HSC Research Repor HSC/04/03 Prncpal Componens Analyss n mpled volaly modelng (Analza składowych głównych w modelowanu mplkowanej zmennośc) Rafał Weron* Sławomr Wójck** * Hugo Senhaus Cener, Wrocław Unversy of Technology, Poland ** ComArch SA, Kraków, Poland Hugo Senhaus Cener Wrocław Unversy of Technology Wyb. Wyspańskego 7, 50-370 Wrocław, Poland hp://www.m.pwr.wroc.pl/~hugo/
Rafał Weron Cenrum m. H. Senhausa, Polechnka Wrocławska Sławomr Wójck ComArch S.A., Kraków ANALIZA SKŁADOWYCH GŁÓWNYCH W MODELOWANIU IMPLIKOWANEJ ZMIENNOŚCI. Wprowadzene Ceny nsrumenów fnansowych podlegają cągłym flukuacjom. Paramer, kóry merzy e flukuacje w danym okrese czasu nazywamy zmennoścą (ang. volaly). Im wększe flukuacje a zaem wększa zmenność cen nsrumenu fnansowego ym wększe jes ryzyko zwązane z ym nsrumenem. W powszechne sosowanym modelu Blacka-Scholesa cena opcj zależy od pęcu zmennych (zobacz [0] lub [4]): ceny nsrumenu podsawowego (we wzorze ponżej: U), ceny wykonana opcj (K), czasu pozosałego do ermnu wygaśnęca opcj (τ), sopy procenowej (r) oraz właśne zmennośc (). Nesey wzorów ypu Blacka-Scholesa (uaj: na cenę opcj kupna C BS opcj sprzedaży P BS na konrak fuures): C rτ rτ BS = e [ UΦ( d ) KΦ( d )] oraz P = e [ UΦ( d ) + KΦ( d )] gdze d = ln( U K) ± + BS +, ±, a Φ jes dysrybuaną sandardowego rozkładu normalnego, ne da sę odwrócć ze względu na zmenność, zn. przekszałcć do posac = f (C BS lub P BS, U, K, τ, r). Jeżel jednak znamy rynkową cenę opcj oraz warośc perwszych czerech paramerów wzoru na cenę opcj o korzysając z eracyjnej meody znajdowana zer (perwasków) funkcj, np. bsekcj czy meody Newona-Raphsona [3], możemy odwrócć powyższe wzory numeryczne aproksymować zmenność użyą do wyceny ej opcj. Tak uzyskaną zmenność nazywamy mplkowaną (ang. mpled volaly). PRINCIPAL COMPONENTS ANALYSIS IN IMPLIED VOLATILITY MODELING. We analyze he mpled volaly surface srucure of ODAX opons as raded on DTB (currenly Eurex). We apply PCA o cross secons of he mpled volaly surface aken along he same moneyness (m) or he same me o maury (τ). For daa from he perod Ocober 3 rd 997 November 30 h 998 a subsanal reducon of he dmensonaly of he problem was acheved. I urned ou ha () for he m-secons he frs wo prncpal componens conaned 99,997% of nformaon, and () for he τ-secons he frs hree prncpal componens conaned 99,89% of nformaon. Moreover, he obaned prncpal componens were very smlar for dfferen m s or τ s allowng us o assume ha ha he space spanned by he egenvecors s dencal across several groups (of m s or τ s),.e. leadng us o he so called Common PCA.
Prakycy rynku dobrze wedzą, że opcje z cenam wykonana ponżej akualnej ceny nsrumenu podsawowego są wycenane w oparcu o wyższą zmenność nż opcje po cene [8]. Naomas wycena opcj z wyższym cenam wykonana zależy już od nsrumenu podsawowego. Na rynku waluowym są one wycenane podobne, jak opcje z nższym cenam wykonana, zn. w oparcu o wyższą zmenność, jeśl wykreślmy mplkowane zmennośc ych opcj względem ch cen wykonana (lub zw. parameru moneyness m = K/U) o ujrzymy krzywą przypomnającą uśmech (ang. volaly smle). Jednakże dla wększośc pozosałych opcj włączając w o najakywnej handlowane na gełdach ermnowych opcje na ndeks S&P500 oraz na ndeks DAX możemy zaobserwować asymerę. Krzywa mplkowanych zmennośc przypomna wedy bardzej grymas (ang. grmace, smrk) nż uśmech. Jeżel w danej chwl czasu, oprócz rozparywana zmennośc dla różnych cen wykonana opcj (w prakyce częścej dla różnych warośc parameru moneyness) będzemy chcel zbadać zależność mplkowanej zmennośc od ermnu do wygaśnęca opcj τ, o orzymamy zw. powerzchnę mplkowanej zmennośc (ang. mpled volaly surface) I : (m, τ ) I (m, τ).. Opcje na ndeks DAX Do lusracj omawanych pojęć posłużą nam dane z jednego z najbardzej płynnych rynków opcj, a manowce z gełdy DTB (akualne Eurex). Są o dane ransakcyjne ypu ck-by-ck dla opcj ODAX, czyl opcj ypu europejskego na nemeck ndeks akcj DAX, z okresu od 3 paźdzernka 997 do 30 lsopada 998 roku. Ze względu na nemecke prawo podakowe, kóre prakyczne unemożlwa oblczene sopy dywdendy ndeksu DAX, opcje ODAX są wycenane przy pomocy wzoru Blacka [] dla opcj na konraky fuures (a ne wzoru dla opcj ndeksowych). Do wyznaczana mplkowanej zmennośc będzemy używal właśne ego wzoru. Spośród wszyskch noowań opcj ODAX z analzowanego okresu zosały przez nas wybrane ceny zamknęca opcj, kóre ne były w cene (ang. ou-of-he-money), zn. opcje kupna dla m> oraz opcje sprzedaży dla m<, poneważ e opcje wnoszą najwęcej nformacj na ema zmennośc. Orzymano w en sposób około 00 noowań dzenne. Druga redukcja danych polegała na usunęcu konraków, kórych czas do ermnu wygaśnęca był mnejszy nż 0,05 roku czyl około 8 dn. Zabeg en był koneczny ze względu na bardzo neregularne, w sosunku do nnych τ, zachowana sę zmennośc opcj
blskch ermnu wykupu, parz rys.. Z drugej srony rzeba było usunąć dane z dużym τ, poneważ było ch bardzo newele esymacja z ch udzałem mogłaby znekszałcć całą powerzchnę. Dlaego rozparywany przez nas przedzał czasu do ermnu wygaśnęca wynosł [0,05; ]. Ze względu na fak, ż najczęścej handluje sę zw. opcjam po cene (ang. a he money, ATM), czyl opcjam o cene wykonana K blskej obecnej cene nsrumenu podsawowego U, saka generowanych przez nas powerzchn była równomerne rozłożona wokół punku m = zawerała sę w przedzale [0,7;,3]. 0.8 τ = 0 dn τ = 38 dn τ = 66 dn τ = 57 dn τ = 46 dn τ = 438 dn τ = 60 dn 0.6 τ = 47 dn τ = 73 dn τ = 4 dn τ = 6 dn τ = 38 dn τ = 398 dn 0.6 0.4 0.4 0.3 0. 0 τ.5.5 m 0. 0 τ.5.4. m 0.8 0.6 Rys. : Lewy panel: Wykresy zmennośc dla opcj noowanych paźdzernka 998 r. Wdać, że kszał krzywej w jaką układają sę punky dla małych τ znaczne odbega od krzywych worzonych dla wększych τ. Prawy panel: Esymowana powerzchna mplkowanej zmennośc z 4 lsopada 997 r. wraz z danym, kóre posłużyły do jej esymacj. Źródło: opracowane własne. Po akm przeflrowanu danych oblczone zosały mplkowane zmennośc I (m, τ ), kóre posłużyły do skonsruowana neparamerycznego esymaora Nadaraya- Wasona wygładzającego powerzchnę mplkowanej zmennośc posac (zobacz [9] lub [5]): n g(m m, τ τ )I = Î (m, τ) =, n = g(m m, τ τ ) gdze (x, y) ( π h h ) exp( x h ) exp( y h ) g (m, τ ) = jes jądrem gaussowskm. Kluczowym momenem esymacj jes dobrane odpowednch szerokośc oken h h. Zby szeroke okna powodują, że powerzchna jes za bardzo wygładzona, a zby małe, że jes za bardzo pofałdowana. Paramery h h wyznaczono używając zw. meody crossvaldaon [9], kórej dea bazuje na znalezenu okna mnmalzującego wyrażene 3
N ( N) = (I(m, τ ) Î (m, τ (h, h ) = h,h )), gdze Î (m, ) h,h τ wylcza sę ak, jak p w powyższym wzorze, ale z pomnęcem -ej obserwacj. Okazało sę, że wszyske powerzchne mają podobną srukurę paramery dobrane dla jednej, zupełne dobrze pasują do nnych. Przyjęo węc h = 0, 003 oraz h = 0, 03. Orzymany esymaor zosał użyy do sworzena powerzchn mplkowanej zmennośc, parz rys.. 3. Analza Składowych Głównych (PCA) Przypomnjmy, że każdy punk przesrzen można opsać za pomocą kombnacj lnowej wekorów własnych ej przesrzen. Analza Składowych Głównych (Prncpal Componens Analyss, PCA) polega na konsrukcj nowej bazy umożlwającej redukcję neporzebnych wymarów, a ym samym umożlwa opsane grupy danych jak najmnejszą lczbą nezależnych składnków. Wprowadzene nowego układu współrzędnych, czy eż znalezene nowej bazy wekorów własnych opsuje rozkład Karhunena-Loeve. Nech (x, x ) będze parą współrzędnych opsującą punk x płaszczyzny (przesrzen R ), kórą w sandardowej baze można zapsać jako (x, x ) = x (,0) x (0,). Przy zadanej lczbe punków n + x x... x n x n można uworzyć macerz posac X =. Przy jej użycu można x x... x n x n uworzyć macerz kowarancj próbkowej (ang. sample covarance marx) Cov(x = Cov(x, x S, x ) ) Cov(x, x ), kórą można rozłożyć na loczyn macerzy Cov(x, x ) Γ γ γ = γ γ wekorów własnych dagonalnej macerzy Λ warośc własnych, j. składowe (nowe współrzędne) opsujące dane mają posać Y = X Γ. S T = ΓΛΓ. Główne Współrzędne (x, x ) punku x można eraz przedsawć w nowej baze wekorów własnych (x,x ) = y ( γ, γ ) + y ( γ, γ ), gdze y k o elemeny macerzy Y, a γ o elemeny macerzy Γ. Jeżel warancja, równa warośc własnej, jednej ze zmennych (np. y ) jes bardzo mała w sosunku do drugej ( y) o można ją pomnąć zmnejszając w en sposób lczbę składnków porzebnych do opsu punku (x, x ) y ( γ, γ ). Można węc Rozkład Karhunena-Loeve (K-L) nazywany akże dekompozycją K-L lub Proper Orhogonal Decomposon (POD) zosał nezależne opracowany w laach 40-ych przez Karhunena [] Loeve []. Był on późnej z powodzenem sosowany w analze urbulencj, kompresj danych obrazów, a osano równeż w fnansach w ramach analzy składowych głównych, zobacz np. [4] [6]. 4
powedzeć, że daną x opsuje eraz ylko zmenna y. W prakyce zamas rzuowana macerzy X na podprzesrzeń wekorów własnych Γ, częso rzuuje sę macerz X X0, gdze X 0 oznacza macerz powelonego perwszego wersza X, czyl czynnków opsujących perwszą daną. Oprócz redukcj wymarów uzyskuje sę w en sposób zależność wszyskch danych od perwszej. Analzy PCA nesey ne można w bezpośredn sposób zasosować do opsu całych powerzchn mplkowanej zmennośc. Wynka o z faku, ż obekam analzy PCA są macerze dwuwymarowe, podczas gdy powerzchne mplkowanej zmennośc o obeky rójwymarowe. 3 Dlaego w dalszej częśc arykułu opsane zosane zasosowane analzy PCA do przekrojów powerzchn mplkowanej zmennośc w usalonym punkce moneyness (jak np. w []), a nasępne do przekrojów w usalonym punkce czasu do ermnu wygaśnęca (jak np. w []). 4. Analza PCA dla przekroju powerzchn w jednym punkce moneyness Z powerzchn mplkowanej zmennośc wybrano punky dla kórych S = K, czyl opcje kwoowane po cene. Dla nch zosała przeprowadzona analza PCA. Poneważ 5 o lczba wszyskch możlwych τ, a 50 o lczba wygenerowanych powerzchn, można powedzeć, że 50 danych opsywanych jes przez 5 czynnków. Rozkład macerzy kowarancj doprowadzł do nasępujących warośc własnych [5]: λ =0,60663460, λ =0,000657939, λ 3 =0,00000346860, λ 4 =0,00000040789, λ 5 =0,0000000678, d. Procenowy, skumulowany udzał perwszych dwóch warośc o odpowedno 99,835% 99,997%. Wzęce ylko perwszego czynnka daje już bardzo dobre przyblżene. Na rysunku pokazane zosało jak użyce ylko dwóch głównych składowych przyblża analzowane dane. Średn procenowy błąd bezwzględny (ang. Mean Absolue Percenage Error, MAPE), lczony dla każdego przekroju, ne przekracza,5%. Na rysunku pokazano równeż dynamkę perwszej PC() drugej PC() składowej głównej. Uwagę przykuwa uaj prawe denyczne zachowane sę PC() analzowanych danych, co wydaje sę bardzo zrozumałe wząwszy pod uwagę fak, ż zawera ona aż 99,8% całej warancj. Pozwala o równeż nerpreować perwszą składową jako odpowedzalną za przesunęce (w pone) powerzchn mplkowanej zmennośc. Z kole na podsawe 3 Isneją jednak meody ransformacj ablc rójwymarowych na macerze dwuwymarowe. Ich zasosowane pozwala na analzę PCA całych powerzchn mplkowanej zmennośc, zobacz [4] oraz [5]. 5
podwykresów na obu górnych panelach można wnoskować, że druga składowa odpowada za nachylene powerzchn, porównaj z pracam [4], [5] oraz [6]..5 0.4 PC() PC() 0 0.3 0. 0 00 00 300 - - 0 50 00 50 00 50 Rys. : Lewy panel: Zmenność mplkowana (kropk) oraz esymowana z użycem ylko perwszej składowej (kółka). Prawy panel: Zmenność mplkowana oraz esymowana z użycem dwóch perwszych składowych. Wyraźne wdać jak zmena sę dokładność w opse danych wraz ze zwększenem lczby składowych głównych. Dolny panel: Dynamka perwszej PC() drugej PC() składowej głównej. Wdać prawe denyczne zachowane sę PC() mplkowanej zmennośc (w lewym górnym rogu). Źródło: opracowane własne. 5. Analza PCA dla przekroju powerzchn w jednym punkce τ W poprzednm punkce do analzy brany był przekrój powerzchn w jednym punkce m (moneyness). W eraz przeanalzujemy przekrój w jednym punkce czasu do ermnu wygaśnęca ( τ ). Lczba danych sę ne zmenła jes ch równeż 50, naomas lczba opsujących punków wynos 30, bo yle różnych m zawera saka zmennośc. Rozkład macerzy kowarancj doprowadzł do nasępujących warośc własnych [5]: λ =0,949376590, λ =0,005634, λ 3 =0,0004367468, λ 4 =0,00036647, λ 5 =0,00004596848, d. Podobne jak poprzedno, już perwsza składowa (z wszyskch 30) zawera aż 98,379% nformacj o danych, dwe perwsze 99,67%, a rzy perwsze 6
99,89%. Na rysunku 3 pokazane zosało jak użyce rzech głównych składowych przyblża analzowane dane. Średn procenowy błąd bezwzględny (MAPE), lczony dla każdego przekroju, ne przekracza %. Na ym rysunku pokazana zosała równeż dynamka rzech perwszych składowych głównych. Podobne jak poprzedno perwsza składowa dobrze odwzorowuje charaker analzowanej zmennośc. Jej dynamka w czase prawe pokrywa sę z dynamką mplkowanej zmennośc, co jes jak najbardzej zrozumałe borąc pod uwagę jej 98,4% udzał w całej warancj danych. Ponowne pozwala o nerpreować perwszą składową jako odpowedzalną za przesunęce (w pone) powerzchn mplkowanej zmennośc. Pozosałe dwe składowe zawerają odpowedno,4% 0,% warancj odpowadają za nachylene powerzchn, choć ch wpływ ne jes aż ak wyraźny jak drugej składowej orzymanej dla przekroju powerzchn w jednym punkce moneyness..5 0.6 0.4 PC() PC() PC(3) 0.3 0 0. 0. 0 00 00 300 - - 0 50 00 50 00 50 Rys. 3: Lewy górny panel: Zmenność mplkowana oraz esymowana z użycem ylko perwszej składowej. Prawy górny panel: Zmenność mplkowana oraz esymowana z użycem dwóch perwszych składowych. Lewy dolny panel: Zmenność mplkowana oraz esymowana z użycem rzech perwszych składowych. Wyraźne wdać jak zmena sę dokładność w opse danych wraz ze zwększenem lczby składowych głównych. Prawy dolny panel: Dynamka perwszych rzech składowych głównych. Wdać prawe denyczne zachowane sę PC() mplkowanej zmennośc (w lewym górnym rogu). Źródło: opracowane własne. 7
6. Analza CPCA Zasosowane analzy PCA do przekrojów powerzchn mplkowanej zmennośc pozwolło koszem newelkej uray nformacj znaczne zredukować lczbę zmennych porzebnych do opsu ych powerzchn. W przypadku przekrojów w jednym punkce moneyness wysarczyły dwe główne składowe (zamas orygnalnych 5) aby zachować aż 99,997% nformacj o zmennośc. W przypadku przekrojów w jednym punkce τ wysarczyły rzy główne składowe (zamas orygnalnych 30) aby zachować 99,89% nformacj. Wydaje sę jednak, ż jes o ylko połowczne zwycęswo. Nawe jeśl użyjemy ylko dwóch składowych do opsu powerzchn dla przekroju w dowolnym punkce m, o ak będzemy porzebowal aż 30 = 60 składowych bo nasza powerzchna jes rozpęa na 30 punkach m. Na szczęśce dokładna analza składowych głównych dla różnych punków moneyness pozwala jeszcze zredukować ę lczbę. Oóż okazało sę, że wekory własne lczone w punkach m leżących blsko sebe są do sebe bardzo podobne. Jeżel węc przyjąć, że są ake same o można zredukować lczbę baz wekorów własnych do jednej. Jes o zw. Common Prncpal Componen Analyss (CPCA), kórej szerszy ops można znaleźć m.n. w [6] [7]. Nesey dla m leżących daleko od sebe np. 0,8, wekory są na yle różne, że przyjęce dla nch wspólnej bazy ne jes możlwe. Z podobną syuacją mamy do czynena w przypadku przekrojów powerzchn mplkowanej zmennośc w jednym punkce τ. Dla różnych, ale blskch sobe (np. 0,; 0,4; 0,8; 0,3), czasów do wygaśnęca pojawają sę prawe ake same wekory własne. Pozwalają one na redukcję lczby baz lczonych dla różnych τ do jednej. Nesey dla τ bardzej od sebe oddalonych, np. 0, 0,8, wekory e za bardzo już sę różną żeby przyjąć, że są ake same. 7. Zakończene Powerzchna mplkowanej zmennośc jes paramerem wejścowym wększośc współcześne sosowanych w prakyce model wyceny opcj [5]. Dokładność jej esymacj jes szczególne sona kedy chodz o wycenę opcj egzoycznych zależnych od rajekor (np. barerowych), a ym samym kedy ważne jes oszacowane zmennośc ceny nsrumenu podsawowego w punkce moneyness odległym od. Zasosowane analzy PCA do przekrojów powerzchn mplkowanej zmennośc, a szczególne analzy CPCA do całej powerzchn pozwala na znaczną redukcję lczby zmennych porzebnych do opsu ych powerzchn. Taka forma kompresj danych ma nebagaelne znaczene dla 8
sysemów zarządzana porfelam opcyjnym. Dwe, rzy najważnejsze składowe główne mogą być symulowane za pomocą prosych ne wymagających żmudnych oblczeń model szeregów czasowych, akch jak ARIMA czy GARCH. Analza PCA/CPCA pozwala zaem na bardzo szybką analzę scenaruszową czy sress esng przy jednoczesnym zachowanu dokładnośc oblczeń, a ym samym na efekywne zarządzane ryzykem. Przeprowadzona analza pokazuje równeż, że do opsu powerzchn mplkowanej zmennośc porzebne są przynajmnej dwe składowe. Wydaje sę zaem, że dwufakorowe modele sochasycznej zmennośc, gdze ylko jeden fakor odpowada za sochasyczny charaker zmennośc, będą newysarczające do opsu ruchu powerzchn. Mogą one modelować przesunęce powerzchn (w pone), ale jej nachylene już ne. Leraura [] Alexander, C. (00) Prncples of he skew, RISK 4, 9-3. [] Avellaneda, M., Zhu, Y. (997) An E-ARCH model for he erm srucure of mpled volaly of FX opons, Appled Mahemacal Fnance 4, 8-00. [3] Black, F. (976) The prcng of commody conracs, J. Fnancal Economcs 3, 67-79. [4] Con, R., da Fonseca, J. (00) Dynamcs of mpled volaly surfaces, Quanave Fnance, 45-60. [5] Fengler, M. (004) Semparamerc Modellng of Impled Volaly, Praca dokorska, Unwersye Humbolda, Berln. [6] Fengler, M., Härdle, W., Schmd, P. (00) The Analyss of Impled Volales, w Härdle, W., Klenow, T., Sahl, G. (red.) Appled Quanave Fnance, Sprnger, Berln. [7] Flury, B. (988) Common Prncple Componens Analyss and Relaed Mulvarae Models, Wley, New York. [8] Garlńsk, T., Weron, R. (999) Króka hsora VOLAX-u czyl jak próbowano handlować mplkowaną zmennoścą, Rynek Termnowy 6 (4/99), 5-56. [9] Härdle, W. (990) Appled Nonparamerc Regresson, Cambrdge Unversy Press, Cambrdge. [0] Jajuga, K., Jajuga, T. (996) Inwesycje, PWN, Warszawa. [] Karhunen, K. (946) Zur spekralheore sochasscher prozesse, Annales Academae Scenarum Fenncae, vol. 34. [] Loeve, M. (955) Probably Theory, Van Nosrand, Prnceon, N.J. [3] Soer, J., Bulrsch, R. (987) Wsęp do analzy numerycznej, PWN, Warszawa. [4] Weron, A., Weron, R. (998, 999) Inżynera fnansowa: wycena nsrumenów pochodnych, symulacje kompuerowe, saysyka rynku, WNT, Warszawa. [5] Wójck, S. (003) Generaor scenaruszy dla porfel opcyjnych oolbox w Malabe, praca magserska, PWr. 9
HSC Research Repor Seres 004 For a complee ls please vs hp://deas.repec.org/s/wuu/wpaper.hml 0 Fndng he opmal exercse me for Amercan warrans on WIG0 fuures (Wyznaczane opymalnego momenu wykonana warranów amerykańskch na konraky fuures na ndeks WIG0) by Barosz Sawarsk 0 Power markes n Poland and worldwde (Rynk energ elekrycznej w Polsce na śwece) by Rafał Weron 03 Prncpal Componens Analyss n mpled volaly modelng (Analza składowych głównych w modelowanu mplkowanej zmennośc) by Rafał Weron and Sławomr Wójck