ROZMYTE WARTOŚCI WIELKOŚCI PRODUKCJI I INTERWAŁOWE WARTOŚCI KOSZTÓW W ANALIZIE WEJŚCIA WYJŚCIA.

Transkrypt

1 Marusz GONERA Instytut Informatyk Teoretyczne Stosowane ul. Dąbrowskego, 73, 42-2 Częstochowa ROZMYTE WARTOŚCI WIELKOŚCI PRODUKCJI I INTERWAŁOWE WARTOŚCI KOSZTÓW W ANALIZIE WEJŚCIA WYJŚCIA. (2 słów) Współczesne przedsęborstwa produkcyne lub usługowe do efektywne dzałalnośc wymagaą stnena narzędz ekonomcznych nformatycznych wspomagaących proces zarządzana welkoścą wymagane produkc oraz mnmalzuących wszelake koszty. Takm narzędzem est z pewnoścą analza weśca-wyśca sformułowana przez Leontefa na początku lat 3-tych. Metoda skoarzony z ną model opsuą wzaemne zależnośc pomędzy cenam, welkoścą produkc, popytem podażą w danym systeme ekonomcznym. Analza weśca-wyśca dae możlwość prognozowana welkośc przyszłe produkc oraz ułatwa szacowane kosztów dzałalnośc przedsęborstw, staąc sę tym samym edną z klasy metod wspomagaących podemowane optymalzowanych decyz ekonomcznych gospodarczych. W praktycznych zastosowanach dane opsuące proces produkcyny zawsze obarczone są nepewnoścą. Uwzględnene wspomnane nepewnośc wymaga zastosowana specyfcznego opsu matematycznego aparatu nformatycznego. Nabardze skutecznym sposobem uwzględnena nepewnośc est przedstawene wszystkch parametrów w forme nterwałowe lub rozmyto-nterwałowe wykorzystane odpowedne metodolog matematyczne. Maąc na uwadze powyższe spostrzeżena proponuemy w nnesze pracy nterwałowe rozszerzene klasyczne analzy weśca-wyśca, którego rozwązane pozbawone będze konecznośc odwracana główne macerzy nterwałowe, zwane nterwałową macerzą produkcyną. Brak odwracana macerzy będze możlwy dzęk zastosowanu, sformułowane przez nas, zmodyfkowane metody Gaussa z wyelmnowaną z postępowana odwrotnego operacą dzelena nterwałowego. Zmodyfkowana procedura rozwązywana nterwałowych układów równań umożlw uzyskane rozmyto-nterwałowych wartośc kosztów welkośc produkc w przypadku, gdy wszystke dane weścowe będą mały postać nterwałową. SŁOWA KLUCZOWE: Analza Weśca-Wyśca, IOA, Lczba Interwałowa, Zmodyfkowana Procedura Gaussa, Interwałowy Model Weśca-Wyśca, Interwałowa Tabela Weśca-Wyśca KEYWORDS: Input-Output Analyss, IOA, Interval Number, Modfed Gauss Procedure, Interval Input-Output Model, Interval Input-Output Table 1. WPROWADZENIE Nezwykle efektywnym narzędzem stosowanym przez ponad 6 kraów na śwece do optymalzac procesów produkcynych, poprawy stanu gospodark analzy alokac kosztów mędzysektorowych est, sformułowana przez Leontefa, analza weśca-wyśca. Została ona początkowo wykorzystana do badana gospodark Stanów Zednoczonych [5-6], [8-9]. Analza weśca-wyśca est sformalzowaną metodą wyaśnaącą zawłe wzaemne zależnośc podaży, popytu, nakładów nwestycynych oraz kosztów w różnych sektorach złożonych systemów ekonomcznych [7]. Poprzez system ekonomczny rozumeć możemy zarówno poedynczą frmę produkcyną ak całą gospodarkę akegoś państwa. Modele weśca-wyśca oparte na takch systemach dostarczaą nformac o strukturze połączeń pomędzy weloma sektoram wspomagaą ogólny plan produkcyny. Rozległe prace nad praktycznym wykorzystanem analzy weśca-wyśca [9-13] udowodnły e wyątkową przydatność w dzedzne zarządzana kontrol kosztów prowadzena dzałalnośc produkcyno-usługowe. Prace te zostały z czasem rozszerzone o wykorzystane kosztów zwązanych z - 1 -

2 ochroną środowska redukcą zaneczyszczeń w ogólnych planach funkconowana przedsęborstw [12-13]. Wynk analzy uwzględnaące take dane umożlwły zgłębene wedzy na temat tego, w ak sposób optymalne dzelć koszty pomędzy sektoram przedsęborstw. Wspomnane wcześne prace nad modelem analzą weśca-wyśca ne uwzględnały tak wszechobecne nepewnośc, która ak obecne wadomo, stanow poważny element składowy wszystkch metod wspomagaących podemowane decyz. W praktycznych zastosowanach ne stosuemy bowem opsu parametrów za pomocą poedynczych lczb, lecz przy pomocy pewnych przedzałów zmennośc wartośc tych parametrów. Aby uwzględnć w akś rozsądny sposób nepewność w procese analzy danych, należy e w odpowedn sposób przedstawć. Nepewność uwzględnać mogą dane w postac nterwałowe, rozmyte lub stochastyczne (lczby losowe). Prace nad analzą weśca-wyśca uwzględnaącą stochastyczną nepewność były prowadzone od początku lat 7-tych. Uawnły one poważne wady podeść losowych [16-18] w kontekśce stnena konecznośc odwracana tzw. główne macerzy produkcyne, które to odwracane est ednym z poważneszych źródeł propagac nepewnośc. W zwązku z uawnonym wadam podeść losowych, współczesne badana nad zastosowanam metody Leontefa skerowane zostały ku wykorzystanu lczb nterwałowych ako opsu źródeł nepewnośc. Podstawy nterwałowe analzy wprowadzł Moore [1], [14], natomast e modyfkace były udzałem Markov a [2], Hansen a [3] Syndov a[4]. Interwałowy ops parametrów pozwala na elastyczne planowane produkc dynamczne prognozowane przedzału prawdopodobnych kosztów. Poza tym, tak ops danych, w odróżnenu od formy rozmyto-nterwałowe, est bardze akceptowany przez menadżerów, którzy dostarczaą dane do analzy. Znaczne łatwe est bowem w praktyce wyznaczyć mnmalną maksymalną wartość danego parametru nż namne nabardze prawdopodobne przedzały ego zmennośc (co wymagane est do rozmyto-nterwałowego opsu danych wprowadzonego przez L. Zadeh a). W nnesze pracy przedstawone zostane nterwałowe rozszerzene klasycznego determnstycznego modelu weśca-wyśca przekształconego do postac, która pozbawona będze konecznośc zastosowana operac odwracana macerzy nterwałowe. Elmnaca odwracana macerzy z nterwałowego modelu weśca-wyśca była ednym z podstawowych założeń nasze pracy, poneważ est ona głównym źródłem propagac błędów zwększana sę nepewnośc wynków (co zwązane est z gwałtownym, trudnym w kontrol, rozszerzanem sę szerokośc nterwałów). Wspomnane problemy rozwązane zostały poprzez zastosowane zmodyfkowane przez nas nterwałowe metody rozwązywana układów równań lnowych. Zmodyfkowana metoda Gaussa umożlwła uzyskane rozmytych wartośc welkośc produkc nterwałowych wartośc kosztów w sytuac, gdy wszystke dane maą postać nterwałową. Dane do badań nad skutecznoścą naszego podeśca zaczerpnęte zostały z pracy [15]. Dotyczą one parametrów pracy przedsęborstwa zamuącego sę farbowanem materałów tekstylnych. Pozostała część nnesze pracy została zorganzowana w następuący sposób. W rozdzale 2 przedstawony est krótk przykład lustruący w ak sposób odbywa sę analza weśca-wyśca. Rozdzał 3 zawera nterwałowe rozszerzene klasycznego modelu weśca-wyśca. Rozdzał 4 zawera etapy budowy - 2 -

3 łowego modelu weśca-wyśca. Rozdzał 6 zawera końcowe wnosk spostrzeżena. 2. PROSTY PRZYKŁAD ILUSTRUJĄCY FUNKCJONOWANIE KLASYCZNEJ ANALIZY WEŚCIA-WYJŚCIA Zamast opsu zasad funkconowana klasyczne analzy weśca-wyśca operuące na lczbach rzeczywstych, postanowlśmy przedstawć krótk przykład dotyczący przypadku gdy model ekonomczny, poddawany analze, opsany est poprzez trzy sektory (Tabela 1) (Kempner 1987). Sektor A opsue rolnctwo, sektor B dotyczy zntegrowane nterwałowe tabel weśca-wyśca. W rozdzale 5 proponuemy metodę rozwązana nterwaprodukc przemysłowe, natomast sektor C zawera dane o produkc wyśca zostane przedstawony w rozdzale 4. gospodarstw domowych. Sposób budowy zntegrowane tabel, stanowące podstawę analzy weśca- Tabela 1. Prosty model weśca-wyśca dla trzech sektorów gospodarczych Sprzedaż (pozomo) Kupno (ponowo) Całkowte w yśce Sektor A Sektor B Sektor C Przych ód zewnętrzny Sektor A Sektor B Sektor C Koszty funkconowana Całkowte weśce Analzuąc powyższą tabelę możemy zauważyć, że na przykład, Sektor B sprzedae (przekazue) towary (lub zasoby fnansowe) za 4 [mld $] do Sektora A za 1 [mld $] do Sektora C, poza tym towary za 26 [mld $] sprzedane zostały do zewnętrznych, nnych sektorów. Aby wyprodukować globalną produkcę na pozome 4 [mld $], Sektor B zmuszony est nabyć (pobrać) 6 [mld $] w towarach lub usługach od Sektora A 1 [mld $] od Sektora C. W tabel uwzględnono równeż to, że Sektor B zużywa 24 [mld] na koszty funkconowana. Zauważyć należy, że dzałalność wewnątrz Sektora B ne est brana pod uwagę, co obawa sę tym, że na przecęcu wersza kolumny odpowadaącym Sektorow B ne znaduą sę żadne wartośc w praktyce znadue sę tam wartość. Tak stan rzeczy powodue zmneszene stopna uszczegółowena prowadzone analzy, lecz z druge strony pozwala na rozpatrywane każdego sektora osobno bez konecznośc zagłębana sę w wewnętrzną strukturę ego dzałalnośc. Całkowte wyśce przyporządkowane do danego sektora zawera nformacę o tym ak dochód przynósł ten sektor (Sektor B 4 [mld $]), natomast całkowte weśce mów o tym ake est zapotrzebowane danego sektora na surowce, półprodukty lub zasoby fnansowe (Sektor B 4 [mld $]. W ogólnym przypadku te welkośc dla danego sektora maą taką samą wartość (blans produkcyny wynos ). Zdarzyć sę może, że edna z tych wartośc będze wększa. Jeżel wększa będze wartość całkowtego wyśca to oznacza, że w sektorze zastosowano strategę ogranczana kosztów przez co blans est na korzyść dochodów. W przecwnym przypadku sektor przynos straty

4 Ze względu na wymog analzy weśca-wyśca należy przekształcć wszystke wartośc w tabel 1 (oprócz całkowtych weść, całkowtych wyść przychodu zewnętrznego) do postac współczynnkowe Tabela 2. (procentowy udzał podaży popytu danego sektora w całkowtym popyce całkowte podaży). Tabela 2. Współczynnkowa postać tabel weśca-wyśca Sprzedaż (pozomo) Kupno (ponowo) Całkowte wyśce Sektor A Sektor B Sektor C Przychód zewnętrzny Sektor Sektor B Sektor C Koszty roboczny Całkowte weśce Klasyczny model weśca-wyśca dla analzy weśca-wyśca oparte na danych w postac lczb rzeczywstych [6] może być przedstawony ako: xre = ( I Mre ) 1 qre, (1) gdze: xre wektor zaweraące dane o całkowte sprzeda ży (całkowte wyśce) zwany wektorem podaży, qre wektor przychodów zewnętrznych (sprzedaż do zewnętrznych sektorów, ne uwzględnonych w analze), Mre- główna macerz współczynnków, zwana macerzą produkcyną lub macerzą technologczną. Na podstawe danych z tabel 2 możemy powedzeć, że: re =.2.5 M, I = 1, ( I Mre ) = , qre T = [ ] Aby wyelmnować z równana (1) koneczność odwracana macerzy przekształcamy e do postac: ( I Mre ) xre = qre (2) Powyższe równane może być teraz rozwązane przy pomocy dowolnego algorytmu rozwązywana układów równań lnowych w postac macerzowe (dla danych rzeczywstych). W ten sposób otrzymalśmy pewen model, który może być w późneszym czase wykorzystany do prognozowana zman podaży kosztów w poszczególnych sektorach. Załóżmy dla potrzeb przykładu, że przychód zewnętrzny zwązany z Sektorem A (rolnctwem) zwększy sę ze 1 [mld $] do 12 [mld $]. Chcelbyśmy teraz poznać prognozę tego ak zmeną sę ogólne podaże we wszystkch sektorach powązanych z Sektorem A. Ponadto nteresowałaby nas zmana kosztów dzałalnośc sektorów po uwzględnenu powyższe zmany w welkośc produkc. Odpowedz na te pytana uzyskamy po zmodyfkowanu tabel 2 po rozwązanu równana (2). W wynku otrzymumy wektor całkowtych wyść (całkowte podaży) xre T = [ xre ] T = [ ] 222. Na ego podstawe możemy oszacować zmanę kosztów funkconowana wszystkch sektorów w następuący sposób: lc = xre c (3) - 4 -

5 gdze: lc wartość kosztu funkconowana poedynczego sektora, xre - wartość całkowte produkc po ponownym rozwązanu równana (2), c - procentowy udzał kosztu funkconowana poszczególnego sekto- podstawe nowych danych możemy oszacować zmodyfkowane koszty funkconowana ra w ego całkowte wartośc weśca (zapotrzebowana na różnorake środk weścowe). Na poszczególnych sektorów, które wynoszą lc T T = [ lc ] = [ ]. Zauważamy węc, że dla Sektora A koszty funkconowana wzrosły o 12.5 [mld $], dla Sektora B o 5.1 [mld $] oraz dla Sektora C o 2.3 [mld $]. 3. INTERWAŁOWA ANALIZA I MODEL WEJŚCIA-WYJŚCIA Interwałowe rozszerzene modelu Leontefa oparte zostało na klasycznym (dla lczb rzeczywstych) modelu weśca-wyśca [6]. Przy ego formułowanu wzorowalśmy sę na pracy badawcze C.C. Wu N.B. Chang [15]. Rozszerzene to pocągnęło za sobą koneczność modyfkac tabel weśca-wyśca, na które ta analza bazue, równeż do postac nterwałowe. Budowa wygląd naczęśce wykorzystywane nterwałowe tabel weśca-wyśca przedstawa Tabela 3 w rozdzale 4. Proponowany model nterwałowy umożlwa pełną analzę naczęśce spotykanych sektorów w przedsęborstwach produkcynych usługowych. Towarzysząca mu tabela opsue główne weśca (źródła surowców, półproduktów, źródeł fnansowana, zobowązana, amortyzaca) oraz typowe wyśca (sprzedaż zapasy). Formułowany model mus być zgodny ze standardem, węc pownen uwzględnać edno wyśce dla każdego sektora, edno lub wele weść, pownen operać sę na główne nterwałowe, kwadratowe macerzy produkcyne zaweraące ustalone w dane chwl współczynnk weśca-wyśca, oraz być zależny od tzw. lnowe, ednorodne funkc produkcyne. Dla uproszczena analzy formułowanego modelu na początku przedstawmy wszystke wymagane oznacze- na: x, nterwałowe współczynnk weśca-wyśca określaące wymagana wobec produktu przez sektor, gdze, = 1,, m, m lość sektorów lub produktów t h, weśce nnych zasobów takch ak amortyzaca, ubezpeczena h gdze g lczba pozostałych zasobów, = 1,, m xout całkowte wyśce (podaż, produkca) dla sektora (produktu), = 1,, m xn całkowte weśce dla sektora uwzględnaąc produkt, = 1,, m f końcowa (zewnętrzna) sprzedaż zapasy produktu, = 1,, m er k, nterwałowe wartośc określaące tzw. zewnętrzne weśca (np. zewnętrzne źródła zaopatrzena) take ak materał produkcyny k wymagany przez sektor produkcyny, k = 1,, l, gdze l lczba weść ze- wnętrznych, = 1,, m wymagane przez sektor, h = 1,, g, Możemy teraz przystąpć do formułowana kompletnego nterwałowego modelu weśca-wyśca do typowych zastosowań gospodarczych. Elementarne całkowte wyśce odpowadaące danemu sektorow, opsuące zapotrzebowane na zasób est wyrażone ako suma wszystkch współczynnków x, dotyczących analzowanego sektora odpowedne wartośc końcowego wyśca f : xout = n = 1 x, + f (4)

6 natomast elementarne całkowte we śce dla sektora może być przedstawone ako suma wartośc wszyst- kch weść zaslaących produkcę w danym sektorze: xn = n l x + erk, + = 1 k = 1 k = 1 m, t (5) h, Aby prześć do formułowana macerzowe postac nterwałowe analzy weśca-wyśca musmy podobne ak to ma mesce w klasycznym modelu zdefnować tzw. technologczne współczynnk weśca-wyśca, określaące procentowy udzał każdego weśca w całkowtym weścu dla konkretnego sektora: lub w postac macerzowe: x, erk, t a, =, erk, =, th, = xn xn xn h,. (6) A = [ a, ] n n, ER = [ erk ] l n,, T = [ t h, ] m n (7) Na podstawe zależnośc (6) możemy przekształcć główne równane (1) nterwałowego modelu weścawyśca do postac: xout = n = 1 a następne zastąpć e macerzowym równoważnkem: a, xn + f (8) xout = A xn + f (9) Jeżel, dla uproszczena całego toku analzy, założymy, że (I A) = L, przy czym L określamy ako tzw. nterwałową odwrotną, kwadratową macerz Leontefa, to możemy zapsać, że: 1 xout = (I A) 1 f = L f (1) Wykorzystuąc równane (1) esteśmy w stane wyznaczyć prognozę pozomu produkc dla każdego sektora w frme, przedsęborstwe a nawet w całym państwe borąc pod uwagę sumaryczny popyt na rynku. Możlwe est też wyznaczene (w forme procentowego udzału) wszystke wymagane wartośc dla weść zewnętrznych dla weść nnych zasobów w następuący sposób: 1 U = ER (I A) (11) gdze: U = [ u k, ] l n [ v h, ] m n V =. 1 V = T (I A), (12) Istnee równeż możlwość wyznaczena tzw. sumarycznych wartośc tu dla weść zewnętrznych oraz tv dla weść nnych zasobów, które są wyrażone w odpowednch ednostkach: tu = U f (13) tv = V f (14) Gdy założymy, że pe k, k = 1,, l oznaczać będze ednostkową cenę zasobu dostarczanego do weśca zewnętrznego k, oraz że po h, h = 1,, g, zawera nformacę o ednostkowym koszce nnego zasobu do

7 starczanego w czase okresu produkcynego, to całkowty koszt tc funkconowana poszczególnych sektorów może być wyznaczony na podstawe zależnośc : l m tc = pe k u k, + po h v h, k = 1 h= 1 f (15) Wykorzystuąc tak sform ułowany nterwałowy model weśca-wyśca, można oszacować welkość produkc dla wszystkch wyrobów (produktów), koszty funkconowana sektorów oraz lość wymaganych zasobów weścowych. Mechanzm ten pomaga unknąć sytuac nadprodukc albo nadmarowego zużyca surowców. 4. BUDOWA I PRAKTYCZNY PRZYKŁAD INTERWAŁOWEJ TABELI WEJŚCIA-WYJŚCIA Sformułowana powyże nterwałowa analza weśca zwązany z ną model, operaą sę na danych zgromadzonych w specalne tabel, zwane nterwałową tabelą weśca-wyśca. Zawera ona nformace o welkośc produkc w danym sektorze, o zapotrzebowanu na poszczególne surowce półprodukty, ale przede wszystkm e struktura zawera schemat połączeń mędzysektorowych. Dane do budowy te tabel można uzyskać od menadżerów ksęgowych nstytuc dla które przeprowadzamy analzę. Typowa nterwałowa tabela weśca-wyśca, którą można stosować w wększośc zagadneń gospodarczych, przedstawona est w tabel 3. Je tworzene podzelone est na klka etapów: budowane zależnośc pomędzy różnym sektoram; na tym etape wszystke sektory musmy podzelć na dwe grupy: na sektory produkcyne sektory usługowe obsługuące sektory produkcyne lub nne sektory. Na weśca każdego sektora dostarczane są różnorodne zasoby od których zależy ego funkconowane, natomast wyśce sektora opsue pozom ego sprzedaży lub sprzedaży zapasów. kompletowane zewnętrznych weść dla wszystkch sektorów; Wymagane zewnętrzne weśca obemuą surowce nne materały, take ak ole napędowy, elektryczność zasoby wody, które są pośredno wymagane w trakce wytwarzana akegoś wyrobu. Ta część tabel weśca-wyśca est przydatna do uzyskana nformac na temat popytu (zapotrzebowana) na wszystke typy materałów. Tabela 3. Kompletna tabela dla nterwałowe gospodarcze analzy weśca-wyśca Wewnętrzne weśca Sektor produkcyny 1 Sektor produkcyny n Sektor usługowy n+1 Sektor usługowy m Wewnętrzne wyśca Sektor produkcyny 1,, n x 1,1 x 1,n x n,1 x n,n Sektor usługowy n+1,, m x1,n+1 x 1,m f 1 x x n,n+1 n,m Końcowe wyśca Sprzedaż zapasy f n Całkowte wyśce sektora xout 1 xout n (Ilość ednostek) x n+1,1 x n+1,n xout n+1 x m,1 xm,n xout m (Wartość) - 7 -

8 Zewnętrzne weśca Materał produkcyny 1 er 1,1 er 1,n Materał produkcyny k er k,1 er k,n Półprodukt k+1 Półprodukt l er k+1, 1 er k+1,n 1 er er l, l,n er k+1,n+1 er l,n+1 er k+1,m er l,m (Ilość ednostek) (Wartość) Weśca dla nnych zasobów Pracownk 1 t 1,1 (Ilość ednostek) Pracownk g-5 t g-5,n Pracownk pośrednczący g-4 t g-4,1 t g-4,n t g-4,n+1 t g-4,m (Wartość) Ubezpeczene g-3 t g-3,1 t g -3,n t g-3,n+1 t g-3,m (Wartość) Amortyzaca g-2 t g- 2,1 t g -2,n t g-2,n+1 tg-2,m (Wartość) Prema g-1 t g -1,1 t g-1,n t g-1,n+1 t g-1,m (Wartość) Inne zasoby g t g,1 t g,n t g,n+1 t g,m (Wartość) Całkowte weśce dla sektora xn 1 xn n xn n+1 xn m uzupełnane tabel weścam nnych zasobów; Weśca nnych zasobów w przedsęborstwe, w zwązku z celam produkcynym, mogą zawera ć nformace o: pensach zatrudnonych pracownków, amortyzac urządzeń, ubezpeczenach, podatkach, prem td. skompletowane wszystkch danych w forme edne zntegrowane tabel weśca-wyśca Praktyczny przykład kompletne nterwałowe tabel weśca-wyśca lustrue tabela 4 zaczerpnęta z pracy [15]

9 Tabela 4. Kompletna nterwałowa tabela dla analzy weśca-wyśca kosztów produkc frm farbuących materały tekstylne [15]. Wewnętrzne wyśca Sektor produkcyny Sektor usługowy Sprzedaż I II Sektor Sektor Sektor Sektor R&D fnansowy bznesu nżyner zarządzana Sektor Końcowe wyśce Całkowte wyśce dla sektora Wewnętrzne weśca Sektor produkcyny I m Sektor produkcyny II m Sektor fnansowy [15788,16247] [9421,9696] [2529,25943] $ Sektor bznesu [17119,18888] [1216,11272] [27335,316] $ Sektor nżyneryny [14995,1543] [8948,927] [23943,24637] $ Sektor zarządzana [22323,22838] [13321,13629] [35644,36467] $ R&D sektor [1613,16656] [9625,994] [25755,26596] $ Zewnętrzne weśca Materał 1 [219,22] [995,1] [3185,32] Kg Materał 2 [218,22] [194,11] [3274,33] Kg Materał 3 [845,85] [189,19] [2735,275] Kg Materał 4 [447,45] [345,35] [792,8] Kg Materał 5 [129,13] [164,17] [293,3] Kg Materał 6 [286,29] [696,7] [982,99] Kg Materał 7 [3587,36] [1491,15] [578,51] Kg Środk pomocowe [348,35] [176,18] [524,53] Kg Konserwaca [38,45] [24,26] [1,12] [72,83] $ Palwo [55,56] [335,34] [885,9] $ Materały pśmenncze [12,14] [25,3] [14,15] [65,8] [35,4] $ Inne [15,2] [15,19] [22,25] [32,35] [28,3] [15,16] [127,145] $ Inne weśca Pracownk 1 [575,58] [375,38] [95,96] godzny Pracownk 2 [62563] [396,4] [121,13] godzny Pracownk 3 [313,32] [185,19] [498,51] godzny Pracownk 4 [456,46] [286,29] [742,75] godzny Pracownk pośredn [245, [225, [235, [345, [245, [1295,132] $ 25] 23] 24] 35] 25] Opłaty za usług [58,72] [44,47] [25,27] [1,12] [9,1] [23,25] [8,85] [1147,1259] $ Amortyzaca [53,55] [45,47] [7,8] [11,12] [6,7] [45,5] [149,197] $ Preme [1,3] [1,25] [,15] [,16] [,13] [,15] [,2] [2,134] $ Opłaty kontraktowe [25,3] [23,28] [4, [35,4] [483,698] $ 6] Opłaty za telefon [13,15] [4,5] [8,1] [25,3] [6,8] [92,113] $ Ubezpeczene [35,4] [35,36] [9,1] [13,15] [14,15] [9,1] [7,8] [122,134] $ Kontrola zaneczyszczeń [83,89] [61,64] [144,153] $ Zaneczyszczene wody [443871,542555] [348756,426293] [792627,968848] $ Zaneczyszczene powetrza [21668,22454] [11668,1291] [33336,34545] $ Opłaty za wodę [2424,25284] [19146,19866] [43215,4515] $ Inne [15,2] [1,13] [9,1] [18,2] [9,11] [5,8] [1,12] [76,81] $ Całkowte weśce dla sektora [2529, ] [27335, 316] [23943, 24637] [35644, 36467] [25755, 26596] Jednostka

10 5. PROPOZYCJA ROZWIĄZANIA DLA INTERWAŁOWEGO MODELU WEJŚCIA-WYJŚCIA Naczęśce spotykane rozwązana dla nterwałowego modelu weśca-wyśca bazuą na poszukwanu pewnych podmodel, które maą na celu znaleźć wartośc osobno dla lewych prawych granc nterwałów opsuących koszt welkość produkc. Rozwązana take, ne elmnuące z modelu odwracana macerzy produkcyne, maą newele wspólnego z zasadam rządzącym arytmetyką przedzałową. W odróżnenu od nch proponowane przez nas rozwązane w pełn wykorzystue metodologę nterwałową, a ponadto w aspekce wyznaczana welkośc produkc w poszczególnych sektorach elmnue całkowce koneczność odwracana nterwałowe macerzy (I A) współczynnków weśca-wyśca. Możemy zauważyć, że równane (1), opsuące welkość prognozowane produkc da sę przekształcć do równoważne postac: (I A) xout = f (16) Zależność (16) est nczym węce nż lnowym nterwałowym równanem macerzowym. Problem rozwązana modelu weśca-wyśca redukue sę węc do problemu znalezena optymalnego algorytmu rozwązywana nterwałowych układów równań, który oszacue wartość produkc xout. Badana prowadzone przez nas nad algorytmem Gaussa z pracy [1] przynosły nenalepsze wynk, obarczone zbyt dużą nepewnoścą prognozowanych wynków produkc. Dzee sę tak z powodu bezpośrednego zastosowana arytmetyk nterwałowe do algorytmu operuącego na lczbach rzeczywstych. Take dzałane ne uwzględna w żaden sposób różnc właścwośc arytmetyk przedzałowe tradycyne. Ponże przedstawmy proponowane przez nas rozwązane problemu (16). Nech mamy układ n zwykłych równań lnowych w postac macerzowe A*x = b. Stosuąc rozkładu macerzy A na dwe macerze trókątne otrzymuemy algorytm dwuprzebegowy, na który składaą sę postępowane wprost, polegaące na elmnac do zer elementów, leżących pod dagonalną macerzy A, oraz postępowane odwrotne. Przedzałowy odpowednk metody Gaussa budue sę poprzez zastosowane analogcznych etapów przetwarzana macerzy A oraz wektorów x b, których elementy składowe będą mały postać: [ ] a, a ] a =, [ x ] = x, x ], oraz [ b ] = b, b ], przy czym, = 1, 2,, n. W wynku rekurencynych [ [ [ przekształceń, zgodne z klasycznym algorytmem Gaussa, otrzymuemy następuący algorytm: a) Etap postępowana wprost: [ m, m ] [ a, a ]/[ a, a ]; [ a k, a k ] = [ a k, a k ] [ m, m ]*[ ak, ak ] [ m, m ] [ a, a ]/[ a, a ]; [ b, b ] = [ b, b ] [ m, m ]*[ b, b ] = ; (17) = (18) gdze = 1, 2,, n, = +1, ; k =,,n. b) Postępowane odwrotne: = n, n s = [, s] [ a, a ]*[ x, x ]; =, = = (19) [ x, x ] ([ b, b ] [ s, s] ) /[ a, a = ] (2) gdze: = n, n - 1,,; = n, n - 1,,, [m ], [s ] zmenne pomocncze. W wynku otrzymuemy przedzałowy wektor [x] = [[ x 1, x1],[ x2, x2 ],,[ x n, xn ]]

11 Skupamy sę na etape postępowana odwrotnego. Równane (2) przewdue welokrotne dzelene wartośc przedzałowe przez przedzał. Poneważ, ak wadomo, operaca dzelena powodue znaczne rozszerzene przedzału wynkowego, proponuemy następuące rozwązane tego problemu. Aby wyelmnować z równana dzelene należy e przekształcć do równo ważne postac: [ a ]*[ x] [ b] = [], gdze przez zaps [] rozumemy przedzałową postać zera. Z zasad arytmetyk przedzałowe [1], wynka, że [ a, a] [ a, a] = [ a a, a a].. To znaczy, że odemowane od sebe te same wartośc dae w wynku symetryczny wokół rzeczywste lczby zero przedzał. Zgodne z tą wdzą możemy zdefnować [] ako następuący przedzał []=[-y, y], gdze y oznaczać będze symetryczną odchyłkę wokół zera rzeczywstego. Ostateczne nasze równane będze meć postać: [ a, a] *[ x, x] [ b, b] = [ y, y] (21) Otrzymane równane przedzałowe można zgodne z zasadam arytmetyk przedzałowe przedstawć ako: [ a * x, a * x] [ b, b] = [ y, y]. (22) Powyższe równane może być z kole rozpsane na dwa równana dotyczące lewych prawych granc przedzałów borących w nm udzał: a * x b = y, a * x b = y. W wynku te transformac otrzymalśmy układ dwóch równań z trzema newadomym. Aby uproścć otrzymany układ równań możemy oba równana dodać stronam w wynku czego otrzymamy edno równane lnowe z dwoma newadomym: (23) a * x b + a * x b =. (24) Należałoby sę teraz zastanowć, w ak sposób możemy otrzymać rozwązana szczegółowe w ake one będą postac? W celu rozwązana równana (24) musmy dodać pewne ogranczene. Nabardze naturalnym w przypadku wększośc zagadneń fzyk albo ekonomk wygląda ogranczene typu x >, czyl przepuszczene, że wartość pozyskwanego przez nas parametru może być wyłączne dodatne. Gdy przeanalzuemy równane (24) maąc na uwadze ogranczene typu x >, to dodzemy do wnosku, że gdy warto ść x będze namnesza, czy l x =, to x osągne wartość maksymalną, z czego wynka, że długość przedzału [ x, x ] będze nawększa. Gdy wartość x przesuwać będzemy na prawo od zera to w pewnym momence rozpętość przedzału [ x, x ] osągne wartość, gdyż x przesuwaąc sę w kerunku początku układu współrzędnych zrówna sę wartoścą z x. Oczywśce, że w praktyce x ne obowązkowo pownno być równym zero. To znaczy, że w ogóle x = x, gdze x ogranczene, wynkaące z sensu rozwązywanego problemu. Na perwszy rzut oka wprowadzene takego rodzau ogranczeń w algebrze lnowe (co prawda, przedzałowe) wygląda dość nezwykłe. Jednak wystarczy wspomneć, że w zagadnenach programowana lnowego ogranczena są uż nezbędnym elementem zagadnena. Wprowadzaąc ogranczena w nasze sytuac faktyczne ne zmneszamy dokładnośc otrzymanego rozwązana, poneważ w realnych zagadnenach możlwe grancy poszukwanego rozwązana z reguły są wadome

12 Rozpatrywane przypadk podsuwaą rozwązane postac, aką przyme w nasze metodze wynk dzelena dwóch przedzałów. W wynku otrzymamy ne przedzał, lecz lczbę rozmytą (ang. fuzzy number) w postac trókątne ~ x =[l, m, u], gdze l, m, u oznaczaą charakterystyczne dla trókątne lczby rozmyte parametry: l-lewa granca, u-prawa granca, m - środek przedzału. Rozważmy procedurę otrzymana rozmytego wynku, gdy przymuemy x = x, gdze x mnmalna możlwa wartość dolne grancy. Wtedy z równana (24) otrzymamy maksymalną wartość x z kole maksymalną szerokość przedzału w([x]) = x - x = w max. Gdy przesunemy x na prawo, otrzymamy mnesze x mneszą szerokość przedzałowego rozwązana w. Oczywśce względną szerokość przedzału w/ w max możemy traktować ak naturalny względny stopeń nepewnośc przedzałowego rozwązana. Jeżel skoarzyć stopeń nepewnośc w/ w max z α- pozomem lczby rozmyte, możemy przedstawć cągły zbór możlwych przedzałowych rozwązań (równane (24)) w forme lczby rozmyte, przedstawone na rys. 1. Rys. 1. Rozmyty wynk równana nterwałowego Podsumowuąc możemy stwerdzć, że zaproponowana przez nas metoda rozwązywana nterwałowego modelu weśca-wyśca dae w wynku rozmyto-nterwałowe wartośc prognozowane produkc. Analzuąc take wynk esteśmy w stane określć nabardze prawdopodobny pozom produkc odpowadaący α -pozomow α =1., oraz prawdopodobną maksymalną wartość produkc. Wyznaczene wartośc kosztów dzałalnośc poszczególnych sektorów wymaga znalezena wartośc macerzy U V w równanach (11) (12), w których dla przykładu z tabel 4. ER T maą następuącą postać [.95,.96] [.95,.96] [.36,.37] [.19,.2] [.56,.57] [.12,.13] ER = [.156,.157] [.14,.15] [.17,.2] [.2391,.2435] [.1,.1] [.66,.67] [.72,.73] [.126,.127] [.22,.23] [.19,.113] [.46,.47] [.99,.1] [.11,.12] [.16,.17] [.2133,.2267] [.1,.1] [.46,.56] [.8,.1] [.8,.11] [.13,.15] [.38,.42] [.7,.8] [.38,.47] [.24,.31] [.5,.6]

13 [.24,.25] [.24,.25] [.26,.27] [.26,.27] [.13,.14] [.12,.13] [.19,.2] [.18,.19] [.2522,.313] [.2933,.3133] [.23,.24] [.3,.31] [.4,.13] [.7,.17] T = [.11,.13] [.15,.19] [.15,.17] [.23,.24] [.379,.387] [.47,.4267] [.193,.2359] [.2325,.2842] [.94,.98] [.78,.81] [.152,.199] [.1268,.1324] [.7,.9] [.7,.9] [.9444,.9917] [.746,.8414] [.9538,1.24] [.9461,.9819] [.9212,.977] [.96,.17] [.33,.44] [.37,.42] [.63,.7] [.31,.33] [.2,.3] [.4,.5] [.1,.2] [.17,.19] [.,.6] [.,.59] [.,.54] [.,.42] [.,.78] [.1326,.2195] [.96,.112] [.5,.6] [.133,.183] [.32,.42] [.69,.84] [.23,.31] [.35,.4] [.43,.55] [.57,.63] [.25,.28] [.26,.31] [.35,.4] [.6,.73] [.37,.46] [.14,.22] [.38,.47] Wydae sę, że nawększym problemem stane sę nemożlwość wyelmnowana odwracana macerzy 1 (I A), gdze A, dla przykładu z tabel 4 ma postać: [.686,.76] [.625,.646] A = [.744,.825] [.681,.751] [.652,.671] [.597,.614] [.971,.993] [.888,.99] [.71,.724] [.642,.663] Elmnaca tego problemu zostane przedstawona w nnych pracach, maących na celu zastosowane modelu Leontefa do rozwązywana problemów ekonomcznych gospodarczych. 6. WNIOSKI W nnesze pracy przedstawlśmy edno z kluczowych zagadneń wspomagana podemowana optymalzowanych decyz ekonomcznych w różnorodnych sektorach gospodarczych. Zaproponowane przez nas rozwązane nterwałowe analzy weśca-wyśca pozwala na wyelmnowane kłopotlwego etapu odwracana macerzy nterwałowe poprzez zastosowana sformułowanego przez nas zmodyfkowanego algorytmu rozwązywana układów równań nterwałowych, a ponadto umożlwa uzyskane rozmytego opsu prognozowane welkośc produkc w sektorach w przypadku, gdy tabela weśca-wyśca zawera co nawyże dane w postac nterwałowe. W następne pracy przedstawone zostane podeśca pozwalaące na elmnacę z równań (11) (12) problemu odwracana macerzy nterwałowych. LITETRATURA [1] Moore R.E., Interval analyss, Englewood Clffs. N.J., Prentce-Hall [2] Markov S.M., A non-standard subtracton of ntervals, Serdca 1977, 3, [3] Hansen E., A generalzed nterval arthmetc. Interval Mathematcs/ Ed. by K.Ncke, Lecture Notes n Computer Scence, 29, Berln - Hedelberg: Sprnger-Verl. 1975, [4] Sendov B., Some topcs of segment analyss, Interval Mathematcs, 198/ Ed. by K.Nckel. N.Y.e.a.: Academc Press 198, p [5] Leontef, W. W. (1985). The Choce of Technology, Scentfc Amercan, pp [6] Leontef, W. W. (1949).The Structure of the Amercan Economy, , Oxford Unversty Press, London & New York. [7] Leontef, W. W. and Danel, F. (1972). "Ar Polluton and the Economc Structure: Emprcal Results of Input-Output Computatons." Input-Output Technques. Brody, A. and Carter, A. P. edtors. North-Holland Publshng Company. [8] W. Leontef, Quanttatve nput-output relatons n the economc system of the Unted States, Revew of Economcs and Statstcs 18 (1936) [9] W. Leontef, Studes n the Structure of the Amercan Economy, Oxford Unversty Press, New York, [3] W. Leontef, The dynamc nverse, n: A.P. Carter, A. Brody (Eds.), Contrbuton to Input-Output Analyss, vol. 1, North-Holland, Amsterdam, 197, pp

14 [1] D.G. Luenberger, A. Arbel, Sngular dynamc Leontef systems, Econometrca 45 (1977) [5] D.B. Szyld, Condton for the exstence of a balanced growth soluton for the Leontef dynamc nput-output model, Econometrca 53 (1985) p [11] D. Camps, A. La Bella, Transportaton supply and economc growth n a mult-regonal system, Envronment and Plannng (A) 2 (1988) [12] C.A. Pasurka, The short-run mpact of envronmental polluton costs to US product prces, Journal of Envronmental Economcs and Management 11 (1984) [13] J.J. Rhee, J.A. Mranowsk, Determnaton of ncome, producton and employment under polluton control: An nput-output approach, Revew of Economcs and Statstcs 66 (1) (1984) [14] R.E. Moore, Method and Applcaton of Interval Analyss, SIAM, Phladelpha, USA, [15] C.C. Wu, N.B. Chang, Grey nput-output analyss and ts applcaton for envronmental cost allocaton, European Journal of Operatonal Research 145 (23), p [16] F.E. Brggs, On problems of estmaton n Leontef models, Econometrca 25 (1975) [17] G.R. West, A stochastc analyss of an nput-output model, Econometrca 54 (1986) [18] C.W. Bullard, A.V. Sebaled, Monte Carlo senstvty analyss of nput-output models, The Revew of Economcs and Statstcs 7 (4) (1988)