Wartość pieniądza w czasie (time value of money)

Transkrypt

1 Opracował Marcin Reszka Doradca Inwestycyjny nr 335 Zeszyt I Wartość pieniądza w czasie (time value of money) Wszystkie prawa zastrzeżone. Nie zezwala się na kopiowania bez pisemnej zgody autora. Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

2 Jedna złotówka dzisiaj jest więcej warta niż ta sama złotówka w przyszłości. Powody : - pieniądze mogą zostać zainwestowane, aby ich wartość wzrastała, np. odsetki, dywidendy. /zakładając korzystną inwestycję, kwota 1000 zł po zainwestowaniu na pewien okres warta jest więcej niż 1000 zł/ - zmniejszenie siły nabywczej na skutek inflacji, /oznacza to, że produkt, którego cena wynosi dziś 1000 zł za rok najprawdopodobniej będzie kosztować więcej niż 1000 zł/ - możliwość skorzystania ze specjalnych okazji. We wszystkich obliczeniach wartości pieniądza w czasie znane są trzy zmienne, a obliczamy czwartą zmienną. Tymi czterema zmiennymi są: 1. Przepływy pieniężne, które mają zostać przeliczone na wartość w różnych punktach czasu. 2. Wartość przepływów pieniężnych po uwzględnieniu czasu. 3. Różnica czasu pomiędzy datą przepływów pieniężnych i datą wartości ekwiwalentnej. 4. Stopa procentowa, która będzie wykorzystywana do zamienienia przepływów pieniężnych na ich wartość ekwiwalentną. Oznaczenia zmiennych: PV (Present Value) wartość obecna; wartość w dniu dzisiejszym przyszłego przepływu środków pieniężnych lub wielu przepływów środków pieniężnych zdyskontowanych według odpowiedniej stopy procentowej. FV (Future Value) wartość przyszła; wielkość do jakiej będzie rosnąć przepływ środków pieniężnych lub wiele przepływów środków pieniężnych w danym okresie, kapitalizowanych określoną stopą procentową. PMT - wartość raty kapitałowo-odsetkowej przy zadanym oprocentowaniu, n (number) - liczba okresów pomiędzy wartością obecną i wartością przyszłą. r (rate) stopa procentowa dla danego okresu czasu. Na kalkulatorze TI BA II oznaczone jako [I/Y]. Podstawowe obliczenia. Zainwestowałeś 100 PLN na rok. Oprocentowanie wynosi 5 %. Jaką sumą będziesz dysponował za rok? PV = 100 n=1 FV = * 0,05 = 105 Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

3 Obliczenia na kalkulatorze TI BA II Przed każdym zadaniem na kalkulatorze polecam usunąć dane z pamięci. Usuwanie danych: [2ND] [CLR WORK] [2ND] [CLR TVM] Wpisujemy liczbę okresów: 1 [N] [ENTER] Wpisujemy wartość początkową PV: [PV] [ENTER] Wpisujemy oprocentowanie: 5 [I/Y] [ENTER] Obliczamy wartość końcową FV: [CPT] [FV] FV = 105 Zainwestowałeś 100 PLN na rok. Oprocentowanie wynosi 6 %. Jaką sumą będziesz dysponował za 3 lata, jeśli odsetki co rok są kapitalizowane? Kapitalizacja odsetek dopisywanie odsetek do kapitału. Przed każdym zadaniem na kalkulatorze polecam usunąć dane z pamięci. Usuwanie danych: [2ND] [CLR WORK] [2ND] [CLR TVM] Wpisujemy liczbę okresów: 3 [N] [ENTER] Wpisujemy wartość początkową PV: [PV] [ENTER] Wpisujemy oprocentowanie: 6 [I/Y] [ENTER] Obliczamy wartość końcową FV: [CPT] [FV] FV = 119,1016 Dyskontowanie - Nieznana wartość bieżąca. Wzór: FV=PV * ( 1 + r ) n W dyskontowaniu nie pytamy ile jedna zainwestowana złotówka będzie warta w przyszłości, ale ile jest warta złotówka otrzymana w przyszłości jest warta dzisiaj. Wartość przyszła składa się z wartości bieżącej (kwota inwestycji) i odsetek. Twój chrześniak obchodzi 12 urodziny. Zdecydowałeś, ze chcesz jemu podarować na 18 urodziny PLN. Lokata bankowa 6 letnia oferuje Tobie 6,5 %, kapitalizowane rocznie. Ile powinieneś dzisiaj odłożyć, aby za 6 lat mieć PLN? Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

4 Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. Wpisujemy liczbę okresów: 6 [N] [ENTER] Wpisujemy wartość końcową FV: [FV] [ENTER] Wpisujemy oprocentowanie: 6,5 [I/Y] [ENTER] Obliczamy wartość początkową: [CPT] [PV] PV = ,34 Musiałbyś odłożyć dzisiaj 6 853,34 PLN. Wiele osób pyta mnie o to, kiedy stosować znak +, a kiedy - przy wpisywaniu PV, FV czy PMT. Najlepiej jest postawić się postawić jako jedna ze stron transakcji. Np. Klient bierze kredyt 1000 PLN. Oddaje przez 4 lata, co rocznie 300zł. Oblicz stopę procentową kredytu. Stawiam się w roli klienta: PV = PMT = (bo dostaje 1000 zł od banku) (bo co roku płacę 300 zł) n = 4 To i =... Jeśli postawisz się w roli banku to znaki będą przeciwne. Wynik wyjdzie identyczny. Ilość okresów pomiędzy wartością bieżącą i przyszłą nie jest znana. Obliczenie to wykorzystujemy do ustalania ile okresów potrzeba, aby przy określonej stopie procentowej, znana wartość bieżąca stała się znaną wartością przyszłą. Masz do oddania dług w wysokości PLN. Na koncie posiadasz PLN i chciałbyś tylko z tych środków spłacić ten dług. Twój bank oferuje Tobie lokatę 7 %, kapitalizowaną rocznie. Po ilu latach będziesz w stanie spłacić dług? Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

5 Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

6 Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. Wpisujemy wartość przepływu: [PMT] [ENTER] Wpisujemy ilość okresów: 15 [N] [ENTER] Wpisujemy oprocentowanie: 6 [I/Y][ENTER] Obliczamy wartość końcową [CPT] [FV] FV = ,85 Posiadasz na koncie PLN. Co roku masz zamiar odkładać PLN. Konto bankowe jest o oprocentowaniu 5 %. Ile będziesz miał pieniędzy na koniec 25 roku? Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. Wpisujemy wartość początkową: [PV][ENTER] Wpisujemy wartość przepływu: [PMT] [ENTER] Wpisujemy ilość okresów: 25 [N] [ENTER] Wpisujemy oprocentowanie: 5 [I/Y][ENTER] Obliczamy wartość końcową [CPT] [FV] FV = ,74 PLN Wzór na wartość przyszłą płatności annuitetowych: FV PMT (1 r) r n 1 Kupujesz Nowe Porsche Cabrio. Dealer proponuje Tobie dwa rozwiązania. Zapłata gotówką PLN, bądź wpłatę PLN i przez 10 lat co roku wpłacać PLN. Z lokaty w banku możesz uzyskać 8 % rocznie. Która możliwość jest bardziej opłacalna? Obliczmy ile oprocentowany jest kredyt u dealera. Wpisujemy wartość początkową: [PV][ENTER] Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

7 Wpisujemy wartość przepływu: [PMT] [ENTER] Wpisujemy ilość okresów: 10 [N] [ENTER] Obliczamy oprocentowanie: [CPT][I/Y] i = 6,64 % Jeżeli dysponujemy gotówką to bardziej opłacalna jest wpłata PLN dealerowi, a PLN odłożyć na lokatę. Otrzymałeś spadek w wysokości PLN. Obecnie kapitał ten zarabia 10 % rocznie. Gdybyś zrezygnował z pracy i chciał utrzymywać się z tego spadku, wydając PLN rocznie. Ile lat mógłbyś się utrzymywać, zakładając, że kapitał nadal będzie zarabiał 10 %? Wpisujemy wartość początkową: [PV][ENTER] Wpisujemy wartość przepływu: [PMT] [ENTER] Wpisujemy oprocentowanie: 10 [I/Y] [ENTER] Obliczamy ilość okresów: [CPT] [N] N = 18,8 Będziesz mógł się utrzymywać ze spadku 18,8 roku. Renta z góry Płatności występują na początku każdego roku, a nie tak jak w rencie z dołu na końcu każdego roku. Wartość przyszła renty z góry jest większa niż wartość przyszła tych samych płatności występujących na końcu każdego okresu. Kapitał pracuje dodatkowy rok. Wzór na wartość przyszłą płatności annuitetowych, gdy płatności są na początku okresu: FV (1 r) PMT (1 r) r n 1 Obliczanie zadań, w których mamy do czynienia z rentą z góry wymaga zmiany ustawienia kalkulatora finansowego. Ustawienie renty z góry: [2ND] [BGN] [2ND][ENTER] Po ustawieniu renty z góry mamy u góry wyświetlacza BGN. Po skończeniu pracy z zadaniem wracamy do ustawień podstawowych, czyli renty z dołu. Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

8 Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

9 Po obliczeniu zadania zmieniamy ustawienia kalkulatora na rentę z dołu: [2ND] [BGN] [2ND][ENTER] Chcesz kupić mały, czteroosobowy samolot na potrzeby Twojej firmy. Masz do wyboru: euro, bądź przez 12 lat płacić co roku euro na początku każdego roku. Którą opcje wybierzesz jeżeli stopa dyskontowa wynosi 10 %? : możemy obliczyć na kilka sposobów Sposób pierwszy: Dyskontujemy każdą z 12 płatności, pamiętając, ze pierwsza płatność następuje w chwili zakupu. Po zdyskontowaniu płatności, sumujemy je i otrzymujemy wartość bieżącą. ( ) ( ) ( ) Wartość bieżąca przepływów annuitetowych jest wyższa niż cena euro. Racjonalną decyzją będzie zapłata gotówką za samolot. Sposób drugi: Posłużenie się wzorem ogólnym na wartość bieżącą strumienia płatności annuitetowych, gdzie przepływy pieniężne występują na początku każdego z n okresów. PV Sposób trzeci (według mnie najszybszy i nie wymagający znajomości wzoru): Obliczenie na kalkulatorze finansowym. Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. Zmieniamy ustawienie domyślne kalkulatora z renty z dołu na rentę z góry. Ustawienie renty z góry: [2ND] [BGN] [2ND][ENTER] Po ustawieniu renty z góry mamy u góry wyświetlacza BGN. 1 1 (1 r) PMT PMT r n1 Wpisujemy ilość okresów: 12 [N] [ENTER] Wpisujemy oprocentowanie: 10 [I/Y][ENTER] Wpisuje wartość płatności rocznej: [PMT] [ENTER] Obliczam wartość bieżącą rocznych płatności: [CPT] [PV] PMT = ,66 Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

10 Jaką stopę oprocentowania muszę uzyskać od 15 lokat rocznych po PLN każda wpłacana na początku roku, aby otrzymać PLN na koniec 15 roku? Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. Zmieniamy ustawienie domyślne kalkulatora z renty z dołu na rentę z góry. Wpisujemy ilość okresów: 15 [N] [ENTER] Wpisuje wartość płatności rocznej: [PMT] [ENTER] Wpisujemy oczekiwany kapitał na koniec 15 roku: [FV][ENTER] Obliczamy oprocentowanie: [CPT][I/Y] i = 7,47 % Renta wieczysta Renta wieczysta - Strumień równych płatności, mający trwać przez nieskończony okres. Wzór na wartość bieżącą renty wieczystej: PMT- strumień płatności renty rozpoczynający się pod koniec pierwszego okresu. PV wartość bieżąca renty wieczystej r stopa zwrotu Z obligacji wieczystej możemy uzyskać stały coroczny kupon w wysokości 420 PLN. Wymagana stopa zwrotu wynosi 6 %. Jaka jest wartość obligacji dzisiaj? Obligacje wieczyste zwane konsolami nie są nigdy wykupywane, a ich posiadacz otrzymuje nieskończony strumień odsetek, zwany rentą wieczystą. PV = PMT / r = 420 / 0,06 = PLN Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

11 Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

12 Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

13 Zaoferowano Tobie udział w spółce XY. Ostatni przepływ pieniężny wynosił PLN i właśnie został wypłacony udziałowcom. Z roku na rok ta kwota będzie rosła o 2 %. Stopa dyskontowa wynosi 9 %. Ile jest warta ta spółka? ( ) Zamierzasz kupić akcje firmy, od której się oczekuje, że wypłaci za rok dywidendę w wysokości 3,5 PLN na jedną akcję. Dywidenda ma rosnąć 5 %. Jeżeli Twoja wymagana stopa zwrotu z inwestycji wynosi 16 %. Oblicz ile wart są dla Ciebie te akcje. W liczniku nie mnożymy dywidendy przez (1+stopa wzrostu dywidendy) bo podana dywidenda zostanie wypłacona za rok. Jeśli byłaby to dywidenda wypłacona wczoraj, bądź tak jak piszą w zadaniach w okresie zerowym to byśmy tak robili. Płatności rosnące Płatności rosnące są to przepływy pieniężne, które zwiększają się w stałym tempie przez określony czas. ( ) ( ) ( ) PMT wartość bieżąca płatności g oczekiwana stopa wzrostu płatności r stopa dyskontowa Niestety nie da się tego obliczyć przy użyciu którejś z funkcji kalkulatora i najszybciej obliczać przy pomocy wzoru. Jeżeli zapomnimy wzoru to możemy wprowadzić płatności z poszczególnych lat w arkusz [CF], a następnie obliczyć wartość bieżącą tych płatności. Przy większej ilości okresów może być to bardzo pracochłonne. Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

14 Chcesz wynająć pomieszczenie na halę produkcyjną. Za obecny rok czynsz wynosi PLN. W umowie wynajmu uwzględniono inflację. Właściciel nieruchomości ma prawo podnosić czynsz w tempie oczekiwanej inflacji (4 % rocznie). Stopa dyskontowa wynosi 8 %. Oblicz wartość bieżąca wynajmu przez następne 4 lata. ( ) ( ) ( ) Inny sposób obliczeń, gdy nie pamiętamy wzoru: Oczekiwana płatność za rok = * 1,04 = Oczekiwana płatność za dwa lata = * 1,04^2 = Oczekiwana płatność za trzy lata = * 1,04^3 = ,4 Oczekiwana płatność za cztery lata = * 1,04^4 = ,86 Wpisujemy te wartości w arkusz Cash Flow w kalkulatorze finansowym. Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. [CF] CF0 = 0 [Enter] [ ] C01 = [Enter] [ ] F01=1 [Enter] [ ] (F to określenie liczby okresów, przez które występuje ta płatność) C02 = [Enter] [ ] C03 = ,4 [Enter] [ ] F02=1 [Enter] [ ] F03=1 [Enter] [ ] C04 = ,86 [Enter] [ ] F04=1 [Enter] [ ] Obliczamy wartość bieżącą powyższych przepływów. [NPV] I= 8 [Enter] [ ] [CPT] NPV = ,49 Metoda dosyć pracochłonna, a przy większej liczbie okresów była jeszcze bardziej długotrwała. Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

15 Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

16 Obliczamy wartość bieżącą na koniec roku trzeciego. Przypominam wzór: ( ) PMT wartość bieżąca płatności g stałe tempo wzrostu renty r stopa dyskontowa ( ) Obliczam wartość bieżącą przepływów z trzech pierwszych lat i wartości końcowej na koniec roku trzeciego. Obliczenie na kalkulatorze w formularzu Cash Flow. Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. [CF] CF0 = 0 [Enter] [ ] C01 = [Enter] [ ] F01=1 [Enter] [ ] C02 = [Enter] [ ] F02=1 [Enter] [ ] C03 = = [Enter] [ ] F03=1 [Enter] [ ] Obliczamy wartość bieżącą powyższych przepływów. [NPV] I= 11 [Enter] [ ] [CPT] NPV = ,5 Wartość obecna przepływów pieniężnych jest niższa niż koszt inwestycji. Inwestycji nie należy podejmować. Stopy procentowe W poprzednich przykładach zmienna n oznaczała liczbę lat, a stopa procentowa była stopą roczną. Płatności odsetkowe i dochody były obliczane za okresy roczne. Czasami jednak odsetki są naliczane częściej, na przykład co miesiąc, bądź co kwartał. Wówczas wartość bieżąca i przyszła mogą być znaczącą inne niż dla kalkulacji w skali roku. Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

17 Rodzaje stóp procentowych Nominalna stopa procentowa jest to stopa, która nie jest bezpośrednio stosowana do obliczania odsetek, ale służy jako podstawa do obliczania stopy oprocentowania, która może zostać do tego wykorzystana. Przykład Bank podaje stopę procentową dla lokat 8 % kapitalizacja miesięczna. Efektywna stopa procentowa to stopa, która uwzględnia sposób naliczania odsetek. Gdy odsetki naliczane są raz w roku to stopa ta równa się stopie nominalnej. Stopa ta może być używana do obliczania odsetek, oraz podsumowuje wynik stopy procentowej zastosowanej w danym okresie. Przykład Bank podaje stopę procentową dla lokat 8 % kapitalizacja miesięczna. Oznacza to, że efektywna stopa miesięczna wynosi 8% / 12 miesięcy = 0,66666% Odsetki są doliczane co miesiąc i co miesiąc wartość kapitału do obliczeń jest wyższa o te odsetki. ( ) ( ) p częstotliwość kapitalizacji odsetek w ciągu roku, i nominalna stopa roczna ( ) Cztery różne bank płacą odsetki o stopie nominalnej równej 12 %. W banku A kapitalizacja jest półroczna, w banku B kwartalna, w C miesięczna, a w D dzienna. Oblicz efektywne stopy roczne. Załóż, że rok ma 365 dni. ( ) ( ) Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

18 ( ) ( ) Bank płaci odsetki w wysokości 12 % przy kapitalizacji rocznej. Jakie oprocentowanie można uzyskać z lokaty kwartalnej i lokaty półrocznej? Podana stopa 12 % jest jednocześnie stopą nominalną i efektywną roczną. Lokata półroczna : t = ½ = 0,5 efektywne oprocentowanie półroczne ( ) Jeżeli zainwestujemy 1000 PLN to po pół roku otrzymamy: 1000 * 1, = 1058,301 Lokata kwartalna: t=1/4 = 0,25 efektywne oprocentowanie kwartalne ( ) Jeżeli zainwestujemy 1000 PLN to po 3 miesiącach otrzymamy: 1000 * 1, = 1028,737 Jeśli płacisz co miesiąc 1 % odsetek, to jaka jest efektywna roczna stopa oprocentowania? ( ) Kapitalizacja ciągła W skrajnych przypadkach bank może kapitalizować odsetki dosłownie co chwilę kapitalizacja odsetek jest ciągła. wówczas Funkcja wykładnicza exp oznacza liczbę e podniesiona do danej potęgi. Liczba e jest to liczba Eulera, która w przybliżeniu wynosi 2, Liczba e jest używana w wielu wzorach w matematyce finansowej. Na szczęście wartość tą mamy w naszym kalkulatorze finansowym i nie ma potrzeby pamiętać przybliżenia W przykładzie powyżej efektywna stopa procentowa przy nominalnej stopie rocznej 12 % i kapitalizacji ciągłej byłaby następująca: Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

19 Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

20 Najtańszą pożyczką jest pożyczka Y. Wartość przyszła kwoty 1000 zł po 0,5 roku przy kapitalizacji ciągłej wyniosła 1050 zł. Oblicz roczną stopę nominalną. 1050/1000 = ln 1,05 = x * 0,5 0,04879 = x * 0,5 x = 0,09758 = 9,758 % Zadania złożone Zamierzasz kupić mieszkanie. Zaciągasz pożyczkę na 10 lat w wysokości PLN o nominalnej stopie oprocentowania 12 %. Pożyczka ma być spłaca płatnościami o jednakowej wielkości pod koniec każdego miesiąca. Oblicz ile wynosi każda płatność. Liczba okresów = 120 miesięcy ( 10 lat x 12 miesięcy) Efektywna stopa oprocentowani skali miesiąca = 12 % / 12 = 1 % Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. Wpisujemy liczbę okresów: 120 [N] [ENTER] Wpisujemy wartość kredytu PV: [PV] [ENTER] Wpisujemy oprocentowanie: 1 [I/Y] [ENTER] Obliczamy wartość płatności miesięcznej: [CPT] [PMT] PMT = 5 021,48 Wpłacasz na rachunek kwotę PLN. Ile będziesz miał na rachunku po 20 latach, jeżeli stopa będzie wynosiła 5 %, a odsetki będą kapitalizowane co miesiąc? Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

21 Liczba okresów = 240 miesięcy ( 20 lat x 12 miesięcy) Efektywna stopa oprocentowani skali miesiąca = 5 % / 12 = 0,41667 % Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. Wpisujemy liczbę okresów: 240 [N] [ENTER] Wpisujemy wartość lokaty PV: [PV] [ENTER] Wpisujemy oprocentowanie: 0,41667 [I/Y] [ENTER] Obliczamy wartość końcową FV: [CPT] [FV] FV = ,81 Bank udzielił rocznego kredytu w wysokości PLN, który ma być spłacany w 6 równych ratach płatności kredytu po ,31 PLN, płatnych na koniec każdego dwumiesięcznego okresu spłaty (każda rata zawiera spłatę kapitału i odsetki). Jaka jest efektywna roczna stopa oprocentowania dla tego kredytu? Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. Wpisujemy liczbę okresów: 6 [N] [ENTER] ( Jest 6 okresów 2-miesięcznych.) Wpisujemy wartość kredytu PV: [PV] [ENTER] Wpisujemy wartość płatności PMT: ,31 [PMT] [ENTER] Obliczamy oprocentowanie: [I/Y] [FV] I = 3 % 3 % jest to oprocentowanie efektywne w skali 2 miesięcy. Zamieniamy je na efektywne w skali roku. ( ) Ile warta jest dzisiaj obietnica otrzymania następującego strumienia przychodów: PLN na końcu pierwszego roku, PLN na końcu drugiego roku oraz PLN na końcu każdego następnego roku (renta wieczysta)? Zakładamy, ze roczna stopa procentowa jest stała i wynosi 7 %. Obliczam wartość bieżąca renty wieczystej na koniec drugiego roku. Wzór na wartość bieżącą renty wieczystej: Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

22 = 1 778/ 0,07 = Korzystamy z arkuszu Cash Flow w kalkulatorze finansowym i wpisujemy przepływy oczekiwane za rok, za dwa lata i wartość bieżącą renty wieczystej na koniec roku drugiego. Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. [CF] CF0 = 0 [Enter] [ ] C01 =3 500 [Enter] [ ] F01=1 [Enter] [ ] C02 = = [Enter] [ ] F02=1 [Enter] Obliczamy wartość bieżącą powyższych przepływów. [NPV] I= 7 [Enter] [ ] [CPT] NPV =31 308,41 Inwestor chce wpłacać na rachunek bankowy taka samą kwotę na koniec każdego kwartału. Proszę podać, jaka musi być wartość każdej z tych wpłat aby po 6 latach zgromadzić na rachunek kwotę PLN. Efektywna stopa procentowa w skali roku wynosi 8,2432 % Obliczam efektywną stopę procentową w skali kwartalnej: Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. ( ) Wpisujemy liczbę okresów: 24 [N] [ENTER] (6 lat x 4 kwartały) Wpisujemy oczekiwaną wartość końcową: [FV] [ENTER] Wpisujemy oprocentowanie: 2 [I/Y] [ENTER] Obliczamy co kwartalna wpłatę PMT: [CPT][PMT] PMT = ,11 Pan Jan zamierza za cztery lata zakupić samochód. Obecna cena samochodu jest równa zł. Oczekuje się, że w kolejnych latach cena samochodu będzie rosła w tempie 2% rocznie. W celu zgromadzenia odpowiednich środków pan Jan zamierza dokonywać regularnych wpłat w wysokości zł rocznie na rachunek oszczędnościowy. Pierwsza wpłata została dokonana w momencie zerowym, a Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

23 następne cztery wpłaty na koniec kolejnych lat od pierwszego do czwartego roku. Oprocentowanie tych oszczędności wynosi 4% rocznie. Przewiduje się, że środki z tych oszczędności będą niewystarczające do zakupu samochodu. Dlatego też, dealer samochodowy zaoferował Panu Janowi pożyczkę w wysokości brakujących środków. Zostanie ona zaciągnięta w momencie kupna samochodu. Jej oprocentowanie jest równe 6% rocznie. Spłata będzie prowadzona w czterech stałych ratach, tj. suma odsetek i raty kapitałowej jest stała w okresie spłaty. Pierwsza płatność ma być dokonana w rok po zakupie samochodu. Oblicz wielkość rocznej płatności pożyczki zaciągniętej u dealera samochodowego. Obliczmy cenę samochodu za 4 lata, czyli wtedy kiedy Pan Jan chce go nabyć Teraz obliczmy ile będzie miał na rachunku Pan Jan po 4 latach: Wpisujemy wartość początkową(pierwszą wpłatę): [PV] [ENTER] Wpisujemy liczbę okresów: 4 [N] [ENTER Wpisujemy wpłatę roczną: [PMT] [ENTER] Podajemy oprocentowanie: 4 [I/Y] [ENTER] Obliczamy wartość końcową: [CPT][FV] FV= ,61 Obliczmy ile zabraknie panu Janowi po 4 latach na kupno samochodu , ,61 = ,67 U dealera Pan Jan pożyczy ,67, które będzie spłacał prze 4 lata w równych ratach całkowitych. Obliczmy wysokość tej raty: Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. Wpisujemy wartość zaciągniętego kredytu: ,67 [PV] [ENTER] Wpisujemy liczbę okresów: 4 [N] [ENTER Podajemy oprocentowanie: 6 [I/Y] [ENTER] Obliczamy wartość rocznej raty : [CPT][PMT] PMT =4679,71 PLN Pan Stanisław planuje co pół roku lokować pewną stałą kwotę w ciągu najbliższych 20 lat, tj. do momentu swojego przejścia na emeryturę. W tym czasie, tj. w okresie najbliższych 20 lat nominalne oprocentowanie tej lokaty wyniesie 6% rocznie przy kapitalizacji półrocznej. W momencie przejścia na emeryturę zgromadzony w Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

24 Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

25 Ile wynosi różnica pomiędzy kwotą uzyskaną po 20 latach oszczędzania przez pana Kowalskiego i pana Iksińskiego? Jest to zadanie egzaminacyjne. Komisja pisząc o lokatach miesięcznych ma na myśli oprocentowanie o kapitalizacji miesięcznej. Podatek odejmujemy od oprocentowania. Pan Kowalski Pan Kowalski wpłaca z góry - w kalkulatorze ustawiamy wpłaty z góry. [2ND] BGN [2ND] [SET] - ustawiam BGN. Na górnym pasku kalkulatora powinien nam się pokazać symbol BGN. Po dokonaniu obliczeń pamiętajmy o ustawienie z powrotem na END. Wpłaty miesięczne N = 20 * 12 = 240 i = 5 % / 12-19% = 0,3375 PMT = wpłaty miesięczne =- 100 Fv = 37008,76 Pan Iksiński Czyścimy pamięć w kalkulatorze. Ustawiamy płatność z dołu END. Fundusze - oprocentowanie kapitalizowane rocznie - czyli kwartalne efektywne oprocentowanie wynosi: ( ) % I = N= 20 * 4 = 80 PMT = to FV = 40415,5669 Następnie musimy odjąć od zysku podatek. Zysk = kwota końcowa - kwota zainwestowana = 40415,57 - ( 300 * 80) = ,57 Podatek wynosi ,57 * 19 % = 3 118,96 Pan Iksiński po zapłaceniu podatku uzyskuje 40415, ,97 = ,61 Odpowiedź : Pan iksiński zaoszczędzi 287,85 PLN więcej od Pana Kowalskiego. Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

26 Projekt inwestycyjny o niezerowym ryzyku charakteryzuje się następującym strumieniem Cash Flow w wartościach realnych: Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

27 Rok Cash Flow Właściwa dla wyceny projektu nominalna stopa dyskontowa wynosi 15,5%, zaś stopa inflacji 10%. Jaka jest wartość bieżąca netto (NPV) tego projektu? Jeżeli przepływy mamy podane w wartościach realnych to stopę dyskontową także musimy zastosować w wartościach realnych. Dalszych obliczeń najwygodniej dokonać na kalkulatorze w formularzu Cash Flow. Usuń poprzednie dane z pamięci kalkulatora. [CF] CF0 = [Enter] [ ] C01 = 120 [Enter] [ ] F01=1 [Enter] [ ] C02 =80 [Enter] [ ] F02=1 [Enter] [ ] C03 = 120 [Enter] [ ] F03=1 [Enter] [ ] Obliczamy wartość bieżącą powyższych przepływów. [NPV] I= 5 [Enter] [ ] [CPT] NPV = 50,51 Zadania dla Ciebie (Rozwiązania i wyjaśnienia w zeszycie: Wartość pieniądza w czasie. Rozwiązania zadań. ) Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

28 Poziom podstawowy 1. Masz dzisiaj PLN. Możesz otrzymać odsetki w wysokości 9 %, kapitalizowane rocznie. Jaka będzie ich wartość za 7 lat? 2. Za 18 lat masz otrzymać PLN. Jaką wartość ma ta suma dla mnie dzisiaj, jeżeli mogę otrzymać odsetki w wysokości 4,3 % rocznie? 3. Po ilu latach PLN zwiększy się do PLN, jeżeli możesz otrzymywać odsetki w wysokości 10 % rocznie? 4. Zamierzasz zaciągnąć pożyczkę PLN. Po 7 latach kwota do oddania wraz z odsetkami będzie wynosiła PLN. Jakie jest oprocentowanie roczne pożyczki? 5. Rozważasz złożenie depozytu w Banku Zbożowym, który oferuje stopę oprocentowania w wysokości 12,6% rocznie przy kapitalizacji miesięcznej oraz w CramerBanku, oferującym 12,0% przy kapitalizacji dziennej (załóż 365 dni w roku). Który z banków oferuje wyższą efektywną roczną stopę zwrotu? 6. Oblicz wartość przyszłą po dwóch latach kwoty 1000 zł jeśli nominalna roczna stopa procentowa wynosi 10%, a odsetki są kapitalizowane w sposób ciągły. 7. Na inwestycje 3-letnią musimy przeznaczyć 1000 PLN. Stopa zwrotu wynosi 10 %. Oblicz wartość końcową jeśli założymy kapitalizację: a) prostą, b) roczna, c) kwartalną, d) ciągłą. 8. Rozważana jest inwestycja która daje za 3 lata zł. Ile ta inwestycja jest warta dzisiaj? Wymagana stopa zwrotu jest 8 % przy: a) kapitalizacji kwartalnej, b) kapitalizacji ciągłej. 9. Zgodnie z umową zawartą ze swoimi dłużnikami będziesz otrzymywał od nich 2100 PLN rocznie przez najbliższe 12 lat, ostatnia płatności będzie większa o PLN. Jaka jest wartość bieżąca strumienia tych płatności, jeżeli stopa procentowa wynosi 8 % rocznie? 10. Klient zaciągnął w banku pięcioletnią pożyczkę w wysokości PLN, spłacaną w równych rocznych ratach, zawierających odsetki i ratę kapitałową. Ile wynosi roczna rata przy stopie procentowej 11 % rocznie. Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu

29 11. Akcje uprzywilejowane firmy AD dają roczna dywidendę 7 PLN. Następna dywidenda jest oczekiwana za rok. Jaka jest dla Ciebie wartość akcji, jeżeli wymagana stopa zwrotu wynosi 14 %? 12. Twoje oszczędności wynoszą PLN i chcesz przejść dzisiaj na emeryturę. Przez ile lat możesz wyjmować PLN na początku każdego roku, jeżeli będziesz otrzymywać odsetki roczne w wysokości 8 %? 13. Dokonaj ponownego obliczenia do zadanie 12 zakładając, ze kwoty są pobierane na koniec każdego roku. 14. Jeżeli zainwestowałeś PLN przy oprocentowaniu 7 % z kapitalizacją ciągłą, to jaką kwoty możesz się spodziewać po okresie: a) 1 miesiąca, b) 4 lat. 15. Oblicz wartość bieżącą (na dzisiaj) następujących strumieni gotówki przy oprocentowaniu 6 %. Rok Strumień A Strumień B Posiadasz dzisiaj PLN. Ile czasu zajmie Tobie podwojenie tej kwoty, jeżeli zainwestujesz te pieniądze przy następującym oprocentowaniu: a) 5 % b) 12 % 17. Zainwestowałeś 1000 PLN, po półtora roku otrzymasz 1159,69 PLN. Odsetki są kapitalizowane co kwartał. Oblicz roczną efektywną stopę zwrotu. Poziom zaawansowany 1. Inwestycja 2500 PLN jest używana do wypłat 750 PLN pod koniec każdego roku, tak długo jak jest to możliwe z mniejszą ostatnią wypłatą. Stopa procentowa wynosi 12 %. Oblicz ilość wypłat i wartość ostatniej wypłaty (mniejszej niż 750 PLN). Opracował Marcin Reszka Nie zezwala się na kopiowanie, wykorzystywanie bez pisemnej zgody autora Licencja: darmowy fragment skryptu