05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego. Wszystkie wymiary są podane w metrach. Zadanie zostanie rozwiązanie z wykorzystaniem metody skróconej, bazującej na wyznaczeniu wartości sił przekrojowych w charakterystycznych punktach belki. Rys. Z1/.1. elka złożona. Z1/. naliza kinematyczna belki złożonej Rysunek Z1/. przedstawia układ tarcz sztywnych, który jest modelem belki złożonej przedstawionej na rysunku Z1/.1. 1 1 Rys. Z1/.. Układ tarcz sztywnych model belki złożonej. Układ tarcz sztywnych składa się z dwóch tarcz, które razem mają 6 stopni swobody. Układ jest podparty czterema prętami podporowymi oraz przegubem rzeczywistym, które to więzy odbierają 4 1 1 =6 (Z1/.1) stopni swobody. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Tarcza numer 1 jest podparta do tarczy podporowej za pomocą trzech prętów, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Tarcza ta jest więc geometrycznie zmienna i może stanowić podłoże dla tarczy numer. Rysunek Z1/.3 przedstawia tarczę numer. Jak widać jest ona podparta do podłoża za pomocą przegubu rzeczywistego i pręta podporowego. Przegub rzeczywisty nie leży na kierunki pręta podporowego więc tarcza numer jest także geometrycznie niezmienna. Skoro obie tarcze są geometrycznie niezmienne to i cały układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny. r inż. Janusz ębiński
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI Rys. Z1/.3. Tarcza numer. Z1/.3 Wyznaczenie reakcji podporowych Rysunek Z1/.4 przedstawia podział belki złożonej na belki proste wraz z założonymi zwrotami reakcji podporowych. H V H 1 H V V V V Rys. Z1/.4. Założone zwroty reakcji podporowych. ałe obciążenie czynne jest prostopadłe do osi belki więc poziome reakcje H oraz H są równe zero. Reakcję V możemy wyznaczyć z warunku M =0 V 4,0 8,0 5,0 10,0 4,0 1 4,0=0 V =30,0kN. (Z1/.) Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. Reakcję V możemy wyznaczyć z warunku M =0 V 4,0 8,0 1,0 10,0 4,0 1 4,0=0 V =18,0kN. (Z1/.3) Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. r inż. Janusz ębiński
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 3 W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy warunek równowagi Y =0 V V 8,0 10,0 4,0=30,0 18,0 10 4,0 8,0=0. (Z1/.4) Reakcje działające na belkę numer znajdują się więc w równowadze. Rysunek Z1/.5 przedstawia belkę numer w równowadze. 1 30,0 kn 4,0 1,0 Rys. Z1/.5. elka numer w równowadze. Reakcję V możemy wyznaczyć z warunku M 1 =0 V 6,0 V 8,0 1,0 1 15,0 6,0 3 6,0=0 V =5,0kN. (Z1/.5) Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. Reakcję V możemy wyznaczyć z warunku M 1 =0 V 6,0 V,0 1,0 1 15,0 6,0 1 3 6,0=0 V =11,0kN. (Z1/.6) Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym. W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy warunek równowagi Y 1 =0 V V V 1 15,0 6,0=11,0 5,0 18,0 1 15,0 6,0=0. (Z1/.7) r inż. Janusz ębiński
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 4 Reakcje działające na belkę numer 1 znajdują się więc w równowadze. Rysunek Z1/.6 przedstawia belkę numer 1 w równowadze. 1 11,0 kn 5,0 kn 6,0,0 Rys. Z1/.6. elka numer 1 w równowadze. Rysunek Z1/.7 przedstawia całą belkę złożoną w równowadze. Rys. Z1/.7. ała belka złożona w równowadze. Z1/.4 Wykres siły poprzecznej w belce Wykres siły poprzecznej zaczynamy rysować od lewego końca belki. Indeks górny L oznacza siłę poprzeczną z lewej strony natomiast indeks górny P oznacza siłę poprzeczną z prawej strony. W punkcie działa siła skupiona o wartości 11,0 kn w górę czyli wartość siły poprzecznej wynosi T P = 11,0 kn. (Z1/.8) W przedziale działa obciążenie trójkątne czyli wykres siły poprzecznej jest parabolą. Wartość siły poprzecznej z lewej strony podpory wynosi T L =11,0 1 15,0 6,0= 34,0 kn. (Z1/.9) Zgodnie z (1.65) miejsce zerowe wykresu siły poprzecznej znajduje się od punktu w odległości r inż. Janusz ębiński
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 5 x 0= 11,0 6,0 =,966 m. (Z1/.10) 15,0 Ponieważ obciążenie trójkątne ma wartość zero w punkcie to wykres siły poprzecznej będzie miał ekstremum w tym punkcie. Rysunek Z1/.8 przedstawia wykres siły poprzecznej w przedziale. Rys. Z1/.8. Wykres siły poprzecznej w przedziale. W punkcie działa siła skupiona o wartości 5,0 kn w górę więc siłą poprzeczna z prawej strony podpory wynosi T P = 34,0 5,0= 1. (Z1/.11) W przedziale nie działa obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma wartość stałą czyli T L =T P = 1. (Z1/.1) Rysunek Z1/.9 przedstawia wykres siły poprzecznej w przedziale. W przegubie siła poprzeczna jak wiadomo nie zmienia swojej wartości czyli T L =T P = 1. (Z1/.13) r inż. Janusz ębiński
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 6 +18,0 Rys. Z1/.9. Wykres siły poprzecznej w przedziale. W przedziale działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone w dół czyli funkcja siły poprzecznej jest funkcją liniową. Wartość siły poprzecznej na początku przedziały wynosi zgodnie (Z1/.13) T P = 1. (Z1/.14) Wartość siły poprzecznej na końcu przedziału wynosi T L =18,0 10,0 4,0=,0 kn. (Z1/.15) Miejsce zerowe funkcji siły poprzecznej znajduje się zgodnie z (1.61) w odległości x 0 = 18,0 =1,8 m (Z1/.16) 10,0 od punktu. Rysunek Z1/.10 przedstawia wykres siły poprzecznej w przedziale. W punkcie działa siła skupiona o wartości 30,0 kn w górę czyli wartość siły poprzecznej z prawej strony podpory wynosi T P =,0 30,0=. (Z1/.17) r inż. Janusz ębiński
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 7 +18,0 1,8, -,0 Rys. Z1/.10. Wykres siły poprzecznej w przedziale. W przedziale nie działa obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma stałą wartość czyli T =T P =. (Z1/.18) Rysunek Z1/.11 przedstawia wykres siły poprzecznej w przedziale, który jest jednocześnie wykresem dla całej belki. Z1/.5 Wykres momentu zginającego w belce W przedziale działa obciążenie trójkątne więc funkcja momentu zginającego jest wielomianem trzeciego stopnia. by ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć wartości momentu zginającego w trzech punktach oraz wykorzystać fakt, iż obciążenie trójkątne działa w dół. Według rysunku Z1/.1 a moment zginający w punkcie wynosi M =0,0kNm. (Z1/.19) Według rysunku Z1/.1 b ekstremalny moment zginający wynosi (porównaj rysunek Z1/.8) M XT1 =11,0,966 1,0 1 7,415,966 1,966=9,754 knm. (Z1/.0) 3 r inż. Janusz ębiński
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 8 +18,0 +8,0 1,8, -,0 Rys. Z1/.11. Wykres siły poprzecznej w przedziale i całej belki. a) b) 15,0 6,0,966=7,415 kn m M 1 11,0 kn 11,0 kn,966 M XT1 c) 11,0 kn 1 6,0 M L Rys. Z1/.1. zęści belki w przedziale. Według rysunku Z1/.1 c moment zginający w punkcie wynosi M L =11,0 6,0 1,0 1 15,0 6,0 1 6,0= 36,0 knm. (Z1/.1) 3 Rysunek Z1/.13 przedstawia wykres momentu zginającego w przedziale. r inż. Janusz ębiński
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 9 1,0 9,754 36,0 M(x) [knm] Rys. Z1/.13. Wykres momentu zginającego w przedziale. a) b) M P M 1 1,0 Rys. Z1/.14. zęści belki w przedziale. W przedziale nie działa obciążenie ciągłe więc wykres momentu zginającego jest funkcją liniową. Wystarczy wyznaczyć wartości momentu zginającego w dwóch punktach. Według rysunku Z1/.14 a moment w punkcie wynosi M P = 18,0,0= 36,0 knm. Według rysunku Z1/.14 b moment zginający w przegubie wynosi (Z1/.) r inż. Janusz ębiński
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 10 M =0,0kNm. (Z1/.3) Rysunek Z1/.15 przedstawia wykres momentu zginającego w przedziale. +18,0 1,0 9,754 36,0 0,0 M(x) [knm] Rys. Z1/.15. Wykres momentu zginającego w przedziale. W przedziale działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone czyli moment zginający w tym przedziale jest parabolą. by ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć wartości momentu zginającego w trzech punktach. Zgodnie z rysunkiem Z1/.16 a wartość momentu zginającego w przegubie wynosi M =0,0kNm. (Z1/.4) r inż. Janusz ębiński
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 11 a) b) c) M M XT 1 1 1 1,8 4,0 M L Rys. Z1/.16. zęści belki w przedziale. +18,0 1,8, -,0 1,0 9,754 36,0 0,0 16, 8,0 1,8, Rys. Z1/.17. Wykres momentu zginającego w przedziale. Zgodnie z rysunkiem Z1/.16 b wartość ekstremalnego momentu zginającego wynosi M XT =18,0 1,8 10,0 1,8 1 1,8=16, knm. (Z1/.5) Zgodnie z rysunkiem Z1/.16 c wartość momentu zginającego w punkcie wynosi r inż. Janusz ębiński
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 M L =18,0 4,0 10,0 4,0 1 4,0= m. (Z1/.6) Rysunek Z1/.17 przedstawia wykres momentu zginającego w przedziale. W przedziale nie działa obciążenie ciągłe więc wykres momentu zginającego będzie liniowy. a) b) M P M 1,0 Rys. Z1/.18. zęści belki w przedziale. +18,0 +8,0 1,8, -,0 1,0 9,754 36,0 0,0 16, 8,0 M(x) [knm] 1,8, Rys. Z1/.19. Wykres momentu zginającego w przedziale i całej belki. Zgodnie z rysunkiem Z1/.18 a wartość momentu w punkcie wynosi r inż. Janusz ębiński
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 13 M P = 8,0 1,0= m. (Z1/.7) Zgodnie z rysunkiem Z1/.18 b wartość momentu w punkcie wynosi M =0,0kNm. (Z1/.8) Rysunek Z1/.19 przedstawia wykres momentu zginającego w przedziale. Jest to także ostateczny wykres momentu zginającego dla całej belki. r inż. Janusz ębiński