Modelowane komputerowe fraktalnych basenów przycągana. Rafał Henryk Kartaszyńsk Unwersytet Mar Cure-Skłodowskej Pl. M. Cure-Skłodowskej 1, 0-031 Lubln, Polska Streszczene. W artykule tym zajmujemy sę prostym dośwadczenem fzycznym, którego zlustrowane wynk przedstawają fraktalne baseny przycągana, a grance mędzy nm mają strukturę fraktalną. We wstępe omówono zagadnene dzwnych atraktorów basenów przycągana. Następne omawamy samo dośwadczene. W kolejnym paragrafe przedstawamy mplementację programu służącego do modelowana naszego dośwadczena. Abstract. In ths paper we present smple physcal experment and ts results showng fractal basns of attracton, whch boundares show fractal structure. In ntroducton we explan what strange attractors and fractal basns of attracton are. Next we descrbe our experment and program used for ts modelng. Fnally program mplementaton s concerned and project results presented. 1.Wstęp. Dzwne atraktory. Zajmujemy sę dynamcznym układam welowymarowym. Jest to przypadek bardzo rzeczywsty, poneważ realne stany rzadko dają sę opsać pojedynczym zmennym. Musmy sę też ogranczyć do układów dyssypatywnych, tj. takch, w których występuje tarce, a ogólnej utrata energ. Za przykład może posłużyć, będący przedmotem głębszej analzy, ruch wahadła w pewnym ośrodku np. powetrzu. Trac ono energe na skutek różnego rodzaju tarć. Przecweństwem układów dyssypatywnych są układy zachowawcze, w których ne występują straty energ. Matematycy fzycy skłonn byl uważać, że zachowane układów dyssypatywnych, w dłuższym okrese czasu, Rys.1.1. Atraktor Russela daje sę opsać prostym wzorcam ruchu, na przykład przez stnene punktu spoczynku. Dzwne atraktory, w przecweństwe, są wzorcam charakteryzującym zachowana złożonych układów dyssypatywnych, a dokładnej ch stanów ustalonych. Przejawają one wszelke oznak chaosu. Dzwne atraktory są pomostem łączącym chaos fraktale. Jeżel patrzymy na ne jako na struktury geometryczne, wdzmy fraktale, jeżel chcemy je analzować jako układy dynamczne, to mamy do czynena z chaosem. W rzeczywstośc ne ma jeszcze konkretnej defncj matematycznej dzwnego atraktora. Ponżej przedstawamy próbę zdefnowana podstawowych własnośc dzwnego atraktora [1].
Nech T(x, y) będze przekształcenem płaszczyzny o współrzędnych x, y. Ogranczony podzbór płaszczyzny A jest chaotycznym dzwnym atraktorem przekształcena T, jeżel stneje zbór R, mający następujące własnośc: Atraktor. R jest otoczenem A, tzn. dla każdego punktu (x, y) A stneje mały dysk o środku w (x, y), który jest zawarty w R. R jest obszarem pułapką, tzn. każda orbta zaczynająca sę w R pozostaje na zawsze w R. Ponadto, orbta staje sę blska A pozostaje tak blsko, jak tylko chcemy. A jest atraktorem. Czuła zależność. Orbty wychodzące z punktów należących do R wskazują czułą zależność od warunków początkowych. A jest atraktorem chaotycznym. Fraktal. Atraktor ma strukturę fraktalną jest dzwnym atraktorem. Meszane. A ne może zostać podzelony na dwa mnejsze atraktory (atraktor ne mus być zborem spójnym). Istneją punkty początkowe z obszaru R, których orbty podchodzą dowolne blsko dowolnego punktu atraktora A. Fraktalne baseny przycągana. Zbadajmy teraz sytuację, gdy mamy wele atraktorów. Wówczas orbta danego punktu początkowego pownna zbegać do któregoś z atraktorów. Logczne jest węc, że muszą stneć brzeg odpowednch basenów przycągana, które często mają strukturę fraktalną. Z numerycznego fzycznego punktu wdzena punkt początkowy można wyznaczyć jedyne z pewną dokładnoścą r. W tym mejscu pojawa sę defncja punktu nepewnego. Jest to punkt, w którego otoczenu o promenu r stneje punkt, którego trajektora zbega do nnego atraktora, nż badanego punktu (rys.1..). Obszar ten ma szerokość r, jest węc proporcjonalny do r. Jeżel r r r Rys.1.. Granca pomędzy dwoma basenam frakatalnym. Po prawej punkt nepewny. zmnejszymy promeń nepewnośc dwukrotne (poprawając dokładność) to obszar punktów nepewnych zmnejsza sę dwukrotne. W naszym przypadku mamy jednak do czynena z brzegem o charakterze fraktalnym, węc zależność będze bardzej złożona. Wyprowadzene jej ne będzemy jednak przytaczać, wspomnmy jedyne, że jest to zwązek potęgowy, wyprowadzany w oparcu o wymar pudełkowy brzegu. Kłopotów z przewdzenem stanu końcowego układu ne ma jedyne w przypadku, gdy dany punkt początkowy oraz jego otoczene, tj. punkty w odległośc ne wększej nż r od nego, zbegają do tego samego atraktora. Gdy tak ne jest stneją punkty z tego obszaru zbegające do różnych stanów, to ne możemy jednoznaczne przewdzeć, do którego atraktora zbega trajektora danego punktu początkowego. Wdzmy, że przewdywane zachowana układów nelnowych, z węcej nż jednym atraktorem, jest utrudnone, a wymar fraktalny zyskuje nterpretację dynamczną.. Wahadło matematyczne w polu magnetycznym. Rozważamy wahadło matematyczne, które może wykonywać ruchy we wszystkch kerunkach. Pod wahadłem, w pewnej odległośc od położena równowag, umeścmy magnesy o takej sle przycągana, by wahadło znajdujące sę dostateczne blsko magnesu zostało przez nego przycągnęte. Można wywnoskować, że ruch takego wahadła ne będze ruchem harmoncznym, lecz ruchem bardzo złożonym, można powedzeć chaotycznym. Z powodu występujących sł oporu, wahadło po pewnym czase zatrzyma sę przy którymś z magnesów lub w położenu
równowag. Można spróbować przewdzeć, czy wahadło zatrzyma sę w położenu równowag, czy przy magnese. A jeśl przy magnese, to przy którym. Oczywśce już z samej analzy problemu wynka, że położene końcowe wahadła będze zależało od welu parametrów początkowych np.: położena początkowego wahadła, położena sły magnesów czy od oporów ośrodka, w którym porusza sę wahadło. Trudno byłoby ustalć eksperymentalne położene końcowe wahadła w zależnośc od tych wszystkch parametrów. Dlatego spróbujemy wykonać symulację komputerową naszego eksperymentu. Należy, zatem zacząć od wyprowadzena równana ruchu wahadła. W celu uproszczena rachunków wprowadzmy pewne założena, a manowce: wahadło matematyczne zaweszone jest na neważkej nerozcąglwej ntce o długośc jednostkowej, wahadło traktujemy jako punkt materalny o jednostkowej mase, wahadło może wahać sę we wszystkch kerunkach w zakrese kąta π / < α < π /, po powerzchn sfery o promenu jednostkowym, ruch wahadła rozpatrujemy w układze współrzędnych XYZ, a punkt zaczepena znajduje sę w punkce o współrzędnych (0, 0, 1) (rys..1), na płaszczyźne XY umeszczone są magnesy w werzchołkach welokąta foremnego wpsanego w okrąg o promenu R środku w początku układu współrzędnych, sła oddzaływana każdego magnesu z wahadłem jest odwrotne proporcjonalna do kwadratu odległośc (druge prawo Coulomba),. sła oporu ruchu wahadła jest proporcjonalna do prędkośc (sła ρ ρ Stokesa F = 6πηrV ), Rys..1 Schemat dośwadczena Równane ruchu. Po tych założenach możemy przystąpć do wyprowadzana równana ruchu wahadła. Zgodne z naszym założenam wahadło porusza sę po sferze spełnającej równane: x + y + ( z 1) = 1 (.1) Z warunku kąta wychylena wahadła z położena równowag wynka, że składowa z- owa zmena sę w zakrese 0,1), węc: ( x ) z = 1 1 + y (.) gdze: 1 ( + y ) = cosα = η ( + y ) = sn α x (.3) x (.4) Ze względu na tak jednoznaczne powązane zmennych z, x y (wzór.) wystarczy, jeżel napszemy równana ruchu dla os X Y. Rozpatrzmy teraz ruch wahadła w polu Rys.. Rozkład sły grawtacj grawtacyjnym. Wypadkową słą, powodującą ruch wahadła po krzywej kołowej, jest składowa sły cężkośc, leżąca na stycznej do trajektor wahadła (rys..).
Korzystając z drugej zasady dynamk oraz rachunku wektorowego, możemy napsać równana ruchu wahadła w polu grawtacyjnym (wzór): x + gx 1 ( x + y ) = x + gxη = 0 (.5) y + gy 1 ( x + y ) = y + gyη = 0 gdze: g przyspeszene zemske. Jest to układ równań różnczkowych zwyczajnych drugego rzędu. W tym wypadku wahadło wykonuje ruch harmonczny w jednej płaszczyźne. Rozpatrzmy teraz słę oddzaływana wahadła z -tym magnesem (rys..3.). Nech położene -tego magnesu będze określone warunkem: π x = R cos ( 1) n (.6) π y = R sn ( ) 1 n gdze: n lość magnesów = 1,, 3,..., n R = promeń okręgu opsanego na welokące. Jak wynka z naszych założeń, sła oddzaływana - tego magnesu z wahadłem wynos: M F = (.7) d Rys..3. Wpływ przycągana magnesów gdze: M współczynnk proporcjonalnośc, zależny od rodzaju magnesu d odległość -tego magnesu od wahadła, która wynos: d ( ) ( x x) + ( y y) + 1 1 ( x y ) = (.8) + Borąc pod uwagę to, że sła składowa, wywołująca ruch wahadła, jest rzutem prostopadłym sły magnetycznej na płaszczyznę styczną od sfery (rys..3) oraz wykorzystując rachunek wektorowy, otrzymamy: F x M = d 3 [ x x( xx + yy + 1 ( x + y ))] [ y y( xx yy 1 ( x y ))] + + + (.9) M Fy = 3 d Równane ruchu wahadła przyjme postać: n M x [ x x( xx + yy + η) ] + gxη = 0 3 = 1 d (.10) n M y [ ( + + η) ] + η = y y xx yy gy 0 3 = 1 d Otrzymany układ równań różnczkowych zwyczajnych drugego stopna mógłby posłużyć nam do badana trajektor ruchu wahadła w polu magnetycznym magnesów. Zauważymy jednak, że wahadło nasze jest przyspeszane (rys..4.) ngdy ne zatrzyma sę. Dlatego do równana (.10) wprowadzamy czynnk zwązany z słą oporu ośrodka, która jest proporcjonalna do prędkośc wahadła. Po wprowadzenu tego czynnka otrzymamy ostateczną postać równana ruchu wahadła:
n M x + Cx 3 = 1 d n M y + Cy 3 = 1 d gdze: C współczynnk proporcjonalnośc zwązany z oporem ośrodka. Rozwązane tego układu równań wymaga podana welu parametrów początkowych jak: określene położena początkowego wahadła, jego prędkośc początkowej, współczynnka oporu ruchu, sły oddzaływana magnesów na wahadło czy przyspeszena zemskego. Take zagadnene z tyloma parametram początkowym możemy na wele sposobów rozwązywać numeryczne. 3. Symulacje komputerowe ruchu wahadła matematycznego w polu magnetycznym. Wadomo, że obraz powstały na ekrane montora jest obrazem płaskm, dlatego należy przyjąć pewne odwzorowane powerzchn sfery, po której [ x x( xx + yy + η) ] [ y y( xx + yy + η) ] + gxη = 0 + gyη = 0 (.11) Rys..4. Trajektora wahadła w polu magnetycznym trzech magnesów bez oporu ruchu. porusza sę wahadło na powerzchnę płaską. Poneważ w naszym modelu zależność mędzy współrzędną z-ową a współrzędnym x y jest jednoznaczna, możemy tworzyć obrazy poprzez rzut prostopadły punktu P(x, y, z) sfery na punkt P (x, y) na płaszczyźne (rys. 3.1). Rys. 3.1. Odwzorowane sfery na płaszczyznę W naszym programe wykorzystamy także nne odwzorowane sfery na płaszczyznę. Jeżel poprowadzmy prostą ze środka sfery przechodzącą przez punkt P(x, y, z), to prosta ta przetne płaszczyznę XY w punkce P (Ux, Uy) (rys. 3.1). Należy zauważyć, że jeżel punkt P zblża sę do równka sfery, punkt P dąży do neskończonośc. Dlatego w naszych rozważanach rozpatrujemy ruch wahadła w zakrese kątów π / < α < π /. Take odwzorowane połowy sfery na płaszczyznę jest jednoznaczne można je przedstawć w postac: x x x U x = = = (3.1) 1 z 1 x + y ( ) η
y y y U y = = = (3.) 1 z 1 ( x + y ) η Istneje także jednoznaczne odwzorowane punktów płaszczyzny na punkty sfery: U x x = (3.3) 1 + U + U x x y U y y = (3.4) 1 + U + U y 1 z = 1 (3.5) 1 + U x + U y 4. Implementacja. Program został napsany w Delph jako aplkacja welowątkowa. srodek:= robrazka dv ; przelcznk:=1.0/srodek; Ux:=(wersz-srodek)*przelcznk; Uy:=(srodek-kolumna)*przelcznk; Rys.4.1. Przelczane pksel na współrzędne na płaszczyźne. Gdy znalezone zostały odwzorowana sfery na płaszczyznę, należało równeż przejść ze współrzędnych ekranu (pksele) na współrzędne płaszczyzny rzutu. Do określena, jake współrzędne na płaszczyźne (Ux, Uy) odpowadają pkselow (wersz, kolumna) służy kod rys.4.1. Zmenne używane w programe to parametry początkowe dośwadczena: lczba magnesów, promeń okręg, na którym znajdują sę magnesy, współczynnk namagnesowana magnesów, przyspeszene grawtacyjne, współczynnk oporu ośrodka oraz współrzędne początkowe wahadła. Dzęk takej parametryzacj możemy przeprowadzć nasze dośwadczene np. na dowolnej planece, a wahadło umeścć w dowolnym ośrodku. Ruch wahadła odbywa sę na sferze. Współrzędna sfery przelczane są na współrzędne płaszczyzny, a te z kole na pksele rysunku o zadanym rozmarze. Rozpatrując ruch wahadła, berzemy pod uwagę przesunęce przy stałej czasowej, uwzględnając sły oddzaływana pochodzące od pola grawtacyjnego każdego magnesu z osobna. Na podstawe wyprowadzonych poprzedno równań wyznaczamy kolejne położena wahadła. Program analzuje trajektorę ruchu wahadła od wybranego punktu początkowego do chwl uwęzena wahadła przez magnes lub pole grawtacyjne. Dla każdego magnesu środka cężkośc ustalamy promeń uwęzena wahadła. Jeżel wahadło w ustalonej lczbe kroków pozostane wewnątrz okręgu o tym promenu, elalfa := (DwaP/IleMag); for := 1 to IleMag do begn Alfa := elalfa * ( - 1); X[] := R * cos(alfa); Y[] := R * sn(alfa); end; X[0] := 0; Y[0] := 0; Rys.4.. Oblczane współrzędnych magnesów. uznajemy, że dany magnes, lub punkt równowag jest położenem końcowym wahadła. Gdy chcemy sporządzć obraz basenów przycągana, każdemu punktow na ekrane przyporządkowywany jest kolor zależny od położena końcowego wahadła. Zauważyć należy, że nasycene szarośc nformuje o punktach stacjonarnych. W programe można dowolne wyberać kolor odpowadający wybranemu magnesow, lub punktow równowag.
5. Wynk. Efektem wykonana programu są rysunk przedstawające rzut trajektor ruchu wahadła na płaszczyznę. a) b) c) d) e) f) Rys. 5.1. Wdok trajektor wahadła w polu magnesów, dla zmenających sę parametrów początkowych jak: opór ruchu (C), sła oddzaływana magnesów (M), położene początkowe (X,Y) czy lczby magnesów (N): a) N = 3; C = 0,4; M = 0,0015; X = 0,1, Y = 0,3; b) N = 3; C = 0,8; M = 0,0015; X = 0,1, Y = 0,3; c) N = 3; C = 0,9; M = 0,001; X = 0,1, Y = 0,3; d) N = 3; C = 0,9; M = 0,0015; X = 0,3, Y = 0,3; e) N = 5; C = 0,9; M = 0,0015; X = 0,3, Y = 0,1; f) N = 1; C = 0,9; M = 0,0015; X = 0,3, Y = 0,1; Na rysunku 5. możemy zaobserwować zależność położena końcowego wahadła od zmenających sę parametrów początkowych: oporu ruchu, sły oddzaływana magnesów, położena początkowego wahadła oraz lczby magnesów. Jak wdzmy wszystke parametry układu równań (.11) mają wpływ na trajektorę ruchu położene końcowe wahadła. Przejdźmy do głównego eksperymentu, polegającego na stworzenu mapy zależność położena początkowego od położena końcowego wahadła. Wyobraźmy sobe, że puszczamy wahadło z dowolnego punktu sfery sprawdzamy czy wahadło zatrzyma sę przy określonym przez nas magnese. Zbór takch punków nazywamy basenam przycągana. Rys. 5.. Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad dwoma magnesam
Rys. 5.3 Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad czterema magnesam Rys. 5.5. Powększene fragmentu rysunku obok Rys.5.4. Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad trzema magnesam. Rzut prostopadły. Na powyższych rysunkach wdzmy skomplkowany układ przenkających sę basenów przycągana magnesów. Należy zauważyć, że fragment basenu przycągana, który
wydaje sę należeć tylko do jednego magnesu, po powększenu (rys. 5.5.) okazuje sę poprzedzelany nnym basenam przycągana tak w neskończoność. Wdzmy, że w stoce mają one bardzo skomplkowaną, fraktalną strukturę, podobną do zboru Cantora. Dalsze rozważana obserwacje. W dalszej częśc pracy zajmę sę basenam przycągana dla układu pole grawtacyjne magnes. Na rysunku 5.6 wdzmy strukturę basenów przycągana magnesu. Zastanówmy sę, czym są baseny przycągana, jake zjawsko w stoce obserwujemy. Jeżel przeanalzujemy układy równań (.10) lub (.11), ruchu wahadła, zauważymy, że wahadło porusza sę w dwóch polach opsanych funkcjam snusodalnym. Załóżmy, że wahadło uwęzone jest w pewnej studn potencjału opsanej wzorem (patrz układ równań (.5) wahadło w polu grawtacyjnym): Rys. 5.6 Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad jednym magnesem. V ( x, y, z) A 1 ( x + y ) = Acosα = (5.6) gdze: A współczynnk proporcjonalnośc. Jeżel teraz wprowadzmy pewne zaburzene tej studn potencjału nnym potencjałem, opsanym także funkcją proporcjonalną do cosα (oddzaływane magnes wahadło), to nastąp nterpolacja obu potencjałów oraz zaburzene jednej z funkcj falowej przez drugą. Można na tej podstawe wnoskować, że obrazy basenów przycągana w stoce przedstawają zaburzena jednego potencjału przez nny potencjał. Można by było zapytać, czym jest wahadło w naszym dośwadczenu? Sądzę, że najproścej rzecz ujmując, wahadło można traktować jak sondę badającą zaburzena potencjału. Przeceż wahadło ne wprowadza w nasze pole żadnych zaburzeń jeżel wykonalbyśmy nasze dośwadczene bez magnesów, otrzymalbyśmy bały obraz, bez basenów przycągana. Dopero po wprowadzenu magnesu w poblże wahadła powoduje powstane basenów przycągana. Rozważmy zaburzene potencjału grawtacyjnego przez słaby potencjał magnetyczny. Take zaburzene lustruje rysunek 5.6. Rys.5.6. a) Rys. 5.6 b)
Rys. 5.6. c) Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad jednym magnesem, przy zmenającym sę współczynnku oporu ruchu wynoszącym odpowedno dla: a) C = 0,9; b) C = 0,6; c) C = 0,3. W cągu tych rysunków obserwujemy zmenający sę kształt położene basenów przycągana względem środka studn zaburzonego potencjału oznaczonego +. Zauważymy, że perwszy basen przycągana, znajdujący sę po prawej strone +, ma dentyczny kształt na wszystkch rysunkach. Jest to główny basen przycągana znajdujący sę w poblżu magnesu. Następne baseny przycągana różną sę wyglądem, ale w każdym z nch możemy doszukać sę podobeństwa do fragmentów znekształconej funkcj snusodalnej. Przy czym m bardzej oddalamy sę od środka, tym wększe są to fragmenty. Należy zwrócć także uwagę na perwszy basen przycągana w kształce łuku, znajdujący sę po lewej strone środka zaburzonego potencjału. Jego kształt zasadnczo ne ulega zmane, ale wraz z malejącym oporem ruchu, przyblża sę on do środka +. I jeżel na rysunku 5.6.a, znajduje sę on w odległośc wększej od środka nż główny basen przycągana, to na rysunku 5.6.c, odległość tego basenu przycągana od środka, jest mnejsza od odległośc głównego basenu. W naszym eksperymence, możemy obserwować zaburzene studn potencjału w maksymalnym zakrese kąta π / < α < π /. Lecz jeżel baseny przycągana są obrazem zaburzena studn potencjalnej, to ne pownny ogranczać sę tylko do tego obszaru. Rys.5.7. Baseny przycągana dla wahadła zaweszonego nad jednym magnesem, obserwowane przy rzuce prostopadłym. Na rysunku powyżej wdzmy, jak basen przycągana znajdujący sę po lewej został przerwany tak, jakby dalsza jego część znajdowała sę powyżej tego kąta. 5. Podsumowane. W artykule tym zaprezentowalśmy proste dośwadczene, którego wynk prowadzą do złożonych wnosków. Badane stanu końcowego układu w zależnośc od warunków początkowych prowadz do cekawych obserwacj. Zlustrowane wynk przedstawają fraktalne baseny przycągana, a grance mędzy nm mają strukturę fraktalną. Dośwadczene wymaga jednak użyca programu komputerowego. Odpowedno zmenając parametry dośwadczena możemy modelować zmenać otrzymane struktury fraktalne. Bblografa. [1] Petgen O., Jűrgens H., Saupe D. Granca chaosu Fraktale, PWN 000 [] Szuster P. Chaos determnstyczny, PWN 1994 [3] Penrose R. Nowy umysł cesarza PWN 1995 [4] Kudrewcz J. Fraktale chaos PWN 1989