8 Równanie przewodnictwa cieplnego

Transkrypt

1 Równanie przewodnictwa cieplnego 81 8 Równanie przewodnictwa cieplnego Niech Ω R 3 b dzie obszarem. Zaªó»my,»e u(t, x oznacza g sto± pewnej substancji w chwili t > 0 i w punkcie x Ω. O substancji tej zakªadamy,»e nie powstaje ani nie znika w obszarze Ω, natomiast mo»e dyfundowa (od miejsc o wi kszej g sto±ci do miejsc o mniejszej g sto±ci. Nie jest te» wykluczone,»e substancja to wpªywa i wypªywa z obszaru Ω na zewn trz. Oznaczmy przez F strumie«substancji. We¹my obszar ograniczony U, o dostatecznie regularnym brzegu U, taki,»e Ū = U U Ω. Niech 0 < t 1 < t 2. Zmiana ilo±ci substancji w U od chwili t 1 do chwili t 2 jest równa u(t 2, x dx u(t 1, x dx. U Poniewa» substancja ani nie powstaje ani nie zanika w obszarze U, zmiana jej ilo±ci mo»e by spowodowana tylko poprzez przenikanie przez brzeg U. Ilo±ciowo zmiana ta jest równa t 2 ( t 1 U U F, n x ds x dt. Zakªadamy odt d,»e strumie«substancji nie jest bezpo±rednio zale»ny od czasu. Ró»niczkuj c równo± u(t 2, x dx u(t 1, x dx = U po czasie, otrzymujemy U U t 2 ( t 1 U u t dx = F, n x ds x. U F, n x ds x dt Po zastosowaniu twierdzenia o dywergencji, jako»e U jest dowolne, dostajemy równanie u t = div x F. Zaªó»my dalej,»e strumie«jest proporcjonalny do gradientu g sto±ci substancji, czyli F = a(x x u, gdzie a(x > 0, otrzymujemy równanie u t = div x (a(x x u.

2 82 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Zaªo»enie,»e a jest niezale»ne od punktu x R 3 daje równanie przewodnictwa cieplnego (w skocie równanie ciepªa, zwane te» równaniem dyfuzji : u t = a x u. 8.1 Rozwi zanie fundamentalne równania przewodnictwa cieplnego Rozwa»my równanie przewodnictwa cieplnego w caªej przestrzeni (RC u t x u = 0, t > 0, x, gdzie szukana funkcja to u = u(t, x. Zauwa»my, po pierwsze,»e równanie (RC zachowuje sw posta po podstawieniu x = ax, t = a 2 t, (a > 0. Zatem, po takiej zmianie, x 2 nie zmienia si. t Rozwa»my rozwi zania wykªadnicze u(t, x = e i(λt+ x,ξ, gdzie λ C, ξ = (ξ 1,..., ξ n. Zachodzi u t = iλu oraz x u = ξ 2 u, co daje iλ = ξ 2, czyli (8.1 u(t, x = e i x,ξ ξ 2t, Otrzymali±my rodzin rozwi za«, sparametryzowan przez ξ, równania (RC. Rozwa»my zagadnienie pocz tkowe (zagadnienie Cauchy'ego dla równania przewodnictwa cieplnego na : u t x u = 0, t > 0, x, (8.2 u(0, x = f(x, x. Od funkcji u» damy, by byªa ci gªa na [0, i klasy C 2 na (0,. Chcieliby±my, by rozwi zanie zagadnienia (8.2 byªo zªo»eniem rozwi - za«postaci (8.1; mówi c bardziej formalnie, by wyra»aªo si jako caªka, po ξ, rozwi za«tej postaci. Zastosujmy teori przeksztaªcenia Fouriera. Zachodzi 1 f(x = e i x,ξ ˆf(ξ dξ. (2π n/2

3 Równanie przewodnictwa cieplnego 83 Oczekujemy Podstawiaj c wzór u(t, x = ˆf(ξ = 1 (2π n/2 1 (2π n/2 do powy»szej równo±ci, otrzymujemy u(t, x = 1 (2π n = 1 ( (2π n ( e i x,ξ ξ 2t Zdeniujmy (8.3 K(t, x, y := 1 (2π n Dokonujemy zamiany zmiennych co daje Ponadto zatem Lecz wi c ostatecznie e i x,ξ ξ 2t ˆf(ξ dξ. e i y,ξ f(y dy e i y,ξ f(y dy dξ = e i x y,ξ ξ 2t dξ f(y dy. e i x y,ξ ξ 2t dξ. ξ = i 2t (x y + 1 η, czyli η = tξ i t 2 (x y, t exp ( i x y, ξ ξ 2 t ( x y 2 = exp e η 2. 4t dξ = t 1/2 dη, K(t, x, y := 1 ( (2π exp x y 2 t n/2 n 4t e η 2 K(t, x, y = ( n dη = e ds s2 = π n/2, R ( 1 (4πt exp x y 2. n/2 4t e η 2 Powy»ej zdeniowan funkcj nazywamy rozwi zaniem fundamentalnym równania przewodnictwa cieplnego (lub j drem GaussaWeierstrassa. dη.

4 84 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Lemat 8.1. J dro GaussaWeierstrassa ma nast puj ce wªa±ciwo±ci: (a K(t, x, y jest klasy C na (0,. (b ( t x K(t, x, y = 0 dla t > 0. (c K(t, x, y > 0 dla t > 0. (d (e Dla δ > 0 i x zachodzi lim K(t, x, y dy = 1 dla t > 0, x. t 0 + y x δ K(t, x, y dy = 0. Dowód. Cz ±ci (a i (c s natychmiastowe. Cz ± (b wynika z denicji (8.3 i z tego,»e przy takiej regularno±ci mo»na zamienia caªkowanie po ξ i ró»niczkowanie po t lub x. Aby udowodni (d i (e, podstawmy y = x + 2 tξ: oraz K(t, x, y dy = y x δ 1 (4πt n/2 2n t n/2 K(t, x, y dy = 1 π n/2 ξ δ 2 t e ξ 2 dξ = 1, e ξ 2 dξ t Twierdzenie 8.2. Zaªó»my,»e f : R jest mierzalna i ograniczona. Wówczas 1 x y 2 u(t, x = K(t, x, yf(y dy = exp ( f(y dy (4πt n/2 4t ˆ jest klasy C na (0, ; ˆ speªnia u t x u = 0 na (0, ; ˆ dla ka»dego punktu ci gªo±ci ξ funkcji f zachodzi: u(t, x f(ξ przy t 0 +, x ξ.

5 Równanie przewodnictwa cieplnego 85 Dowód. To,»e funkcja u(t, x jest dobrze okre±lona, wynika z Lematu (8.1(c,(d i z tego,»e f jest ograniczona. Pierwsze dwie wªasno±ci funkcji u(t, x wynikaj z Lematu (8.1(a,(b i z tego,»e mo»na zamienia ró»niczkowanie po t lub x i caªkowanie po y (gdy f jest tylko mierzalna, trzeba tu u»y twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci zmajoryzowanej. Poªó»my M := sup f. Niech ξ b dzie punktem ci gªo±ci funkcji f. Dla ε > 0 znajdziemy δ > 0 takie,»e je±li y ξ < δ to f(x f(ξ < ε. Szacujemy u(t, x f(ξ = x y <δ K(t, x, y(f(y f(ξ dy K(t, x, y f(y f(ξ dy + x y <δ x y δ K(t, x, y f(y f(ξ dy + 2M ε K(t, x, y f(y f(ξ dy x y δ K(t, x, y dy + 2M K(t, x, y dy x y δ K(t, x, y dy. Pierwszy skªadnik jest równy ε (z Lematu (8.1(d, za± drugi skªadnik jest mniejszy od ε dla t > 0 dostatecznie maªych (na podstawie Lematu (8.1(e. Rozwi zanie otrzymane powy»ej ma t (niezyczn wªasno±,»e zaburzenia rozchodz si z niesko«czon pr dko±ci : niezale»nie od tego jak maªy jest no±nik funkcji nieujemnej f, rozwi zanie w dowolnej chwili t > 0 jest wi ksze od zera dla ka»dego x. Mo»na wykaza,»e rozwi zanie otrzymane w Twierdzeniu 8.2 jest funkcj analityczn na (0,. Inn, bardzo wa»n wªasno±ci takiego rozwi zania, jest jego ograniczono±, a dokªadniej inf f u(t, x sup f, t > 0, x Rn (jest to wniosek z Lematu 8.1(c,(d. Twierdzenie 8.2 mo»na uogólni na przypadek, gdy o mierzalnej funkcji f zakªadamy tylko,»e istniej M > 0 i a > 0 takie,»e f(x Me a x 2 dla wszystkich x. Wówczas rozwi zanie u jest okre±lone na (0, 1 4a Rn.

6 86 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Brak jednoznaczno±ci Rozwi zanie otrzymane w Twierdzeniu 8.2 nie jest jedynym rozwi zaniem zagadnienia pocz tkowego (8.2. Na przykªad, funkcja x K(t, x, 0 t speªnia jednowymiarowe równanie przewodnictwa cieplnego na (0, R i, dla ustalonego x R, d»y do zera przy t 0 +. Przykªadowi temu mo»na zarzuci,»e warunek pocz tkowy jest speªniany w zbyt sªaby sposób. Jednak»e, w 1935 Tichonow (1 pokazaª,»e funkcja u = u(t, x, t R, x R, wyra»ona (formalnym szeregiem pot gowym gdzie u(t, x = k=0 g (k (t (2k! x2k, ( exp 1 dla t > 0, g(t = t α 0 dla t 0, α > 1, jest dobrze okre±lona, klasy C na R R, i speªnia u t = u xx na R R. Ponadto, dla ustalonego t R, funkcja u(t, jest analityczna na R (cho nie jest analityczna wzgl dem t: u(t, 0 = 0 dla t 0 i u(t, 0 0 dla t > 0. Funkcja opisana powy»ej (jak i inne funkcje tego rodzaju maj pewn, bardzo niezyczn, wªasno± : s nieograniczone z doªu. W 1944 Widder (2 wykazaª,»e jedynym nieujemnym rozwi zaniem równania przewodnictwa cieplnego u t u xx = 0, t > 0, x R, które d»y, przy ustalonym x R, do zera gdy t 0 +, jest funkcja stale równa zeru. 8.2 Zasada maksimum dla równania przewodnictwa cieplnego Niech Ω b dzie obszarem ograniczonym, i niech T > 0. Oznaczmy Q := { (t, x : 0 < t < T, x Ω }. Brzegiem parabolicznym obszaru Q nazywamy Q := { (t, x : (0 t T i x Ω lub (t = 0 i x Ω }. (1 Andriej Nikoªajewicz Tichonow ( , matematyk rosyjski (w j zykach zachodnich stosowana jest pisownia Tikhonov lub Tychono. (2 David Vernon Widder ( , matematyk ameryka«ski.

7 Równanie przewodnictwa cieplnego 87 Twierdzenie 8.3 (Sªaba paraboliczna zasada maksimum. Zaªó»my,»e u jest ci gªa na Q, i»e u t, u xj x j s ci gªe na Q i speªniaj tam u t x u 0. Wówczas max u = max u. Q Q Dowód. Zaªó»my,»e u t x u < 0 na Q. Dla 0 < ε < T oznaczmy Q ε := { (t, x : 0 < t < T ε, x Ω }. Funkcja u jest ci gªa na zbiorze zwartym Q ε, zatem istnieje ( t, x Q ε takie,»e u( t, x = max u. Q ε Gdy ( t, x Q ε, zachodzi u t ( t, x = 0, x u( t, x 0, co jest niemo»liwe. Gdy ( t, x Q ε \ Q ε, zachodzi u t ( t, x 0, x u( t, x 0, co jest znów niemo»liwe. Zatem ( t, x musi nale»e do Q ε oraz max u = max u max u. Q ε Q ε Q Lecz ka»dy punkt (t, x Q taki,»e t < T nale»y do Q ε dla pewnego ε, i u jest ci gªa na Q, wi c max u = sup (max u. Q 0<ε<T Q ε Zaªó»my teraz,»e u t x u 0 na Q. Niech v(t, x := u(t, x αt, gdzie α > 0. Zachodzi v t x v = u t x u α < 0. Zatem, na podstawie poprzedniej cz ±ci dowodu, max Q u = max Q (v + αt max Q i przechodz c z α do zera otrzymujemy tez. v + αt = max v + αt max u + αt, Q Q Zaªó»my,»e u jest ci gªa na Q i ma ci gªe pochodne u t i u xj x j na Q. Wówczas ze sªabej parabolicznej zasady maksimum wynika,»e u jest jednoznacznie okre±lona przez warto±ci u t x u na Q i warto±ci u na Q. Istotnie, je±li u 1, u 2 s takimi funkcjami,»e (u 1 t x u 1 (u 2 t x u 2 na Q i u 1 u 2 na Q, podstawiaj c w := u 1 u 2 widzimy,»e w t x w 0 na Q i w 0 na Q. Stosuj c zasad maksimum do w otrzymujemy,»e max Q ( w = 0. zasad maksimum do w otrzymujemy,»e max Q w = 0, a stosuj c Niech Ω b dzie obszarem ograniczonym. Zagadnieniem brzegowo- -pocz tkowym Dirichleta nazywamy u t = x u, t > 0, x Ω, u(t, x = 0, t > 0, x Ω, u(0, x = f(x, x Ω. O funkcji f zakªadamy,»e jest ci gªa na Ω, oraz»e f(x = 0 dla wszystkich x Ω (jest to tzw. warunek zgodno±ci. Z wniosku z parabolicznej zasady maksimum wynika,»e istnieje co najwy»ej jedno rozwi zanie zagadnienia brzegowo-pocz tkowego Dirichleta.

8 88 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski W przypadku zagadnienia pocz tkowego dla równania przewodnictwa cieplnego na caªym nie zachodzi jednoznaczno±. Jednak»e sytuacja poprawia si, gdy ograniczymy si pewnej klasy rozwi za«. Twierdzenie 8.4. Zaªó»my,»e funkcja u: [0, T ] R, gdzie T > 0, jest ci gªa na [0, T ], i»e u t i u xj x j s ci gªe na (0, T. Ponadto zakªadamy,»e (a u t x u 0 na (0, T ; (b istniej M > 0 i a > 0 takie,»e u(t, x Me a x 2 0 < t < T i x ; dla wszystkich (c u(0, jest ograniczona na. Wówczas dla 0 < t < T, x. u(t, x sup u(0, Dowód. Zaªó»my,»e 4aT < 1. Niech ε > 0 b dzie takie,»e 4a(T + ε < 1. Ustalmy y, i zdeniujmy, dla µ > 0, ( 4π x y 2 v µ (t, x := u(t, x µ (T + ε t exp = n/2 4(T + ε t = u(t, x µk(t + ε t, ix, iy, 0 t T. Zauwa»my,»e t K(T + ε t, ix, iy = xk(t + ε t, ix, iy, 0 < t < T + ε, x. Zatem Oznaczmy t v µ x v µ = u t x u 0, 0 < t < T, x. Ω := { x : x y < ϱ }, Q := (0, T Ω (ϱ > 0 b dzie ustalone pó¹niej. Zauwa»my,»e, na podstawie zasady maksimum (Twierdzenie 8.3, zachodzi v µ (t, y max Q v µ, 0 t < T.

9 Równanie przewodnictwa cieplnego 89 Dalej, na {0} Ω mamy za± na [0, T Ω v µ (0, x u(0, x sup u(0, ( 4π v µ (t, x Me a x 2 µ (T + ε t exp ϱ 2 n/2 4(T + ε t ( 4π Me a( y +ϱ2 µ (T + ε exp ϱ 2. n/2 4(T + ε Ostatni wyraz b dzie, dla ϱ > 0 dostatecznie du»ych, ograniczony z góry przez sup u(0, (przypomnijmy,»e 1/(4(T + ε > a. Wykazali±my,»e max v µ sup u(0,. Q Stosuj c paraboliczn zasad maksimum (Twierdzenie 8.3 do funkcji v µ na Q otrzymujemy 4π v µ (t, y = u(t, y µ sup u(0,. (T + ε t n/2 D» c z µ do zera, otrzymujemy» dany wynik, gdy 4aT < 1. W przypadku, gdy 4aT 1, dzielimy przedziaª [0, T ] na l podprzedziaªów równej dªugo±ci τ, mniejszej ni» 1/(4a, i wnioskujemy,»e dla j = 0, 1,..., l 1. u(t, x sup u(jτ,, jτ t (j + 1τ, x Rozwa»my teraz zagadnienie pocz tkowe (RC-ZP u t = x u, 0 < t < T, x, u(0, x = f(x, x, gdzie f : R jest funkcj ci gª speªniaj c f(x Me a x 2 dla wszystkich x. Z uwagi pod dowodem Twierdzenia 8.2 wynika,»e wzór (8.4 u(t, x = 1 (4πt n/2 x y 2 exp ( f(y dy 4t

10 810 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski okre±la rozwi zanie zagadnienia pocz tkowego (RC-ZP okre±lone na (0, 1 4a, i speªniaj ce tam oszacowanie u(t, x Me a x 2. Z Twierdzenia 8.4 mo»na wywnioskowa,»e wzór (8.4 okre±la jedyne rozwi zanie zagadnienia (RC-ZP speªniaj ce powy»sze oszacowanie na (0, 1 4a. W szczególno±ci, gdy f jest ci gªa i ograniczona, wzór (8.4 okre±la jedyne ograniczone rozwi zanie zagadnienia pocz tkowego (RC-ZP Mocna paraboliczna zasada maksimum Dla obszarów ograniczonych zachodzi mocna paraboliczna zasada maksimum. Istotnie, niech oznaczenia b d takie jak przed Twierdzeniem 8.3. Wówczas, je±li funkcja u ci gªa na Q, klasy C 2 na Q, speªniaj ca równanie przewodnictwa cieplnego na Q, ma t wªasno±,»e jej maksimum na Q jest osi gane w pewnym punkcie ( t, x Q, to u jest staªa na zbiorze [0, t] Ω. 8.3 Regularno± rozwi za«równania przewodnictwa cieplnego Niech Ω b dzie obszarem ograniczonym, o brzegu Ω klasy C 2. Niech Q := (0, T Ω. Zaªó»my,»e funkcja u oraz jej pochodne u t, u xj x k, s ci gªe na Q, oraz»e u t x u = 0 na Q. Dla dowolnej funkcji v klasy C 2 na Q zachodzi (8.5 0 = Q v(u t x u dx = + t=t x Ω vu dx Q t=0 x Ω u(v t + x v dx + vu dx T 0 dt Ω ( v u u v ds x. n x n x Ustalmy ξ Ω i ε > 0. Niech v(t, x := K(T + ε t, x, ξ. Tak okre±lone v jest, na Q, klasy C 2 i speªnia tam v t + x v = 0. Zatem pierwszy skªadnik po prawej stronie wzoru (8.5 redukuje si do zera. Dalej, przeksztaªcamy t=t x Ω vu dx = K(ε, x, ξu(t, x dx = K(ε, ξ, xu(t, x dx. Ω Ω

11 Równanie przewodnictwa cieplnego 811 Modykuj c odpowiednio dowód Twierdzenia 8.2 otrzymujemy,»e powy»sze wyra»enie d»y, przy ε 0 +, do u(t, ξ. Funkcja K(T + ε t, x, ξ oraz jej pochodna normalna s jednostajnie ci gªe wzgl dem ε 0, x Ω i 0 0 T. Ponadto K(T + ε, x, ξ jest jednostajnie ci gªa wzgl dem ε 0 i x Ω. Mo»emy zatem zapisa (8.6 u(t, ξ = K(T, x, ξu(0, x dx + + T 0 Ω dt Ω ( u(t, x K(T t, x, ξ K(T t, x, ξ u(t, x ds x. n x n x Po do±»mudnych szacowaniach mo»na wywnioskowa ze wzoru (8.5,»e, przy ustalonym t > 0, rozwi zanie u = u(t, x jest, na Ω, funkcj analityczn wzgl dem x. Skoro pochodne u po zmiennych x, dowolnego rz du, s ci gªe, zachodzi w szczególno±ci x (u xj = ( x u xj. Dalej, u txj = ( x u xj jest ci gªe, wi c u txj = u xj t. Wobec tego, v := u xj speªnia v t = x v i ma te same wªasno±ci regularno±ci co u. Powtarzamy powy»sze rozumowanie dla v xj = u xj x j, i dla u t = x u. Zatem u t ma ci gªe wszystkie pochodne cz stkowe po x. Mo»na st d wywnioskowa przez indukcj,»e u jest funkcj klasy C na (0, Ω. Natomiast rozwi zanie u nie musi by funkcj analityczn wzgl dem t. 8.4 Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego. Zasada Duhamela (3 Rozwa»my zagadnienie pocz tkowe dla niejednorodnego równania przewodnictwa cieplnego (8.7 u t x u = g, t > 0, x, u(0, x = 0, x, gdzie g : [0, R jest zadan funkcj. Idea zasady Duhamela polega na szukaniu rozwi zania powy»szego zagadnienia w postaci u(t, x = t 0 U(t, x; s ds, (3 Jean Marie Constant Duhamel ( , matematyk francuski.

12 812 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski gdzie, dla ustalonego s > 0, funkcja U(, ; s: [s, R jest rozwi - zaniem zagadnienia pocz tkowego (chwil pocz tkow jest s U t (, ; s x u(, ; s = 0, t > s, x, U(s, x; s = g(s, x, x. Formalne rachunki daj nam u t (t, x = U(t, x; t + t 0 U t (t, x; s ds = g(t, x + ( t = g(t, x + x U(t, x; s ds 0 t 0 x U(t, x; s ds = = g(t, x + x u(t, x. Podstawiaj c wzór na U(, ; s z Twierdzenia 8.2 otrzymujemy, po przeksztaªceniach, u(t, x = t 0 ( 1 (4π(t s n/2 x y 2 exp ( g(s, y dy ds. 4(t s Okazuje si,»e przy pewnych zaªo»eniach odno±nie funkcji g (na przykªad, g jest funkcj ci gª o zwartym no±niku powy»szy wzór rzeczywi±cie okre±la rozwi zanie zagadnienia pocz tkowego ( Informacja o metodzie rozdzielania zmiennych. Warto±ci i funkcje wªasne. Rozwa»my zagadnienie brzegowo-pocz tkowe typu Dirichleta (8.8 u t = x u, t > 0, x Ω, u(t, x = 0, t > 0, x Ω, u(0, x = f(x, x Ω, gdzie Ω jest obszarem ograniczonym i f : Ω R jest zadan funkcj. Poszukajmy rozwi za«powy»szego zagadnienia w postaci u(t, x = v(tw(x, t 0, x Ω. Zachodzi u t (t, x = v (tw(x, x u(t, x = v(t w(x,

13 Równanie przewodnictwa cieplnego 813 wi c 0 = u t (t, x x u(t, x wtedy i tylko wtedy, gdy v (t v(t = w(x w(x dla wszystkich t > 0 i x Ω takich,»e v(t 0 i w(x 0. Jako»e lewa strona powy»szej równo±ci zale»y tylko od t, a prawa strona zale»y tylko od x, jest to mo»liwe tylko wtedy, gdy istnieje staªa µ taka,»e (8.9 v = µv i (8.10 w = µw. Trzeba zatem rozwi za ukªad równa«(8.9+(8.10 wzgl dem zmiennych µ, v i w. Gdy µ jest znane, rozwi zaniem równania (8.9 jest v(t = ce µt, gdzie c jest dowoln staª. Mówimy,»e λ C jest warto±ci wªasn operatora na obszarze Ω, z warunkami brzegowymi Dirichleta na Ω, gdy istnieje funkcja w, nie równa stale zeru, b d ca rozwi zaniem zagadnienia brzegowego (8.11 w = λw na Ω, w = 0 na Ω. Funkcj w nazywamy funkcj wªasn odpowiadaj c warto±ci wªasnej λ. Równanie w = λw nazywamy równaniem Helmholtza. Warto± wªasna λ ma (sko«czon krotno± m, je±li odpowiadaj ce jej funkcje wªasne tworz, po dopisaniu funkcji stale równej zeru, przestrze«liniow wymiaru m. Zachodzi nast puj ce twierdzenie: Twierdzenie 8.5. Zaªó»my,»e Ω jest obszarem ograniczonym. Wówczas: (i Wszystkie warto±ci wªasne operatora z warunkami brzegowymi Dirichleta s rzeczywiste, o sko«czonej krotno±ci, i jest ich przeliczalnie wiele.

14 814 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski (ii Je±li wypiszemy ka»d warto± wªasn tyle razy, ile wynosi jej krotno±, otrzymamy 0 < λ 1 < λ 2 λ 3..., oraz lim λ k. k (iii Ka»da funkcja wªasna jest klasy C na Ω; je±li ponadto brzeg Ω jest klasy C, to ka»da funkcja wªasna jest klasy C na Ω. (iv Istnieje baza ortonormalna (w k k=1 przestrzeni L 2(Ω, w której w k jest funkcj wªasn odpowiadaj c warto±ci wªasnej λ k. (v Funkcj wªasn w 1 mo»na wybra tak, by przyjmowaªa warto±ci dodatnie na Ω. Dowód wykracza poza ramy niniejszego kursu. Z powy»szego twierdzenia natychmiast wynika,»e ka»da sko«czona kombinacja liniowa l u = c k e λkt w k k=1 jest rozwi zaniem równania przewodnictwa cieplnego z warunkami brzegowymi typu Dirichleta. Gdy chcemy znale¹ rozwi zanie speªniaj ce warunek pocz tkowy u(0, x = f(x, x Ω, narzucaj c si metod jest wzi cie sumy szeregu niesko«czonego u = c k e λkt w k, k=1 gdzie (c k k=1 jest ci giem wspóªczynników w rozwini ciu funkcji f w bazie ortonormalnej (w k k=1 przestrzeni Hilberta L 2 (Ω. Okazuje si,»e gdy tylko f L 2 (Ω, to suma powy»szego szeregu niesko«- czonego jest jedynym rozwi zaniem (w pewnym sªabym sensie równania przewodnictwa cieplnego speªniaj cym (równie» w pewnym sªabym sensie warunek brzegowy Dirichleta. Warunek pocz tkowy jest speªniony w nast puj cym sensie: lim t 0 + u(t, f L 2 (Ω = 0. Je±li brzeg Ω jest klasy C i f jest funkcj klasy C na Ω, speªniaj c pewne warunki zgodno±ci, to okre±lone powy»ej rozwi zanie jest w istocie rozwi zaniem klasycznym zagadnienia brzegowo-pocz tkowego (8.8. Ponadto, rozwi zanie to jest klasy C na [0, Ω.