Punktowe procesy niejednorodne

Transkrypt

1 Modelowaie i Aaliza Daych Przestrzeych Wykład 5 Adrzej Leśiak Katedra Geoiformatyki i Iformatyki Stosowaej Akademia Góriczo-Huticza w Krakowie Puktowe procesy iejedorode Jak wcześiej wspomiao, dla procesów iejedorodych itesywość procesu ulega zmiaie wraz ze zmiaą puktu czyli jest fukcją położeie λ(u). Ilość puktów w obszarze Bmoże być obliczoa jako: E = ( N( X B) ) λ( u)du Gęstość prawdopodobieństwa dla iejedorodego rozkładu puktów wyosi : λ ( u) f u = λ ( u)du B B

2 Popularą metodą estymacji iezaych parametrów rozkładu prawdopodobieństwa zaego typu jest metoda ajwiększej wiarygodości. Wiarygodością -elemetowej próby prostej jest łączym prawdopodobieństwem otrzymaia kokretej próby x = x, x2,, tj.: 1 K x ( x,θ ) = ( x,θ ) L f i= 1 Estymator ajwiększej wiarygodości to taki estymator, który maksymalizuje wiarygodość próby, tj.: L ˆ θ = max L x, θ θ W praktyce maksymalizujemy logarytm tej fukcji (maksimum jest takie samo a logarytm z iloczyu rozkłada się a sumę logarytmów). Maksimum fukcji jest obliczae stadardowymi metodami zerujemy pierwszą pochodą i sprawdzamy czy druga pochoda jest miejsza od zera. Najczęściej procedura jest realizowa umeryczie w pakietach statystyczych (p. w R). i Puktowe procesy iejedorode Dla jedorodego procesu Poissoa o itesywości λ logarytm z fukcji wiarygodości ma postać: log L( x, λ) = f ( xi, λ) = ( x) log λ λ area( W ) i= 1 Estymatorem ajwiększej wiarygodości jest: x λˆ = area W Jest to estymator ieobciążoy o wariacji: ( ˆ) var λ = λ area( W ) Jeśli proces ie jest jedorody i jego itesywość zależy od parametru θto fukcja wiarygodości ma postać: log L x, ( θ ) = log ( xi ) λθ ( u) i= 1 W Otrzymay tą drogą estymator NW jest dla dużych asymptotyczie ormaly. du

3 Powracamy do zbioru drzew w lesie tropikalym. Jeśli dopasujemy do tego obrazu jedorody proces Poissoa (metodą NW). Otrzymujemy: Itesity: Jeżeli założymy, że fukcja itesywości jest log-liiowa p postaci (, y) = exp( θ + θ x θ y) x W wyiku dopasowaia otrzymujemy astępujące wartości parametrów: Fitted tred coefficiets: (Itercept) x y to zaczy wyestymowaa fukcja itesywości ma postać: ( x, y) = exp( x y) Puktowe procesy iejedorode Dopasowaą fukcję dwóch zmieych moża zobrazować w kolorze jako tło a obrazie procesu puktowego. Waże! Kolory pokazują zmieą itesywość procesu puktowego ajlepiej dopasowaego do modelu (pukty ie mają a razie żadych cech lub wartości).

4 Procesy puktowe iejedorode Na mapę tredu moża ałożyć mapę błędów dopasowaia iejedorodego procesu Poissoa o założoej postaci do daych rzeczywistych. W tym wypadku mapa błędów została aiesioa w postaci izoliii. Moża zaobserwować, że max błędy występują w cetralej części obszaru aalizowaego. Chi-squared test of fitted Poisso model fit usig quadrat couts Pearso X2 statistic data: data from fit X2 = , df = 9, p-value < 2.2e-16 alterative hypothesis: two.sided P-value bliskie zera czyli odrzucając H 0 (że tred jest właściwy dla tych daych) popełiamy błąd a poziomie p czyli go ie popełiamy. Jeśli przeprowadzimy test chi-kwadrat metodą podziału a kwadraty. W każdym kwadracie podao obserwowaą liczbę puktów, liczbę wyikającą z modelu (z tredem) i resztę Pearsoa: ˆ r = ˆ Wartości reszty r sięgające 25 wskazują a b. duże odchyłki od modelu.

5 Moża zadać pytaie jak wygląda iejedorody proces Poissoa o itesywości zadaej założoą fukcją tredu, tj proces ( x, y) = exp( x y) Na rysuku zamieszczoo jego przykładową realizację. Moża zaobserwować wzrost itesywości we wskazaym kieruku. Puktowe procesy iejedorode Rezydua obliczoe a podstawie wpasowaego modelu procesu Poissoa mogą być zdefiiowae jako różica pomiędzy liczbą puktów w obszarze B a progozowaą ilością puktów w tym obszarze otrzymaą a podstawie itesywości λˆ dopasowaego modelu. r ( B) = ( x B) λˆ ( u) ~ gdzie λ u = e u itesywości, zaś B du Oczywiście residua są liczoe w pewych (miejszych lub większych) obszarach B. Stąd ich bliski związek z metodą szacowaia itesywości w obszarach prostokątych w testowaiu chi-kwadrat. Z reguły liczymy wygładzoe pole rezyduale : s u = ˆ λ u λ * u * λ κ ( u ) k = 1 x i ( u) = e( u) κ ( u v) ( v)dv W λ ˆ θ jest ieparametryczym jądrowym estymatorem jest wygładzoą wersją parametryczej estymaty itesywości dopasowaego modelu. e u jest poprawką korygującą istieie brzegów, κ jest jądrem wygładzającym.

6 Zbiorcza aaliza wartości rezydualych (odchyłek) dla zbioru bei i modelu tredu x, y = exp x y Rys. w prawym dolym rogu przedstawia uśredioe pole odchyłek, rys w lewym górym rogu rozmieszczeie drzew. Pozostałe dwa rysuki to sumy kumulacyje odchyłek liczoych w kieruku osi X i Y. Przyjmujemy, że a brzegach wartości są zerowe. Kumulaty startują więc od zera i kończą się a zerze gdyż obejmują sumę wszystkich odchyłek. Liie kropkowae to 5% przedziały ufości otrzymae z modelowań.