STATYSTYKA OPISOWA. Statystyka. Losowanie (pomiar)

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "STATYSTYKA OPISOWA. Statystyka. Losowanie (pomiar)"

Seweryna Jankowska
4 lat temu
Przeglądów:

1 STATYSTYKA OPISOWA Statytyka Statytyka opowa Statytyka matematycza Loowae (pomar) Popuacja geeraa (rezutaty potecjaych pomarów) Próbka (rezutaty pomarów) Statytyka opowa zajmuje ę wtępym opracowaem wyków pomarów (próbk) bez poługwaa ę rachukem prawdopodobeńtwa. Ne wycągamy woków dotyczących popuacj geeraej. Nech x, x, x 3,...x będze próbką -eemetową. czość (czebość). Parametry obczoe z próbk będą daej azywae tatytykam.. Grafcze przedtawee próbk: zereg rozdzeczy, htogram, łamaa czętośc Roztęp R=x max -x m Kay Da próbek o dużej czebośc (>3) eemety próbk grupuje ę w kaach, tj. przedzałach o rówej ub erówej długośc. Nech k ozacza ość ka. Ie ka k przyjąć da daej próbk? Moża ę kerować atępującym oretacyjym regułam: k5 g() ub k=+3.3 8g() ub k= Zatem, gdy =, to k= 6, gdy =, to k=6 8 Długość kay br/k Nech czość -tej kay, a x środek -tej kay. Wtedy pary czb ( x, ) azywamy zeregem rozdzeczym. Grafcze przedtawee zeregu rozdzeczego azywa ę htogramem. Na o pozomej htogramu środk ka ub grace pozczegóych ka, a o poowej htogramu czośc ka, czętośc (frekwecje) w = /, ub v =w /b. Łącząc pukty o wpółrzędych x b,, x, x k b, otrzymujemy tzw. łamaą czętośc. da =,...,k, v. Statytyk okacj rozkładu Średa arytmetycza x czb x, x, x 3,...x okreśoa jet wzorem x x Charakterytycza właość średej arytmetyczej: uma wzytkch odchyeń jet rówa zero; x x.

2 Średa geometrycza g czb dodatch okreśoa jet wzorem g x Średa harmocza h, różych od zera czb x, x, x 3,...x,, azywamy odwrotość średej arytmetyczej odwrotośc tych czb h x Medaa (wartość środkowa) m e środkowa czbę w uporządkowaej emaejąco próbce (da próbk o czośc eparzytej) ub średą arytmetyczą dwóch czb środkowych (da próbk o czośc parzytej). Wartoścą modaą (modą, domatą) m próbk o powtarzających ę wartoścach azywamy ajczęścej powtarzającą ę wartość, o e teje, e będącą x m a x max. Jeże w zeregu rozdzeczym ajczejze ą obe kay kraje, to zereg rozdzeczy azywamy atymodaym typu U, a środek ajmej czej kay atymodą. Gdy ajczejza jet jeda z ka krajych, to zereg rozdzeczy azywamy atymodaym typu J. Rozkład dwumoday gdy wytępują dwe jedakowo cze ajczejze kay e będące krajym. Rozkład jedomoday, dwuwerzchołkowy wytępują dwe ajczejze kay, ae e ą jedakowo cze e ą krajym. Kwaty rzędu q (<q<) taka wartość x q, przed którą (tz.da xx q ) zajduje ę q % eemetów próbk. Gdy q=.5,.5,.75, to take kwatye azywamy kwartyam. Gdy q=.5 mówmy o kwartyu doym, gdy q=.75 mówmy o kwartyu górym. Kwarty q=.5 jet medaą. 3. Statyk rozprozea (rozrzutu, rozaa) rozkładu Roztęp R; średa arytmetycza kwadratów odchyeń pozczegóych wartośc x od średej aryt- Waracja metyczej x Odchyee tadardowe x x Odchyee przecęte d od wartośc średej średa arytmetycza wartośc bezwzgędych odchyeń pozczegóych wartośc x od średej arytmetyczej d x x Odchyee przecęte d od meday średa arytmetycza wartośc bezwzgędych odchyeń pozczegóych wartośc x od meday m e d x m e. Statytyk kztałtu rozkładu Mometem zwykłym m rzędu próbk x, x, x 3,...x azywamy średą arytmetyczą -tych potęg wartośc x m x Zauważmy, że m = x Mometem cetraym M rzędu próbk x, x, x 3,...x azywamy średą arytmetyczą -tych potęg odchyeń wartośc x od średej arytmetyczej x próbk

3 Zauważmy, że M =, M =. Wpółczyk aymetr (kośośc) g M x x M 3 g 3 gdze jet odchyeem tadardowym. Da rozkładu ormaego g =. Gdy rozkład ma dług ogo da wartośc wękzych od wartośc średej, to g >, gdy ogo wytępuje po troe wartośc mejzej ż średa, to g <. Wpółczyk kocetracj (kupea), kurtoza K M K gdze jet odchyeem tadardowym. Kurtoza ma wartość 3 da rozkładu ormaego. Gdy K>3, to rozkład jet bardzej kupoy ( zpczaty ) ż rozkład ormay, gdy K<3, to rozkład jet bardzej płazczoy ż rozkład ormay. Wpółczyk płazczea, ekce g Da rozkładu ormaego g =. Wpółczyk zmeośc gdze jet odchyeem tadardowym. g =K-3 % x Wpółczyk erówomerośc H d H % x gdze d jet odchyeem przecętym od średej arytmetyczej. 5. Grafcze przedtawee próbk: prawdopodobeńtwo kumuowae, wykre ramkowy Zakładamy, że prawdopodobeńtwo uzyka każdego eemetu próbk eemetowej jet rówe /. Uporządkujmy próbkę według wartośc roących. Prawdopodobeńtwem kumuowaym (dytrybuatą empryczą) p(x) da daego x azywamy prawdopodobeńtwo otrzymaa wartośc mejzej ub rówej x: p(x)=p(x x) w próbce uporządkowaej. Jedym z weu poobów grafczej prezetacj próbk jet wykre ramkowy, potocze azyway pudełkem z wąam (ag. box-ad-whker pot), zapropooway w 977 roku przez J.Tukey a. Ryujemy ajperw protokąt, którego doy bok jet kwartyem doym, a góry bok kwartyem górym. Pozoma a dzeąca protokąt to medaa. Wąy powtają z połączea powtałego pudełka z krótkm am pozomym, aryowaym da kwatya q=.95 (góry wą) kwatya.5 (wą doy). Na ryuku zazaczyć moża także e wartośc kwaty (p...99), jak e tatytyk próbk, p. wartość średą, ektremae wartośc w próbce, tp. PRZYKŁAD: Próbka. eemetowa utworzoa za pomocą geeratora czb oowych, z rozkładu ogormaego LND(,.) (Program MATHEMATICA)

4 =, x m =.369, x max =53.63, R= x Ry.. Htogram próbk. Zazaczoo grace ka (a o x) ość eemetów w kae (a o y) Statytyk okacj rozkładu: średa arytmetycza x =55.7 średa geometrycza g = średa harmocza h =6.56 medaa m e =9.59 modabrak Statytyk rozprozea: waracja =65.69 odchyee tadardowe =.83 odchyee przecęte od x d =8.9 odchyee przecęte od m e d =.5955 Statytyk kztałtu: momet cetray =3 M 3 =53 momet cetray = M = wpółczyk aymetr g =.6537 kurtoza K=7.639 ekce g =.639 wpółczyk zmeośc =.9 % wpółczyk erówomerośc H=33. % 8 6 p x Ry.. Wykre kumuowaego prawdopodobeńtwa p (x ) [wyrażoego w %] tego, że zajdzemy w próbce wartość x

5 Kwatye: kwaty rzędu..369 kwaty rzędu kwaty rzędu kwaty rzędu kwaty rzędu kwaty rzędu kwaty rzędu x % 5% 75% 5% 5% - A Ry. 3. Wykre ramkowy: wartość średa (kółko z pozomą kreką), wartośc ektremae (pozome krek), kwartye (pudełko), kwatye.5.95 (wąy), kwatye..99 (krzyżyk) Lteratura: W.Kryck, Rachuek prawdopodobeńtwa tatytyka matematycza w zadaach, część II: Statytyka matematycza, PWN, Warzawa 995 J.Tukey, Expaatory Data Aay. Readg, MA:Addo-Weey, 977 Erc Wete Word of Mathematc, 5

Podobne dokumenty

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2