Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate

Transkrypt

1 Modelowanie rzeływu cieczy rzez ośrodi orowate Wyład IV Model D dla rzyadu rzeływu cieczy nieściśliwej rzez ory nieodształcalnego szieletu. 4.. Funcja otencjału rędości. Rozwiązanie onretnego zagadnienia rzeływu filtracyjnego owinno być tratowane jao zadanie trójwymiarowe. Jedna rozwiązanie szeregu zagadnień metodami analitycznymi nastręcza duże trudności, a w rzyadu metod numerycznych jesteśmy ograniczeni wielością amięci maszyn matematycznych. Dlatego rozatrujemy często rzeływ w oreślonym rzeroju załadając, że w obliżu tego rzeroju własności ośroda, geometria uładu warstw, a więc i arametry rzeływu są w rzybliżeniu taie same. Wówczas sładowa rędość normalna do rzeroju jest równa zero. Jeżeli w zasięgu rozatrywanego obszaru zmienia się uład warstw lub własności ośroda, wówczas można rozwiązać zagadnienie w ilu rzerojach, rzyjmując jednaże do obliczeń zawsze schemat dwuwymiarowy. W rzyadu łasiego rzeływu filtracji równanie rzeływu cieczy nieściśliwej rzez ośrode jednorodny izotroowy można zaisać w ostaci: Φ Φ + y= 0 (4.) lub Φ = 0. (4.) Równanie jest ważne w rzyadu, gdy rozatrujemy rzeływ rzez ośrode y jednorodny i izotroowy. Φ,. Przyrównując funcję Φ do Rozwiązaniem równania (4.) jest funcja otencjału rędości ( ) stałej C, taiej, że H C H, (4.3) gdzie H i H są to estremalne wysoości hydrauliczne na brzegach obszaru filtracji wywołujące rzeływ wody w rozatrywanym obszarze, to dla: y C cons Φ = = (4.4) (, ) dostajemy równanie linii jednaowego otencjału C, tóry będziemy nazywać owierzchnią ewiotencjalną. 4.. Funcja rądu. Przeływ filtracyjny odbywa się wzdłuż linii normalnych do owierzchni ewiotencjalnych. Wyażemy, że jest ta w rzeczywistości. W rzyadu rzeciwnym, gdyby linia rądu nie była normalna do linii ewiotencjalnych, można by oreślić sładową rędości rzeływu styczną do owierzchni ewiotencjalnej.

2 Rys. 5 Związe dla linii rądu. J Ja wynia z (4.4) gradient hydrauliczny wzdłuż owierzchni ewiotencjalnej jest równy zeru, więc zerowemu gradientowi hydraulicznemu odowiedałaby sończona wartość rędości filtracji, co srzeczne jest z rawem Darcy. Rozatrzymy dla rzyładu ewien odcine linii rądu, (linia orowadzona w olu rędości filtracji w ten sosób, że styczne do niej w ażdym uncie wsazują ierune wetora rędości) na rys. 5. Weźmy dwa unty [A(, y) i B(, y)] znajdujące się na linii rądu i oddalone od siebie o niesończenie mały odcine ds. Z untu A rzerowadzimy styczną do linii rądu i wzdłuż niej oreślimy obraz graficzny wetora rędości r w uncie A(, y). Rzutując wetor na ierune oziomy i ionowy, dostaniemy wsółrzędne wetora r i r. Wetor r wraz ze wsółrzędnymi r i r tworzy trójąt rostoątny y ADE. Ponieważ unt B znajduje się niesończenie bliso untu A, można rzyjąć z doładnością do małych wyższego rzędu, że styczna AE orywa się z sieczną AB, więc ADE ABC. Stąd mamy: y d dy =. (4.5) y Równanie (4.5) można zaisać inaczej: dy d y + = 0, (4.6) ale tóre owinno być sełnione w dowolnym uncie y linii rądu. Ψ, oreślona w obszarze filtracji, taa że różnicza zuełna Załóżmy, że istnieje funcja ( ) tej funcji wynosi: d d dy y Ψ =. (4.7) Ja wiemy, waruniem oniecznym i wystarczającym na istnienie różniczi zuełnej w ostaci: jest warune: df F d F dy = + (4.8)

3 F y = F. (4.9) W naszym rzyadu: F F = =, (4.0),y więc, aby istniała różnicza zuełna w ostaci (4.8), owinien być sełniony warune: y y =, (4.) co możemy zaisać inaczej w ostaci: y y + = 0. (4.) Równanie (4.) jest równaniem ciągłości rzeływu dla rzyadu rzeływu łasiego z ( = 0). Wyazaliśmy więc, że istnieje różnicza zuełna funcji w ostaci (4.8). Wyraźmy ochodne cząstowe funcji Ψ rzy omocy sładowych wetorów rędości. Ponieważ różniczę zuełną funcji Ψ można zaisać w ostaci: d Ψ d dy Ψ Ψ = + y, (4.3) dostajemy: Ψ = y Ψ y=. (4.4) Z równania (4.6) wynia, że dla ażdej linii rądu: więc linię rądu oreśla równanie: (, ) d Ψ = 0, (4.5) y cons Ψ =, (4.6) dlatego funcję Ψ będziemy nazywali funcją rądu. Zbadajmy relację funcji rądu Ψ i funcji otencjału Φ. W tym celu sorzystamy ze związów: Ψ = y Φ i =, Ψ y= y Φ y i =, y stąd dostaniemy: 3

4 i Φ Ψ = y, (4.7) Φ y Ψ =. (4.8) Związi (4.7) i (4.8) są związami Cauchy - Riemanna, więc zgodnie z racą [Trajdosa-Wróbla, 965] rodziny rzywych: const i cons Φ = Ψ = (4.9) są wzajemnie ortogonalne. Uład tych linii w rzyadu zagadnień filtracji nazywamy siatą hydrodynamiczną rzeływu. Różniczując związe (4.7) o y i związe (4.8) o dostajemy: Φ y Ψ = y, Φ y Ψ =. (4.0) Ponieważ w owyższych związach (4.0) lewe strony są identyczne, możemy zaisać: Ψ Ψ + y = 0. (4.) Funcja rądu Ψ sełnia więc równanie Lalace a, co możemy zaisać w ostaci: Ψ = 0. (4.) Rozwiązanie onretnego zagadnienia srowadza się do rozwiązania równań różniczowych: Φ = 0, Ψ = 0. (4.3) W wyniu rozwiązania owyższych równań różniczowych możemy oreślić siatę hydrodynamiczną rzeływu. Sosoby rozwiązania łasich zagadnień filtracji zostaną rzedstawione w odrozdziale VIII.... 4

5 Rys: 6 Obliczenie wydatu rzeływającego omiędzy dwoma liniami rądu. Rozważmy niewieli obszar siati hydrodynamicznej rzeływu rzedstawiony na rys. 6. Obliczymy wydate rzeływający omiędzy dowolną linią rądu Ψ a linią oddaloną o niesończenie mały odcine Ψ + dψ. Ponieważ wydate cieczy rzeływającej rzez owierzchnię ds*m wynosi: dq d =, (4.4) wydate rzeływający rzez owierzchnię ewiotencjalną rerezentowaną linią A i B wynosi: Q A B d =. (4.5) Całę rzywoliniową we wzorze (4.5) można zastąić całą iterowaną: B ds d dy y = ( ). (4.6) A B A Na odstawie wzoru (4.7) wiemy, że stąd: d d dy y Ψ =, (4.7) Q d = Ψ = Ψ Ψ = Ψ Ψ. (4.8) Ψ Znając więc wartości funcji rądu odowiadających dwóm liniom rądu (rzechodzące rzez unty A i B na rys. 4.), można oreślić wydate rzeływający omiędzy tymi liniami rądu, tórym odowiadają odowiednie wartości funcji rądu Ψ, Ψ Siata hydrodynamiczna rzeływu. Więszość ratycznych zadań teorii filtracji można tratować jao zadanie łasie lub osiowo symetryczne (oływ budowli wodnej, rzeływ rzez grodze ziemne, doływ do rowu lub studni). Rozwiązanie onretnego zadania będzie olegało na oreśleniu w obszarze filtracji otencjału rędości Φ i funcji rądu Ψ. Graficznym rzedstawieniem rozwiązania zagadnienia będzie uład linii Φ =const i Ψ =const tworzących siatę hydrodynamiczną rzeływu. W odrozdziałach IV..8. i IV...8. wyrowadzono równania różniczowe, jaie sełniają funcję Φ i Ψ, a mianowicie: - dla zagadnień łasich: 5

6 Φ = 0 i Ψ = 0, (4.9) - dla zagadnień osiowych symetrycznych: r Φ = 0 i r Ψ = 0, (4.30) gdzie: r = r + y+ r. (4.3) Funcje Φ i Ψ muszą sełniać również waruni brzegowe. Dla rzyadu łasiego zagadnienia rzeływu siatę hydrodynamiczną rzedstawiono rzyładowo na rys. 7. Rys. 7 Przyład siati hydrodynamicznej rzeływu. IV Waruni brzegowe i oczątowe. W onretnych zadaniach ograniczymy się do ilu rodzajów warunów brzegowych na granicach obszaru filtracji: a) na granicach nierzeuszczalnych, b) na granicach rzeuszczalnych, c) wzdłuż linii wyznaczonej rzez owierzchnię swobodnych wód gruntowych, d) wzdłuż linii wyływu wody onad zwierciadłem wody swobodnej, e) na granicy dwóch ośrodów rzeuszczalnych o różnych wsółczynniach filtracji. 6

7 Rys.8 Rodzaje granic obszaru. Rodzaje granic obszaru dla rzyładowo rzyjętego obszaru filtracji rzedstawiono na rys. 8. Ad.a) Nierzeuszczalne granice obszaru filtracji wyznaczają: - ściani szczelne (linia JN), - założone granice obszaru filtracji (linia ALMH), - linie ontatu obszaru filtracji z warstwami nierzeuszczalnymi, - ontury zaór (linia łamana DCBPOGFE). Granice nierzeuszczalne są liniami rądu (atrz definicja linii rądu) i dlatego funcja rądu wzdłuż tych linii ma wartość stałą: cons Ψ =. (4.3) Ponieważ sładowa normalna do granicy nierzeuszczalnej rędości filtracji jest równa zeru, warune brzegowy na funcję otencjału rędości ma ostać Φ = n 0, (4.33) gdzie: n normalna do granicy nierzeuszczalnej. Zazwyczaj granice nierzeuszczalne złożone są z odcinów rostych. Przyjmijmy, że równane taiego odcina ma ostać: y f = ( ). (4.34) Równania (4.3) lub (4.33) można rozatrywać jao waruni, tóre winny być sełnione wzdłuż granicy nierzeuszczalnej oisanej równaniem (4.34). Ad. b) Przy dużych rozmiarach zbiornia wodnego można założyć, że rozład ciśnienia wzdłuż granic rzeuszczalnych jest zgodny z rawami hydrostatyi. 7

8 Rys. 9 Waruni brzegowe na granicach rzeuszczalnych. Dlatego w dowolnym uncie M znajdującym się na granicy AB (rys.9) między gruntem a zbiorniiem wodnym, wartość ciśnienia wynosi: gdzie: a ciśnienie atmosferyczne, γ w - ciężar własny wody, H y = + a w ( ) γ, (4.35) H - wysoość hydrodynamiczna w uncie M w uładzie osi (, ) y y wysoość ołożenia w uładzie osi (, ) y Ponieważ funcja otencjału rędości wyraża się wzorem: P y Φ = ( + ) +. (4.36) w γ Wartość funcji Φ w dowolnym uncie M wynosi: P a H c M Φ = ( + ) +. (4.37) w γ Z tego wynia, że dla dowolnego untu M, znajdującego się na granicy rzeuszczalnej w ontacie z wodą, funcja otencjału: cons Φ =. (4.38) Innymi słowy, granica rzeuszczalna jest granicą stałego otencjału rędości. Wzdłuż granicy rzeuszczalnej, sładowe styczne wetora rędości są równe zeru. Z tego wynia warune brzegowy na funcję rądu: Ψ = n 0, (4.39) gdzie n to normalna do granicy rzeuszczalnej. W rzyadu, gdy granica rzeuszczalna stanowi rzywą wyrażoną równaniem: y f = ( ). (4.40) Będziemy tratować związi (4.38) lub (4.39) jao waruni, tóre muszą być sełnione wzdłuż tej granicy oisanej równaniem (4.40). Ad. c) Powierzchnia swobodna wód gruntowych stanowi linię rozgraniczającą obszar wód grawitacyjnych od gruntu suchego lub od strefy wód ailarnych, gdy uwzględnimy własności ailarne gruntu. 8

9 Rys. 9 Waruni brzegowe na linii swobodnej owierzchni wód gruntowych. W ierwszym rzyadu załadamy, że ciśnienie na ontacie gruntu nawodnionego i suchego jest równe ciśnieniu atmosferycznemu. Korzystając ze wzoru (4.36) na linii swobodnej owierzchni zwanej taże rzywą deresji, uzysujemy warune: y cons Φ + =. (4.4) Gdy oś y jest sierowana w dół, warune (4.4) zastęujemy waruniem: y cons Φ =. (4.4) Uwzględniając strefę ailarną wód gruntowych rzyjmujemy, że na owierzchni swobodnej ciśnienie osiada wartość stałą, mniejszą od cisnienia atmosferycznego o wielość odowiadającą wysoości wzniesienia ailarnego wody w gruncie: gdzie: h - wysoość wzniosu ailarnego. h a w = γ, (4.43) Obserwacje wyazują, że rzy ruchu wód gruntowych należy rzyjmować h mniejsze od uzysanego odczas badania wzniosu ailarnego w rurce z gruntem (raca [Wieczysty, 98, Jese i innych, 966]). Podstawiając wartość do wzoru (4.30) otrzymamy znów warune (4.4) lub (4.4) lecz z inną wartością stałej. Krzywa deresji jest jednocześnie srajną linią rądu dla danego obszaru filtracji. Musi więc być sełniony warune: cons Ψ = (4.44) Waruni ((4.4); (4.44)) lub ((4.4); (4.44)) są warunami brzegowymi na linii owierzchni swobodnej wód gruntowych. Wystęowanie na jednym brzegu jednocześnie dwóch warunów brzegowych wsazywałoby teoretycznie na naddeterminację warunów brzegowych na tym brzegu. Musimy sobie jedna zdawać srawę z fatu, że linia rerezentująca owierzchnię swobodną jest a riori nieznana. Mamy więc w tym rzyadu do rozwiązania zagadnienie z nieznanym brzegiem. Istnieje więc onieczność wystęowania dwóch warunów brzegowych, a zagadnienie nie osiada nieuzasadnionej nadwyżi jednego warunu brzegowego. Swobodna owierzchnia wód gruntowych może być zasilana rzez oady, tajanie śniegu it. W tym wyadu mówi się, że istnieje infiltracja z owierzchni terenu do swobodnej owierzchni wód gruntowych. Zgodnie z racami [Wieczystego,98],[Rembezy, 998] rzyjmuje się w taim rzyadu nastęującą zasadę oreślania doływu do swobodnej owierzchni: Wydate wody rzez dowolną część swobodnej owierzchni jest roorcjonalny do rzutu oziomego łuu tej owierzchni lub inaczej, jest roorcjonalny do różnicy odciętych ońców tego łuu. Zgodnie z cytowaną wyżej zasadą, uzysujemy warune na owierzchni swobodnej w ostaci: 9

10 Ψ Ψ = ε, (4.45) 0 0 gdzie: Ψ i Ψ 0, są to wartości funcji rądu w untach owierzchni swobodnej o odciętych ε i 0, ilość wody doływającej odczas jednosti czasu na jednostę długości oziomego rzutu łuu rzywej deresji (intensywność filtracji). Dla rozatrzonego rzyadu intensywność infiltracji wynosiε >0. Uwzględniając arowanie ze swobodnej owierzchni wody, mamy do czynienia z tzw. infiltracją ujemną. Warune brzegowy rzyjmie ostać Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. z tą różnicą, że będzie osiadał wartość ujemną. Ogólnie można owiedzieć, że waruni: (4.4) lub (4.4) i (4.45) są najbardziej ogólnymi warunami dla rzywej deresji, rzy czym ε może być dodatnie (infiltracja), ujemne (arowanie) lub równe zeru. Ad. d) Linię wyływu wody onad zwierciadłem wody swobodnej, będziemy nazywali linią wysięgu. Obszary wysięgu mogą istnieć o stronie odowietrznej grodzy ziemnej na ścianach studni, rowów drenażowych it. Wzdłuż linii wysięgu ciśnienie winno być równe ciśnieniu atmosferycznemu, a więc musi być sełniony warune (4.4) lub (4.4). Wzdłuż linii wysięgu warune brzegowy wyrażony orzez funcję rądu ma ostać: Ψ = y cons. (4.46) Ad. e) Waruni na granicy wystęowania dwóch gruntów o różnych wsółczynniach filtracji musimy oreślić, gdy mamy do czynienia z ośrodiem uwarstwowionym. i Rys. 0 Granica dwóch ośrodów o różnych wsółczynniach filtracji. Załóżmy, że woda gruntowa rzeływa rzez dwa grunty z różnymi wsółczynniami filtracji, graniczącymi z sobą wzdłuż linii L M (rys 0). Dla ażdej z warstw wzdłuż linii ontatu LM funcja otencjału rędości ma ostać: y c Φ = ( + ) + w, (4.47) γ 0

11 rzy czym: i y c Φ = ( + ) + w, (4.48) γ odowiednie ciśnienie na linii ontatu w ierwszej i drugiej warstwie. Ponieważ rzy rzejściu wody rzez granicę dwóch ośrodów, ciśnienie winno się zmieniać w sosób ciągły, mamy: (4.49) =. Korzystając z warunu (4.49) i wyrażeń (4.47) i (4.48) otrzymujemy warune brzegowy na funcję otencjału rędości w ostaci: lub gdy dowolną stałą rzyjąć równą zeru: Φ c Φ = + (4.50) Φ Φ =. (4.5) Drugi warune otrzymamy wiedząc, że sładowa normalna wetora rędości jest identyczna w jednym i drugim ośrodu (z rawa ciągłości rzeływu). Oznaczając rzez n i normalne n sładowe wetora rędości wzdłuż linii ontatu ośrodów, L M mamy: =. (4.5) n n Oznaczając nastęnie dla ażdego z ośrodów funcje rądu Ψ i Ψ i orzystając ze wzoru (4.6), warune (4.5) można zaisać w ostaci: Ψs Ψ = s, (4.53) gdzie: s styczna wzdłuż linii ontatu. Obierając stałą całowania równą zeru, otrzymamy na linii granicznej warune (4.53) w ostaci: Ψ = Ψ. (4.54) Równania (4.5) lub (4.5) stanowią waruni brzegowe, jaie winny być sełnione wzdłuż linii ontatu dwóch ośrodów o różnych wsółczynniach filtracji. Zróżniczujemy teraz (4.5) o zmiennej stycznej do łuu linii ontatu warstw o różnych wsółczynniach: Φ Φ = s s Wrowadzając sładowe styczne wetora rędości. (4.55) s s i otrzymamy:

12 Na odstawie rys. 4.7 można zaisać: s n s s tg α =. (4.56) s = i = tg, (4.57) α gdzie α i α oznaczają ąty między normalną do linii granicznej i wetorami rędości. Uwzględniając zależności między sładowymi stycznymi i normalnymi wetorów rędości w obydwu ośrodach ((4.5); (4.56) i (4.57)), dostajemy: tg n α tgα =. (4.58) Równanie (4.58) oreśla rawo załamania strumienia filtracji na ontacie dwóch warstw o różnych wsółczynniach filtracji.