Zastosowanie metod numerycznych Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN E-mail: reginska@impan.pl http://www.impan.pl/ reginska/wyklady2011 Wykład cz.iii, CSZ PW, semestr letni 2013 Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 1/44
Czȩść III Przykłady zagadnień źle postawionych Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 2/44
Zagadnienie odwrotne dla wia zki laserowej Model fizyczny Model matematyczny Metody regularyzacji Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 3/44
Model wia zki laserowej Typowy kształt wia zki laserowej Źródło światła x Γ Powierzchnia, na której stosunek natężenia pola elektrycznego do jego maksymalnej wartości na przecięciu jest stały S y Ω z S - laser Przykład: Wia zka Gausowska - natȩżenie pola elektrycznego jest funkcja Gaussa odległości od osi wia zki. Zadanie dane sa pomiary pola elektromagnetycznego na powierzchni Γ Ω, wyznaczyć pole w obszarze Ω Teresa Regińska 4/44
Układ pomiarowy Generator Impulsów prądowych Platforma obrotowa α α laser R β? detektory Przetwarzacze detectorowe Zasilacz platformy α kompilator komputer Schemat ilustruja cy zasadȩ pomiaru rozkładu natȩżenia pola generowanego przez lasery półprzewodnikowe Teresa Regińska 5/44
Informacja o rozkładzie przestrzennym pola jest bardzo ważna z wielu wzglȩdów: umożliwia ona dobre zaprojektowanie układu optycznego przyrza du, w którym laser jest użyty (ogniskowanie, usuniȩcie astygmatyzmu, redukcja modów bocznych itp.), umożliwia projektowanie lasera pod ka tem uzyskania poża danych przez projektanta własności optycznych pozwala też precyzyjnie określić zakres zastosowań danego lasera Teresa Regińska 6/44
Model matematyczny Proces stacjonarny, ω= const pole elektryczne D(r, t) = e iωt D(r) pole magnetyczne B(r, t) = e iωt B(r) równania Maxwella równania Helmholtza D(r) + k 2 D(r) = 0, r Ω R 3 B(r) + k 2 B(r) = 0, r Ω R 3 gdzie ( ) ω 2 k 2 = c Jeżeli warunki brzegowe dla pól D(r) i B(r) sa liniowe, to każda ich składowa również spełnia zagadnienie brzegowe dla równania Helmholtza. Teresa Regińska 7/44
PROBLEM KLASYCZNY u ustalona składowa pola elektromagnetycznego. Ω ograniczony otwarty obszar w R 3 Równanie Helmholtza 0 < µ = k 2, k - liczba falowa Typowe warunki brzegowe u + µu = 0 on Ω warunki Dirichleta na brzegu Ω of Ω, warunki Neumanna na brzegu Ω of Ω, Teresa Regińska 8/44
PROBLEM ODWROTNY Warunki brzegowe na czȩści brzegu Niech Γ Ω oraz g, h L 2 (Γ). Zagadnienie Cauchy ego dla równania Helmholtza wyznaczyć u D H 1 (Ω) takie, że (D bȩdzie określone) u + µu = 0, w Ω CP(g, h) u = g na Γ, u ν = h na Γ. Examples Ω Γ Ω Γ X Γ 0 Ω Γ 0 d z y Teresa Regińska 9/44
Jednoznaczność Główne pytania: Założenie: g, h L 2 (Γ) takie, że istnieje rozwia zanie u H 1 (Ω) problemu CP(g, h). Czy rozwia zanie jest jednoznaczne? Metoda rekonstrukcji u Mamy pomiary g δ i h δ na powierzchni Γ takie, że f δ f L 2 (Γ) + g δ g L 2 (Γ) δ Jak wyznaczyć przybliżone rozwia zanie na Ω oraz jaka dokładność można uzyskać? Teresa Regińska 10/44
Równanie Helmholtza na nieskończonej warstwie w R 2 y d u=g, u y =0 Γ u+k 2 u=0 Ω 0 x CP1 2 u + 2 u + k x 2 y 2 u = 0, dla x R, y (0, d) 2 u(x, d) = g(x) dla x R, u y (x, d) = 0 dla x R. Teresa Regińska 11/44
Narzȩdzie do analizy tego zagadnienia: Transformata Fouriera funkcji v L 2 (R) ˆv(ξ) := 1 v(x)e iξx dx 2π Własności: v 2 L 2 = R v(x) 2 dx = R ˆv(ξ) 2 dξ = ˆv 2 L 2 v x (ξ) = iξˆv(ξ) 2 v x 2 (ξ) = ξ 2ˆv(ξ) R Teresa Regińska 12/44
Równoważne sformułowanie w przestrzeni czȩstotliwości CP2 û yy (ξ, y) = (ξ 2 k 2 )û(ξ, y), dla ξ R, y (0, d) û(ξ, d) = ĝ(ξ) dla ξ R, û y (ξ, d) = 0 dla ξ R. Równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzȩdu ze wzglȩdu na y. Rozwia zanie ogólne: w(ξ, y) = α 1 (ξ)e y ξ 2 k 2 + α 2 (ξ)e y ξ 2 k 2 Teresa Regińska 13/44
Jeśli w(ξ, y) ma spełniać warunki brzegowe CP2, to w(ξ, y) = 1 2ĝ(ξ) ( e (d y) ξ 2 k 2 + e (d y) ξ 2 k 2 ) ( ) = ĝ cosh (d y) ξ 2 k 2 cosh x = ex +e x 2 cosh ix = cos x Wzór na rozwia zanie CP2 û(ξ, y) w y = y 0 ( ) û(ξ, y 0 ) = cosh (d y 0 ) ξ 2 k 2 ĝ(ξ) Teresa Regińska 14/44
û(ξ, y 0 ) jest rozwia zaniem równania: A(y 0 )û(ξ, y 0 ) = ĝ(ξ), gdzie A(y 0 ) jest operatorem mnożenia przez funkcjȩ a(ξ) A(y 0 )v(ξ) := a(ξ)v(ξ) a(ξ) = 1 cosh ((d y 0 ) ) ξ 2 k 2 A(y) : L 2 (R) L 2 (R) jest ograniczony lub nieograniczony w zależności od d y oraz k A(y) 1 jest nieograniczony Jeśli rozwia zanie istnieje, to jest jednoznaczne Teresa Regińska 15/44
Jeżeli k(d y) < π 2 A(z) jest ograniczony Fig. 1: funkcja a( ξ ) = 1 cosh [ (d y) ξ 2 k 2] dla d = 1, k = 2 i różnych y a( ξ ) 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 y = 0.8 y = 0.6 y = 0.4 y = 0.3 ξ Teresa Regińska 16/44
Jeżeli k(d z) > π 2 A(z) nieograniczony Fig. 2: funkcja a( ξ ) = 1 cosh [ (d y) ξ 2 k 2] dla d = 1, y = 0.1 i k = 6 a( ξ ) 8 4 0 4 8 2 4 6 8 ξ Teresa Regińska 17/44
Bła d najlepszej aproksymacji Jeẋeli to g g δ L 2 δ R u(x, 0) 2 dx E 2, Tw. 3.2 i Tw. 3.6 z pracy: u(, y 0 ) u δ opt E d y 0 d δ y 0 d T. Regińska and U. Tautenhahn, (2009), Conditional stability estimates and regularization with applications to Cauchy problems for the Helmholtz equation Numer. Funct. Anal. and Optimiz. 30 (9-10), 1065 1097 Teresa Regińska 18/44
Metody regularyzacji - schemat ϕ(a) := 1 a û(ξ, y) = ϕ(a(ξ))ĝ(ξ) {ϕ α (a)} α (0,α0 ) rodzina regularyzuja ca ϕ α (a) ϕ(a) gdy α 0 α 0 ϕ α (a) ograniczona funkcja na R rozwia zanie zregularyzowane û δ α(ξ, y) := ϕ α (a(ξ))ĝ δ (ξ) Teresa Regińska 19/44
Metody regularyzacji - przykłady metoda Tichonowa: (A A + α)v δ α = A f δ metoda "spektralna" ϕ α (a) = ϕ α = a a 2 + α { 1 a a α 0 a < α metoda "spektralna zmodyfikowana" { 1 a a α ϕ α = a < α 1 αa û δ α(ξ, y) := ϕ α (a(ξ))ĝ δ (ξ) Teresa Regińska 20/44
Metoda spektralna û δ cosh ((d y 0 ) ) ξ 2 k 2 ĝ δ (ξ) gdy (*) α(ξ, y 0 ) = 0 gdy ( ) (*) a α, tzn. cosh ((d y 0 ) ) ξ 2 k 2 1 α (**) a < α, tzn. cosh ((d y 0 ) ) ξ 2 k 2 Twierdzenie o zbieżności Jeżeli R u2 (x, 0)dx E 2, R spełnia równanie to R > 1 α ( g(x) g δ (x)) 2 dx δ i α(δ) α(δ) k 2 = 1 d ln δ 2E ( ) 2 u(x, y 0 ) u δ d y 0 α(x, y 0 ) dx CE d Teresa Regińska 21/44 δ y 0 d
Ilustracja numeryczna - skutki złego wyboru parametru regularyzacji Obliczenia numeryczne dla zagadnienia Cauchy ego dla równania Helmholtza na warstwie w R 3 Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 22/44
u + k 2 u = 0, na R 2 (0, d) CP(g, 0) u(x, y, d) = g(x, y) dla (x, y) R 2, u z (x, y, d) = 0 dla (x, y) R2. y Γ 0 X A(z) Γ 0 z 0 d z Γz Teresa Regińska 23/44
Obliczenia przy nastȩpuja cych założeniach: Rozwia zanie zregularyzowane: k = 4, d = 1, z = 0, 8 u δ α(x, y, z) = T 1 (cosh ((d z) ξ 2 k 2 )T (gα)) δ ĝ δ α = {ĝδ (ξ) ξ 2 α 0 ξ 2 > α Transformata Fouriera jest zasta piona szybka transforrmata Fouriera. Teresa Regińska 24/44
Warstwa w R2 Przykład 2 Ilustracja w R3 funkcja g na brzegu Γ π2 g(x, y) = exp 2 π x2 Przykład 3 Regularyzacja funkcja gδ na brzegu Γ! π2 exp 2 π y2!, na ( π, π)2 δ = 0.001, Teresa Regińska 25/44
Warstwa w R2 Przykład 2 Ilustracja w R3 Przykład 3 Regularyzacja uδα (x, y, 0.8) dla gδ uα (x, y, 0.8) dla g α = 50 δ = 0.001 Teresa Regińska 26/44
Przykład 2 Warstwa w R2 Ilustracja w R3 Przykład 3 Regularyzacja rozwia zanie zregularyzowane uδα (x, y, 0.8) dla α = 10 Teresa Regińska uδα (x, y, 0.8) dla α = 2 27/44
Odwrotne zagadnienie ciepłoprzewodnictwa Model fizyczny Model matematyczny Metody regularyzacji Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 28/44
Optymalizacja procesu schniȩcia lakieru L - powierzchnia lakierowana Temperatura i jej gradient ma wpływ na czas schniȩcia i jakość pokrywy lakieru pomiary temperatury na powierzchni L niedostȩpne Teresa Regińska 29/44
Model matematyczny Zadanie klasyczne t uxx=ut u(0,t)=f(t) u(1,t)=g(t) 0 u(x,0)=0 1 x Zadanie odwrotne "sideways heat equation" t (SHE) uxx=ut u(1,t)=g(t) ux(1,t)=h(t) 0 u(x,0)=0 1 x Teresa Regińska 30/44
Zadanie odwrotne na półpłaszczyźnie (SHE) t u xx =u t u(1,t)=g(t) u(x,.) ograniczone gdy x 0 u(x,0)=0 1 x u(x,t)=0 u(1,t)=g(t)=0 Założenia dodatkowe istnieje rozwia zanie i u(0, ) L 2 (R) M g(t) g m (t), g m g δ Teresa Regińska 31/44
Modelowe zadanie odwrotne SHE1(g) u xx (x, t) = u t (x, t), dla x > 0, t R u(1, t) = g(t) dla t R, u x ograniczone. Narzȩdzie do analizy tego zagadnienia: Transformata Fouriera wzglȩdem zmiennej t ˆv(ξ) := 1 v(t)e iξt dt 2π R Teresa Regińska 32/44
Równanie na û(x, ξ) SHE2(ĝ) û xx (x, ξ) = iξû(x, ξ), dla x > 0, t R û(1, ξ) = ĝ(ξ) dla t R, û x ograniczone. Równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzȩdu ze wzglȩdu na x. Rozwia zanie ogólne: w(x, ξ) = α 1 (ξ)e x iξ + α 2 (ξ)e x iξ gdzie + ξ i) iξ = 2 ξ 0 (1 (1 i) ξ 2 ξ < 0 Teresa Regińska 33/44
Wzór na rozwia zanie: û(x, ξ) = e (1 x) iξĝ(ξ) Dla x > 1, t R zadanie jest dobrze postawione Dla 0 < x < 1, t R zadanie jest źle postawione: x (0, 1) û(x, ) L 2 (R) e ξ /2ĝ(ξ) L 2 (R) g m g L 2 δ e ξ /2ĝ m (ξ) L 2 (R) Teresa Regińska 34/44
Metoda I Metoda Fouriera (spektralna) Niech α (0, α 0 ) e (1 x) iξû(x, ξ) = ĝ(ξ) û = ϕ(a)ĝ gdzie ϕ(a) = 1 a. ( û δ α(x, ξ) := ϕ α e (1 x) ) iξ ĝ m, gdzie ( ϕ α e (1 x) ) iξ = e (1 x) iξ ξ 1 α 0 ξ > 1 α Teresa Regińska 35/44
Twierdzenie Niech u(0, ) L 2 M oraz g g m L 2 δ. Jeżeli wybierzemy α = α(δ) takie, że 1 α = 2 ln2 ( M δ ) to u(x, ) u δ α(x, ) L 2 2M (1 x) δ x Teresa Regińska 36/44
Metoda II Metoda Galerkina wprowadzenie Rozpatrujemy równanie różniczkowe Lu = f w L 2 (Ω) Wybieramy funkcje bazowe (testowe) ϕ n 1,, ϕn n, lnz n u n := c i ϕ n i i 1 Na ogół Lu n f. Szukamy {c i } i=1,,n tak, aby Lu n f była mała. (Lu n f, ϕ n i ) = 0 i = 1,, n Przy pewnych założeniach o L i {ϕ n i } rozwia zanie u n istnieje i u u n C inf n wn= u w h (Lemat Cea) 1 βiϕn i Metoda zależy od wyboru funkcji bazowych {ϕ n i }. Teresa Regińska 37/44
Metoda Galerkina dla SHE Równanie u xx u t = 0 na R + R i warunek u(1, ) = g. Niech n u δ n(x, t) = c δ i (x)ϕ n i (t) i=1 x R +, t R {c δ i (x)} maja być takie, że ( ) 2 R u x δ n(x, t) 2 t uδ n(x, t) ϕ n i (t)dt = 0 R uδ n(1, t)ϕ n i (t)dt = R g m(t)ϕ n i (t)dt i = 1,, n i = 1,, n Dla uproszczenia załóżmy, że ϕ n i (t)ϕ n j (t)dt = δ ij R Teresa Regińska 38/44
Układ równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzȩdu Oznaczenia: d ij := R d dt ϕn i (t)ϕn j (t)dt, γδ i := R g m(t)ϕ i (t)dt C(x) = c 1 (x). c n (x), D = d 11 d 1n..... d n1 d nn Zapis macierzowy C δ (x) DC δ(x) = 0 C δ (1) = γ δ C δ ograniczone gdy x, γ δ = γ δ 1. γ δ n Teresa Regińska 39/44
Wybór funkcji testowych Pytanie 1: jak wybrać funkcje testowe {ϕ n i } dla SHE? Pytanie 2: jak wybrać liczbȩ n w zależności od błȩdu danych δ, aby u δ n(x, ) u(x, ) 0 gdy δ 0 Jedna z możliwości jest zastosowanie funkcji falkowych Meyera T. R.and L.Eldén, (1997), Solving the sideways heat equation by a wavelet-galerkin method Inverse Problems 13 Teresa Regińska 40/44
Funkcje falkowe - wprowadzenie Falka (wavelet) - jest to funkcja ψ L 2 (R), taka, że jej przesuniȩcia i dylatacje tworza bazȩ w L 2 (R) ψ j,k (t) = 2 j 2 ψ(2 j t k) Falka Haara Proste wzory, ale brak regularności. Fa 2 ψ 14 1 Ψ(t) 0 1 2 2,5 t -1 2 Teresa Regińska 41/44
Teresa Regińska 42/44 2 8 Falka Meyera ψ(ξ) = e i ξ 2 b(ξ), [ ( )] 1 2π sin π 2 ν 3 2π ξ 1, dla 2π 3 ξ 4π 3, [ ( )] b(ξ) = 1 2π cos π 2 ν 3 4π ξ 1, dla 4π 3 ξ 8π 3, 0, dla pozostałych
n u δ n = c δ j,k(x)ψ j,k (t) j=0 k Z Twierdzenie - Zbieżność metody Meyera - Galerkina Niech u(0, ) L 2 M oraz g g m L 2 δ. Jeżeli 2 n 1 π ( ln M δ ) 2 to u δ n(x, ) u(x, ) cδ x s M 1 x 3 Teresa Regińska 43/44
Regularyzacja SHE Test 1 Test 2 Metoda Fouriera (spektralna) Linia ciągła rozwiązanie dokładne dla x=0 Linia przerywana rozwiązanie zregularyzowane dla x=0 Linia czerwona temperatura mierzona w punkcie x=1 Metoda Galerkina (falki Meyera) Teresa Regińska 44/44