Andrzej Wyszkowski. GRAFIKA KOMPUTEROWA W ANALIZIE LINIOWYCH UKŁADÓW REGULACJI Zastosowania programu Mathcad

Transkrypt

1 Andrzej Wyszkowski GRAFIKA KOMPUTEROWA W ANALIZIE LINIOWYCH UKŁADÓW REGULACJI Zasosowania programu Mahcad

2

3 Andrzej Wyszkowski GRAFIKA KOMPUTEROWA W ANALIZIE LINIOWYCH UKŁADÓW REGULACJI Zasosowania programu Mahcad Szczecin 07

4 Książka opracowana na podsawie maeriałów dydakycznych, kóre w laach auor wykorzysywał w prowadzeniu wykładów i ćwiczeń laboraoryjnych dla sudenów kierunków nieelekrycznych na Wydziale Techniki Morskiej i Transporu w Zachodniopomorskim Uniwersyecie Technologicznym w Szczecinie. We wprowadzeniu książki przedsawiono podsawy użykowania programu Mahcad w zakresie niezbędnym do worzenia wyrażeń maemaycznych oraz wykorzysywania ich w analizie i wizualizacji procesów serowania liniowych układów regulacji auomaycznej. W pierwszej części rozdziału pierwszego zaprezenowano zależności i wzory opisujące charakerysyki podsawowych obieków auomayki: inercyjnego pierwszego rzędu, inercyjnego drugiego rzędu, obieku całkującego, obieku różniczkującego. W drugiej części rozdziału pierwszego omówiono zagadnienia modelowania różnych warianów klasycznych regulaorów proporcjonalno-całkująco-różniczkujących PID. W rozdziale drugim auor przedsawia zasady doboru ypu regulaora do serowania pracą inercyjnego lub całkującego obieku auomayki wraz z badaniem sabilności ych układów regulacji. Ponado w rozdziale ym zaprezenowano zasosowanie dodakowej koreky sygnału serującego jako sposób zmniejszenia warości przeregulowania sygnału wyjściowego w układzie regulacji auomaycznej. Osani, rzeci rozdział doyczy zagadnień kompensacji wpływu zakłóceń na pracę układów regulacji z obiekami inercyjnymi pierwszego rzędu, kóre są serowane przez regulaory proporcjonalno całkujące PI lub regulaory proporcjonalno różniczkujące PD, a akże kompensacji wpływu zakłóceń na pracę układu regulacji z obiekem inercyjnym rzeciego rzędu, kóry jes serowany przez regulaor proporcjonalno-całkująco-różniczkujący PID. Ogół zagadnień oceny efekywności kompensacji wpływu zakłóceń na pracę liniowego układu regulacji auomaycznej uzupełniono analizą kompensacji zakłóceń działających na rzeczywisy obiek całkujący, kóry jes serowany przez regulaor proporcjonalno całkujący PI. Przedsawione przykłady analizy właściwości liniowych obieków auomayki i regulaorów oraz charakerysyki pracy wybranych liniowych układów regulacji auomaycznej zilusrowano rójwymiarowymi wykresami, kóre sworzono w programie Mahcad-4. Recenzenci: prof. dr hab. inż. Jan Purczyński dr hab. inż. Andrzej Banaszek Koreka: Bernadea Lekacz Copyrigh by Andrzej Wyszkowski Copyrigh by Uniwersye Szczeciński, Szczecin 07 ISBN WYDAWNICTWO NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO Wydanie I. Ark. wyd.,5.

5 Spis reści Przedmowa Wprowadzenie Podsawy użykowania programu Mahcad Tworzenie wyrażeń Wykonywanie obliczeń.. 7. Badanie maemaycznych modeli obieków auomayki Wprowadzenie Podsawowe zależności i wzory...3. Charakerysyki obieku inercyjnego pierwszego rzędu..4. Charakerysyki obieku drugiego rzędu Doświadczalne wyznaczanie sałych czasowych obieku inercyjnego drugiego rzędu Charakerysyki obieku całkującego Charakerysyki obieku różniczkującego Modelowanie regulaora PID Charakerysyki czasowe regulaora PID-IND z idealnym algorymem PID Charakerysyki częsoliwościowe regulaora PID-IND z rzeczywisym różniczkowaniem Charakerysyki ampliudowo-fazowe regulaorów PID-IND Charakerysyki ampliudowo-fazowe regulaora PID-IND zróżniczkowaniem rzeczywisym Charakerysyki ampliudowo-fazowe regulaora PI Charakerysyki ampliudowo-fazowe regulaora PD 89. Badanie maemaycznych modeli liniowych układów regulacji. 9.. Wprowadzenie 9.. Charakerysyka liniowych obieków i układów regulacji Prakyczne zasady wyboru ypu regulaora dla liniowych układów regulacji Analiza układu auomaycznie regulującego obiek inercyjny Analiza układu auomaycznie regulującego obiek całkujący rzeczywisy Badanie sabilności układu auomaycznie regulującego obiek inercyjny Badanie sabilności układu auomaycznie regulującego obiek całkujący rzeczywisy modelowany jako szeregowe połączenie z dwoma obiekami inercyjnymi pierwszego rzędu Układ regulacji z dodakową korekcją sygnału serującego. 3. Kompensacja zakłóceń przez układ regulacji Wprowadzenie Analiza kompensacji zakłóceń obieku inercyjnego pierwszego rzędu serowanego regulaorem proporcjonalno-całkującym PI Analiza kompensacji zakłóceń obieku inercyjnego pierwszego rzędu serowanego regulaorem proporcjonalno-różniczkującym PD Analiza kompensacji zakłóceń obieku inercyjnego rzeciego rzędu serowanego regulaorem PID Analiza kompensacji zakłóceń rzeczywisego obieku całkującego serowanego regulaorem PI. 47 Zakończenie Lieraura Informacja o auorze... 5 ``` 3

6 Przedmowa Książka jes monografią, kóra przedsawia zagadnienia wizualizacji procesów serowania w klasycznych układach auomaycznej regulacji za pomocą grafiki i wykresów generowanych przez program kompuerowy. Przedsawione w ej książce zbiory wykresów uworzone w programie kompuerowym Mahcad-4 (wersja akademicka charakeryzują właściwości dynamiczne wybranych modeli liniowych obieków i układów regulacji. Celem książki jes prezenacja możliwości programu kompuerowego Mahcad w zasosowaniu do analizy wybranych procesów regulacji jako sposobu wspomagania pracy sudena, inżyniera i naukowca. Program Mahcad zawiera zesaw procedur graficznych, kóre generują wykresy np. funkcji jednej i dwu zmiennych w układzie karezjańskim lub biegunowym, wykresy powierzchniowe i warswicowe, rójwymiarowe. Zmiana właściwości wykresów dokonywana jes przez wywoływanie poleceń, operaorów lub funkcji. Przyjazne użykownikowi środowisko pracy programu Mahcad pozwala swobodnie określać wymiary wykresów, zakres obliczeń, auomaycznie lub ręcznie skalować wykresy, wybierać liniowe lub logarymiczne podziałki osi wykresów. Pola dialogowe menu użykownika programu pozwalają na sprawne edyorskie opracowywanie dokumenów, np. nazywanie osi wykresu, dodawanie yułu wykresu, wybieranie rodzaju oraz grubości i kolorów linii wykresu. W przypadku opracowywania wykresów rójwymiarowych można dodakowo dowolnie określać i zmieniać położenie punku obserwacji albo perspekywę wykreślanej powierzchni lub jej przeźroczysość. Zmiany i koreky właściwości wykresu powierzchniowego doyczące: ułożenia segmenów worzących powierzchnię, umieszczania linii warswicowych lub kolorowego cieniowania elemenów powierzchni pozwalają na opymalne dososowanie graficznej posaci obliczeń do wymaganych porzeb. Auor uznaje, że Czyelnik, opracowując własne analizy procesów, będzie miał dosęp do kompuera z zainsalowanym programem Mahcad. Program en jes narzędziem, kóre współpracuje z wzorami, liczbami, eksem i wykresami. Sysem pomocy ego programu lub podręcznik użykownika w drukowanej posaci dla sarszej wersji programu Mahcad przedsawia zasady działania programu i umożliwia prakyczne sosowanie ego naukowego i inżynierskiego narzędzia pracy, dlaego ylko niekóre właściwości programu Mahcad szczególnie isone dla warunków analizy procesów regulacji są dokładnie opisywane. Podsawową zasadą redakcyjnego opracowania zbioru wybranych przykładów i zamiarem auora monografii emaycznej było bezpośrednie przedsawienie zapisów edyora programu, ak by Czyelnik po samodzielnym wprowadzeniu odpowiedniego fragmenu zapisu do pliku roboczego programu mógł powórzyć obliczenia. Książka dedykowana jes dla sudenów, inżynierów i pracowników naukowych kierunków nieelekrycznych, poznających zagadnienia serowania w liniowych układach regulacji auomaycznej. ``` 4

7 Wprowadzenie Przedsawione przykłady obliczeń zosały wykonane w dziedzinie czasu lub częsoliwości. Graficzne zobrazowania ych obliczeń mogą być podsawą i wzorem do analizowania procesów zachodzących w różnych dziedzinach echniki, a nie ylko podsaw regulacji i serowania. Treść książki jes zesawiona zgodnie z logiczną kolejnością zdarzeń zachodzących w procesie projekowania układu regulacji. Na począku dokonywana jes idenyfikacja obieku serowania i worzony jes eoreyczny model ego obieku, nasępnie worzona jes koncepcja regulaora i układu regulacji, później analizowane są właściwości dynamiczne układu serowania oraz skueczność łumienia oddziaływań czynników zakłócających pracę układu regulacji. Oznaczenia i symbole sosowane w ej książce są powszechnie akcepowane i sosowane w częsoliwościowej analizie sygnałów. Auor zakłada, że Czyelnik zna eoreyczne podsawy rachunku zespolonego, operaorowego, częsoliwościowej analizy sygnałów i przekszałcenie Laplace a sosowane w celu wyznaczenia ransmiancji jako sosunku ransformay Laplace a sygnału wyjściowego do ransformay Laplace a sygnału wejściowego w obiekcie lub układzie regulacji. Transmiancja umożliwia wyznaczenie sygnału wyjściowego jako odpowiedzi układu na oddziaływanie określonego sygnału wejściowego. W złożonych układach jes o szczególnie isone zagadnienie, albowiem zamias układania i rozwiązywania skomplikowanego równania lub układów równań różniczkowych łączy się ransmiancje elemenów składowych według prosych zasad i orzymuje ransmiancję całego układu, kórą można wykorzysać do analizy i projekowania układów liniowych. Forma i redakcyjne opracowanie eksu książki dososowane są do prezenacji wyników analiz wybranych procesów zachodzących w obiekach i układach regulacji, akże pomaga począkującym użykownikom programu Mahcad poznać graficzne możliwości ego programu. Wszyskie zapisy przykładów ukazane w oknie programu Mahcad, niezbędne do przeprowadzenia obliczeń i przedsawienia ich w posaci wykresów, wykonane są czcionką ypu Times New Roman. Zaprezenowane obok przykłady wprowadzania poleceń do roboczego okna dokumenu przedsawione są czcionką ypu Arial i poprzedzone komendą Wpisz. Obsługa okna dokumenu programu Mahcad realizowana jes zgodnie z zasadami sysemu Windows.. Podsawy użykowania programu Mahcad Wyrażenia maemayczne należy wprowadzać do roboczego okna zgodnie z maemayczną noacją, ale jeżeli isnieje zwykły maemayczny sposób na przedsawienie wyrażenia, równania, funkcji id., o program wykona o polecenie. Program używa sandardowych klawiszy klawiaury do wprowadzania wyrażeń. Wspomaga pracę użykownika za pomocą wielu użyecznych pale zawierających używane operaory i symbole. Czarne kwadraciki pojawiające się w wywołanych wyrażeniach wskazują na czynności konieczne do wykonania. Części wyrażeń podświelone czerwonym kolorem sygnalizują błędy, a akże niemożliwe do zinerpreowania lub wykonania czynności. Wyjąkiem od ej reguły jes czerwony krzyżyk kursora programu. Wszyskie napisy pojawiają się na prawo i pod ym krzyżykiem. Nazwy klawiszy funkcyjnych i innych klawiszy specjalnych zamknięe są w nawiasach kwadraowych, np. kierunkowe klawisze kursora [ ],[ ],[ ],[ ]. Wszyskie wciśnięcia lewego przycisku myszy w miejscach wskazanych przez wskaźnik edyora Windows (srzałka odnoszą się do kursora programu (krzyżyk. ``` 5

8 Wciśnięcie przycisku myszy, kiedy wskaźnik edyora nie wskazuje żadnego regionu lub klawisza, rozpoczyna proces wykonywania obliczeń, wyświela wyniki obliczeń lub akualizuje wykresy. Program czya i analizuje dokumeny od góry do dołu od srony lewej do prawej. Dlaego wprowadzanie kolejnych wyrażeń, definicji lub poleceń wykonania wykresów można dokonywać wszędzie poniżej i na prawo od wcześniej wprowadzonego wyrażenia. Teks komenarza, noaki lub opis można wprowadzić do dokumenu obliczeniowego, worząc w miejscu wskazanym przez kursor programu (krzyżyk region eksowy za pomocą polecenia Tex Region z menu Inser. W regionie eksowym kursor programu ooczony jes polem eksu i zmienia się w znacznik wsawiania (pionowa kreska. W regionie obliczeń kursor programu jes punkem wsawiania (krzyżyk lub polem wyboru ze znacznikiem obsługiwanym za pomocą klawiszy kursora lub myszki. Program pozwala wprowadzać równania i eksy w dowolnym miejscu dokumenu. Należy pamięać, że każde wyrażenie, równanie, eks lub wykres o prosokąny region. Regiony w wersji Mahcad-4 są białe i widoczne na szarym le. W procesie obliczeń pole eksowe jes pomijane. Orzymanie czyelnego wydruku dokumenu wymaga oddzielnego umieszczenia regionów. Wciśnięcie klawisza [F]przywołuje sysem bezpośredniej pomocy.. Tworzenie wyrażeń Edyor równań programu Mahcad działa podobnie jak ypowy edyor eksu, jednakże składając auomaycznie różne części wyrażenia wprowadzane przez użykownika za pośrednicwem naciśnięć przycisku myszy lub odpowiednich klawiszy klawiaury, sosuje reguły hierarchicznego podporządkowania i zasad upraszczających wprowadzanie ułamków, wykładników, pierwiasków, indeksów wyrażeń. Edyor programu pomaga budować wyrażenia maemayczne, a nie jak w programie ypu Word ylko wpisuje je do dokumenu. Edyor programu Mahcad sosuje operaory lepkie w działaniach ypu dzielenie, pierwiaskowanie, poęgowanie całkowanie i w innych operaorach ypu Calculus. Zasada działania ych operaorów oznacza, że wszysko, co jes wprowadzane do kóregokolwiek z nich, jes i będzie jego częścią aż do celowego przemieszczenia znacznika wsawiania w inne miejsce, zn. aż do naciśnięcia przycisku myszy, kiedy kursor programu znajduje się poza regionem wyrażenia lub wskazuje inny operaor albo inne miejsce wsawiania, np. czarny kwadracik. Isonym czynnikiem wpływającym na komfor pracy i efekywność wprowadzania lub poprawiania równań jes rozmiar wskaźnika wyboru w polu obliczeń. Ma on posać pionowej kreski, kóra może przemieszczać między znakami pisarskimi nazwy wyrażenia lub operaora, dososowując długość swojej sopki do długości nazwy wyrażenia lub operaora. W sarszych wersjach programu ważnym i użyecznym pojęciem do poznania zasad działania edyora równań programu Mahcad lub porzeb wprowadzania zmian w wyrażeniach był operaor zasadniczy. Nowsze wersje programu nie posiadają ej właściwości, co sprawia, że wykonanie koreky bardzo częso wymaga skasowania dużego fragmenu wyrażenia. Operaorem zasadniczym wyrażenia maemaycznego jes en operaor, kóry odnosi się do wszyskich czynników. W przykładzie wyrażenia: (4 5 (7 operaorem zasadniczym jes operaor mnożenia, ponieważ nie można zmienić niczego, co nie wpłynęłoby na wynik mnożenia. ``` 6

9 Operaor sumy ( nie jes operaorem zasadniczym. Można zmieniać liczby i operaor różnicy ( w drugim nawiasie wyrażenia, nie wywołując zmiany warości sumy pierwszego nawiasu. Analogicznie operaor różnicy ( w drugim nawiasie przedsawianego przykładu również nie jes operaorem zasadniczym, ponieważ można zmieniać liczby i operaor ( w pierwszym nawiasie wyrażenia, nie wywołując zmiany warości różnicy drugiego nawiasu. Prosym sposobem wsawiania operaorów jes użycie odpowiednich klawiszy klawiaury w miejscu usawionego wskaźnika wyboru lub posłużenie się myszą i paleą z graficznymi znakami operaorów. Usuwanie części lub całości wyrażenia można wykonać, nie sosując wielokronego naciskania klawisza [Del] lub [BkSp]. Najpierw zaznaczamy obszar przeznaczony do usunięcia, nasępnie używamy komendy Cu (wynij. Zaznaczenie obszaru do usunięcia wykonujemy poprzez wciśnięcie i rzymanie przycisku myszy w jednym z wierzchołków prosokąa pola wyboru. Nasępnie nie puszczając przycisku, przesuwamy mysz ak, by w polu wyboru znalazły się wszyskie elemeny, kóre chcemy usunąć. 3. Wykonywanie obliczeń Proces przygoowania równania i wykonania obliczeń rozpoczyna definiowanie zmiennych i określenie ich przedziałów. Program usala krok obliczeń na podsawie warości pierwszej i drugiej liczby wpisanej do przedziału zmiennej, np. ω,..0. Krok obliczeń jes różnicą warości drugiej i pierwszej liczby z przedziału zmiennej. Dla przedsawionego przykładu krok obliczeń wynosi k =. Liczba 0 jes osanią liczbą zakresu zmiennej ω. Nasępnie definiujemy funkcję i jej nazwę oraz argumeny. Niech przykładowa funkcja będzie określona jako k(ω5bω. Zmienną jes ω, naomias paramerem o nieznanej jeszcze warości lub zmienną może być b. Program przyjmuje liczby rzeczywise oraz zespolone w posaci arymeycznej i wykładniczej. Posiada nasępujący zesaw funkcji i operaorów przeznaczonych do wykonywania działań na liczbach zespolonych: Im(z część urojona liczby z, Re(z część rzeczywisa liczby z, arg(z argumen liczby z (ką zawary między osią rzeczywisą a wekorem położenia liczby z, wynik obliczeń argumenu zawiera się między π a π, z warość bezwzględna liczby zespolonej, _ Z liczba zespolona sprzężona z liczbą z. Kolejną czynnością jes usalenie formy przedsawienia wyników obliczeń (abela wyników lub wykres. Wykonujemy obliczenia. Dla abeli wyników usalamy układ liczbowy wyświelania wyników (sandardem jes układ dziesięny, dosępne są akże układy binarne, usalamy również posać wyniku (sandardem jes noacja wykładnicza, dla kórej określamy próg noacji. Można wybrać posać dziesięną, określić liczbę miejsc po przecinku i olerancję. Formaowanie wyników jes czynnością odnoszącą się ylko do sposobu ich przedsawiania, program nadal zapewnia pełną dokładność wewnęrznych obliczeń. ``` 7

10 Dla wykresu dwuwymiarowego x y usalamy np. kolor, grubość i rodzaj linii (ciągła, przerywana, yp skali (liniowa, logarymiczna, auomayczne lub ręczne skalowanie, opis wykresu i opisy osi, yp opisu warości liczbowych na osiach, wymiary wykresu (długość i szerokość. Wykres powierzchniowy o perspekywiczny widok macierzy przedsawionej w posaci dwuwymiarowej siaki, kóra leży w rójwymiarowej przesrzeni. Warość każdego elemenu macierzy jes odwzorowana jako wysokość punku leżącego na ej powierzchni. Dla wykresu powierzchniowego można: wybrać przezroczysość lub nieprzezroczysość powierzchni, usalić obecność lub brak osi, auomaycznie lub ręcznie określić zakresy, zmieniać skalę pionowej osi wykresu, wybrać obecność lub brak skali na osiach, określić wielkość elemenów worzących powierzchnię, zamienić wykres powierzchniowy na słupkowy, wprowadzić opis osi i nazwę wykresu, wprowadzić skalę szarości lub kolorów na powierzchni (kolorowe cieniowanie powierzchni ukazuje największe warości w kolorze czerwonym, a najmniejsze w kolorze granaowym, pośrednie warości ukazywane są w posaci kolorowej ęczy, uzupełnić powierzchnię o kolorowe ślady warswic lub zamienić wykres powierzchniowy na wykres warswicowy, usalić dowolny punk obserwacji powierzchni (obracanie i przechylanie powierzchni. Wykresy powierzchniowe mogą być wykonywane akże jako parameryczne. Program Mahcad inerpreuje odpowiednio określone elemeny rzech dwuwymiarowych macierzy X, Y, Z o k-ej liczbie wierszy i n-ej liczbie kolumn jako współrzędne x, y, z punków wykresu i wykreśla ę powierzchnię dla usalonych warości kąa pochylenia i kąa obrou. Łącząc definiowanie zmiennych i funkcje programu, można łączyć równania i wykorzysywać do kolejnych obliczeń wcześniej orzymane wyniki.. Badanie maemaycznych modeli obieków auomayki.. Wprowadzenie Auomayka jako dziedzina nauk echnicznych sosuje modelowanie maemayczne do analizy saycznych i dynamicznych właściwości urządzeń, w kórych zachodzą procesy przemiany energii lub przebiegają procesy echnologiczne powodujące określone zmiany fizyczne lub chemiczne maerii. Umiejęność maemaycznego opisywania i badania właściwości obieków jes przydana w projekowaniu układów auomaycznej regulacji. Maemayczne modele obieków worzone są na podsawie analizy procesu zmian sygnałów wyjściowych obieku, kóre zosały wywołane przez oddziaływanie znanych sygnałów wejściowych. Modele obieku mogą opisywać sayczne i/lub dynamiczne właściwości obieku. W modelu saycznych właściwości obieku warości sygnałów wyjściowych zależą ylko od akualnych warości sygnałów wejściowych. W modelach dynamicznych właściwości obieku i warości sygnałów wyjściowych zależą akże od warości sygnałów w chwilach poprzednich. Obieky i ich sayczne lub dynamiczne modele opisywane są funkcjami liniowymi lub nieliniowymi. W saycznym modelu obieku liniowego sygnał wyjściowy opisany jes równaniem linii prosej w posaci: y = a x b, gdzie a i b są współczynnikami o sałych warościach (liczbami; w pozosałych przypadkach zależność y jes nieliniowa. Właściwości obieku mogą być opisane równaniem różniczkowym w posaci dy(/d = a y( b x(. Jeśli a i b będą liczbami ``` 8

11 (współczynnikami o sałych warościach, o równanie będzie liniową funkcją zmiennych i ich pochodnych. Dla obieku, kóry opisywany jes modelem liniowym, na podsawie znajomości odpowiedzi obieku na działanie określonego sygnału wejściowego można wyznaczać sygnał wyjściowy dla działania innego sygnału wejściowego. Dla obieków nieliniowych nie ma akiej możliwości. Wielu zjawisk zachodzących w echnice nie można wyjaśnić za pomocą modeli liniowych. Modele nieliniowe są niezbędne. Wszędzie am, gdzie możliwe jes sosowanie procesu uproszczonej analizy, sosuje się zasadę rozdzielenia procesu analizy na dwie części. W pierwszej części wykonuje się analizę nieliniowego modelu saycznego w szerokim zakresie oddziaływania zmiennych wejściowych, a w drugiej części analizę liniowego modelu dynamicznego w ograniczonym (małym przedziale oddziaływania zmiennych wejściowych. Upraszczanie modelu według ej zasady nazywane jes linearyzacją modelu. Należy zaznaczyć w ym miejscu, że paramery modelu zlinearyzowanego zależą od punku pracy. Ale są przypadki, w kórych nie można sosować ej zasady. Przykładami nieliniowych modeli saycznych są: nasycenie, srefa nieczułości, luz mechaniczny, charakerysyki ypu przekaźnikowego, np. przekaźnika dwupołożeniowego z hiserezą lub bez hiserezy, przekaźnika rójpołożeniowego z hiserezą lub bez hiserezy. Model uproszczony (zlinearyzowany obieku może być dosaecznie dokładny dla porzeb układów auomaycznej sabilizacji paramerów procesu fizykochemicznego, serowania nadążnego lub programowego, ponieważ układy realizujące e zadania urzymują paramery procesu blisko punku pracy. Uproszczony model może być niedosaecznie dokładny dla porzeb rozruchu lub wyłączenia obieku. W akich przypadkach sosuje się pomocnicze układy lub procedury serowania zabezpieczające obiek przed nieekonomicznym lub niepożądanym działaniem zwłaszcza w warunkach zagrożenia bezpieczeńswa eksploaacji obieku lub bezpieczeńswa pracy pracowników obsługi. x we z P zakłócenia K zasilanie y wy Dla porzeb analizy właściwości obieków zakłada się, że wielkość lub wielkości P zasilające obiek (o ile wysępują nie zmieniają się, można uznać je za paramery o sałych warościach, kóre są niezbędne dla prawidłowej pracy obieku, ale nie wpływają na wielkość wyjściową. Dlaego w dalszych analizach nie wykazuje się zasilania P jako wielkości wejściowej. Jeżeli zmiany zasilania są isone dla pracy modelu, o sygnał zasilania P wprowadza się do grupy sygnałów wejściowych. Rys... Model obieku auomayki Podsawowymi sposobami określania właściwości dynamicznych obieków liniowych oraz liniowych układów auomayki są równania różniczkowe i wykresy czasowe sygnałów lub wykresy częsoliwościowe, ransmiancje operaorowe. Isoną zaleą charakerysyk czasowych i częsoliwościowych jes możliwość doświadczalnego ich wyznaczenia. ``` 9

12 Ze względów prakycznych (prose wykonanie charakerysyki czasowe wyznacza się dla sygnału wejściowego x( = A (, gdzie A jes współczynnikiem skalującym warość sygnału wejściowego. Doświadczalne wyznaczenie charakerysyki czasowej obieku o czynność pomiaru i rejesracji zmian sygnału wyjściowego y( = (K(, kóra jes związana z podaniem na wejście obieku sygnału skoku jednoskowego i wykonaniem jednego eksperymenu w przedziale czasu (0,. W prakyce pomiarowej eksperymen jes przerywany z chwilą określenia warości końcowej procesu. Do wyznaczania charakerysyk częsoliwościowych sosuje się sygnał wejściowy x( = A sin(ω α, gdzie: ampliuda sygnału sinusoidalnie zmiennego nie zmienia się, a częsoliwość ω jes zmienną z przedziału ω (0,. Doświadczalne wyznaczenie charakerysyki częsoliwościowej wymaga wykonania pomiarów ampliudy B(ω i fazy β(ω sygnału wyjściowego y(ω = B(ω sin[(ω β(ω] oraz obliczenia różnicy faz ϕ(ω = β(ω-α. Pomiary ampliudy i fazy sygnału wyjściowego wykonuje się po zaniku przebiegów przejściowych. Konieczność wykonywania pomiarów po zaniku przebiegów przejściowych znacząco wpływa na czas porzebny do wyznaczenia charakerysyk częsoliwościowych zwłaszcza dla małych warości częsoliwości. Charakerysyka częsoliwościowa obieku określa wzmocnienie K(ω = B(ω/A jako zależność między ampliudami sygnału wejściowego i wyjściowego, a różnicę faz jako przesunięcie fazowe ϕ(ω. Sosując rachunek liczb zespolonych, można za pomocą jednej zależności przedsawić wzmocnienie i przesunięcie fazowe obieku. y(jω K(jω = = K(jω [ cosϕ( ω jsin ϕ( ω ], gdzie j = jednoska urojona. x(jω Wielkość K(jω nazywa się ransmiancją widmową (w skrócie: ransmiancją. Moduł ransmiancji K(jω, warość bezwzględna K(jω przedsawia wzmocnienie obieku ImK(jω jako charakerysykę ampliudową, argumen ϕ ( ω = arcg przedsawia różnicę faz ReK(jω sygnału wyjściowego i wejściowego jako charakerysykę przesunięcia fazowego. Charakerysyki częsoliwościowe przedsawia się w różnych układach współrzędnych. W prosokąnym układzie skal liniowych część rzeczywisa ReK(jω ransmiancji oraz część urojona ImK(jω ransmiancji sanowią charakerysykę częsoliwościową. Charakerysyki ampliudowe (moduł ransmiancji w funkcji częsoliwości najczęściej przesawiane są w prosokąnym układzie skal logarymicznych, ponieważ wykresy lub ich fragmeny dla większości obieków można w układach ych skal aproksymować odcinkami linii prosych. Charakerysyki fazowe przedsawiane są w prosokąnym układzie liniowej skali argumenu i logarymicznej skali częsoliwości. W abeli.3. przedsawiony jes przykład worzenia wykresu funkcji dla czasowej charakerysyki obieku inercyjnego pierwszego rzędu. W abeli zawaro wykaz czynności i kolejność wykonywania poleceń. ``` 0

13 .. Podsawowe zależności i wzory Iloraz sygnału wyjściowego y( do sygnału wejściowego x ( o charakerysyka czasowa y( obieku: K ( =. x( Jednosronne przekszałcenie Laplace a jes określone zależnością L[f(] = f( e s d = F(s, kóra funkcji f ( zmiennej rzeczywisej przyporządkowuje 0 ransformaę F(s. Transformaa Laplace a jes funkcją zmiennej zespolonej s = α j ω. Transformaa Laplace a jes operacją liniową, kóra dla: x (s = L[x (] i x (s = L[x (] spełnia równość: L[ a x( b x(] = a L[ x(] b L[x (] Transformay sygnału wejściowego x(s=l[x(] i sygnału wyjściowego y(s=l[y(] pozwalają określić model obieku i jego właściwości. y(s Iloraz K (s = ransformay y (s sygnału wyjściowego do ransformay x (s sygnału x(s wejściowego obieku auomayki o ransmiancja operaorowa. Określa ona zależności różnych ypów sygnału wyjściowego i wejściowego, niekoniecznie sinusoidalnie zmiennych, obejmuje san usalony i sany przejściowe. Transmiancja operaorowa wyznaczona dla s =j ω, ( α = 0 jes ransmiancją widmową, kóra określa związek sygnałów wyjściowych i wejściowych obieku dla sanu usalonego. Podsawową zaleą sosowania przekszałcenia Laplace a jes zasąpienie operacji całkowania i różniczkowania funkcji czasu f( operacjami algebraicznymi dzielenia i mnożenia ransformay F(s przez operaor s. Sosując przekszałcenie Laplace a, możemy przedsawiać złożone zależności dynamiczne (ściślej: liniowe równania różniczkowe o sałych współczynnikach dla zerowych warunków począkowych w posaci odpowiednio połączonych obieków realizujących całkowanie, różniczkowanie, inercję, wzmocnienie. Właściwości dynamiczne obieku objawiają się dopiero przy dosaecznie szybkich zmianach sygnału wejściowego, np. skokach, za kórymi sygnał wyjściowy obieku nie nadąża. Szybkość zmian sygnału na wyjściu obieku określana jes za pomocą paramerów pomocniczych, np. sałych czasowych, łumienia, wzmocnienia. Przekszałcenie odwrone Laplace a L [F(s] = π j c j c j e s F(sds ```

14 .3. Charakerysyki obieku inercyjnego pierwszego rzędu Charakerysyka czasowa K( dla x ( = ( Transmiancja widmowa Moduł ransmiancji widmowej K( = y( = exp x( T K(j ω = j ωt K(jω = ωt Argumen ransmiancji widmowej ϕ ( ω = arcg( ω T Pierwszy przykład obliczeń (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz: Transformaa sygnału wejściowego Φ( = ( (Funkcja skoku jednoskowego, Heaviside a Drugi przykład obliczeń (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz: Transformaa sygnału wyjściowego Tabela.3.. wpisz: Φ( kursorem zaznacz zmienną z menu Symbolics wybierz Transform nasępnie kliknij myszą Laplace Program wyświeli w wierszu niżej s Odpowiedź programu jes zależna od zmiennej s, ponieważ akiej noacji używa się powszechnie w odniesieniu do ransforma Laplace a. wpisz: Φ(*( exp( /T kursorem zaznacz zmienną z menu Symbolics wybierz Transform nasępnie kliknij myszą Laplace Program wyświeli w wierszu niżej s( Ts Trzeci przykład obliczeń Komenarz: Transformaa sygnału wejściowego dla x(= Φ(=( wynosi x(s = s y(s K (s = y(s= x(s K(s x(s K(s = s s( s T wyznaczona ransmiancja ma zaem posać: K(s = s T Obliczenie odwronej ransformay Laplace a sygnału wyjściowego wpisz: /s*(s*t w oknie roboczym programu pojawi się w miejscu kursora (krzyżyka s( st kursorem zaznacz zmienną s z menu Symbolics wybierz Transform nasępnie kliknij myszą Inverse Laplace Program wyświeli w wierszu niżej T e Odpowiedź programu zależna jes od zmiennej, ponieważ akiej noacji używa się powszechnie w odniesieniu do odwronych ransforma Laplace a. ```

15 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Charakerysyki czasowe obieku inercyjnego pierwszego rzędu Przykład obliczeń Komenarz: Program pokazuje w roboczym oknie: dwukropek : jako symbol definicji średnik ; jako dwie kropki.. Tabela.3.. 0, T 0. T T3 3 K ( exp K ( exp T T K3 ( exp T K( K( 0 K( 0.8 K( K3( Określ zmienną i sałe czasowe T, T, T3 wpisz: :0,0.;5 T:0. T: T3: K(: exp( /T K(: exp( /T K3(: exp( /T3 usaw kursor programu (krzyżyk poniżej równania wywołaj wykres x y komendą [Schif] wpisz do pola wyboru dla osi x zmienną kliknij myszą znacznik osi y (kwadracik w połowie osi y wpisz: K(, pozosałe kwadraciki program uzupełni w procesie kreślenia wykresu naciśnij: [F9] lub przycisk myszy poza obszarem wykresu, program wykona obliczenia i wykreśli wykres, pozosałe wykresy orzymasz, usawiając znacznik wyboru na osi y bezpośrednio po wyrażeniu K(, nasępnie wpisz:, (przecinek W nasępnym wierszu opisu osi y pojawi się znacznik wpisz: K(,K3( naciśnij: [F9] kliknij przyciskiem myszy dwukronie w polu wykresu, pojawi się palea: Formaing Currenly Seleced X Y Plo z menu do wyboru charakerysycznych cech wykresu określ rodzaj skal (logarymiczna lub liniowa, wybierz: rodzaje linii wykresu, kolory i grubość linii wykresu, opisy osi, formay liczbowego opisu skal, auomayczne skalowanie ``` 3

16 K ( K ( K3 ( K( K( Rys..3.. Charakerysyki czasowe obieków inercyjnych pierwszego rzędu, warości sałych czasowych wynoszą: T = 0., T =, T3 = 3 Przyjmując, że sygnał wejściowy x( obieku inercyjnego pierwszego rzędu jes funkcją skoku jednoskowego Heaviside a i dla 0 ma warość x( = Φ( =, o sygnał wyjściowy y( ego obieku określa zależność: y( = Φ( K( = exp T jako charakerysyka czasowa/skokowa obieku inercyjnego pierwszego rzędu. Wprowadzenie linii pomocniczych (rys..3. wykonujemy, korzysając z menu Formaing Currenly Seleced X Y Plo, kórego paleę owieramy dwukronym naciśnięciem przycisku myszy. Kiedy kursor okna programu znajduje się w regionie wykresu, zaznaczamy polecenie Show markers (pokaż linie odniesienia. Przy każdej osi pojawiają się dwa znaczniki do wsawienia warości. ``` 4

17 Dla wyznaczonej charakerysyki czasowej obieku inercyjnego pierwszego rzędu warość sałej czasowej wyznaczamy, dokonując odczyu jej warości (na skali czasu dla warości sygnału wyjściowego y(t = exp( Prowadząc linię pomocniczą y = 0.63, na wykresie K(, K(, K3( wskazujemy warości czasów sałych czasowych T = 0., T =, T3 = 3. Inną isoną właściwością elemenu inercyjnego pierwszego rzędu jes czas porzebny do usalenia warości sygnału wyjściowego na poziomie np warości usalonej. Z powiększonego obszaru charakerysyki K( dla T = odczyujemy warość = 4,6T czasu, kóry jes porzebny, by sygnał wyjściowy y( obieku różnił się od warości usalonej o warość mniejszą niż %. Tabela.3.3. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Charakerysyki ampliudowofazowe obieku inercyjnego pierwszego rzędu Przykład obliczeń wpis ypu w[crl]g zamienia lierę w alfabeu polskiego na lierę ω alfabeu greckiego w programie Mahcad sandardowym oznaczeniem urojonej części liczby zespolonej z jes liera i i ω 0.0, T 0. T T3 3 k K( ω K( ω K3( ω k iωt k iωt k iωt3 Określ zmienną ω i sałe czasowe T, T, T3 w miejscach wskazanych przez kursor wpisz: i:\- wpisz: w[crl]g:0.0,0.0;00 wpisz: T:0. T: T3:3 k: wpisz: K(w[Crl]g :k/i *w[crl]g*t wpisz: K(w[Crl]g :k/i *w[crl]g*t wpisz: K3(w[Crl]g :k/i *w[crl]g*t3 wskaż kursorem miejsce, w kórym ma być uworzony wykres wpisz: [Shif] Dalej posępuj jak w przykładzie z abeli.. Charakerysyki ampliudowe moduł i argumen ransmiancji jako funkcje częsoliwości są przedsawione na rysunkach:.3.,.3.3. Należy zauważyć oczywisą właściwość funkcji arg K(ω= ωt obieku inercyjnego pierwszego rzędu, że zmiana warości wzmocnienia k obieku nie zmienia przebiegu charakerysyki fazowej, ślady wykresów arg (K4(ω i arg (K3(ω pokrywają się. Program Mahcad pozwala wykonać w posaci wykresu powierzchniowego wykreślonego w układzie współrzędnych prosokąnych łączne zesawienie charakerysyk czasowych obieku jako funkcji dwóch zmiennych. W przypadku obieku inercyjnego pierwszego rzędu dla łącznego zesawienia charakerysyk czasowych nauralną zmienną jes czas, zmienną dodakowo charakeryzującą właściwości ego obieku jes sała czasowa T. Zakresy zmiennych T oraz usalamy, wprowadzając indeksowanie warości ych zmiennych. ``` 5

18 Zakładając rozmieszczenie punków na osiach x oraz y, przyjmujemy najczęściej równomierne ich rozmieszczenie. Nasępnie dla analiycznej zależności modelującej charakerysykę czasową y(t, obieku worzymy macierz zawierającą warości ej funkcji. 0 K( ω K( ω K3( ω K4( ω ω Rys..3.. Charakerysyki ampliudowe obieków inercyjnych pierwszego rzędu, warości sałych czasowych wynoszą: T = 0., T =, T3 = 3, k =, T4 = T3, k4 = 5 0 arg( K( ω 0.5 arg( K( ω arg( K3( ω arg( K4( ω ω Rys Charakerysyki fazowe obieków inercyjnych pierwszego rzędu, warości sałych czasowych wynoszą: T = 0., T =, T3 = 3, k =, T4 = T3, k4 = 5 Podobnie jak w przypadku wykonywania zesawienia charakerysyk czasowych, można wykonać zesawienie ampliudowych charakerysyk częsoliwościowych. Zesawienie charakerysyk ampliudowych przedsawione na rysunku.3.5 wykonano dla założeń określonych w abeli.3.5. ``` 6

19 Tabela.3.4. Przykład obliczeń (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Charakerysyki czasowe obieku inercyjnego pierwszego rzędu zesawienie Komenarz: wywołanie macierzy M m, n wykonuje się przez wpisanie M[m, n należy dodać, że indeks dolny [(nawias kwadraowy jes operaorem lepkim i wszysko, co zosanie wpisane po [, pozosaje w polu ego operaora, wyjście z ego pola udosępnia np. dwukrone naciśnięcie spacji lub kursora kierunkowego [ ] n m K ( T, exp T ( M K T, m, n m n 0 0.n n T m m Określamy zmienne wykresu jako: i T Określamy pomocnicze zmienne m i n do indeksowania zmiennych wykresu i T Określamy charakerysykę czasową obieku K(T, dla sygnału wejściowego x( =Φ(= jako funkcję: T KT (, e wpisz: n:0;40 [n[ ]:00.*n wpisz: n:0,30 T[n[ ]:00.*n wpisz: K(T, : exp( /T wpisz: M[m,n[ ]:K(T[ m[ ],[n[ ] wywołaj wykres x y z komendą [Crl] wpisz M do znacznika uruchom proces obliczeń [F9] M M kliknij przyciskiem myszy dwukronie w polu wykresu, pojawi się palea: 3 D Plo Forma Z menu do wyboru charakerysycznych cech wykresu określ jego właściwości wpisz lub zaznacz dla menu General (Roaion:5, Til:30, Twis: 30, Zoom: 0.95, Perimeer, Surface, Show Border v kolor czarny, Show Box v kolor czarny wpisz lub zaznacz dla menu Axes dla X-Axis (Auo Grid v, Show Numbers v, Auo Scale v, Label v sała czasowa x0, ``` 7

20 Należy zauważyć, że wykres jes skalowany dla pomocniczych zmiennych m i n. Zmienne rzeczywise T i są dzie-sięciokronie mniejsze. Warunki indekso-wania elemenów macierzy określają liczby m i n jako dodanie i całkowie. cd. abeli.3.4. Axis Color v czarny, Axis weigh.0 dla Y-Axis (Auo Grid v, Show Numbers v, Auo Scale v, Label v czas x0, Axis Color v czarny, Axis weigh.0 dla Z-Axis (Auo Grid v, Show Numbers v, Auo Scale v, Label v czas x0, Axis Color v czarny, Axis weigh.0 wpisz lub zaznacz dla menu Apperance Plo (Fill Surface v, Coiormap, Smooh Shading v, Wireframe, Weigh 0.6, Solid color czarny, Draw Poins dos, Size.5, Solid color Przykład obliczeń (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Charakerysyki ampliudowe obieku inercyjnego pierwszego rzędu zesawienie n.. 40 n 0 ω n 0 KT, ω ( 0log ( M KT, ω m, n m n m T m 0. 0.m ω T Tabela.3.5. Komenarz: program Mahcad nie wprowadza dla wykresów powierzchniowych auomaycznego wyboru ypu skali, dlaego należy zakres zmian zmiennych i sposób ich wyboru (np. skala logarymiczna dososować do porzeb wykresu. Zmienne pomocnicze: m, n Zmienne podsawowe: ω, T (wykładniczo określony wybór warości częsoliwości ω zmienia liniową skalę n w logarymiczną skalę ω Moduł ransmiancji jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz warości modułu ransmiancji. Program udosępnia akże możliwości graficznej modyfikacji wykresu powierzchniowego i wprowadzania uzupełnień. Na powierzchniach zesawień charakerysyk czasowych i ampliudowych (rys..3.4,.3.5 dodakowo zosały umieszczone punky obliczonych warości. Rysunek powierzchni zesawienia charakerysyk ampliudowych (rys..3.5 zosał uzupełniony śladami kolorowych warswic (lub inaczej poziomic warości sygnału wyjściowego. Kompuerowe wspomaganie procesu analizowania właściwości obieków o również możliwość wykonywania wykresów paramerycznych. Niech przykładem będzie prezenacja właściwości charakerysyki ampliudowo-fazowej obieku inercyjnego pierwszego rzędu, w kórym zakładamy zmienność wzmocnienia obieku w ograniczonym przedziale dla sałej czasowej spełniającej warunek T = consans. Transmiancję przedsawimy jako wykres jednego wekora Y ω,k = Im(K(ω,k w funkcji drugiego wekora X ω,k = Re(K(ω,k dla zmieniającej się warości częsoliwości i wzmocnienia obieku. Warość dolnych indeksów odnosi się do wszyskich wekorów Y, X. Wykresy można przedsawić w posaci zbioru punków, linii kropkowych lub linii ciągłych. ``` 8

21 Rys Zesawienie łączne charakerysyk czasowych obieku inercyjnego pierwszego rzędu dla sałej czasowej zmieniającej się w przedziale T (0. 3 w przedziale czasu (0. 4 Rys Zesawienie charakerysyk ampliudowych obieku inercyjnego pierwszego rzędu dla przedziałów zmiennych pomocniczych n (0, 40, m (0, 0. Przedziały zmiennych podsawowych odpowiadające przedziałom zmiennych pomocniczych wynoszą ω (, 0000, T (0. ``` 9

22 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Charakerysyki częsoliwościowe obieku inercyjnego pierwszego rzędu Przykład obliczeń Tabela.3.6. Komenarz: Osi rzędnych y przyporządkowujemy macierz warości zmiennej urojonej Y ω,k = Im(K(ω,k dla wybranych warości częsoliwości ω i wzmocnienia k. Osi odcięych x przyporządkowujemy macierz warości zmiennej rzeczywisej X ω,k = Re(K(ω,k dla wybranych warości częsoliwości ω i wzmocnienia k. Określamy przedział zmian wzmocnienia, np. k (, 5, określamy przedział zmian częsoliwości, np. ω (0, 30. i ω 0,.. 30 Określ: zmienną urojoną, przedział częsoliwości, sałą czasową, wzmocnienie. W miejscach wskazanych przez kursor 0 T K( ω, k k,.. 6 k iω T 0 X ReKω ( (, k ω, k Y ImK ( ( ω, k ω, k wpisz: i:\- wpisz: w[crl]g:0;30 wpisz: T: k:,;4 Dla uproszczonej definicji zmiennych ω oraz k, kóre jednocześnie są indeksami macierzy, wymagane są warości całkowie. wpisz: K(w[Crl]g,k:k/i*w[Crl]g*T/0 wpisz: X[w[Crl]g,k[ ]:Re(K(w[Crl]g,k wpisz: Y[w[Crl]g,k[ ]:Im(K(w[Crl]g,k wskaż kursorem miejsce, w kórym ma być uworzony wykres Y wpisz: [Shif] w polach opisu osi wykresu (kwadraciki wpisz: dla osi odcięych X, dla osi rzędnych Y Jeżeli dodakowo wprowadzisz macierz Z k ω, k i wywołasz wykres powierzchniowy oraz wpiszesz w miejsce znacznika symbole macierzy X, Y, Z, o określając cechy wykresu, możesz orzymać wykresy: powierzchniowy lub słupkowy (zob. rys X dalej posępuj jak w przykładzie przedsawionym w abeli. wybierz: cechy linii wykresu, w menu Formaing Currenly Seleced X Y Plo Traces zasosuj: ype lines-poins, Symbol, Symbol Weigh ``` 0

23 0 Y Rys Zesawienie charakerysyk częsoliwościowych Y ω,k = Im(K(ω,k, X ω,k = Re(K(ω,k obieku inercyjnego pierwszego rzędu na płaszczyźnie zespolonej dla sałej czasowej obieku T = i warości wzmocnienia obieku k =,..6 Przedsawienie charakerysyki częsoliwościowej obieku inercyjnego pierwszego rzędu w posali linii kropkowych (rys..3.6 dla liniowej zmiany warości częsoliwości w oczywisy sposób wskazuje na nieliniowe zmiany warości urojonej i warości rzeczywisej części ransmiancji. Przesrzenną inerpreacją ego zjawiska może być wykres słupkowy półokręgów uworzonych przez warości charakerysyki częsoliwościowej wyznaczone dla sałych warości wzmocnienia k (rys Charakerysyczne cechy słupkowego zesawienia charakerysyk częsoliwościowych obieku inercyjnego pierwszego rzędu można określić w menu 3 D Plo Forma, np. dla rysunku.3.7 podsawowe paramery zosały określone w zakładkach: General, Appearance, Axes. X Okno menu paramerów wykresu owieramy, usawiając wskaźnik edyora Windows (srzałka w obszarze wykresu, nasępnie naciskamy dwukronie lewy przycisk myszy. ```

24 ( Y, X, Z Rys Zesawienie warości charakerysyk częsoliwościowych obieku inercyjnego pierwszego rzędu wykonane dla T =, ω =,..30 i sześciu warości wzmocnienia obieku kp,..6 ( X, Y, Z Rys Zesawienie charakerysyk częsoliwościowych obieku inercyjnego pierwszego rzędu wykreślone w układzie karezjańskim jako powierzchnia, na kórej leżą warości sześciu wzmocnień obieku ```

25 Kolor i cechy słupków (np. przenikanie usalamy w zakładce Appearance. Opis wybranej osi wprowadzamy, wpisując odpowiedni eks do zaznaczonego okienka Label. Zawansowane cechy wykresu usalamy w zakładce Advanced. ``` 3

26 Punk obserwacji wykresu można zmieniać nie ylko przez wpisywanie warości (Roaion, Til, Twis, ale akże używając wskaźnika edyora Windows. Wskaźnik edyora usawiamy w obszarze wykresu. Przesuwając mysz z naciśnięym lewym przyciskiem, obracamy wykres w wybranym kierunku..4. Charakerysyki obieku drugiego rzędu Nazwa obiek drugiego rzędu odnosi się do obieków ogólnie modelowanych za pomocą ransmiancji w posaci: (.4.0 b s a s Tabela.4.. Programy kompuerowe nie zawsze są doskonałymi produkami. Jako narzędzia wspomagające ludzką pracę muszą być konrolowane, a wyniki pracy ych programów rzeba sprawdzać i oceniać. Przedsawiony niżej przykład powierdza ę zasadę. Sygnał wyjściowy y( = (K( = Φ( K( Transformaa sygnału wyjściowego y(s Transformaa sygnału wyjściowego y(s po rozwinięciu Φ ( T Te T T T Te T T s ( st ( st s s( T T s TT Obliczenie ransformay Laplace a Obliczenie odwronej ransformay Laplace a Obliczenie odwronej ransformay Laplace a s( Ts ( Ts T T e T TT T T TT e T T T T Te T T Te T Wynik poprawny Wynik błędny, program Mahcad-4 (niezgodność wymiarowa, ransformaa ma wymiar czasu wynik jes dodakowo pomnożony przez T Wynik poprawny, program Mahcad-5 ``` 4

27 Po podsawieniu T T = b oraz T T = a do rozwinięej posaci ransformay sygnału wyjściowego obieku inercyjnego drugiego rzędu orzymujemy ogólną posać wielomianu ej ransformay, kóra może opisywać właściwości: obieku inercyjnego drugiego rzędu, szeregowego połączenia dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu, obieku oscylacyjnego (wahadła. s s( T T s TT s bs as Odwrona ransformaa Laplace a określająca w dziedzinie czasu, dla x(=(, sygnał wyjściowy obieku drugiego rzędu (obliczenia procesora symbolicznego programu Mahcad ma posać wzoru: K ( bsinh 4a b a e b a a 4a b a a acosh 4a b a 4a b a e b a 4a b a. (.4. Orzymany wynik można zapisać w jawnej posaci, rozwijając funkcje hiperboliczne zmiennej zespolonej (sinus oraz kosinus hiperboliczny. Po rozwinięciu orzymujemy: Kr ( b e 4a b b a sin 4a b a e b a cos 4a b a (.4.a Dla kolejnego podsawienia obejmującego zespolone warości paramerów T, T określone jako: T T β TT = = ωo ω o orzymujemy ransformaę sygnału wyjściowego obieku oscylacyjnego (wahadła. s s ωo β s ωo Sygnał wyjściowy obieku oscylacyjnego (posać obliczona przez procesor symboliczny Mahcad jes określony wzorem: Ko( ( e β ( cosh β ωo ωo ωo β ωo ωo β ωo ωo βωo sinh β ωo ωo e βωo ( ωo β (.4. ``` 5

28 Przykłady obliczeń charakerysyk czasowych. (okno robocze programu Mahcad w polach eksowych wpisz emay: Komenarz: Tabela.4.. Obiek inercyjny drugiego rzędu T 4 T 0, (.4.3 T T Te Te Kid ( Φ( T T T T Jednoski obliczeniowe czasu oraz warości sałych czasowych T, T o sekundy [sek.]. Sygnał wejściowy obieku Φ( = ( o sygnał skoku jednoskowego. Dla porównawczej oceny właściwości obieków drugiego rzędu na wykresach charakerysyk czasowych przedsawiono dodakowo dwie charakerysyki obieków inercyjnych pierwszego rzędu oraz charakerysykę ich szeregowego połączenia. Obiek inercyjny pierwszego rzędu Sała czasowa T = 4 [sek.] T K ( Φ ( e Obiek inercyjny pierwszego rzędu Sała czasowa T = [sek.] T K ( Φ( e Szeregowe połączenie dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu K3 ( Φ (K K ( Dla obieków nieobciążających się wzajemnie (obiek nasępny serowany jes sygnałem wyjściowym obieku poprzedzającego bez poboru energii z wyjścia ego obieku ransmiancja zasępcza szeregowego połączenia obieków jes równa iloczynowi ransmiancji ych elemenów. Szeregowe połączenie dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu.t e (.4.4 T K5 ( e Obiek oscylacyjny ω o częsoliwość rezonansowa, β łumienie 0, ωo β 0.5 Ko( ( e β ( cosh β ωo ωo ωo β ωo ωo β ωo ωo βωo sinh β ωo ωo e βωo ( ωo β s s ωo β s ωo ``` 6

29 cd. abeli.4.. Obiek inercyjny drugiego rzędu Dla ogólnej posaci ransformay sygnału wyjściowego, w kórej b T T a TT, czasową charakerysykę obieku drugiego rzędu określa wzór: s bs as K ( bsinh 4a b a e b a a 4a b a a acosh 4a b a 4a b a e b a 4a b a (.4.5 (Obliczenie odwronej ransformay Laplace a jes przedsawione w rzecim przykładzie abeli Kid( K( K( 0.75 K( K3( 0.5 Ko( 0.5 K4( Rys..4.. Charakerysyki czasowe obieków: inercyjnych pierwszego rzędu (K, K i ich szeregowego połączenia K3(, elemenu inercyjnego drugiego rzędu Kid(, różnicy K4( = Kid( K3( sygnałów wyjściowych obieku inercyjnego drugiego rzędu Kid( i szeregowego połączenia elemenów inercyjnych pierwszego rzędu K3( wyznaczone dla sałych czasowych T = 4, T =, elemenu oscylacyjnego Ko( z łumieniem β = 0.5 i częsoliwością rezonansową ω o = oraz K( wzór.4. Należy zauważyć, że szeregowe połączenie dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu ze sałymi czasowymi T oraz T nie jes równoważne obiekowi inercyjnemu drugiego rzędu o akich samych warościach sałych czasowych (wzory modelujące różnią się. czas ``` 7

30 Powierdzeniem ego sposrzeżenia jes wykres K4( = Kid( K3( (zob. rys..4. różnicy sygnałów wyjściowych obieku Kid( inercyjnego drugiego rzędu i szeregowego połączenia elemenów inercyjnych pierwszego rzędu K3(. Różnica sygnałów wyjściowych obieku inercyjnego drugiego rzędu i szeregowego połączenia obieków inercyjnych pierwszego rzędu (z dodakową koreką warości sałych czasowych określona jako K6( = Kid( K5( może być mniejsza od % (zob. rys..4.. Warości sałych czasowych w zależności K5( dla szeregowego połączenia obieków inercyjnych pierwszego rzędu ak określono (wzór.4.4; ab..4., że dla celów prakycznych zasosowań można uznać równoważność modelu obieku inercyjnego drugiego rzędu i szeregowego połączenia dwóch elemenów inercyjnych pierwszego rzędu (rys..4.. Wykres K7( na rysunku.4. wskazuje na równoważność zależności K( ogólnej posaci ransformay sygnału wyjściowego (wzór.4. i zależności Kid( (wzór.4.3, zn. K7( = Kid( K( = 0. Na przykładzie zadania wyznaczenia opymalnych warości sałych czasowych modelu zasępującego obiek inercyjny drugiego rzędu (ab..4. przedsawiony jes sposób sprawnego (nie ylko w inżynierskim znaczeniu rozwiązywania zagadnień opisanych funkcjami wielu zmiennych. Graficzny sposób zesawienia wykresów funkcji dla określonych przedziałów zmiennych niezależnych i wpływających realizowany ze wspomaganiem programu Mahcad umożliwia (poprzez ocenę charakerysycznych cech orzymanej powierzchni wykonanie przeglądowych i porównawczych analiz wielu złożonych procesów z różnych dziedzin nauki i echniki. 0.0 K6 ( K7 ( K8 ( Rys..4.. Różnice warości sygnałów wyjściowych obieku drugiego rzędu wynikające ze sosowania opisów równoważnych K7( = Kid( K( = 0 lub zasąpienia obieku drugiego rzędu przez szeregowe połączenia obieków inercyjnych pierwszego rzędu K6( = Kid( K5( ``` 8

31 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.4.3. Opymalizacja warości zasępczej sałej czasowej (bt we wzorze (.4.4 charakerysyki czasowej szeregowego połączenia obieków inercyjnych pierwszego rzędu T T 4 m m m b n n T T Te Te bt k6 (, b e T T T T ( M m, n K6 b m, n n T e Wykres powierzchni przedsawiono na rysunku.4.3. (.4.6 Obliczenia przeprowadzono w celu wyznaczenia paramerów modelu zasępującego obiek inercyjny drugiego rzędu. Począkowa warość pierwszej sałej czasowej obieku K5( (parz wzór.4.4 zosała zwiększona do warości.t. Warości sałych czasowych obieku. Przedziały zmiennych pomocniczych (m, n, kóre określają ilość punków równomiernie wykreślanych w kierunkach osi x, y. K6( = Kid(-K5( różnica sygnałów wyjściowych. Macierz warości funkcji K6( m,b n różnica sygnałów wyjściowych obieku inercyjnego drugiego rzędu i jego przybliżonego modelu (szeregowe połączenie obieków inercyjnych pierwszego rzędu. M Rys Powierzchnia jako macierz warości funkcji K6 różnicy sygnałów wyjściowych obieku inercyjnego drugiego rzędu i jego przybliżonego modelu ``` 9

32 Na podsawie rysunku.4.3 określamy warość zmiennej pomocniczej n 30 (czerwony znacznik, dla kórej różnica sygnałów wyjściowych w całym zakresie zmian czasu (0 5 sek. jes najmniejsza, dla n = 30 paramer wynosi b =. Dokładnie zmianę warości różnicy sygnałów dla b = przedsawia wykres K6( na rysunku.4.. Tabela.4.4. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Charakerysyki częsoliwościowe obieków inercyjnych i ω 0.0, k K( ω K( ω K3( ω k iωt k iωt k ( iωt ( iωt T 4 T W zapisie ransmiancji uwzględniono wzmocnienie k obieku. Iloczyn w zapisie ransmiancji jes równoważny szeregowemu połączeniu obieków, kóre nie obciążają się wzajemnie. 0 argk ( ( ω argk ( ( ω argk3 ( ( ω Charakerysyki argumenu (fazy ω 0 K( ω K( ω K3( ω Charakerysyki ampliudy (modułu ω ``` 30

33 ω 0., cd. abeli ImK ( ( ω ImK ( ( ω 0.3 ImK3 ( ( ω Charakerysyki częsoliwościowe ReK ( ( ω, ReK ( ( ω, ReK3 ( ( ω Podsumowanie właściwości obieków inercyjnych drugiego rzędu Na podsawie analizy porównawczej charakerysyk obieków inercyjnych pierwszego i drugiego rzędu można swierdzić, że w eorii sygnałów określane są one jako obieky dolno przepusowe. Charakerysyki częsoliwościowe ych obieków (wykreślane na płaszczyźnie zespolonej obejmują odpowiednio jedną (4 ćwiarkę płaszczyzny dla obieku pierwszego rzędu oraz dwie ćwiarki (4 i 3 dla obieku drugiego rzędu. Charakerysyka ampliudowa (moduł ransmiancji wskazuje na malejącą o 0 db warość sygnału wyjściowego dla obieku pierwszego rzędu i 40 db dla obieku drugiego rzędu na każdy dziesięciokrony wzros częsoliwości sygnału wejściowego powyżej częsoliwości granicznych określanych jako /T, /T. Charakerysyki logarymiczne modułu (inaczej ampliudy obieku inercyjnego drugiego rzędu są sumą charakerysyk ampliudowych obieków inercyjnych pierwszego rzędu worzących en obiek. Właściwość a jes w oczywisy sposób określona przez logarym iloczynu ransmiancji dla szeregowego połączenia obieków nieobciążających się wzajemnie. Podobnie, charakerysyka argumenu (inaczej: przesunięcia fazowego lub skróowo fazy obieku inercyjnego drugiego rzędu jes sumą przesunięć fazowych obieków inercyjnych pierwszego rzędu worzących en obiek. Zasada a umożliwia sprawne wyznaczanie charakerysyk zasępczych złożonych obieków auomayki na podsawie znajomości charakerysyk obieków podsawowych. ``` 3

34 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.4.5. Charakerysyki obieku oscylacyjnego. s s ωo β s ωo 0, β 0. (.4.7 ωo Transformaa Laplace a sygnału wyjściowego dla sygnału wejściowego x( = ( skok jednoskowy. Przedsawiony niżej wynik obliczeń procesora symbolicznego Mahcad przedsawiający zmianę sygnału wyjściowego (odwrona ransformaa Laplace a obieku oscylacyjnego wykorzysany zosał do wykreślenia wykresów zmian sygnału wyjściowego dla sałej warości częsoliwości rezonansowej ωo i różnych warości parameru β (łumienia (rys Sygnał wyjściowy w dziedzinie czasu charakerysyka czasowa ( e β ( cosh β ωo ωo ωo β ω o ω o β ωo ωo βωo sinh β ωo ωo e β ω o Y ( ( ωo β ( Y ( Y ( Y3 ( Y4 ( Rys Sygnał wyjściowy obieku oscylacyjnego dla warości częsoliwości rezonansowej ωo = i wybranych warości łumienia β = 0., β = 0., β 3 = 0.3, β 4 = 0.5 ``` 3

35 Tabela.4.6. Charakerysyki czasowe obieku oscylacyjnego zesawienie ωo m n m m β n 0.05 n Y (, β cosh β ω o ωo ωo β ωo ωo β ωo ωo βωo sinh β ωo ωo e β ωo ( M Y, β m, n m n ( e β ωo β ( ( (.4.9 M Rys Zesawienie charakerysyk czasowych obieku oscylacyjnego. Warości rzeczywise przedziałów na osiach x, y określone na podsawie zmiennych pomocniczych wynoszą: łumienie n (0, 0 β (, 0, czas m (0, 50 (0, 5, częsoliwość rezonansowa ω o = (zob. ab..4.6 ``` 33

36 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.4.7. Charakerysyki częsoliwościowe obieku oscylacyjnego i K( ω ω 0.0, iω ωo β iω ωo ω o β 0.05 (.4.0 Zakresy zmiennych ω, ω o, β Transmiancja K(ω Wzór.4.0 wykorzysany zosał do wielokronych obliczeń i wykonania wykresów dla częsoliwości rezonansowej ω o = i wybranych warości łumienia β. K( ω K( ω K3( ω K4( ω KII( ω ω 50 KII(ω - Obiek inercyjny drugiego rzedu, T=T= Obiek oscylacyjny: ωo =, β: 0.05, 0., 0.5, argk ( ( ω argk ( ( ω argk3 ( ( ω argk4 ( ( ω argkii ( ( ω π ω arg(kii( ω - Obiek inercyjny drugiego rzedu, T=T= Obiek oscylacyjny: ωo =, β: 0.05, 0., 0.5, ``` 34

37 cd. abeli K( ω K( ω K3( ω K4( ω K5( ω K6( ω ω Charakerysyki ampliudowe obieku oscylacyjnego dla β: 0.05, 0., 0., 0.3, 0.4, Im( K( ω Im( K( ω Im( K3( ω Im( K4( ω Im( KII( ω race race race 3 race 4 race Re( K( ω, Re( K( ω, Re( K3( ω, Re( K4( ω, Re( KII( ω KII(ω - Obiek inercyjny drugiego rzedu, T=T= Obiek oscylacyjny: ωo=, β:0.05, 0., 0.5, ``` 35

38 okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.4.8. Charakerysyki częsoliwościowe obieku oscylacyjnego zesawienie i i n ω o 0 Częsoliwość rezonansowa obieku oscylacyjnego. Zmienne pomocnicze: n, j j β j 0.05j K( ω, β 0log ω 0 n ω ωo n 0 0 4β ω ωo Dososowanie obliczeń do porzeb macierzowego generowania powierzchni w logarymicznej skali częsoliwości wymaga wprowadzenia wekora funkcji wykładniczej ω n oraz zmiennej pomocniczej n. Rzeczywisy zakres zmiany łumienia obieku dla j wynosi β (, 0.5. (.4. lub zapis równoważny dla modułu ransmiancji K ω, β ( 0log iω ωo β iω ωo Rzeczywisy zakres zmiany częsoliwości dla n wynosi ω (0., 00. ( M K ω, β n, j n j K( ω, β arg iω ωo (.4. β i ω ωo Można wykazać, że moduł ransmiancji (.4.0 osiąga maksymalną warość dla częsoliwości ω = ωo β (zob. wykresy charakerysyk w ab ampliudowych ( W n, j K ω n, β j ``` 36

39 M W Rys Zesawienie charakerysyk modułu i argumenu obieku oscylacyjnego dla przykładu z abeli.4.8 ``` 37

40 .4.. Doświadczalne wyznaczenie sałych czasowych obieku inercyjnego drugiego rzędu Warości sałych czasowych obieku inercyjnego drugiego rzędu można wyznaczyć, badając właściwości charakerysyki czasowej ego obieku (zob. rys..4.. α Ym Tp=5,0 Kid( Yp=0. P α Tp=6, Tp=,85sek. Rys Charakerysyka czasowa obieku drugiego rzędu i pomocnicze paramery porzebne do wyznaczenia sałych czasowych ego obieku Nie jes znana meoda pozwalająca na bezpośrednie (z wykresu wyznaczenie warości sałych czasowych obieku drugiego rzędu (dla obieku pierwszego rzędu isnieje aka możliwość zob. rys..3.. Należy przeprowadzić dodakowe obliczenia. Z analizy maemaycznej funkcji sygnału wyjściowego wiadomo, że sygnał wyjściowy określa funkcja (.4.3, kóra posiada punk przegięcia P. Warość zmiennej niezależnej (czas Tp punku P wyznacza się, przyrównując do zera drugą pochodną ej funkcji. T et T et Jeżeli sygnał wyjściowy określa funkcja: Kid( = Ym( T T T T (.4.3 o pierwszą pochodną sygnału wyjściowego określa wzór: et p( = Ym T T e T (.4.4 ``` 38

41 Drugą pochodną sygnału wyjściowego określa wzór: p Ym ( = ( et et. (.4.5 T T T T Warość czasu, dla kórego druga pochodna jes równa zero, określa wzór: Tp(T, T T T T = ln. (.4.6 T T T Ym Na podsawie rysunku.4.. orzymujemy: = gα = p(tp Tp (.4.7 T Dla podsawienia k = we wzorze.4.6 (.4.8 T warość pierwszej pochodnej w punkcie Tp określa wzór: p( Tp Warość sygnału wyjściowego w punkcie P określa wzór: = Ym e k ln ke Kid(Tp = Yp= Ym( k k e k T ( k lnk k e k ln k klnk k. (.4.9. (.4.0 Warość niewiadomej k w równaniu (.4.0 wyznaczamy, korzysając z funkcji roo(f(z,z programu Mahcad. Działanie ej funkcji polega na akim zmienianiu zmiennej z, aż warość wyrażenia będzie równa zero i a warość jes podawana jako wynik. Przykład obliczenia niewiadomej k przedsawiony jes w ab Na podsawie rysunku.4.. orzymujemy akże: Ym Yp Tp Po wykonaniu podsawień za Yp (3.4.0 oraz p(tp (.4.9 = gα = p(tp. (.4. Orzymujemy: Tp = T k e e ln k k ln k k e e k ln k k k ln k k = T ( k (.4. Równoważność zapisów we wzorze (.4. wykażemy, podsawiając do ego wzoru: a ln k k ln k = e k k b = e. (.4.3 Po wykonaniu działań orzymujemy: Tp = T( a (k a b. (.4.4 ``` 39

42 b lnk Nasępnie obliczamy iloraz: = e a. (.4.5 b Logarymując sronami równanie (.4.5, orzymujemy: ln = lnk a. (.4.6 Osaecznie: a = k b. (.4.7 Podsawiając (.4.7 do wzoru (.4.4, orzymujemy: Tp = T ( k. Ze wzoru (.4. dla k = 4.58 (zob. ab..4.9 oraz czasu Tp = 5.0 (zob. rys..4.. wyznaczamy warość sałej czasowej T: Ze wzoru (.4.8 wyznaczamy warość sałej czasowej T: Tp 5.0 T = = 0,97 k T = k T = Podsumowanie Po wyznaczeniu warości sałych czasowych obieku należy zweryfikować poprawność wykonanej idenyfikacji np. przez wyznaczenie różnicy sygnałów wyjściowych. Jeżeli różnica jes zby duża, rzeba wykonać korekę położenia punku przegięcia P i ponownie wyznaczyć sałe czasowe. Duże warości różnicy sygnałów obieku i jego modelu zawsze wskazują na porzebę koreky warości paramerów lub ypu modelu. okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema obliczeń: Komenarz: Tabela.4.9. Wielokrone rozwiązywanie równania z jedną niewiadomą p k lnk ( klnk ( ( Y Ym p k ke k e a roo p, k Ym k Y p 0.0p Ym (.4.8 Zmienna k, wzór (.4.3, wysępuje w niejawnej posaci. p zmienna pomocnicza Yp warość sygnału wyjściowego w punkcie przegięcia Ym warość maksymalna sygnału wyjściowego k : = przypuszczalna warość a p wekor wyników (wpisz: a[p Dla wyrażeń z kilkoma pierwiaskami warość przypuszczalna określa, kóry pierwiasek zosanie obliczony. dla Yp = 0. a p = 4.58 ``` 40

43 cd. abeli.4.9. Wynik Wykres pierwiasków równania.4.8 a p = Pierwiaski rzeczywise równania (.4.8 dla p (5, 6 a p p ``` 4

44 .5. Charakerysyki obieku całkującego Transmiancję operaorową obieku całkującego określa wzór: Kc(s = s Tc. (.5. Dla s = iω orzymujemy ransmiancję widmową obieku całkującego Kc( ω = i ω Tc. (.5. Charakerysykę czasową obieku całkującego określa wzór: Kc ( = Tc. (.5.3 W zasosowaniach echnicznych obiek całkujący modelowany jes jako szeregowe połączenie obieku całkującego z obiekem inercyjnym pierwszego lub drugiego rzędu albo jako szeregowe połączenie obieku całkującego z dwoma obiekami inercyjnymi pierwszego rzędu. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.5.. Obiek całkujący: ransformay sygnału wyjściowego s Tc stc s stc ( st T T Te Tc s stc ( st ( st T T T T e TTc T T e T TTc T Transformaa sygnału wyjściowego. Charakerysyka czasowa odwrona ransformaa Laplace a. zaznacz zmienną: s z menu Symbolics wybierz: Transform nasępnie wybierz: Inverse Laplace Procesor symboliczny wpisze pod wzorem Tc ransformay sygnału wyjściowego. Transformaa sygnału wyjściowego szeregowego połączenia obieku inercyjnego pierwszego rzędu i obieku całkującego. Charakerysyka czasowa szeregowego połączenia obieku inercyjnego pierwszego rzędu i obieku całkującego. Transformaa sygnału wyjściowego szeregowego połączenia dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu i obieku całkującego. Charakerysyka czasowa szeregowego połączenia dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu i obieku całkującego. Tc sała czasowa obieku całkującego. T, T sałe czasowe obieków inercyjnych. ``` 4

45 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.5.. Obiek całkujący: charakerysyki czasowe 0, Tc3 0. Kc ( Kc ( Kc3 ( Tc Tc Tc3 Tc 0 Tc Dla x( = (, y( = ( Kc( = Kc( Sałą czasową obieku całkującego można wyznaczyć bezpośrednio z charakerysyki czasowej. Jeżeli dla x( = (, y( = o = Tc Kc ( Kc ( Kc3 ( Rys..5.. Charakerysyki czasowe obieku całkującego dla: Tc = 0, Tc =, Tc3 = 0. Wynik porównania charakerysyk czasowych obieku całkującego idealnego (zob. rys..5. i obieku rzeczywisego określa błąd całkowania, kóry związany jes z powsaniem dodakowego opóźnienia To (zob. rys..5., kórego warość jes równa warości sałej czasowej obieku inercyjnego pierwszego rzędu (zob. ab Dla małych warości sałej czasowej obieku inercyjnego T << Tc wykres Kr3( i dużych warości czasów całkowania >> To Y YidYr błąd względny całkowania określony jako = (gdzie: Yid sygnał wyjściowy obieku Y Yid całkującego idealnego, Yr sygnał wyjściowy obieku całkującego rzeczywisego nie jes duży. ``` 43

46 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.5.3. Charakerysyki czasowe szeregowego połączenia obieku całkującego z obiekem inercyjnym pierwszego rzędu Tc Ta 0.5 Tb 0.05 Tc 0.0 Kc ( Kr ( Kr ( Kr3 ( Tc Ta Tb Tc Ta Tae Tc Tb Tbe Tc Tc Tce Tc Obieky całkujące rzeczywise. Sała czasowa obieku całkującego. Sałe czasowe obieków inercyjnych pierwszego rzędu. Obiek całkujący idealny. wywołaj wykresy x y i określ ich paramery jak w przykładzie obliczeń z abeli.3. Charakerysyki czasowe przedsawione są na rysunku Kc( 0.3 Kr( Kr( Kr3( 0. To Rys..5.a. Charakerysyki czasowe szeregowego połączenia obieku całkującego z obiekem inercyjnym pierwszego rzędu dla: Tc =, Ta = 0.5, Tb = 0.05, Tc = 0.0 ``` 44

47 Kc ( 0.06 Kr( Kr( Kr3( Rys..5.b. Charakerysyki czasowe szeregowego połączenia obieku całkującego z obiekem inercyjnym pierwszego rzędu dla: Tc =, Ta = 0.5, Tb = 0.05, Tc = 0.0 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.5.4. Charakerysyki czasowe szeregowego połączenia dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu z obiekem całkującym Tc T 0. Kc ( Tc KR ( KR ( KR3 ( Ta 0.05 Tb Tc 0.00 T Ta T Tb T Tc T T e Ta Ta e T TTc TcTa T T e Tb Ta e T TTc TcTb T T e Tc Ta e T TTc TcTc Ta Tb Tc Sała czasowa obieku całkującego (Tc. Sałe czasowe obieków inercyjnych pierwszego rzędu. Obiek całkujący idealny. Obieky całkujące rzeczywise. wywołaj wykresy x y i określ ich paramery jak w przykładzie obliczeń z abeli.3.. Charakerysyki czasowe przedsawione są na rysunku.5.3. ``` 45

48 0.8 Kc ( 0.6 KR ( KR ( KR3 ( Kc ( KR ( KR ( KR3 ( Rys Charakerysyki czasowe szeregowego połączenia dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu z obiekem całkującym dla: Tc =, T = 0., Ta = 0.05, Tb = 0.005, Tc = 0.00 ``` 46

49 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.5.5. Charakerysyki ampliudowe obieku całkującego i ω 0.0, Tc 0 Tc Tc3 0. K( ω K( ω K3( ω iωtc iωtc iωtc3 Transmiancje widmowe idealnych obieków całkujących. Sałe czasowe obieków całkujących. Wyznaczanie warości sałej czasowej obieku całkującego. Z charakerysyki ampliudowej obieku całkującego odczyujemy warość częsoliwości, dla kórej moduł ransmiancji jes równy, nasępnie z warunku ω Tc =wyznaczamy warość sałej czasowej Tc K( ω K( ω K3( ω ω Rys Charakerysyki ampliudowe obieku całkującego dla: Tc = 0, Tc =, Tc3 = 0. Podsumowanie Wynik porównania charakerysyk czasowych rzeczywisych obieków całkujących wskazuje, że podsawowe właściwości rzeczywisego obieku całkującego modelowanego w posaci szeregowego połączenia z obiekami inercyjnymi pierwszego rzędu określa największa warość sałej czasowej obieku inercyjnego. W prakyce echnicznej warość kolejnej sałej czasowej szeregowo połączonych obieków inercyjnych jes kilka razy mniejsza od warości poprzedniej sałej czasowej, zn. Tc >> T > T. Argumen ransmiancji obieku całkującego (idealnego wynosi π / i nie zależy od częsoliwości sinusoidalnie zmiennego sygnału wejściowego, zn., że Re(Kc(ω = 0 i wszyskie sinusoidalnie zmienne sygnały wyjściowe obieku całkującego są cofnięe o ką 90 o względem począkowego kąa (fazy sygnału wejściowego. ``` 47

50 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.5.6. Charakerysyki ampliudowe rzeczywisego obieku całkującego i ω 0., Tc Ta 0.05 Tb Tc 0.00 Kc( ω iωtc Kr( ω iωtc( iωta Kr( ω iωtc( iωtb Kr3( ω iωtc( iωtc Tc T 0. Ta 0.05 Tb Tc 0.00 KR( ω KR( ω KR3( ω iωtc( iωt ( iωta iωtc( iωt ( iωtb iωtc( iωt ( iωtc Krok obliczeń (liczbę punków obliczeniowych w przedziałach zmiennych należy dososować do echnicznych możliwości kompuera wykonującego obliczenia (wielkość pamięci wirualnej oraz możliwości procesora programu Mahcad. Duża liczba punków obliczeniowych wydłuża czas wykonywania obliczeń, może być przyczyną przerwania pracy programu. - wywołaj wykresy x y i określ ich pa ramery jak w przykładzie obliczeń z abeli.3.. Charakerysyki przedsawione są na rysunku.5.5. Kc( ω Kr( ω Kr( ω Kr3( ω KR( ω KR( ω KR3( ω ω Rys Charakerysyki ampliudowe obieków całkujących idealnego i rzeczywisych ``` 48

51 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.5.7. Charakerysyki fazowe rzeczywisych obieków całkujących ω 0.0.5, Tc Ta 0.05 Tb Tc 0.00 Kr( ω iωtc( iωtb Kr( ω iωtc( iωta Kr3( ω iωtc( iωtc Obiek całkujący połączony szeregowo z obiekem inercyjnym pierwszego rzędu. Sałe czasowe obieku inercyjnego pierwszego rzędu. wywołaj wykresy x y i określ ich paramery jak w przykładzie obliczeń z abeli.3..5 arg( Kc( ω arg( Kr( ω arg( Kr( ω.5 arg( Kr3( ω Rys Charakerysyki fazowe obieków całkujących idealnego i rzeczywisych iϕ Należy pamięać, że warości ϕ = arg(z obliczane przez program Mahcad dla wykładniczych posaci liczby zespolonej z = r e zawierają się między π a π. Obliczenia arg(z dla funkcji, gdzie warość ϕ jes większa od π, wykonujemy jako obliczenia sumy argumenów, np. dla szeregowego połączenia obieku całkującego z obiekami inercyjnymi ransmiancje i argumeny określają wzory: Kc( ω Kc( ωk ( ω ω ( Kc( ωk ( ω, (.5.4 Kc ω (.5.5 gdzie: Kc( ω K( ω K ω iωtc (.5.8 ( iωt ( iωt ϕ( ω arg( Kc( ω arg( K( ω (.5.6 ( (.5.7 (.5.9 ϕ( ω argkc ( ( ω argk ( ( ω (.5.0 ( iωt ``` 49

52 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.5.8. Charakerysyki fazowe rzeczywisych obieków całkujących Tc Ta 0.05 Tb Tc 0.00 Kc( ω Kb( ω i ω 0., Ka( ω iω Tc ( iω Ta ( iω Tb Kc ( ω ( iω Tc Szeregowe połączenie obieków inercyjnych pierwszego rzędu z obiekem całkującym. ϕr ( ω arg( Kc( ω arg( Ka ( ω ϕr ( ω arg( Kc( ω arg( Kb ( ω ϕr3 ( ω arg( Kc( ω arg( Kc ( ω T 0. KR( ω KR( ω KR3( ω Ta 0.05 Tb Tc 0.00 ( iωt ( iωta ( ( iωtb iωt ( iωt ( iωtc ϕr ( ω arg( Kc( ω arg( KR( ω ϕr ( ω arg( Kc( ω arg( KR( ω ϕr3 ( ω arg( Kc( ω arg( KR3( ω wywołaj wykresy x y i określ ich paramery jak w przykładzie obliczeń z abeli.3. ϕr( ω ϕr( ω ϕr3( ω ϕr( ω ϕr( ω ϕr3( ω 3 arg( Kc( ω ω Rys Charakerysyki fazowe obieków całkujących idealnego i rzeczywisych ``` 50

53 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.5.9. Charakerysyki częsoliwościowe rzeczywisych obieków całkujących i ω 0.0, Tc Ta 0.05 Tb Tc 0.00 Kr( ω iω Tc ( iω Ta Kr( ω iω Tc ( iω Tb Kr3( ω iω Tc ( iω Tc T 0. Ta 0.05 Tb Tc 0.00 KR( ω iω Tc ( iω T ( iω Ta KR( ω iω Tc ( iω T ( iω Tb KR3( ω iω Tc ( iω T ( iω Tc Sałe czasowe pierwszego obieku inercyjnego. Szeregowe połączenie obieku inercyjnego pierwszego rzędu z obiekem całkującym. Sałe czasowe drugiego obieku inercyjnego. Szeregowe połączenie dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu z obiekem całkującym. wywołaj wykresy x y i określ ich paramery jak w przykładzie obliczeń z abeli.3. Im( Krω ( Im( Krω ( Im( Kr3ω ( Im( KRω ( Im( KRω ( 0.3 Im( KR3ω ( Re( Krω (, ReKrω ( (, Re( Kr3ω (, Re( KRω (, Re( KRω (, Re( KR3ω ( Rys Charakerysyki częsoliwościowe rzeczywisych obieków całkujących ``` 5

54 .6. Charakerysyki obieku różniczkującego Transmiancję operaorową obieku różniczkującego określa wzór: Kr(s = s Tr. (.6. Dla s = i ω orzymujemy ransmiancję widmową obieku różniczkującego Kr( ω = i ω Tr. (.6. Transmiancję (czasową obieku różniczkującego określa wzór: Kr( = Tr (, gdzie ( dela Diraca. (.6.3 [Program Mahcad sosuje oznaczenie ( w miejsce powszechnie sosowanego δ(]. W zasosowaniach echnicznych obiek różniczkujący modelowany jes jako szeregowe połączenie obieku różniczkującego z obiekem inercyjnym pierwszego lub drugiego rzędu albo jako szeregowe połączenie obieku różniczkującego z dwoma obiekami inercyjnymi pierwszego rzędu. Tabela.6.. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Obiek różniczkujący: ransformay sygnału wyjściowego s s Tr Tr ( str s ( st T Tr e T str s ( st ( st T T Tr e Tr e T T Transformaa sygnału wyjściowego. Charakerysyka czasowa odwrona ransformaa Laplace a. zaznacz zmienną s z menu Symbolics wybierz Transform wybierz Inverse Laplace Procesor symboliczny programu wpisze: Tr ( pod wzorem ransformay sygnału wyjściowego. Transformaa sygnału wyjściowego dla szeregowego połączenia obieku inercyjnego pierwszego rzędu i obieku różniczkującego. Charakerysyka czasowa szeregowego połączenia obieku inercyjnego pierwszego rzędu i obieku różniczkującego. Transformaa sygnału wyjściowego szeregowego połączenia dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu i obieku różniczkującego. Charakerysyka czasowa szeregowego połączenia dwóch obieków inercyjnego pierwszego rzędu i obieku różniczkującego. Tr sała czasowa obieku różniczkującego. T, T sałe czasowe obieków inercyjnych. ``` 5

55 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.6.. Obiek różniczkujący rzeczywisy: charakerysyki czasowe szeregowego połączenia obieku inercyjnego pierwszego rzędu i obieku różniczkującego 0, Kr( Kr( K3r( Ta Tr e Ta Tb Tre Tb Tc Tr e Tc Tr Ta 0.5 Tb 0.05 Tc 0.0 Dla sygnału wejściowego x( = ( funkcja skokowa Heaviside a, sygnał wyjściowy obieku różniczkującego wynosi: y( = x( Kr( = Kr( = Tr ( Dela Diraca funkcja impulsowa o obiek maemayczny o właściwościach dla = 0 ( = 0dla 0 Tr sała czasowa obieku różniczkującego. Ta, Tb, Tc sałe czasowe obieków inercyjnych. wywołaj wykresy x y i określ ich paramery jak w przykładzie obliczeń z abeli Kr ( 60 Kr ( K3r ( Rys..6.. Charakerysyki czasowe rzeczywisego obieku różniczkującego ``` 53

56 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.6.3. Charakerysyki czasowe szeregowego połączenia dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu z obiekem różniczkującym 0, Tr T 0. Ta 0.05 KR( KR( K3R( Tb 0.0 Tc 0.00 T Ta Tre Tr e T Ta T Tb Tre Tr e T Tb T Tc Tre Tr e T Tc Tr sała czasowa obieku różniczkującego. T sała czasowa pierwszego obieku inercyjnego. Sałe czasowe dla drugiego obieku inercyjnego. Obieky różniczkujące rzeczywise. wywołaj wykresy x y i określ ich paramery jak w przykładzie obliczeń z abeli.3. Charakerysyki czasowe przedsawione są na rysunku KR ( 6 KR ( K3R ( Rys Charakerysyki czasowe szeregowego połączenia obieku różniczkującego z dwoma obiekami inercyjnymi pierwszego rzędu dla: Tr =, T = 0., Ta = 0.05, Tb = 0., Tc = 0.00 ``` 54

57 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.6.4. Charakerysyki ampliudowe obieku różniczkującego i ω 0.0, Tr 0 Tr Tr3 0. K( ω iω Tr K( ω iω Tr K3( ω iωtr3 Sałe czasowe obieków różniczkujących Tr, Tr, Tr3 Transmiancje widmowe idealnych obieków różniczkujących. Wyznaczanie warości sałej czasowej obieku różniczkującego Z charakerysyki ampliudowej obieku różniczkującego odczyujemy warość częsoliwości, dla kórej moduł ransmiancji jes równy, nasępnie z warunku ωtr =obliczamy warość sałej czasowej Tr. 0 3 K( ω K( ω K3( ω ω 00 Rys Charakerysyki ampliudowe obieku różniczkującego dla: Tr = 0, Tr =, Tr3 = 0. Podsumowanie Wynik porównania charakerysyk czasowych rzeczywisych obieków różniczkujących wskazuje, że podsawowe właściwości rzeczywisego obieku różniczkującego modelowanego w posaci szeregowego połączenia z obiekami inercyjnymi pierwszego rzędu określa największa warość sałej czasowej obieku inercyjnego. W prakyce echnicznej warość kolejnej sałej czasowej szeregowo połączonych obieków inercyjnych jes kilka razy mniejsza od warości poprzedniej sałej czasowej, zn. Tr >> T > T. Argumen ransmiancji obieku różniczkującego (idealnego wynosi π / i nie zależy od częsoliwości sinusoidalnie zmiennego sygnału wejściowego, zn., że Re(Kr(ω = 0 i wszyskie sinusoidalnie zmienne sygnały wyjściowe obieku różniczkującego wyprzedzają sygnał wejściowy o ką 90 o określony względem fazy sygnału wejściowego. ``` 55

58 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.6.5. Charakerysyki ampliudowe i fazowe rzeczywisego obieku różniczkującego ω 0., Tr Ta 0.05 Tb Tc 0.00 Kr( ω Kr( ω Kr3( ω iω Tr ( iω Ta iω Tr ( iω Tb iω Tr ( iω Tc T 0. Ta 0.05 Tb Tc 0.00 KR( ω KR( ω KR3( ω iω Tr ( iω T ( iω Ta iω Tr ( iω T ( iω Tb iω Tr ( iω T ( iω Tc Krok obliczeń (liczbę punków obliczeniowych w przedziałach zmiennych należy dososować do echnicznych możliwości kompuera wykonującego obliczenia (wielkość pamięci wirualnej oraz możliwości procesora programu Mahcad. Duża liczba punków obliczeniowych wydłuża czas wykonywania obliczeń, może być przyczyną przerwania pracy programu. wywołaj wykresy x y i określ ich paramery jak w przykładzie obliczeń z abeli.3. Charakerysyki rzeczywisego obieku różniczkującego przedsawiają rysunki:.6.5, Kr( ω Krω ( Krω ( Kr3ω ( KRω ( KRω ( KR3ω ( ω Rys Charakerysyki ampliudowe obieków różniczkujących idealnego i rzeczywisych ``` 56

59 arg( Kr( ω arg( Kr( ω arg( Kr( ω arg( Kr3( ω arg( KR( ω arg( KR( ω 0 arg( KR3( ω ω Rys Charakerysyki fazowe obieków różniczkujących idealnego i rzeczywisych (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.6.6. Charakerysyki częsoliwościowe szeregowego połączenia obieku różniczkującego z obiekem inercyjnym pierwszego rzędu ω 0, Tr Ta 0.05 Tb Tc 0.00 Kr( ω Kr( ω Kr3( ω iω Tr ( iω Ta iω Tr ( iω Tb iω Tr ( iω Tc Sała czasowa obieku różniczkującego. Sałe czasowe obieku inercyjnego. wywołaj wykresy x y i określ ich paramery jak w przykładzie obliczeń z abeli.3. Charakerysyki częsoliwościowe przedsawiono na rysunku.6.7. Podsumowanie Charakerysyki ampliudowe oraz fazowe obieków różniczkujących przedsawione na rysunkach.6.5 i.6.6 oraz charakerysyki ampliudowe i fazowe obieków całkujących przedsawione na rysunkach.5.5,.5.6 i.5.7 zosały wyznaczone dla idenycznych warości sałych czasowych. Porównując charakerysyki fazowe obieków całkujących i obieków różniczkujących, dosrzegamy ich podobieńswo. Charakerysyki fazowe obieków całkujących są przesunięe względem charakerysyk fazowych obieków różniczkujących o warość π. ``` 57

60 Im( Kr( ω 300 Im( Kr( ω 00 ImKr3 ( ( ω Re ( Kr( ω, Re( Kr( ω, Re( Kr3( ω Rys Charakerysyki częsoliwościowe szeregowego połączenia obieku różniczkującego z obiekem inercyjnym pierwszego rzędu dla: Tr =, Ta = 0.05, Tb = 0.005, Tc = 0.00 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.6.7. Charakerysyki częsoliwościowe szeregowego połączenia dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu z obiekem różniczkującym ω 00.5,.. 00 Tr T 0. Ta 0.05 Tb Tc 0.00 KR( ω KR( ω KR3( ω iω Tr ( iω T ( iω Ta iω Tr ( iω T ( iω Tb iω Tr ( iω T ( iω Tc T sała czasowa pierwszego obieku inercyjnego. T sała czasowa drugiego obieku inercyjnego. wywołaj wykresy x y i określ ich paramery jak w przykładzie obliczeń z abeli.3. Charakerysyki częsoliwościowe przedsawiono na rysunku.6.8. ``` 58

61 3 ImKR ( ( ω ImKR ( ( ω ImKR3 ( ( ω ReKR ( ( ω, ReKR ( ( ω, ReKR3 ( ( ω Rys Charakerysyki częsoliwościowe szeregowego połączenia dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu z obiekem różniczkującym dla: Tr =, T=0., Ta = 0.05, Tb = 0.005, Tc = 0.00 ``` 59

62 .7. Modelowanie regulaora PID Układ regulacji jednej zmiennej jes przedsawiony na rysunku.7.. Sygnał regulowany y o sygnał, kórego warość mimo oddziaływania zmiennych czynników zewnęrznych (w auomayce mówimy o oddziaływaniu sygnałów zakłócających z ma być sała lub zmieniać się zgodnie z sygnałem serującym y o. Porównywanie sygnału wyjściowego z sygnałem serującym wykonuje węzeł sumujący. Wynik porównania jako sygnał e = (y o y nazywany jes sygnałem błędu regulacji, kóry przez obiek Kr nazywany regulaorem działa na obiek główny Ko. Regulaor o obiek auomayki, kórego zadaniem jes wywarzanie akiego sygnału regulującego x, aby sygnał y wyjściowy obieku jak najmniej różnił się od sygnału serującego y o, zn. by sygnał e błędu regulacji był jak najmniejszy. wy z zakłócenia x P Ko (obiek zasilanie Kr (regulaor y e we y Źródło sygnału serującego Regulaor przemysłowy Rys..7.. Schema ideowy prosego układu regulacji jednej zmiennej wyjściowej y Jeżeli układ regulacji urzymuje (sabilizuje, niezależnie od działających zakłóceń, sygnał wyjściowy y na sałym poziomie równym sygnałowi serującemu y o, o wykonuje zadanie regulacji sabilizacyjnej (regulacja sałowarościowa. Jeżeli sygnał wyjściowy y układu regulacji śledzi losowo zmieniające się zmiany sygnału serującego y o (nadąża za zmianami, niezależnie od działających zakłóceń, o wykonuje zadanie regulacji śledzącej (nadążnej. Odmianą regulacji śledzącej jes regulacja programowa, w kórej wymaga się, by sygnał wyjściowy y układu regulacji zmieniał się zgodnie z wcześniej usalonym sygnałem serującym y o (zn. zgodnie z programem zmian warości sygnału serującego, niezależnie od działających zakłóceń. ``` 60

63 Najczęściej sosowaną zasadą pracy regulaora (algorym PID jes sumowanie działania proporcjonalnego, całkującego i różniczkującego, kóre wykonywane są na sygnale błędu regulacji, kóry może być sygnałem ciągłym (analogowym lub dyskrenym (cyfrowym. Algorym en, łącząc rzy podsawowe cechy sygnału błędu regulacji e, wywarza sygnał serujący x, kóry skuecznie wpływa na zachowania obieku regulacji (wpływa na warości y jego sygnału wyjściowego. Działanie proporcjonalne regulaora określa udział akualnej warości sygnału błędu regulacji w sygnale serującym. Działanie całkujące opisuje udział hisorycznych zmian warości sygnału błędu regulacji w sygnale serującym. Działanie różniczkujące wyraża udział akualnych endencji zmian sygnału błędu regulacji w sygnale serującym. Na rysunku.7. przedsawione są dwie podsawowe srukury regulaorów przemysłowych działające według algorymu PID-IND lub algorymu PID-ISA. k p e( we e(s s Tc x( wy x(s e( we k p s Tc e(s x( wy x(s s Tr s Tr Algorym PID-IND Algorym PID-ISA Rys..7.. Srukura przemysłowych regulaorów działających według algorymów PID Regulaor PID jes obiekem złożonym, kórego podsawowa (idealna srukura zawiera rzy równolegle połączone obieky: proporcjonalny z wzmocnieniem kp, całkujący ze sałą czasową Tc i różniczkujący ze sałą czasową Tr. Zgodnie z definicją ransmiancji ransmiancja zasępcza obieków połączonych równolegle jes sumą ransmiancji ych obieków. Modelując regulaor PID do realizacji porzeb obieku regulacji zgodnie z przyjęymi założeniami projekowymi lub wymaganej dokładności odwzorowania właściwości rzeczywisego układu regulacji, zakłada się, że obieky funkcyjne regulaora (wzmocnienie, całkowanie, różniczkowanie są obiekami idealnymi lub obiekami rzeczywisymi. Modele rzeczywisych regulaorów PID mogą uwzględniać konsrukcyjne ograniczenia maksymalnych warości sygnałów wejściowych i wyjściowych w obiekach funkcyjnych (zw. nasycenie lub skończoną warości wzmocnienia i ograniczoną szerokości częsoliwościowego pasma wzmocnienia obieków proporcjonalnych (wzmacniaczy użyych do budowy obieków funkcyjnych. W prakycznych zasosowaniach algorymu PID zadowalające odwzorowanie konsrukcyjnych właściwości rzeczywisych obieków funkcyjnych regulaora zapewniają modele szeregowego połączenia idealnego obieku funkcyjnego z obiekem inercyjnym pierwszego rzędu. Transmiancję operaorową regulaora z idealnym algorymem PID-IND określa wzór: Kr(s = kp s Tr (.7. s Tc Transmiancję operaorową regulaora z algorymem PID-ISA określa wzór: Kr(s = kp ( s Tr (.7. s Tc ``` 6

64 Do realizacji celów poznania właściwości układów regulacji na podsawie analizy ransmiancji zasępczej układu regulacji korzysniej jes przedsawić regulaor i jego algorym PID w posaci szeregowego połączenia regulaorów ypu PI (proporcjonalno-całkującego i PD (proporcjonalno-różniczkującego (zob. rys e ( x ( we k p e (s. s Tc s. Tr x (s Rys Srukura regulaora PID w posaci szeregowego połączenia regulaorów: PI i PD Kolejność szeregowo połączonych regulaorów PI, PD, kóre mają działać zgodnie z algorymem PID, jes eoreycznie obojęna. W prakyce isnieją różne kryeria usalania kolejności elemenów regulaora. Jednym z nich może być zakres wyserowania obieków, zn., że na wejściu włącza się obieky o najniższej częsoliwości granicznej i małym wzmocnieniu, w ym przypadku regulaor PI przed regulaorem PD, a na końcu obiek proporcjonalny kp. Innym kryerium usalania kolejności mogą być właściwości szumowe regulaora. Wówczas korzysna jes odwrona kolejność, ponieważ obiek całkujący redukuje szumy sopni wejściowych. Transmiancję operaorową szeregowego połączenia regulaorów (PI i PD przedsawionego na rys..7.3 określa wzór: ( s Tc ( s Tr Kr(s = kp ( ( s Tr = kp s Tc s Tc. (.7.3 Tr Dla Tc = kptc i Tr = kp (.7.4 algorym PID-ISA (wzór.7. ma posać równoważną algorymowi PID-IND (wzór.7.. Tr Tr Tc Dla: kp = kp (, Tc = Tc Tr, Tr = Tc (.7.5 Tr Tc algorym PID-ISA (wzór.7. ma posać równoważną algorymowi szeregowo połączonych regulaorów PI i PD (wzór Charakerysyki czasowe regulaora PID-IND z idealnym algorymem PID W prakycznych zasosowaniach algorymu PID, szczególnie w analogowych realizacjach działania różniczkującego, wielu konsrukorów celowo wprowadza w części różniczkującej dodakowy obiek inercyjny, kóry zmniejszając maksymalną warości pochodnej sygnału błędu regulacji, jednocześnie zwiększa czas, po kórym sygnały charakerysyk czasowych Kr(, Kr(, K3r(3 lub KR(, KR(, K3R(3 obieków różniczkujących różnią się od zerowej warości sygnału w sanie usalonym nie więcej niż warość błędu porównania (zob. przykłady rzeczywisego różniczkowania przedsawione w ab..6. i.6.3. W wyniku akiego działania w rzeczywisym obiekcie różniczkującym nie wysępuje zjawisko ograniczania (nasycania warości sygnału wyjściowego i w układzie regulacji może zosać zachowana ciągłość pracy pęli regulacyjnej, zwłaszcza w przypadkach szybkich zmian sygnału serującego, a końcowy wynik ``` 6

65 różniczkującego oddziaływania regulaora nie zależy od warości sałych czasowych T, T dodakowo wprowadzonego obieku inercyjnego. W procesie rzeczywisego różniczkowania modelowanego jako szeregowe połączenie obieku różniczkującego z obiekem inercyjnym pierwszego rzędu (zob. ab..6. pole ograniczone wykresem charakerysyki czasowej różniczkującej części regulaora PID jes sałe i wynosi: Kr( 0 Tr T Tr e T d = Tr. (.7.6 W procesie rzeczywisego różniczkowania modelowanego jako szeregowe połączenie obieku różniczkującego z dwoma obiekami inercyjnymi pierwszego rzędu (zob. ab..6.3 charakerysykę czasową określa wzór: KR(. T T Pole ograniczone wykresem ej czasowej charakerysyki również jes sałe i wynosi: T T Tr e Tre Tr et Tr et d = Tr. 0 T T (.7.7 Właściwości liniowego regulaora PID określa jego ransmiancja, kóra w zależności od zasosowanego algorymu oraz rzeczywisych lub idealnych obieków funkcyjnych regulaora (różniczkowanie, całkowanie, wzmocnienie jes funkcją kilku paramerów (sałe czasowe: inercji, całkowania, różniczkowania, wzmocnienie. Dziedziny analizy (czas, częsoliwość, w kórych przeprowadza się badanie właściwości regulaora, dososowuje się do warości jego paramerów i porzeb głównego obieku układu regulacji. Sygnał wyjściowy regulaora, a akże pozosałe sygnały układu regulacji auomaycznej zgodnie z definicją ransmiancji mogą być badane jako parameryczne funkcje czasu. Analiza właściwości wieloparamerowych funkcji czasu nie jes prosym zadaniem. Osaeczną ocenę zachowania regulaorów i układów regulacji przeprowadza się w dziedzinie czasu, porównując sygnały rzeczywise z sygnałami obliczonymi w procesie analiz eoreycznych. Graficzne zobrazowanie wyników ych analiz, np. w rójwymiarowej przesrzeni, może wspomagać procesy idenyfikacji, opymalizacji i doboru paramerów (złożonych układów serowania. Doświadczalne badanie obieków, kórych warości sałych czasowych są duże, wykonuje się (najczęściej w dziedzinie czasu jeden eksperymen skokowej zmiany sygnału serującego (ciąg pomiarów warości sygnału wyjściowego określa charakerysykę czasową obieku. W dziedzinie częsoliwości przeprowadza się jednoczesne pomiary modułu i fazy sygnału wyjściowego. Pomiary modułu i fazy zwłaszcza w zakresie małych warości częsoliwości rwają długo i dlaego w prakyce echnicznej są rzadko wykonywane. Charakerysyki częsoliwościowe modeli idealnych i rzeczywisych obieków są efekywnym narzędziem badawczym i dlaego chęnie wykorzysywane są do wykonywania analiz. Przedsawione w ym rozdziale przykłady regulaorów i meodyka badania zmian sygnałów wyjściowych jako 3 4 paramerowych funkcji czasu lub częsoliwości mogą być podsawą lub wsępem do badań i opymalizacji właściwości wieloparamerowych układów regulacji. T T ``` 63

66 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.7... Charakerysyka czasowa regulaora PID-IND z różniczkowaniem rzeczywisym 0.0, kp Tc 0.5 Tr T 0. s T Ts K ( Tr kp s stc st T T Tc kp Tc Tr e T Tc Tc kps Tc Tr s TTc kps T Tc s ( Ts TTc kp Tc Tre TTc T Wykonaj czynności na podsawie przykładu, kóry jes przedsawiony w abeli.5.. określ przedział zmian czasu wpisz paramery regulaora rzeczywisego wpisz ransformaę Laplace a sygnału wyjściowego dla regulaora rzeczywisego Sygnał wyjściowy regulaora (odwrona ransformaa Laplace a wynik obliczeń procesora programu Mahcad. Transformaa sygnału wyjściowego (wynik obliczeń procesora programu Mahcad. Po wykonaniu dzielenia wielomianu licznika przez wielomian mianownika orzymujemy wzór począkowy: Tr kp s s stc st. Charakerysyka czasowa regulaora dla sygnału wejściowego e( = ( K ( Charakerysyka czasowa regulaora PID-IND z różniczkowaniem rzeczywisym dla: kp =, Tc = 0.5, Tr =, T = 0. ``` 64

67 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.7... Zesawienie charakerysyk czasowych regulaora PID-IND z rzeczywisym różniczkowaniem dla zmiennej warości sałej całkowania kp Tr T 0. K(, Tc K mn m m 0 0. m Tc n 0.n T TTc kp Tc Tr e TTc (, K m, Tc n n T Uwaga: na wykresach zesawieniowych zosał zmieniony zwro osi y n, rosnącym warościom zmiennej pomocniczej n odpowiadają malejące warości sałej całkowania Tc. Paramery sałe regulaora oraz zmienne pomocnicze dla macierzy wyników charakerysyki czasowej. Charakerysyka czasowa jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz wyników charakerysyki czasowej. K Zesawienie charakerysyk czasowych regulaora PID-IND z rzeczywisym różniczkowaniem dla zmiennej warości sałej całkowania ``` 65

68 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela Zesawienie charakerysyk czasowych regulaora PID-IND z rzeczywisym różniczkowaniem dla zmiennej warości sałej różniczkowania kp Tc T 0. m m 0 0.m K(, Tr TTc T T TTc kp Tc Tr e ( K mn, K m, Tr n n Tr n 0. n Paramery sałe regulaora. Zmienne pomocnicze dla macierzy wyników charakerysyki czasowej. Charakerysyka czasowa jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz wyników charakerysyki czasowej. K Zesawienie charakerysyk czasowych regulaora PID-IND z rzeczywisym różniczkowaniem dla zmiennej warości sałej różniczkowania ``` 66

69 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela Zesawienie charakerysyk czasowych regulaora PID-IND z rzeczywisym różniczkowaniem dla zmiennej warości wzmocnienia Tc 0.5 Tr T 0. Paramery sałe regulaora. m n m 0 0.m K(, kp T ( K mn, K m, kp n kp n n T TTc kp Tc Tre TTc Zmienne pomocnicze dla macierzy wyników charakerysyki czasowej. Charakerysyka czasowa jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz wyników charakerysyki czasowej. K Zesawienie charakerysyk czasowych regulaora PID-IND z rzeczywisym różniczkowaniem dla zmiennej warości wzmocnienia ``` 67

70 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Zesawienie charakerysyk czasowych regulaora PID-IND z rzeczywisym różniczkowaniem dla zmiennej warości sałej czasowej bloku inercyjnego Tc 0.5 Tr kp m n m 0 0.m K(, T T ( K mn, K m, T n T n 0. n T TTc kp Tc Tr e TTc Komenarz: Tabela Uwaga: na wykresach zesawieniowych zosał zmieniony zwro osi y n, rosnącym warościom zmiennej pomocniczej n odpowiadają malejące warości sałej czasowej T. Paramery sałe regulaora oraz zmienne pomocnicze dla macierzy wyników charakerysyki czasowej. Charakerysyka czasowa jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz wyników charakerysyki czasowej. K Zesawienie charakerysyk czasowych regulaora PID-IND z rzeczywisym różniczkowaniem dla zmiennej warości sałej czasowej bloku inercyjnego ``` 68

71 .7.. Charakerysyki częsoliwościowe regulaora PID-IND z rzeczywisym różniczkowaniem Tabela.7... (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Charakerysyki częsoliwościowe regulaora PID-IND z rzeczywisym różniczkowaniem dla różnych warości sałej czasowej bloku inercyjnego Tc Tr kp T 0. m, n.. 4 Km (, n kp X mn, Re( K( m, n Y mn, Im( K( m, n i m 0 i m Tr 0 Tc i m Tn 0 Wykonaj czynności na podsawie przykładu, kóry jes przedsawiony w abeli.3.6. wpisz paramery regulaora rzeczywisego określ krok obliczeń i przedział zmian częsoliwości, ω = 0.05 m określ przedział zmian sałej czasowej T wpisz ransmiancję regulaora jako funkcję dwóch zmiennych określ wekor części rzeczywisej określ wekor części urojonej uwórz wykres jednego wekora w funkcji drugiego wekora wybierz punky jako ślad linii wykresu Y m, n X m, n Charakerysyki częsoliwościowe regulaora PID-IND z rzeczywisym różniczkowaniem dla: Tc =, Tr =, kp = i różnych warości sałej czasowej bloku inercyjnego: T = 0., T = 0., T = 0.3, T = 0.4 ``` 69

72 .7.3. Charakerysyki ampliudowo-fazowe regulaorów PID-IND (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela Charakerysyki ampliudowo-fazowe regulaorów PID-IND: idealnego i z rzeczywisym różniczkowaniem dla różnych warości sałej czasowej bloku inercyjnego i K ω 0., Tc Tr 0. kp ( ω kp T 0.00 K( ω kp T 0.0 K( ω kp T 0.05 K3( ω kp iω Tc i ω Tr iω Tc i ω iω Tr iω T iω Tr Tc iω T iω Tr Tc iω T i ω Wykonaj czynności na podsawie przykładu, kóry jes przedsawiony w abeli.3.3. określ krok obliczeń i przedział częsoliwości wpisz podsawowe paramery regulaora wpisz ransmiancję K(ω regulaora określ warość sałej czasowej T regulaora rzeczywisego wpisz ransmiancję K(ω regulaora rzeczywisego uwórz dwa wykresy większej ilości wyrażeń w pierwszym wykresie wprowadź na osi y moduły wyrażeń K(ω, K(ω, K(ω, K3(ω w drugim wykresie wprowadź na osi y argumeny wyrażeń K(ω, K(ω, K(ω, K3(ω wprowadź na osi x zmienną ω wybierz logarymiczne skale dla wykresu modułów ransmiancji regulaorów wybierz linie i punky jako ślady wykresów wybierz liniową skalę na osi y dla charakerysyki argumenu ransmiancji regulaorów 00 K( ω K( ω K( ω 0 K3( ω Charakerysyki ampliudowe regulaorów PID-IND: idealnego i z rzeczywisym różniczkowaniem dla: Tc =, Tr = 0., kp = i różnych warości sałej czasowej bloku inercyjnego: T = 0.00, T = 0.0, T = 0.05 ω ``` 70

73 cd. abeli argkω ( ( argk ( ( ω argk ( ( ω argk3 ( ( ω ω Charakerysyki fazowe regulaorów PID-IND: idealnego i z rzeczywisym różniczkowaniem dla: Tc =, Tr = 0., kp = i różnych warości sałej czasowej bloku inercyjnego: T = 0.00, T = 0.0, T = 0.05 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych idealnego regulaora PID-IND dla zmieniającej się warości sałej całkowania i n ωn 0 Kid( ω, Tc 0log kp Mnm n0 0 ϕid( ω, Tc arg kp Tr 0. kp (, Kid ωntcm, m Tcm 0 m ϕn, m ϕid ωn, Tc m iω Tc i ω Tr iω Tc i ω ( Tr Regulaor PID idealnymi blokami funkcyjnymi. Sałe paramery regulaora. Paramery pomocnicze. Wekory zmiennych pomocniczych: ω, Tc Zakres zmian częsoliwości ω (0.0, 000 Zakres zmian sałej całkowania Tc (0, Moduł ransmiancji jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz warości modułu ransmiancji. Argumen ransmiancji. Macierz warości argumenu ransmiancji. Charakerysyki przedsawione są na rysunku ``` 7

74 M ϕ Rys..7.3.a. Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych idealnego regulaora PID-IND dla: kp =, Tr = 0. i zmieniającej się warości sałej całkowania Tc (0, ``` 7

75 M ϕ Rys..7.3.b. Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych idealnego regulaora PID-IND dla: kp =, Tr = i zmieniającej się warości sałej całkowania Tc (0, ``` 73

76 M ϕ Rys..7.3.c. Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych idealnego regulaora PID-IND dla: kp = 0, Tr = 0. i zmieniającej się warości sałej całkowania Tc (0, ``` 74

77 M ϕ Rys..7.3.d. Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych idealnego regulaora PID-IND dla: kp = 0, Tr = i zmieniającej się warości sałej całkowania Tc (0, ``` 75

78 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych idealnego regulaora PID-IND dla zmieniającej się warości wzmocnienia i n ωn 0 n0 0 ( M n, m Kid ωn, kp m ( ϕn, m ϕid ωn, kp m Tr 0. m kpm m Tc Kid( ω, kp 0log kp iω Tc i ω Tr ϕid( ω, kp arg kp iω Tr iω Tc Regulaor PID idealnymi blokami funkcyjnymi. Sałe i pomocnicze paramery regulaora. Wekory zmiennych pomocniczych: ω, kp Zakres zmian częsoliwości ω (0.0, 000 Zakres zmian wzmocnienia kp (, 0 Moduł ransmiancji jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz warości modułu ransmiancji. Argumen ransmiancji. Macierz warości argumenu ransmiancji. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych idealnego regulaora PID-IND dla zmieniającej się warości sałej różniczkowania i n ωn 0 m ( ϕn, m ϕid ωn, Tr m Tr m 0.m ( ω, Tr 0log kp iω Tc i ω Kid Tr M nm ϕ ω Tr n0 0 (, Kid ω n, Tr m Tc 0 kp (, arg kp iω Tc i ω Tr id Regulaor PID idealnymi blokami funkcyjnymi. Sałe paramery regulaora. Paramery pomocnicze. Wekory zmiennych pomocniczych: ω, Tr Zakres zmian częsoliwości ω (0.0, 000 Zakres zmian sałej różniczkowania Tr (, 0. Moduł ransmiancji jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz warości modułu ransmiancji. Argumen ransmiancji. Macierz warości argumenu ransmiancji. ``` 76

79 M ϕ Rys Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych idealnego regulaora PID-IND dla: Tc =, Tr = 0. i zmieniającej się warości wzmocnienia kp (, 0 ``` 77

80 M ϕ Rys Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych idealnego regulaora PID-IND dla: Tc = 0, kp = i zmieniającej się warości sałej różniczkowania Tr (, 0. ``` 78

81 .7.4. Charakerysyki ampliudowo-fazowe regulaora PID-IND z różniczkowaniem rzeczywisym Tabela (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PID-IND z różniczkowaniem rzeczywisym dla zmieniającej się warości sałej całkowania i n n0 0 ωn 0 Tc m 0 m (okno robocze programu Mahcad - w polu eksowym wpisz ema: Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PID-IND z różniczkowaniem rzeczywisym dla zmieniającej się warości sałej różniczkowania. i n n0 ωn 0 0 kp kp m Tc 0 T Trm iω Tr Kr ( ω, Tr 0 log kp iω Tc iω T ϕr ( ω, Tr arg kp Tr T 0. m Kr( ω, Tc i 0 kp ω Tr log iω Tc iω T, Kr ω n, Tcm Mnm ( ϕr ( ω, Tc arg kp, ϕ r ωn, Tc m ϕn m Mnm ( (, Kr ωn, Trm ( ϕn, m ϕr ωn, Tr m iωtr Tc iω T i ω iω Tc iω m Tr iω T Algorym PID z różniczkowaniem rzeczywisym. Sała czasowa inercji T = 0. Tr Sałe paramery regulaora. Paramery pomocnicze. Wekory zmiennych pomocniczych: ω, Tc - Zakres zmian częsoliwości ω (0.0, Zakres zmian sałej całkowania Tc (0, Moduł ransmiancji jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz warości modułu ransmiancji. Argumen ransmiancji. Macierz argumenu ransmiancji. Charakerysyki przedsawione są na rysunku Tabela Komenarz: Algorym PID z różniczkowaniem rzeczywisym. Sałe paramery regulaora. Paramery pomocnicze. Wekory zmiennych pomocniczych: ω, Tr Zakres zmian częsoliwości ω (0.0, 000 Zakres zmian sałej różniczkowania Tr (0., Moduł ransmiancji jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz warości modułu ransmiancji. Argumen ransmiancji. Macierz argumenu ransmiancji. Charakerysyki przedsawione są na rysunku ``` 79

82 M ϕ Rys..7.4.a. Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PID-IND z różniczkowaniem rzeczywisym dla: kp =, Tr =, T = 0. i zmieniającej się warości sałej całkowania Tc (0, ``` 80

83 M ϕ Rys..7.4.b. Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PID IND z różniczkowaniem rzeczywisym dla: kp = 0, Tr =, T = 0. i zmieniającej się warości sałej całkowania Tc (0, ``` 8

84 M ϕ Rys Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PID-IND z różniczkowaniem rzeczywisym dla: kp =, Tc = 0, T = 0. i zmieniającej się warości sałej różniczkowania Tr (0., ``` 8

85 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PID-IND z różniczkowaniem rzeczywisym i zmieniającej się warości wzmocnienia i kp Tr T 0. n m ωn 0 Kr Mnm ϕ n0 0 ( ω, kp 0log kp ( ω, kp argkp r ϕn m (, Kr ωn, kpm (, ϕr ωn, kpm kpm m iω Tr iω Tc iω T iω Tr Tc iω T i ω Algorym PID z różniczkowaniem rzeczywisym Sała czasowa inercji T = 0. Tr Sałe paramery regulaora. Paramery pomocnicze. Wekory zmiennych pomocniczych: ω, kp Zakres zmian częsoliwości ω (0.0, 000 Zakres zmian wzmocnienia kp (, 0 Moduł ransmiancji jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz warości modułu ransmiancji. Argumen ransmiancji. Macierz argumenu ransmiancji. Charakerysyki przedsawione są na rysunku (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PID-IND z różniczkowaniem rzeczywisym i zmieniającej się warości sałej czasowej bloku inercyjnego i n ωn 0 n0 0 kp Tc 0 m Tm 0.m Tr i ( ω, T 0 kp ω Tr Kr log iω Tc iω T Mnm ϕr ( ω, T argkp, ϕr ωn, Tm ϕn m (, Kr ωn, Tm ( iω Tr iω Tc iω T Algorym PID z różniczkowaniem rzeczywisym Sałe paramery regulaora. Paramery pomocnicze. Wekory zmiennych pomocniczych: ω, T Zakres zmian częsoliwości ω (0.0, 000 Zakres zmian sałej czasowej inercji T (0., Moduł ransmiancji jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz warości modułu ransmiancji. Argumen ransmiancji. Macierz argumenu ransmiancji. Charakerysyki przedsawione są na rysunku ``` 83

86 M ϕ Rys Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PID-IND z różniczkowaniem rzeczywisym dla: Tc =, Tr =, T = 0. i zmieniającej się warości wzmocnienia regulaora kp (, 0 ``` 84

87 M ϕ Rys Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PID-IND z różniczkowaniem rzeczywisym dla: Tc =, Tr =, kp = i zmieniającej się warości sałej czasowej bloku inercyjnego T (, 0. ``` 85

88 .7.5. Charakerysyki ampliudowo-fazowe regulaora PI (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PI badanie wpływu zmian wzmocnienia i n0 0 ωn 0 kp m 0 m ( ϕn, m ϕid ωn, kp m Tc 0. n m Kid( ω, kp 0log kp Mnm ϕ (, Kid ω n, kpm id( ω, kp argkp Tc i ω Tc i ω Regulaor PI z idealnymi blokami funkcyjnymi Sałe paramery regulaora. Paramery pomocnicze. Wekory zmiennych pomocniczych: ω, kp Zakres zmian częsoliwości ω (0.0, 000 Zakres zmian wzmocnienia kp (0, Moduł ransmiancji jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz warości modułu ransmiancji. Argumen ransmiancji. Macierz warości argumenu ransmiancji. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PI badanie wpływu zmian wzmocnienia i n ωn 0 n0 0 ( ω, T 0log Kr kp Tc T m kp m 0 m Tc i ω. 0. iω T Regulaor PI z rzeczywisym całkowaniem Sałe paramery regulaora. Paramery pomocnicze. Wekory zmiennych pomocniczych: ω, kp Zakres zmian częsoliwości ω (0.0, 000 Zakres zmian wzmocnienia kp (0, Moduł ransmiancji jako funkcja dwóch zmiennych. ϕr ( ω, T argkp i ω Tc ( M n, m Kid ωn, kp m ( ϕn, m ϕid ωn, kp m. i. ωt Argumen ransmiancji. Macierz warości modułu ransmiancji. Macierz argumenu ransmiancji. ``` 86

89 M ϕ Rys Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych idealnego regulaora PI dla: kp (, 0, Tc = 0, ``` 87

90 M ϕ Rys Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych rzeczywisego regulaora PI dla: kp (0, 0, T = 0., Tc = ``` 88

91 .7.6. Charakerysyki ampliudowo-fazowe regulaora PD (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PD badanie wpływu zmian wzmocnienia i n ωn 0 n0 0 ( M n, m Kid ωn, kp m ( ϕn, m ϕid ωn, kp m Tr m kpm m ( Kid( ω, kp 0 log kp iω Tr ϕid( ω, kp arg( kp iω Tr Regulaor PD z idealnymi blokami funkcyjnymi Sałe paramery regulaora. Paramery pomocnicze. Wekory zmiennych pomocniczych ω, kp Zakres zmian częsoliwości ω (0.0, 000 Zakres zmian wzmocnienia kp (, 0 Moduł ransmiancji jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz warości modułu ransmiancji. Argumen ransmiancji. Macierz argumenu ransmiancji. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PD badanie wpływu zmian wzmocnienia i Tr T 0. n n0 0 ωn 0 Kid( ω, kp 0log kp Mnm (, Kid ω n, kpm ϕid( ω, kp arg kp ( ϕn, m ϕid ωn, kp m m kpm m ( iω Tr iω T ( iω Tr iω T Regulaor PD z rzeczywisym różniczkowaniem Sałe paramery regulaora. Paramery pomocnicze. Wekory zmiennych pomocniczych ω, kp Zakres zmian częsoliwości ω (0.0, 000 Zakres zmian wzmocnienia kp (, 0 Moduł ransmiancji jako funkcja dwóch zmiennych. Macierz warości modułu ransmiancji. Argumen ransmiancji. Macierz argumenu ransmiancji. ``` 89

92 M ϕ Rys Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych idealnego regulaora PD dla: kp (, 0, Tr = ``` 90

93 M ϕ Rys Zesawienie charakerysyk ampliudowych i fazowych regulaora PD z rzeczywisym różniczkowaniem dla: kp (, 0, Tr =, T = 0. ``` 9

94 . Badanie maemaycznych modeli liniowych układów regulacji.. Wprowadzenie Układ regulacji auomaycznej, kórego schema ideowy przedsawiony jes na rysunku.., ma wykonywać nasępujące zadania: niezwłocznie usalać zadaną warości sygnału wyjściowego y, kompensować oddziaływanie zmiennych czynników zewnęrznych (zakłóceń. W rozdziale.7 zosały określone podsawowe zadania regulaora. W ym rozdziale zosaną przedsawione wyniki badania właściwości wybranych (podsawowych układów regulacji auomaycznej. Na rysunku.. przebiegu zmian sygnału wyjściowego y w układzie regulacji przedsawiono isone i ważne dla użykownika wielkości, kóre charakeryzują pracę układu regulacji. Rys.... Schema ideowy układu regulacji jednej zmiennej Przeregulowanie P oraz czas n narasania sygnału wyjściowego y zależą od paramerów obieku i regulaora. Czas regulacji r dodakowo zależy od zadanego przedziału olerancji Br. yu P Br K ( r n Rys.... Przebieg zmian sygnału wyjściowego proces przejściowy w układzie regulacji ``` 9

95 Dokładność regulacji nie może być zadawana dowolnie, ponieważ możliwości układu regulacji ograniczone są przez właściwości obieku i oddziaływanie zakłóceń. Najbardziej pożądana posać przebiegu procesu przejściowego w układzie regulacji o przebieg charakeryzujący się małą warością przeregulowania i zanikającymi oscylacjami lub przebieg aperiodyczny bez przeregulowania... Charakerysyka liniowych obieków i układów regulacji Tworząc równoważny odpowiednik modelu obieku regulacji, kóry jes przedsawiony na rysunku.7., orzymujemy schema blokowy z dwoma wejściami i jednym wyjściem. we we z z Model obieku w orze zakłóceń x Model obieku w orze x serowania Rys.... Schema blokowy obieku, na kóry dodakowo działa zakłócenie y wy Do analizy ego obieku można zasosować zasadę superpozycji, ponieważ a monografia przedsawia wyniki analiz obieków liniowych, kórych właściwości charakeryzuje ransmiancja. Nazwa obiek regulacji obejmuje również procesy echnologiczne. Analizę układu liniowego, w kórym wysępuje jednoczesne oddziaływanie dwóch zmiennych yo, z, rozdziela się na dwa eapy. W pierwszym eapie badamy oddziaływanie zmiennej serującej y o, kiedy zmienna zakłócająca z = 0. W drugim eapie badamy oddziaływanie zmiennej zakłócającej z kiedy zmienna serująca yo = 0. Analizę elemenarnego modelu układu regulacji auomaycznej, w kórym wysępuje oddziaływanie zakłóceń, wyjaśniono na rysunku... wy y z we zakłoceń x Model obieku y o we serujące Model regulaora e Rys.... Schema blokowy elemenarnego modelu układu regulacji, w kórym zakłócenie działa na wejściu obieku regulacji ``` 93

96 Na podsawie znajomości ransmiancji obieków worzących układ regulacji możemy określić ransmiancję owarego układu regulacji K zo = K O K R oraz ransmiancję Kz całego układu regulacji. W zależności od porzeb sosuje się posać czasową, operaorową lub widmową ych ransmiancji. y(s Transmiancja obieku regulacji K O (s =. (.. x(s Transmiancja regulaora K R x(s (s =. (.. ε(s Transmiancja owarej pęli regulacji Kzo(s = KO(s KR(s. (..3 (Transmiancja owarego układu regulacji Transmiancja zasępcza układu regulacji dla wyjścia Y K Y y(s KO(s KR(s (s = =. (..4 y (s K (s K (s o Transmiancja zasępcza układu regulacji dla wyjścia X (inaczej wejścia obieku regulacji K X O R x(s KR(s (s = =. y (s K (s K (s (..5 o Transmiancja zasępcza układu regulacji dla wyjścia E (inaczej - wejścia regulaora K E O R e(s (s = =. y (s K (s K (s (..6 o Sygnał wyjściowy obieku regulacji dla układu regulacji, w kórym zakłócenie działa na wejściu obieku regulacji (zob. rys..., określa wzór: O R y(s = y o (s K O K (s K O R (s K (s R (s KO(s z(s K (s K O R (s. ( Prakyczne zasady wyboru ypu regulaora dla liniowych układów regulacji Jeżeli w układzie regulacji znajduje się obiek całkujący sygnał błędu regulacji, o w sanie usalonym sygnał błędu ego układu regulacji może być równy zero, zn. lim ε ( = 0, lub mówiąc inaczej, zachodzi równości sygnału serującego y o i sygnału wyjściowego y. Operacja całkowania sygnału błędu regulacji może być wykonywana przez regulaor lub obiek regulacji. Dla obieków niezawierających całkowania warunek zerowej warości sygnału błędu regulacji w sanie usalonym zapewniają regulaory PI, PID. Jeżeli nie jes wymagane spełnienie ego warunku, można sosować regulaory proporcjonalne P. Wówczas warość sygnału błędu regulacji będzie funkcją wzmocnień obieku i regulaora. Posula niezwłocznego usalania zadanej warości sygnału na wyjściu obieku regulacji wymaga przeprowadzenia opymalizacji doboru warości paramerów regulaora. ``` 94

97 Dla obieków o paramerach skupionych, kórych maemayczne modele (ransmiancje można przedsawić jako kombinacje inercji, całkowania i różniczkowania, skuecznym sposobem ograniczania czasu regulacji r jes zasosowanie regulaorów posiadających właściwość kompensacji inercji obieku. Kompensacja inercji obieku w układzie regulacji polega na przyjęciu założenia równości odpowiednich sałych czasowych w ransmiancjach obieku i regulaora, kóre przedsawione są w posaci ilorazu wielomianów. Transmiancja obieku inercyjnego wyższego rzędu dokładniej: szeregowego połączenia obieków inercyjnych pierwszego rzędu ma wówczas posać, ko KO(s = ( s T ( s T ( s T, (.3. a ransmiancję regulaora PID (szeregowe połączenie regulaora PD i PI określa wzór: K R kr ( s TR ( s TV (s =. (.3. s T Dla sałych czasowych obieku regulacji spełniających warunek T >T >...T N korzysnie jes założyć, że czas T V całkowania regulaora i czas T R różniczkowania regulaora są równe największym warościom sałych czasowych modelu obieku regulacji i wówczas V T V = T T R = T. (.3.3 Na podsawie wzoru..3 ransmiancja owarej pęli układu regulacji ma posać: N K zo k (s = KO(s KR(s O kr = s T ( s T ( s T V 3 N. (.3.4 W mianowniku wzoru (.3.4 nie ma iloczynów ( st ( st największych warości sałych czasowych obieku regulacji. Całkujące i różniczkujące działanie regulaora uprościło wzór określający ransmiancję owarej pęli regulacji. Na podsawie wzoru (..4 ransmiancja układu regulacji, w kórym regulaor PID kompensuje działanie dwóch inercyjnych składników modelu obieku regulacji, ma posać: K Y ko kr (s =. (.3.5 k k st ( st ( st o R V 3 Syneza układów serowania jes zagadnieniem złożonym. W prakyce echnicznej użykownik i projekan układów serowania zobowiązany jes do: przeprowadzenia idenyfikacji wyznaczenia ransmiancji obieku regulacji, określenia dokładności regulacji, wyboru algorymu serowania regulaor P, PI, PD, PID, określenia warunków sabilnej pracy układu regulacji, opymalizacji doboru warości paramerów regulaora (nasaw, sprawdzenia skueczności łumienia zakłóceń. N ``` 95

98 Każda z wyżej wymienionych czynności powinna być wykonana z zachowaniem należyej saranności, a jeżeli sosowane są uproszczone meody doboru warości paramerów regulaora, o praca układu regulacji może być niezadowalająca. Przedsawione w dalszej części książki przykłady obliczeń i wykresy zmian sygnałów w układzie regulacji mogą wspomagać proces projekowania lub doboru paramerów regulaora w prosych układach auomaycznej regulacji, zwłaszcza w przypadkach sosowania uproszczonych modeli obieków regulacji..4. Analiza układu auomaycznie regulującego obiek inercyjny Analiza układu auomaycznie regulującego obiek inercyjny rzeciego rzędu z regulaorem PID kompensującym działanie dwóch inercyjnych składników obieku regulacji zosanie przeprowadzona z wykorzysaniem wzorów (.3.4, (.3.5, gdzie dla T V = T oraz T R = T ransmiancja układu regulacji ma posać: lub K Y (s = k O k K(s = s k R ko kr = s T ( s T 3 k O k R k O s T k R s 0 = T T s T a0 s a s a 3 O kr ko kr b T T 3 (.4.. (.4. Należy zauważyć, że zasosowanie kompensacji inercji zmniejszyło w ransmiancji układu regulacji sopień wielomianu mianownika. W ym przypadku wzór (.4. określający ransmiancję układu regulacji jes równoważny ransmiancji obieku drugiego rzędu, ponieważ współczynniki a o oraz b o mogą być równe (zob. wzór.4.0. Pozosającą do określenia warość wzmocnienia regulaora można wyznaczyć z warunku niezwłocznego działania układu regulacji, kóry oznacza, że posulujemy, by moduł ransmiancji układu regulacji był consans i równy w możliwie dużym przedziale częsoliwości, prakycznie od zera do częsoliwości granicznej. Układ regulacji w ym przedziale częsoliwości ma właściwości obieku proporcjonalnego. Dla ransmiancji (.4., w kórej podsawiamy s = iω, warość modułu określa wzór: b0 K( ω = 4. (.4.3 a ω (a a a ω a 0 Przybliżone rozwiązanie posulowanej warości wzmocnienia regulaora określa warunek Porównując wzory (.4. i (.4., wyznaczamy: 0 a0 a a = 0. (.4.4 a 0 ko kr =, a = T, a = T T3, b 0 =. Warość wzmocnienia regulaora na podsawie warunku (.4.4 określa wzór: T kr = k T. (.4.5 Transmiancja układu regulacji po opymalizacji wynosi: K O (s = T s T s OP = y(s y (s. (.4.6 o ``` 96

99 Po wykonaniu kompensacji inercji i opymalizacji warości wzmocnienia regulaora dla sygnału serującego y o (s = y o ( = ( sygnał wyjściowy układu regulacji określa wzór: s y( = e T3 (cos T 3 sin T 3. ( Y ( Y ( Rys..4.. Sygnał wyjściowy układu regulacji określony przez wzór (.4.7 dla T 3 = Y ( 0.63 Yo ( Rys..4.. Sygnały wyjściowe. Charakerysyka czasowa Yo obieku regulacji dla: T = 0, T = 5, T 3 =, ko = oraz charakerysyka czasowa Y układu regulacji dla obieku jw. z regulaorem PID, w kórym zasosowano: T T V = 0, T R = 5, kr = = 0 k T O 3 ``` 97

100 Przebieg określony wzorem (.4.7 jes przebiegiem o charakerze oscylacji łumionej, dla kórej pierwsze przeregulowanie wynosi 4.3%, a czas regulacji dla przedziału olerancji Br = /- % wynosi r 9,3 T3 (zob. rys..4.. Podsumowanie Porównując czas u 00 sek. (zob. rys..4. usalania warości sygnału wyjściowego w odosobnionym obiekcie regulacji (zn. obiek bez układu regulacji z czasem regulacji r 9,3 sek., kóry zosał wyznaczony np. dla % przedziału olerancji Br warości usalonej yu sygnału wyjściowego w obiekcie regulowanym, dosrzegamy wielokrone skrócenie czasu rwania procesu przejściowego. Tabela.4.. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Charakerysyka czasowa układu regulacji z obiekem inercyjnym rzeciego rzędu (szeregowe połączenie rzech obieków inercyjnych pierwszego rzędu i regulaorem PID Obliczenie sygnału wyjściowego obieku odosobnionego bez układu regulacji, ko = s ( st ( st ( st3 (.4.8 Obliczenia symboliczne sygnałów w układach regulacji w większości przypadków prowadzą do długich wyników. Wyniki wykraczające poza szerokość dokumenu Mahcada czasami daje się przeformaować za pomocą operaora Break Wih Plus (złam linię na znaku plus klawisze [Crl][Ener] dla znacznika wyrażenia znajdującego się po lewej sronie znaku plus, wyrażenie zosaje podzielone na dwie części wyświelone w dwóch liniach, połączone wielokropkiem i znakiem plus. wpisz ransformaę sygnału wyjściowego rzech szeregowo połączonych obieków inercyjnych pierwszego rzędu oblicz odwroną ransformaę Laplace a określ sygnał wyjściowy Yo( Yo ( TT T T TT3 T T3 TT3 T T3... T T Te TT T e T T T3e TT3 T3 e T T T3e TT3 T3 e ( T T ( T T3 ( T T3 lub zapis równoważny uworzony dla edyorskich porzeb ej monografii Yo( TT T T TT3 T T3 TT3 ( T T ( T T3 ( T T3 T T3 T T Te TT T e T T T3e TT3 T3 e T T T3e TT3 T3 e ( T T ( T T3 ( T T3 ``` 98

101 cd. abeli.4.. Obliczenie sygnału wyjściowego Y obieku regulowanego w układzie regulacji jw. s T s s TT3 kokr kokr wpisz ransformaę sygnału dla wyjścia Y oblicz odwroną ransformaę Laplace a określ sygnał wyjściowy Y( Transformaa sygnału Y e Y ( T3 T3e sinh T3 cosh T 4T3 ko kr TT3 T 4T3 ko TT3 T3 T3 kr T 4T3 ko kr TT3 T 4T3 kokr TT3... T 4T3 kokr TT3 (sygnał wyjściowy Y Obliczenie sygnału błędu regulacji E w układzie regulacji z obiekem jw. s kokr st s T T3 st s T T3 wpisz ransformaę sygnału dla wyjścia E oblicz odwroną ransformaę Laplace a określ sygnał wyjściowy E( Transformaa sygnału E E( e T3 sinh T 4T3 kokr TT3 T3 T3cosh T 4T3 kokr TT3 T 4T3 kokr TT3 T 4T3 kokr TT3 (sygnał wyjściowy E Obliczenie sygnału wyjściowego X regulaora PID w układzie regulacji z obiekem jw. wpisz ransformaę sygnału dla wyjścia X oblicz odwroną ransformaę Laplace a określ sygnał wyjściowy X( ( st ( st ( st3 kr s kokr st s TT3 Transformaa sygnału X ``` 99

102 cd. abeli.4. X ( TT3 ko TT3 T 4T3 kokr TT3 T 4T3 kokr TT3 Te TT3e T3 Tko kr e Tko kre Tko kre T3 kokre T3 T3 TT3 kokre TT3 kokre T3 cosh T3 sinh T3 sinh T 4T3 kokr TT3 T 4T3 kokr TT3 sinh T 4T3 kokr TT3 sinh T3 T3 sinh TT T3kokr ( cosh cosh T 4T3 kokr TT3... T 4T3 kokr TT3 T 4T3 kokr T 4T3 kokr TT3 T 4T3 kokr TT3 T 4T3 kokr TT3 TT3 T 4T3 kokr TT T 4T3 kokr TT3... T 4T3 kokr... TT3 (sygnał wyjściowy E Wykresy sygnałów w układzie regulacji jw. 0, ko Yo( : =... Y( : =... X( : =... E(: =... ( : = 0 T 0 T 5 T3 kr 7 Przed wzorami określającymi sygnały wyjściowe: Yo - obieku odosobnionego, Y - obieku regulacji, X - regulaora, E - błędu regulacji wpisz paramery obliczeń pamięaj, że T V = T, T R = T wywołaj wykres określ paramery wykresu jak na rysunku.4.3 ``` 00

103 0 8 6 Y ( X( 4 E ( Yo( Rys Sygnały układu regulacji dla obieku inercyjnego i regulaora PID, kórych paramery określono w abeli Y ( Rys Przedział olerancji sygnału wyjściowego obieku regulowanego w układzie regulacji z abeli.4. ``` 0

104 Podsumowanie Przebieg zmian wyjściowego sygnału w obiekcie regulowanym wyznaczony dla wzmocnienia k R = 7 regulaora PID, w kórym czas całkowania T V = T = 0, czas różniczkowania T R = T = 5 (inercja obieku T 3 =, wskazuje, że uproszczony sposób wyznaczenia wzmoc- T nienia regulaora (na podsawie wzoru 4.5 jako kr = = 0 k T niekorzysnie wpływa na właściwości układu regulacji. Dla wzmocnienia k R = 7 czas regulacji r czas usalania sygnału wyjściowego jes mniejszy i wynosi r 7,45T3. Poprzednia warość czasu regulacji wynosiła r 9,3T3 (zob. wzór.4.7 i rys..4.. Obszerniejszą analizę wpływu wzmocnienia regulaora na sygnał wyjściowy obieku przedsawiają zesawienia charakerysyk na kolejnych rysunkach. Tabela.4.. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: O 3 Analiza wpływu wzmocnienia regulaora na sygnał wyjściowy obieku regulacji zesawienie charakerysyk czasowych Regulaor PID T V = T, T R = T 00.,.. 0 ko.00 T 0 T 5 T3 Paramery obieku regulacji m n m m krn n Y (, kr T 4T3 kokr T3 TT3 e sinh T3 T 4T3 kokr T3 TT3 T3e cosh T 4T3 kokr T3 TT3 ( Ymn, Ym, kr n T 4T3 kokr TT3... T 4T3 kokr TT3 Zakresy i wekory zmiennych pomocniczych Sygnał wyjściowy (zob. ab..4. Macierz warości sygnału wyjściowego Zakresy obliczeń cyfrowych należy dososowywać do właściwości wyrażeń maemaycznych (punky nieciągłości, zera w mianownikach, zwłaszcza podczas wykonywania obliczeń macierzowych. W przypadku ego przykładu problem związany jes z różnicą T 4T3kokr wysępującą pod znakiem pierwiaska funkcji hiperbolicznych, dlaego założono ko=.00. ``` 0

105 Y Rys Zesawienie charakerysyk czasowych obieku regulowanego dla zmiennej warości wzmocnienia regulaora (sygnał wyjściowy obieku regulacji Tabela.4.3. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Analiza wpływu wzmocnienia regulaora na sygnał błędu regulacji zesawienie charakerysyk czasowych Regulaor PID T V = T, T R = T 0, ko.00 T 0 T 5 T3 m m 0 0.5m E(, kr e ( E mn, E m, kr n T3 n kr n 0 0.5n T4T3 kokr TT3 sinh... T4T3 kokr TT3 T3cosh T 4T3 T3 kokr TT3 T4T3 kokr TT3 Paramery obieku regulacji Zakresy i wekory zmiennych pomocniczych Sygnał błędu regulacji (zob. ab..4. Macierz warości błędu regulacji ``` 03

106 E Rys Zesawienie charakerysyk sygnału błędu regulacji dla zmiennej warości wzmocnienia regulaora X Rys Zesawienie charakerysyk sygnału wyjściowego regulaora dla zmiennej warości wzmocnienia regulaora (zob. ab ``` 04

107 Tabela.4.4. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Analiza wpływu wzmocnienia regulaora na sygnał wyjściowy regulaora zesawienie charakerysyk czasowych (rys..4.7 Regulaor PID T V = T, T R = T 00.,.. 0 ( : = 0 ko.00 T 0 T 5 T3 m n m m krn 00.5 n Paramery obieku regulacji Zakresy i wekory zmiennych pomocniczych (zob. ab..4. X (, kr TT3 ko ( Xmn, Xm krn, T 4T3 kokr T 4T3 kokr T3 TT3 TT3 T 4T3 kokr TT3 Te sinh... TT3 T 4T3 kokr T3 TT3 T 4T3 kokr TT3e cosh... T 4T3 kokr Tko kr T3 TT3 e sinh T 4T3 kokr T3 TT3 Tko kre sinh... T 4T3 kokr T3 TT3 Tko kre sinh... T 4T3 kokr T3 TT3 T3 kokre sinh... T 4T3 kokr T3 TT3 TT3 kokre cosh T3 TT3 kokre cosh TT T3kokr ( T 4T3 kokr TT3 T 4T3 kokr TT3 TT3 macierz warości sygnału wyjściowego regulaora... T 4T3 kokr TT3... T 4T3 kokr... TT3 ``` 05

108 Porównanie wyników obliczeń eoreycznych z zakresami wielkości fizycznych wysępujących w prakycznie realizowanych procesach echnologicznych prowadzi do ważnego sposrzeżenia. Począkowe warości sygnału x serującego obiekem regulacji dla skokowej zmiany sygnału y o = (rozruch procesu echnologicznego są wielokronie większe od warości ego skoku (działanie proporcjonalne i różniczkujące regulaora. Dodakowo (uwzględniając konsrukcyjne ograniczenia maksymalnej warości sygnału x serującego rzeczywisym obiekem regulacji, kóre zabezpieczają go przed uszkodzeniem lub zniszczeniem np. przez energię grzejną dosarczaną do obieków cieplnych lub momen napędowy maszyn, ciśnienie i siły w układach hydraulicznych id. dosrzegamy konieczność ograniczenia warości skoków wielkości serującej rzeczywisym układem regulacji. Jeżeli rzeczywisy układ regulacji będzie serowany szybkozmiennymi sygnałami o dużych warościach zmian, o w układzie regulacji może wysąpić zjawisko ograniczania warości sygnałów, zwłaszcza wyjściowego sygnału (x regulaora, i nieliniowa praca układu regulacji..5. Analiza układu auomaycznie regulującego obiek całkujący rzeczywisy Jeżeli ransmiancję obieku całkującego rzeczywisego i regulaora PID określają wzory: K O ko (s = stc( st ( st ( st N, (.5. K R (s = k R ( s T R s T ( s T V V, (.5. o ransmiancja owarego układu regulacji zgodnie ze wzorem (..3, w kórym zasosowano kompensację największej inercji obieku (zn., że T V = T oraz T R = T wykonujemy posula niezwłocznego usalania zadanej warości sygnału wyjściowego, wynosi: K zo (s = s T C k k T ( s T ( s T O R 3 N. (.5.3 Na podsawie wzoru (..4 ransmiancja układu regulacji rzeczywisego obieku całkującego z regulaorem PID, kóry kompensuje działanie dwóch inercyjnych składników modelu obieku regulacji, ma posać: ko kr KY(s = k k s T T ( st ( st. (.5.4 o R C 3 Układ regulacji opisany ransmiancją (.5.4 jes sabilny, jeżeli pierwiaski równania charakerysycznego ej ransmiancji mają część rzeczywisą ujemną. Według pierwszej części kryerium Hurwiz a powyższy warunek jes spełniony, kiedy wszyskie współczynniki charakerysycznego równania mianownika ransmiancji isnieją i są większe od zera. W analizowanym przykładzie modelu układu regulacji (wzór.5.4 współczynnik operaora s w mianowniku ransmiancji nie isnieje (jes równy zero, co oznacza, że układ regulacji jes niesabilny. N ``` 06

109 Wniosek W echnicznej realizacji układu auomaycznie regulującego obiek całkujący rzeczywisy modelowany jako szeregowe połączenie obieku całkującego z obiekem inercyjnym pierwszego, drugiego lub wyższego rzędu, kóry współpracuje z regulaorem PID nie można zasosować kompensacji działania dwóch inercyjnych składników obieku regulacji. Mówiąc o kompensacji inercji jako meodzie przyspieszającej proces usalania sygnału wyjściowego w obiekcie regulowanym, należy zapyać, czy można w przypadku obieku całkującego rzeczywisego skompensować działanie inercyjne ylko jednego składnika modelu obieku. Transmiancja regulaora PID (wzór.5. wskazuje, że kompensację największego (T >T >...T N inercyjnego działania jednego składnika obieku regulacji można wykonać za pomocą całkującego działania regulaora, wówczas T V = T, lub różniczkującego działania regulaora, wówczas T R = T. Dla przypadku kompensacji inercyjnego działania jednego składnika modelu rzeczywisego obieku całkującego za pomocą całkującego działania regulaora PID na podsawie wzorów (..3 i (..4 orzymujemy: K K zo Y ko kr ( str (s =, (.5.5 s T T ( st ( st C N ko kr ( str (s =. (.5.6 k k sk k T s T T ( st ( st O R O R R Dla przypadku kompensacji inercyjnego działania jednego składnika modelu rzeczywisego obieku całkującego za pomocą różniczkującego działania regulaora PID na podsawie wzorów (..3 i (..4 orzymujemy: K K zo Y C ko kr ( s TV (s =, (.5.7 s T T ( s T ( s T (s = k O k C R V sk O k R k T O V k s R T T N ( st V C V N ( st ( st N. (.5.8 Współczynniki równań charakerysycznych dla ransmiancji (.5.6 i (.5.8 isnieją i są dodanie (sałe czasowe obieków zawsze są dodanie, czyli układy regulacji rzeczywisego obieku całkującego z regulaorem PID kompensującym działanie inercyjne jednego składnika modelu obieku regulacji mogą (ale nie koniecznie być sabilne. Przykład. Transmiancję zasępczą K Y (s układu regulacji rzeczywisego obieku całkującego z regulaorem PID, kóry kompensuje inercyjne działanie jednego składnika modelu obieku regulacji (zakładamy T V = T, kompensacja za pomocą całkującego działania regulaora PID na podsawie wzoru (.5.6 dla N = określa wyrażenie: ``` 07

110 ``` 08 T s ( T T s T k k s k k T s ( k k (s K C R R O R O R R O Y = (.5.9a lub R O C 3 R O C R R Y a s a s a s a b s b T k k T T s k k T T s T s T s (s K = =. (.5.9b Wzmocnienie k R i sałą czasową różniczkowania T R regulaora wyznaczymy na podsawie posulau niezwłocznego działania układu regulacji. Podobnie jak w rozdziale.4 dla obieku inercyjnego wyższego rzędu, posulujemy, by moduł ransmiancji układu regulacji był consans i równy w możliwie dużym przedziale częsoliwości, prakycznie od zera do częsoliwości granicznej. Dla ransmiancji (.5.9b, w kórej podsawiamy s = iω, warość modułu określa wyrażenie: ( ( ( a a a a a a a a b b K Y = ω ω ω ω ω. (.5.0 Przybliżone rozwiązanie posulowanych paramerów regulaora określa podwójny warunek 0 a a a 0 =, 0 a a a 3 =. (.5. Porównując lewą i prawą sronę wyrażenia (.6.b, wyznaczamy: a 0 =, b 0 =, R T a =, R O C k k T T a =, R O C 3 T k k T T a =. Wzmocnienie i sałą czasową różniczkowania regulaora na podsawie warunku (.5. określają wzory: O C R k T 8 T T k =, R T 4 T =, V T T =. (.5. Transmiancja układu regulacji po opymalizacji paramerów regulaora PID wynosi: ( s T s T s T s T s K Y =. (.5.3 Na podsawie kryerium Hurwiz a układ regulacji modelowany ransmiancją (.5.3 jes sabilny, kiedy współczynniki wielomianu mianownika ej ransmiancji są dodanie (sałe czasowe są zawsze dodanie i jes spełniony warunek: ( = = T T T a a a a.

111 ``` 09 Przykład. Transmiancję zasępczą K Y (s układu regulacji rzeczywisego obieku całkującego z regulaorem PID, kóry kompensuje inercyjne działanie jednego składnika modelu obieku regulacji (zakładamy T R = T, kompensacja za pomocą różniczkującego działania regulaora PID określa na podsawie wzoru (.5.8 dla N = wyrażenie: T s ( T T s T k k s k k T s ( k k (s K C V V R O R O V R O Y = (.5.4a lub R O C V 3 R O C V V V Y a s a s a s a b s b T k k T T s k k T T s T s T s (s K = =. (.5.4b Porównując lewą i prawą sronę wyrażenia (.5.4b, wyznaczamy: a 0 =, b 0 =, V T a =, R O C V k k T T a =, R O C V 3 T k k T T a =. Podobnie jak w przykładzie z warunku (.5. wyznaczamy przybliżoną warości wzmocnienia k R i sałą czasową całkowania T V. Wzmocnienie i sałą czasową różniczkowania regulaora określają wzory: O C R k T T k =, V T 4 T =, R T T =. (.5.5 Transmiancję układu regulacji po opymalizacji paramerów regulaora PID określa wyrażenie: ( s T s T s T s T s K Y =. (.5.6 Układ regulacji modelowany wzorem (.5.6 jes sabilny (zob. przykład. Wniosek Zasosowanie ego samego kryerium do opymalizacji paramerów układu regulacji, nawe w przypadkach sosowania różnych zasad kompensacji inercji obieku regulacji przez regulaor wzory (.5.3 i (.5.6 w przykładach i dla rzeczywisego obieku całkującego może prowadzić do akich samych wyników końcowych. Uzupełnieniem ego wniosku są analizy przedsawione w przykładach 3 i 4. Przykład 3. Jeżeli ransmiancję K O (s obieku całkującego rzeczywisego i ransmiancje K R (s regulaora PI określają wzory: T s ( T s ( T s ( Tc s k (s K N O O =, (.5.7

112 K R kr ( s TV (s =, (.5.8 s T V o ransmiancja owarego układu regulacji jw. zgodnie ze wzorem (..3, w kórym zasosowano kompensację największej inercji obieku ( zn., że T V = T, wynosi: K zo ko kr (s =. (.5.9 s T T ( s T ( s T C Na podsawie wzoru (..4 ransmiancja układu regulacji z rzeczywisym obiekem całkującym i regulaorem PI, kóry kompensuje działanie inercyjnego jednego składnika modelu obieku regulacji, ma posać: ko kr KY(s =. (.5.0 k k s T T ( st ( st o R C Układ regulacji opisany wzorem (.5.0, podobnie jak układ regulacji opisany wzorem (.5.4, jes niesabilny. N N Przykład 4. Jeżeli ransmiancję K O (s obieku całkującego rzeczywisego i ransmiancje K R (s regulaora PD określają wzory: ko KO(s = stc( st ( st ( st, (.5. K R N (s = k ( s T, (.5. R R o ransmiancja owarego układu regulacji zgodnie ze wzorem (..3, w kórym zasosowano kompensację największej inercji obieku (zn., że T R = T, wynosi: K zo ko kr (s =. (.5.3 s T ( s T ( s T C N Na podsawie wzoru (..4 ransmiancja układu regulacji rzeczywisego obieku całkującego i regulaora PD, kóry kompensuje działanie inercyjnego jednego składnika modelu obieku regulacji, ma posać: ko kr KY(s =. (.5.4 k k st ( st ( st o R C Układ regulacji opisany wzorem (.5.4, podobnie jak układy regulacji modelowane wzorami (.5.6 i (.5.8, może być sabilny. Przebieg zmian wyjściowego sygnału przedsawiony na rysunku.5. dla rzeczywisego obieku całkującego w układzie regulacji z regulaorem PID charakeryzują nasępujące paramery: przeregulowanie P = 43%, czas regulacji r = 7.3T. Dla przedziału olerancji Br = % czas narasania sygnału wyjściowego wynosi n = 3.T. Orzymany przebieg sygnału wyjściowego dla większości prakycznych zasosowań uznaje się za niezadowalający. Uwzględniając począkową niesabilności układu regulacji, kóra zosała wywołana przez regulaor kompensujący inercyjne działanie składników modelu obieku regulacji, należy uznać orzymany wynik za pozyywny wsęp do dalszej analizy procesów zachodzących w układach regulacji. N ``` 0

113 (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.5.. Charakerysyka czasowa układu regulującego rzeczywisy obiek całkujący, regulaor PID 4 T s K(s = T s 8 T s 8 T s 4 T s s 4 T s 8T s 8 T 3 s 3 0, T.000 Y ( e T 3 4T T e cosh 4 Tc = 0 Układ regulacji po opymalizacji nasaw regulaora, ransmiancja określona przez wzór (.5.6 wpisz ransformaę sygnału wyjściowego w układzie regulacji oblicz odwroną ransformaę Laplace a dla sygnału wyjściowego określ sygnał wyjściowy Y( Y ( Rys..5.. Sygnał wyjściowy obieku całkującego rzeczywisego w układzie z regulaorem PID po opymalizacji nasaw regulaora Przykład 5. Jeżeli ransmiancję obieku całkującego i regulaora PD określają wzory (.5. i (.5., o dla N = ransmiancje zasępcze: K Y (s (wzór.5.4, K X (s (wzór..5, K E (s (wzór..6 układu regulacji rzeczywisego obieku całkującego i regulaora PD, kóry kompensuje działanie inercyjnego jednego składnika modelu obieku regulacji, zesawiono w abeli.5.. ```

114 (okno robocze programu Mahcad polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.5.. Charakerysyka czasowa układu regulującego rzeczywisy obiek całkujący, regulaor PD s kokr s s kokr krs kokr stc s Tc stc s Tc T stc s Tc T T Tc ( str ( st kokr stc s Tc T K K K Y E X (s = k (s = k o o k k s T (s = k o R s T C R k k O s T C s s T R k C C s T R s T C s kr ( s T C R s T T T C C T T T C ( s T T wpisz ransformay sygnałów: Y obieku regulacji, E błędu regulacji, X regulaora dla sygnału serującego: yo = s oblicz odwrone ransformay Laplace a dla ww. sygnałów wpisz paramery i zmienne obliczeń określ sygnały: Y( obieku regulacji E( błędu regulacji, X( regulaora jako funkcje czasu i wzmocnienia regulaora ( 0 0, kr 4, 8.. Tc 0 T Tr T 0.5 ko Y(, kr e T T e ( Y mn, Y m, kr n sinh T cosh Tc 4 T T Tc T ko kr Tc 4 T T Tc ko Tc 4 T T Tc T kr ko kr Tc 4 T T Tc Tc 4 T ko T Tc ko kr kr... E(, kr e T ( E mn, E m, kr n sinh T cosh Tc 4 T ko kr T Tc... Tc 4 T ko kr T T Tc Tc 4 T T Tc ko kr Tc 4 T T Tc ko kr ```

115 X(, kr Tc kr e T sinh Tr ko kr e T T ( X mn, X m, kr n Tc Tc Tr kr T kr ( e T Tc 4 T ko kr 4T Tc Tc 4T ko kr sinh 4 T Tc Tc 4 T ko kr 4T... Tc cosh T Tc... Tc 4T ko kr 4T Tc Tc 4T ko kr T Tc... cd. abeli.5.. Tc 4T ko kr 4T Tc Y Rys..5.. Zesawienie charakerysyk czasowych obieku całkującego rzeczywisego, praca z regulaorem PD dla: kr (4, 0, T C = 0, T =, T R =, T = 0.5, ko = ``` 3

116 E Rys Zesawienie charakerysyk czasowych sygnału błędu regulacji obieku całkującego rzeczywisego, praca z regulaorem PD dla: kr (4, 0, T C = 0, T =, T R =, T = 0.5, ko = X Rys Zesawienie charakerysyk czasowych regulaora PD serującego rzeczywisym obiekem całkującym dla: kr (4, 0, T C = 0, T =, T R =, T = 0.5, ko = ``` 4

117 Y4( 0.66 Y8( Y( Rys Zesawienie charakerysyk czasowych obieku całkującego rzeczywisego, praca z regulaorem PD dla: kr = 4, 8,, T C = 0, T =, T R =, T = 0.5, ko = 0.78 E4 ( E8 ( 0.56 E ( Rys Zesawienie charakerysyk czasowych sygnału błędu regulacji obieku całkującego rzeczywisego, praca z regulaorem PD dla: kr = 4, 8,, T C = 0, T =, T R =, T = 0.5, ko = 0 ``` 5

118 5 3.5 X4( X8( X( Rys Zesawienie charakerysyk czasowych regulaora PD serującego rzeczywisym obiekem całkującym dla: kr = 4, 8,, T C = 0, T =, T R =, T = 0.5, ko = Podsumowanie Na podsawie porównania charakerysyk układu regulacji obieku całkującego z regulaorem PID (zob. rys..5. z charakerysykami układu regulacji ego samego obieku, ale z regulaorem PD (zob. rys..5.6, widzimy możliwość zmniejszenia warości przeregulowania prakycznie do zera, znaczne skrócenie czasu regulacji. Dokładniejsza analiza pracy rzeczywisego obieku całkującego z regulaorem PID wskazuje, że jes możliwe zmniejszenie warości przeregulowania w akim układzie regulacji. Zmniejszenie warości przeregulowania uzyskane dla innego zesawu paramerów regulaora PID zwiększa jednocześnie czas regulacji. Znany jes inny skueczny sposób zmniejszenia przeregulowania i czasu regulacji, nie ylko rzeczywisego obieku całkującego z regulaorem PID (zob. rozdział.8, ale i innych złożonych obieków regulacji, sosowany przede wszyskim w sysemach rozruchowej pracy obieków..6. Badanie sabilności układu auomaycznie regulującego obiek inercyjny Układ auomaycznej regulacji uważamy za sabilny, jeżeli wyrącony z równowagi przez zaburzenie rozumiane jako zmiana warunków pracy (zmiana sygnału serującego, zmiana zasilania porafi po zaniku zaburzenia powrócić do sanu równowagi. Sabilności układu regulacji określa (jak już wspomniano w rozdziale.5 równanie charakerysyczne mianownika jego ransmiancji. Nie jes ważne, kórą z rzech możliwych ransmiancji układu regulacji będziemy analizować, ponieważ ransmiancje uworzone dla wyjść Y, X, E (wzory:..4,..5,..6 mają aki sam mianownik: ``` 6

119 K Y KO(s KR(s (s = K (s K (s, O R K X K (s (s = R K (s K (s, O R K E (s = K (s K (s. O R Równanie charakerysyczne mianownika ransmiancji układu regulacji określa wzór: R KO (s K (s = 0. (.6. Warunkiem wysarczającym i koniecznym sabilności układu regulacji jes, by części rzeczywise wszyskich pierwiasków równania charakerysycznego (.6. były ujemne. Wszyskie pierwiaski operaorowego równania charakerysycznego (.6. przeniesione (ransformowane na płaszczyznę zespoloną Re[Kzo(jω], Im [Kzo(jω] znajdują się w punkcie (-, j 0. Dlaego badanie sabilności układu regulacji wykonywane w dziedzinie częsoliwości zgodnie z kryerium Nyquisa, kóre sanowi, że układ auomaycznej regulacji jes sabilny, kiedy charakerysyka częsoliwościowa Kzo(ω owarego układu regulacji (inaczej: owarej pęli regulacji przy zmianie częsoliwości od 0 do nie obejmuje punku (, j 0 polega na wyznaczeniu charakerysyki częsoliwościowej owarego układu regulacji i sprawdzeniu położenie punku (, j 0. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.6.. Charakerysyki częsoliwościowe owarego układu regulacji obieku inercyjnego z regulaorem PID badanie wpływu wzmocnienia regulaora Badanie sabilności układu auomaycznie regulującego obiek inercyjny. Obiek regulacji jako szeregowe połączenie rzech obieków inercyjnych pierwszego rzędu. Regulaor PID jako szeregowe połączenie regulaora PI i PD. i ω 0.0, T 0 T 5 T3 ko Tv 0 Tr 5 kr, ko Ko( ω ( iωt ( iωt ( iωt3 kr( iωtv ( iωtr Kr( ω iωtv Kzo( ω, kr ko ( iωt ( iωt ( iωt3 ( ( kr iωtv iωtr iωtv Transmiancja owarej pęli regulacji. Usalając paramery wykresu w menu: Formaing Currenly Seleced x y Plo, wybierz dla Kzo w zakładce Traces, Symbol:, Symbol Weigh: p, Line Weigh: poins. ``` 7

120 0 0 ImKo ( ( ω ImKzo ( ( ω, kr ReKo ( ( ω, ReKzo ( ( ω, kr Rys..6.. Charakerysyki częsoliwościowe owarego układu regulacji obieku inercyjnego z regulaorem PID, kompensacja inercji dla: T V = T, T R = T, T 3 =, ko =, 5, 0, 5, ImKo ( ( ω ImKzo ( ( ω, kr Re( Ko( ω, ReKzo ( ( ω, kr Rys..6.. Charakerysyki częsoliwościowe owarego układu regulacji obieku inercyjnego z regulaorem PID, kompensacja inercji dla: T V = T = 5, T R = T = 0, T 3 =, ko =, 5, 0, 5, 0 ``` 8

121 0 0 ImKo ( ( ω ImKzo ( ( ω, kr ReKo ( ( ω, ReKzo ( ( ω, kr Rys Charakerysyki częsoliwościowe owarego układu regulacji obieku inercyjnego z regulaorem PID dla: T V = 0.75, T = 5, T R = T, T 3 =, ko =, 5, 0, 5, ImKo ( ( ω ImKzo ( ( ω, kr ReKo ( ( ω, ReKzo ( ( ω, kr Rys Charakerysyki częsoliwościowe owarego układu regulacji obieku inercyjnego i regulaora PID dla: T V = 0.75,T = 5, T R =,T = 0, T 3 =, ko =, 5, 0, 5, 0 ``` 9

122 Podsumowanie Wysępujące powszechnie w prakyce echnicznej zmiany paramerów obieków regulacji w czasie ich eksploaacji i zasosowane uproszczenia maemaycznego modelu obieku regulacji sanowią realne zagrożenie dla sabilności pracy układu regulacji. Miarą określającą odporność układu regulacji na wpływy zmian paramerów obieku regulacji jes zapas sabilności, czyli najmniejsza odległość punku (, j 0 od modułu charakerysyki częsoliwościowej owarego układu regulacji na płaszczyźnie zespolonej Re[Kzo(jω], Im [Kzo(jω]. Porównując charakerysyki częsoliwościowe przykładu owarego układu regulacji (zob. rysunki , dosrzegamy zależność zapasu sabilności od warości wzmocnienia regulaora i jego sałych czasowych. Ważny jes akże sposób kompensacji inercji obieku regulacji. Na rysunkach.6. i.6. przedsawiono charakerysyki częsoliwościowe układu regulacji, w kórym kompensacja inercji obieku wykonana jes za pomocą całkującego i różniczkującego działania regulaora. Oddziaływanie inercyjne obieku regulacji dwie największe inercje obieku regulacji może być kompensowane na podsawie dwóch zasad. Pierwsza zasada zakłada kompensację większej inercji przez całkujące działania regulaora, zn., że T V = T, T R = T dla T > T. Druga zasada zakłada kompensację większej inercji przez różniczkujące działania regulaora, zn., że T R = T, T V = T dla T > T. Wyznaczone charakerysyki jednoznacznie wskazują, że zasadą, kóra zapewnia większy zapas sabilności, jes zasada pierwsza całkujące działanie regulaora kompensuje większą sałą czasową obieku regulacji. Na rysunkach.6.3 i.6.4 zobrazowano wpływ niedokładności kompensacji inercji wpływ zmian znamionowych warości paramerów układu regulacji, zn. regulaora lub obieku..7. Badanie sabilności układu auomaycznie regulującego obiek całkujący rzeczywisy modelowany jako szeregowe połączenie z dwoma obiekami inercyjnymi pierwszego rzędu Tabela.7.. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Charakerysyki częsoliwościowe owarego układu regulacji obieku całkującego z regulaorem PID badanie wpływu wzmocnienia regulaora i ω 0.0, Tc 0 T T 0.5 ko Tr Tv Kzo( ω K5zo( ω K0zo( ω iω iω iω ko ( iωtv ( iωtr Tc ( iω T ( iω T iω Tv ko 5( iωtv ( iωtr Tc ( iω T ( iω T iω Tv ko 0( iωtv ( iωtr Tc ( iω T ( iω T iω Tv Działanie różniczkujące regulaora kompensuje sałą czasową obieku regulacji, zn. Tr = T. Obiek regulacji jako szeregowe połączenie obieku całkującego i dwóch obieków inercyjnych pierwszego rzędu. Regulaor PID jako szeregowe połączenie regulaora PI i PD. ``` 0

123 ImKo ( ( ω ImKzo ( ( ω ImK5zo ( ( ω ImK0zo ( ( ω ReKo ( ( ω, ReKzo ( ( ω, ReK5zo ( ( ω, ReK0zo ( ( ω Rys..7.. Charakerysyki częsoliwościowe obieku i owarego układu regulacji paramery obieku i regulaora PID określono w abeli.7. Sposrzeżenie Zapas sabilności określany jako najmniejsza odległość charakerysyki owarego układu regulacji od punku (, j 0 na płaszczyźnie zespolonej może ze wzrosem iloczynu wzmocnień obieku i regulaora rosnąć lub maleć. W przypadku przykładu przedsawionego w abeli.7. wzros wzmocnienia zwiększa zapas sabilności. Wzros wzmocnienia regulaora obieków liniowych w prakycznie realizowanych układach regulacji najczęściej zmniejsza zapas sabilności..8. Układ regulacji z dodakową korekcją sygnału serującego Wprowadzając do podsawowego modelu układu regulacji dodakowy obiek o ransmiancji K D, uzyskujemy ransmiancję zasępczą układu regulacji w posaci wzoru (.8.. wy y x Ko K R e y K D y R we Kz = (.8. y y R = K O K K O R K K R D Rys..8.. Układ regulacji z dodakową korekcją sygnału serującego ```

124 Obiek inercyjny pierwszego rzędu o ransmiancji: K D (s = s T (.8. zasosowany jako korekor sygnału serującego dla układu regulacji z rzeczywisym obiekem całkującym (przykład przedsawiony w ab..5. zmienia zgodnie ze wzorem (.8. ransmiancję K Y (s sygnału wyjściowego (wzór.5.6 do posaci: D K Z 4 T s ( s =. ( T s 8 T s 8 T s s T D Analizę właściwości ak skorygowanego układu regulacji przedsawiono w abeli.8.. (okno robocze programu Mahcad w polu eksowym wpisz ema: Komenarz: Tabela.8.. Charakerysyki czasowe rzeczywisego obieku całkującego z regulaorem PID w korygowanym dodakowo układzie regulacji badanie wpływu dodakowej sałej czasowej T D 4s T s 4s T 8s T 8s 3 T 3 4s T s 4s T 8s T 8s 3 T 3 ( s T... 4s T s 4s T 8s T 8s 3 T 3 ( 7s T Transmiancję akiego układu regulacji określa wzór.8.3. Sała czasowa obliczeń T = T Transformaa sygnału wyjściowego y Transformaa sygnału wyjściowego y Transformaa sygnału wyjściowego y7 T 0, y( e T 3 4T T e cosh 4 Sygnał wyjściowy y(... y( T e T 3e T T T 4T e sinh T 4T 3 cosh T 4 T T T ```

125 cd. abeli.8.. y3( 6 3e 4T e 4T sinh T 3 T 4 9T T e 3T 7T... T T 7T T T e 4T cosh 3 4 T T y4( 3e 4T sinh 3 4 T 3T 3T T T 3T e T T y5 ( 30 3e 5T e 4T 5T sinh 3 4 T 6T e T 4T 57T 57T cosh T T 38T e 3 4 T T T T... y6( 6 3e 9T e 4T 6T sinh T 3 4 T T e 4T 4T 4T cosh T T 3 4 7T T e T T T... ``` 3

126 cd. abeli.8.. y7( 70 3e 47T e 4T sinh 7T 3 T 4 T 30T e 4T 95T 95T cosh T T T T e T T T....5 y( y( y3( y4( y5( y6( y7( y( y(. y3( y4( y5( y6( y7( Rys..8.. Sygnały wyjściowe rzeczywisego obieku całkującego w dodakowo korygowanym układzie regulacji, dodakowa sała czasowa T D =,..7 ``` 4

127 Wniosek Wykresy wyjściowego sygnału rzeczywisego obieku całkującego przedsawione na rysunku.8. wskazują, że opymalna warość dodakowej sałej czasowej korygującej sygnał serujący zawiera się w przedziale: 4.5T > T D > 5T. 3. Kompensacja zakłóceń przez układ regulacji 3.. Wprowadzenie Elemenarne modele układu regulacji, w kórych zakłócenie działa na wejściu obieku regulacji, przedsawiono na rysunkach... i 3... Analizę procesu kompensacji zakłóceń przez układ regulacji przeprowadzimy dla równoważnego modelu układu regulacji, kórego schema blokowy jes przedsawiony na rysunku 3... z x K K O R wy e y y o Analizę układu, w kórym wysępuje jednoczesne oddziaływa-nie sygnału serującego y o i sygnału zakłócającego z, podzielimy na dwa eapy. W pierwszym eapie zosanie oceniony wpływ zmiennej serującej y o dla zmiennej zakłócającej z = 0. W drugim eapie zosanie oceniony wpływ zmiennej zakłócającej dla zmiennej serującej y o = 0. Rys Elemenarny model układu regulacji, w kórym zakłócenie działa na wejściu obieku regulacji y y o K O K R z x e K R Rys Równoważny model układu regulacji dla zakłócenia działającego na wejściu obieku regulacji ``` 5

128 Przekszałcenie modelu układu elemenarnego w model układu równoważnego wprowadzający sygnał zakłócenia do głównego węzła sumacyjnego przez odwroność ransmiancji regulaora pozwala bezpośrednio ocenić (przez porównanie dróg działania efekywność oddziaływania sygnału serujący i sygnału zakłócającego. Transformaa wyjściowego sygnału obieku regulacji w układzie, kóry przedsawiony jes na rysunku 3.. jako funkcja sygnału zakłócającego z dla sygnału serującego y o = 0, jes określona przez wyrażenie: KO(s KR(s KO(s y(s = z(s = z(s. (3.. K (s K (s K (s K (s K (s R O Transformaa wyjściowego sygnału obieku regulacji w układzie, kóry przedsawiony jes na rysunku 3.. jako funkcja sygnału serującego y o dla sygnału zakłócającego z = 0, jes określona przez wyrażenie..4. z poprzedniego rozdziału ej monografii, zn.: R KO(s KR(s y(s = yo(s. (3.. K (s K (s O R O R 3.. Analiza kompensacji zakłóceń obieku inercyjnego pierwszego rzędu serowanego regulaorem proporcjonalno-całkującym PI Tabela 3... Charakerysyki czasowe y(, kr, y(, kr układu regulacji dla sygnału serującego yo lub zakłócającego z badanie wpływu wzmocnienia regulaora ko ( stv kr st stv kokr s kokr st s kr st st kokr ( st 0, kr,.. 4 ko.00 T 0 T kokr y(, kr e kokr T T koe koe y (, kr kokr Komenarz: Obiek inercyjny pierwszego rzędu Regulaor proporcjonalno-całkujący Kompensacja inercji obieku, TV = T Transmiancja obieku i regulaora. Transformaa układu regulacji dla sygnału wyjściowego y(s,( z( = 0, y o ( = ( Transformaa sygnału wyjściowego y(s, (yo( = 0, z( = ( Paramery wykresów. W menu Formaing Currenly seleced x y Plo dla zakładki Traces wybrano: Symbol:,, Symbol Weigh: p, Line Type: poins, Y. Sygnał wyjściowy y Sygnał wyjściowy y Wykresy na rysunku 3.. są śladami większej ilości wekorów w funkcji drugiego wekora. ``` 6

129 y(, kr y(, kr Rys Sygnały wyjściowe y i y jako kompensacja działania zakłócenia dla różnych warości wzmocnienia regulaora PI, kr =,, 3, 4. Ze wzrosem wzmocnienia regulaora sygnał y maleje Tabela 3... Zesawienia charakerysyk czasowych y(, kr, y(, kr układu regulacji dla sygnału serującego yo lub zakłócającego z badanie wpływu wzmocnienia regulaora ko.00 T 0 m n.. 0 m 0 0.5m kr n n y(, kr e T ko kr ( Y m, n y m, kr n m m 0 m koe y(, kr T ( Y mn, y m, kr n koe kokr kokr T Komenarz: Obiek inercyjny pierwszego rzędu. Regulaor proporcjonalno-całkujący. Kompensacja inercji obieku, T V = T Paramery obliczeń Zmienne pomocnicze Sygnał wyjściowy y Macierz warości sygnału y Zmiana paramerów obliczeń Sygnał zmian y Macierz warości sygnału y ``` 7

130 Y Rys Zesawienie charakerysyk czasowych obieku inercyjnego pierwszego rzędu serowanego regulaorem PI dla T = T V = 0, kr =,..0 Y Rys Zesawienie charakerysyk kompensacji zakłócenia działającego na obiek inercyjny pierwszego rzędu serowany przez regulaor PI dla T = T V = 0, kr =,..0 ``` 8

131 Tabela Charakerysyki czasowe y(, kr, y(, kr układu regulacji dla sygnału serującego yo lub zakłócającego z badanie wpływu wzmocnienia regulaora ko st s kokr kokr s kokr st kr,.. 4 B( kr kokr kokr ( stv kr stv stv kokr stv stv s TTv T 0 Tv 5 ko y (, kr Tv Tvko kr 4T kokr Tv kokr s kokr y(, kr kokr e T sinh B ( kr kos Tv T Tv kokr stv stv s TTv ko kokr e T sinh B ( kr T B( kr kokr Te T cosh B ( kr T B( kr kokr kokre T sinh B ( kr T B( kr B( kr Komenarz: Obiek inercyjny pierwszego rzędu. Regulaor proporcjonalno-całkujący. Brak kompensacji inercji obieku, Tv T Transmiancje: obieku, regulaora Transformaa układu regulacji dla sygnału wyjściowego y(s, ( z( = 0, yo( = ( Transformaa obieku regulacji dla sygnału wyjściowego y(s, ( z( = 0, yo( = ( Paramery układu regulacji Paramery obliczeń Obliczenia ransforma odwronych Laplace a wykonaj jak w przykładach rozdziału. Sygnał wyjściowy y Uwaga: W pliku obliczeń podsawienie B(kr musi być wpisane przed wyrażeniem, kórego doyczy. Transformaa układu regulacji dla sygnału wyjściowego y(s, (yo( = 0, z( = ( Sygnał wyjściowy y ``` 9

132 . 0.8 y(, kr y (, kr Yp( Rys Charakerysyka czasowa Yp obieku i sygnały wyjściowe y i y jako kompensacja działania zakłócenia dla różnych warości wzmocnienia regulaora PI, kr =,, 3, 4, T = 0, Tv = 5. Ze wzrosem wzmocnienia regulaora sygnał y maleje. 0.8 y(, kr y (, kr Yp( Rys Charakerysyka czasowa Yp obieku i sygnały wyjściowe y i y jako kompensacja działania zakłócenia dla różnych warości wzmocnienia regulaora PI, kr =,, 3, 4, T = 0, T V =. Ze wzrosem wzmocnienia regulaora sygnał y maleje ``` 30

133 0.8 y(, kr y (, kr Yp ( Rys Charakerysyka czasowa Yp obieku i sygnały wyjściowe y i y jako kompensacja działania zakłócenia dla różnych warości wzmocnienia regulaora PI, kr =,, 3, 4, T = 0, T V =. Ze wzrosem wzmocnienia regulaora sygnał y maleje. 0.8 y(, kr y (, kr Yp ( Rys Charakerysyka czasowa Yp obieku i sygnały wyjściowe y i y jako kompensacja działania zakłócenia dla różnych warości wzmocnienia regulaora PI, kr =,, 3, 4, T = 0, T V =. Ze wzrosem wzmocnienia regulaora sygnał y maleje. ``` 3

134 Tabela Zesawienia charakerysyk czasowych y(, kr, y(, kr układu regulacji dla sygnału serującego y o lub zakłócającego z badanie wpływu wzmocnienia regulaora T 0 m ko.00 Tv n.. 0 m m krn n Komenarz: Obiek inercyjny pierwszego rzędu. Regulaor proporcjonalno-całkujący. Brak kompensacji inercji obieku, T V T Paramery układu regulacji Paramery obliczeń Zmienne pomocnicze y (, kr kokr e T sinh B ( kr kokr Te T cosh B ( kr T B( kr kokr kokre T sinh B ( kr T B( kr B( kr Obliczenia ransforma odwronych Laplace a wykonaj jak w przykładach rozdziału. Sygnał wyjściowy y Uwaga: B( kr Tv Tvko kr 4T kokr Tv kokr T Tv W pliku obliczeń podsawienie B(kr musi być wpisane przed wyrażeniem, kórego doyczy. ( Y m, n y m, kr n y(, kr ko ( Y m, n y m, kr n kokr e T sinh B ( kr T B( kr Macierz warości sygnału y Sygnał zmian y Macierz warości sygnału y Podsumowanie Z porównania przebiegów sygnałów wyjściowych y, y układu regulacji i charakerysyki czasowej obieku regulowanego Yp (zob. rys. 3.., zauważamy, że największy wpływ na kszał wykresu zmian sygnałów w układzie regulacji ma dobór sałych czasowych regulaora. Wzros warości wzmocnienia zmniejsza czas regulacji i oddziaływanie sygnału zakłócającego. ``` 3

135 Y Rys Zesawienie charakerysyk kompensacji zakłócenia działającego na obiek inercyjny pierwszego rzędu serowany przez regulaor PI dla: T = 0, T V =, kr =,..0 Y Rys Zesawienie charakerysyk czasowych obieku inercyjnego pierwszego rzędu serowanego regulaorem PI dla: T = T V = 0, kr =,..0 ``` 33

136 3.3. Analiza kompensacji zakłóceń obieku inercyjnego pierwszego rzędu serowanego regulaorem proporcjonalno-różniczkującym PD Tabela Charakerysyki czasowe y(, kr, y(, kr układu regulacji dla sygnału serującego yo lub zakłócającego z badanie wpływu wzmocnienia regulaora Komenarz: Obiek inercyjny pierwszego rzędu Regulaor proporcjonalno-różniczkujący ko st kr ( str Tr kokr s Tr s ( T kokr Tr s kokr kokr ko s kokr s( T kokr Tr Tr T Transmiancje: obieku i regulaora Transformaa układu regulacji dla sygnału wyjściowego y(s, ( z( = 0, yo( = ( Transformaa układu regulacji dla sygnału wyjściowego y(s, (yo( = 0, z( = ( 0, ko.00 kr,.. 4 T 5 Tr 0 Paramery obliczeń Paramery układu regulacji y(, kr kokr ( kokr ( kokr T Te T Tr kokr Tr e T Trko kr Trko kr ( kokr ( T Trko kr Sygnał wyjściowy y wywołany sygnałem serującym yo y(, kr ( kokr T Tr kokr ko e kokr Sygnał wyjściowy y wywołany sygnałem zakłócającym z Na rysunkach 3.3. i 3.3. przedsawiono sygnały wyjściowe obieku regulowanego dla czasu różniczkowania regulaora Tr > T oraz Tr < T. Podsumowanie Porównując sygnały wyjściowe obieku inercyjnego serowanego regulaorem proporcjonalno różniczkującym PD z sygnałami wyjściowymi obieku inercyjnego serowanego regulaorem proporcjonalno-całkującym PI, dosrzegamy isoną różnicę. Regulaor PD nie może całkowicie skompensować działania zakłócenia. Pozosaje błąd regulacji, kórego warość zależy od iloczynu wzmocnienia obieku i regulaora. ``` 34

137 0.8 y(, kr y (, kr Rys Sygnały wyjściowe y i y jako działanie zakłócenia dla różnych warości wzmocnienia regulaora PD, kr =,, 3, 4. Ze wzrosem wzmocnienia regulaora sygnał y maleje. Czas różniczkowania regulaora Tr = 0 > T = y(, kr y (, kr Rys Sygnały wyjściowe y i y jako działanie zakłócenia dla różnych warości wzmocnienia regulaora PD, kr =,, 3, 4. Ze wzrosem wzmocnienia regulaora sygnał y maleje. Czas różniczkowania regulaora Tr = 5 < T = 0 ``` 35

138 Dla sanu usalonego (, s 0, serowanie sygnałem y o sygnał wyjściowy y układu regulacji z regulaorem PD dąży do warości: y =. ko kr (3.3. Dla sanu usalonego (, s 0 sygnał wyjściowy y układu regulacji z regulaorem PD nie jes równy zero, dąży do warości: ko y = ko kr. (3.3. Tabela Zesawienia charakerysyk czasowych y(, kr, y(, kr układu regulacji dla sygnału serującego yo lub zakłócającego z badanie wpływu wzmocnienia regulaora Komenarz: Obiek inercyjny pierwszego rzędu Regulaor proporcjonalno-różniczkujący Brak kompensacji inercji obieku ko.00 T 0 Tr 5 Paramery układu regulacji m n.. 0 m 0 m y (, kr kr n n ( Y m, n y m, kr n ( kokr ko e T Trko kr kokr Paramery obliczeń Tz zasępcza sała czasowa sygnału wyjściowego y T Trko kr Tzkr ( ( kokr Sygnał wyjściowy y Macierz warości sygnału y y(, kr ( kokr ( kokr kokr T Te T Trko kr Tre T Trko kr Trko kr ( kokr ( T Trko kr ( Y m, n y m, kr n Sygnał wyjściowy y Macierz warości sygnału y Na rysunkach i udokumenowano oczywisy wpływ zmian wzmocnienia i względnej warości czasu różniczkowania regulaora na charakerysyki czasowe obieku regulacji. Dla czasów różniczkowania regulaora większych od sałej czasowej obieku regulacji sygnał wyjściowy obieku dąży asympoycznie do warości usalonej jako warość minimalna (zob. rys Dla czasów różniczkowania mniejszych od sałej czasowej obieku regulacji sygnał wyjściowy obieku (zależny od sygnału serującego y o dąży asympoycznie do warości usalonej jako warość maksymalna (zob. rys Isony wpływ zasępczej sałej czasowej Tz (zob. ab na warość błędu regulacji wyjściowego y obserwujemy w obszarze małych różnic warości T i Tr (zob. rys ``` 36

139 y (, kr Rys Sygnał wyjściowy y jako działanie zakłócenia dla różnych warości wzmocnienia regulaora PD, kr = 0,..5. Ze wzrosem wzmocnienia regulaora sygnał y maleje. Czas różniczkowania regulaora Tr = 4.8 < T = 5, y(, kr Rys Sygnał wyjściowy y jako działanie zakłócenia dla różnych warości wzmocnienia regulaora PD, kr = 0,..5. Ze wzrosem wzmocnienia regulaora sygnał y maleje. Czas różniczkowania regulaora Tr = 4.8 < T = 5. ``` 37

140 y (, kr Rys Sygnał wyjściowy y jako działanie zakłócenia dla różnych warości wzmocnienia regulaora PD, kr = 0,..5. Ze wzrosem wzmocnienia regulaora sygnał y maleje. Czas różniczkowania regulaora Tr = 4.8 < T = 5, y(, kr Rys Sygnał wyjściowy y jako działanie zakłócenia dla różnych warości wzmocnienia regulaora PD, kr = 0,..5. Ze wzrosem wzmocnienia regulaora sygnał y maleje. Czas różniczkowania regulaora Tr = 5. < T = 4.8 ``` 38

141 Y Rys Zesawienie charakerysyk czasowych obieku inercyjnego pierwszego rzędu serowanego regulaorem PD dla: T =0, Tr = 5, kr =,..0 Y Rys Zesawienie charakerysyk czasowych obieku inercyjnego pierwszego rzędu serowanego regulaorem PD dla: T =0, Tr = 5, kr =,..0 ``` 39

142 Y Rys Zesawienie charakerysyk działania zakłócenia na obiek inercyjny pierwszego rzędu serowany przez regulaor PD dla: T = 0, Tr = 5, kr =,..0 Y Rys Zesawienie charakerysyk działania zakłócenia na obiek inercyjny pierwszego rzędu serowany przez regulaor PD dla: T = 5, Tr = 0, kr =,..0 ``` 40

143 Tabela Zesawienia charakerysyk czasowych y(, kr, y(, kr układu regulacji dla sygnału serującego yo lub zakłócającego z badanie wpływu wzmocnienia regulaora ko kr( str st kokr lub s s kokr kokr ko s kokr ( st 0, kr, T 0 ko Komenarz: Obiek inercyjny pierwszego rzędu Regulaor proporcjonalno-różniczkujący Kompensacja inercji obieku. Transmiancje: regulaora i obieku Kompensacja inercji obieku, Tr = T Transformaa układu regulacji dla sygnału wyjściowego y(s,( z( = 0, y o ( = ( Transformaa układu regulacji dla sygnału wyjściowego y(s,(y o ( = 0, z( = ( Paramery układu regulacji Paramery obliczeń y (, kr y(, kr kokr kokr ko e T kokr Sygnał wyjściowy y wywołany sygnałem serującym y o Sygnał wyjściowy y wywołany sygnałem zakłócającym z 0.8 y(, kr y (, kr Rys Sygnały wyjściowe y i y jako działanie zakłócenia dla różnych warości wzmocnienia regulaora PD, kr =, 6, 0, 4. Ze wzrosem wzmocnienia regulaora sygnał y maleje. Czas różniczkowania regulaora Tr = T = 0 ``` 4

144 Tabela Zesawienia charakerysyk czasowych y(, kr, y(, kr układu regulacji dla sygnału serującego yo lub zakłócającego z badanie wpływu wzmocnienia regulaora Komenarz: Obiek inercyjny pierwszego rzędu Regulaor proporcjonalno-różniczkujący Kompensacja inercji obieku ko.00 T 0 m n.. 0 m 0 m kr n n Paramery układu regulacji Paramery obliczeń y (, kr ( Y m, n y m, kr n y(, kr kokr kokr ( Y m, n y m, kr n ko e T kokr Sygnał wyjściowy y wywołany sygnałem serującym y o Macierz warości sygnału y Sygnał wyjściowy y wywołany sygnałem zakłócającym z Macierz warości sygnału y Y Rys Zesawienie charakerysyk czasowych obieku inercyjnego pierwszego rzędu serowanego regulaorem PD dla: T = Tr = 0, kr =,..0 ``` 4

145 Y Rys Zesawienie charakerysyk działania zakłócenia na obiek inercyjny pierwszego rzędu serowany przez regulaor PD dla: T = Tr = 0, kr =, Analiza kompensacji zakłóceń obieku inercyjnego rzeciego rzędu serowanego regulaorem PID Zakłada się, że obiek inercyjny rzeciego rzędu modelowany jes jako szeregowe połączenie obieków inercyjnych pierwszego rzędu. Transmiancja akiego obieku jes określona przez wyrażenie: Ko( s ko. (3.4. ( st ( st ( st3 Regulaor PID modelowany jes jako szeregowe połączenie regulaora PI i PD. Transmiancję akiego regulaora w rozdziale opisuje wyrażenie (.7.3. Ogólną posać ego wyrażenia można przedsawić jako wzór: ( stv ( str Kr( s kr. (3.4. stv Transformaa wyjściowego sygnału y w układzie regulacji na podsawie wzoru (3.. dla zrealizowanego warunku TV = T, Tr = T, kompensacji działania dwóch największych inercji obieku regulacji określa zależność: ys ( kokr. (3.4.3 s kokr st s TT3 ``` 43

146 Transformaa wyjściowego sygnału y w układzie regulacji na podsawie wzoru (3.. dla zrealizowanego warunku kompensacji działania dwóch największych inercji obieku regulacji określa zależność: y( s st ko. (3.4.4 s kokr st s TT3 ( ( st ( st Charakerysykę czasową obieku inercyjnego rzeciego rzędu określa wyrażenie: (3.4.5 Yp( TT ko T Tko TT3 ko T T3ko TT3 ko T T3ko... T T Tkoe TT T koe T T T3koe TT3 T3 koe.. T T T3koe TT3 T3 koe ( T T ( T T3 ( T T3 Charakerysykę czasową obieku inercyjnego rzeciego rzędu w układzie regulacji, kóry jes serowanego sygnałem y o przez regulaor PID kompensujący działanie dwóch największych inercji obieku, określa wyrażenie (posać i wynik obliczeń procesora Mahcad: y (, kr e T3 T3e sinh A ( kr T3 cosh A ( kr T3 A( kr T3 A( kr A( kr... A( kr T 4T3 kokr 4T T3 ( y (, kr 0.63 y(, kr Yp( Rys Charakerysyka czasowa Yp obieku i sygnały wyjściowe y i y układu regulacji, w kórym zasosowano kompensacje inercji, dla: T V =T = 0, Tr = T = 5, T 3 =, ko =, kr =, 4, 7, 0 ``` 44

147 Charakerysykę czasową obieku inercyjnego rzeciego rzędu serowanego sygnałem zakłócenia z przez regulaor PID kompensujący działanie dwóch największych inercji obieku określa wyrażenie (wynik obliczeń procesora Mahcad: (3.4.7 T 3 T3 Tkoe sinh ( A( kr T 3 T3 T3koe sinh ( A( kr... T 3 T3 T koe A( kr T T T3 koe sinh ( A( kr... T T3 T3 koe sinh ( A( kr... T 3 T TT3koe A( kr T TT3 T3 koe sinh ( A( kr.. TT T3 T3koe sinh ( A( kr... T 3 T3 T3 koe cosh( A( kr A( kr... TT T3 T koe A( kr... T T T T3koe A( kr... T T T3 T3 koe cosh( A( kr A( kr... T T T3 T3koe cosh( A( kr A( kr... T T T3ko T3 kre sinh ( A( kr... T TT3ko T3 kre sinh ( A( kr... T 3 T3 TT3koe cosh( A( kr A( kr... T T T3ko T kre A( kr T T T3ko T kre A( kr y(, kr T T3 3 A( kr T 3 T3 A( kr T TT3 3 A( kr... T 3 TT3 A( kr T T T3 A( kr T T T3 A( kr... T 3 T3 kokr A( kr T 3 T3 kokr A( kr... ( T T 3 T3ko kr A( kr... T T 3 T3kokr A( kr T 3 TT3kokr A( kr... T T T3ko kr A( kr... T T T3 kokr A( kr T TT3 kokr A( kr ``` 45

148 Y Rys Zesawienie charakerysyk działania sygnału serującego y o na obiek inercyjny rzeciego rzędu serowany regulaorem PID, w kórym zasosowano kompensacje inercji obieku TV = T = 0, Tr = T = 5, T 3 =, ko =, kr =, 4, 7, 0 Y Rys Zesawienie charakerysyk działania zakłócenia na obiek inercyjny rzeciego rzędu serowany regulaorem PID, w kórym zasosowano kompensacje inercji obieku TV = T = 0, Tr = T = 5, T 3 =, ko =, kr =, 4, 7, 0 ``` 46