Modele wielorównaniowe. Problem identykacji
|
|
- Michał Urban
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43
2 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje na parametry stochastyczne 6 Zadania Identykacja 2 / 43
3 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje na parametry stochastyczne 6 Zadania Identykacja 3 / 43
4 Wprowadzenie Prezentacja dost pna pod adresem Identykacja 4 / 43
5 Wprowadzenie Problem identykacji Specykacja modelu y t A + xt B = εt y posta strukturalna Estymacja t = xt( 1) BA 1 + ε t A 1 }{{}}{{} Π v t posta zredukowana Identykacja parametrów postaci strukturalnej BA 1 = Π posta strukturalna Elementy macierzy B i A nie zawsze mo»na zidentykowa na podstawie macierzy Π. Z czego wynika ewentualny brak tej mo»liwo±ci i pod jakimi warunkami identykacja jest mo»liwa? Identykacja 5 / 43
6 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje na parametry stochastyczne 6 Zadania Identykacja 6 / 43
7 Przykªad 1 Przykªad 1 Rozwa»my model konkurencyjnego rynku pozostaj cego w równowadze, skªadaj cy si ze stochastycznych równa«popytu i poda»y oraz to»samo±ci b d cej warunkiem równowagi: d t = α 0 α 1p t + ε d t s t = β 0 + β 1p t + ε s t d t = s t ( q t) gdzie d - popyt, s - poda», α 1, β 1 > 0, α 0 > β 0. Zmienne endogeniczne to q t i p t. Po uwzgl dnieniu to»samo±ci zapisujemy posta strukturaln : [ qt p t [ 1 1 α 1 β 1 { q t + α 1p t α 0 = ε d t q t β 1p t β 0 = ε s t + [1 [ α 0 β 0 = [ ε d t ε s t Identykacja 7 / 43
8 Przykªad 1 Posta zredukowana: [ qt p t [ π1 π 2 = [1 [ [ α }{{} 0 β 0 + }{{} α 1 β 1 }{{} }{{} [ ε d t ε s [ t = α 1 β 1 = [1 [ [ π 1 π 2 + v1 v 2 = [ α 0 β 0 [ 1 1 α 1 β 1 1 = = 1 [ [ β α 1+ β α0 β [ α 1 1 α0 β 1 +β 0 α 1 α 0 β 0 α 1 +β 1 α 1 +β 1 = = Identykacja 8 / 43
9 Przykªad 1 Rozwa»my α 0 β 0 α 1 β 1 = oraz α 0 β 0 α 1 β 1 = Oba wektory mogªyby wynika [ z oszacowania [ wektora parametrów postaci π1 3 zredukowanej =. aden z parametrów postaci π 2 1 strukturalnej nie jest identykowalny. Identykacja 9 / 43
10 Przykªad 2 Przykªad 2 Równanie popytu w tym samym modelu uzupeªniamy o dochód rozporz dzalny konsumentów y t z parametrem α 2. Posta strukturalna: d t = α 0 α 1p t + α 2y t + ε d t s t = β 0 + β 1p t + ε s t d t = s t ( q t) { q t + α 1p t α 0 α 2y t = ε d t q t β 1p t β 0 = ε s t [ qt p t [ 1 1 α 1 β 1 + [ 1 y t [ α 0 β 0 α 2 0 = [ ε d t ε s t Identykacja 10 / 43
11 Przykªad 2 Posta zredukowana: [ qt p t [ [ [ 1 α0 β = yt + }{{} α 2 0 α 1 β 1 }{{}}{{} }{{} [ ε d t ε s [ t = α 1 β 1 = [ [ π 1 y 11 π 12 t + [ v π 21 π 1 v 2 22 [ [ π11 π 12 α0 β = 0 π 21 π 22 α 2 0 [ 1 1 α 1 β 1 1 = [ α0 β 1 +β 0 α 1 α 0 β 0 α 1 +β 1 α 1 +β 1 α 2 β 1 α 2 α 1 +β 1 α 1 +β 1 Identykacja 11 / 43
12 Przykªad 2 Po rozszerzeniu specykacji parametry równania poda»y staªy si identykowalne: β 1 = π 21 π 22 α 0 β 0 ( β 1 ) α 1 + β }{{ 1 }{{}} π 21 π 12 π 22 + α 0β 1 + β 0 α 1 = β 0 α 1 + β }{{ 1 } π 11 Identykacja 12 / 43
13 Przykªad 2 Niech β 0 = 1 i β 1 = 2: Zarówno dla α 0 α 1 α 2 = [ π11 π 12 π 21 π =, jak i dla [ 2α0 +α 1 α α 2 α 1 +2 α 0 α 1 α 2 = α 0 1 α 1 +2 α 2 α 1 +2 [ 2 1 speªniona jest równo± Π = 2 1. Parametry równania popytu 1 2 wci» s zatem nieidentykowalne ,. Identykacja 13 / 43
14 Przykªad 3 Przykªad 3 Równanie poda»y z przykªadu 2 uzupeªniamy o zasób kapitaªu w±ród producentów na rozwa»anym rynku: Posta strukturalna: d t = α 0 α 1p t + α 2y t + ε d t s t = β 0 + β 1p t + β 2r t + ε s t d t = s t ( q t) { q t + α 1p t α 0 α 2y t = ε d t q t β 1p t β 0 β 2r t = ε s t [ qt p t [ 1 1 α 1 β 1 + [ 1 y t r t α 0 β 0 α β 2 = [ ε d t ε s t Identykacja 14 / 43
15 Przykªad 3 Posta zredukowana: [ qt p t = [ 1 y t r t α 0 β 0 [ 1 α α 0 β 1 β 1 2 }{{}}{{} }{{} [ ε d t ε s [ t = α 1 β 1 = [ 1 y t r t π 11 π 12 π 21 π 22 π 31 π 31 + [ v 1 v 2 π 11 π 12 π 21 π 22 π 31 π 31 = α 0 β 0 α β 2 [ 1 1 α 1 β 1 1 = α 0 β 1 +β 0 α 1 α 0 β 0 α 1 +β 1 α 1 +β 1 α 2 β 1 α 2 α 1 +β 1 α 1 +β 1 α 1 β 2 β 2 α 1 +β 1 α 1 +β 1 Identykacja 15 / 43
16 Przykªad 3 β 0 i β 1 ustalamy jak wcze±niej. α 1 = π 31 π 32 β 2 β 2 = α 1 + β 1 α 1 }{{}}{{} π π 32 π α 2 = α 2 α 1 + β 1 }{{} π 22 α 1 }{{} π π β 1 }{{} π 21 π 22 + β 1 }{{} π 21 π 22 α 0 = α 0 β 0 α 0 + α 1 α 0 + α 1 }{{} + β 0 α 0 = π 12α 1 +β 0 }{{} 1 π 12 }{{} π 31 π 12 π f (Π) 32 Po rozszerzeniu specykacji równie» parametry równania popytu staªy si identykowalne. Identykacja 16 / 43
17 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje na parametry stochastyczne 6 Zadania Identykacja 17 / 43
18 Interpretacja graczna Przykªad 1: ilustracja graczna q d(α 0,α 1 ) s(β 0,β 1 ) d(α 0,α 1 ) s(β 0,β 1 ) p Identykacja 18 / 43
19 Interpretacja graczna Przykªad 2: ilustracja graczna d(α 0,α 1,α 2 y 1 ) q d(α 0,α 1, α 2 y 1 ) d(α 0,α 1, α 2 y 2 ) s(β 0,β 1 ) d(α 0,α 1,α 2 y 2 ) p Identykacja 19 / 43
20 Interpretacja graczna Przykªad 3: ilustracja graczna q s(β 0,β 1,β 2 r 2 ) d(α 0,α 1, α 2 y 1 ) d(α 0,α 1, α 2 y 2 ) s(β 0,β 1,β 2 r 1 ) p Identykacja 20 / 43
21 Wnioski Wnioski z przykªadów 1 Brak identykowalno±ci parametrów postaci strukturalnej wynika ze specykacji modelu. 2 Nie jest to w szczególno±ci efekt zbyt krótkiej próby czy bª dów w procesie estymacji. 3 Brak identykowalno±ci parametrów postaci strukturalnej nie musi oznacza,»e model jest zªy; oznacza jedynie,»e na gruncie dost pnych danych nie jest mo»liwe ustalenie warto±ci poszczególnych jego parametrów. Ewentualny brak identykowalno±ci dotyczy wszystkich parametrów danego równania (por. przykªady 1, 2, 3). St d mówimy o identykowalno±ci równa«, a gdy wszystkie równania s identykowalne - o identykowalno±ci modelu. Identykacja 21 / 43
22 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje na parametry stochastyczne 6 Zadania Identykacja 22 / 43
23 Warunek konieczny i wystarczaj cy Liczba identifykowanych parametrów Liczba parametrów postaci strukturalnej Σ A ε;m M symetryczna M M B K M {}}{{}}{ M 2 {}}{ + KM + M (M + 1) 1 2 Ró»nica wynosi maksymalnie M 2. Liczba parametrów postaci zredukowanej Σ v;m M symetryczna Π K M {}}{{}}{ KM + M (M + 1) 1 2 W przykªadzie 3 osi gni cie identykowalno±ci wymagaªo przyj cia M 2 = 4 dodatkowych zaªo»e«: 1 o normalizacji ze wzgl du na zmienn q t w pierwszym i drugim równaniu, st d A 11 = 1 i A 12 = 1; 2 o wykluczeniu niektórych zmiennych z niektórych równa«, st d B 22 = 0 i B 31 = 0. Identykacja 23 / 43
24 Warunek konieczny i wystarczaj cy Notacja Posta strukturalna: y t A + x t B = ε t, A M M, B K M, M zmiennych endogenicznych (o warto±ciach dla t w poziomym wektorze y t ), K zmiennych egzogenicznych (o warto±ciach dla t w poziomym wektorze x t ). j-te równanie postaci strukturalnej: y t A [:,j + x t B [:,j = ε j,t, gdzie A [:,j, B [:,j to j-ta kolumna macierzy odpowiednio A i B. Ze wzgl du na normalizacj w równaniu j oraz wykluczenie niektórych zmiennych z tego równania klasykujemy jego zmienne i wªa±ciwe im parametry: Identykacja 24 / 43
25 Warunek konieczny i wystarczaj cy Zmienne Ozn. Rodzaj Liczba Parametry yj zmienna obja±niana w równaniu j, 1 1 wzgl dem niej normalizacja Endogeniczne Ỹj zmienne wyst puj ce w równaniu j M j Ỹj Xj Xj à [:,j bie» ce jako zmienne obja±niaj ce zmienne nie wyst puj ce w M j à [:,j = 0 równaniu j jako zmienne obja±niaj ce Z góry ustalone zmienne wyst puj ce w równaniu j jako zmienne obja±niaj ce K j B[:,j zmienne nie wyst puj ce w K j B[:,j = 0 równaniu j jako zmienne obja±niaj ce Identykacja 25 / 43
26 Warunek konieczny i wystarczaj cy Model w postaci zredukowanej [ yj,t ỹ j,t ỹ j,t = [ ~x j,t x j,t }{{}}{{} yt xt 1 {}}{ d j M j {}}{ D (1) M j {}}{ D (2) } K j d j D (3) D (4) } Kj } {{ } Π [ + v j,t ṽ j,t ṽj,t } {{ } vt Poniewa» Π = BA 1 czyli ΠA = B, dla j-tej kolumny macierzy A i B mo»emy zapisa : ΠA [:,j = B [:,j [ dj D (1) D (2) d j D (3) D (4) 1 Ã [:,j 0 = [ B[:,j 0 Identykacja 26 / 43
27 Warunek konieczny i wystarczaj cy St d: { dj + D (1) Ã [:,j = B[:,j d j + D (3) Ã [:,j = 0 { D (3) Ã [:,j = dj B [:,j = d j D (1) Ã [:,j } K j rownan } K j rownan z M j parametrami } Kj rownan z M j niewiadomymi ( ) }wzor na pozostale K j parametrow Dla ka»dego równania ( j ) mo»liwe s nast puj ce przypadki: 1 Kj < M j niesko«czenie wiele rozwi za«, parametry postaci strukturalnej równania j nie s identykowalne; 2 Kj = M j dokªadnie jedno rozwi zanie, identykowalno± jednoznaczna; 3 K j > M j identykowalno± nadmierna, mo»na testowa czy sprzeczno±ci s istotne statystycznie. Identykacja 27 / 43
28 Warunek konieczny i wystarczaj cy Warunek konieczny identykowalno±ci Warunkiem koniecznym identykowalno±ci równania j jest Kj M j, tzn. by liczba zmiennych egzogenicznych nie wyst puj cych w tym równaniu byª przynajmniej taka, jak liczba zmiennych endogenicznych wyst puj cych w tym równaniu jako zmienne obja±niaj ce. Przykªady (c.d.): 1 K 1 = 0 < M 1 = 1 brak identykowalno±ci równania 1 K 2 = 0 < M 2 = 1 brak identykowalno±ci równania 2 2 K1 = 0 < M 1 = 1 brak identykowalno±ci równania 1 K 2 = 1 = M 2 = 1 równanie 2 jest identykowalne 3 K1 = 1 = M 1 = 1 równanie 1 jest identykowalne K 2 = 1 = M 2 = 1 równanie 2 jest identykowalne Fakt: Warunek konieczny identykowalno±ci jest speªniony dla wszystkich równa«modelu, je»eli w ka»dym z nich wyst puje wªasna, unikalna zmienna egzogeniczna. Identykacja 28 / 43
29 Warunek konieczny i wystarczaj cy Warunek wystarczaj cy identykowalno±ci Warunkiem wystarczaj cym istnienia jednoznacznego rozwi zania ukªadu równa«( ) jest nie tylko K j = M j, lecz równie» peªen rz d kolumnowy (liniowa niezale»no± wszystkich kolumn) macierzy D (3) : r ( D (3)) = M j Wniosek: warunek wystarczaj cy identykowalno±ci j-tego równania zawiera w sobie warunek konieczny, bowiem przy Kj < M j liczba wierszy macierzy D (3) jest ni»sza od liczby kolumn, a taka macierz nie mo»e mie M j kolumn liniowo niezale»nych. Identykacja 29 / 43
30 Metoda z tabel Metoda z tabel W praktyce speªnienie warunku koniecznego mo»na równie» bada korzystaj c z nast puj cej metody: 1 Zapisujemy parametry postaci strukturalnej (tzn. takiej, w której wszystkie zmienne z parametrami s po jednej stronie znaku równo±ci) w tabeli, w której wiersze odpowiadaj zmiennym endogenicznym (równaniom), a kolumny - wszystkim zmiennym w modelu (parametry przyporz dkowujemy tym zmiennym). 2 W celu sprawdzenia identykowalno±ci parametrów j-tego równania wykre±lamy z tabeli: 1 wiersz odpowiadaj cy temu równaniu (j); 2 kolumny odpowiadaj ce zmiennym, które s w tym równaniu (y j,t, ỹ j,t, x j,t ). 3 Sprawdzamy, czy macierz parametrów, która pozostaªa po wykre±leniach, ma tyle liniowo niezale»nych kolumn, ile wierszy. Identykacja 30 / 43
31 Metoda z tabel Metoda z tabel przykªady 1, 2, 3 1 d t = α 0 α 1p t + ε d t s t = β 0 + β 1p t + ε s t d t = s t 1 d t s t p t α α 1 β β [ [ 1 1 dla równania 1:, dla równania 2: 2 wiersze > 1 wektor - brak 1 1 identykowalno±ci obu równa«identykacja 31 / 43
32 Metoda z tabel 2 d t = α 0 α 1p t + α 2y t + ε d t s t = β 0 + β 1p t + ε s t d t = s t 1 d t s t p t y t α α 1 α 2 β β [ 1 dla równania 1: 2 wiersze > 1 wektor - brak identykowalno±ci; dla 1 [ 1 α2 równania 2: 2 wektory liniowo niezale»ne - równanie 1 0 identykowalne Identykacja 32 / 43
33 Metoda z tabel 3 d t = α 0 α 1p t + α 2y t + ε d t s t = β 0 + β 1p t + β 2r t + ε s t d t = s t 1 d t s t p t y t r t α α 1 α 2 0 β β 1 0 β [ [ 1 β2 1 α2 dla równania 1:, dla równania 2: niezale»ne - oba równania identykowalne, 2 wektory liniowo Identykacja 33 / 43
34 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje na parametry stochastyczne 6 Zadania Identykacja 34 / 43
35 Restrykcje stochastyczne Restrykcje nakªadane na parametry stochastyczne W ogólnym przypadku symetryczna macierz wariancji-kowariancji wektora skªadników losowych postaci strukturalnej Cov (ε) = E ( ε T ε ) = Σ ε zawiera M (M + 1) 1 2 ró»nych elementów, podobnie jak mo»liwa do oszacowania macierz wariancji-kowariancji wektora skªadników losowych postaci zredukowanej Cov (v) = E ( ) ( (εa v T 1 v = E ) T ( )) εa 1 = ( ( E A 1) ) T εt εa 1 = ( A 1) T Σε A 1 = Σ v. Zaªo»enie o wzajemnej niezale»no±ci skªadników losowych postaci strukturalnej pozwala umie±ci zera na M (M + 1) 1 M 2 niediagonalnych miejscach macierzy Σ ε, co mo»e pozwoli wykorzysta równanie ( A 1) T Σε A 1 = Σ v w procesie identykacji elementów macierzy A. Identykacja 35 / 43
36 Restrykcje stochastyczne Przykªad 1 (c.d.) [ σ 2 Zaªó»my,»e Σ ε = d 0 0 σs 2. Wówczas [ σ 2 Σ v = v,1,1 σv,1,2 2. σv,2,2 2 = ( A 1) T Σε A 1 = [ β 1 α 1 [ [ = α 1 +β 1 α 1 +β 1 σ 2 β d α 1 +β 1 α 1 +β 1 σs 2 α 1 α 1 +β 1 ( ) [ 2 = 1 β 2 1 σd 2 + α2 1 σ2 s β 1 σd 2 α 1σs 2 α 1 +β 1. σd 2 + σ2 s 1 α 1 +β 1 α 1 +β 1 1 α 1 +β 1 = 2 z 3 równo±ci wykorzystujemy do ustalenia σd 2 oraz σ2 s, trzecia za± ustanawia zale»no± mi dzy α 1 a β 1. Ta zale»no± oraz dwie równo±ci π 1 =... i π 2 =... (por. wcze±niej) to wci» za maªo, by zidentykowa 4 parametry postaci strukturalnej. Identykacja 36 / 43
37 Restrykcje stochastyczne Przykªad 2 (c.d.) [ σ 2 Wykorzystajmy zaªo»enie Σ ε = d 0 0 σs 2 w drugim modelu. Po uwzgl dnieniu trzeciej zale»no±ci miedzy α 1 i β 1 mo»emy zidentykowa 3 parametry równania popytu na podstawie 3 równa«. Zaªó»my,»e wyniki estymacji parametrów postaci zredukowanej modelu 2 uzupeªnimy o wyniki estymacji wariancji-kowariancji wektora skªadników losowych postaci zredukowanej [ vt: σ 2 Σ v = v,1,1 σv,1,2 2 ( ) [ 2. σv,2,2 2 = 1 β 2 1 σ 2 d + α2 1 σ2 s β 1 σ 2 d α 1σ 2 s α 1 +β 1. σ 2 d + σ2. Zgodnie z s dotychczasowymi ustaleniami, β 0 = 1 i β 1 = 2. Mo»emy zatem zapisa 3 dodatkowe równania: ( ) 2 σv,1,1 2 = 1 (4σ 2 α 1 +2 d + α 2 ) 1 σ2 s ( ) 2 σv,1,2 2 = 1 (2σ 2 α 1 +2 d α 1 σs 2 ) ( ) 2 σv,2,2 2 = 1 (σ 2 α 1 +2 d + σs 2 ) Identykacja 37 / 43
38 Restrykcje stochastyczne Wyznaczamy z ostatniego równania σs 2 i podstawiamy do pozostaªych dwóch: ( ) 2 ( ( )) σv,1,1 2 = 1 α σd 2 + α2 1 σv,2,2 2 (α 1 + 2) 2 σd 2 = ( ) 2 1 (4 ) α 1 +2 α 2 1 σ 2 d + α1 2σ2 v,2,2 = 2 α 1 2+α 1 σd 2 + α2 1 σ2 v,2,2 ( ) 2 ( )) σv,1,2 2 = 1 2σd 2 α 1 = ( 1 α 1 +2 α 1 +2 ( σ 2 v,2,2 (α 1 + 2) 2 σ 2 d ) 2 (2 + α1 ) σd 2 α 1σv,2,2 2 = 1 2+α 1 σd 2 α 1σv,2,2 2 Z ukªadu mo»na wyrugowa σd 2: σ 2 v,1,1 α2 1 σ2 v,2,2 = (2 α 1) ( σ 2 v,1,2 + α 1σ 2 v,2,2 2σ 2 v,1,2 + 2α 1σ 2 v,2,2 α 1σ 2 v,1,2 α2 1 σ2 v,2,2 ) = Identykacja 38 / 43
39 Restrykcje stochastyczne Po redukcji powtarzaj cych si skªadników i rozwi zaniu ze wzgl du na α 1 otrzymujemy: α 1 = σ2 v,1,1 2σ2 v,1,2 2σ 2 v,2,2 σ2 v,1,2 Niech (z wyników estymacji) Σ v = [ Wówczas α 1 = = 2. Pozostaªe dwie równo±ci z przykªadu 2 pozwalaj 2 α 0 3 zidentykowa α 1 = 2. α 2 2 Identykacja 39 / 43
40 Restrykcje stochastyczne Do identykowalno±ci mog te» prowadzi inne, liniowe i nieliniowe restrykcje nakªadane na parametry stochastyczne i strukturalne. Identykacja 40 / 43
41 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje na parametry stochastyczne 6 Zadania Identykacja 41 / 43
42 Zadania Zadanie 1 Dany jest nast puj cy model ekonometryczny: y 1,t = 1 + 0, 5y 2,t + x 1,t + 0, 1x 2,t + ε 1,t y 2,t = 2 2y 1,t + 0, 5y 1,t 1 + ε 2,t 1 Omów identykowalno± poszczególnych równa«modelu. 2 Przedstaw przykªad takiej zmiany (takich zmian) specykacji, które doprowadziªyby do jednoznacznej identykowalno±ci wszystkich równa«. 3 Przedstaw przykªad takiej zmiany (takich zmian) specykacji, które doprowadziªyby do braku identykowalno±ci przynajmniej jednego z równa«. Identykacja 42 / 43
43 Zadania Zadanie 2 Zaproponowano nast puj cy model wielorównaniowy: y 1,t = α 0 + α 1 y 2,t + α 2 x 1,t + α 3 x 3,t + ε 1,t y 2,t = β 0 + β 1 y 1,t + β 2 x 2,t + ε 2,t 1 Przeprowad¹ analiz identykowalno±ci pierwszego równania. 2 Przeprowad¹ analiz identykowalno±ci drugiego równania. 3 Czy do estymacji powy»szego modelu mo»na zastosowa po±redni MNK? 4 Zaproponuj tak zmian specykacji, która sprawi,»e oba równania stan si jednoznacznie identykowalne. Identykacja 43 / 43
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji
Moele wielorównaniowe. Problem ientykacji Anrzej Torój 4 grunia Specykacja moelu Estymacja Ientykacja parametrów postaci strukturalnej y t A + x t B ε t y t x t ( ) BA + ε t A {{ BA Π Π v t posta strukturalna
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Bardziej szczegółowoWst p do ekonometrii II
Wst p do ekonometrii II Wykªad 1: Modele ADL. Analiza COMFAC. Uogólniona MNK (1) WdE II 1 / 36 Plan wykªadu 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 1
Ekonometria - wykªad 1 0. Wprowadzenie Barbara Jasiulis-Goªdyn 28.02.2014 2013/2014 Ekonometria Literatura [1] B. Borkowski, H. Dudek, W. Szczesny, Ekonometria. Wybrane Zaganienia, PWN, Warszawa 2003.
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Bardziej szczegółowoMakroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 1 Stan ustalony i log-linearyzacja MZ 1 / 27 Plan wicze«1 Praca z modelami DSGE 2 Stan ustalony 3 Log-linearyzacja 4 Zadania MZ 2 / 27 Plan prezentacji 1 Praca z modelami
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych (5-6) Ekonometria 1 / 30 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6)
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej (8) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3 Predykcja
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany
Bardziej szczegółowoModele wielorownaniowe
Część 1. e e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e makroekonomiczne z reguły składają się z większej
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± (3) Ekonometria 1 / 29 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± Test White'a Odporne bª
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowo1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoLab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoWykªad 6: Model logitowy
Wykªad 6: Model logitowy Ekonometria Stosowana SGH Model logitowy 1 / 18 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej idea 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3
Bardziej szczegółowoMetody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t
Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Regresja logistyczna 1. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 4 Prognozowanie (4) Ekonometria 1 / 18 Plan wicze«1 Prognoza punktowa i przedziaªowa 2 Ocena prognozy ex post 3 Stabilno± i sezonowo± Sezonowo± zadanie (4) Ekonometria 2 / 18 Plan
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoI Kolokwium z Ekonometrii. Nazwisko i imi...grupa...
ZESTAW A1 I Kolokwium z Ekonometrii Nazwisko i imi...grupa... 1. Model teoretyczny ma posta: z t = α 0 + α 1 x t + α 2 p t + ξ t, (t = 1, 2,..., 28) (1) gdzie: z t - koszty produkcji w mln z, p t - wielko
Bardziej szczegółowoOpis matematyczny ukªadów liniowych
Rozdziaª 1 Opis matematyczny ukªadów liniowych Autorzy: Alicja Golnik 1.1 Formy opisu ukªadów dynamicznych 1.1.1 Liniowe równanie ró»niczkowe Podstawow metod przedstawienia procesu dynamicznego jest zbiór
Bardziej szczegółowoMatematyka z elementami statystyki
Matematyka z elementami statystyki Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Korelacja Zale»no± funkcyjna wraz ze wzrostem jednej zmiennej nast puje ±ci±le okre±lona zmiana druiej zmiennej.
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 3: Testowanie obecno±ci procesów przestrzennych (3) Ekonometria Przestrzenna 1 / 25 Plan wykªadu 1 Testowanie efektów przestrzennych 2 Testy ogólne Test Morana I Globalne
Bardziej szczegółowoAnaliza obserwowalno±ci
Analiza obserwowalno±ci Niech ẋ(t) = Ax(t), y(t) = Cx(t), x(0) R n gdzie A R n n oraz C R q n. Para (A, C) jest caªkowicie obserwowalna je»eli x(0) znajomo± funkcji y : [0, t f ] R q (wyj±cia obiektu)
Bardziej szczegółowoRozdziaª 8. Modele Krzywej Dochodowo±ci
Rozdziaª 8. Modele Krzywej Dochodowo±ci MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 8) Krzywa dochodowo±ci 1 / 18 Denicja krzywej dochodowo±ci Krzywa dochodowo±ci (yield curve): Ilustracja graczna
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów
Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone
Bardziej szczegółowoMakroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 3 Racjonalne oczekiwania i krytyka Lucasa MZ 1 / 15 Plan wicze«1 Racjonalne oczekiwania 2 Krytyka Lucasa 3 Zadanie MZ 2 / 15 Plan prezentacji 1 Racjonalne oczekiwania
Bardziej szczegółowoWykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej. Podstawy R
Wykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej Podstawy R Ekonometria Stosowana SGH KMNK i R 1 / 45 Plan wykªadu 1 Informacje organizacyjne 2 Wprowadzenie do ekonometrii Ekonometria Dane i postacie funkcyjne
Bardziej szczegółowoPewne algorytmy algebry liniowej Andrzej Strojnowski
Pewne algorytmy algebry liniowej ndrzej Strojnowski 6 stycznia 2011 Przedstawimy tu kilka algorytmów rozwi zuj ce typowe zadania algebry liniowej Wszystkie zaprezentowane tu algorytmy polegaj na zbudowaniu
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowoPrzeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 8: w modelach przestrzennych (8) Ekonometria Przestrzenna 1 / 23 Plan wykªadu 1 Modele proste Modele zªo»one 2 Wnioskowanie statystyczne dla mno»ników przestrzennych i ±rednich
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 4 03 listopad 2014 1 / 47 Plan wykªadu 1. Testowanie zaªo»e«o proporcjonalnym hazardzie w modelu Cox'a 2. Wybór zmiennych do modelu Cox'a 3. Meta analiza
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 8: Restrykcje na parametry w postaci nierówno±ci: analiza bayesowska (8) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Restrykcje nierówno±ciowe: podej±cie klasyczne a bayesowskie
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe (forma strukturalna)
Modele wielorównaniowe (forma strukturalna) Formę strukturalna modelu o G równaniach AY t = BX t + u t, gdzie Y t = [y 1t,..., y Gt ] X t = [x 1t,..., x Kt ] u t = [u 1t,..., u Gt ] E (u t ) = 0 Var (u
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 4: Model autoregresji przestrzennej. Dane GIS: punkty i siatki (4) Ekonometria Przestrzenna 1 / 24 Plan wykªadu 1 Model czystej autoregresji przestrzennej (pure SAR) Specykacja
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 7 Modele nieliniowe (7) Ekonometria 1 / 19 Plan wicze«1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 2 / 19 Plan prezentacji 1 Nieliniowo±
Bardziej szczegółowoPodstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7
Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7 Tomasz Suchocki ANOVA Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania 3. ANOVA w pakiecie R Tomasz
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoMatematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Bardziej szczegółowoLegalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowo*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Bardziej szczegółowoMacierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Bardziej szczegółowoRozdziaª 6. Strukturalne modele VAR
Rozdziaª 6. Strukturalne modele VAR MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 6) Modele SVAR 1 / 25 Wprowadzenie do modeli SVAR Krytyka modeli wielorównaniowych z lat 50-tych i 60-tych postaci:
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 2: Bayesowska estymacja równania ze staª. Elementy j zyka R (2) Ekonometria Bayesowska / 24 Plan wykªadu Model ze staª 2 Podstawy j zyka R 3 Bayesowska analiza modelu ze staª
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 6: Zªo»one modele regresji przestrzennej (6) Ekonometria Przestrzenna 1 / 21 Plan wykªadu 1 Modele zªo»one 2 Model SARAR 3 Model SDM (Durbina) 4 Model SDEM 5 Zadania (6)
Bardziej szczegółowoCAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski
III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 2 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoEkonometria. Modele wielorównaniowe. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 1 / 35 Outline 1 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych 2 Modele równań
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 5: Narz dzia wnioskowania w ekonometrii bayesowskiej (5) Ekonometria Bayesowska 1 / 8 Plan wykªadu 1 Przedziaªy ufno±ci HPDI Werykacja hipotez podej±cie bayesowskie 3 Werykacja
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoJEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY
JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoPodstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych
Bardziej szczegółowoIn»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci
Bardziej szczegółowoMetody Ekonometryczne Modele wielorównaniowe
Metody Ekonometryczne Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Modele wielorównaniowe 1 / 47 Wprowadzenie Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Modele
Bardziej szczegółowoMikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.
Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoWst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd.
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd. M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2010-11-23
Bardziej szczegółowoModele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Bardziej szczegółowowiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Bardziej szczegółowoModele ARIMA prognoza, specykacja
Modele ARIMA prognoza, specykacja Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 3 5 marca 2010 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Plan prezentacji 1 Specykacja modelu ARIMA 2 3 Funkcja autokorelacji
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe
Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 1 / 47 Outline 1 2 3 4 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów
Bardziej szczegółowo