e zatoue ę ego orec, to wartość średa z wyów oberwac będze obcążoa przeuęcem o ezae wartośc, a oberwace e będą opae proceem tacoarym (o parametrach tatytyczych tałych podcza zberaa oberwac. Wartość średa e ulege zmae edye dla ładowych ocylacyych o lczbe oreów w próbce będących welorotoścą oreu ΔT próbowaa rówomerego. Jeśl eda e ą oe wyelmowae, to powęzaą epewość u (x. W ażde z er oberwac pomarowych moża zdetyfować oddzaływaa ytematycze progreuące (tred perodycze, ale wymaga to zatoowaa odpowedego przetwarzaa ygałów lub procedur oblczeowych off le, tach a metoda regre, fltraca cyfrowa, przeztałcee FFT tp. Szerze zatoowae zaleceń Przewoda atrafa a ograczea w welu rodzaach pomarów toowaych w badaach, auowych techczych oraz w przemyśle eploatac. Nedotatem zaleceń Przewoda et mędzy ym e brae pod uwagę oleośc wzaeme zależośc oberwac (odczytów. Uemożlwa to wyzaczee epewośc welu pomarów, w tórych welość merzoą, zmay parametrów obetu merzoego toru pomarowego oraz welośc wpływaące trzeba modelować proceam tochatyczym tacoarym etacoarym ao opem ablżzym rzeczywtośc [5]. Pommo wprowadzea poęca epewość ao mary edoładośc pomarów, opy metrologczych właścwośc przyrządów przetworów adal w domuącym topu ależy operać a błędach graczych podtawowych, podawaych dla zamoowych waruów pracy oraz błędach graczych dodatowych dla dopuzczalych odchyleń parametrów, gdyż e moża przewdzeć wzytch ytuac, tóre mogą wytąpć przy toowau tych przyrządów w pratyce pomarowe. Iteące przepy metrologcze e adążaą za potrzebam praty pomarowe. Rozzerzee zareu toowaa poęca epewość wymaga rozwęca metod zawartych w Przewodu. Tae prace prowadz wele ośrodów a śwece, w tym we wpółpracy mędzyarodowe. W te publac omawa ę propozycę rozzerzea metody oblczeń epewośc typu a pomary o orelowaych oberwacach. Wyła oa z praty et dla e przezaczoa. Ilutrue ę ą przyładem lczbowym. Rozważa ę proce pomarowy w całośc, t. weśce - welość merzoa, wyśce wy pomarów. Przymue ę, że wartość rzeczywta welośc merzoe et dotępa a weścu toru pomarowego e wyodręba ę, a e loalzue meca wytępowaa wpływów od pozczególych oddzaływań załóceń oraz od zma parametrów wewętrzych. Ne rozważa ę też edoładośc pomarów powodowae eadewatoścą modelu obetu badaego. 3. Wpływ autoorelac pomędzy wartoścam wyów oberwac Wpółczea techa umożlwa wyoywae pomarów cyfrowych z rówomerą, tałą lub pratycze dowole atawaą czętoścą. by uzyać węzą lczbę pomarów w ograczoym czae badań lub rócć te cza awet celowo toue ę gętze próbowae. Tymczaem rezultaty lu ąedch oberwac mogą być pomędzy obą orelowae. Należy to prawdzć uwzględć w ozacowau edoładośc, tym bardze, że ą zawa loowe teywe przy małych czętotlwoścach, p. zum /f. W raowych europech trucach metrologczych przezaczoych do zeroego toowaa w pratyce [ 4] w podtawowych publacach o wyzaczau edoładośc pomarów, p. [5 7, M] e uwzględao dotychcza wpływu autoorelac pomędzy oberwacam pomarowym a epewość wyu pomaru załadaąc, że oberwace ą ezależe. Drug z autorów a welu emarach metrologczych od lat ygalzował taą oeczość oobom zamuącym ę epewoścą przepam metrologczym, ale pozotało to bez utu. Koeczość uwzględaa wpływu autoorelac w lczeu epewośc u zauważoo też w NIST (US. Już po przygotowau te pracy atrafoo a opracowywaą rówolegle publacę N. F. Zhaga [8] a te temat. Gdy ładowe determtycze ą pomale małe, bądź zotały wyelmowae przez popraw, załada ę, że przebeg moża w przyblżeu opać proceem tacoarym w oree zberaa oberwac prawdza ę ego rozład. Wyzacza ę atępe uormowaą fucę autoorelac ( [4, 5, M]. Dla cągu rówomere pozyaych oberwac q wartośc fuc opue wzór [M, M]: ( q q ( q q (5 ( q + gdze: lczba oreów próbowaa mędzy rówomere pobraym oberwacam pomarowym. Dla proceów tacoarych fuca et ymetrycza. Doładość e wyzaczea malee wraz ze wzrotem według [] e ależy przeraczać p. wartośc / Nepewość tadardowa orelowaych oberwac Nepewość tadardową prób orelowaych oberwac pomarowych q wyprowadza ę z warac D wartośc średe fuc lowe orelowaych zmeych loowych (8.5- z [M4]. D a + aq aa σ σ (6 Dla rówomere próbowaych oberwac w próbce przy a, a (edaowe wag odchylee tadardowe wzytch z ch et edaowe, t. σ σ σ, gdyż pochodzą z te ame populac geerale. W pratyce pomarowe oblcza ę etymatę tadardowego odchylea wartośc średe populac a

3 PK /7 podtawe wyów oberwac z prób przy zamae σ a (q według ( (3. Odchylee tadardowe średe wyo: ( q ( q ( x ( q + ( + D (7 gdze: ( D ; - odległość pomędzy oberwacam. Z porówaa (7 (4 wya: ( x ( q D GUM + (8 Stadardowe odchylee wartośc średe orelowaych oberwac et węze od wartośc oblczoe wg GUM + D razy. Końcową część (7 moża ezcze dale przeztałcć otrzymuąc potać podobą do (4: ( q ( ( q x + D gdze: - lczba oberwac eorelowaych rówoważych lczbe oberwac orelowaych o uormowae fu- + D c autoorelac. Z (7 (9 wyaą zapae łącze potace owego uogóloego wzoru a epewość tadardową typu u ( x ( x przy orelowaych oberwacach q : u ( q ( x + ( ( + D gdze: D ( ( q ( q + D (9 ( - czło uwzględaący orelacę wyów oberwac. Wzór te M. Dorożowec przedtawł po raz perwzy a Mędzyarodowym Semarum Metrologów w Poltechce Rzezowe w 6 r. Jeżel wy oberwac ą le orelowae ( to z (: ( D ( Wówcza:. Jeżel wy oberwac e ą orelowae (, wówcza: ( D ( Stąd:. Otrzymue ę wzór ta, a poday w []. Efetywa lczba top wobody przy orelowaych wyach oberwac: ν (3 + ( Dale potępue ę a dotychcza według zaleceń GUM. W pratyce za eorelowae moża tratować oberwace pozywae z badaa ygału loowego, gdy mmaly ore ΔT pomędzy próbam et węzy od połowy zatępcze zeroośc fuc autoorelac (zeroośc protoąta o wyoośc polu tam a pod tą rzywą. Dla rótzych oreów ależy orzytać z powyżzych wzorów, pełezych ż podae w [], uwzględaących autoorelacę. W tym celu oecza et zaomość czau pozyaa ażde oberwac, lczoego względem początu cylu pomarowego lub e oleego umeru przy rówomerym próbowau. Do wyzaczea przebegu ygału eograczoego czaowo o czętotlwoścowym paśme zeroośc: B, zgode ze zaym waruem Nyquta potrzeba mmum dwa pomary w trace oreu o awyżze czętotlwośc. Zaś maymala lczba ezależych tatytycze oberwac dla całowtego czau T rówomerego poberaa wzytch próbe wyo: B T max (4 e zwęzy ę przy wyżze czętotlwośc próbowaa. Przebeg poobu potępowaa prowadzącego do wyzaczea lutrue przyład. 3.. Przyład oblczea epewośc typu przy orelowaych oberwacach Woltomerzem cyfrowym o 4,5 zaach odczytu zmerzoo apęce a wyścu pewego badaego uładu próbuąc e w regularych odtępach czau. Uzyao próbę w potac er wyów oberwac v o atępuących wartoścach w [V]: Należy wyzaczyć alepzą wartość wyu pomaru średego apęca te er oberwac oraz oceę edoładośc wyu w potac średego odchylea tadardowego. Rozwązae:. Uuęce tredu Na ry.a przedtawoo urowe wartośc oberwac ν w oleośc ch pozyaa. Wdać tedecę zmezaa ę wraz z czaem (wzrotem umeru oberwac prób. Są oe obarczoe tredem. Sporządzoo też poday a ry. a htogram urowych wyów oberwac zawartych w próbce. Na o x odłożoo olee umery przedzałów wartośc oberwac (,... 8, a a o y czętość empryczą w / (gdze: - lczba pomarów

4 PK /7 3 w przedzale, lczba wzytch pomarów. Szeroość przedzałów wyzacza ę z zależośc: max( v m( v,79,44 h,835 m 8 gdze: m8 lczba przedzałów. B. Sprawdzee zgodośc z rozładem ormalym Sprawdzee wyoao przy wyorzytau ryterum χ [M-M4]. Wartość χ wyzacza ę ze wzoru: P ( w p χ (5 p a.4 v tred gdze: p - prawdopodobeńtwo dla przedzału według rozładu ormalego. Wyzaczoa z (5 wartość χ wyo: χ 8 ( w p p 4, b.3.. q wartość średa Ry.. Fg.. Ry.. Fg.. Zbór oleo otrzymaych wartośc oberwac pomarowych badaego apęca: a - wy urowe z tredem, b - po uuęcu tredu lowego Set of the uccevely obtaed meauremet obervato of teted voltage: a - rough reult, b - after tred elmato w a b.4 w, p.3.. p Htogramy prób: a urowych wyów z ry a, b po uuęcu tredu z ry a. Htogram of the ample: a of rough reult gve o fg a, b after tred elmato Otrzymao ztałt htogramu odbegaący od rozładu ormalego. Róweż fuca autoorelac tych oberwac oblczoa według (5 podaa dale w teśce a ry. 3a wyazue tee tredu. Stouąc powzeche zaą metodę amezych wadratów, opaą p. w [M], wyzaczoo lowe rówae tredu. Przymuąc ego wartość rówą zeru dla środa prób touąc zależość q v,7 ( 6 otrzymao orygowae wartośc oberwac, tóre przedtawoo a ry. b. Należy wyzaczyć dla ch alepze ocey wyu pomaru marę ch rozprozea. Sporządzoo owy htogram poday a ry. b. Jego ztałt et podoby do rozładu ormalego. Ne wdać też, by w oberwacach wytępowały ładowe perodycze. Ich wyrywau elmac pośwęc ę ą publacę. Przyęto wymagay pozom zgodośc α,5. Ozacza o, że rozbeżość pomędzy wyam oberwac, a założoym rozładem e powa przeroczyć 5%. Z tablcy rozładu χ 5,,5 χ v,α [M] uzyue ę wartość dla lczby top wobody v m 5 (perwzy de oraz wymagaego pozomu α (drug de. Wartośc oberwac po uuęcu wpływu tredu lowego podlegaą ormalemu rozładow prawdopodobeńtwa, gdyż pełoy et warue: χ 4,888 < χ 5,,5, Ne ma podtaw by odrzucć hpotezę o ormalym rozładze wartośc oberwac rozład te ależy przyąć do dalzych rozważań. Natomat htogram urowych rezultatów oberwac z ry. a e peła tego ryterum, gdyż otrzymue ę: χ 34,36 > χ 5,,5, Nalepzą oceą wyów pomaru o rozładze ormalym et wartość średa. Należy ą ozacować wraz z e epewoścą tadardową. Z tych dwu parametrów wyzacza ę e mary edoładośc, w tym epewość rozzerzoą bezwzględą względą. C. Wyzaczee efetywe lczby oberwac ocey doładośc wyu orelowaych pomarów. Wartość średa prób wyo: v q v,7 Po elmac tredu wartość średa prób może uż być obcążoa tylo tałym przeuęcem, poeważ ego wartość a początu oberwac e et zaa. Moża to edye orygować poprzez odpowed pomar albruący. Stadardowe odchylee prób: ( q ( q q,64. 3 Wartośc uormowae fuc autoorelac wyzacza ę ze wzoru (5 [M, M].Poługuąc ę oprogramowaem Mathcad oblczoo wartośc przedtawoo a ry. 3a b. Wartośc lczoe dla dodatch uemych odległośc ą tae ame. Doładość ch wyzaczaa dla dużych et mała ezbęde et gętze próbowae oraz dłużze ere pomarowe ż a ry. a.

5 4 PK /7 W przyładze tym otrzymue ę wartośc, tóre przy małych zmezaą ę wraz ze wzrotem. Jet to cecha charaterytycza fuc autoorelac proceów loowych, p. opuących zumy. Dla lu arótzych odległośc pomędzy próbam, t.,,, m8<< wartośc lczoe z doładoścą do czwartego meca po przecu wyozą: ;,7757;,46;,934;,869;,478;,353;,59;, Ry. 3. Fg. 3. Uormowaa fuca autoorelac oberwac połowy prób badaego apęca: a dla wyów urowych, b - po uuęcu lowego tredu Normalzed autocorrelato fucto of obervato of the half teted voltage ample: a - of freh obervato reult, b - after excludg the lear tred Przy orelowaych wyach oberwac lczba top wobody wyo zaledwe 8. Uwzględa ę ą przy wyzaczau epewośc wyów pomaru wg rozładu Studeta. 4. Wo. Przy ograczoym czae zberaa oberwac, toowae w pratyce poobu zmezea edoładośc pomarów polegaącego a zwęzau lczośc prób przez wzrot czętośc próbowaa może być zawode.. W celu uęca omyłe przy wyzaczeu wartośc epewośc u (x ależy aperw upewć ę, czy wy oberwac e maą ładowe ytematycze progreuące perodycze czy e ą orelowae. Z otrzymaych wyów oberwac ależy wyelmować tae ładowe ozacować fucę autoorelac tych wyów. Korelaca ezbyt odległych od ebe oberwac powodue tote zwęzee epewośc wyu pomaru, gdyż zmeza ę lczba ezależych pomarów to ą trzeba uwzględać przy zacowau epewośc tadardowe. Wzory dla epewośc typu obemuące ta przypade, podao w treśc wraz z przyładem. 3. Iteące programy omputerowe do oblczaa epewośc typu powy być uzupełoe przez poprzedzee ch algorytmam łużącym detyfac elmac z urowych wyów oberwac ch ładowych progreuących perodyczych oraz algorytmam do wyzaczaa fuc autoorelac. Należy też zmodyfować toowae wzory, ta, aby uwzględać w ch efetywą lczbę oberwac. 5. Lteratura 4 Czło uwzględaący orelacę mędzy oberwacam wyo: [] Gude to the Expreo of Ucertaty Meauremet, ISO 99, reved ad corrected 995 [] Wyrażae Nepewośc Pomaru. Przewod. Tłum. ometarz J. D ( 3,8 Jaworego, Wydawctwo Główego Urzędu Mar, lfavero, Warzawa 5 Ewwaleta lczba eorelowaych oberwac wyo: [3] Iteratoal Vocabulary of Bac ad Geeral Term I Metrology. d ed. ISO 993, wyd. pole według tłumaczea J. Dudzewcza, Główy Urząd Mar, Warzawa [4] Gude to the Expreo of Ucertaty Meauremet, Supplemet + D + 3,75. Numercal Method for the Propagato of Dtrbuto proet doumetu Mędzyarodowego Bura Mar Ta węc podae w przyładze próbce zaweraące [5] Potrow J. Kotyro K.: Wzorcowae paratury Pomarowe, orelowaych oberwac et rówoważa próba o średe Wydawctwo Nauowe PWN Warzawa lczbe tylo 9 eorelowaych oberwac! [6] Sub T.: Podtawy metrologcze ocey wyów pomaru. Wyd. Poltech Śląe Glwce 4 6 Stadardowa epewość wartośc średe apęca wyo [7] Rabovch S.G.: Meauremet Error ad Ucertate Theory ad Practce 3th ed. Sprger 5 ( q ( q,636 [8] Ne Fa Zhag: Calculato of the ucertaty of the mea of u ( v,49 9 autocorrelated meauremet. Metrologa 43 ( Jeżel e uwzględać orelac pomędzy wyam oberwac to tadardowa epewość wyu pomaru według zaleceń GUM byłaby atępuąca: u ( q ( q,4. Ta ocea et zbyt optymtycza, t. ooło razy meza ż przy uwzględeu autoorelac. 8 Lczba top wobody: v 9 8. Uzupełaąca lteratura matematycza [M] Tylor J.R.: Wtęp do aalzy błędu pomarowego. Wydawctwo Nauowe PWN, Warzawa 995 (tłum. orygału ag.: Itroducto to error aaly. The tudy of ucertate phycal meauremet Oxford Uverty Pre Calfora 98 [M] Kor G.., Kor T.M.: Mathematcal Hadboo for Scett ad Egeer McGraw-Hll, Co. N. Yor Sa Fracco 968 (tłum. pol.: Matematya dla pracowów auowych żyerów. PWN Warzawa 983 rtyuł recezoway