5 Równania ró»niczkowe cz stkowe liniowe drugiego

Transkrypt

1 Równania ró»niczkowe cz stkowe drugiego rz du 51 5 Równania ró»niczkowe cz stkowe liniowe drugiego rz du. 5.1 Równania ró»niczkowe cz stkowe drugiego rz du dla funkcji dwóch zmiennych Dla funkcji u = u(x, y) dwóch zmiennych równanie ró»niczkowe cz stkowe drugiego rz du ma ogóln posta Szczególnymi przypadkami s F (x, y, u, u x, u y, u xx, u xy, u yy ) = 0. a(x, y, u, u x, u y )u xx + 2b(x, y, u, u x, u y )u xy + c(x, y, u, u x, u y )u yy = g(x, y, u, u x, u y ) równanie quasiliniowe, a(x, y)u xx + 2b(x, y)u xy + c(x, y)u yy = g(x, y, u, u x, u y ) równanie semiliniowe, a(x, y)u xx + 2b(x, y)u xy + c(x, y)u yy + d(x, y)u x + e(x, y)u y + f(x, y)u = g(x, y) równanie liniowe. Równanie liniowe nazywamy jednorodnym, g g 0, i niejednorodnym w przeciwnym przypadku. Wyró»niamy te» równania liniowe (jednorodne i niejednorodne) o staªych wspóªczynnikach: a, b, c, d, e i f sa niezale»ne od (x, y). 5.2 Zagadnienie Cauchy'ego dla równania quasiliniowego Zaªó»my,»e Ω R 2 jest obszarem. Rozwa»my równanie ró»niczkowe cz stkowe quasiliniowe drugiego rz du (RRCzQ) a(x, y, u, u x, u y )u xx + 2b(x, y, u, u x, u y )u xy + + c(x, y, u, u x, u y )u yy = g(x, y, u, u x, u y ), gdzie a, b, c, g : Ω R 3 R s funkcjami wystarczaj co regularnymi na to, by dokonywane przeksztaªcenia byªy uprawnione (1). Ponadto, stale zakªadamy, (1) Niekie dziedziny funkcji sa wªa±ciwymi podzbiorami wymienionego wzoru. Na przykªad, je±li u(x, y) oznacza g sto± pewnej substancji w punkcie (x, y), naturalnym jest za- ªo»enie,»e rozwi zanie mo»e przyjmowa tylko warto±ci nieujemne, i wówczas dziedzin jest Ω [0, ) R 2.

2 52 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski»e a(x, y, u, u x, u y ) + b(x, y, u, u x, u y ) + c(x, y, u, u x, u y ) > 0 dla wszystkich (x, y, u, u x, u y ) Ω R 3. Niech l 0 b dzie krzyw zawart w pªaszczy¹nie XOY, klasy C 1, bez samoprzeci, zadan w postaci parametrycznej x = x 0 (s), y = y 0 (s), s [s 1, s 2 ] =: I. Zagadnienie Cauchy'ego dla równania (RRCzQ) polega na znalezieniu rozwi zania u = u(x, y) równania (RRCzQ) speªniaj cego warunki Cauchy'ego: (5.1) u(x 0 (s), y 0 (s)) = h(s), s I, u x (x 0 (s), y 0 (s)) = ϕ(s), s I, u y (x 0 (s), y 0 (s)) = ψ(s), s I, gdzie h, ϕ i ψ s zadanymi funkcjami. Ró»niczkuj c funkcj u(x 0 (s), y 0 (s)) po s otrzymujemy h (s) = ϕ(s)x 0(s) + ϕ(s)y 0(s), s I. Wynika st d w szczególno±ci,»e nie wszystkie trzy funkcje h, ϕ i ψ mog by dowolne. l 0 : (5.2) Cz stym zaªo»eniem jest,»e zadana jest pochodna normalna na krzywej u(x 0 (s), y 0 (s)) = h(s), s I, u x (x 0 (s), y 0 (s))y 0(s) u y (x 0 (s), y 0 (s))x 0(s) = χ(s), s I, (x 0(s)) 2 + (y 0(s)) 2 gdzie h i χ s zadanymi funkcjami. Wró my do ogólnego przypadku (5.1). Ró»niczkuj c funkcje u x (x 0 (s), y 0 (s)) i u y (x 0 (s), y 0 (s)) po s otrzymujemy (5.3) ϕ (s) = u xx (x 0 (s), y 0 (s))x 0(s) + u xy (x 0 (s), y 0 (s))y 0(s), s I, ψ (s) = u xy (x 0 (s), y 0 (s))x 0(s) + u yy (x 0 (s), y 0 (s))y 0(s), s I. Otrzymali±my zatem ukªad trzech równa«liniowych au xx + 2bu xy + cu yy = g x 0u xx + y 0u xy = ϕ. x 0u xy + y 0u yy = ψ

3 Równania ró»niczkowe cz stkowe drugiego rz du 53 Oznaczmy przez wyznacznik powy»szego ukªadu, czyli = a(y 0) 2 2bx 0y 0 + c(y 0) 2. Krzyw l 0 nazywamy charakterystyczn, g wyznacznik jest w ka»- m jej punkcie równy zeru, i niecharakterystyczn, g wyznacznik jest w ka»m jej punkcie ró»ny od zera. W przypadku krzywej niecharakterystycznej, warto±ci drugich pochodnych cz stkowych u xx, u xy i u yy na krzywej l 0 s jednoznacznie wyznaczone przez warunki Cauchy'ego. Co wi cej, w takim przypadku pochodne wy»- szych rz dów (o ile istniej ) na krzywej l 0 te» s jednoznacznie wyznaczone przez warunki Cauchy'ego. W szczególno±ci, je±li wszystkie wyra»enia wyst puj ce zarówno w równaniu jak i warunkach Cauchy'ego s funkcjami analitycznymi, otrzymujemy w ten sposób wzory rekurencyjne na pochodne kolejnych rz dów rozwi zania. Co wi cej, dowodzi si,»e otrzymany szereg Taylora rozwi zania ma nietrywialny obszar zbie»no±ci. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Cauchy Kowalewskiej (2). 5.3 Równania ró»niczkowe cz stkowe drugiego rz du semiliniowe B dziemy teraz rozwa»ali równania semiliniowe (5.4) a(x, y)u xx + 2b(x, y)u xy + c(x, y)u yy = g(x, y, u, u x, u y ). Gªówn uwag b dziemy po±wi cali wyrazom zawieraj cym pochodne drugiego rz du szukanej funkcji (cz ±ci gªównej równania). Mówimy,»e równanie semiliniowe jest w punkcie (x, y) Ω ˆ eliptyczne, g a(x, y)c(x, y) (b(x, y)) 2 > 0, ˆ hiperboliczne, g a(x, y)c(x, y) (b(x, y)) 2 < 0, ˆ paraboliczne, g a(x, y)c(x, y) (b(x, y)) 2 = 0. Równanie jest eliptyczne (hiperboliczne, paraboliczne) na obszarze Ω R n, je±li jest eliptyczne (hiperboliczne, paraboliczne) w ka»m punkcie obszaru Ω. Posta kanoniczna równania ró»niczkowego semiliniowego drugiego rz du: ˆ u xx u yy + = 0 (lub u xy = 0) równanie hiperboliczne; (2) Soa Wasiljewna Kowalewska ( ), matematyczka rosyjska.

4 54 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski ˆ u xx + = 0 równanie paraboliczne; ˆ u xx + u yy + = 0 równanie eliptyczne. W powy»szych,... oznacza wyrazy w których nie wyst puj pochodne drugiego rz du. Je±li wspóªczynniki cz ±ci gªównej nie zale» od (x, y), wiadomo z algebry liniowej,»e za pomoc liniowej zamiany zmiennych mo»na równanie semiliniowe sprowadzi, w caªej swej dziedzinie, do postaci kanonicznej. W ogólnym przypadku, szukamy (nieliniowej) zamiany zmiennych (x, y) (ξ, η), klasy C 2, takiej»e w nowych zmiennych wyj±ciowe równanie ma posta kanoniczn. Ponadto, odwrotna zamiana zmiennych (ξ, η) (x, y) musi by te» klasy C 2. W szczególno±ci, wynika st d,»e jakobian musi by wsz dzie ró»ny od zera. Elementarne rachunki wykorzystuj ce twierdzenie o ró»niczkowaniu funkcji zªo»onej daj nam: u x = u ξ ξ x + u η η x u y = u ξ ξ y + u η η y u xx = u ξξ (ξ x ) 2 + 2u ξη ξ x η x + u ηη (η x ) 2 + u ξ ξ xx + u η η xx u xy = u ξξ ξ x ξ y + u ξη (ξ x η y + ξ y η x ) + u ηη η x η y + u ξ ξ xy + u η η xy u yy = u ξξ (ξ y ) 2 + 2u ξη ξ y η y + u ηη (η y ) 2 + u ξ ξ yy + u η η yy. Po dokonaniu powy»szych podstawie«równanie (5.4) przyjmuje nast puj c posta : αu ξξ + 2βu ξη + γu ηη + = 0, gdzie α = a(ξ x ) 2 + 2bξ x ξ y + c(ξ y ) 2 β = 2aξ x η x + b(ξ x η y + ξ y η x ) + 2cξ y η y γ = a(η x ) 2 + 2bη x η y + c(η y ) 2. Mo»na wykaza,»e taka zamiana zmiennych nie zmienia typu równania. Zaªó»my teraz,»e wyj±ciowe równanie (5.4) jest typu hiperbolicznego na pewnym obszarze, i chcemy je doprowadzi do postaci kanonicznej, w której cz ± gªówna ma posta u ξη. Chcieliby±my wi c, by α 0 i γ 0. Ustalmy pewien punkt ( x, ỹ), i zaªó»my, dla ustalenia uwagi,»e a( x, ỹ) 0. Zajmijmy si najpierw pierwsz równo±ci. Rozwa»my poziomic funkcji ξ, czyli krzyw ξ = const, i zaªó»my,»e jest ona wykresem funkcji y = y(x). Wiedz c,»e ξ x + ξ y dx = 0,

5 Równania ró»niczkowe cz stkowe drugiego rz du 55 otrzymujemy, po odpowiednich przeksztaªceniach, co daje (5.5) dx a ( ) 2 2b dx dx + c = 0, b(x, y) ± (b(x, y)) 2 a(x, y)c(x, y) =. a(x, y) We¹my, dla ustalenia uwagi, znak + w powy»szym równaniu. Okazuje si wi c,»e poziomice funkcji ξ to krzywe caªkowe równania b(x, y) + (b(x, y)) 2 a(x, y)c(x, y) =. dx a(x, y) Za ξ bierzemy jak kolwiek caªk powy»szego równania, której gradient jest wsz dzie ró»ny od zera. Je±li chodzi o funkcj η, zauwa»my,»e równanie ró»niczkowe zwyczajne na jej poziomice ma tak sam posta jak (5.5). Poniewa» jakobian przeksztaªcenia (x, y) (ξ, η) musi by niezerowy w punkcie ( x, ỹ), jena mo»liwo± to wzi znak : dx b(x, y) (b(x, y)) 2 a(x, y)c(x, y) =. a(x, y) Za η we¹miemy teraz jak kolwiek caªk tego równania, której gradient jest wsz dzie ró»ny od zera. Równanie przybiera teraz posta β(ξ, η)u ξη + = 0. Dalej, z hiperboliczno±ci wynika,»e β( ξ, η) > 0, gdzie ξ = ξ( x), η = η(ỹ). Mo»na wi c, w pewnym otoczeniu punktu ( ξ, η) podzieli obie strony przez β(ξ, η), otrzymuj c równanie w» danej postaci kanonicznej. Zauwa»my,»e krzywe ξ = const i η = const to krzywe charakterystyczne równania (5.4). Przejd¹my teraz do przypadku, g równanie jest paraboliczne. Jena krzywa charakterystyczna przechodz ca przez punkt ( x, ỹ) to krzywa caªkowa równania ró»niczkowego zwyczajnego dx = b(x, y) a(x, y).

6 56 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Za ξ we¹miemy teraz pewn caªk powy»szego równania o niezerowym gradiencie, za± za η dowoln funkcj, której gradient w ( x, ỹ) nie jest równolegªy do gradientu funkcji ξ. W przypadku równa«eliptycznych podej±cie jest analogiczne jak dla równa«hiperbolicznych, wymaga jednak dopuszczenia równa«o wspóªczynnikach zespolonych (i zespolonych krzywych charakterystycznych). Naszkicowali±my powy»ej dowód nast puj cego twierdzenia. Twierdzenie 5.1. Zaªó»my,»e równanie semiliniowe (5.4), gdzie a, b, c: ΩR s klasy C 2, ma ustalony typ na obszarze Ω R 2. Dla ka»dego punktu ( x, ỹ) Ω istnieje otoczenie U Ω i zamiana zmiennych (x, y) (ξ, η) klasy C 2, z odwrotn zamian te» klasy C 2, takie,»e w zmiennych (ξ, η) równanie ma posta kanoniczn. Przykªad. Rozwa»my równanie ró»niczkowe cz stkowe x 2 u xx y 2 u yy = 0. Jest to równanie typu hiperbolicznego poza osiami wspóªrz dnych. Ograniczmy si, dla ustalenia uwagi, do pierwszej wiartki. Równania krzywych charakterystycznych maj posta dx = ±y x. Caªki to, na przykªad, ξ = y/x, η = xy. Podstawiaj c odpowiednie pochodne do wzorów na u ξξ, u ξη i u ηη otrzymujemy co daje 4ξηu ξη + 2ξu ξ = 0, u ξη 1 2η u η = 0. Równanie to mo»na ªatwo rozwi za : jest to liniowe równanie ró»niczkowe zwyczajne pierwszego rz du, gdzie niewiadom funkcj jest u ξ ; rozwi zuj c je otrzymujemy u ξ (ξ, η) = ηf (ξ), co daje po scaªkowaniu wzgl dem ξ: u(ξ, η) = ηf(ξ) + g(η).

7 Równania ró»niczkowe cz stkowe drugiego rz du 57 Powracaj c do starych zmiennych otrzymujemy u(x, y) = ( y xyf + g(xy), x) gdzie f i g s dowolnymi funkcjami klasy C 2. W teorii przepªywów nadd¹wi kowych pojawia si równanie Tricomiego (3) yu xx + u yy = 0, które jest typu eliptycznego dla y > 0 i typu hiperbolicznego dla y < Klasykacja równa«drugiego rz du dla funkcji n zmiennych, g n 2 Oznaczmy dowolny punkt w R n przez x = (x 1,..., x n ). Rozwa»my równanie ró»niczkowe cz stkowe semiliniowe drugiego rz du, dla funkcji u = u(x 1,..., x n ), postaci (5.6) n i,j=1 a ij (x)u xi x j + = 0, gdzie... oznacza wyrazy zale»ne od x, u i pochodnych pierwszego rz du funkcji u (niekoniecznie w sposób liniowy). Cz ±ci gªówn powy»szego równania nazywamy n i,j=1 a ij (x)u xi x j. O funkcjach a ij : Ω R, gdzie Ω R n jest obszarem, zakªadamy,»e s ci gªe. Ponadto, zakªadamy,»e dla ka»dego x Ω macierz [a ij (x)] n i,j=1 jest symetryczna i niezerowa. Mówimy,»e równanie (5.6) jest eliptyczne w punkcie x Ω, g macierz [a ij (x)] n i,j=1 jest dodatnio (lub ujemnie) okre±lona. Mówimy,»e równanie (5.6) jest hiperboliczne w punkcie x Ω, g macierz [a ij (x)] n i,j=1 ma jedn ujemn i n 1 dodatnich warto±ci wªasnych (lub jedn dodatni i n 1 ujemnych warto±ci wªasnych). (4) Mówimy,»e równanie (5.6) jest paraboliczne w punkcie x Ω, g macierz [a ij (x)] n i,j=1 jest póªdodatnio okre±lona lecz nie dodatnio okre±lona (lub jest (3) Francesco Giacomo Tricomi ( ), matematyk wªoski. (4) Warto tu zaznaczy,»e poj cie hiperboliczno±ci wyst puje w wielu miejscach teorii równa«ró»niczkowych cz stkowych, oznaczaj c ró»ne, pozornie (?) ze sob nie powi zane, rzeczy.

8 58 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski póªujemnie okre±lona lecz nie ujemnie okre±lona), i zero jest jej pojencz warto±ci wªasn. Dla n = 2 powy»sze denicje pokrywaj si z denicjami z poprzedniego rozdziaªu. Zauwa»my,»e dla n > 2 klasykacja równa«postaci (5.6) jako eliptycznych, parabolicznych lub hiperbolicznych nie jest zupeªna. W przypadku równa«quasiliniowych, dla n = 2, klasykacja jako równania typu hiperbolicznego, parabolicznego b d¹ eliptycznego te» odgrywa du» rol. Jednak»e, w odró»nieniu od równa«semiliniowych, typ równania mo»e zale»e nie tylko od punktu (x, y), lecz tak»e od warto±ci rozwi zania i jego pierwszych pochodnych w tym punkcie.