Ukªady równa«liniowych

Transkrypt

1 dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast puj ca a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2, (URL) a m x + a m2 x a mn x n = b m gdzie a ij, b i R dla ka»dego i {, 2, m}, j {, 2, n} Rozwi zaniem powy»szego ukªadu nazywamy n k liczb (x, x, x n ) liczb speªniaj cych ka»de z równa«denicja 2 Ukªad (URL), w którym b = b 2 = = b m = 0 nazywamy jednorodnym ukªadem równa«liniowych W przeciwnym przypadku jest to ukªad niejednorodny Denicja 3 Je±li (U RL) posiada dokªadnie jedno rozwi zanie, to taki ukªad nazywamy ukªadem oznaczonym (ukªad równa«niezale»nych) Denicja 4 Je±li (URL) posiada niesko«czenie wiele rozwi za«, to taki ukªad nazywamy ukªadem nieoznaczonym (ukªad równa«zale»nych) Denicja 5 Je±li (U RL) nie posiada rozwi za«, to taki ukªad nazywamy ukªadem sprzecznym Denicja 6 Je±li w ukªadzie (URL) ilo± niewiadomych jest równa ilo±ci równa«m = n, to taki ukªad nazywamy ukªadem kwadratowym gdzie Ukªad (U RL) mo»na zapisa za pomoc macierzy: A X = B, a a 2 a n x b a 2 a 22 a 2n A =, X = x 2, B = b 2 a m a m2 a mn x n b m Macierz A nazywamy macierz gªówn (U RL), macierz X macierz (kolumn ) niewiadomych, natomiast macierz B nazywamy macierz (kolumn ) wyrazów wolnych

2 dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 a a 2 a n b Denicja 7 Macierz A U a 2 a 22 a 2n b 2 = [A B] = a m a m2 a mn b m (uzupeªnion ) ukªadu (U RL) nazywamy macierz rozszerzon Denicja 8 Ukªad równa«liniowych A X = B, w którym A jest macierz kwadratow nieosobliwa (deta 0) nazywa si ukªadem Cramera Twierdzenie Ukªad Cramera posiada dokªadnie jedno rozwi zanie: gdzie wyznaczniki det A j, kolumny kolumn wyrazów wolnych x x 2 x n = det A det A det A 2 det A n, j =, 2, n otrzymujemy poprzez zast pienie w macierzy A j tej W przypadku, gdy macierz gªówna ukªadu jest kwadratow macierz osobliw det A = 0, wówczas: ukªad ma niesko«czenie wiele rozwi za«je±li det A = det A 2 = = det A n = 0 ukªad jest ukªadem sprzecznym je±li przynajmniej jeden z wyznaczników det A j jest ró»ny od zera Uwaga Jednorodny ukªad Cramera posiada tylko jedno rozwi zanie Jest to rozwi zanie zerowe tzn x = 0, x 2 = 0,, x n = 0 Metoda eliminacji Gaussa Zaprezentuj teraz tzw metod eliminacji Gaussa dla ogólnego ukªadu równa«liniowych (URL) Przedstawmy najpierw tzwoperacje elementarne wykonywane na ukªadzie równa«, które nie zmieniaj zbioru rozwi za«rozwa»anego ukªadu Uwaga 2 Poni»sze operacje elementarne s wykonywane jedynie na wierszach Operacje elementarne wykonywane na wierszach rozszerzonej macierzy ukªadu równa«liniowych A U : mno»enie (dzielenie) dowolnego wiersza przez liczb ró»n od 0; zamiana mi dzy sob dwóch wierszy; 2

3 dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 dodania do dowolnego wiersza innego wiersza przemno»onego przez dowoln liczb ; skre±lenie wiersza zªo»onego z samych zer; skre±lenie wiersza proporcjonalnego do innego wiersza Uwaga 3 Na kolumnach dopuszcza si jedynie zamiany kolumn (nie dotyczy kolumny wyrazów wolnych ) ale nale»y to odpowiednio oznaczy Operacje elementarne wykonujemy na wierszach macierzy uzupeªnionej ukªadu, tak aby otrzyma zera pod gªówn przek tn Kolejne etapy metody eliminacji Gaussa: tworzymy macierz rozszerzon ukªadu [A B]; 2 Je»eli a 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a (wtedy po przeksztaªceniu wyraz w pierwszym wierszu i w pierwszej kolumnie wynosi Nast pnie posªuguj c si tym wierszem (operacje elementarne), uzyskamy zera w pierwszej kolumnie poni»ej wyrazu a Gdyby wyraz a = 0, ale inny wyraz w pierwszej kolumnie jest ró»ny od zera, to przestawiamy najpierw pierwszy wiersz z tym wierszem i dalej post pujemy tak jak poprzednio 3 Przechodzimy teraz do wyrazu a 22 Je»eli nowy a 22 0, to dzielimy drugi wiersz przez a 22 i posªuguj c si tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poni»ej a 22, itd 4 Post powanie kontynuujemy a» do n-tej kolumny W efekcie takiego post powania uzyskamy macierz schodkow, w której ka»dy element na gªównej przek tnej wynosi Macierz ta pozwala na proste znalezienie rozwi zania Mamy wówczas trzy mo»liwo±ci: otrzymana macierz nie ma wierszy postaci [0 0 0 ] i liczba niezerowych wierszy jest równa liczbie niewiadomych, tzn macierz jest postaci (trójk tnej): a 2 a 3 a n b 0 a 23 a 2n b a 3n b b n Macierz ta odpowiada ukªadowi: x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 x a 3n x 3 = b 3 x n = b n Wówczas ukªad ma jedno rozwi zanie, które otrzymujemy wykonuj c tzw podstawienie wsteczne: z ostatniego równania wyznaczamy x n, wyznaczon warto± podstawiamy do przedostatniego i wyznaczamy x n, itd 3

4 dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada Je»eli w otrzymanej macierzy wyst puje wiersz [0 0 0 ], to ukªad jest sprzeczny 3 W macierzy nie ma wierszy postaci [0 0 0 ], ale jest wi cej kolumn ni» wierszy Stosujemy, tak jak w punkcie pierwszym, podstawienie wsteczne rozwi zuj c ten ukªad od doªu, ale za niewiadome, które odpowiadaj kolumnom dodatkowym przyjmujemy dowolne warto±ci (tzw staªe albo parametry rozwi zania) i przenosimy je na praw stron odpowiednich równa«przykªad Stosuj c metod eliminacji Gaussa rozwi» ukªad: 2x + y z + t = y + 3z 3t = x + y + z t = Tworzymy macierz uzupeªnion i dokonujemy operacji na wierszach: w w3 = = 2 w3 2w = Zatem otrzymujemy ukªad { x + y + z t = y + 3z 3t = w3+w2 = [ ] Z ostatniego równania mamy y = 3z + 3t + Podstawiamy tak wyznaczony y do równania pierwszego x 3z + 3t + + z t = St d x = 2z 2t Ostatecznie przyjmuj c z = a i t = b (gdzie a, b R), mamy x = 2a 2b, y = 3a + 3b +, z = a, t = b Ukªad posiada niesko«czenie wiele rozwi za«, które s uzale»nione od dwóch parametrów a i b Uwaga 4 Jest jeszcze inny sposób rozwi zywania ukªadów z wykorzystaniem Metody eliminacji Gaussa Pocz tek jest taki sam jak w krokach -4 (tzn otrzymujemy macierz w której na gªównej przek tnej s jedynki, a pod ni same zera) Nast pnie jedynkami z gªównej przek tnej, w oparciu o metody elementarne, doprowadzamy do otrzymania jedynek nad gªówn przek tn W ten sposób otrzymujemy rozwi zanie bez u»ycia podstawienia wstecznego 4

5 dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Wró my do poprzedniego przykªadu (ukªadu zapisanego [ w postaci ] ostatniej [ macierzy) i przeksztaª my t macierz w sposób opisany powy»ej: = ] w w Przyjmuj c tak jak poprzednio za z = a, t = b, mamy x = 2a 2b, y = 3a + 3b +, z = a, t = b Przykªad 2 Stosuj c metod eliminacji Gaussa rozwi» ukªad: x 2y + z = 4 x + y + z = 2x 3y + 5z = 0 5x 6y + 8z = 9 Tworzymy macierz uzupeªnion i dokonujemy operacji na wierszach: = w2 w = w 3 2w w 2 :3 w 4 5w 2 2 = = w 3 w 2 w 4 4w w 3 :3 2 = Zatem otrzymujemy ukªad Ostatecznie x 2y + z = y = z = x = 2 y = z = 5

6 dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Zadania Stosuj c wzory Cramera rozwi» poni»sze ukªady równa«liniowych: { x + 3y 4z = 0 2x + y = (a) (b) 2x y + z = 2 x + 3y = 5x + y 3z = 3x + 5y + 5z = 6 x + y + 2z = 5 (c) 7x 6z = 5 (d) x + y + z = 6 x + 8y + 6z = 25 2x + y + z = 3 (e) x + 2y + 3z = 4 3x + y + 2z = 2x + 3y + z = (f) x + 2y + 3z 2w = 6 2x y 2z 3w = 8 3x + 2y z + 2w = 4 2x 3y + 2z + w = 8 2 Stosuj c metod eliminacji Gaussa rozwi za podane ukªady równa«: 4x + y + z t = 0 x + 2y + z + t = 7 (a) y + 3z + t = 8 (b) 2x y z + 4t = 2 x 2y 2z + 2t = 7 5x + 5y + 2z + 7t = 2x + 3y + 2z t = 3 x 2y + z = 4 2x + y + z + 2s + 3t = 6 x + y + z = (c) (d) 3x z + s + t = 3 2x 3y + 5z = 0 y + 4s + t = 5x 6y + 8z = 9 (e) x + y + z + u + v = x y + z u + v = 5 x + z + v = 3 x + y + v = (e) 2x + y + z 2s + 5t = 8 x + y + z + t = 4 2x y + z = 2 4x + y + 3z + 2t = 8 3x 3y + z t = 0 Odpowiedzi: { x = 2, x =, x = 2, 7 x = 3, x = 3, x =, a) b) y = 43 7 y = 3;, y =, c) y =, d) y = 0, e) y = 2, f) z = 2, z = 5; z = 6 z = ; z = 3; w = x =, x = a b + 3, x = 3, y = 2a 7, x =, y = 0, y = a 2, 2 a) b)brak rozwi za«, c) y =, d) z =, e) z = a, z = a + 5, z = s = 0, u = a, t = a t = v = b e) brak rozwi za«6