Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.

Transkrypt

1 WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat

2 Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN m.murat@pollub.pl

3 Model matematyczny poj cia pierwotne aksjomaty denicje twierdzenia p q, p q dowód wprost nie wprost przez sprowadzenie do sprzeczno±ci

4 Rodzaje modeli matematycznych: modele deterministyczne nie uwzgl dniaj ce informacji o niepewno±ci, stosuje si do modelowania zjawisk, w których wszystkie informacje o wªasno±ciach sytemu i otoczenia s pewne modele niedeterministyczne uwzgl dniaj ce informacj o niepewno±ci, stosuje si je najcz ±ciej do modelowania zjawisk powtarzalnych interpretuj c prawdopodobie«stwo jako cz sto± zdarze«

5 Najprostszy model matematyczny-zbiór liczb naturalnych n,m N n < m n = m n > m, ka»da liczba naturalna ma nast pnik, ka»da liczba naturalna jest wi ksza od 1

6 Dodatkowe operacje dodawanie i mno»enie liczb naturalnych odejmowanie liczby caªkowite dzielenie liczby wymierne

7 Geometria Euklidesowa - najdokªadniejszy model matematyczny obiekty geometryczne, które pojawiaj si w codziennym»yciu obiekty przeksztaªcono w twory abstrakcyjne podstawowe zwi zki mi dzy obiektami - ukªad aksjomatów teoria - podstawowe narz dzie to logika

8 Model teorii mnogo±ci zbiór, przynale»no± do zbioru suma, iloczyn, ró»nica uogólniona suma, iloczyn prawa rachunku zbiorów logika i teoria mnogo±ci poj cie funkcji

9 Przestrze«liniowa model abstrakcyjny model pewnych aspektów algebry liniowej i geometrii poj cie grupy

10 Ciaªo - struktura algebraiczna Ciaªo struktura formalizuj ca wªasno±ci algebraiczne liczb Poj cia ciaªa (bez nadawania mu nazwy) u»ywaª ju» Évariste Galois ( ) Ciaªem nazywa si pier±cie«przemienny, w którym ka»dy niezerowy element jest odwracalny.

11 Pier±cie«- struktura algebraiczna Pier±cie«= niepusty zbiór K, dwa dziaªania wewn trzne: + : K K K - dodawanie, : K K K - mno»enie 1. przemienno± dodawania: a + b = b + a a,b K a,b K 2. ª czno± dodawania: (a + b) + c = a + (b + c) 3. istnienie elementu neutralnego dodawania: a + 0 = a 0 K a K 4. istnienie elementu odwrotnego wzgl dem dodawania: a + ( a) = 0 a K a K 5. ª czno± mno»enia: (a b) c = a (b c) a,b K 6. rozdzielno± mno»enia wzgl dem dodawania: (a + b) c = a c + b c a,b K

12 Ciaªo - struktura algebraiczna Ciaªo=pier±cie«przemienny, w którym ka»dy niezerowy element jest odwracalny 7. przemienno± mno»enia: a b = b a a,b K 8. istnienie elementu neutralnego mno»enia: 1 a K a K {0} 1 K a K 9. istnienie elementu odwrotnego wzgl dem mno»enia: a 1 a = 1 1 a = a

13 Przestrze«liniowa (wektorowa) Przestrze«liniowa = (V,, K, ) 1. (K, +, ) - ciaªo 2. (V, ) - grupa przemienna 3. : K V V - dziaªanie zewn trzne w zbiorze V nad zbiorem K 3. α (u v) = (α u) (α v) α,β K u,v V α,β K v V α,β K v V v V 1 v = v (α + β) v = (α v) (β v) (α β) v = α (β v)

14 Norma Norma w przestrzeni liniowej X = funkcja : X < 0, ) 1. x = 0 x = θ, θ - element neutralny dziaªania wewn trznego przestrzeni liniowej V 2. α x = α x (wªasno± jednorodno±ci) 3. α K x X x,y X x + y x + y (nierówno± trójk ta) x = norma wektora x (X, ) = przestrze«unormowana

15 Ci g Cauchy'ego (X, ) - przestrze«unormowana, (v n ) X - ci g Ci g (v n ) nazywamy ci giem Cauchy'ego je±li ε>0 n 0 N m,n>n 0 v n v m < ε Ci g ma granic = jest ci giem Cauchy'ego. Ci g (v n ) ma granic v X je±li ε>0 n 0 N n>n 0 v n v < ε

16 Denicja Przestrze«Banacha = linowa przestrze«unormowana, w której ka»dy ci g Cauchy'ego jest zbie»ny

17 Stefan Banach ( ) pierwsze prace dotyczyªy szeregów Fouriera, funkcji i szeregów ortogonalnych, równa«maxwella, funkcji pochodnych funkcji mierzalnych, teorii miary praca doktorska (1922)-pierwsza aksjomatyczna denicja przestrzeni, nazwanych pó¹niej jego imieniem ugruntowaª ostatecznie podstawy analizy funkcjonalnej, podaª jej fundamentalne twierdzenia, wprowadziª jej terminologi, któr zaakceptowali matematycy na caªym ±wiecie Banach

18 Przykªady przestrzeni Banacha przestrze«ci gów n-elementowych, ( n ) 1 (x n ) = x k p p, p 1 k=1 przestrze«ci gów ograniczonych, (x n ) = sup x k k N przestrze«ci gów zbie»nych do zera, (x n ) = sup x k k N

19 Przykªady przestrzeni Banacha przestrze«szeregów zbie»nych z p-t pot g, p 1, ( ) 1 (x n ) = x k p p k=1 X = C[a, b]-zbiór funkcji ci gªych na przedziale [a, b], f = sup f(t) t [a,b] L p (Ω, F, µ) - przestrze«funkcji caªkowalnych z p-t pot g, ( ) 1 f = f(t) p p dµ, p 1 Ω