LINIA DŁUGA Z Z, τ e u u Z L l Konspek do ćwiczeń laboraoryjnych z przedmiou TECHNIKA CYFOWA
SPIS TEŚCI. Definicja linii dłuiej... 3. Schema zasępczy linii dłuiej przedsawiony za pomocą elemenów o sałych skupionych... 4 3. Linia dłua bezsrana... 5 4. Własności linii dłuiej... 5 5. odzaje linii dłuiej... 7 6. ealizacja czwórnika Γ dopasowująceo eneraor do linii dłuiej... 9 7. Graficzna meoda analizy sanów nieusalonych (meoda Bererona)... 9 8. Przykładowe zadania... 5. Lieraura...
. Definicja linii dłuiej Jes o aka elekryczna linia dwuprzewodowa, kórej wymiar jes porównywalny z dłuością fali napięcia przesyłaneo synału. Taka syuacja ma miejsce przy przesyłaniu synałów o wielkich częsoliwościach lub impulsów prosokąnych o bardzo sromych zboczach. Wszelkie prądy i napięcia w linii dłuiej należy rozparywać nie ylko jako funkcje czasu, ale również położenia. Linie przewodową można rakować jako linię dłuą, dy dla synałów wysępujących w linii spełniony jes warunek: λ l, () 4 λ przy założeniu, że d <<, dzie: 4 d odlełość między przewodami l dłuość linii, c λ - dłuość fali określona zależnością: λ (a) f y y d X z l a ys. Dwuprzewodowa symeryczna linia przesyłowa. Minimalne dłuości przewodów, kóre można rakować już jako linie dłuą, wyliczone na podsawie zależności () korzysając z (a), wynoszą: 5 Hz (częsoliwość sieci enereycznej) 954 km 5 khz (I P) m 96 MHz (MF FM w Krakowie) 49,7 cm GHz (częsoliwość pracy współczesnych procesorów) 4,77 cm. W przypadku przesyłania synałów cyfrowych bardziej isonym paramerem jes czas narasania zbocza impulsu niż częsoliwość synału (zbocza impulsu zawierają harmoniczne o bardzo dużych częsoliwościach). Jeżeli założyć, że czas propaacji synału przez przewód wynosi p, o linię dłuą nazywamy akie połączenie pomiędzy układami, w kórym czas propaacji synału jes większy niż połowa średnieo czasu rwania zbocza przenoszoneo synału T, czyli p >.5 T. W przypadku szybkich układów cyfrowych, dla kórych czas rwania zbocza jes mniejszy niż ns, linią dłuą jes ścieżka obwodu drukowaneo o dłuości ok. 9 cm oraz przewód koncenryczny o dłuości ok. 7 cm. 3
. Schema zasępczy linii dłuiej przedsawiony za pomocą elemenów o sałych skupionych Przyjmując, że dosaecznie mały odcinek linii o dłuości x spełnia warunek quasisacjonarności, można o przedsawić w posaci układu skupioneo. i x L x i+ i u i u G x C x u+ u x x x+ x ys. Model odcinka linii dłuiej w posaci czwórnika skupioneo. W czwórniku ym wysępują elemeny skupione x, L x, C x, G x, dzie, L, C, G są warościami paramerów jednoskowych w punkcie x linii: rezysancja na jednoskę dłuości linii [Ω/m] reprezenująca wszelkie sray cieplne w obu przewodach linii L indukcyjność na jednoskę dłuości linii [H/m] reprezenująca pole maneyczne obu przewodów linii C pojemność na jednoskę dłuości linii [F/m] reprezenująca pole elekryczne w dielekryku między przewodami linii G upływność na jednoskę dłuości linii G [S/m] reprezenująca ewenualne sray cieplne w dielekryku. Oznaczając przez uu(x,), ii(x,) napięcie i prąd na zaciskach powyższeo czwórnika można zapisać nasępujące równania wynikające z praw Kirchhoffa: u i x xi + L x x i ( u + u) x G x( u + u) + C x x Przy x mamy akże u i i. Dzieląc zaem równania () przez x i przechodząc do ranicy przy x orzymujemy równania jakie spełniają napięcie oraz prąd w każdym punkcie x linii i w każdej chwili. u i i + L x i u Gu + C x () (3) 4
Należy zauważyć więc, że linie dłuą można rozparywać jako przypadek raniczny połączenia łańcuchoweo czwórników skupionych, sanowiących modele dosaecznie krókich odcinków linii, dy dłuość ych odcinków zmierza do zera, a ich liczba rośnie nieoraniczenie. uując kolejno u lub i orzymujemy równania dla każdej z ych niewiadomych oddzielnie. óżniczkując pierwsze równanie z zależności (3) po x a druie po dosajemy: u u u LC + ( C + LG) + Gu (3.) x i i i LC + ( C + LG) + Gi (3.) x 3. Linia dłua bezsrana Bezsrana linia dłua o aki przypadek linii dłuiej, dla kórej i G. Przy założeniu jednorodności linii, redukując (3.) i (3.) orzymujemy równania: u x v i x v u (4) i v. (5) LC W linii dłuiej bezsranej (BLD) w kierunku osi x rozchodzi się płaska fala elekromaneyczna z prędkością określoną wzorem (5). 4. Własności linii dłuiej 5.. Impedancja falowa Impedancja falowa Z C linii sranej: Z + jωl ' jθ Z C Z C e. (6) Y G + jωc W przypadku linii bezsranej powyższy wzór upraszcza się do: L Z C. (7) C Jak widać impedancja falowa nie zależy od dłuości linii lecz od jej budowy, zn. wymiarów oraz maeriałów przez kóry przenika pole elekromaneyczne synału. Jeżeli impedancja obciążenia linii dłuiej Z obc Z c o linia dłua jes dopasowana falowo. W akiej linii nie wysępują odbicia enerii, a iloraz napięcia do prądu w każdym punkcie linii jes równy impedancji falowej. Najczęściej spoykane przewody koncenryczne mają impedancję falową równą 5Ω lub 75Ω. Impedancja falowa ypowych linii przesyłowych w obwodach drukowanych wynosi Ω. 5
5.. Prędkość rozchodzenia się fali Dla linii bezsranej, G możemy napisać wzór na prędkość rozchodzącej się fali w posaci: c ν, (8) LC εµ ε µ r r dzie: ε r ε ε µ - przenikalność elekryczna ośrodka, µ µ r - przenikalność maneyczna ośrodka. Czas propaacji Czas propaacji τ o czas w jakim fala pierwona lub odbia pokonuje całą dłuość l linii dłuiej, czyli l τ (9) ν 5.3. Współczynnik łumienia Tamowność jednoskowa linii dłuiej ze sraami dana jes wzorem: γ ( + jωl)( G + jωc) α + jβ () naomias linii bez sra: dzie: γ j ω LC α - współczynnik łumienia ( dla linii bez sra wynosi ) β - współczynnik przesunięcia ( dla linii bez sra wynosi ω LC ) jβ () Wielkości α, β i Z C decydują o paramerach fal napięcia i prądu w linii dłuiej. Paramery falowe α, β i Z C zależą od paramerów jednoskowych linii dłuiej czyl i od, L, G, C oraz od częsoliwości. Z zależności () wyznaczamy współczynniki łumienia i przesuwności : α ( + ( ωl) G + ( ωc) + G ω LC) β ( + ( ωl) G + ( ωc) G + ω LC) () (3) α G β ω ω C + GL α ω β LC LC ω (5) Graficzna prezenacja współczynników α i β w funkcji ω zosała przedsawiona na rys.3 (4) 6
C+GL LC α asympoa dla α G β asympoa dla β arc LC ω ys.3 Przebie sałych α, β w funkcji pulsacji 5.5 Współczynnik odbicia Z l e u Z L ys.4 Przykład linii dłuiej o impedancji falowej Z zasilanej z eneraora e, o impedancji wejściowej Z i obciążonej impedancją Z L. Dla podaneo przykładu definiujemy: Z Z Γ współczynnik odbicia na wejściu linii (6) Z + Z Z Z L Γ L współczynnik odbicia na wyjściu linii (7) Z L + Z 5. odzaje linii dłuiej Linie dłuie sosowane w echnice impulsowej o łównie odcinki iękieo kabla współosioweo oraz zw. linie paskowe, uworzone z płaskich ścieżek przewodzących, umieszczonych na powierzchni dielekryku. Niekiedy używane są eż skręcone linie symeryczne dwuprzewodowe (zw. skręki) i współosiowe linie szywne ypu falowodoweo. Kable iękie są najczęściej wykorzysywane wedy, dy wymaana jes sosunkowo duża odlełość (opóźnienie) linii, rzędu kilku lub kilkudziesięciu merów. Przy niewielkich opóźnieniach wyodniejsze w zasosowaniu są linie paskowe, wykonywane echniką 7
obwodów drukowanych na dwusronnych laminaach z żywic epoksydowych lub eflonu. Linie dwuprzewodowe naomias sosuje się zwykle w urządzeniach o niezby wysokich paramerach użykowych lub jako uzwojenia ransformaorów o sałych rozłożonych. ε Z 3 [ Ω] ε D Z [ Ω] 3 8 6 4 4 8 ε6 D ε d 8 6 4 W ε H a) 5 5 D/d b),5,,,4,6, 4 6 8 3 W/H ε Z [ Ω] 4 d 8 6 D izolacja przewodów 4 c),,,3,4,5,6,7,8,9 D/d ys.5 Zależność impedancji charakerysycznej linii dłuich od wymiarów eomerycznych. a) Linia współosiowa i linia dwuprzewodowa symeryczna, b) linia paskowa,c) linia dwuprzewodowa symeryczna wykres dla małych warości sosunku odlełości pomiędzy przewodami do ich średnicy. 8
Waro zwrócić uwaę, że użyeczny zakres Z zamyka się w ranicach 3 3 Ω. Sandardowe kable współosiowe mają Z 5 Ω lub, rzadziej, 75 Ω. Opóźnienie jednoskowe powszechnie sosowanych linii nie przekracza zwykle 5 ns/m. Ta sosunkowo mała warość wynika z szybkości rozchodzenia się fal elekromaneycznych w linii. Układy kszałujące z liniami dłuimi moą mieć zasosowanie jedynie w echnice szybko narasających i krókich impulsów, zw. echnice nanosekundowej. Sraność linii zależy w łównej mierze od jakości maeriałów i sposobu wykonania. Źródłem sra może być zarówno rezysancja przewodników, jak i upływność dielekryku, przy czym warość sra rośnie z częsoliwością np. wskuek efeku naskórkowości. W prakyce, linia wysokiej jakości, z dielekrykiem eflonowym i srebrzonymi przewodnikami, może być rakowana jako bezsrana w pasmie do kilku GHz, jeżeli jej dłuość nie przekracza kilkunasu merów. Linie paskowe na laminaach epoksydowych są znacznie orsze sray są zauważalne już przy dłuości rzędu kilkunasu cm. 6. ealizacja czwórnika Γ dopasowująceo eneraor do linii dłuiej Częso w prakyce rezysancja eneraora nie jes równa impedancji falowej przewodu, dlaeo by dopasować eneraor do linii dłuiej sosuje się czwórniki dopasowujące. Przykład czwórnika dopasowująceo przedsawiono na rys. 6. o ys.6 Czwórnik dopasowujący Γ Warości rezysancji oraz można obliczyć z poniższeo układu równań przy znanych warościach oraz : dzie: + + ( + ) + + rezysancja eneraora o rezysancja obciążenia, rezysancje czwórnika Γ 7. Graficzna meoda analizy sanów nieusalonych (meoda Bererona) Graficzna meoda wykresów Bererona ma szczeólne znaczenie dla analizy układów impulsowych o sałych rozłożonych. Polea ona na bezpośrednim wykorzysaniu zasady superpozycji fal wędrujących w linii. Za pomocą wykresów Bererona można określić przebiei prądu i napięcia na końcach linii jak również w dowolnym jej punkcie. Możliwe jes uzyskanie rozwiązania przy nieliniowym charakerze obciążenia linii jak i nieliniowym (8) 9
charakerze źródła pobudzająceo, jednak my zajmujemy się przypadkami liniowymi. ozważania oraniczymy do wyznaczenia odpowiedzi napięciowej na począku i na końcu przy różnym obciążeniu. 8.. Wyznaczenie odpowiedzi linii dłuiej na skok jednoskowy ozważmy bezsraną linię dłuą (BLD) przedsawioną na rys. 7 l,τ e U BLD L ys.7 Bezsrana linia dłua o dłuości l i czasie propaacji τ, serowana ze źródła napięcia e o rezysancji wejściowej, L rezysancja obciążenia Dane: e U m,, L Szukane: U, U ozwiązanie: Współczynniki odbicia na począku i końcu linii dłuiej (odpowiednio ρ i ρ L ) wynoszą: ρ (9a) + L ρ L (9b) L + Odcinek linii od momenu pobudzenia do chwili powrou fali odbiej od końca ( < < τ) obciąża źródło e jako rezysancja równa Schema zasępczy dla przedsawia rys. 8
U m U () ys.8 Schema zasępczy obwodów wejściowych linii dłuiej z rys.7 dla czasu. Sąd: U( ) U m U () + Fala napięciowa o ampliudzie U wędruje ku obciążeniu. W czasie od do τ napięcie na wyjściu linii dłuiej wynosi. Po czasie τ fala dociera do obciążenia, dzie nasępuje jej odbicie ze współczynnikiem odbicia ρ L. Ampliuda napięcia na końcu linii dłuiej jes superpozycją fali padającej i odbiej sąd: U ( τ ) U + ρ L () U Na wejściu linii dłuiej ampliuda napięcia wynosi U aż do chwili kiedy fala odbia od końca (ρ L U ) dorze do począku linii dłuiej. Wówczas do napięcia U doda się superpozycje fali padającej i odbiej: ( τ ) U + ρ LU + ρ ρ L U U () Fala odbia od począku linii dłuiej (ρ ρ L U ) bienie ku jej końcowi, id. Powyższe rozważania można przedsawić na wykresie U ρ ρ L x U τ U +ρ L U ρlu U +ρ L U +ρ ρ L U ρρlu 3τ ρ ρl U U +ρ L U +ρ ρ L U +ρ ρ L U ys.9 Schema rozchodzenia się fali w odcinku fali dłuiej.
Oś pionowa jes osią czasu, oś pozioma jes osią odlełości. Napięcia dla x (kolor czerwony) oznaczają napięcia na począku linii dłuiej w funkcji czasu, naomias napięcia dla x l oznaczają napięcia na końcu linii dłuiej w funkcji czasu (kolor niebieski). W oparciu o powyższy wykres wyznaczamy napięcie na począku i końcu linii dłuiej w funkcji czasu. U(,)U +(-τ)u (+ρ L ρ )+(-4τ)U (+ρ L ρ + ρ L ρ )+... U(l,)(-τ)U (+ρ L )+(-3τ)U (+ρ L ρ + ρ L ρ )+... 8.. Wyznaczenie odpowiedzi linii dłuiej na impuls prosokąny oraz falę prosokąną Wyznaczenie odpowiedzi linii dłuiej na skok jednoskowy zosało opisane powyżej, eraz zajmiemy się odpowiedzią na impuls prosokąny. ozważmy układ z rys. 7: Dane:,, L Szukane: U U e U m T ozwiązanie: Posępowanie w ym przypadku jes bardzo podobne do wcześniejszeo z ą różnicą, że impuls prosokąny jes złożeniem dwóch skoków jednoskowych przesunięych wzlędem siebie (rys.). e e U m U m T T + T U m e ys. Sposób przedsawienia impulsu prosokąneo za pomocą superpozycji dwóch skoków jednoskowych.
Zaem: e () U ( ) U ( T ) m (3) Aby wyznaczyć napięcie na począku i na końcu linii przy impulsie pobudzającym prosokąnym na wejściu należy wyznaczyć oddzielnie odpowiedzi linii dłuiej na dwa skoki jednoskowe a nasępnie je zsumować odpowiednio dla wejścia i wyjścia. W przypadku fali prosokąnej posępowanie jes akie samo z uwzlędnieniem eo, że fala prosokąna jes złożeniem wielu impulsów prosokąnych. ozwiązanie akie można znacznie uprościć jeśli odpowiedź w linii usala się po czasie mniejszym od czasu rwania impulsu w sanie niskim i wysokim. 8.3. Kszał napięcia na końcach linii bezsranej pobudzonej skokiem jednoskowym, obciążonej dwójnikiem o charakerze reakancyjnym przy dopasowaniu na wejściu. W układach impulsowych o sałych rozłożonych dąży się zwykle do eo, aby odcinek linii był obu- lub przynajmniej jednosronnie dopasowany. Dzięki emu osiąnięcie sanu usaloneo zachodzi w czasie nie dłuższym niż τ. Z ych samych wzlędów dąży się do zapewnienia rzeczywiseo charakeru obciążenia i źródła. Nidy jednak nie jes możliwe całkowie uniknięcie wpływu elemenów reakancyjnych. Waro więc choćby w zarysie wiedzieć, jakie przebiei powsają w wyniku obciążenia linii ymi elemenami. Typowe kszały przebieów napięcia na obu końcach linii dopasowanej na wejściu i obciążonej na wyjściu różnymi dwójnikami o charakerze reakancyjnym przedsawione powyżej nasuwają kilka wniosków przydanych w inuicyjnym wykreślaniu odpowiedzi czasowych linii pobudzanej napięciem skokowym. Oóż zasady czoła i rzbieu moą być sosowane z powodzeniem i uaj. Można np. określić warość współczynnika odbicia ρ L dla czoła (indukcyjność rozwarcie, pojemność zwarcie) i dla rzbieu (na odwró). Usalanie się napięcia zachodzi wykładniczo, przy czym sałą czasową oblicza się przy założeniu, że rezysancja wyjściowa linii dłuiej jes równa (czyli jej impedancji falowej). Pomocne jes również swierdzenie, że na kszał napięcia na wyjściu linia nie ma wpływu zn. byłoby ono akie samo bez linii ylko nie opóźnione o τ. Na wejściu przebie napięcia jes zawsze sumą impulsu prosokąneo o ampliudzie równej połowie warości maksymalnej i czasie rwania τ oraz przebieu wyjścioweo opóźnioneo o τ. m 3
Schema układu h na wejściu h na wyjściu+sała czas.,τ L L / τ τ,τ C C τ τ,τ C /( + ) ( ) C τ τ,τ L /( + ) L /( ) τ τ,τ C /( + ) τ ( + ) C τ,τ L /( + ) L /( + ) τ τ ys. Kszał napięcia na końcu bezsranej linii dłuiej pobudzonej skokiem jednoskowym ze źródła napięcia o rezysancji obciążonej dwójnikiem o charakerze reakancyjnym przy dopasowaniu linii na wejściu. 4
8. Przykładowe zadania BLD Zadanie l,τ U BLD U L e Dane: BLD 5 Ω L 3 Ω Ω l cm ν 6 m/s 6 V e Szukane: U, U dla... 5τ ozwiązanie: Współczynniki odbicia na począku i końcu linii dłuiej: 3 ρ L 3 + 5 ρ 5 + 3 Czas propaacji linii: τ l/ν, µs Ampliuda napięcia dla U 6 + 5 4V Schema rozchodzenia się fali w linii 5
x ρ L.5 l 4+6 6-6.67-3.335 5.83 4-6.67-3.33..6 ρ -.33 τ 3τ 5τ 4 53.33 5. Obydwa napięcia na wejściu i na wyjściu linii dłuiej przedsawiają poniższe rysunki: U 53,33 5, 4 U τ τ 3τ 4τ 5τ 6 5 5,83 τ τ 3τ 4τ 5τ Zadanie l,τ e U BLD U Dane: L l cm ν 6 m/s e 4 8 - [ µ s] 6
Szukane: U U ozwiązanie: Współczynniki odbicia: ρ L + ρ Sała czasowa: τ l/ν µs Powyższe impulsy zasąpimy superpozycją rzech skoków jednoskowych e e e 3 4 [ µ s] [ µ s] - 8 [ µ s] e e + e + e 3 Warości napięć na wejściu linii w chwili pobudzenia linii przez daną składową wynoszą odpowiednio: U U U 3 + Schema rozchodzenia się fal w linii dla każdeo z rzech powyższych skoków jednoskowych: 7
ρ L x -.5.5 - -.5.5 ρ 3 5 7 9.5 - -.5 Odpowiedź linii dłuiej na wejściu dla poszczeólnych skoków jednoskowych U we [ µ s] 4 6 8 [ µ s] - - Zaem napięcie na wejściu będzie miało przebie posaci U we - 4 6 8 [ µ s] Odpowiedź linii dłuiej na wyjściu dla poszczeólnych skoków jednoskowych 8
U wy - 3 4 5 6 7 8 9 [ µ s] - Zaem napięcie na wyjściu będzie miało przebie posaci U wy - 3 4 5 6 7 8 9 [ µ s] Zadanie 3 l,τ e U U L Dane: Ω L 5 Ω α,3 db/m l m ν 6 m/s 6 V e Szukane: U (... 5τ) i U (... 5τ) ozwiązanie: Współczynniki odbicia na począku i końcu linii dłuiej zodnie z wzorami 9a i 9b: ρ ρ L L L + + / 3 Tłumienie i sała czasowa linii: 9
[ db / m] [ m] 3[ db] α,3 α τ l / υ µs Zaem po czasie τ ampliuda napięcia będzie słumiona raza. Teraz zodnie z przedsawioną w rozdziale 8 meodą przeprowadzamy dalsze obliczenia: U e 6V V we + 3 Schema rozchodzenia się fali w linii: ρ L -/3 x 3 / / 3 /α / α ρ /α 3 3-55 [ µ s] W oparciu o powyższy wykres wyznaczymy napięcia na wejściu i wyjściu linii dłuiej. 3 / oraz / oznaczają odpowiednio ampliudy napięcia padająceo i odbieo od końca linii. Zodnie z rysunkiem fala odbia na wyjściu powraca na wejście słumiona -kronie ale nie odbije się dalej ponieważ ρ. Sąd poniższe odpowiedzi: U U 3 5 4 [ µ s] [ µ s]
Zadanie 4 l U,τ BLD U C e Dane: Ω 3 Ω C pf l cm v 6 m/s 6 V e Szukane: U U ozwiązanie: Na począku należy policzyć współczynniki odbicia na począku i końcu linii dłuiej: ρ Współczynnik odbicia od końca linii różni się w zależności czy liczymy o dla czoła czy dla rzbieu impulsu: dla rzbieu ρ L ½ dla czoła ρ L - Sała czasowa obciążenia: τ 3 9 3 + ( ) C 75 5 5ns oraz opóźnienie linii: l, T ns. 6 v Ampliuda napięcia na wejściu linii w chwili : U e 6 + 3 Schema rozchodzenia się czoła impulsu i rzbieu impulsu w linii:,
ρl Czolo impulsu ρl Grzbie impulsu 45 3-3 3 5 ρ T T 3 ρ T T 3 45 W oparciu o powyższe wykresy wyznaczymy napięcia na wejściu i wyjściu linii dłuiej. Teraz wyznaczamy napięcie na wyjściu linii dłuiej dla czoła i rzbieu: U 5ns U 5ns 45 45 3 T T. Lieraura. Wojciech Nowakowski Układy impulsowe. Sanisław Sławiński Technika impulsowa