7 Ukªady równa«ró»niczkowych zwyczajnych liniowych. Równania ró»niczkowe zwyczajne liniowe wy»szych rz dów

Transkrypt

1 Ukªady r-na«ró»niczkowych liniowych. R-nia liniowe wy»szych rz dów 71 7 Ukªady równa«ró»niczkowych zwyczajnych liniowych. Równania ró»niczkowe zwyczajne liniowe wy»szych rz dów 7.1 Nierówno± Gronwalla W bie» cym podrozdziale udowodnimy nierówno± Gronwalla, znajduj c szerokie zastosowanie w teorii równa«ró»niczkowych. Lemat 7.1 (Nierówno± Gronwalla 1 ). Zaªó»my,»e I jest przedziaªem (niezdegenerowanym), I, oraz g : I [0, ) jest funkcj ci gª speªniaj c, dla pewnych C 0 i D 0, nierówno± g(t) C + D t Wówczas zachodzi nierówno± g(s) ds t I. g(t) Ce D t t I. Dowód. Wyka»emy nierówno± tylko dla t. Poªó»my t q(t) := C + D g(s) ds, t I, t. q jest funkcj klasy C 1. Z zaªo»enia, g(t) q(t) dla t I, t, zatem q (t) Dq(t) q (t) Dg(t) = 0, t I, t. Mno» c skrajne strony powy»szej nierówno±ci przez e Dt otrzymujemy e Dt q (t) De Dt q(t) 0, t I, t, czyli (e Dt q(t)) 0, t I, t. Caªkuj c powy»sz nierówno± od do t dostajemy q(t) Ce D(t ), t I, t. Lecz g(t) q(t) dla wszystkich t I, t, co daje» dany wynik. 1 Thomas Hakon Gronwall (wªa±c. Grönwall, ), matematyk ameryka«ski pochodzenia szwedzkiego

2 72 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Podamy teraz przykªad zastosowania nierówno±ci Gronwalla. Twierdzenie 7.2. Zaªó»my,»e ci gªa funkcja wektorowa f : (a, b) R n R n ma nast puj c wªasno± : Istniej ci gªe funkcje rzeczywiste M 1 : (a, b) [0, ) i M 2 : (a, b) [0, ) takie,»e f(t, x) M 1 (t) x + M 2 (t) t (a, b) x R n. Wówczas ka»de nieprzedªu»alne rozwi zanie ukªadu równa«ró»niczkowych x = f(t, x) jest okre±lone na caªym przedziale (a, b). Dowód. Zaªó»my nie wprost,»e dla pewnego rozwi zania nieprzedªu»alnego ϕ: (α, β) R n ukªadu x = f(t, x) zachodzi a < α. Z twierdzenia o przedªu»aniu rozwi za«(tw. 6.4) wynika,»e dla ka»dego zbioru zwartego K R n istnieje τ (α, β) takie,»e ϕ(t) / K dla wszystkich t (α, τ). Ustalmy (α, β). Dojdziemy do sprzeczno±ci, je±li znajdziemy zbiór zwarty K R n taki,»e ϕ(t) K dla wszystkich t (α, ]. Wykorzystamy do tego nierówno± Gronwalla. Funkcja wektorowa ϕ( ) speªnia równanie caªkowe ϕ(t) = ϕ( ) + t f(s, ϕ(s)) ds t (α, β). Oznaczmy g(t) := ϕ(t), t (α, ] =: I. Standardowe oszacowania dla caªek oznaczonych z (ci gªych) funkcji wektorowych daj gdzie g(t) C + D t g(s) ds t I, C := ϕ( ) + ( α) sup { M 2 (s) : s [α, ] }(< ), D := sup { M 2 (s) : s [α, ] }(< ). Z nierówno±ci Gronwalla (Lemat 7.1) wynika,»e ϕ(t) Ce D t Ce D( α) t I. Za zbiór zwarty K bierzemy kul domkni t o ±rodku w 0 i promieniu Ce D(t0 α). Przypadek β < b wykluczamy w analogiczny sposób.

3 Ukªady r-na«ró»niczkowych liniowych. R-nia liniowe wy»szych rz dów Ukªady równa«ró»niczkowych zwyczajnych liniowych: Podstawowe poj cia i wªa±ciwo±ci Dla macierzy A = [a ij ] n i,j=1 (by mo»e o wyrazach zespolonych!), symbol A oznacza ( n i,j=1 a ij 2 ) 1/2 (norm tak nazywamy norm Frobeniusa 2 ). Przypomnijmy,»e Ax A x, gdzie Ax [odp. x ] oznacza norm euklidesow wektora Ax [odp. wektora x]. Denicja. Ukªadem n równa«ró»niczkowych zwyczajnych liniowych nazywamy ukªad (ULn) x = A(t)x + h(t), gdzie A: (a, b) R n n jest funkcj macierzow i h: (a, b) R n jest funkcj wektorow. Funkcj A( ) nazywamy macierz ukªadu (ULn). Denicja. Ukªad (ULn) nazywamy ukªadem równa«ró»niczkowych liniowych jednorodnych gdy h 0. W przeciwnym przypadku ukªad nazywamy ukªadem równa«ró»niczkowych liniowych niejednorodnych. Twierdzenie 7.3. Zaªó»my,»e funkcje A: (a, b) R n n i h: (a, b) R n s ci gªe. Wówczas dla ka»dego (, x 0 ) (a, b) R n istnieje dokªadnie jedno rozwi zanie nieprzedªu»alne ϕ: (a, b) R zagadnienia pocz tkowego (ULn-ZP) x = A(t)x + h(t) x( ) = x 0. Dowód. Funkcja wektorowa (t, x) A(t)x + h(t) jest ci gªa. Ponadto, dla ka»dego przedziaªu zwartego [c, d] (a, b) mamy A(t)x 1 + h(t) (A(t)x 2 + h(t)) = = A(t)(x 1 x 2 ) L x 1 x 2 t [c, d] x 1, x 2 R n, gdzie L := sup{ A(t) : t [c, d] } <. Na podstawie Faktu 6.6 istnieje dokªadnie jedno nieprzedªu»alne rozwi zanie ϕ: (α, β) R n zagadnienia (ULn-ZP). Aby wykaza,»e (α, β) = (a, b), wystarczy zauwa»y,»e dla wszystkich t (a, b) i wszystkich x R n speªniona jest nierówno± A(t)x + h(t) M 1 (t) x + M 2 (t), gdzie i zastosowa Tw M 1 (t) := A(t), M 2 (t) := h(t), 2 Ferdinand Georg Frobenius ( ), matematyk niemiecki

4 74 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski 7.3 Ukªady równa«ró»niczkowych liniowych jednorodnych W bie» cym podrozdziale rozpatrujemy ukªad n równa«ró»niczkowych liniowych jednorodnych (ULJn) x = A(t)x, gdzie A: (a, b) R n n jest ci gª funkcj macierzow. Jest niemal oczywiste,»e zbiór wszystkich rozwi za«ukªadu (ULJn) tworzy przestrze«liniow nad ciaªem R liczb rzeczywistych. Twierdzenie 7.4. Wymiar przestrzeni liniowej rozwi za«ukªadu (ULJn) równa«ró»niczkowych liniowych jednorodnych wynosi n. Dowód. Oznaczmy przestrze«liniow rozwi za«ukªadu (ULJn) przez S. Ustalmy (a, b), i oznaczmy przez R odwzorowanie liniowe przyporz dkowuj ce rozwi zaniu ϕ( ) ukªadu (ULJn) jego warto± w. Z Twierdzenia 7.3 wynika,»e R jest ró»nowarto±ciowe i na, zatem jest izomorzmem przestrzeni liniowych S i R n. Udowodnimy teraz pomocniczy lemat. Lemat 7.5. Niech (ϕ 1,..., ϕ n ) b dzie ukªadem rozwi za«ukªadu (ULJn). Wówczas nast puj ce warunki s równowa»ne: (i) Ukªad funkcji (ϕ 1,..., ϕ n ) jest liniowo niezale»ny. (ii) Istnieje (a, b) takie,»e ukªad wektorów (ϕ 1 ( ),..., ϕ n ( )) jest liniowo niezale»ny. (iii) Dla ka»dego t (a, b) ukªad wektorów (ϕ 1 (t),..., ϕ n (t)) jest liniowo niezale»ny. Dowód. Udowodnimy równowa»no± zaprzecze«powy»szych warunków, tzn. (i) Ukªad funkcji (ϕ 1,..., ϕ n ) jest liniowo zale»ny. (ii) Dla ka»dego t (a, b) ukªad wektorów (ϕ 1 (t),..., ϕ n (t)) jest liniowo zale»ny. (iii) Istnieje (a, b) takie,»e ukªad wektorów (ϕ 1 ( ),..., ϕ n ( )) jest liniowo zale»ny.

5 Ukªady r-na«ró»niczkowych liniowych. R-nia liniowe wy»szych rz dów 75 Implikacje (i) = (ii) = (iii) s oczywiste. Zaªó»my (iii). Zatem co najmniej jeden z wektorów (ϕ 1 ( ),..., ϕ n ( )) jest kombinacj liniow pozostaªych. Dla ustalenia uwagi zaªó»my,»e ϕ 1 ( ) = c 2 ϕ 2 ( )+ +c n ϕ n ( ). Zauwa»my,»e zarówno funkcja ϕ 1 jak i c 2 ϕ c n ϕ n speªniaj zagadnienie pocz tkowe x = A(t)x, x( ) = ϕ 1 ( ). Z Tw. 7.3 wynika,»e ϕ 1 = c 2 ϕ c n ϕ n, st d ukªad funkcji (ϕ 1,..., ϕ n ) jest liniowo zale»- ny. Niech (ϕ 1,..., ϕ n ) b dzie ukªadem rozwi za«ukªadu (ULJn). Oznaczmy ϕ i = col (ϕ 1i,..., ϕ ni ). Šatwo zauwa»y,»e funkcja macierzowa Φ( ) := [ϕ ij ( )] n i,j=1 (czyli macierz otrzymana przez ustawienie obok siebie wektorów kolumnowych ϕ 1,..., ϕ n ) jest rozwi zaniem nast puj cego macierzowego liniowego równania ró»niczkowego (7.1) X = A(t)X. Denicja. Ukªad (ϕ 1,..., ϕ n ) nazywamy ukªadem fundamentalnym (lub podstawowym) ukªadu równa«ró»niczkowych liniowych jednorodnych (ULJn) gdy funkcje wektorowe ϕ 1,..., ϕ n tworz baz przestrzeni liniowej rozwi za«ukªadu (ULJn). Z Lematu 7.5 (niemal) bezpo±rednio wynika Lemat 7.6. Ukªady fundamentalne ukªadu równa«ró»niczkowych liniowych jednorodnych (ULJn) odpowiadaj tym rozwi zaniom Φ( ) równania macierzowego (7.1) dla których det Φ(t) 0 dla ka»dego t (a, b) (lub det Φ( ) 0 dla pewnego (a, b)). Denicja. Rozwi zanie Φ( ) równania macierzowego (7.1) nazywamy macierz fundamentaln (lub podstawow ) ukªadu (ULJn) gdy det Φ(t) 0 dla ka»dego t (a, b) (alternatywnie, gdy det Φ( ) 0 dla pewnego (a, b)). Denicja. Wyznacznikiem Wro«skiego (lub wro«skianem) ukªadu (ϕ 1,..., ϕ n ) rozwi za«ukªadu (ULJn) nazywamy wyznacznik det Φ( ) (oznaczamy go przez W (ϕ 1,..., ϕ n )( )). Twierdzenie 7.7 (Wzór Liouville'a 3 ). Niech (ϕ 1,..., ϕ n ) b dzie ukªadem rozwi za«ukªadu (ULJn). Wówczas wro«skian W ( ) := W (ϕ 1,..., ϕ n )( ) speªnia równanie ró»niczkowe W = tr A(t) W. 3 Joseph Liouville ( ), matematyk francuski

6 76 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Wynika st d,»e ( t ) W (t) = W (s) exp tr A(τ) dτ dla s, t (a, b). s Przypominam,»e tr A, ±lad macierzy A, oznacza sum elementów na gªównej przek tnej A, tr A = n i=1 a ii. Lemat 7.8. (i) Je»eli Φ( ) jest macierz fundamentaln ukªadu (ULJn) i B jest staª macierz nieosobliw, to Φ( )B jest macierz fundamentaln ukªadu (ULJn). (ii) Je»eli Φ( ) i Ψ( ) s macierzami fundamentalnymi ukªadu (ULJn), to istnieje staªa macierz nieosobliwa B taka,»e Ψ(t) = Φ(t)B dla ka»dego t (a, b). Dowód. (i) Na przedziale (a, b) zachodzi (ΦB) = Φ B = (A(t)Φ)B = A(t)(ΦB), zatem funkcja macierzowa Φ( )B jest rozwi zaniem macierzowego równania ró»niczkowego X = A(t)X. Ponadto det (ΦB)(t) 0 dla ka»dego t (a, b). (ii) Oznaczmy Ξ(t) := Φ 1 (t)ψ(t). Zachodz nast puj ce równo±ci Ξ (t) = (Φ 1 (t)) Ψ(t)+Φ 1 (t)ψ(t) = ( Φ 1 (t)φ (t)φ 1 (t))ψ(t)+φ 1 (t)ψ (t) = = Φ 1 (t)(ψ (t) Φ (t)φ 1 (t)ψ(t)) = Φ 1 (t)(a(t)ψ(t) A(t)Φ(t)Φ 1 (t)ψ(t)) 0, zatem Ξ(t) = const. Wniosek. Dla macierzy fundamentalnych Φ i Ψ ukªadu (ULJn) mamy Φ(t)Φ 1 (s) = Ψ(t)Ψ 1 (s) t, s (a, b). Denicja. Macierz Cauchy'ego ukªadu równa«ró»niczkowych liniowych jednorodnych (ULJn) nazywamy funkcj macierzow dwóch zmiennych Φ(t; s) := Φ(t)Φ 1 (s), s, t (a, b), gdzie Φ( ) jest macierz fundamentaln ukªadu (ULJn). Z powy»szego wniosku wynika,»e (w odró»nieniu od macierzy fundamentalnej) macierz Cauchy'ego jest jednoznacznie okre±lona. Poni»sze wªasno±ci macierzy Cauchy'ego s ªatwe do sprawdzenia: 1) Φ(t; t) = I t (a, b), 2) Φ(u; t)φ(t; s) = Φ(u; s) s, t, u (a, b).

7 Ukªady r-na«ró»niczkowych liniowych. R-nia liniowe wy»szych rz dów 77 Twierdzenie 7.9. Rozwi zanie zagadnienia pocz tkowego wyra»a si wzorem x = A(t)x x( ) = x 0 Φ(t; )x 0, gdzie Φ( ; ) jest macierz Cauchy'ego ukªadu x = A(t)x. Dowód. t (Φ(t; )x 0 ) = t (Φ(t)Φ 1 ( )x 0 ) = = Φ (t)φ 1 ( )x 0 = A(t)Φ(t)Φ 1 ( )x 0 = A(t)Φ(t; )x 0, zatem t Φ(t; )x 0 jest rozwi zaniem ukªadu. Zauwa»my ponadto,»e Φ( ; )x 0 = Φ( )Φ 1 ( )x 0 = x Ukªady równa«ró»niczkowych liniowych niejednorodnych. Uzmiennianie staªych W bie» cym podrozdziale rozpatrujemy ukªad n równa«ró»niczkowych liniowych niejednorodnych (ULNn) x = A(t)x + h(t), gdzie A: (a, b) R n n jest ci gª funkcj macierzow i h: (a, b) R n jest ci gª funkcj wektorow. Dla ukªadu równa«ró»niczkowych liniowych niejednorodnych (ULNn) ukªad równa«ró»niczkowych liniowych jednorodnych (ULJn) x = A(t)x nazywamy ukªadem stowarzyszonym z (ULNn). W ±wietle Tw. 7.4 i denicji ukªadu fundamentalnego poni»szy wynik jest oczywisty. Twierdzenie Niech (ϕ 1 ( ),..., ϕ n ( )) b dzie ustalonym ukªadem fundamentalnym ukªadu równa«liniowych jednorodnych x = A(t)x, i niech ψ( ) b dzie ustalonym rozwi zaniem ukªadu (ULNn). Ka»de rozwi zanie ukªadu (ULNn) równa«ró»niczkowych liniowych niejednorodnych mo»na jednoznacznie zapisa w postaci (7.2) C 1 ϕ 1 ( ) + + C n ϕ n ( ) + ψ( ), gdzie C 1,..., C n R s staªymi,

8 78 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Wzór (7.2), gdzie C 1,..., C n R s dowolne, nazywamy rozwi zaniem ogólnym ukªadu równa«ró»niczkowych liniowych niejednorodnych. Stosuj c terminologi z algebry liniowej, mo»na powiedzie,»e zbiór rozwi za«ukªadu równa«ró»niczkowych liniowych niejednorodnych jest przestrzeni aniczn (nad ciaªem liczb rzeczywistych) wymiaru n. Twierdzenie 7.11 (Wzór na uzmiennianie staªych). Rozwi zanie zagadnienia pocz tkowego jest równe x = A(t)x + h(t) x( ) = x 0 Φ(t; )x 0 + t Φ(t; s)h(s) ds, gdzie Φ( ; ) jest macierz Cauchy'ego ukªadu stowarzyszonego x = A(t)x. Dowód. Niech ϕ( ) b dzie rozwi zaniem naszego zagadnienia pocz tkowego, i niech Φ b dzie pewn macierz fundamentaln ukªadu równa«jednorodnych. Zachodzi nast puj ca równo± : d dt (Φ 1 (t)ϕ(t)) = (Φ 1 ) (t)ϕ(t) + Φ 1 (t)ϕ (t) = = Φ 1 (t)φ (t)φ 1 (t)ϕ(t) + Φ 1 (t)(a(t)ϕ(t) + h(t)) = = Φ 1 (t)a(t)φ(t)φ 1 (t)ϕ(t) + Φ 1 (t)a(t)ϕ(t) + Φ 1 (t)h(t). Caªkuj c t równo± otrzymujemy t Lewa strona jest równa Mamy zatem t d ds (Φ 1 (s)ϕ(s)) ds = Φ 1 (s)h(s) ds. Φ 1 (t)ϕ(t) Φ 1 ( )ϕ( ). Φ 1 (t)ϕ(t) = Φ 1 ( )x 0 + t Φ 1 (s)h(s) ds. Mno» c obie strony powy»szej równo±ci przez Φ(t) (z lewej strony) otrzymujemy» dany wzór.

9 Ukªady r-na«ró»niczkowych liniowych. R-nia liniowe wy»szych rz dów 79 W praktyce powy»szy wzór stosuje si w nieco innej wersji: szukamy rozwi zania ogólnego ukªadu równa«niejednorodnych (ULNn) w postaci Φ( )c( ), gdzie Φ( ) jest ustalon macierz fundamentaln ukªadu stowarzyszonego, oraz c( ) := col (c 1 ( ),..., c n ( )) jest pewn (jeszcze nie znan ) funkcj wektorow. Zachodz nast puj ce równo±ci (Φ(t)c(t)) = A(t)Φ(t)c(t) + h(t) t (a, b). Lecz lewa strona jest równa Φ (t)c(t) + Φ(t)c (t) = A(t)Φ(t)c(t) + Φ(t)c (t), co daje Φ(t)c (t) = h(t), a po rozpisaniu ϕ 11 (t)c 1(t) + ϕ 12 (t)c 2(t) + + ϕ 1n (t)c n(t) = h 1 (t) ϕ 21 (t)c 1(t) + ϕ 22 (t)c 2(t) + + ϕ 2n (t)c n(t) = h 2 (t). ϕ n1 (t)c 1(t) + ϕ n2 (t)c 2(t) + + ϕ nn (t)c n(t) = h n (t) Powy»sz metod nazywamy metod uzmienniania staªych. 7.5 Równania ró»niczkowe liniowe jednorodne wy»szych rz dów: Podstawowe poj cia i wªa±ciwo±ci. Denicja. Równaniem ró»niczkowym zwyczajnym liniowym n-tego rz du nazywamy równanie (RLn) x (n) + p 1 (t)x (n 1) + + p n 1 (t)x + p n (t)x = h(t), gdzie p 1,..., p n : (a, b) R (wspóªczynniki równania (RLn)), h: (a, b) R (wyraz wolny równania (RLn))). Stosuj c metod z Rozdziaªu 6 wykazujemy,»e równanie (RLn) jest równowa»ne ukªadowi równa«ró»niczkowych liniowych x = x p n (t) p 1 (t) h(t)

10 710 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Denicja. Równanie (RLn) nazywamy równaniem ró»niczkowym liniowym n-tego rz du jednorodnym gdy h 0. W przeciwnym przypadku równanie nazywamy równaniem ró»niczkowym liniowym n-tego rz du niejednorodnym. Twierdzenie Zaªó»my,»e funkcje p 1,..., p n : (a, b) R i h: (a, b) R s ci gªe. Wówczas dla ka»dego (, x 0, x 1,..., x n 1 ) (a, b) R n istnieje dokªadnie jedno rozwi zanie nieprzedªu»alne ϕ: (a, b) R zagadnienia pocz tkowego x (n) + p 1 (t)x (n 1) + + p n 1 (t)x + p n (t)x = h(t) (7.3) x(t 0 ) = x 0 x ( ) = x 1. x (n 1) ( ) = x n Równania ró»niczkowe liniowe jednorodne wy»szych rz dów. W bie» cym podrozdziale rozpatrujemy równanie ró»niczkowe liniowe jednorodne n-tego rz du (RLJn) x (n) + p 1 (t)x (n 1) + + p n 1 (t)x + p n (t)x = 0, gdzie p 0,..., p n : (a, b) R s funkcjami ci gªymi. Twierdzenie Zbiór wszystkich rozwi za«równania (RLJn) liniowego jednorodnego n-tego rz du tworzy przestrze«liniow (nad ciaªem liczb rzeczywistych) wymiaru n. Denicja. Wyznacznikiem Wro«skiego (lub wro«skianem) ukªadu (ϕ 1,..., ϕ n ) rozwi za«równania (RLJn) nazywamy wyznacznik funkcyjny ϕ 1 ϕ 2... ϕ n ϕ 1 ϕ 2... ϕ n... ϕ (n 1) 1 ϕ (n 1) 2... ϕ (n 1) (oznaczamy go przez W (ϕ 1,..., ϕ n )( ). Denicja. Ukªad (ϕ 1,..., ϕ n ) nazywamy ukªadem fundamentalnym (lub podstawowym) równania ró»niczkowego liniowego jednorodnego n-tego rz du (RLJn), gdy funkcje ϕ 1,..., ϕ n tworz baz przestrzeni liniowej rozwi za«równania (RLJn). n

11 Ukªady r-na«ró»niczkowych liniowych. R-nia liniowe wy»szych rz dów 711 Fakt Niech (ϕ 1,..., ϕ n ) b dzie ukªadem rozwi za«równania (RLJn). Wówczas nast puj ce warunki s równowa»ne: (i) (ϕ 1,..., ϕ n ) jest ukªadem fundamentalnym równania (RLJn). (ii) Istnieje (a, b) takie,»e W (ϕ 1,..., ϕ n )( ) 0. (iii) W (ϕ 1,..., ϕ n )(t) 0 dla ka»dego t (a, b). Przykªad. Przy ustalonym (a, b), oznaczmy przez ϕ j, 0 j n 1, rozwi zanie równania (RLJn) speªniaj ce warunki pocz tkowe x (k) ( ) = δ jk, gdzie 0 k n 1 (δ jk oznacza delt Kroneckera). Zachodzi W (ϕ 0,..., ϕ n 1 )( ) = det Id = 1, zatem, na podstawie powy»szego faktu, ukªad (ϕ 0,..., ϕ n 1 ) jest ukªadem fundamentalnym. Twierdzenie 7.15 (Wzór Liouville'a, dla n = 2 zwany te» wzorem Abela 4 ). Niech (ϕ 1,..., ϕ n ) b dzie ukªadem rozwi za«równania (RLJn). Wówczas wro«skian W ( ) := W (ϕ 1,..., ϕ n )( ) speªnia równanie ró»niczkowe W = p 1 (t)w. Wynika st d,»e ( t ) W (t) = W (s) exp p 1 (τ) dτ dla, t (a, b). s Nie ma ogólnego wzoru pozwalaj cego wyrazi rozwi zanie równania ró»- niczkowego liniowego jednorodnego (rz du wy»szego ni» 1) w postaci zªo»enia sko«czonej ilo±ci operacji typu caªkowania, nakªadania funkcji wykªadniczej itp. Niemniej jednak, gdy znamy jedno rozwi zanie η : (a, b) R (nie przyjmuj ce nigdzie warto±ci 0) równania (RLJn), poprzez podstawienie x = yη równanie (RLJn) mo»na sprowadzi do równania liniowego jednorodnego rz du n 1. Istotnie, otrzymujemy wtedy ( ) ( ) n n y (n) η + y (n 1) η + + y η (n 1) + yη (n) + 1 n 1 + p 1 (t) ( ( ) ( ) n 1 n 1 y (n 1) η + y (n 2) η + + y η (n 2) + yη (n 1)) + 1 n 2 4 Niels Henrik Abel ( ), matematyk norweski p n 1 (t)(y η + yη ) + + p n (t)yη = 0,

12 712 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski czyli Dzielimy obie strony przez η: i podstawiamy z = y : y (n) η + q 1 (t)y (n 1) + + q n 1 (t)y = 0. y (n) + q 1 (t)y (n 1) + + q n 1 (t)y = 0, (7.4) z (n 1) + q 1 (t)z (n 1) + + q n 1 (t)z = 0. Niech (ψ 1,..., ψ n 1 ) b dzie ukªadem fundamentalnym równania (7.4). Wówczas (ηϕ 1,..., ηϕ n 1, η), gdzie ϕ j jest pewn funkcj pierwotn funkcji ψ j, jest ukªadem fundamentalnym równania (RLJn). Aby to sprawdzi, zauwa»- my,»e wystarczy stwierdzi i» funkcje ηϕ 1,..., ηϕ n 1, η s liniowo niezale»ne. Niech c 1,..., c n R b d takie,»e c 1 ηϕ c n 1 ηϕ n 1 + c n η 0. Dziel c obie strony przez η otrzymujemy (7.5) c 1 ϕ c n 1 ϕ n 1 + c n 0. Ró»niczkuj c powy»sz równo± dostajemy c 1 ψ c n 1 ψ n 1 0, zatem c 1 = = c n 1 = 0. Z równo±ci (7.5) otrzymujemy c n = Równania ró»niczkowe liniowe niejednorodne wy»- szych rz dów. W bie» cym podrozdziale rozpatrujemy równanie ró»niczkowe liniowe niejednorodne n-tego rz du (RLNn) x (n) + p 1 (t)x (n 1) + + p n 1 (t)x + p n (t)x = h(t), gdzie p 1,..., p n, h: (a, b) R s funkcjami ci gªymi. Dla równania ró»niczkowego liniowego niejednorodnego równanie ró»niczkowe liniowe jednorodne (RLJn) x (n) + p 1 (t)x (n 1) + + p n 1 (t)x + p n (t)x = 0 nazywamy równaniem stowarzyszonym z (RLNn).

13 Ukªady r-na«ró»niczkowych liniowych. R-nia liniowe wy»szych rz dów 713 Twierdzenie Niech (ϕ 1,..., ϕ n ) b dzie ustalonym ukªadem fundamentalnym równania liniowego jednorodnego (RLJn), i niech ψ b dzie ustalonym rozwi zaniem równania (RLNn). Ka»de rozwi zanie równania ró»niczkowego liniowego niejednorodnego (RLNn) mo»na jednoznacznie zapisa w postaci (7.6) C 1 ϕ 1 ( ) + + C n ϕ n ( ) + ψ( ), gdzie C 1,..., C n R s staªymi. Wzór (7.6), gdzie C 1,..., C n R s dowolne, nazywamy rozwi zaniem ogólnym równania ró»niczkowego liniowego niejednorodnego n-tego rz du. Metoda uzmienniania staªych dla równania ró»niczkowego liniowego niejednorodnego n-tego rz du polega na szukaniu rozwi zania ogólnego w postaci c 1 ( )ϕ 1 ( ) + + c n ( )ϕ n ( ), gdzie (ϕ 1 ( ),..., ϕ n ( )) jest ukªadem fundamentalnym równania liniowego jednorodnego (RLJn) oraz c 1 ( ),..., c 1 ( ) s (jeszcze nie znanymi) funkcjami. Ukªad (algebraicznych) równa«liniowych przyjmuje posta : ϕ 1 (t)c 1(t) + ϕ 2 (t)c 2(t) + + ϕ n (t)c n(t) = 0 ϕ 1(t)c 1(t) + ϕ 2(t)c 2(t) + + ϕ n(t)c n(t) = 0. ϕ (n 2) 1 (t)c 1(t) + ϕ (n 2) 2 (t)c 2(t) + + ϕ (n 2) n (t)c n(t) = 0 ϕ (n 1) 1 (t)c 1(t) + ϕ (n 1) 2 (t)c 2(t) + + ϕ (n 1) n (t)c n(t) = h(t) 7.8 Dodatek: Pewne inne zastosowanie nierówno±ci Gronwalla Zakªadamy,»e funkcja wektorowa f : (a, b) D R n, gdzie D R n jest obszarem, jest ci gªa, i jej pochodne cz stkowe wzgl dem x i s ci gªe. Ustalmy (a, b). Dla y D oznaczmy przez ϕ( ; y) nieprzedªu»alne rozwi zanie zagadnienia pocz tkowego x = f(t, x) x( ) = y. Zajmiemy si teraz zagadnieniem co si stanie, gdy nieco zmienimy warto± pocz tkow. Okazuje si,»e na sko«czonych odcinkach czasowych rozwi zanie zagadnienia pocz tkowego zale»y w sposób ci gªy od warto±ci pocz tkowej. ci±lej mówi c, zachodzi nast puj ce twierdzenie:

14 714 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Twierdzenie Ustalmy x 0 D. Niech t 1 (, b) b dzie takie,»e dziedzina rozwi zania nieprzedªu»alnego ϕ( ; x 0 ) zawiera przedziaª [, t 1 ]. Wówczas istniej δ > 0 i M 1 o nast puj cych wªasno±ciach: (i) dla ka»dego y D takiego,»e y x 0 < δ dziedzina rozwi zania nieprzedªu»alnego ϕ( ; y) zawiera przedziaª [, t 1 ]; (ii) dla ka»dego y D takiego,»e y x 0 < δ zachodzi ϕ(t; y) ϕ(t; x 0 ) M y x 0 t [, t 1 ].