MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII

Transkrypt

1 MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Spis treści Litertur. Pojęci wstępne.. Kwntyfiktory.. Zbiory. Dziłni n zbiorch. Elementy lgebry liniowej 3.. Mcierze. Dziłni n mcierzch 3.. Wyznczniki. Mcierze odwrotne 4.3. Ukłdy równń liniowych 5 3. Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej Funkcje. Pojęci wstępne Wielominy. Funkcje wymierne 3.3. Funkcje trygonometryczne 3.4. Funkcj wykłdnicz. Funkcj potęgow Funkcj logrytmiczn Złożenie funkcji i funkcje i odwrotne Funkcje cyklometryczne Ciągi. Szereg geometryczny Liczb e 9 4. Elementy rchunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej 4.. Grnic funkcji. Ciągłość funkcji 4.. Grnice niewłściwe. Grnice w nieskończoności. Asymptoty funkcji 4.3. Pochodn funkcji Ekstrem loklne i globlne Inne zstosowni pochodnej 8 5. Elementy teorii cłki Riemnn funkcji jednej zmiennej Mir Jordn Cłk Riemnn funkcji jednej zmiennej Metody obliczni cłki Riemnn funkcji jednej zmiennej Zstosowni cłki Riemnn funkcji jednej zmiennej Funkcje dwóch zmiennych Zbiory n płszczyźnie i w przestrzeni Pochodne cząstkowe Ekstrem loklne i globlne funkcji dwóch zmiennych Elementy teorii cłki Riemnn funkcji dwóch zmiennych Cłk Riemnn funkcji dwóch zmiennych Metody obliczni cłki Riemnn funkcji dwóch zmiennych Zstosownie cłek Riemnn funkcji dwóch zmiennych 43 Litertur [] W. Krysicki, L. Włodrski Anliz Mtemtyczn w zdnich, PWN, Wrszw, 996. [] F. Lej, Rchunek różniczkowy i cłkowy, PWN, Wrszw, 978. [3] G. M. Fichtenholz Rchunek różniczkowy i cłkowy, PWN, Wrszw, 995. [4] P. Kjetnowicz, J. Wierzejewski Algebr z geometrią nlityczną, PWN, Wrszw, 8. [5] R. Leitner Zrys mtemtyki wyższej dl studentów, WNT, Wrszw 997. Dte: 7 styczni 6.

2 . Pojęci wstępne.. Kwntyfiktory. Zwrot dl kżdego nzywmy kwntyfiktorem dużym i oznczmy (łc. ffirmo=potwierdzć). Zwrot istnieje tkie, że nzywmy kwntyfiktorem młym i oznczmy (łc. eisto=istnieć)... Zbiory. Dziłni n zbiorch. Zbiory oznczmy njczęściej dużymi litermi, np. A, B, C, zś elementy zbioru młymi litermi. Jeśli jest elementem zbioru A, piszemy Jeśli nie jest elementem zbioru A, piszemy A. / A. Zbiór nie posidjący żdnego elementu nzywmy zbiorem pustym i oznczmy. Mówimy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B (lub zbiór B zwier zbiór A), co zpisujemy A B, jeśli kżdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Relcj zwierni nzywn jest też inkluzją. Zuwżmy, że A = B wtedy i tylko wtedy, gdy A B i B A. Jeśli A B i A B, to piszemy A B. Definicj... Dl dowolnych zbiorów A, B definiujemy ich sumę mnogościową iloczyn mnogościowy lub część wspólną orz różnicę mnogościową A B := { : A lub B}, A B := { : A i B} A \ B := { : A i / B}. Będziemy stosowć nstępujące oznczeni N := {,,... } zbiór liczb nturlnych; Z := {,,,,,... } zbiór liczb cłkowitych; Q := { p q : p, q Z, q } zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych. Formln definicj wykrcz poz mterił tego kursu. Pierwsze ksjomtyczne definicje R pojwiły się w XIX wieku (Méry (869), Cntor (87), Dedekind 3 (87)). Dl dowolnego zbioru A R niech A + := { A : }. Uwg... Pomiędzy powyższymi zbiormi zchodzą nturlne inkluzje Pondto, np. Z + = {,,,... }. N Z Q R. Definicj..3. Dl dowolnych, b R, < b, definujemy przedziły domknięty [, b] := { R : b}, otwrty (, b) := { R : < < b}, jednostronnie otwrte (, b] := { R : < b}, [, b) := { R : < b}, nieogrniczone (, ) := { R : < }, (, b) := { R : < b} i (, ) := R. Przykłd..4. Niech A = (, ], B = [, ). Wtedy A B = [, ], A B = (, ), A \ B = {} i B \ A = [, ]. Zdnie..5. Wyznczyć A B, A B, A \ B i B \ A, jeśli () A = R, B = R, () A = Q, B =, (3) A = Z, B = [, ], (4) A = (, ), B = {, }, Hugues Chrles Robert Méry (ur. listopd 835 w Chlon-sur-Sône, Sône-et-Loire, zm. lutego 9 w Dijon) mtemtyk frncuski. Georg Ferdinnd Ludwig Philipp Cntor (ur. 3 mrc 845 w Snkt Petersburgu, zm. 6 styczni 98 w sntorium w Hlle) mtemtyk niemiecki. 3 Julius Wilhelm Richrd Dedekind (ur. 6 pździernik 83 w Brunszwiku, zm. lutego 96) mtemtyk niemiecki.

3 (5) A = {}, B = (, ). (6) A = [, 4), B = (, 6].. Elementy lgebry liniowej.. Mcierze. Dziłni n mcierzch. Jednym z podstwowych pojęć lgebry są mcierze. Definicj... Mcierzą wymiru m n nzywmy prostokątną tblicę liczb j,k R ułożonych w m wierszy i n kolumn.,,...,n A = [ j,k ] = [ j,k ] j=,...,m =,,...,n k=,...,n m, m,... m,n Zbiór mcierzy wymiru m n oznczmy przez R m n. Liczb j,k jest elementem mcierzy A stojącym w wierszu j i kolumnie k. Jeśli m = (odp. n = ) to mcierz A nzywmy wierszową (odp. kolumnową). Jeśli m = n, to mcierz nzywmy kwdrtową, n jej stopniem. Mcierz złożoną z smych zer oznczmy przez i nzywmy mcierzą zerową. Mcierz kwdrtową złożoną z jedynek n głównej przekątnej i smych zer poz nią I n := R n n nzywmy mcierzą jednostkową stopni n. Mówimy, że mcierze A = [ j,k ] R m n i B = [b j,k ] R p q są równe (co zpisujemy A = B), jeśli m = p, n = q i j,k = b j,k dl j =,..., m, k =,..., n. Definicj... Jeśli t R, A = [ j,k ] R m n, to określmy iloczyn ta liczby t przez mcierz A wzorem ta := [t j,k ] R m n. Przykłd..3. [ ] [ 3 6 = 4 ] 6 4. Definicj..4. Jeśli A = [ j,k ], B = [b j,k ] R m n, to określmy sumę A + B mcierzy A i B wzorem A + B := [ j,k + b j,k ] R m n, zś różnicę A B mcierzy A i B wzorem A B := A + ( )B. Przykłd..5. () Jeśli A, R m n, to A + = + A = A (mcierz zerow jest elementem neutrlnym ] dodwni ] mcierzy). [ ] () 3 =. [ [ 3 4 Zdnie..6. Obliczyć ([ ] () () [ 4 [ ] [ ] ]), Definicj..7. Jeśli A = [ j,k ] R m l, B = [b j,k ] R l n, to określmy iloczyn AB mcierzy A i B wzorem AB = [c j,k ] R m n, gdzie l c j,k := j,i b i,k. i= Przykłd..8. () Jeśli A R m n, to AI n = I m A = A (mcierz jednostkow jest elementem neutrlnym [ mnożeni mcierzy). ] [ () 3 4 ] [ ] = Zdnie..9. () [ 4 ]() [ Obliczyć 6 3 ] 4, 3

4 (b) ([ ] [ ]) [ ] 4 4, [ ] (c) 3 [ 3 4 ], 4 [ 56 ] (d) [ 3 4 ]. 7 8 () Znleźć dwie mcierze A, B R tkie, że AB BA. (3) Znleźć niezerowe mcierze A, B R tkie, że AB =. Czy możliwe jest znlezienie niezerowej mcierzy A R tkiej, że A =? Definicj... Jeśli A R m n, to określmy mcierz trnsponowną A T mcierzy A wzorem gdzie [ A T := [b j,k ] R n m, b j,k := k,j. Uwg... Zuwżmy, że opercj trnsponowni poleg n zminie wierszy n kolumny, zś kolumn n wiersze, przy czym kolejność wierszy i kolumn jest zchown. ] T [ Przykłd... = ]. Zdnie..3. () ( [ () Obliczyć ] T [ ] T ), (b) ( [ ] [ ]) T 4. () Niech A = [ ]. Obliczyć AA T, A T A i (A T A) T. (3) Wyznczyć wszystkie mcierze A R tkie, że A = A T. (4) Wyznczyć wszystkie mcierze A R tkie, że A = A T... Wyznczniki. Mcierze odwrotne. Kżdej mcierzy kwdrtowej A przyporządkowujemy liczbę zwną wyzncznikiem, oznczną det A lub A. Poniżej przedstwimy indukcyjną definicję tego pojęci. Definicj... Minorem mcierzy A R m n nzywmy kżdą mcierz kwdrtową powstłą z mcierzy A przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn. Definicj... Niech A = [ j,k ] R n n. Minorem odpowidjącym elementowi j,k mcierzy A nzywmy minor mcierzy A powstły przez skreślenie wiersz j i kolumny k. Oznczmy go symbolem M j,k. Zuwżmy, że M j,k R n n. Definicj..3 (Indukcyjn definicj wyzncznik). Niech A = [ j,k ] R n n. Jeśli A = [] R, to przyjmujemy det A :=. Nstępnie, począwszy od n =, dl kolejnych liczb nturlnych powtrzmy nstępujące kroki () definiujemy dopełnienie lgebriczne d j,k elementu j,k jko d j,k := ( ) j+k det M j,k ; () dowodzimy, że sum j, d j, + j, d j, + + j,n d j,n nie zleży od wyboru j =,..., n; (3) definiujemy wyzncznik mcierzy A jko gdzie j N jest dowolną liczbą, j n. det A := j, d j, + j, d j, + + j,n d j,n, Uwg..4. W prktyce, dl n = powyższ definicj sprowdz się do nstępującego wzoru b c d = d bc, dl n = 3, dzięki regule Srrus 4, b c b c 3 b 3 c 3 = b c 3 + b 3 c + 3 b c 3 b c b 3 c b c 3. 4 Pierre Frédéric Srrus (ur. mrc 798 w Sint-Affrique, zm. XI 86) mtemtyk frncuski. 4

5 Przykłd = 5, 4 = 3. 3 Zdnie..6. Obliczyć 5, sin cos cos sin, 3 i 3 Definicj..7. Njwyższy stopień minor o niezerowym wyznczniku niezerowej mcierzy A R m n nzywmy rzędem mcierzy A i oznczmy R(A). Pondto, przyjmujemy R() :=. Przykłd..8. Niech A = [ ] [ ] 3 6, B =. Wtedy R(A) = R(B) =. 4 Zdnie..9. Znleźć rzędy nstępujących mcierzy [ 5 ], [ 4 ], [ ] [, ] [ ] 3 4, 3,. [ ], 3 4 [ 3 ], [ ]. Definicj... Niech A = [ j,k ] R n n. Mcierz A D := [d j,k ] R n n, gdzie d j,k jest dopełnieniem lgebricznym elementu j,k nzywmy mcierzą dopełnień lgebricznych mcierzy A. Przykłd... [ 3 4 ]D = [ ] [ 4 3 ] D [ 4 ], = ] D. Zdnie... () Obliczyć [ 3 4 ]D, [ 3 4 () Wyznczyć wszystkie mcierze A R tkie, że A = A D. Definicj..3. Niech A R n n. Jeśli istnieje mcierz B R n n tk, że BA = AB = I n, to mcierz A nzywmy odwrclną, zś mcierz B nzywmy mcierzą odwrotną do A i oznczmy A := B. Uwg..4. () Nie kżd mcierz kwdrtow jest odwrcln (np. A = nie jest odwrcln). () Jeśli mcierz odwrotn istnieje, to jest jedyn. Twierdzenie..5. Niech A R n n. Mcierz A jest odwrcln wtedy i tylko wtedy gdy det A. Pondto, jeśli A istnieje, to A = det A (AD ) T. [ Przykłd..6. Niech A = [ 3 4 ], B = 3 4 Zdnie..7. () Czy mcierze [ cos sin sin cos tk, wyznczyć ich mcierze odwrotne. () Obliczyć [ 4 ], [ 3 4 ]. ]. Wtedy A = ], [ cos sin sin cos [ ] [ /7 /7 3/ / i B = 3/4 /7 3/7 /7 ] ], [ (3) Wyznczyć wszystkie odwrclne mcierze A R tkie, że A = A D., [ ]. ] są odwrclne? Jeśli.3. Ukłdy równń liniowych. Pokżemy terz, jk pojęci mcierzy, wyzncznik i rzędu wykorzystć do rozwiązywni ukłdów równń liniowych. Definicj.3.. Ukłdem m równń liniowych o n niewidomych,..., n nzywmy, +, + +,n n = b, +, + +,n n = b (.).... m, + m, + + m,n n = b m Dl powyższego ukłdu definiujemy,,...,n,,...,n b A :=,,...,n , U :=,,...,n b m, m,... m,n m, m,... m,n b m Mcierz A nzywmy mcierzą główną, zś U nzywmy mcierzą uzupełnioną ukłdu (.). Rozwiązniem ukłdu (.) nzywmy kżdy ukłd n liczb,..., n R spełnijących równni (.). Ukłd równń (.) nzywmy 5

6 sprzecznym, jeśli nie m on rozwiązń, oznczonym, jeśli m on dokłdnie jedno rozwiąznie, nieoznczonym, jeśli m on nieskończenie wiele rozwiązń. Uwg.3.. Kżdy ukłd postci (.) jest sprzeczny, oznczony lub nieoznczony. Pondto, R(A) min{r(u), n} min{m, n + }. Twierdzenie.3.3 (Kronecker 5 Cpelli 6 ). Ukłd (.) jest () sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) < R(U); () oznczony wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(U) = n; (3) nieoznczony wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(U) < n. Uwg.3.4. Jeśli ukłd (.) nie jest sprzeczny, to istnieje liczb k Z + tk, że k = R(A) = R(U). Poniewż k min{m, n}, więc pomijjąc równni, których współczynniki nie były wykorzystne w obliczniu rzędów mcierzy A i U, trktując zmienne, których współczynniki nie były wykorzystne w obliczniu rzędów mcierzy A i U jko prmetry otrzymujemy, n mocy Twierdzeni Kronecker Cpellego, oznczony ukłd k równń liniowych z k zmiennymi. Twierdzenie.3.5 (Wzory Crmer 7 ). Jeśli R(A) = R(U) = n = m, to jedynym rozwiązniem ukłdu (.) są liczby j = det A j, j =,..., n, det A gdzie A j ozncz mcierz powstłą z mcierzy A przez zstąpienie w niej kolumny j przez kolumnę wyrzów wolnych (tj. przez kolumnę n + mcierzy U). Przykłd.3.6. (.) Łtwo sprwdzmy, że () Rozwiązć ukłd równń + y + z = y z = 3 y + z = A = 6, A = 6, A y =, A z = 6, skąd =, y =, z = jest jedynym rozwiązniem ukłdu (.). () Rozwiązć ukłd równń (.3) { 4y + 8z 6u = 7 5 y + z =, 5. (.4) (.5) Rząd mcierzy głównej A = [ 4 8 ] 6 5 wynosi R(A) =, gdyż np. minor utworzony ze współczynników przy i u 6 5 = 3, orz rząd mcierzy uzupełnionej U wynosi R(U) =, gdyż ten sm minor występuje w mcierzy U. Ztem r(a) = r(u) = < 4 = n, gdzie n jest liczbą zmiennych ukłdu równń. Ukłd jest więc nieoznczony, czyli m nieskończenie wiele rozwiązń. Przenosimy niewidome nie objęte minorem (.4), tj. niewidome y i z, n prwą stronę { 6u = 7 + 4y 8z. 5 =, 5 + y z. 5 Leopold Kronecker (ur. 7 XII 83 w Legnicy, zm. 9 XII 89 w Berlinie) mtemtyk niemiecki. 6 Alfredo Cpelli (ur. 5 VIII 855, zm. 8 I 9 w Mediolnie) mtemtyk włoski. 7 Gbriel Crmer (ur. 3 VII 74 w Genewie, zm. 4 I 75) szwjcrski mtemtyk i fizyk. 6

7 Ukłd (.5) jest oznczony, gdyż wyzncznik jego mcierzy głównej (.4) jest niezerowy. Zstosujemy wzory Crmer. Poniewż [ ] [ ] [ ] A 6 =, A 7 + 4y 8z 6 5 =, A 7 + 4y 8z, 5 + y z u =, 5, 5 + y z skąd A = 3, A = y z, A u = 5 + y 4z 35 y + 4z =, ztem rozwiąznie ukłdu (.5) m postć { A = A = 5 + y 4z u = A u A = 3. W konsekwencji, rozwiązniem ukłdu (.3) jest kżd czwórk liczb postci = 5 + y 4z y R z R u = 3 Zdnie.3.7. () Rozwiązć ukłdy równń + y + z = () + y + 3z =, y z = + 3y 4z = 4 (b) 3 + y z =, 4y + 7z = y 6z = 3 (c) y z =, + 3y 3z = + y + z = (d) + 3y 3z =, + 4y z = 4 y = 7 (e) 3 + y = 4, + 3y = { + y + 5z = 4 (f), 3 y + z = 5 { + y + z + u = (g), y z u = + y + z + u = (h) 3 + 4y z + u = y z + u = () Rozstrzygnąć, dl jkich wrtości prmetru R ukłd równń + y z = 9 (.6) + y z = 9 3 4y + z = 5 jest oznczony, nieoznczony, sprzeczny, nstępnie rozwiązć ukłd (.6) dl =. 7.

8 Definicj.3.8. Jeśli dl ukłdu (.) zdefiniujemy dodtkowo mcierze kolumnowe X :=. b Rn, B :=. Rm, n b m zwne, odpowiednio, mcierzą zmiennych orz mcierzą wyrzów wolnych ukłdu (.), to równnie nzywmy równniem mcierzowym ukłdu (.). AX = B Twierdzenie.3.9. Jeśli dl ukłdu (.) m = n orz det A, to X = A B. Przykłd.3.. Rozwiązć równnie mcierzowe y = 3. z Łtwo wyliczmy, że skąd 3 b 3 =, y = 3 = z 6 3 Zdnie.3.. Rozwiązć równni mcierzowe 3 4 y =, z 3.. Funkcje. Pojęci wstępne. y =. z 3. Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej Definicj 3... Niech X R będzie dowolnym zbiorem niepustym. Funkcją f określoną n zbiorze X o wrtościch rzeczywistych (piszemy f : X R) nzywmy przyporządkownie, które kżdej liczbie X przypisuje dokłdnie jedną liczbę y R (piszemy f() = y lub f y). Zbiór X nzywmy dziedziną funkcji f, elementy dziedziny nzywmy rgumentmi funkcji f. Dl dowolnego zbioru A X zbiór f(a) := {y R : A : f() = y} nzywmy obrzem zbioru A przez funkcję f. Zbiór f(x) nzywmy obrzem funkcji f (lub zbiorem wrtości funkcji f), jego elementy nzywmy wrtościmi funkcji f. Wykresem funkcji f : X R nzywmy zbiór Γ(f) := {(, y) R : X, y = f()}. Przykłd 3... () Obrzem funkcji f() =, R, jest zbiór R +. Jej wykresem jest prbol. (b) Obrzem funkcji f() =,, jest zbiór R +. Jej wykresem jest lewe rmię prboli. Definicj Funkcję f : X R nzywmy różnowrtościową, jeśli dl dowolnych rgumentów, X,, mmy f( ) f( ). Uwg Funkcj f : X R jest różnowrtościow wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolnych rgumentów, X zchodzi implikcj f( ) = f( ) = =. Przykłd () Funkcj f() =, R, nie jest różnowrtościow, bo f( ) = f(). (b) Funkcj f() =,, jest różnowrtościow. 8

9 Uwg Jeśli funkcję określmy wzorem nie podjąc jej dziedziny, to zkłdmy, że dziedziną jest zbiór tych rgumentów, dl których wzór m sens. Przykłd Dziedziną funkcji f() = 4 jest przedził [, ]. Jej wykresem jest górny półokrąg o środku w punkcie (, ) i promieniu. Uwg Niech f : X R będzie dowolną funkcją. () Funkcj f jest różnowrtościow wtedy i tylko wtedy, jeśli kżd prost poziom przecin wykres Γ(f) funkcji f w co njwyżej jednym punkcie. () Obrzem funkcji f jest zbiór tych punktów c R, dl których prost poziom o równniu y = c przecin wykres Γ(f) w co njmniej jednym punkcie. Przykłd () Funkcj f() = 4 nie jest różnowrtościow, jej zbiorem wrtości jest przedził [, ]. () Funkcj g() = := m{n Z : n } nie jest różnowrtościow, zbiorem jej wrtości jest Z. (3) Dziedziną funkcji h() = / jest zbiór R \ {}, jest to tkże jej zbiór wrtości, funkcj t jest różnowrtościow. Zdnie 3... () Dl poniższych funkcji wyznczyć dziedzinę, zbiór wrtości, nrysowć ich wykres orz sprwdzić, czy są różnowrtościowe. () f() =, (b) g() =, (c) h() =. () Sprwdzić, czy poniższe funkcje są różnowrtościowe () f() = + +, (b) g() =, (c) h() = /, { (d) i() =, gdy, gdy =, { (e) j() =, gdy, gdy =. Definicj 3.. (Funkcje monotoniczne). Niech I X. Funkcję f : X R, nzywmy rosnącą w zbiorze I, jeśli mlejącą w zbiorze I, jeśli, I < = f( ) f( );, I < = f( ) f( ). Funkcje tkie nzywmy monotonicznymi w zbiorze I. Jeśli I = X, to f nzwywmy funkcją rosnącą (odp. mlejącą). Funkcję rosnącą lub mlejącą nzywmy monotoniczną. Funkcję f : X R nzywmy silnie rosnącą w zbiorze I, jeśli silnie mlejącą w zbiorze I, jeśli, I < = f( ) < f( );, I < = f( ) > f( ). Funkcje tkie nzywmy silnie monotonicznymi w zbiorze I. Anlogicznie określmy funkcję silnie mlejącą, silnie rosnącą, czy silnie monotoniczną. Uwg 3... Funkcj stł jest rosnąc i mlejąc. Przykłd () Funkcj f() = 4 jest silnie rosnąc w przedzile [, ], silnie mlejąc w przedzile [, ], więc w kżdym z tych przedziłów jest silnie monotoniczn, ntomist w przedzile [, ] nie jest monotoniczn. () Funkcj g() = stł n przedziłch postci [n, n+), n N, jest więc n tych przedziłch zrówno rosnąc jk i mlejąc. 9

10 (3) Funkcj h() = / jest silnie mlejąc w kżdym z przedziłów (, ), (, ), nie jest jednk silnie mlejąc. Zdnie Sprwdzić monotoniczność funkcji z Zdni 3.. (). Definicj Funkcję f : X R, określoną w tkim zbiorze X, że X dl dowolnej liczby X, nzywmy przystą, jeśli f( ) = f(), X; nieprzystą, jeśli f( ) = f(), X. Przykłd () Funkcj f() = jest przyst, le nie jest nieprzyst. () Funkcj f() = 3 jest nieprzyst, le nie jest przyst. (3) Funkcj f() = + nie jest ni przyst, ni nieprzyst. Zdnie () Sprwdzić przystość i nieprzystość funkcji z Zdni 3... () Wykzć, że kżdą funkcję f : R R możn zpisć jko sumę funkcji przystej i nieprzystej. (3) Wyznczyć wszystkie funkcje f : R R, które są jednocześnie przyste i nieprzyste. Definicj Funkcję f : X R nzywmy okresową, gdy istnieje stł c > tk, że + c X orz c X dl dowolnej liczby X, przy czym f( + c) = f(). Liczbę c nzywmy okresem dnej funkcji. Njmniejszy okres (jeśli istnieje), nzywmy okresem podstwowym dnej funkcji. Przykłd () Funkcj stł f() = c, jest funkcją okresową, któr nie m okresu podstwowego. () Funkcj f() = jest funkcją okresową o okresie podstwowym. Definicj 3... Dl dnych funkcji f : X R, g : X R określmy ich () sumę f + g : X R, (f + g)() := f() + g(), () różnicę f g : X R, (f g)() := f() g(), (3) iloczyn fg : X R, (fg)() := f()g(), (4) ilorz f/g : X R, (f/g)() := f()/g(), gdzie X = { X : g() }. 3.. Wielominy. Funkcje wymierne. Definicj 3... Funkcję postci (3.) f() = n n + n n + + +, R, gdzie n,..., R, n, n N, nzywmy wielominmi. Liczbę n nzywmy stopniem wielominu (3.). Uwg 3... () Funkcje stłe f() = nzyw się czsem wielominmi stopni. Wtedy nie żądmy, by. () Kżdy wielomin stopni pierwszego f() = + nosi nzwę funkcji liniowej. Jego wykres jest linią prostą. (3) Wielomin stopni drugiego f() = + + nosi nzwę funkcji kwdrtowej lub trójminu kwdrtowego. Jego wykres jest prbolą o wierzchołku ( /, /4 ), gdzie wyrżenie := 4 nzywne jest wyróżnikiem dnej funkcji kwdrtowej. Ilość miejsc zerowych funkcji kwdrtowej zleży od znku. Jeśli <, to dn funkcj nie m miejsc zerowych. Mówimy wtedy, że trójmin kwdrtowy jest nierozkłdlny. Jeśli =, to dn funkcj m jedno podwójne miejsce zerowe := /. Mmy wtedy rozkłd y = ( ). Jeśli >, to dn funkcj m dw miejsc zerowe := ( )/, := ( + )/. Mmy wtedy rozkłd y = ( )( ). (4) Kżdy wielomin rozkłd się n czynniki będące wielominmi pierwszego stopni bądź nierozkłdlnymi trójminmi kwdrtowymi, np. f() = 3 + = ( + )( + ), g() = 4 + = ( + + )( + ). Przykłd () Rozwiązć nierówność 7 > 8. Równowżnie, ( 8)( ) >, skąd < lub > 8.

11 () W jkich przedziłch funkcj f() = ( + 4)( + )( ) jest () ujemn, (b) nie mniejsz od 4? Bezpośrednio z wykresu wnioskujemy, że f() < dl < 4 lub < <. Ntomist nierówność f() 4 równowżn jest skąd 5 lub + 5. ( + + 5)( + 5), Zdnie () Rozwiązć równni i nierówności () + <, (b) >, (c) 5 =, (d) =, (e) () W jkich przedziłch funkcj f() = ( + )( )( 3) jest () dodtni, (b) większ od 6? Definicj Funkcję f() = w () w (), R \ { R : w () }, gdzie w, w są wielominmi, nzywmy funkcją wymierną. Uwg Funkcjmi wymiernymi są np. Wykresem funkcji f() = f() =, g() = + 4. jest hiperbol o symptotch leżących n osich współrzędnych. Przykłd () Rozwiązć równnie = + 4. Zuwżmy, że i ±. Równowżnie, =, skąd = 4. 4 () Rozwiązć nierówność Zuwżmy, że i 3. Równowżnie, 3( /3)( ) ( )( 3). Poniewż sgn(/b) = sgn(b), więc równowżnie mmy skąd /3 lub < < 3. Zdnie Rozwiązć równni i nierówności () 3 + = 6 ( + ), 3 () =, (3) + > +, (4) + < Funkcje trygonometryczne. 3( /3)( )( )( 3),, 3, Definicj Mir łukow kąt jest to mir kąt wyrżon przez stosunek długości łuku okręgu oprtego n tym kącie do długości promieni okręgu. Jednostką tk zpisnego kąt jest rdin ( rd). Z definicji wynik, że wymirem rdin jest jedność. Uwg Mir łukow kąt mjącego α stopni wyrż się wzorem = π 8 α. W szczególności,

12 α π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π. Definicj Niech P = ( p, y p ) będzie punktem okręgu o środku w punkcie (, ) i promieniu. Jeśli jest mirą łukową kąt skierownego pomiędzy dodtnią półosią promieniem przechodzącym przez punkt P, to sin := y p, cos := p, R. Funkcję sin (odp. cos) nzywmy sinusem (odp. kosinusem). Uwg () Dziedziną funkcji sin i cos jest zbiór R, zś ich zbiorem wrtości przedził [, ]. () Funkcje sin i cos są okresowe, ich okresem podstwowym jest liczb π, czyli sin( + π) = sin, cos( + π) = cos. (3) Funkcj sin jest nieprzyst, tj. sin( ) = sin, ntomist funkcj cos jest przyst, tj. cos( ) = cos. (4) Funkcje sin i cos rozptrywne w dowolnym przedzile ogrniczonym są przedziłmi monotoniczne. (5) Zchodzą wzory () sin + cos =, (b) sin( ± y) = sin cos y ± cos sin y (w szczególności, dl = y otrzymujemy sin = sin cos ), (c) cos( ± y) = cos cos y sin sin y (w szczególności, dl = y otrzymujemy cos = cos sin = cos = sin ). (6) Kwdrt, trójkąt równoboczny i symetri wykresów sinus i kosinus generują nstępującą tbelę Przykłd π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π sin / / 3/ cos. 3/ / / () Rozwiązć równnie sin = sin. Równowżnie, sin ( cos ) =, czyli sin = lub cos = /, skąd = kπ lub = π/3 + kπ lub = π/3 + kπ, k Z. () Rozwiązć nierówność 4 cos 3. Równowżnie, 3 3 cos lub cos, skąd π/6 + kπ π/6 + kπ, k Z. Zdnie Rozwiązć równnie i nierówność () cos = cos, () cos = cos, (3) sin > cos. Definicj Funkcję tg := sin, { R : cos }, cos nzywmy tngensem, zś funkcję ctg := cos, { R : sin }, sin nzywmy kotngensem. Uwg () Funkcj tg określon jest w przedziłch (k )π < < (k + )π, k Z, zś funkcj ctg określon jest w przedziłch () Ich zbiorem wrtości jest zbiór R. kπ < < (k + )π, k Z.

13 (3) Funkcje tg i ctg są okresowe. Ich okresem podstwowym jest liczb π, tj. (4) Funkcje tg i ctg są nieprzyste, tj. (5) Zchodzi związek tg( + π) = tg, ctg( + π) = ctg. tg( ) = tg, ctg( ) = ctg. tg = ctg, k π, k Z. (6) Definicje orz tbel wrtości sinus i kosinus generują nstępującą tbelę π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π tg / 3 3 ctg 3 / 3 Przykłd Rozwiązć nierówność tg( ). Poniewż π + kπ < π + kπ, k Z, 4 więc π 4 + k π < + π 8 + k π, k Z. Zdnie Rozwiązć równni i nierówność () tg = 3, () ctg = tg, (3) tg( + 3) > 3. Definicj Funkcje sin, cos, tg i ctg nzywmy funkcjmi trygonometrycznymi Funkcj wykłdnicz. Funkcj potęgow. Dowodzi się, że w obrębie liczb rzeczywistych dobrze zdefiniowne jest potęgownie,, R, >. Odnotujmy, że >, = = dl dowolnych, R, >. Pondto, dl dowolnych, b,, y R,, b >, zchodzą związki () y = +y, () = y, y (3) ( ) y = y, (4) =, (5) (b) = b, (6) (/b) = /b. Definicj Niech >,. Funkcję (3.), R, nzywmy funkcją wykłdniczą. Uwg () > dl R. () Funkcj (3.) jest różnowrtościow (tj. = wtedy i tylko wtedy, gdy = ). (3) Gdy >, funkcj (3.) jest silnie rosnąc (tj. > wtedy i tylko wtedy, gdy > ). (4) Gdy <, funkcj (3.) jest silnie mlejąc (tj. < wtedy i tylko wtedy, gdy > ). Przykłd () Rozwiązć równnie =. Zuwżmy, że. Podstwijąc t = otrzymmy t t + 6 =, skąd t = lub t = 8, czyli = lub = 3. W konsekwencji, = 3 lub =. () Rozwiązć nierówność >. Rownowżnie, > 7, skąd > 7. Zdnie Rozwiązć równni i nierówności () 3 < ( () ( ) 4 ( 7 ) 9 8 3, (3) ( 6 + 9) +3 <, 3), 3.

14 (4) =, (5) >. Definicj Niech R \ {}. Funkcję (3.3), >, nzywmy funkcją potęgową. Uwg () Jeśli N, to funkcję (3.3) określmy dl R wzorem := } {{ }. rzy () Jeśli Z, <, to funkcję (3.3) określmy dl wzorem :=. (3) Zwyczjowo dl n N piszemy n := /n orz :=. Dodtkowo określmy n :=. (4) > dl >. (5) Funkcj (3.3) jest różnowrtościow (tj. = wtedy i tylko wtedy, gdy = ). (6) Gdy >, funkcj (3.3) jest silnie rosnąc (tj. > wtedy i tylko wtedy, gdy > ). (7) Gdy <, funkcj (3.3) jest silnie mlejąc (tj. < wtedy i tylko wtedy, gdy > ). (8) Jeśli Z jest liczbą przystą, to funkcj (3.3) z dziedziną rozszerzoną jk w uwgch () lub () jest przyst. (9) Jeśli Z jest liczbą nieprzystą, to funkcj (3.3) z dziedziną rozszerzoną jk w uwgch () lub () jest nieprzyst. Przykłd Rozwiązć nierówność. Zuwżmy, że. Wtedy, podnosząc stronmi nierówność do kwdrtu, otrzymmy. Równowżnie, ( ), skąd, po uwzględnieniu złożeni,. Zdnie () Rozwiązć równnie = +. () Rozwiązć nierówność Funkcj logrytmiczn. Dowodzi się, że równnie = b dl dowolnych, b >,, m dokłdnie jedno rozwiąznie względem, które oznczmy przez log b i nzywmy logrytmem liczby b o podstwie. Zwyczjowo piszemy log b := log b i nzywmy logrytmem dziesiętnym. Dl dowolnych, b, c >, c, p R, zchodzą związki () log c c p = p, () c log c =, (3) log c (b) = log c + log c b, (4) log c (/b) = log c log c b, (5) log c ( p ) = p log c, (6) log b = log c b log c,. Definicj Niech > i. Funkcję (3.4) log, >, nzywmy funkcją logrytmiczną. Uwg () Funkcj (3.4) jest różnowrtościow (tj. log = log wtedy i tylko wtedy, gdy = ). () Gdy >, funkcj (3.4) jest silnie rosnąc (tj. log > log wtedy i tylko wtedy, gdy > ). (3) Gdy <, funkcj (3.4) jest silnie mlejąc (tj. log < log wtedy i tylko wtedy, gdy > ). Przykłd () Rozwiązć równnie log(log ) + log(log ) =. Zuwżmy, że >. Podstwijąc t = log otrzymmy t t =, skąd t = 5/ lub t =, czyli log = 5/ lub log =. W konsekwencji, po uwzględnieniu złożeń, =. 4

15 () Rozwiązć nierówność ( ) log + ( 5 > 5 ) log 3 4. Zuwżmy, że >. Podstwijąc t = log otrzymmy ( ) t + ( ) 6t 4 >, 5 5 skąd t 6t + 5 <, czyli < t < 5. W konsekwencji, < <. Zdnie Rozwiązć równni i nierówności +3 () log log 5 >, ( ) () log log 8 3, +3 (3) log >, (4) log = log 5, (5) log ( + 4) + log ( + ) Złożenie funkcji i funkcje i odwrotne. Definicj 3.6. (Złożenie funkcji). Niech X, Y R będą dowolnymi niepustymi zbiormi. Niech będą dne funkcje (3.5) f : X R, g : Y R, tkie, że f(x) Y. Funkcję g f : X R określoną wzorem (3.6) (g f)() := g(f()), X, nzywmy funkcją złożoną lub złożeniem funkcji (3.5). Funkcję f nzywmy funkcją wewnętrzną, g funkcją zewnętrzną złożeni (3.6). Przykłd () h() = 4 jest złożeniem funkcji g(y) = y i f() = 4. () h() = 3 jest złożeniem funkcji g(y) = y i f() = 3. (3) Wyznczyć f f, f g, g f i g g orz dziedziny tych funkcji, jeśli f() = sin, g() =. () (f f)() = sin sin, R. (b) (f g)() = sin,. (c) (g f)() = sin, kπ + kπ, k Z. (d) (g g)() =, R. Zdnie () Wyznczyć f f, f g, g f i g g orz dziedziny tych funkcji, jeśli () f() =, g() =, (b) f() = log 3, g() = tg, (c) f() = 3, g() = +. () Zpisć, jko złożenie dwóch lub więcej funkcji, nstępujące funkcje złożone () f() = log +, sin + (b) f() = sin, (c) f() = sin ( ), (d) f() = 33 +, (e) f() = log 3 (cos( 3)). Definicj (Funkcj odwrotn). Niech funkcj (3.7) f : X R będzie funkcją różnowrtościową. Funkcję (3.8) g : f(x) R nzywmy odwrotną względem funkcji (3.7), jeśli i oznczmy f := g. (g f)() =, X, (f g)(y) = y, y f(x). Uwg Funkcją odwrotną względem funkcji (3.8) jest funkcj (3.7). Twierdzenie Kżd funkcj f silnie rosnąc (lub silnie mlejąc) w przedzile I jest różnowrtościow. W szczególności, m funkcję odwrotną określoną n zbiorze f(i). 5

16 Przykłd () Funkcj f() = n dl n N jest silnie rosnąc w przedzile [, ) i przybier wszystkie wrtości nieujemne; funkcją względem niej odwrotną jest f () = n dl. () Gdy n jest nieprzyste, funkcj f() = n jest silnie rosnąc w przedzile (, ) i przybier wszystkie wrtości rzeczywiste; funkcj do niej odwrotn to { n, gdy f () = n., gdy < (3) Funkcj f() =, gdzie >, jest silnie rosnąc i dodtni w R i przybier wszystkie wrtości dodtnie; funkcją odwrotną jest f () = log, >. Zdnie Wyznczyć funkcje odwrotne fo funkcji () f() = +, <, () f() = log 3 ( ) + 3, >, (3) f() =, >. Uwg Niech f będzie funkcją posidjącą funkcję odwrotną. Jeśli dziedziny obu tych funkcji umieścimy w prostokątnym ukłdzie współrzędnych n jednej osi (np. osi ), to wykresy Γ(f) i Γ(f ) będą wzjemnie symetryczne w symetrii względem prostej y = Funkcje cyklometryczne. Funkcje trygonometryczne (3.9) sin, cos, tg, ctg są silnie monotoniczne odpowiednio w przedziłch [ (3.) π, π ], [, π], ( π, π ), (, π), przy czym funkcje sin i tg są silnie rosnące, cos i ctg silnie mlejące. Wobec tego istnieją funkcje względem nich odwrotne. Definicj Funkcje odwrotne względem funkcji (3.9) zwężonych odpowiednio do przedziłów (3.) nzywmy funkcjmi cyklometrycznymi lub (kołowymi) i oznczmy je odpowiednio (3.) rc sin, rc cos, rc tg, rc ctg. Wrtości dwóch pierwszych funkcji (3.9) wypełniją przedził [, ], dwóch osttnich przedził (, + ), ztem funkcje cyklometryczne (3.) są określone odpowiednio n przedziłch Przykłd () Wykzć, że [, ], [, ], (, + ), (, + ). () rc sin / = π/6, rc cos( / ) = 3π/4, rc ctg( 3) = 5π/6. rc sin + rc cos = π, [, ]. Istotnie, ustlmy [, ] i oznczmy α := rc sin, β := rc cos. Wtedy α [ π/, π/], β [, π], skąd π/ β [ π/, π/]. Pondto, ( π ) sin α = = cos β = sin β, skąd, dzięki różnowrtościowości funkcji sin w przedzile [ π/, π/], wnioskujemy, że co było do okzni. α = π β, Zdnie () Obliczyć rc sin( 3/), rc cos( /), rc tg 3, rc ctg( ). () Wykzć nstępujące związki () rc tg + rc ctg = π/, [, ]; (b) rc ctg = rc tg(/), > ; (c) rc ctg = π + rc tg(/), <, (d) rc tg + rc tg + rc tg 3 = π. 6

17 3.8. Ciągi. Szereg geometryczny. Definicj () Ciąg jest to funkcj f : N R. Wrtość f(n) dl rgumentu n nzywmy n-tym wyrzem ciągu i oznczmy przez n, zś sm ciąg przez ( n ) lub ( n ) n= lub ( n ) n N. () Liczbę S n := + + n nzywmy sumą n początkowych wyrzów ciągu liczbowego ( n ). Przykłd () Ciąg ( n ) n= nzywmy ciągiem hrmonicznym. () Ciąg (n) n= nzywmy ciągiem nturlnym. (3) Ciąg (( ) n ) n= jest przykłdem ciągu nprzemiennego. (4) Ciąg ( + (n )d) n=,, d R, nzywmy ciągiem rytmetycznym o różnicy d. (5) Ciąg (q n ) n=,, q R, nzywmy ciągiem geometrycznym o ilorzie q. (6) Ciąg ( n ) n= określony rekurencyjnie =, =, n = n + n, n 3, nzywmy ciągiem Fiboncciego 8. Ciąg ten pojwi się w wielu modelch przyrodniczych, np. w drzewie pszczół. Rozwżmy rodowód smc pszczoły. Kżdy smiec (znny tkże jko truteń) jest spłodzony bezpłciowo z smicy (znnej również jko królow). Jednk kżd smic m dwoje rodziców, smc i smicę. Truteń m jednego dzidk i jedną bbcię, jednego prdzidk i dwie prbbcie. M dwóch prprdzidków i trzy prprbbcie. W ogólności, łtwo sprwdzić przez indukcję, że m dokłdnie n+ pr n -dzidków i n+3 pr n -bbć. Twierdzenie Niech ( n ) będzie ciągiem rytmetycznym o różnicy d. Wtedy S n = + (n )d n, n N. Twierdzenie Niech ( n ) będzie ciągiem geometrycznym o ilorzie q. Wtedy { n, gdy q = S n = q n, n N. q, gdy q Definicj (Grnic ciągu). Mówimy, że ciąg ( n ) m grnicę g R, jeśli ε> n N n>n n g < ε (wyrzy n ze wzrostem wskźnik n zbliżją się do liczby g), co zpisujemy n g gdy n lub lim n = g. n Czsem dl wygody piszemy n g lub lim n = g. Przykłd () lim n n =. () lim n ( n ) =. (3) Ciągi ( n) n= i (( ) n ) n= nie mją grnicy. Definicj Rozszerzonym systemem liczb rzeczywistych nzywmy zbiór R {, }. Zchowując nturlny porządek w zbiorze R przyjmujemy < <, R. Uwg () Przyjmujemy nstępującą konwencję () jeśli R, to + = + =, = + =, / = /( ) = ; (b) jeśli >, to = =, ( ) = ( ) = ; (c) jeśli <, to = =, ( ) = ( ) = ; (d) = ( ) ( ) = ; ( ) = ( ) =. () Opercje, +, (± ), (± ) i ± / nie są określone. Definicj (Grnic niewłściw ciągu). Mówimy, że ciąg ( n ) m grnicę niewłściwą (odp. ), jeśli M> n N n>n n > M (odp. M> n N n>n n < M) 8 Fiboncci (Leonrdo z Pizy; ur. około 75 r., zm. 5 r.) włoski mtemtyk. Znny jko: Leonrdo Fiboncci, Filius Boncci (syn Boncciego), Leonrdo Pisno (z Pizy). 7

18 (wyrzy n ze wzrostem wskźnik n zbliżją się do (odp. )), co zpisujemy n gdy n lub lim n = n (odp. n gdy n lub lim n = ). n Czsem dl wygody piszemy n ± lub lim n = ±. Przykłd () lim n n =. () lim n n =. (3) lim n n =. (4) Ciąg (( n) n ) n= nie m grnicy (nwet niewłściwej). Twierdzenie () Jeśli k N, to lim n k n =. () Ogólniej, jeśli >, to lim n n =, jeśli <, to lim n n =. (3) Jeśli >, to lim n n =, jeśli < <, to lim n n =. Twierdzenie Jeśli n i b n b, gdzie, b R {, }, to () n ± b n ± b, () n b n b, (3) jeśli dodtkowo b n, n N, to n /b n /b, o ile tylko dziłni ± b, b i /b są określone. Przykłd () Poniewż c c i n, więc c n c =. Podobnie, n n = n n =. Ogólnie dl k N. n k () n n 5 + = 5. (3) n 3 n + n = n 3 ( n + n n ) = ( + ) =. 3 (4) Ogólnie, jeśli p, to p n p + p n p + + n + sgn( p ). (5) n 7 3n+ n 7 3, bo 3n+ = 7/n 3+/n orz 7 n i 3 + n 3. 3n (6) lim 3 n+4 n 5n 3 n = lim n 3 /n +4/n 3 5 /n = 3 5. (7) lim n n n = lim n n /n /n =. (8) lim n n 3n 5 = lim n n 5 (/n 3 3) = lim n n 5 /n 3 3 =. (9) Ogólnie, jeśli p b q, to lim n pn p + p n p + + n+ b qn q +b q n q + +b n+b = lim n ( n + n) = lim n ( n + n) n++ n n++ n = lim n 4 lim n +5 n (4/3) n 3 n + = lim n +(5/3) n n n +(/3) =. n 4 lim n 5 n (4/3) n 3 n + = lim n (5/3) n (5/3) n n +(/3) = lim n ((4/5) n ) n n +(/3) =. n Zdnie Obliczyć grnice ciągów 3 () lim n n n, n () lim n 3, (3) lim n (n 3 3n + n ), (4) lim n ( n + n 3n 3 + 4n 4 5n 5 ), 4n 3 (5) lim n 6 5n, n (6) lim 3 4n n 6n+3n n, 3 (n ) (7) lim n (4n )(3n+), (8) lim n ( n 3 3n+ ), 5n n (9) lim n 3n+5, n () lim 3 n ( n), n () lim 3 n ( n ), n () lim +5n 6 n n 4 +5n 6, ( (3) lim n+3) n n+, (4) lim n n n+, n 8, bo, gdy p < q p b q, gdy p < q. sgn( p b q ), gdy p > q n++ n =.

19 (5) lim n n+ 3 n ( n ), (6) lim n ( n + n n + ), (7) lim n ( 3 n + 3 n), (8) lim n n 3 n 5 n + n, (9) lim n n 5 n 3 n + n, () lim n 3n+ 5 8 n +3, () lim n 3n+ 5 8 n +3, () lim n 3 n n +, (3) lim n 3 n n 3 n, Twierdzenie Niech ( n ) będzie ciągiem geometrycznym o ilorzie q i. Wtedy ciąg (S n ) m grnicę S wtedy i tylko wtedy gdy q <. W tkim przypdku nzywmy sumą nieskończoną ciągu ( n ). S = q Przykłd Obliczyć sumę Jest to sum nieskończon S ciągu geometrycznego o wyrzie pierwszym = i ilorzie q =. Ztem S = =. Zdnie () Obliczyć sumę () , (b) () W trójkąt równoboczny o boku długości wpisujemy okrąg, kolejne okręgi wpisujemy w trzech wierzchołkch trójkąt w ten sposób, że są one styczne do dówch boków trójkąt i okręgu. Procedurę kontynuujemy w nieskończoność. Obliczyć sumę pól powstłch kół. (3) Odcinek długości d podzielono n n równych części. N kżdej z nich, z pominęciem pierszej i osttniej, zbudowno trójkąty równoboczne. Obliczyć grnicę pól S n i obwodów P n otrzymnej figury przy n Liczb e. Twierdzenie Ciąg (( + n )n ) n= jest zbieżny. Definicj ( e := lim + n. n n) Liczb e nzywn jest tkże liczbą Npier 9, oznczenie e wprowdził w 736 roku Euler, który wykzł, że e jest liczbą niewymierną. W 873 roku Hermite pokzł, że e jest przestępn. W przybliżeniu, e, Dowodzi się, że e = n! = n= Im większe weźmiemy n, tym dokłdniejsze przybliżenie otrzymmy. Wzór ten brdzo szybko dje dobre przybliżeni, dl n = otrzymujemy dokłdną wrtość liczby e do piątej cyfry po przecinku. Definicj ln := log e nzywmy logrytmem nturlnym. Twierdzenie Jeśli lim n n = i n, to lim n ( + n ) /n = e. Przykłd Obliczyć lim n ( 3/n) n. Zuwżmy, że ( ( lim 3 n ( = lim + n n) 3 ) ) n/3 3 = e 3 n n n podstwie powyższego twierdzeni dl n = 3/n. 9 John Npier Lord of Merchiston (ur. 55, zm. 4 kwietni 67) szkocki włściciel ziemski, ntyppist, mtemtyk, odkrywc logrytmów. Leonhrd Euler (ur. 5 kwietni 77 w Bzylei, zm. 8 wrześni 783 w Petersburgu) szwjcrski mtemtyk i fizyk. Chrles Hermite (ur. 4 grudni 8, zm. 4 styczni 9) mtemtyk frncuski. 9

20 Zdnie Obliczyć grnice ( () lim n+5 n n ( () lim n +n n ) n, ) n, (3) lim n ( 5 n) n. 4. Elementy rchunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej 4.. Grnic funkcji. Ciągłość funkcji. Definicj 4.. (Otoczenie, sąsiedztwo). Niech R. Otoczeniem punktu R nzywmy kżdy przedził otwrty zwierjący punkt. Sąsiedztwem lewostronnym (odp. prwostronnym) punktu nzywmy przedził otwrty (, ), gdzie < (odp. (, b), gdzie < b). Sąsiedztwem punktu nzywmy zbiór postci gdzie < < b. (, b) \ {} = (, ) (, b), Definicj 4.. (Grnice jednostronne). Funkcj f, określon w sąsiedztwie lewostronnym (odp. prwostronnym) punktu R, m w punkcie grnicę lewostronną g R (odp. prwostronną), co zpisujemy lim f() = g (odp. lim f() = g), jeśli dl dowolnego otoczeni U punktu g istnieje sąsiedztwo lewostronne (odp. prwostronne) V punktu tkie, że f(v ) U (wrtość f() zbliż się do g, gdy rgument zbliż się do z lewej (odp. prwej) strony). Grnice lewo- i prwostronn noszą wspólną nzwę grnic jednostronnych. Przykłd () Jeśli f() = c jest określon w sąsiedztwie punktu R, to lim f() = lim + f() = c. () Jeśli >, to lim + =. (3) Jeśli f() =, to lim f() =, lim + f() =. (4) Jeśli f() =, to lim + f() nie istnieje. (5) Jeśli f() = sin, to lim + nie istnieje. Zdnie Wyznczyć grnice jednostronne funkcji () f() = w punktch Z, () f() = w punktch Z. Definicj 4..5 (Grnic funkcji). Funkcj f, określon w sąsiedztwie punktu R, m w punkcie grnicę g R, co zpisujemy lim f() = g, jeśli funkcj f m w punkcie grnice jednostronne orz lim f() = lim f() = g. + Przykłd Funkcj z Przykłdu 4..3 () m grnicę w punkcie, zś funkcj z Przykłdu 4..3 (3) nie m grnicy w punkcie. Twierdzenie Jeśli lim f() = orz lim g() = b, to () lim (f() ± g()) = ± b, () lim f()g() = b, (3) lim f() g() = b o ile g() w sąsiedztwie i b. Definicj 4..8 (Ciągłość funkcji). Funkcję f, określoną w otoczeniu punktu, nzywmy ciągłą w punkcie, jeśli f m w grnicę orz lim f() = f( ). Funkcję nzywmy ciągłą, jeśli jest on ciągł w kżdym punkcie dziedziny. Funkcję ciągłą określoną n przedzile nzywmy krzywą.

21 Przykłd () Funkcj () Funkcj f() =, R \ {}, jest ciągł. f() = {, gdy, gdy = nie jest ciągł, poniewż nie jest ciągł w punkcie =. Istotnie, funkcj f nie m grnicy w punkcie = (grnice lewo- i prwostronne są różne). (3) Funkcj f() = {, gdy, gdy = nie jest ciągł, poniewż nie jest ciągł w punkcie =. Istotnie, funkcj f m grnicę w punkcie =, le jest on różn od wrtości funkcji w tym punkcie. Twierdzenie 4... () Funkcje wielominowe, wykłdnicze i trygonometryczne są ciągłe. () Funkcj odwrotn do funkcji ciągłej jest funkcją ciągłą. W szczególności, funkcje potęgowe, logrytmiczne i cyklometryczne są ciągłe. (3) Sum, różnic, iloczyn, ilorz orz złożenie funkcji ciągłych są ciągłe. W szczególności, funkcje wymierne są ciągłe. Uwg 4... Sklejenie funkcji ciągłych nie musi być funkcją ciągłą. Istotnie, funkcj {, gdy < f() =, gdy jest ciągł w kżdym punkcie, le nie jest cigł w punkcie =. Przykłd 4... określon). Istotnie, zuwżmy, że () Funkcj f() = 3 f() = ( )( + + ) m w punkcie grnicę 3 (choć nie jest w tym punkcie = ( + + ). Funkcj g() = + + jest ciągł (jko wielomin), więc lim ( + + ) = + + = 3. Funkcj h() = jest funkcją stłą (równą ) określoną w sąsiedztwie punktu =, więc, =. Poniewż f jest iloczynem funkcji g i h, więc, n mocy Twierdzeni 4.., lim 3 lim t = lim ( + + ) lim = 3 = 3. () Funkcj g() = sin, określon z obu stron punktu, nie m w = grnicy. Zdnie () Obliczyć grnice 6 () lim , 3+ (b) lim +, (c) lim , (d) lim 4 (e) lim, 4 +, (f) lim , (g) lim +, (h) lim () Zbdć ciągłość funkcji () f() =, (b) f() =, R \ Z, (c) f() = {, (d) f() =,, gdy gdy =.

22 4.. Grnice niewłściwe. Grnice w nieskończoności. Asymptoty funkcji. Definicj 4.. (Otoczeni nieskończoności). Otoczeniem nzywmy kżdy przedził (, ), gdzie R { }. Otoczeniem nzywmy kżdy przedził (, b), gdzie b R { }. Definicj 4.. (Grnic niewłściw, symptot pionow). Funkcj f, określon w sąsiedztwie punktu R, m w punkcie grnicę niewłściwą (odp. ), co zpisujemy lim f() =, (odp. lim f() = ), jeśli dl dowolnego otoczeni U punktu (odp. ) istnieje sąsiedztwo V punktu tkie, że f(u) V (wrtość f() dąży do (odp. ), gdy rgument zbliż się do ). Jk przy grnicch zwykłych, możn mówić o grnicy niewłściwej prwostronnej lim + f() i lewostronnej lim f(). Jeśli funkcj f m w punkcie grnicę niewłściwą (odp. jednostronną), to prostą o równniu = nzywmy symptotą pionową (odp. jednostronną) funkcji f. Twierdzenie Jeśli lim f() =, lim g() = b, gdzie, b R {, }, to, jeśli tylko poniższe dziłni są określone, () lim (f() ± g()) = ± b, () lim f()g() = b, (3) lim f() g() = b o ile g w sąsiedztwie. Przykłd () Jeśli <, to lim + =. W szczególności, prost o równniu = jest symptotą pionową prwostronną funkcji, <. () lim (π/+kπ) tg =, lim (π/+kπ) + tg =, k Z. W szczególności, prost o równniu = π/ + kπ, k Z, jest symptotą pionową funkcji tg. (3) Jeśli >, to lim + log =. Jeśli < <, to lim + log =. W szczególności, prost o równniu = jest symptotą pionową prwostronną funkcji log. Uwg Aby obliczyć grnicę funkcji wymiernej gdy, wstwimy do licznik i minownik wrtość = i, jeśli dziłnie m sens, wynik jest szukną grnicą. Jeśli punkt jest miejscem zerowym licznik i minownik, rozkłdmy licznik i minownik n czynniki i skrcmy w ułmku czynnik ( ). Jeśli punkt jest miejscem zerowym tylko minownik, to wynik jest nieskończonością ze znkiem zdeterminownym znkmi licznik i minownik. Przykłd () lim + (+) + = lim 3 (+)( +) = lim + = 3. () lim (+) +3+ = lim ( ) (+)(+) =. (3) lim nie istnieje, bo lim 3 lim = lim 3 ( 3)(+4) ( 3) = lim +4 3 ( 3) = lim 3 ( 3)(+4) + ( 3) = lim ( 3) 7 =, 7 + = +. (4) Wyznczyć symptoty pionowe funkcji f() = +. Zuwżmy, że + = dl = lub = /. Poniewż f, będąc funkcją wymierną, jest funkcją ciągłą, ztem funkcj f może posidć grnice niewłściwe tylko w punktch leżących poz dziedziną, tj. w punktch = i = /. Bez trudu sprwdzmy, że lim + = lim ( )(+) = lim + = 3, lim / ( )(+) = lim / + =, lim / + ( )(+) = lim / =. Stąd prost o równniu = / jest jedyną symptotą pionową funkcji f. Zdnie () Obliczyć grnice () lim 4 ( ), , (b) lim + 7 (c) lim 3 3 (d) lim , (+), 3

23 (e) lim () Wyznczyć symptoty pionowe funkcji () f() =, (b) f() = (c) f() = 4 (d) f() =,, ++. Definicj 4..8 (Grnic w nieskończoności, symptot poziom). Mówimy, że funkcj f, określon w otoczeniu (odp. ), m w (odp. ) grnicę g R {, }, co zpisujemy lim f() = g (odp. lim f() = g), jeśli dl dowolnego otoczeni U punktu g istnieje otoczenie V punktu (odp. ) tkie, że f(v ) U (wrtość f() dąży do g, gdy rgument dąży do (odp. )). Jeśli grnic g jest włściw, to mówimy, że prost o równniu y = g jest symptotą poziomą prwostronną (odp. lewostronną) funkcji f. Asymptotę poziomą lewo- i prwostronną nzywmy symptotą poziomą. Przykłd () Jeśli <, to lim =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą funkcji, <. Jeśli dodtkowo Z, to tkże lim =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą funkcji, Z, <. () lim ± = lim ± ( ) =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą funkcji. (3) Jeśli >, to lim =, lim =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą lewostronną funkcji, >. (4) Jeśli < <, to lim =, lim =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą prwostronną funkcji, < <. (5) lim rc tg = π/. W szczególności, prost o równniu y = π/ jest symptotą poziomą lewostronną funkcji rc tg. (6) lim rc tg = π/. W szczególności, prost o równniu y = π/ jest symptotą poziomą prwostronną funkcji rc tg. (7) lim rc ctg = π. W szczególności, prost o równniu y = π jest symptotą poziomą lewostronną funkcji rc ctg. (8) lim rc ctg =. W szczególności, prost o równniu y = jest symptotą poziomą prwostronną funkcji rc ctg. (9) lim sin nie istnieje, bo np. nπ, ntomist sin nπ = dl n przystych i sin nπ = dl n nieprzystych. Uwg 4... Aby obliczyć grnicę funkcji wymiernej gdy ±, dzielimy licznik i minownik przez w njwyższej potędze minownik. 4 Przykłd 4... () lim 3 / = lim / 4 5/ +6/ 7 =. () lim +7 4 = lim / /+7 4 / = 7 4. (3) lim ++ ( 3 +) = lim /4 +/ 3 +/ +/ 3 =. Zdnie 4... Obliczyć grnice () lim 4 3, () lim 3 3 ( )(+). Definicj 4..3 (Asymptot ukośn). Niech f będzie funkcją określoną w otoczeniu (odp. ). Jeśli lim (f() ( + b)) = (odp. lim (f() ( + b)) = ), to prostą o równniu y = + b nzywmy symptotą ukośną prwostronną (odp. lewostronną) funkcji f. Uwg Asymptot poziom jest szczególnym przypdkiem symptoty ukośnej ( = ). 3

24 Twierdzenie Jeśli y = + b jest równniem symptoty ukośnej prwostronnej (odp. lewostronnej) dl f, to (odp. = f() = lim lim, b = lim (f() ), f(), b = lim (f() )). Funkcj nie m symptoty ukośnej prwostronnej (odp. lewostronnej), jeśli choć jedn z tych grnic nie istnieje. Przykłd () Funkcj f() = 3 +3 m symptotę ukośną o równniu y =, f() poniewż lim ± = orz lim ± (f() ) =. () Funkcj f() = 3 3 f() nie m symptoty ukośnej, poniewż lim ± = ±. Zdnie Wyznczyć symptoty funkcji () f() =, () f() = +, (3) f() = Pochodn funkcji. Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu. Definicj Pochodną funkcji f w punkcie nzywmy grnicę (4.) lim h f( + h) f() h i oznczmy f () lub df d (). Funkcj nie m pochodnej w punkcie, jeśli grnic (4.) nie istnieje. Funkcję mjącą pochodną w kżdym punkcie dziedziny nzywmy różniczkowlną. Twierdzenie Fukcj różniczkowln jest ciągł. Przykłd () f() =. Mmy f ( + h) h + h () = lim = lim = lim ( + h) =, h h h h h ztem funkcj f m w kżdym punkcie pochodną f () =. () f() =. Mmy f ( + h) h () = lim = lim h h h h =, ztem funkcj f m w kżdym punkcie pochodną równą f () =. (3) Funkcj f() = nie m pochodnej w punkcie, bo grnic + h h lim = lim h h h h nie istnieje. Istotnie, lim h h + h =, lim h h h =. Jest to przykłd funkcji ciągłej, któr nie jest różniczkowln (por. Twierdzenie 4.3.). Uwg (Interpretcj geometryczn pochodnej). Pochodn funkcji f w punkcie równ jest tngensowi kąt, jki tworzy styczn do wykresu funkcji f w punkcie o równniu (4.) y f( ) = f ( )( ) z dodtnim zwrotem osi O. Przykłd Wyznczyć styczną do prboli y = w punkcie o współrzędnej =. Zuwżmy, że dl f() = mmy f () =, skąd f () =. Pondto, f() =, skąd równnie szuknej stycznej m postć czyli y =. y = ( ) +, 4

25 Twierdzenie (Pochodne funkcji elementrnych). Funkcje elementrne są różniczkowlne orz ( ) =, R, ( ) = ln, (log ) =, >,, ln (sin ) = cos, (cos ) = sin, (tg ) = cos, (ctg ) = sin, (rc sin ) =, (rc cos ) =, (rc tg ) = +, (rc ctg ) = +. Wniosek W szczególności, ( ) () =, =, ( ) =, (e ) = e, (ln ) =. Twierdzenie (Pochodne sumy, różnicy, iloczynu i ilorzu). Sum, różnic, iloczyn i ilorz funkcji różniczkowlnych u i v są różniczkowlne orz ( u ) (u ± v) = u ± v, (uv) = u v + uv u v uv, = v v. W przypdku ilorzu zkłdmy, że v(). Przykłd () Jeśli f() = const, to f () =. () Jeśli c R, to (cu()) = cu (). (3) ( 3 + ) = 3 +. (4) ( ) = (5) (sin cos ) = cos sin = cos. (6) ( ) = ( ) ( ) (7) ( = ( ). rc sin ) = ln rc sin /. rc sin Twierdzenie 4.3. (Pochodn funkcji złożonej). Niech funkcj f m pochodną w punkcie, funkcj g m pochodną w punkcie f(). Wtedy funkcj złożon g f m pochodną w punkcie wyrżoną wzorem (4.3) (g f) () = g (f())f (). Przykłd (4.3), () h() = ( ) 5. Oznczjąc f() = otrzymujemy, n mocy wzoru h () = 5(f()) 4 = ( ) 4. () h() = +. Oznczjąc f() = + otrzymujemy (3) Dl h() = ln sin mmy h () = f() =. + h () = cos = ctg. sin Wniosek Pochodn złożeni dowolnej skończonej liczby funkcji różniczkowlnych równ jest iloczynowi pochodnych poszczególnych funkcji. Przykłd Niech f() = rc tg +. Funkcj f jest złożeniem czterech funkcji g + tzn. f = j i h g, gdzie h + i rc tg + j rc tg +, g() = +, h() =, i() = rc tg, j() =. W konsekwencji, f () = j (i(h(g()))) i (h(g())) h (g()) g (), czyli f () = rc tg rc tg + = + ( + ) +. Zdnie Obliczyć pochodne funkcji 5

26 () f() = , () f() = e, (3) f() = sin(5 3), (4) f() = ( 3 ), (5) f() = e 4, (6) f() = sin cos, (7) f() = ( ) 3, (8) f() = ln( 4), (9) f() = ln(sin ), () f() = +, () f() = / + /3, () f() = (ln ), (3) f() = 4 + 3, (4) f() = ln +, (5) f() =, (6) f() = ln(ln ) Ekstrem loklne i globlne. Jednym z zstosowń pochodnej jest wyzncznie przebiegu zmienności funkcji. Twierdzenie 4.4. (Monotoniczność funkcji). Funkcj o pochodnej w dnym przedzile równej zero jest w tym przedzile stł; nieujemnej (przy czym liczb punktów, w którch pochodn może się zerowć, jest co njwyżej skończon) jest w tym przedzile silnie rosnąc; niedodtniej (przy czym liczb punktów, w którch pochodn może się zerowć, jest co njwyżej skończon) jest w tym przedzile silnie mlejąc. Przykłd Wyznczyć przedziły monotoniczności funkcji () f() = 3 3. f () = 3 6 = 3( ). Mmy tu f () >, gdy < lub >, ntomist f () <, gdy < <. Funkcj f() = 3 3 jest więc silnie rosnąc w przedziłch (, ) i (, ), silnie mlejąc w przedzile (, ). () f() =. f () = ( )(+), skąd f () > dl < <, zś f () < dl < < lub < <. Funkcj f jest więc silnie rosnąc w przedzile (, ), silnie mlejąc w przedziłch (, ) i (, ). Zdnie Wyznczyć przedziły monotoniczności funkcji () f() = (3 ), () f() = , (3) f() = e. Definicj (Ekstrem loklne). Mówimy, że funkcj f określon w otoczeniu punktu m w punkcie mksimum loklne, jeśli istnieje tkie otoczenie U punktu, że f( ) f() dl dowolnego punktu U; włściwe (silne) mksimum loklne, jeśli istnieje tkie otoczenie U punktu, że f( ) > f() dl dowolnego punktu U \ { }; minimum loklne, jeśli istnieje tkie otoczenie U punktu, że f( ) f() dl dowolnego punktu U; włściwe (silne) minimum loklne, jeśli istnieje tkie otoczenie U punktu, że f( ) < f() dl dowolnego punktu U \ { }. Mksimum i minimum loklne, włściwe lub nie, nzywmy ekstremum loklnym. Twierdzenie (Wrunek konieczny istnieni ekstremum loklnego). Jeśli funkcj różniczkowln f m ekstremum loklne w punkcie, to (4.4) f ( ) =. Uwg Wrunek (4.4) nie jest wystrczjący. Istotnie, funkcj f() = 3 jest różniczkowln, bo f () = 3. Pondto, f () =, le funkcj f nie m ekstremum loklnego w punkcie. 6

27 Twierdzenie (Wrunek dostteczny istnieni ekstremum loklnego). Jeśli funkcj różniczkowln f spełni wrunek (4.4) orz pochodn f jest, w pewnym otoczeniu punktu, dodtni z jednej strony i ujemn z drugiej strony punktu, to funkcj f m ekstremum loklne w punkcie. Chrkter ekstremum określ Twierdzenie Przykłd Wyznczyć ekstrem loklne funkcji () f() = Poniewż f () = = ( 3), ekstrem loklne mogą być w punktch, w których f () =, więc = lub = 3/. Ze znku pochodnej (Przykłd 4.4.) wnioskujemy, że w punkcie = funkcj nie m ekstremum loklnego, w punkcie = 3/ m minimum loklne. () f() = 5 3. Poniewż f () = (3 )( 3) (+) ( ), więc ekstrem loklne mogą być w punktch = /3 i = 3. Ze znku pochodnej wnioskujemy, że w punkcie = /3 funkcj m mksimum loklne, w punkcie = 3 minimum loklne. Zdnie Wyznczyć ekstrem loklne funkcji () f() = , () f() = , (3) f() = 4, (4) f() = 3 ln, (5) f() = e, (6) f() = e 4, (7) f() = ( ) e + /. Uwg () Mksimum loklne nie musi być njwiększą wrtością funkcji w dnym przedzile. Podobnie, minimum loklne nie musi być njmniejszą wrtością. Co więcej, funkcj może nie posidć wrtości njwiększej czy njmniejszej. Istotnie, wystrczy rozptrzyć funkcję f() = 3 3 w przedzile (, 3). () Dowodzi się, że funkcj ciągł przyjmuje w przedzile domkniętm wrtość njwiększą i njmniejszą. (3) Aby znleźć njwiększą i njmniejszą wrtość ciągłej funkcji f w domkniętym przedzile [, b], stosujemy nstępujący lgorytm. () Notujemy rozwiązni równni f () = leżące wewnątrz przedziłu [, b]. (b) Obliczmy wrtość funkcji f w punkch, b i wszystkich wynotownych wcześniej punktch. (c) Wybiermy te punkty, w których wrtość funkcji f jest njwiększ i njmniejsz. Przykłd () Znleźć njwiększą i njmniejszą wrtość funkcji f() = e +7 ( + ) w przedzile [ 4, ]. Poniewż f () = e +7 ( + 3), więc ekstrem loklne funkcj może mieć tylko w punktch 3 i. Poniewż f( 3) = e, f() = e 7 zś f( 4) = 7e i f() = e 9, ztem funkcj f przyjmuje wrtość nwiększą równą e 9 w punkcie = i wrtość njmniejszą równą e 7 w punkcie =. () N rogch kwdrtowego rkusz blchy o boku 36 cm wyciąć tkie kwdrty, by po zgięciu blchy otrzymć pudełko o njwiększej objętości. Jeśli przez oznczymy długość boku wycinnych kwdrtów wyrżoną w cm, to objętość V pudełk wyrż się wzorem V () = 4( 8), [, 8]. Poniewż V () = V (8) = orz V >, więc funkcj V przyjmuje wrtość njwiększą w przedzile otwrtym (, 8). Zuwżmy, że V () = ( 8)( 6), skąd wnioskujemy, że funkcj V m mksimum globlne w punkcie = 6, czyli nleży wyciąć kwdrty o bokch długości 6 cm. Zdnie () Znleźć njwiększą i njmniejszą wrtość funkcji () f() = 3 3 w przedzile [, 3], (b) f() = w przedzile [6, 8], (c) f() = e w przedzile [ 3, ], (d) f() = sin w przedzile [ π/, π/], (e) f() = ln w przedzile [, e 8/3 ], (f) f() = e w przedzile [ /, ]. 7