Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa

STATYSTYKA 2 rok, informatyka,. Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa 1. Niech A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Pokaza,»e 1 P (A) 1. Pokaza,»e oba ograniczenia mog by osi gniete. 6 4 2. P (A B) = 1, P (A B) = 1, P (A \ B) = P (B \ A). Obliczy P (A) oraz P (A \ B). 2 4 3. Litery alfabetu Morse'a utworzone s z ci gów kresek i kropek. Ile liter mo»na utworzy z dziesi ciu lub mniej symboli. 4. Ile jest ró»nych wyników przy rzucie dwoma nierozró»nialnymi kostkami? 5. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e przy rzucie dwoma nierozró»nialnymi kostkami otrzyma si : a) na obywdu kostkach po jednym oczku, b) jedno oczko na jednej z kostek, dwa oczka na drugiej. 6. n kul rozmieszczono losowo w n szuadach. Wyznaczy prawdopodobie«stwo, i» dokªadnie jedna szuada jest pusta. 7. n osób, wsród których jest jeden Bolek i jeden Lolek, ustawia si w szereg. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e miedzy Bolkiem i Lolkiem jest dokªadnie k osób. 8. Dany jest zbiór wszystkich funkcji f : {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wybrana funkcja jest ró»nowarto±ciowa. 9. Wykonujemy cztery rzuty kostk do gry. Oblicz prawdopodobie«stwo, i» liczby oczek uzyskane w kolejnych rzutach tworz ci g ±ci±le malej cy. 10. Na parterze dziesi ciopi trowego budynku do windy wsiadªo siedem osób. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e wszyscy wysi d na ró»nych pi trach. 11. Do poci gu skªadaj cego si z n wagonów wsiada k pasa»erów. Oblicz prawdopodobie«stwo,»e do ka»dego wagonu wsi dzie przynajmniej jeden pasa»er. 12. Z przedziaªu [0, 1] wybieramy w sposób losowy dwa punkty b oraz c. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e równaie x 2 + bx + c = 0 nie ma pierwiastków rzeczywistych? 13. Pªaszczyzn podzielono prostymi równolegªymi odlegªymi o 2a. Na t pªaszczyzn rzucamy w sposób losowy odcinek o dªugo±ci 2l < 2a. Jakie jest prawdopodobie«stwo, i» odcinek przetnie jedn z prostych? 14. Odcinek o dªugo±ci 10 cm podzielono w sposób losowy na trzy cz ±ci. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e z tych cz ±ci mo»na zbudowa trójk t. 15. W przypadkowych momentach odcinka [0, A] mog nadej± do odbiornika dwa sygnaªy. Odbiornik zostaje popsuty je»eli ró»nica w czasie pomi dzy sygnaªami jest mniejsza ni» a (a < A). Obliczy prawdopodobie«stwo uszkodzenia odbiornika w ci gu czasu A. 16. Rzucamy symetryczn monet a» do momentu, gdy po raz pierwszy wypadnie orzeª. Policzy prawdopodobie«stwo,»e liczba rzutów b dzie: 1

a) parzysta, b) podzielna przez m. 17. Obliczy prawdopodobie«stwo, i» przy wielokrotnym rzucaniu par symetrycznych kostek suma oczek 7 wypadnie przed sum oczek 6. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e suma oczek 7 lub suma oczek 6 nie pojawi si nigdy? 18. Prawdopodobie«stwo przekazania sygnaªu przez jeden przeka¹nik jest p = 0.9. Przeka¹niki dziaªaj niezale»nie, tzn. niezadziaªanie jednego z nich nie ma wpªywu na niezadziaªanie drugiego. Obliczy prawdopodobie«stwo przekazania sygnaªu a) przy poª czeniu szeregowym dwu przeka¹ników, b) przy poª czeniu równolegªym. 19. Rzucono 10 razy symetryczna kostk. Jaka jest szansa otrzymania a) sze±ciu oczek conajmniej raz, b) pi ciu oczek dokªadnie trzy razy? 20. Dla pewnego gatunku zwierz t prawdopodobie«stwo urodzenia samicy wynosi 0,4. Obliczy prawdopodobie«stwo, i» w miocie, w którym urodziªo si cztery mªode, b d conajmniej trzy samce. 21. Mamy 4 kosze, a w ka»dym z nich po 4 piªki, przy czym w koszu k-tym jest k piªek czarnych i 4 k piªek niebieskich. Wybieramy losowo (z równym prawdopodobie«stwem wyboru) jeden z czterech koszy. Z wybranego kosza losujemy kolejno bez zwracania dwie piªki. Jakie jest prawdopodobie«stwo tego,»e druga piªka b dzie niebieska, gdy pierwsza byªa niebieska? 22. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e na»adnej kostce nie wypadªa pi tka, je±li na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek? 23. Rzucamy trzema monetami. W±ród nich tylko jedna jest niesymetryczna (orzeª wypada z prawdopodobie«stwem 2 3 ). a) Oblicz prawdopodobie«stweo,»e orzeª wypadnie dwa razy, b) oblicz prawdopodobi«stwo,»e orzeª wypadª na niesymetrycznej monecie, je»eli wiadomo,»e wypadª dokªadnie jeden orzeª. 24. Fabryka wyrabia ±ruby na trzech maszynach A, B i C, których produkcja wynosi odpowiednio 25%, 35% i 40% caªej produkcji. Maszyny daj odpowiednio 5%, 4% i 2% braków. W sposób przypadkowy wybrano ±rub. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e jest ona brakiem oraz prawdopodobie«stwo warunkowe tego,»e wyprodukowaªa j maszyna A, je±li stwierdzono,»e jest ona brakiem. 25. Telegraczne przekazywanie informacji odbywa si metod nadawania sygnaªów kropka, kreska. Statystyczne wªa±ciwo±ci zakªóce«s takie,»e bª dy wyst puj przeci tnie w 2/5 przypadków przy nadawaniu sygnaªu kropka i w 1/3 przypadków przy nadawaniu sygnaªu kreska. Wiadomo,»e ogólny stosunek liczby nadawanych sygnaªów kropka do liczby sygnaªów kreska jest 5:3. Obliczy prawdopodobie«stwo tego,»e przy przyjmowaniu sygnaªu kropka w rzeczywisto±ci ten sygnaª zostaª nadany. 2

26. Dobra staªe a, b, c tak, aby funkcja 0 dla x 1 F (x) = b(1 c/x) dla x (1, a 1 dla x > a byªa dystrybuant. 27. Dobra staªe a, b tak, aby funkcja 0 dla x 1 F (x) = a + b arcsin x dla x ( 1, 1 1 dla x > 1 byªa dystrybuant. x (, 1 ( 1, 2 (2, 3 (3, ) 28. Dystrybuanta zmiennej losowej X ma posta : F (x) 0 0.2 c 1 Wyznaczy c oraz rozkªad zmiennej losowej X. Obliczy prawdopodobie«stwa: P (X = 3), P (X = 4), P (X > 3), P (X < 2),P (X 4). 29. Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkªadzie ci gªym ma posta 0 dla x 0 F (x) = c x 3 dla x (0, 1. 1 dla x > 1 Dobra staª c. Wyznaczy g sto± rozkªadu X. Obliczy prawdopodobie«stwa: P (X = 1 3 ), P (X > 4), P (X < 3), P (X ( 1 3, 1 2 ) ). 30. Poda przykªad ró»nych zmiennych losowych o tym samym rozkªadzie. 31. Zmienna losowa X ma nast puj cy rozkªad: x i 5-2 0 1 3 8 p i 0.1 0.2 0.1 0.2 c 0.1 a) Wyznaczy staª c, narysowa histogram i wykres dystrybuanty. b) Wyznaczy prawdopodobie«stwa: P (X = 1), P (X = 2), P (X < 3), P (X < 2), P (X 0), P ( 2 X < 3) dwoma sposobami: korzystaj c z danego rozkªadu prawdopodobie«stwa i korzystaj c z dystrybuanty. 32. Zorganizowano nast puj c gr : Gracz wyci ga z talii dwie karty (bez zwracania). Je±li s to dwa asy wygrywa 20zª, je±li dwie gury wygrywa 10 zª, w ka»dym pozostaªym przypadku pªaci 2 zª. Niech X oznacza wygrana gracza. Znale¹ rozkªad zmiennej losowej X. Wyznaczy i narysowa dystrybuant tego rozkªadu. 33. Opakowanie zawiera pi nasion drogich kwiatków. Wiadomo,»e liczba nasion, które wykieªkuj ma rozkªad dwumianowy (Bernoulliego) B(5, 4 5 ). a) Obliczy prawdopodoie«stwo,»e wykieªkuje nie mniej ni» 4 nasiona. b) Obliczy prawdopodoie«stwo,»e nie wykieªkuje ani jedno nasionko. 34. Owad skªada k jaj zgodnie z rozkªadem Poissona z parametrem λ. Potomek wyl ga si z jaja z prawdopodobie«stwem p niezale»nie od innych. Wyznaczy prawdopodobie«stwo,»e liczba potomków b dzie równa l. 3

35. Dobra staª c tak, aby funkcja { c ln x dla x (1, 2) 0 dla x (1, 2) byªa g sto±ci prawdopodobie«stwa zmiennej losowej X. Wyznaczy jej dystrybuant. Obliczy P (X < 3 2 ), P (X ( 1 4, 1 2 )). 36. Dobra staª c tak, aby funkcja { c cos x dla x π 2 0 dla x > π 2 byªa g sto±ci prawdopodobie«stwa miennej losowej X. Wyznaczy jej dystrybuant. Obliczy P ( X < 1 2 ). 37. Zmienna losowa ma rozkªad jednostajny na odcinku (a, b), tj. dany g sto±ci : { 1 dla x (a, b) b a 0 dla x (a, b) Wyznaczy jej dystrybuant. 38. Niech czas (mierzony w tygodniach) oczekiwania na wizyt do lekarza ma rozkªad jednostajny na odcinku ( 1 2, 6). a) Obliczy prawdopodoie«stwo, i» czas oczekiwania b dzie krótszy ni» 4 tygodnie. b) Obliczy prawdopodoie«stwo, i» czas oczekiwania b dzie nie b dzie dªu»szy ni» 1 tydzie«. 39. Zmienna losowa X ma rozkªad jednostajny na odcinku ( 1, 1). Wyznaczy g sto± rozkªadu zmiennej losowej Y = arcsin X. 40. Zmienna losowa X ma rozkªad jednostajny na odcinku ( 1, 3). Wyznaczy g sto± rozkªadu zmiennej losowej Y = X. 41. Zmienna losowa X ma rozkªad wykªadniczy z parametrem λ. Wyznaczy g sto± rozkªadu zmiennej losowej Y = ln X. x 42. Zmienna losowa X ma nast puj cy rozkªad: i -5 0 1 3 5 p i 0.2 0.1 0.2 c 0.3. Wyznaczy staª c oraz wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, median, kwantyl rz du 0.25, kwantyl rz du 0.7 zmiennej losowej X. x (, 2 ( 2, 0 (0, 2 (2, ) 43. Dystrybuanta zmiennej losowej X ma posta :. F (x) 0 0.2 0.4 1 Wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, median, kwantyl rz du 0.2, kwantyl rz du 0.75 zmiennej losowej X. 44. Dobra staª c tak, aby funkcja { c x 2 dla x (0, 1) 0 dla x (0, 1) byªa g sto±ci prawdopodobie«stwa zmiennej losowej X. Wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, median, kwantyl rz du 0.25 zmiennej losowej X. 4

45. Dobra staª c tak, aby funkcja { c sin x dla x (0, π 2 ) 0 dla x (0, π 2 ) byªa g sto±ci prawdopodobie«stwa miennej losowej X. Wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, median zmiennej losowej X. 46. Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkªadzie ci gªym ma posta 0 dla x 0 F (x) = x 2 dla x (0, 1. 1 dla x > 1 Wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, median, kwantyl rz du 0.8 zmiennej losowej X. 47. Wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj, odchylenie standardowe, median, kwantyl rz du 0.75 zmiennej losowej X o rozkªadzie wykªadniczym z parametrem λ. 48. Wyznaczy warto± oczekiwan oraz wariancj zmiennej losowej X o rozkªadzie Poissona z parametrem λ. 49. Wyznaczy median oraz kwantyl rz du 1/10 zmiennej losowej X o rozkªadzie Poissona z parametrem λ = 2. 50. Wyznaczy warto± oczekiwan, wariancj oraz median rozkªadu jednostajnego na odcinku (a, b). 51. Wyznaczy warto± oczekiwan rozkªadu dwumianowego B(n, p). 52. Niech czas (mierzony w minutach) oczekiwania na zapiekank w barze na dole ma rozkªad jednostajny na odcinku (0, 15). Oblicz ±redni czas oczekiwania na zapiekank. 53. Wyznaczy przeci tn liczb szóstek w czterech rzutach kostk. 54. Zorganizowano nast puj c gr : Gracz wyci ga z talii dwie karty (bez zwracania). Je±li s to dwa asy wygrywa 20zª, je±li dwie gury wygrywa 10 zª, w ka»dym pozostaªym przypadku pªaci 2 zª. Wyznaczy warto± oczekiwan wygranej gracza. 55. Zmienne losowe X i Y o rozkªadzie ci gªym maj odpowiednio g sto±ci f i g, takie»e f(x) g(x) dla x < a oraz f(x) g(x) dla x > a, gdzie a R. Wykaza,»e EX EY. 56. Przy okr gªym stole zasiadªo w sposób losowy jeden Polak, dwóch Niemców oraz trzech Francuzów. Jaka jest oczekiwana liczba Francuzów siedz cych pomi dzy Niemcami po tej stronie stoªu, po której nie siedzi Polak? 57. Jasio i Stasio graj w ko±ci. Ka»dy z nich rzuca dwiema kostkami do gry. Je±li Stasio wyrzuci wi ksz sum oczek to Ja± pªaci mu 1 zª. Je±li Ja± wyrzuci wi ksz sum oczek, to Sta± pªaci Jasiowi 3 zª. W przypadku równej liczby oczek Ja± pªaci Stasiowi tyle zªorych ile wynosi suma oczek na wszystkich ko±ciach. Czy gra jest sprawiedliwa? (tzn. czy warto±ci oczekiwane wygranych s równe?) 58. Zmiena losowa X ma rozkªad normalny N(m, σ). Wyznaczy warto±ci oczekiwane zmiennych losowych Y = (X a) 2 oraz Z = X 2 2X + 1. 5

59. Zmiena losowa X ma rozkªad wykªadniczy z parametrem λ = 1. Wyznaczy warto± oczekiwan zmiennej losowej Y = sin X. 60. Stosuj c nierówno± Czebyszewa oszacowano,»e prawdopodobie«stowo tego,»e liczba orªów k w serii rzutów symetryczn monet b dzie si ró»ni od swojej warto± i oczekiwanej o conajmniej 25% tej warto±ci oczekiwanej, nie jest wi ksze ni» 1/160. Z ilu conajmniej rzutów skªada si ta seria? 61. Ci»ar jabªek dostarczanych do skupu ma rozkªad normalny ze srednia 8 dag i wariancja 9. Jaki procent jabªek dostarczanych do skupu nadaje si na eksport, je»eli za jabªka eksportowe uwaza sie tylko te, które wa» wiecej ni» 11 dag. 62. Wydajno± pracy robotników ma rozkªad normalny o parametrach N(7, 3) (wydajno± w szt./godz.). Obliczy prawdopodobie«stwo,»e robotnik wyprodukuje w ci gu godziny a) od 2 do 3 sztuk, b) od 5 do 8 sztuk, c) powy»ej 10 sztuk. 63. Šadunki prochu my±liwskiego wa»y si na wagach, których ±redni bª d kwadratowy pomiaru jest równy 150 mg. Nominalna masa ªadunku jest rz du 2.3 g. Obliczy prawdopodobie«stwo uszkodzenia strzelby, je»eli maksymalna dopuszczalna waga ªadunku wynosi 2.5 g. Wyznaczy ε tak, aby masa 99% ªadunków mie±ciªa si w przedziale (2.3 ε, 2.3 + ε). 64. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma nast puj cy rozkªad: x i \y i -1 0 1-2 0.2 0 0.2 2 0.25 0.1 0.25. Wyznaczy rozkªady brzegowe. Obliczy prawdopodobie«stwo,»e Y jest nieujemny pod warunkiem,»e X jest dodatni. 65. Niech X i Y b d niezale»nymi zmiennymi losowymi. Zmienna losowa X ma rozkªad N(1, 2), zmienna Y ma rozkªad N( 1, 3). a) Poda funkcj g sto±ci dwuwymiarowej zmiennej (X, Y ) oraz obliczy P ( 2 X 0, 2 Y 0); b) Znale¹ wspóªczynnik korelacji zmiennych losowych U = X + Y i V = X Y. 66. Zmienna losowa (X 1, X 2, X 3 ) N 3 (0, Σ), gdzie 4 1, 5 1 Σ = 1, 5 1 0, 5 1 0, 5 1 Zmienna losowa Y speªniaj ca równanie X 1 = ax 2 +bx 3 +Y jest nieskorelowana ze zmiennymi losowymi X 2, X 3. Wyznaczy a. 67. Zmienna loswa (X 1, X 2, X 3 ) ma rozkªad zdeniowany w poprzednim zadaniu. a) Wyznaczy g sto± ª czn. b) Wyznaczy wspóªczynnik korelacji ρ X1,X 2. c) Wyznaczy warto± oczekiwan i wariancj zmiennej losowej W = 2X 2 X 1 + 2x 3. 6

68. Zmienne losowe X i Y s niezale»ne. X ma rozkªad normalny o warto±ci oczekiwanej 0 i wariancji 0, 5. Natomiast Y ma rozkªad wykªadniczy z warto±ci oczekiwan równ 1. Obliczy P (Y > X 2 ). 69. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad jednostajny na kole o promieniu r i ±rodku w pocz tku ukªadu wspóªrz dnych. Sprawdzi czy zmienne losowe X, Y s niezale»ne. Wyznaczy warto± oczekiwan odlegªo±ci punktu (X, Y ) od pocz tku ukªadu wspóªrz dnych. 70. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad ci gªy dany g sto±ci { 9 y dla x (0, 3), y (0, x) f(x, y) = 2 0 w przeciwnym przypadku. Wyznaczy warto± oczekiwan oraz warianj zmiennej losowej Y. Wyznaczy g sto± warunkow f(y x). 71. Niech X, Y, Z niezale»ne zmienne losowe o jednakowym rozkªadzie wykªadniczym, niech S = X + Y + Z. Obliczy P (X > S/2 Y > S/2 Z > S/2). 72. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad podany w tabelce. Wyliczy wspóªczynnik korelacji. Wyznaczy regresj pierwszego i drugiego rodzaju Y wzgl dem X. X\Y 2 4-1 0,1 0,06 0 0,3 0,28 1 0,1 0,16 73. Rzucamy 4 razy symetryczna monet. Niech X oznacza ª czn liczb orªów a Y liczb orªów w 2 pierwszych rzutach. Wyznaczy regresj pierwszego rodzaju X wzgl dem Y. 74. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad ci gªy dany g sto±ci { 6xy dla x (0, 1), y (0, x) f(x, y) = 0 w przeciwnym przypadku. Wyznaczy regresj I-szego rodzaju Y wzgl dem X, wykona rysunek. 75. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkªad dany g sto±ci { c x, dla 0 < x < 1, 0 < y < 1 f(x, y) = x 0, dla pozostaªych x, y Wyznaczy staª c. Wyznaczy regresj pierwszego i drugiego rodzaju Y wzgl dem X, wykona rysunek. 76. Niech wektor losowy (X, Y ) ma rozkªad dany przez g sto± o wzorze: { c dla x + y < 1 f(x, y) = 0 dla x + y 1 Wyznaczy c oraz lini regresji pierwszego rodzaju Y wzgl dem X. 77. W zbiorze stu monet jedna ma po obu stronach orªy, pozostaªe s prawidªowe. W wyniku n rzutów losowo wybran monet uzyskano same orªy. Jak du»a musi by liczba n, aby prawdopodobie«stwo,»e rzucano monet z samymi orªami byªo wi ksze od 1 2. 7

78. Wektor losowy (X, Y ) ma g sto± f(x, y) = c exp( 2x 2 y 2 + 4xy). Wyznaczy staª c. Obliczy wariancj zmiennej losowej Z = 4Y X. 79. Wiadomo,»e 60% ludzi woli czekolad mleczn od twardej. Osoba organizuj ca przyj cie dla 100 go±ci, z których ka»dy ma otrzyma jako prezent tabliczk czekoladek, przygotowuje 70 tabliczek czekolady mlecznej i 45 tabliczek czekolady twardej. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e ka»dy z go±ci b dzie mógª sobie wybra taki rodzaj czekoaladek, jaki lubi? 80. Prawdopodobie«stwo wyprodukowania wadliwego detalu wynosi 0, 05. Ile detali powinna wyprodukowa fabryka, aby z prawdopodobie«stwem równym co najmniej 0, 9 przynajmniej 100 spo±ród nich nie byªo wybrakowanych. Podaj oszacowanie w oparciu o a) nierówno± Czebyszewa, b) centralne twierdzenie graniczne. 81. Jak du» liczb posªów w parlamencie licz cym 460 parlamentarzystów musi dysponowa koalicja, aby z prawdopodobie«stwem niemniejszym ni» 90% uchwali ustaw je»eli wiadomo,»e: a) posªowie opozycji myl si przy naciskaniu przycisku do gªosowania z prawdopodobie«stwem 0, 05, a posªowie koalicji si nie myl, b) posªowie koalicji myl si przy naciskaniu przycisku do gªosowania z prawdopodobie«stwem 0, 05, a posªowie opozycji si nie myl? Zakªadamy,»e wszyscy posªowie s obecni(!), a do uchwalenia ustawy potrzeba 231 gªosów. 8