Smukłość krzyżulców w połowie ich długości wyboczeniowej w płaszczyźnie dźwigara i smukłość w kierunku prostopadłym przy całkowitej długości wyboczeniowej danych krzyżulców są często jednakowe, chociaż czasem w drugim przypadku smukłość ich jest nieco mniejsza. Rys. 129 Pas górny ściskany nad słupkami wysokimi, które nie są przecięte krzyżulcami, lepiej jest łamać w taki sposób, aby kąt wewnętrzny pomiędzy pasami był mniejszy od 180 (rys. 129). Wtedy słupki 22', 44', 66' są rozciągane i nie wymagają tej sztywności w płaszczyźnie dźwigara, jaką musiałyby mieć, gdyby były ściskane choćby nawet niewielką siłą. Rozdział III WŁASNOŚCI RÓŻNYCH UKŁADÓW BELEK KRATOWYCH I. Najkorzystniejsza wysokość dźwigarów kratowych Zastanówmy się obecnie, jaka powinna być wysokość np. dźwigara 0 kracie prostokątnej i pasach równoległych przy danej ilości przedziałów m. ich długości a, a zatem przy rozpiętości teoretycznej kratownicy l m a 1 przy dopuszczalnym naprężeniu stali k T/m 2. Oznaczmy siły w dowolnym przedziale c d w pasie górnym, w pasie dolnym, w krzyżulcu i słupku odpowiednio przez S g, S,i, Sk is s, współczynniki zaś konstrukcyjne dla prętów pasów i kraty wewnętrznej odpowiednio przez </-, c> 2, 9? 3 i (p it kąt pochylenia krzyżulca do pasa przez a. obciążenie stale przez p T/mb, obciążenie ruchome przez q T/mb, obciążenie stałe i ruchome łącznie przez p -(-. q = g T/mb, oraz wysokość dźwigara na całej jego długości przez h. Objętości poszczególnych prętów kraty i najkorzystniejsza wysokość dźwigarów będą następujące. 1. Objętość prętów pasa górnego Ula siły w pręcie pasa górnego w przedziale cd otrzymamy pole Wpływu (rys. 180): i (m n) n a 2. ~ n Objętość rzeczywista tego pręta wynosi: linii V (m n) n a 3 " = 2hk 9 ^ 100
Przy parzystej liczbie przedziałów objętość wszystkich prętów pasa górnego będzie:, n=m/2 JI=»I/2 r. - * (?-");';'». _?VB V _... c rf = _ m 2 (TO -f- 2) TO(TO + 2) (m 1) _ m (m -f- 2) (2 m 1) = 8 24 24 ' to _ m (m + 2) (2 m 1) a 3 gr c>j 1 _ A "~ 24~fc 7i~ Jr 2. Objętość prętów pasa dolnego W taki sam sposób możeny obliczyć objętość pasa dolnego, tylko sumę należy przyjąć od n 1 do n = 1. 1 10
Wówczas otrzymamy: d 3. Objętość krzyżulców _ TO (TO 2) (2TO-f l)a 3 qy a 1 _ B ~ 24 k ~'h~7i- Pola poszczególnych odcinków linii wpływowej (rys. 130) dla krzyżulca cd będą: gdzie kil _ kva a> 1 = 2 i o) 5 TO n. n 1 TO sm a " TO sm a a więc Z własności linii wpływowej wynika, że fi =» - 1 2 TO w' (TO n) 2 a. (n l) 2 a 2 (m 1) sin a 2 (w 1) sm a różnica tych pól wyniesie: a (m 2 % -4-1) 1 " 2 sm a Siła w krzyzulcu a (m 2» + 1) p a (TO w) 2 g P A = 2 sin 7. 2 (w 1) sin a ' jego objętość T7 r / o i i \, a (TO») 2 <7~ a 2 + h 2 Objętość wszystkich krzyżulców dźwigara: n m/2 n=m/2 M I II ro/ż T 7 (a 2 + A 2 ) ap</ > V V A 2 n x, (a 2 + 7i 2 ) a agę? a o;, V 1, (TO 1) ponieważ V (m - 2,i +!) = --> to» =m/2 II = m/2 V (TO») 2 = 2] ('" 2-2 m n + n2 ) = ~ 2 '"' i 1 + 2 + + n> 1 n i + j + l 2 + 2 + 2 3 2 +... + tej = ^TO (TO - 1) (7TO- 2), 111
to (a 2 + h?) ap 9a m<ł ( ft2 + a q q> 3 m (7 m 2) h k 4 1 24 h k a 2 + ha- 2 ma ni a Ti T6 mp 4- (7 m 2) g ~~h~ ' 4 jfc ' L (p3 = C a 2 + h 2 h~- 4. Objętość słupków Dla słupków otrzymamy to samo wyrażenie co i dla krzyżulców, tylko zamiast l/sina należy wstawić 1, współczynnik konstrukcyjny <p t oraz długość słupków h równą wysokości dźwigara. Zatem objętość słupków określa się ze wzoru: ma T6 m/p + (7 m 2) ql t ' 4/, L g > h 5. Objętość prętów całego dźwigara Objętość wszystkich prętów dźwigara wyniesie: r,-$+* + c? - ł * + M. [i] 6, Najkorzystniejsza wysokość dźwigara gdy Najmniejszą objętość wszystkich prętów dźwigara otrzymamy wówczas, skąd A + B + Ca = 1/ C + D Po wstawieniu do tego wzoru zamiast.4. li. ('. 1) ich wielkości i po odpowiednich przeróbkach otrzymamy wzór: h = l -,/g [(m+2) (2m -1) y i +(m-2) (2m+T)y 2 ] + [6 wy + (7 m-2) q]<p 3 [ w- r [Qmp+(lm 2)q](<p 3 +(p i )- 7. Najkorzystniejszy stosunek wysokości dźwigara do jego rozpiętości P Zakładając, że - = a, a g p 4- <7 = (1 + fc) ry. otrzymamy wzór: A_ 1. /(l+a)[(m+2)(2m l)ci 1 +(m 2)(2m4-l)y 2 ] + (6ma. + 7m 2)y 3- Z ml' (6ma4-7m 2) (95 3 4-c9 4 ) Jak wynika z tego wzoru, stosunek najkorzystniejszej wysokości dźwigara do jego rozpiętości zależy od współczynników konstrukcyjnych prętów dźwigara, od stosunku obciążenia stałego do obciążenia ruchomego oraz od ilości przedziałów danego dźwigara: im większa jest liczba przedziałów, tj. im gęstsza jest krata, tym niniejsza powinna być wysokość dźwigara, i odwrotnie. 112
2. Obliczanie teoretycznego ciężaru dźwigarów kratowych Wzór (1) może służyć do obliczania teoretycznego ciężaru dźwigarów. ('alkowity ciężar własny przęsła mostu p składa się z trzech elementów: z ciężaru części przejazdowej F T/mb, z ciężaru tężników p x T/mb i z ciężaru dźwigarów p 2 T/mb. Zatem całkowity ciężar własny 1 mb przęsła mostu można obliczyć na podstawie wzoru: p = (F + P l + p 2 ) T/mb. Ciężar tężników możemy wyrazić jako pewną część ciężaru samych dźwigarów', tj. p x = a p 2. Zwykle współczynnik a mieści się w granicach 0.09 -i- 0,12, czyli średnio 0,10. Jeżeli ciężar właściwy materiału, z którego wykonujemy dźwigary, oznaczymy przez y, to p 2 l = y V c == y I - 7: + - 7: + C r + DA wprowadzając do tego wzoru zamiast A. B, C, D icli wielkości już obliczone, zamiast p jego składowe części F 4- p l2 (1 + 3t) = F -f 1,1 j) 2 oraz zamiast fpu ^2> 9>3> 9>4 średni współczynnik konstrukcyjny dla całego dźwigara co, to po rozwiązaniu liniowego równania dla otrzymam}'' następujące wyrażenie : 2F [a 2 (2m 2 4-3m 2) + 6m Z; 2 ] + 7 [a 2 (4m 2 4- Im 6) 4-2 /> 2 (7;;/ - 2)] />2 24/i k q> y 2,2 [a 2 (2 m 2 -f 3 m 2) 4-6 m A 2 ] Rys. 131 Wzór ten uwzględnia nie tylko wszystkie wielkości, które mają wpływ na ciężar dźwigarów, jak ciężar części przejazdowej, ciężar tężników. rozpiętość dźwigara, dopuszczalne naprężenie, ciężar właściwy materiału dźwiga- rów, współczynnik konstrukcyjny dźwigara, wysokość dźwigara lecz również i liczbę przedziałów kratownicy. Zachowując te same oznaczenia co przy rozpatrywaniu dźwigara z kratą prostokątną i postępując analogicznie otrzymamy dla dźwigara z kratą krzyżulcową, z dodatkowymi słupkami oraz wieszakami i o pasach równoległych (rys. 131) następujący wzór: 1 72 [(m 2 4) <p x 4- (m 2 4-2] y> 2 q 4- [6 mp 4- (7 m 2) q\ cp 3 m 1/ [6 m,p 4- (7 m - 2) q] <p s + [F s (1 - ) + 1 2 & a 8 Mosty stalowo nitowane 113
we wzorze tym F s i F. oznaczają przekroje słupków i wieszaków, które zawsze możemy obliczyć z góry. Przekroje słupków przy jeździe górą i przekroje wieszaków przy jeździe dołem będą zależeć przeważnie od największych reakcji belek poprzecznych, przekroje zaś słupków przy jeździe dołem i wieszaków przy jeździe górą określamy na podstawie wymagań konstrukcyjnych. Ciężar dźwigarów o układzie podanym na rys. 131 obliczamy w podobny sposób jak ciężar dźwigarów o kracie prostokątnej. Ciężar dźwigarów tego typu wynosi: 2^[(2m 2 +3TO~4)a + 3m/( 2 ]H-[(4w 2 +7m-10)a 2 ](7+ - [V, (1 - ) [ o ] nr 24 h k 2,2 [2a 2 (2TO 2 + 3m - 4) + 3m h 2 ] 79 - ' W podanycli wzorach można przyjmować następujące współczynniki konstrukcyjne dźwigarów kratowych: dla pasa ściskanego q> t = 1,5 1,6, dla pasa rozciąganego q 2 = 1,25 ~ 1,35, dla krzyżulców <7 3 = 1,3 4-1,4 i dla słupków (f i = 1,7 -f- 2,0. Średni współczynnik konstrukcyjny, który występuje we wzorach określających ciężar dźwigarów, można przyjmować w granicach q) 1,75 -r- 2,00 zależnie od rozpiętości dźwigarów, przy czym dla mniejszych rozpiętości dźwigarów współczynnik konstrukcyjny jest większy, dla większych zaś rozpiętości dźwigarów odpowiednio mniejszy. 3. Własności dźwigarów parabolicznych Rozpatrzmy dźwigar w kracie prostokątnej z dolnym pasem prostym i górnym pasem wielobocznym, którego węzły znajdują się na paraboli. Rozpiętość dźwigara oznaczamy przez /. jego wysokość pośrodku rozpiętości przez h. 1. Siły w prętach pasa prostego Przy osiach współrzędnych, podanych na rysunku 132, równanie paraboli, na której leżą węzły pasa krzywego, będzie: ' - y = ~x (l - x). [6] Linią wpływową dla pręta pasa prostego w przedziale pomiędzy węzłami n 1 i n będzie trójkąt z wierzchołkiem pod węzłem n 1 o podstawie l i wysokości /. _i = ~ iy n -i Wstawiając zamiast y^-i jego wartość z równania (6) otrzymamy: y,i-i = -p «_ (ł, Widzimy zatem, że wysokość trójkąta stałą i niezależną od położenia węzła. linii wpływowej jest wielkością 114
Pole linii wpływowej F = -,- pomnożono przez obciążenie stałe p i ru- 8 h chome q, czyli przez obciążenie sumaryczne p -f- q = g, określa siłę w pręcie pasa prostego pomiędzy węzłami n 1 i n równą S,i = '.i l- 8 //', n-i b' Rys. 132 Jak z tego wynika, siia ta jest wielkością stałą dla wszystkich prętów pasa prostego. Stąd więc wynika pierwsza własność dźwigara parabolicznego: w pasie prostym siły od obciążenia równomiernego rozłożonego na całej rozpiętości dźwigara parabolicznego we wszystkich przedziałach pasa prostego są sobie równe. 2. Siły w prętach pasa parabolicznego Linią wpływową dla pręta pasa krzywego w tym samym przedziale będzie trójkąt z wierzchołkiem pod węzłem u. Wysokość tego trójkąta określa wzór: _ {x x 4- a) x 2 / // cos p jeżeli przez /9 oznaczymy kąt pochylenia pręta a' 1/ do poziomu. s* 115
Wstawiając do wzoru dla h n zamiast y n jego wartość z równania (6) otrzymamy: 1 " h = - 4 h cos fi' Siła pasa w tym pręcie wyniesie: <? g a 8 A cos 3 rzut zaś tej siły na pas prosty poziomy: >\, cos p = g^, tj. równa się sile w przedziale pasa dolnego z odwrotnym znakiem i jest również wielkością stalą, niezależną od położenia przedziału w przęśle. Wzór dla S g można przekształcić w sposób następujący: ~ g l 2 g Im a g l?na 1 " ~~,; 8 h cos p ~~ 8 h cos p ~ ~~ 8 h ' jeżeli przez a oznaczymy długość przedziału a b pasa krzywego, przez w liczbę przedziałów dźwigara i = a,. cos p Możemy zatem stwierdzić, że siły w prętach pasa górnego przy obciążeniu równomiernym, rozłożonym na całej długości dźwigara parabolicznego, są proporcjonalne do długości prętów pasa krzywego i wzrastają począwszy od środków rozpiętości w kierunku podpór dźwigara..*}. Siły w krzyżulcach Linia wpływowa siły w krzyżulcach a'b tworzy dwa trójkąty z wierzchołkami pod węzłami a i b. Wysokość tych trójkątów znajdziemy z równowagi węzła /; przy sile P = 1, zaczepionej raz w węźle a i drugi raz w węźle b, oraz z równania rzutów wszystkich sił na oś poziomą. Oznaczmy przez S',', i Sl odpowiednio siłę w prętach przedziałów pasa dolnego ab i bc, jeśli siła P = 1 zaczepiona jest w węźle a, przez S a i Sb siły w tych samych prętach, jeśli siła P = 1 zaczepiona jest w węźle b] zatem możemy napisać: ponieważ J?«cos a 4- S" a Sl == 0 i cos a 4-4- $ = 0. to oraz rt<l '. ofc» O" l X± ciii l %2 4 A 4/i 4 /t (a^ 4- a) 4 h (x 2 4- a)»/ cos a = *S>, *S a - 4 A (a^j -f- a) 4 A 4 h (x 1 4- a) i (, Z lx 2 al T]i cos a = Oj *S 1 /' 4 A (.T2 4- a) 4 A (:r 2 4- «)' Uli
Podstawy trójkątów linii wpływowej otrzymamy z równania: 1 Vi = 2 Vi, u b i = x i + a. na podstawie tych wzorów możemy określić: l {pi + a). _ l (x 2 4- a) 61 7 I Z 4- a 2 l + a Pola trójkątów linii wpływowej będą: al 2. al 2 1 8 h (l 4- a) cos a * 2 8 A (Z 4- a) cos a Mając na względzie, że ^ = 2 jest długością krzyżulca i mnożąc odpowiednio pola linii wpływowej przez obciążenie ruchome q, otrzymujemy siłę w krzvżulcu: ' '' 9 = g P ' 8 h (l + a) ' Z Zatem siły w krzyżulcach są proporcjonalne do ich długości przy obciążeniu odpowiednich odcinków linii wpływowej. Siły w krzyżulcach od obciążenia stałego, równomiernie rozłożonego na całej długości dźwigara, równają się zeru, gdyż F x 4- F 2 = 0. 4. Siły w słupkach Z równowagi węzła dolnego i z rzutu na oś pionową, przy obciążeniu równomiernym na całej długości dźwigara, wynika, że siła w słupku X = g a. 1j. że słupki są rozciągane i pracują jako wieszaki na obciążenie węzłowe. 1. Własności dźwigarów hiperbolicznych Rozpatrzmy dźwigar o dolnym pasie prostym i górnym pasie krzywym, zakładając, że przy najniekorzystniejszym obciążeniu równomiernym krzyżulce nie są ściskane. Zachowamy wszystkie oznaczenia, jakie były wprowadzone przy rozp;. Irywaniu własności dźwigarów parabolicznych. Mamy zatem 1 Vi _ 2 Vi 1 _ f^ij/j. x x x 2 2 * 2 2/i z postawionego warunku otrzymamy: gdzie (F^FJp+F,- q = 0, fi (P + <]) + Fi P = 0 i Fi + = 0, V p + q Na tej podstawie możemy napisać równania: czyli 2 J 2 2 ' Va x 2 y l x x y 2 i] a + '(ix, y x rj b = 0. [7] 117
Mając wartości oraz la = cos oc c; [*, //, - //, (*,+«)] 1 cos a /?y 1 jjf a [( 'i -i «).'/i - *i podstawiamy je do równania (7) i dzieląc równanie przez x\ y\ (x 2 -f- a) otrzymamy wzór następujący: + y.,\ x 2 ftx 2 x 1 i Vii Xi x 2 + a x 1 / x 2 + u Równanie to jest równaniem hiperboli. Mając np. y x możemy znaleźć y 2, a mając y. 2 możemy obliczyć y 3 itd. Krzywa wykreślona według tego równania biegnąc od jednego końca daje nam linię AB (rys. 133), biegnąc zaś od drugiego końca daje nam linię odwróconą BA. Aby dźwigar całkowicie mógł spełnić postawione przez nas warunki, powinien mieć pas krzywy według linii ACB. Krzywa taka nie wygląda estetycznie i dlatego wierzchołki dwóch krzywych łączy Rys. 133 [8] się prostą i otrzymuje się wtedy dźwigar, którego boczne węzły leżą na hiperbolach, środkowe zaś na linii równoległej do pasa prostego. Jest rzeczą oczywistą, że w środkowej części takiego dźwigara otrzymujemy krżyżulce śoiskano-rozciągane. Rys. 134 Przy wprowadzaniu wzoru (8) nie wprowadziliśmy żadnych ograniczeń ani warunków. Pola linii wpływowej zostały dokładnie obliczone. Obecnie wprowadzimy warunek, że mamy do czynienia z obciążeniem tylko węzłowym, tzn. że punkt zerowy C linii wpływowej leży pośrodku przedziału. Jeżeli zamiast x x, x 2. y x. y 2 podstawimy ich wielkości, wyrażone przez m n, a (rys. 134 i 132) czyli: x 1 = (n 1) a, x 2 = (m - «+ l)a */i = 2/n-i i 2/ 2?/», 11S
to otrzymamy: (» 1) a r..... rj a = [{m n) 2/ _i y {m n 4- ])]. m cos a 2/ _i y (l " (m 11) a ' -~ 2 In y i y (n 1)1, m cosa y n : Suma rzędnych linii wpływowej pola ujemnego równa się: ii 1 (n - l)a [o + -la -(- 3cr. 4-... + (n l)a] = -5»?». L ~ 1 ~ ' ~ 1 J ' v" ' 2 Suma rzędnych linii wpływowej pola dodatniego wyniesie: 1] 1 [a 4-2a + 3a 4-... 4- (m?.) o] = - ri 6 (m r_ + 1). (». n) a 2 Przy obciążeniu pola ujemnego linii wpływowej ruchomym ciężarem węzłowym q a i obu poi linii wpływowej ciężarem stałym węzłowym pa otrzymamy po wstawieniu do sum zamiast i] i t] b icli wielkości następujące równania: u (n 1) (p + q) [(m 11) y _i y n (m 11 + 1)] + (m-»+l) (m 11)/) [n // _i (n!)?/ ] = O,?/ (m 11) n[(p + q) (n 1) 4- p (m 11 4-1)] y _ 1 («1)[ (/; 4- q)n (m ń 4-1) 4-p(m n)(m n 4-1)]» («; n') 79 m 4-9 (w 1) (11 1) (m n 4-1) pm -\r qii [0] Wstawiając i-t- do ostatniego wzoru zamiast 71, w 1 i m odpowiednio CC 1 1 / wielkości, -", - "~, - i wprowadzając stosunek ^ = (3, otrzymamy równanie a 9) w postaci: y. x (Z ay) Z 4- /3 x _i?/ i a; _i (Z x _i) l -\- fj x n < lub y n Z 4- fjx _ y _i Z 4-3 x _i - -Cn 5t: n 1 Z -Tn i. Z ostatniego równania wynika, że wypisane stosunki są wielkością stalą, a, zatem y» _ 7 4-/3 a.,, ^?/ _ 1 fz 4- (i x _.i _ y n -2 ; Z 4- /? x _- 2 / ^..^ -En Z Xn Xn 1 Z XJI 1 Xn 2 Z #11 2 Zarówno równanie (S) jak i równanie (10) może posłużyć do obliczenia wysokości wszystkich słupków dźwigara hiperboliczhego, jeżeli przyjmiemy odpowiednią wysokość jednego słupka. Zwykle obliczamy wysokość pierwszego słupka w kratownicy wychodząc z założenia, że u góry tego słupka będzie umieszczona rozporka ramownicy. Zatem wysokość jego zależna jest od wysokości skrajni budowli, wysokości belki poprzecznej, wysokości rozporki i położenia środków ciężkości pasa górnego i dolnego kratownicy. Ażeby krzyżulce w końcowych krzywych częściach dźwigara nie były ściskane wskutek przyjętego niezupełnie odpowiedniego obciążenia stałego, 119
należy przy obliczaniu wysokości słupków przyjąć zwiększone obciążenie ruchome np. o 20 4-25%. Należy zaznaczyć, że różnice w wysokościach słupków dźwigara otrzymane ze wzorów (8) i (10) są niewielkie. 5. Najkorzystniejsze pochylenie krzyżulców dźwigarów o kracie zastrzałów ej Wprowadzimy następujące oznaczenia (rys. 135): a kąt pochylenia krzyżulca do pasa, l długość pasa, cp współczynnik konstrukcyjny krzyżulca AC, [i. L, i cp 2 odpowiednie wielkości krzyżulca GB, h wysokość dźwigara. a długość przedziału. z odległość od węzła A do prostopadłej CD. Rys. 135 Rozpatrzmy dźwigar o pasach równoległych. Największą siłę poprzeczną w przedziale AB oznaczymy przez Q; wtedy możemy napisać, że przy dopuszczalnym naprężeniu stali Ic rzeczywiste objętości obu krzyżulców będą: h k h k Objętości ich zaś na 1 mb dźwigara wyniosą: Q l\?l ; y = V = Q 11 <P2 2 a h k a h k Rozpatrując wielkości a i z, od których zależą kąty a i j:i pochylenia krzyżulców do pasa jako zmienne wielkości i wyrażając 1 Y i 1 2 przez a, h i z, otrzymamy wzór określający objętość kraty na 1 mb dźwigara: v = Q { h 2 + z 2 ) ń ' Q[ ( a - a h k 2 ) 2 a h k Najmniejsza objętość V powinna odpowiadać: (l_v 0 i = 0; d a + ^. 120
z pierwszego równania otrzymamy, że z drugiego zaś r2 _ a <P2 - h\ <Pl + 9*2 a ==.«(c> Ł -f c) a ) i stąd znajdziemy, że 8 = * l / i a = V Tl V<Pl<P2 Ponieważ a z = h 1/ > zatem tg a = 7; 1/ i tg /S = 1/ > a więc tg a tg /? = 1, czyli tg a = ctg fi, tj. cc Ą- fi =, z czego wynika, że najkorzystniejsze pochylenie krzyżulców schodzących się w jednym węźle jest pod kątem prostym. (i. Najkorzystniejsze pochylenie krzyżulców do pasa w kracie prostokątnej Rozpatrzmy dźwigar o pasach równoległych, którego wysokość równa się h. Natomiast przez l v <p r, q> 2 i a oznaczmy odpowiednio długość krzyżulca. współczynniki konstrukcyjne krzyżulca i słupka oraz zmienną długość przedziału Załóżmy, że największa siła poprzeczna w przedziale równa się Q; wów r - czas rzeczywista objętość kraty na 1 mb dźwigara wypadnie: V = OJ&l + Q h < p 2. ha a, Wstawiając do tego wzoru l\ = h 2 -f- a 2 i przyrównując otrzymamy: a a a h j/ 1 h i b a = h \/l.+ u. jeżeli przez II oznaczymy stosunek ~^ Przyjmując II w granicach 1' -j- 4 otrzymamy kąt a w granicach 85 4-24. Jak widzimy, najkorzystniejsze pochylenie zastrzałów z punktu widzenia najmniejszej objętości kraty na 1 mb dźwigara dalekie jest od 45 i zależy od współczynników konstrukcyjnych <p 1 i <p 2 krzyżulców i słupków. 7. Porównanie kraty krzyżulcowej z prostokątną Rozpatrzmy kratę prostokątną i kratę krzyżulcową dźwigara o pasach równoległych i o jednakowej wysokości h i jednakowym przedziale a. Ponadto załóżmy, że współczynniki konstrukcyjne, zarówno w słupkach jak i w krzyżulcach kraty prostokątnej i krzyżulcowej, są jednakowe i równe q>. 121
Jeżeli silą poprzeczna w rozpatrywanym przedziale jest Q i dopuszczalne naprężenie stali k, to objętość kraty prostokątnej równa się: Qhcf _ Q{h* + a*j V _Q f i 2h a? h k k Ponieważ objętość kraty krzyżulcowej równa się 2 Q\., to różk h nica pomiędzy objętością kraty prostokątnej a objętością kraty krzyżulcowej wyniesie: k hj O " ^2 h k' Przy tych założeniach krata krzyżulcowa okazuje się pod względem objętości bardziej korzystna od kraty prostokątnej. 8. Krala półkrzyżulcowa W dźwigarach z kratą półkrzyżtdcową rozpatrzymy dwa zagadnienia: 1) jak należy dzielić słupek, czyli gdzie powinien się znajdować węzeł środkowy, aby objętość l mb kraty wypadła jak najmniejsza; 2) jaki powinien być stosunek przedziału do wysokości dźwigara, aby również objętość L mb kraty była jak najmniejsza. Oznaczmy przez S x siłę w krzyżulcu C E, y. kąt jego pochylenia do poziomu, l x długość krzyżulca i ę jego współczynnik konstrukcyjny, przez *S' 2, [> v 1 2, <p 2 te same wielkości dla krzyżulca E D oraz przez»s" 3 h 2, <p 9 siłę w dołnej części słupka, wysokość górnej i dolnej części słupka oraz jego współczynnik konstrukcyjny. Siła poprzeczna po lewej stronie przekroju mm (rys. 136) równa się Q i jest skierowana do góry. Wówczas z równowagi lewej odciętej części dźwi- A. 1 / Cc / \ \ \ h, k / / / \ \ / / / Rys. ]:»; gara i z rzutu wszystkich sil aa oś pionową oraz z równowagi węzła i z rzutów na oś poziomą otrzymamy dwa równania, które po wstawieniu zamiast wielkości trygonometrycznych ich stosunków liniowych otrzymamy wielkość sił: 122 Si h ' ~* \ h z równowagi węzła ]) i /. rzutu na oś pionową otrzymamy: Q K s., =
Zakładając, że siła S a w całym słupku jest jednakowa oraz podstawiając zamiast l 2 \ i l-> ich wielkości a i h 2 otrzymamy następującą objętość kraty przy dopuszczalnym naprężeniu fc: V = {[{l>-h 2 f f aj 7 l + (/i 2 + a-) 9; 2 + h h 2 <p 3 } ^ Przyjmując, że przedział a jest wielkością stałą, dla min F możemy napisać równanie: z którego możemy określić: Y = 2 h 2 ( Vl + 9i) - h (2 f/l -? 8) = 0 : 7 h 2 y x y 3 Przyjmując zaś, że otrzymam}': 2 9?j_ + c? 2 fi = l»o 73 1 = /'. 7 'r 2 ^ 2 1 5 u + 1 Dla //, w granicach 1-4-4 stosunek ^ 2 wypadnie w granicach 0,40 4-0,57. Zwykle przyjmujemy, że stosunek ten jest równy 0,5 i na tej podstawie węzeł wewnętrzny umieszczamy pośrodku słupka. Zakładając zaś, że: h x = h 2 i), otrzymamy rozwiązanie drugiego zagadnienia z równania: z którego możemy określić długość przedziału za pomocą wzoru: * + + L11J 2 V fi-ń- q>i Po wstawieniu do wzoru (11) (/ x = 1,5 r/ 3 i ~ 3 = «. otrzymamy ostate- <Pi czny wzór na długość przedziahi: 7i -, /3.5 4-1 = 2 J/!>,/, +! " Przy wielkości ii w granicach 1 -i- 4 stosunek 0,(17 -;- 0.73, a więc można przyjąć długość przedziału a = 0,7 h. 9. Uwagi ogólne wypada w granicach Rozpatrzyliśmy warunki, które należy spełnić, aby otrzymać najmniejszą objętość dźwigara, lecz nie wprowadziliśmy całego szeregu czynników niewątpliwie wpływających na zmniejszenie łub zwiększenie całkowitego ciężaru przęseł. J23
1 tak na przykład uzależniliśmy ciężar dźwigarów od wysokości i ilości przedziałów, nie uwzględniając natomiast wpływu ich długości na ciężar belek pomostu itp. (Jdybyśmy jednak chcieli uwzględnić wszystkie czynniki, które wpływają na ciężar zarówno dźwigarów jak i całych przęseł, to nie moglibyśmy w należyty sposób rozwiązać tego zadania. Rozwiązanie to byłoby bowiem skomplikowane i praktycznie niewykonalne, gdyż trzeba byłoby wprowadzić do niego wiele wątpliwych czynników, tak że dokładność końcowych wyników budziłaby wiele zastrzeżeń. Rozdział IV LINIE WPŁYWOWE A. Budowa linii wpływowych najczęściej stosowanych kratownic w budowie mostów I. Pojęcie linii wpływowej Teoria linii wpływowych (linii wpływu) należy właściwie do statyki budowli. Ponieważ jednak linie wpływowe są podstawą obliczania mostów, a w kursie statyki budowli nie zawsze poświęca się liniom wpływowym dostatecznie wiele uwagi i miejsca, rzeczą pożyteczną dla czytelników tej książki będzie systematyczny przegląd linii wpływowych elementów kratownic najczęściej stosowanych w budowie mostów. Linią wpływową dowolnej wielkości statycznej (siły, momentu, naprężenia, odkształcenia) nazywamy wykres, którego każda rzędna wyraża wartość tej wielkości statycznej, wywołaną przez obciążenie ruchome P = 1, w chwili gdy.obciążenie P = I znajdzie się ponad tą rzędną. Linią wpływową siły osiowej w danym pręcie kratownicy jest więc wykres, którego każda rzędna daje wielkość siły osiowej w tym pręcie kratownicy, wywołaną przez obciążenie kratownicy jedną tylko silą ruchomą P = 1, ustawioną ponad tą rzędną. Linia wpływowa jest więc wykresem siły w pręcie wywołanej przez obciążenie P L jako funkcji położenia tej siły na moście. Ponieważ obciążenie w kratownicach jest przeważnie węzłowe, dlatego siła P = 1 przesuwając się kolejno od jednego węzła kratownicy do następnego przenosi się według prawa dźwigni na sąsiednie węzły kratownicy po linii prostej. Jeżeli siła P = 1 nie przesuwa się po belkach podłużnych, które przez poprzecznice węzłowe przenoszą siłę P 1 na węzły kratownicy, lecz bezpośrednio po danym pręcie kratownicy, to charakter linii wpływowej elementów' kratownicy pozostanie ten sam, gdyż i ten pręt będzie przenosić siłę P = 1 na sąsiednie węzły kratownicy wzdłuż linii prostej, ale przy tym pod działaniem tej siły nastąpi dodatkowe ugięcie tego pręta pomiędzy sąsiednimi węzłami. Powstaną wówczas tak zwane miejscowe momenty zginające, które w obliczeniach sił i przekrojów odpowiednich prętów ki'atownicy powinny być zawsze uwzględniane. Przypadek powyższy zachodzi zazwyczaj w mostach drogowych z jazdą górą, gdy jazda odbywa się po nawierzchni ułożonej na belkach jezdni i na pasach górnych dźwigarów głównych lub w mostach kolejowych o średniej 124