ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Transkrypt

1 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15

2 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17 5 Maªe Twierdzenie Fermata 20 6 Twierdzenie Eulera 23 7 Twierdzenie Lagrange'a 27 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 30 9 RSA i gra w orªa i reszk przez telefon Kongruencje wy»szych stopni Liczby pseudopierwsze Pierwiastki pierwotne Istnienie pierwiastków pierwotnych Logarytm dyskretny Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 61 2

3 Wykªad 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach Twierdzenie, które tu przedstawimy zostaªo odkryte i wykorzystywane w ±redniowiecznych Chinach. Przyczyn tego odkrycia byªy trudno±ci z mno»eniem i dodawaniem du»ych liczb ªatwiej jest nauczy si na pami kilku kombinacji, ni» wykonywa dziaªania arytmetyczne w pami ci. A dokªadnie, kiedy dowódca chciaª zliczy swoje wojsko, kazaª ustawi si»oªnierzom w dwu-szeregu, nast pnie w trzy-szeregu, potem w pi cio-szeregu itd. Liczba,,niesparowanych»oªnierzy w ka»dym z tych ustawie«(czyli reszty z dzielenia ogólnej liczby»oªnierzy przez 2, 3, 5,... ) dawaªy liczb wszystkich»oªnierzy. eby skonkretyzowa nasze my±lenie, rozwa»my nast puj cy przykªad. 8.1 Przykªad. Po ustawieniu caªego wojska w 3-, 5- i 7-szeregu dostali±my, odpowiednio 2, 1 oraz 6 niesparowanych»oªnierzy. Jaka jest liczebno± oddziaªu, je»eli wiadomo,»e»oªnierzy jest mniej ni» 100? Formalizuj c zadanie, niech x b dzie liczb»oªnierzy. Zatem reszty z dzielenia x przez 3, 5 oraz 7, to 2, 1 i 6. St d x 2 (mod 3) (8.1) x 1 (mod 5) (8.2) x 6 (mod 7) (8.3) Powy»szy ukªad trzech kongruencji rozwi»emy w nast puj cy sposób. Z kongruencji (8.1) mamy x = 3k + 2. Podstawiaj c do (8.2), otrzymujemy 3k (mod 5), czyli 3k 1 (mod 5). Znajdujemy liczb odwrotn do 3 modulo 5 i rozwi zujemy ostatni kongruencj otrzymuj c k 2 (mod 5). Zatem k = 5r 2 oraz x = 3 (5r 2)+2 = 15r 4. Podstawiaj c t posta x do (8.3) dostajemy 15r 4 6 (mod 7), a nast pnie r 3 (mod 7). St d 30

4 mamy r = 7s + 3, czyli x = 15 (7s + 3) 4 = 105s Zatem wszystkich»oªnierzy jest 41 (nast pna mo»liwo± to 146, ale jak zaznaczyli±my,»oªnierzy jest mniej ni» 100). Dowódca, oczywi±cie, nie musiaª przeprowadza powy»szych rachunków, a jedynie zapami ta,»e ukªadowi odpowiada liczba 41. Pami taª on te» zapewne, jakim ukªadom odpowiadaj s siednie liczby: ukªad liczba ukªad liczba Ide powy»szego przykªadu uogólnimy i podamy w dowodzie nast puj cego twierdzenia. 8.2 Twierdzenie (Chi«skie twierdzenie o resztach). Przypu± my,»e m 1, m 2,..., m r s parami wzgl dnie pierwsze. Wówczas ukªad kongruencji x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ) x a r (mod m r ) (8.4) ma jednoznaczne rozwi zanie modulo m 1 m 2... m r. Dowód. Wprowad¹my nast puj ce oznaczenia: M = m 1 m 2... m r, M i = M m i, oraz x i = M 1 i mod m i dla 1 i r. Rozwa»my teraz liczb x = a 1 M 1 x 1 + a 2 M 2 x a r M r x r. Poniewa» dla j i zachodzi M j 0 (mod x i ), wi c x a i M i x i (mod m i ) dla ka»dego i. Ale M i x i 1 (mod m i ), wi c x a i (mod m i ) dla 1 i r. Pozostaje jeszcze udowodni jednoznaczno±. Niech x oraz x b d dwoma rozwi zaniami ukªadu (8.4). Zatem x x (mod m i ) dla 1 i r. St d m i x x, a poniewa» m 1, m 2,... m r s parami wzgl dnie pierwsze, wi c M x x. Zatem dwa rozwi zania ukªadu (8.4) ró»ni si o wielokrotno± M i ukªad ten ma jednoznaczne rozwi zanie modulo M. 31

5 W odró»nieniu od dowodów wielu innych podobnych twierdze«, dowód chi«skiego twierdzenia o resztach daje wzór na rozwi zanie ukªadu kongruencji typu (8.4). 8.3 Przykªad. Rozwa»my ukªad kongruencji z przykªadu 8.1. Stosuj c oznaczenia dowodu twierdzenia 8.2, mamy M = 105 oraz i m i a i M i x i St d x (mod 105) (mod 105) 251 (mod 105) 41 (mod 105). Zaªo»enie o kopierwszo±ci moduªów jest do± istotnym ograniczeniem. Rozwa»my dla przykªadu, ukªad kongruencji x 3 (mod 8) x 7 (mod 12). (8.5) Nie mo»na go rozwi za stosuj c twierdzenie 8.2, poniewa» 8 oraz 12 nie s wzgl dnie pierwsze. Nie oznacza to jednak,»e ukªad ten nie ma rozwi zania. Rozwi»emy go w nast pnym przykªadzie. 8.4 Przykªad. Aby rozwi za ukªad kongruencji (8.5) zapiszmy najpierw 12 = 4 3 i rozbijmy drug kongruencj ukªadu na dwie kongruencje x 7 3 (mod 4) i x 7 1 (mod 3). Mamy zatem ukªad trzech kongruencji x 3 (mod 8) x 3 (mod 4) x 1 (mod 3). (8.6) 32

6 Ale rozwi zanie pierwszej kongruencji ukªadu (8.6) speªnia te» drug kongruencj, wi c druga kongruencja jest niepotrzebna. Otrzymujemy wi c równowa»ny (8.5) ukªad kongruencji x 3 (mod 8) x 1 (mod 3). Ostatni ukªad rozwi zujemy stosuj c chi«skie twierdzenie o resztach (8.2) i otrzymujemy x 19 (mod 24). Podamy teraz uogólnienie chi«skiego twierdzenia o resztach, które pozwala rozwi zywa ukªady kongruencji podobne do (8.5). 8.5 Twierdzenie. Przypu± my,»e m 1, m 2..., m r s liczbami naturalnymi. Wówczas ukªad kongruencji (8.4) ma rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(m i, m j ) a i a j dla i j. Otrzymane rozwi zanie jest jednoznaczne modulo NWW(m 1, m 2,..., m r ). Dowód. Rozwa»my najpierw przypadek, gdy m i = p e i, gdzie 1 i r, e i jest liczb nieujemn, a p jest liczb pierwsz. Mo»emy, oczywi±cie, zaªo»y,»e e 1 e 2 e r. Przypu± my teraz,»e taki ukªad kongruencji ma rozwi zanie x 0 i niech i < j. Zatem NWD(m i, m j ) = m j = p e j. Skoro zachodz kongruencje x 0 a i (mod p e i ) oraz x 0 a j (mod p e j ), wi c p e j dzieli x 0 a j oraz, poniewa» p e j p e i, p e j dzieli tak»e x 0 a j. St d p e j a i a j. W drug stron, je±li i < j, to rozwi zanie kongruencji x 0 a i (mod p e i ) jest te» rozwi zaniem kongruencji x 0 a j (mod p e j ), wi c, w szczególno±ci, rozwi zanie pierwszej kongruencji (jednoznaczne modulo p e 1 ) jest te» rozwi zaniem pozostaªych kongruencji. Aby zako«czy t cz ± dowodu, zauwa»my jeszcze,»e p e 1 = NWW(m 1, m 2,..., m r ). Przejd¹my teraz do ogólnego przypadku. Zapiszmy m 1 = p e 11 1 p e p e 1k k m 2 = p e 21 1 p e p e 2k k m r = p e r1 1 p e r p e rk k. Wówczas ukªad kongruencji (8.4) jest równowa»ny ukªadowi, skªadaj cemu 33

7 si z podukªadów postaci x a 1 (mod p e 1s s ) x a 2 (mod p e 2s s ) x a r (mod p ers s ), (8.7) gdzie 1 s k. Oznaczmy e s = max {e ts : 1 t r}. Ka»dy z podukªadów (8.7) ma jednoznaczne modulo p e s ( s rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, e gdy NWD p is s, p e ) js s ai a j dla i j, co wynika z pierwszej cz ±ci dowodu. Co wi cej, rozwi zanie y s tego podukªadu jest rozwi zaniem kongruencji o module p e s s, wi c ukªad (8.4) jest równowa»ny ukªadowi x y 1 (mod p e 1 1 ) x y 2 (mod p e 2 2 ) x y k (mod p e k k ). (8.8) Ostatni ukªad ma rozwi zanie z uwagi na chi«skie twierdzenie o resztach oraz, je±li rozwi zanie istnieje, to jest ono jednoznaczne modulo p e 1 1 p e p e k k = NWW(m 1, m 2,..., m r ). Poniewa» rozwi zanie ukªadu (8.4) przy zaªo»eniach dowodzonego twierdzenia jest równowa»ne rozwi zaniu ukªadu (8.8), wi c twierdzenie jest udowodnione. Powy»szy dowód podaje te» sposób na rozwi zanie ukªadu kongruencji. Sposób ten zostaª ju» zademonstrowany w przykªadzie (8.4). Dla utrwalenia rozwi»my jeszcze jeden ukªad kongruencji. 8.6 Przykªad. Ukªad kongruencji x 5 (mod 8) x 7 (mod 14) x 21 (mod 35) 34

8 ma rozwi zanie, poniewa» zachodzi NWD(8, 35) = 1, NWD(14, 35) 7 21 oraz NWD(8, 14) 5 7. Aby rozwi za nasz ukªad zapisujemy 8 = = = i zast pujemy ukªadem równowa»nym (przy czym pomijamy kongruencje o module 1) x 5 (mod 8) x 21 (mod 5) x 7 (mod 7) x 7 (mod 2) x 21 (mod 7) Rozwi zaniami trzech podukªadów s odpowiednio 5, 1 oraz 0. Zatem nasz ukªad kongruencji sprowadza si do ukªadu x 5 (mod 8) x 1 (mod 5) x 0 (mod 7), który rozwi zujemy stosuj c chi«skie twierdzenie o resztach i otrzymujemy rozwi zanie x = 21 jednoznaczne modulo