MATEMATYA FIASWA Rachuek osetek postych Wykozystyway w okesie kótki o 1 oku Wzó oóly * * t Wzó pzy uwzlęieiu oiesieia czasoweo t * * t * T p. w pzypaku okesu zieeo t * * 360 Zaaie 1 jakiej kwoty otzyao 15 zł osetek za okes iesięcy pzy stopie pocetowej 18% w skali oku. 15 t 60 18% 0,18 t * * T t * T 15 60 0,18* 360 500 Zaaie Pzy jakiej stopie pocetowej pzypaa zł osetek o kwoty 00 zł za 30 i t 30 00 * * t T t * T 30 00* 360 0, % 1
Wzó a kapitał końcowy *(1 + t * T Wzó a kapitał końcowy, y oosiy się o okesów oczych * (1 + * Zaaie 3 Wpłacoo o baku kwotę 850 zł wkła te jest opocetoway w stopy pocetowej 1% w skali oku. Jaki bęzie sta kota w wóch latach 1% 0,1 850 850*(1 + 0,1* 1088 Zaaie Po ilu latach kapitał początkowy w wysokości 750 zł złoŝoy a 11% powoi się 750 11% 0,11 *750 1500 * (1 + * + * * * * * 1500 750 9 750 *0,11 Wzó a osetki pzy eulaych kwotach wpłat * * * *9 * *1 * * ( + 1 + +.. + *[ + ( +.. + 1] * zie : kwota wpłaty stopa pocetowa ilość wpłat częstotliwość wpłat Wzó a kapitał końcowy + * Zaaie 5 Jaką wielkość aleŝy wpłacać pzez 3 kwatały, aby zoazić waz z osetkai kwotę 1500 zł, ocza stopa pocetowa wosi 10%
3 1500 10% 0,1 + * * ( + 1 * + * * *( + 1 + 1500 76 0,1*3* (3 + 1 3 + * Zaaie 6 Wyzaczyć watość lokaty 10000 zł po upływie oku, jeŝeli w piewszych 5 iesiącach stopa pocetowa wyosiła 1% a w kolejych sieiu 10% ti * i S ti 1 5*0,1 + 7 *0,1 0,108 10,8% 5 + 7 *(1 + * 10000*(1 + 0,108*1 11080 Zaaie 7 upujesz uzązeie za 10000 zł zapłatę ooczoo o 5 i pzy stopie pocetowej, 7% jaką kwotę zapłacisz eulując zobowiązaie t 5 10000 7% 0,7 t *(1 + * T 10000*(1 + 0,7 * 5 10337,5 360 Zaaie 8 Ulokowałeś 100 zł a 6 lat, stopa opocetowaia zieiała się, co lata i wyosiła opowieio 17%, 15%, 13% jaką kwotę yspoujesz powyŝej wyieioy okesie utzyywaia lokaty 3
ti * i *0,17 + *0,15 + *0,13 S 0,15 15% ti 6 6 *(1 + * 100*(1 + 0,15* 6 190 Zaaie 9 Pzez ile kwatałów powio się wpłacać kwotę po 50 zł aby sta kota pzy opocetowaiu 35% w skali oku wyiósł 91,5 zł * ( + 1 * + * * * * ( + 1 + * * * * 50 *0,35* 17,5 b + * + 17,5 7530 0 837,5 1 b + a ac (17,5 b a + * * + * * * 0 + 50 *0,35* + 50*8* 91,5* 0 1 36 *17,5*( 7530 70106,5 Zaaie 10 Ulokowao w baku kwotę 600 zł w iu 5 aca oiala stopa pocetowa 36%, jaką kwotę pobieze lokato awca w iu 9 aja teo saeo aja, jeśli osetki ie są kapitalizowae zień iesiąc 9 5 5 3 iesiące i i *30+ 6 i t * (1 + * T 600 *(1 + 0,36 * 6 638, 360 Zaaie 11 Ile powio się tzyać kapitał, aby wzósł o, co ajiej,5 az, ale ie więcej iŝ 3 azy pzy oczej stopie pocetowej 1%
3 *(1 + *,5 1+ *,5 * 1,5 1,5 0,1 10,71,5 : *(1 + * 3 1+ * 3 * 0,1 1,8 ( 10,71;1,8 : Zaaie 1 Po koiec kaŝeo z 5 kolejych iesięcy wpłacay a achuek bakowy 500 zł pzy opocetowaiu, 10% jaką kwotę bęziey yspoować a koiec 5 iesiąca. 500 1 5 16% * ( + 1 * + * 500*0,1 5(5 + 1 * + 500 *5 56,5 1 Rachuek opocetowaia skłaaeo Zaaie 1 Ulokowałeś 100 zł a 6 lat, stopa opocetowaia ziejszała się, co lata i wyosiła opowieio 17,15,13. Jaką kwotą yspoujesz po wyŝej wyieioy okesie lokaty w pzypaku? a kapitalizacji oczej b opocetowaia ciąłeo a 5
6 * (1 + 100*(1 + 0,17 136,89 *(1 + 0,15 181,0 *(1 + 0,13 136,89 181,0 31,16 b Zaaie Chcesz ulokować 1000 zł a lata, cztey baki ofeują poiŝsze wauki la lokat Bak A opocetowaie poste, 0%, kapitalizacja a koiec okesu Bak B opocetowaie oiale 19%, kapitalizacja kwatala Bak C opocetowaie ektywe 0,5% Bak D opocetowaie oiale 18,5%, kapitalizacja ciąła tóy z baków ofeuje ajlepsze wauki. Dla kaŝeo z baków zaleźć opocetowaie ektywe. A : B : * (1 + * 1000*(1 + 0,* 100 * * (1 + 0,19 1000*(1 + * 19,5 C : D : * (1 + 1000*(1 + 0,05 * e * 1000* e 1000* e 0,37 *0,185 17,73 15,05 6
ajkozystiej ulokować pieiąze w baku C A : B : (1 + 0,19 (1 + 0,039 0,39% C : D : 100 1000 0,5% e e 0,185 0,183 18,3% 0,03 0,3% < pzy zastosowaiu achuku osetek postych > pzy zastosowaiu kapitalizacji -azy (zieej, iesięczej lub kwatalej > pzy zastosowaiu kapitalizacji ciąłej Zaaie 3 Wpłacasz pewą kwotę a achuek o stopie opocetowaia oialeo 18% i kapitalizacji półoczej. Po jaki czasie kwota a achuku bęzie wukotie większa * (1 + * (1 + (1 + (1 + 01,8 * lo lo1,09 *,06 * 0,18 lo lo(1 + 0,18 lo *lo(1 + lo 0,18 lo(1 + : 7
Zaaie Ilość pieięzy złoŝoych a achuku wzasta po półtoa oku o 50% pzy kapitalizacji iesięczej. Jaka była by stopa oiala i ektywa 1,5 1,5 (1 + 1,5 (1 + 1 1,5 (1 + 1 ( 18 * (1 + *(1 + * 1,5*1 18 18 1,5 * 0,733 7,33% (1 + 0,733 (1 + 1 * 1 * : 0,31 31% Zaaie 5 Wpłacasz 100 zł a 5 lat. Jaka stopa ektyweo opocetowaia zapewi powojeie oszczęości pzy kapitalizacji kwatalej (1 + (1 + (1 + * (1 + * (1 + * 5* 0 : 0 * * : ( 0 * 0,108 1,08% (1 + 0,108 (1 + 0,18 1,8% Zaaie 6 Pewie kapitał złoŝoo a pocet skłaay, kapitalizacja osetek astępuje, co kwatał a ektywa ocza stopa pocetowa jest ówa 33%. Ile wyosi zoa stopa pocetowa a ile oiala stopa 8
( ( (1 + + 1 (1 + ( + 1 * (0,33 + 1 * 0,955 9,55% 0,955 0,07389 7,389% Zaaie 7 a achuku uieszczasz 100 zł, kapitalizacja kwatala, stopa opocetowaia ektyweo 15%. Pieiąze wycofujesz po 8 iesiącach. Jaką kwotę otzyasz ( ( (1 + + 1 (1 + ( + 1 * (0,15 + 1 * 0,1 1,% *(1 + 0,1 100*(1 + 0,1 100*(1 + * 8 * 1,67 109,77 Zaaie 8 Po 3 latach a achuku jest 1000 zł. Jaką kwotę wpłacoo pzy oialej stopie pocetowej, 16% jeŝeli kapitalizacja była? a ocza b ciąła a b (1 + * (1 + 1000 (1 + 0,16 3 60,65 9
10 Rachuek opocetowaia skłaaeo Zaaie 1 Wyzaczyć oialą stopę pocetową la kapitału w wysokości 000 zł, któy po wóch latach pzyiósł 500 zł osetek pzy oczej stopie kapitalizacji. Zaaie Wpłacasz 500 zł a 5 lat, jaka stopa opocetowaia ektyweo zapewi powojeie Twoich oszczęości pzy kapitalizacji tyoiowej. 0,8 3*0,16 * * 1000 1000 * e e e e 11,8% 0,118 1 000 500 1 1 : (1 : (1 500 500 000 + + + + +
(1 + * ( ( 1+ * 5*5 (1 + * * *5 0,138 13,8% (1 + 0,138 5 (1 + 5 * : : * 0,186 1,86% Zaaie 3 Bak zieił opocetowaie z 0% a %. Rówocześie wyłuŝył kapitalizacje z kwatału a pół oku. Czy pawziwa jest ifoacja baku, Ŝe ziaa ta ie pooszy sytuacji jeo klietów. (1 + 0,0 (1 + 0,155 1,55% 0, (1 + 0,31 3,1% Stopa ektywa w ui pzypaku pzy stopie oialej % i kapitalizacji półoczej jest wyŝsza iŝ w pzypaku piewszy, tak więc sytuacja klieta ie została pooszoa. Dyskoto halowe i ateatycze Zaaie W jaki okesie czasu stopa yskotowa wyosząca 0% i stopa pocetowa 5% są sobie ówowaŝe D H D M 1 1 1 0, 1 0,5 5 1 Tylko la okesu 1 oku stopy te są sobie ówowaŝe PowyŜej jeeo oku D H > D M 11
PowyŜej jeeo oku D H < D M Zaaie 5 Bak ofeuje 17% opocetowaie oszczęości w skali oku pzy kapitalizacji kwatalej. Jaka co ajiej powia być stopa yskotowa w skali oku zakupu papieów watościowych, aby etowość tej opeacji była wyŝsza o etowości lokaty bakowej? (1 + 0,17 (1 + 0,1811 18,11% > 1+ * 0,1811 > 1+ 0,1811*1 > 0,1533 > 15,33% Zaaie 6 Jaka jest stopa pocetowa (etowość oaz stopa yskotowa zakupu za 900 papieów watościowych o oiale 1000 zł i teiie jeo wykupu za 5 iesięcy? 1 * *1 * 1 * * 1
900 1000 0,9 0,1 5 0,16 0,16 1 1 * 0,03 0,666 6,66% 1 0,03* 5 1 0,1 0,16 0,03,03% Zaaie 7 Za ile ajiej powiieeś kupić papie watościowy o oiale 10000 zł i teiie wykupu 15 i, aby osiąąć etowość 5% 1+ * 10000 15 1+ 0,5* 360 9897,07 Zaaie 8 MoŜliwy jest zakup papieu watościoweo pzy stopie yskotowej 5% lub etowości 30%. a ile i pze teie wykupu ta ua oŝliwość jest kozystiejsza. Poszę wyzaczyć yskoto halowe i ateatycze la okesu 10 i pzy watości oialej 100 zł 1 1 1 1 0,67 oku 0,5 0,3 0 i D D D D H H M M * * 10 100 *0,5* 8,33 360 * 1+ * 10 0,3* 100 * 360 9,09 10 1 0,3* + 360 Dla okesu < 0 wybó jest kozysty 13
Zaaie 9 Wyzaczyć stopę yskotową, jeŝeli yskoto halowe weksla o watości oialej 100 zyskotowaeo a 30 i pze teie wykupu wyosi D H DH * * * 30 100* 360 0,09,09% Zaaie 10 Fia otzyała ofetę zakupu śoka twałeo pzy atychiastowej zapłacie otówką 000 zł albo pzy zapłacie 800 za wa lata. Fia a oŝliwość uzyskaia keytu bakoweo a okes lat opocetowaeo 1% w skali oku pzy kapitalizacji kwatalej. Jaką ecyzję powio pojąć kieowictwo tej fiy? 0,1 * 00(1 + 603,33 0,1 DH1 800 * * 119,71 1+ 0,1* 0,1 DH 603,33* * 1781,5 1+ 0,1* Fia powia zapłacić za wa lata kwotę 800 zł. Moel at ówych pzy kapitalizacji oczej z ołu (bez wypzezeia i z óy z (wypzezeie Zaaie 1 Jaka bęzie watość 500 zł po latach pzy kwatalych atach z ołu oaz óy, jeŝeli oiala stopa pocetowa wyosi 3%, a osetki kapitalizowae są kwatalie W 500 3% (1 + W * 0,3 * (1 + 500 5318,315 0,3 (1 + 0,3 5318,315*(1 + 573,78 1
Zaaie Cea saochou wyosi 35000 zł, jakiej ówej wysokości wkłay woszoe a koiec kolejych iesięcy pozwolą zoazić w ciąu lat iezbęy fuusz a jeo zakup. Bak stosuje iesięczą kapitalizację pzy iesięczej stopie pocetowej wyoszącej % (1 + W 0,0 (1 + W * * 35000 *1 (1 + 0,0 W 0,0 1150,51 Zaaie 3 Pzy jaki okes czasu aleŝy wpłacać z óy stałą kwotę 100 zł pzy oczej stopie pocetowej % i kapitalizacji oczej, aby uzbieać okłaie 500 zł (1 + W (1 + * * W (1 + (1 + : W (1 + * (1 + W (1 + * + 1 (1 + W (1 + * lo( + 1 lo(1 + W (1 + * lo( + 1 W (1 + lo(1 + lo 500*0, lo( + 1 lo 100(1 + 0, 1 0,939 3,166 lo(1 + 0, lo1, 0,093 15
Zaaie Pzez 5 lat bęziey otzyywać oczie 500 zł oblicz ile wate są te pieiąze obecie jeśli: a płatości występują bez wypzezeia b płatości występują z wypzezeie Zakłaa się, Ŝe oiala stopa pocetowa wyosić bęzie 5%, a kapitalizacja a iejsce jee az w oku a (1 + W (1 + 0,5 500 0,5 (1 + (1 + 103,515 5 (1 + 0,5 (1 + (1 + 519,39 (1 + 0,5 5 103,515 13,66 103,515(1 + 0,5 519,39 5 1680,83 b W ( 1+ 1 Wpłaty iezoe 1. apitalizacja osetek jest częstsza iŝ wpłaty a oel at ówych pzy kapitalizacji oczej z ołu bez wypzezeia b oel at ówych pzy kapitalizacji oczej z óy z wypzezeie 16
(1 + W (1 + kapitalizacja śóocza ( 1+ kapitalizacja ciąła e okes wpat okes kapitalizacji p. okes wpłat co kwatał a okes kapitalizacji co iesiąc czyli 3/1 3 okes wpłat co ok a okes kapitalizacji co pół oku czyli 1/0,5 * Zaaie 5 a koiec kaŝeo półocza wpłacao a koto kwotę 500 zł, wyzaczyć pzyszłą watość suy wkłaów oszczęościowych po latach, jeŝeli bak stosuje kapitalizacje kwatalą pzy oczej stopie pocetowej 16% (1 + W 0,16 0,08 (1 + 6 3 0,08 (1 + 0,0816 8,16% * * 8 (1 + 0,0816 500 0,0816 8 539,15 0,08 lateo Ŝe wpłaty są półocze i oczą stopę pocetową aleŝy pozielić pzez Zaaie 6 Wpłacasz 300 zł co pół oku pzy stopie pocetowej 10% jaką kwotę otzyasz po 3 latach jeŝeli bak stosuje kapitalizację ciąłą wpłaty okoywae są bez wypzezeia (z ołu 17
(1 + W 0,1 0,05 e e 0,05 0,051 5,1% * 3* 6 (1 + 0,051 300 0,051 6 06,7 Zaaie 1 Zwacasz 10000 zł pzy stopie pocetowej % łu spłacisz z ołu w 8 iesięczych ówych atach. Wyzacz kwotę aty jeŝeli kapitalizacja osetek jest: a ziea b iesięcza a wpłaty iezoe b wpłaty zoe (1 + W (1 + % 1 30 30 1 0,0 30 (1 + 0,0019,019% 30 * 8*1 8 * (1 + (1 + W W W (1 + * (1 + 10000 W 116,3 8 (1 + 0,0019 0,0019 % 1 10000 W 1165,107 (1 + 0,0 0,0 8 *1 1 18
Zaaie Lokujesz 10000 zł a 10 lat, stopa opocetowaia 17%, stopa iflacji 1%. apitalizacja a końcu oku. Jaką oialą oaz ealą kwotę bęziesz yskotować po poay okesie lub 10000(1 + 0,17 (1 + 0,17 10000 (1 + 0,1 1+ 1+ i 1+ 0,17 0,063 1+ 0,1 (1 + (1 + (1 + i (1 + 10 10 10 10000(1 + 0,063 8068,8 10 Zaaie 3 Lokujesz pzez 10 lat po 100 zł a a początku kaŝeo oku b a końcu kaŝeo oku pocetowaie wyosi 5%, iflacja 3,5%. apitalizacja a końcu oku. Jaką ealą kwotę bęziesz yspoować po ty okesie a b (1 + W (1 + (1 + (1 + i (1 + i (1 + 0,05 1000(1 + 0,05 0,05 10 (1 + 0,035 (1 + W (1 + (1 + i 10 9363,1 19
(1 + W (1 + (1 + i (1 + 0,05 1000 0,05 (1 + 0,035 (1 + i 10 10 (1 + W (1 + i 8917,3 Szybsze ozwiązaie popuktu b to wyik z popuktu a pozielić pzez (1+ Zaaie Ile powio się ulokować w baku, aby óc kupić za 5 lat ieszkaie o obecej watości 60000 zł, stopa pocetowa la oszczęości ofeowaa pzez bak wyosi 16%, stopa iflacji (wzost ce ieszkaia ówa jest 9%, kapitalizacja az w oku 5 60000(1 + 0,09 (1 + (1 + (1 + i 9317, 5 (1 + 0,16 5 395, 9317, Zaaie 1 Spozązić pla aotyzacji keytu w wysokości 90000 zł opocetowaeo a 16% keyt te a być spłacoy w 6 ówych kwotach płatości uiszczaych a końcu oku A S(1 + (1 + A 90000(1 + 0,16 oleje lata Dłu a początku okesu 6 0,16 (1 + 0,16 6 5,1 Rata kapitałowa Rata osetkowa wota płatości Dłu a koiec okesu 1 90000 1005,1 100 5,1 7997,86 7997,86 1169,16 1795,97 5,1 6835,70 3 6835,70 1389,83 10935,31 5,1 5855,87 5855,87 1568,1 8776,93 5,1 3907,66 5 3907,66 18151,9 673, 5,1 1055,7 6 1055,7 1056,3 3368,91 5,1 0 Σ 56550,3 Rata osetkowa Dłu a początku okesu * stopa pocetowa wota płatości Rata kapitałowa + ata osetkowa Dłu a koiec okesu Dłu a początku okesu ata kapitałowa 0
Zaaie Pewie pzesiębioca zaciąął keyt w wysokości 000 zł opocetowaie oiale keytu 36% w skali oku keyt te aleŝy spłacić w ciąu lat w atach kapitałowych o stałej wysokości płatych a koiec kaŝeo oku. Dokoać aotyzacji keytu T S T 000 500 oleje lata Dłu a początku okesu Rata kapitałowa Rata osetkowa wota płatości 1 000 500 70 10 1500 1500 500 50 100 1000 3 1000 500 360 860 500 500 500 180 680 0 Σ 1800 Rata osetkowa Dłu a początku okesu * stopa pocetowa wota płatości Rata kapitałowa + ata osetkowa Dłu a koiec okesu Dłu a początku okesu ata kapitałowa Dłu a koiec okesu Zaaie 3 eyt w wysokości 10000 zł a zostać spłacoy w ówych oczych atach kapitałowych. Stopa pocetowa 1%. apitalizacja osetek iesięcza. Ustaloo Ŝe okes spłaty keytu ozpoczya się po upływie lat o oetu jeo zaciąięcia. Spozązić pla aotyzacji teo łuu jeŝeli kaecję objęte są spłaty a kapitału i osetek b saeo kapitału (1 + 0,1 1 (1 + 1,93% 1 S S( 1+ c c Wzó oóly a spłatę keytu pzy zastosowaiu kaecji Wzó oóly a spłatę keytu pzy zastosowaiu kaecji w pzypaku spłat c* c S c S(1 + lub Sc S(1 + S c 10000(1 + 0,193 Sc T 1309,87 T 330,7 1309,87 1
iezoych a oleje lata Dłu a początku okesu Rata kapitałowa Rata osetkowa wota płatości Dłu a koiec okesu 1 10000 - - - - - - - - 1309,87 3 1309,87 330,7 197,3 57,70 9907,0 9907,0 330,7 179,17 781,6 660,93 5 660,93 330,7 986,11 88,58 330,7 6 330,7 330,7 93,11 3795,57 0 Σ 930,61 Rata osetkowa Dłu a początku okesu * stopa pocetowa wota płatości Rata kapitałowa + ata osetkowa Dłu a koiec okesu Dłu a początku okesu ata kapitałowa b T T S 10000 500 oleje lata Dłu a początku okesu Rata kapitałowa Rata osetkowa wota płatości 1 10000-193 193 10000 10000-193 193 10000 3 10000 500 193 3993 7500 7500 500 1119,75 3619,75 5000 5 5000 500 76,50 36,50 500 6 500 500 373,5 873,5 0 Σ 6718,5 Rata osetkowa Dłu a początku okesu * stopa pocetowa wota płatości Rata kapitałowa + ata osetkowa Dłu a koiec okesu Dłu a początku okesu ata kapitałowa Dłu a koiec okesu Zaaie Po 3 leti okesie kaecji obejujący tylko aty kapitałowe łu w wysokości 80000 zł aleŝy spłacać w jeakowych kwotach płatości po 30000 zł, bak stosuje kapitalizację oczą pzy oczej stopie pocetowej 10%. UłoŜyć pla spłaty łuu
A S(1 + A (1 + S 1,1 1,1 [(1 + ] A * S 30000 * (1,1 80000 0,375* (1,1 0,375*1,1 0,375 1,1 0,375 1,1 0,375 1,1 0,375 0,75 1,3636 lo1,1 lo1,3636 lo1,3636 lo1,1 (1 + (1 + (1 + 1,1 1,1 0,375 1,1 *0,1 0,375*1,1 (0,1 0,375 *( 0,75 : lo 3,5 : S * 0,1 * 0,1 *(1 + * * 0,1 oleje lata Dłu a początku okesu Rata kapitałowa Rata osetkowa wota płatości 1 80000-8000 80000 80000 80000-8000 80000 80000 3 80000-8000 80000 80000 80000 000 8000 30000 58000 5 58000 00 5800 30000 33800 6 33800 660 3380 30000 7180 6,5 7180 7180 179,73 30000 0 1359,73 W okesie 6,5 stopę pocetową aleŝy pozielić / Rata osetkowa Dłu a początku okesu * stopa pocetowa wota płatości Rata kapitałowa + ata osetkowa Dłu a koiec okesu Dłu a początku okesu ata kapitałowa Dłu a koiec okesu Zaaie 5 tóy z baków ofeuje lepsze wauki o zaciąięcia keytu jeŝeli w piewszy baku stopa opocetowaia keytu wyosi 0% a osetki tzeba płacić co kwatał w ui baku oiala stopa pocetowa wyosi % a osetki aleŝy płacić co pół oku ( 1+ bak 1 0, (1 + 1,55% 3
bak Lepsze wauki o zaciąięcia keytu ofeuje bak 1 Zaaie 6 0, (1 + 3,1% Bak uziela keytów w. stopy 0% pzy iesięczy poboze osetek. liet chciałby zaciąąć keyt w wysokości 5000 zł a okes 1 iesięcy spłacając o jeoazowo waz z osetkai a koiec jeo twaia. JeŜeli bak zaakceptuje popozycję klieta to, jakie powia być stopa teo keytu, aby jeo koszt ie obieał o staaowo uzielaych. Ile powiie zwócić po upływie oku keytobioca. 6 6 6 * e 100* e 100* e 100* e 100* e 100* e 100* e 100* e * *0,17 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,9 * e * e * e * e *0,15 0,3 0,3 0,3 * e * e 5,96 *0,13 0,6