Przekształcanie schematów blokowych. Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:

Transkrypt

1 Warszawa 2017

2 1 Cel ćwiczenia rachunkowego Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia: zasady budowy schematów blokowych układów regulacji automatycznej na podstawie równań operatorowych; przekształcanie schematów blokowych i wyznaczanie transmitancji zastępczej układu. Celem ćwiczenia jest zdobycie umiejętności praktycznej realizacji powyższych zagadnień. 2 Wymagania wstępne Przed rozpoczęciem ćwiczeń student zobowiązany jest do zapoznania się z treścią niniejszej instrukcji. W szczególności istotne jest posiadanie wiedzy teoretycznej z zakresu poruszanego podczas ćwiczenia rachunkowego. Ponadto student zobowiązany jest prześledzić ze zrozumieniem wszystkie zamieszczone przykłady, aby wiedzieć w jaki sposób rozpocząć rozwiązywanie zadań podczas ćwiczeń. W przypadku posiadania wątpliwości po zapoznaniu się z treścią instrukcji w celu ich wyjaśnienia zaleca się konsultacje się z prowadzącym przed terminem ćwiczeń rachunkowych. 3 Wiadomości ogólne Główne idee i metody teorii regulacji automatycznej są takie same dla dowolnych układów regulacji, niezależnie od ich konstrukcji i natury fizycznej. Okazuje się, że cechy charakterystyczne procesów regulacji nie zależą ani od natury fizycznej wielkości regulowanej, ani od fizycznych własności aparatury wchodzącej w skład układu regulacji automatycznej. Dlatego pożyteczne jest wykorzystanie przy badaniu tych procesów schematów blokowych, które wyrażają przede wszystkim zależności funkcjonalne, a nie związane z konkretną dziedziną techniki i mające ogólny charakter. Schematy blokowe (strukturalne) złożonych układów regulacji automatycznej można zbudować analitycznie, korzystając z równań operatorowych opisujących te układy lub w wyniku badań eksperymentalnych. Przyjąć należy przy tym założenie, że każdy liniowy układ regulacji automatycznej można przedstawić w postaci połączenia ze sobą elementarnych członów z których każdy wykazuje działanie kierunkowe, tzn. sygnał wyjściowy zależy od sygnału wejściowego, nie występuje natomiast działanie w kierunku przeciwnym. W każdym schemacie blokowym występują trzy rodzaje elementów podstawowych: 1. elementarne człony dynamiczne z których składa się transmitancja badanego uładu regulacji automatycznej. Transformata sygnału wyjściowego członu elementarnego Y(s) jest zawsze równa iloczynowi transformaty sygnału wejściowego i transmitancji tego członu: Y(s) = G(s)X(s) ZAiUL WML WAT 2

3 2. węzły sumacyjne realizujące dodawanie lub odejmowanie przynajmniej dwóch sygnałów wejściowych, przy tylko jednym sygnale wyjściowym z węzła (rys.1) Znaki sygnałów wejściowych + lub podaje się zazwyczaj przy grocie strzałki oznaczającej wejście do węzła. X 1 (s) + Y(s) - X 2 (s) Rys. 1. Schemat węzła sumacyjnego Y(s) = X 1 (s)-x 2 (s) 3. węzły zaczepowe (informacyjne, rozdzielcze) pozwalają doprowadzić ten sam sygnał do kilku różnych punktów schematu blokowego. Posiadają one tylko jedno wejście i co najmniej dwa wyjścia. Oznaczane są one na schematach blokowych kropką (rys.2) X(s) X(s) X(s) X(s)=X(s)=X(s) Rys. 2. Schemat węzła zaczepowego 4 Budowanie schematu blokowego na podstawie równań operatorowych Jak wspomniano łatwiej jest analizować układy regulacji automatycznej wykorzystując schematy blokowe niż schematy technologiczne. Utworzenie schematu blokowego, składającego się z szeregu transmitancji operatorowych wymaga opisania poszczególnych zespołów technologicznych odpowiednimi równaniami, a następnie wyznaczenia na tej podstawie transmitancji operatorowych. Wyznaczone transmitancje układane są następnie w schemat blokowy, na podstawie, którego można wyznaczyć transmitancję zastępczą całego układu. Rozpatrzymy jako przykład tworzenia schematu blokowego prosty układ RC przedstawiony na rysunku 3. Wymuszeniem jest napięcie x, natomiast wyjściem obiektu napięcie oznaczone jako y. Napięcie x można określić jako: Rys. 3. Schemat prostego układu elektrycznego x(t) = Ri(t)+y(t) (1) ZAiUL WML WAT 3

4 przy czym: i(t) = C dy(t) dt (2) Z zależności (1) i (2) można wyznaczyć równanie różniczkowe układu: gdzie: T=RC T dy(t) d(t) + y(t) = x(t) (3) Wyznaczając transformatę Laplace a dla równania (3) otrzymujemy: Transmitancja układu wynosi więc: Tsy(s) + y(s) = x(s) y(s)(ts+1) = x(s) (4) G(s) = y(s) x(s) = 1 Ts+1 (5) A jego schemat blokowy można przedstawić następująco: Rys. 4. Schemat blokowy układu z rys.3 5 Algebra schematów blokowych W celu uproszczenia wypadkowej transmitancji operatorowej regulatora, obiektu regulacji lub całego układu regulacji w przypadku, gdy składa się on z kilku elementów różnie połączonych, należy wyprowadzić zależności na transmitancję wypadkową. Każdy układ regulacji, niezależnie od tego czy jest bardziej lub niej złożony, można rozłożyć na części składające się z elementów połączonych szeregowo, równolegle, w układzie ze sprzężeniem zwrotnym i równolegle z oddzielnymi wejściami lub wyjściami. Zasady przekształcania schematów blokowych w celu ich uproszczenia i określenia transmitancji układu nazywane są algebrą schematów blokowych. W tabeli 1 przedstawiono zestawienie zasadniczych przykładów takich przekształceń. Ich znajomość wystarcza do określenia transmitancji dowolnie złożonego układu. Transmitancję wypadkową dużej liczby elementów różnie połączonych znajduje się, w prostszych przypadkach, drogą rozłączenia układu na części proste. Jednakże ta metoda wymaga dużej przejrzystości schematu blokowego, co przy bardziej złożonych układach regulacji może powodować pewne trudności. Dlatego w takich przypadkach najlepiej jest postępować następująco: ZAiUL WML WAT 4

5 1. Dla każdego punktu węzłowego, do którego dochodzi kilka sygnałów zestawia się, zgodnie z zasadą superpozycji, równanie i z otrzymanego w ten sposób układu równań wyznacza się szukaną transmitancję. 2. W każdym punkcie węzłowym wszystkie sygnały odchodzące są wzajemnie sobie równe i jednocześnie każdy z tych sygnałów odchodzących równa się sumie wszystkich sygnałów przychodzących. W przypadkach złożonych, gdy transmitancję układu wyraża się jako funkcję transmitancji jego elementów wprowadza się często uproszczone oznaczenie transmitancji, np. zamiast G x (s) piszemy po prostu G x. Tabela 1. Podstawowe przekształcenia schematów blokowych ZAiUL WML WAT 5

6 6 Przykłady zadań rachunkowych 6.1 Przykład 1 Wyznaczyć transmitancję zastępczą układu przedstawionego na rysunku 5. Rys. 5. Układ połączeń elementów do przykładu 1. Można zauważyć, korzystając z tabeli 1, że w prosty sposób można wyznaczyć dwie transmitancje zastępcze Z 1,Z 2 transmitancji G 2,G 3 (poz. 2. połączenie równoległe) oraz G 4,G 5 (poz. 3. sprzężenie zwrotne) Przy czym Z 1 = G 2 + G 3, natomiast Z 2 = G 4 1+G 4 G 5. Wyjściowy układ można przedstawić następująco: Rys. 6. Zmodyfikowany układ połączeń z rys.5. ZAiUL WML WAT 6

7 Następnie wyznaczana jest transmitancja zastępcza całego układu wyjściowego Z ( z tabeli 1, poz.1 połączenie szeregowe), która wynosi: 6.2 Przykład 1 Narysować schemat blokowy oraz wyznaczyć transmitancję układu przedstawionego na rys.7. Wymuszeniem jest natężenie przepływu cieczy Q1 a wyjściem poziom cieczy w zbiorniku h. Rys. 7. Schemat układu regulacji dla przykładu 2. Charakterystyka przetwornika pomiarowego PP wygląda następująco: Rys. 8. Charakterystyka przetwornika pomiarowego PP. W pierwszej kolejności wyznaczona zostanie transmitancja obiektu regulacji. W stanach nieustalonych zmiany poziomu cieczy w zbiorniku można opisać za pomoc zależności: Natężenie przepływu Q 2 można obliczy z równania Bernoulli'ego dla poziomu lustra cieczy (1) oraz wypływu ze zbiornika (2) można zapisać następująco: Przyjmując v 1 =0 oraz p 1 =p 2 otrzymuje się: ZAiUL WML WAT 7

8 Na podstawie równania ciągłości przepływu tzn: gdzie f pole przekroju kanału zaworu. Następnie należy zlinearyzować przedstawione równanie w wybranym punkcie pracy oznaczonym h n, Q 1n, f n. W otoczeniu wybranego punktu pracy przyrosty zmiennych h oraz Q 2 zastępuje się ich liniowymi aproksymacjami. Przyrost ΔQ 2 zostaje zastąpiony różniczką zupełną: więc: gdzie: Znak Δ może zostać pominięty, przy jednocznym uwzględnieniu że występują przyrosty wszystkich poszczególnych wartości: Transformata Laplace a tej zależności wynosi: Oznaczając: Można wyznaczyć transmitancję obiektu regulacji: Przetwornik pomiarowy można opisać jako obiekt bezinercyjny ze wzmocnieniem. Wzmocnienie przetwornika można odczytać z jego charakterystyki (rys. 8): ZAiUL WML WAT 8

9 Jako regulator przyjmujemy regulator PI o transmitancji: Wyjściem z regulatora jest sygnał prądowy o zakresie 4-20mA który jestpodawany na ustawnik pozycyjny, który można zamodelować jako element bezinercyjny o wzmocnieniu k f. Wynikowe pole przekroju otwarcia zaworu wynosić będzie: f = k f x. Wykorzystując wyznaczone zależności można narysować schemat blokowy układu regulacji automatycznej: Transmitancja zastępcza układu wynosi zatem: Rys. 9. Schemat blokowy dla układu z rys.7. 7 Literatura 1. Janusz KOWAL T1, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo- Dydaktyczne AGH, Kraków Janusz KOWAL T2, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo- Dydaktyczne AGH, Kraków 2004, Sygnatura: Tadeusz Kaczorek Teoria sterowania. Tom I Układy liniowe ciągłe i dyskretne. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977 ZAiUL WML WAT 9