4 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe

Transkrypt

1 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe 41 4 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe W niniejszych notatkach, oprócz literatury wymienionej na stronie internetowej, korzystam te» z nast puj cych artykuªów: ˆ A. Bressan, Hyperbolic conservation laws. An illustrated tutorial, notatki na stronie internetowej Pennsylvania State University. ˆ P. D. Lax, The formation and decay of shock waves, Amer. Math. Month. 79 (1979) (3), Prawa zachowania Zaªó»my,»e u = u(t, x) jest miar g sto±ci pewnej substancji w punkcie x R i w chwili t. Zakªadamy,»e substancja ta nie powstaje ani nie znika (czyli jest zachowywana), mo»e tylko przepªywa (i te» nie dyfunduje). Ponadto, zakªada si,»e strumie«(ang. ux ) substancji w danym punkcie (czyli chwilowa pr dko± przepªywu substancji z lewa na prawo) zale»y tylko od g sto±ci substancji w tym punkcie (i zadany jest funkcj f = f(u)). Zmiana masy substancji na przedziale [x 1, x 2 ] od chwili t 1 do chwili t 2 jest równa x 2 x 1 u(t 2, x) dx x 2 x 1 u(t 1, x) dx = t 2 t 1 f(u(t, x 1 )) dt t 2 t 1 f(u(t, x 2 )) dt. Jako»e x 1, x 2, t 1, t 2 s dowolne, otrzymujemy, przy zaªo»eniu»e wszystkie funkcje s na tyle regularne,»e mo»na zmienia kolejno± ró»niczkowania i caªkowania, itp., nast puj ce skalarne prawo zachowania w przestrzeni jednowymiarowej : (PZ) u t + (f(u)) x =. Jako przykªad mo»e sªu»y ruch samochodów po autostradzie. Niech u = u(t, x) b dzie g sto±ci (w samochodach na kilometr). Oczywi±cie, zakªadamy,»e samochody to substancja ci gªa (niew tpliwie jest to idealizacja). Nast pne idealizuj ce zaªo»enie to takie,»e pr dko± samochodów jest zale»na tylko od g sto±ci w danym punkcie, f = f(u). W przykªadzie powy»szym naturalnym zaªo»eniem jest,»e zale»no± pr dko±ci od g sto±ci ma ujemn pochodn. Zakªadamy odt d,»e w prawie zachowania (PZ) znana funkcja f : R R jest klasy C 1.

2 42 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Przykªad. W ró»nych dziaªach zyki pojawia si równanie u t + uu x =, zwane równaniem Burgersa (1) bez lepko±ci, równaniem Riemanna, równaniem Kortewega (2) -devriesa (3) bez dyspersji, i in. Warunek pocz tkowy dla (PZ) to (PZ-WP) u(, x) = u (x), x RR, gdzie u : R R jest znan funkcj. Rozwa»my zagadnienie pocz tkowe (PZ-ZP) u t + (f(u)) x =, t, x R u(, x) = u (x), x R, gdzie f : R R jest funkcj klasy C 1, a u : R R jest funkcj. Niech x = x(t), x() = x, b dzie krzyw klasy C 1 tak,»e wzdªu» niej rozwi zanie u zagadnienia (PZ-ZP) jest staªe. Musi zatem zachodzi d dt u(t, x(t)) = u t + dx dt u x, wi c dx/dt jest stale równe f (u). Z drugiej strony, u jest staªe na tej krzywej, i równe u (x ). Póªprost x = x + f (u (x ))t, t, nazywamy rzutem charakterystycznym równania (PZ) przechodz cym przez punkt (, x ) (4). Powy»sze rozwa»ania daj oczywist metod szukania rozwi za«zagadnienia pocz tkowego (PZ-ZP): dla x R bierzemy póªprost przechodz c przez (, x), o wspóªczynniku kierunkowym f (u (x)), i na tej póªprostej zadajemy warto± u równ u (x). Jednak mog si tutaj pojawi pewne trudno±ci. ˆ Je±li u jest funkcj nieci gª, mo»e si zdarzy,»e istniej punkty na otwartej prawej póªpªaszczy¹nie, i to dowolnie blisko prostej t =, które nie le» na»adnym rzucie charakterystycznym. Zatem metoda powy»- sza nie daje nam przepisu na warto±ci rozwi zania w takich punktach. Nale»y zaznaczy,»e cz sto w zastosowaniach wyst puje zagadnienie Riemanna, polegaj ce na znalezieniu rozwi zania zagadnienia (PZ-ZP) gdy u jest funkcj kawaªkami staª maj c tylko skok w x =. (1) Jan (Johannes Martinus) Burgers ( ), zyk holenderski (2) Diederik Johannes Korteweg ( ), matematyk holenderski. (3) Gustav devries ( ), matematyk holenderski. (4) W wielu opracowaniach póªprost tak nazywa si charakterystyk.

3 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe 43 ˆ Gdy u jest funkcj ci gª, dowodzi sie,»e dla ustalonego przedzia- ªu [x 1, x 2 ] R mo»na znale¹ takie T >,»e dla dwóch ró»nych x 1, x 2 [x 1, x 2 ] odcinki rzutów charakterystycznych przechodz cych przez (, x 1 ) i (, x 2 ) odpowiadaj ce t [, T ] s rozª czne. Wynika st d istnienie otoczenia prostej {} R w [, ) R na którym rozwi - zanie zagadnienia pocz tkowego PZ-ZP jest dobrze okre±lone. Je±li u jest C 1, wtedy to lokalne rozwi zanie jest rozwi zaniem klasycznym. Gdy f u jest funkcj niemalej c, wówczas rzuty charakterystyczne odpowiadaj ce ró»nym punktom na prostej {} R nigdzie si nie przecinaj. Zatem rozwi zanie mo»na wtedy dobrze okre±li na caªej póªpªaszczy¹nie [, ) R (i b dzie to rozwi zanie klasyczne gdy f u jest klasy C 1 ). Natomiast gdy f u jest funkcj rosn c, rzuty charakterystyczne odpowiadaj ce ró»nym punktom na prostej {} R zawsze si przetn. W takim przypadku, nawet gdy u jest bardzo regularne, nie mo»na mie nadziei na istnienie rozwi zania klasycznego okre±lonego na caªej póªpªaszczy¹nie [, ) R. Trzeba wtedy szuka rozwi za«sªabszych ni» klasyczne. 4.2 Rozwi zania sªabe Denicja. Funkcj istotnie ograniczon u: Ω R, gdzie Ω, ) R jest otwartym i spójnym podzbiorem [, ) R (5), nazywamy sªabym rozwi zaniem zagadnienia pocz tkowego (PZ-ZP), gdy dla ka»dej funkcji ϕ: [, ) R R klasy C 1, o zwartym no±niku (6) zawartym w Ω, zachodzi (4.1) (u(t, x)ϕ t (t, x) + f(u(t, x))ϕ x (t, x)) dt dx + u (x)ϕ(, x) dx =. Fakt 4.1. Ka»de klasyczne rozwi zanie u: Ω R, gdzie Ω jest otwartym i spójnym podzbiorem [, ) R, zagadnienia (PZ-ZP) jest rozwi zaniem sªabym (PZ-ZP). Dowód. Niech ϕ: [, ) R R b dzie klasy C 1, o zwartym no±niku zawartym w Ω. Wówczas zachodzi (u t + f(u) x )ϕ dt dx =. (5) Przez otwarty podzbiór domkni tej prawej póªpªaszczyzny [, ) R rozumiemy zbiór postaci U ([, ) R), gdzie U jest otwartym podzbiorem R 2. (6) No±nik funkcji to domkni cie przeciwobrazu zbioru R \ {} przez t funkcj.

4 44 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Caªkuj c przez cz ±ci, otrzymujemy, dla ka»dego x R, i dla ka»dego t, u t (t, x)ϕ(t, x) dt = u(, x)ϕ(, x) f(u) x (t, x)ϕ(t, x) dx = u(t, x)ϕ t (t, x) dt, f(u(t, x))ϕ x (t, x) dx (wykorzystujemy zwarto± no±nika funkcji ϕ). Wystarczy teraz tylko zauwa-»y,»e mo»na zmienia kolejno± caªkowania. Funkcje ϕ wyst puj ce w denicji rozwi zania sªabego nazywamy funkcjami próbnymi. Niekiedy nie uwzgl dnia si warunku pocz tkowego: mówimy o sªabym rozwi zaniu prawa zachowania (PZ), gdy (u(t, x)ϕ t (t, x) + f(u(t, x))ϕ x (t, x)) dt dx = dla ka»dej funkcji próbnej ϕ o zwartym no±niku zawartym w Ω ((, ) R). Czasami w denicji rozwi zania sªabego o funkcjach próbnych zakªada si,»e s to funkcje klasy C o zwartych no±nikach. Denicje te s równowa»ne, cho dowód równowa»no±ci wymaga (»mudnego) wykazania,»e funkcj klasy C 1 o zwartym no±niku da si w odpowiedni sposób (w sensie normy C 1 ) przybli»a funkcjami klasy C o zwartych no±nikach Fale uderzeniowe. Warunek Rankine'aHugoniota Wprowadzamy nast puj ce zaªo»enie: (FU) u: Ω R, gdzie Ω jest otwartym i spójnym podzbiorem [, ) R, jest sªabym rozwi zaniem równania (PZ), oraz nast puj ce warunki s speªnione: (FU1) Ω = Γ Ω + Ω, z Γ = { (t, x) : t I, x = ξ(t)} Ω + = { (t, x) Ω : t I, x > ξ(t)} Ω = { (t, x) Ω : t I, x < ξ(t)}, gdzie ξ : I R jest funkcj klasy C 1 okre±lon na przedziale I;

5 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe 45 (FU2) u jest klasycznym rozwi zaniem równania (PZ) na Ω +, i na Ω + ; (FU2) dla ka»dego t I istniej granice jednostronne u (t) := lim u(t, x), u +(t) := lim u(t, x), x ξ(t) + i zachodzi u (t) u + (t). x ξ(t) Powy»sze rozwi zanie u nazywa sie fal uderzeniow. Krzywa Γ to czoªo fali uderzeniowej, ξ (t) to pr dko± fali uderzeniowej. Twierdzenie 4.2. Zaªó»my,»e u = u(t, x) speªnia zaªo»enie (FU). Wówczas s speªnione warunki Rankine'a (7) Hugoniota (8) : (RH) ξ (t) = f(u +(t)) f(u (t)) u + (t) u (t) t I. Dowód. Niech ϕ b dzie funkcj próbn tak,»e ϕ(t, x) = dla t =. Warunek (4.1) przybiera teraz posta (uϕ t + f(u)ϕ x ) dt dx + Ω Ω + (ϕ t + f(u)ϕ x ) dt dx =. Stosuj c do pierwszej z caªek po lewej stronie twierdzenie o dywergencji otrzymujemy Ω (uϕ t +f(u)ϕ x ) dt dx = Ω (u t +f(u) x )ϕ dt dx+ Γ (u ϕν 1 +f(u )ϕν 2 ) ds, gdzie (ν 1, ν 2 ) oznacza jednostkowy wektor normalny skierowany na zewn trz. Stosuj c do drugiej caªki twierdzenie o dywergencji (i pami taj c,»e jednostkowy wektor normalny skierowany na zewn trz to teraz (ν 1, ν 2 )) otrzymujemy Ω + (uϕ t +f(u)ϕ x ) dt dx = Ω + (u t +f(u) x )ϕ dt dx Jako»e u jest rozwi zaniem klasycznym na Ω + i Ω, zachodzi (u t + f(u) x )ϕ dt dx = Ω Ω + (u t + f(u) x )ϕ dt dx =. (7) William John Macquorn Rankine ( ), in»ynier i zyk szkocki (8) Pierre-Henri Hugoniot ( ), in»ynier i zyk francuski Γ (u + ϕν 1 +f(u + )ϕν 2 ) ds.

6 46 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Ostatecznie otrzymujemy,»e ( (u ν 1 + f(u )ν 2 ) (u + ν 1 + f(u + )ν 2 ) ) ϕ ds =. Γ Poniewa» ϕ byªo dowolne, musi zachodzi f(u + ) f(u ) u + u = ν 1 ν 2. Ale co ko«czy dowód. ν 1 ν 2 = ξ (t), Uwa»na analiza powy»szego dowodu wykazuje,»e warunki Rankine'a Hugoniota s w istocie te» warunkami wystarczaj cymi. Mówi c dokªadniej, je±li funkcja ograniczona u speªnia (FU1), (FU2), (FU3) oraz warunki (RH), to jest rozwi zaniem sªabym równania (PZ) na Ω. Rzecz naturaln jest spyta, co si stanie, gdy we wszystkich (czy nawet niektórych) punktach krzywej Γ zachodzi u = u +. Dokªadnie przygl daj c si powy»szemu dowodowi mo»na zauwa»y,»e niepotrzebne s»adne warunki na pochodn ξ w takich punktach. 4.3 Przykªady Rozwa»my zagadnienie pocz tkowe dla równania Burgersa bez lepko±ci u t + uu x =, t >, x R, u(, x) = u (x), x R, gdzie u (x) = 1 dla x <, 1 x dla < x < 1, dla x > 1. Zagadnienie powy»sze ma, dla t [, 1), rozwi zanie 1 dla x < t, u(t, x) = 1 x dla t < x < 1, 1 t dla x > 1.

7 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe 47 Rozwi zanie to jest jednoznaczne. Chcieliby±my je przedªu»y dla t 1. Rzecz jasna, skoro rzuty charakterystyczne si przecinaj, nie b dzie to ju» funkcja ci gªa. Jednak chcemy, by to sªabe rozwi zanie byªo rozwi zaniem klasycznym przyjmuj cym stale warto± 1 poni»ej pewnej krzywej Γ, i warto± powy»ej tej krzywej. Ponadto, punkt (1, 1) powinien le»e na krzywej Γ. Warunki Rankine'aHugoniota przyjmuj posta : Dla ka»dego t 1 zachodzi ξ (t) = (u + (t)) 2 (u (t)) u + (t) u (t) = u +(t) + u (t) 2 = 1 2. Zatem Γ to póªprosta przechodz ca przez (1, 1), o wspóªczynniku kierunkowym 1/2. Jako nast pny przykªad, rozwa»my zagadnienie pocz tkowe Riemanna dla równania Burgersa bez lepko±ci gdzie u t + uu x =, t >, x R, u(, x) = u (x), x R, dla x <, u (x) = 1 dla x >. Jako»e»aden z rzutów charakterystycznych startuj cych z prostej t = nie przechodzi przez klin t >, < x < t, nie mamy jednoznacznego przepisu na znalezienie warto±ci rozwi zania w tym klinie. Mo»emy spróbowa fal uderzeniow (podobn do tej z poprzedniego przykªadu): dla x < t 2, u 1 (t, x) = 1 dla x > t 2. Jest to rozwi zanie sªabe zagadnienia, speªniaj ce warunek Rankine'aHugoniota. Jednak funkcja ci gªa dla x <, x u 2 (t, x) = dla < x < t, t 1 dla x > t,

8 48 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski (fala rozrzedzeniowa) te» jest rozwi zaniem sªabym. Otrzymali±my wi c dwa ró»ne rozwi zania naszego zagadnienia Riemanna. Powstaje kwestia, które z tych rozwi za«(je±li w ogóle) ma interpretacj zyczn. Tutaj pomocne s rozwa»ania wi» ce si ze strzaªk czasu, co w literaturze zycznej zwane jest te» zasad wzrostu entropii. Nie wchodz c w szczegóªy, chodzi o to, by czoªo fali uderzeniowej byªo miejscem przeci cia rzutów charakterystycznych wychodz cych z punktów odpowiadaj cych chwilom wcze±niejszym. Natomiast pozbawiona interpretacji zycznej jest sytuacja, gdy rzut charakterystyczny przechodz cy przez pewien punkt przecina czoªo fali uderzeniowej w chwili wcze±niejszej. Matematycznie przybiera to posta warunku wzrostu entropii : f (u (t)) > ξ (t) > f (u + (t)). Wracaj c do rozwi zania u 1, zauwa»my»e w klinie t >, < x < t rzuty charakterystyczne to póªproste o pocz tku w (t/2, t/2) i wspóªczynniku kierunkowym, oraz póªproste o pocz tku w (t/2, t/2) i wspóªczynniku kierunkowym 1. Teoria rozwi za«praw zachowania jest bardzo rozbudowana. Okazuje si,»e gdy f jest funkcj jednostajnie wypukª i klasy C 2, to istnieje dokªadnie jedno tzw. rozwi zanie entropijne zagadnienia pocz tkowego (PZ-ZP) okre- ±lone na caªej domkni tej prawej póªpªaszczy¹nie [, ) R. Wyra»a si ono wzorem Laxa (9) Olejnik (1), zbyt skomplikowanym by go przytacza tutaj. (9) Peter David Lax (ur. w 1927), matematyk ameryka«ski pochodzenia w gierskiego. (1) Olga Arseniewna Olejnik (192521), matematyczka rosyjska.