POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ MECHANICZNY TECHNOLOGICZNY Katdra Wytrzymałośc Matrałów Mtod Komutrowych Mchank Rozrawa doktorska Tytuł: Analza wrażlwośc otymalzacja wolucyjna układów mchancznych z ęknęcam mgr nż. Wtold BELUCH Promotor: rof. dr hab. nż. Tadusz BURCZYŃSKI Glwc 000
SPIS TREŚCI WSTĘP... CEL I TEZA ROZPRAWY... 3. Cl rozrawy... 3. Tza rozrawy... 3 3 WYKAZ WAŻNIEJSZYCH SYMBOLI... 4 4 PRZEGLĄD TREŚCI ROZPRAWY... 6 5 METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W MECHANICE PĘKANIA... 7 5. Podstawow ojęca dfncj mchank ękana... 7 5.. Rodzaj dformacj ęknęca... 9 5.. Wsółczynnk ntnsywnośc narężń... 0 5..3 Zmęcznowy wzrost ęknęca... 5..4 Całka J... 5..5 Zalżnośc mędzy całką J a wsółczynnkam ntnsywnośc narężń... 3 5. Mtoda lmntów brzgowych... 3 5.. Mtoda lmntów brzgowych w zagadnnach tor srężystośc... 4 5.. Mtoda lmntów brzgowych w układach srężystych z ęknęcam... 0 5.3 Dualna mtoda lmntów brzgowych w analz układów mchancznych z ęknęcam... 3 5.3. Konccja odstawy tortyczn mtody... 3 5.3. Całk osoblw w sns wartośc głównj... 4 5.3.3 Modlowan dyskrtyzacja cała w dualnj MEB... 5 5.3.4 Przykłady analz numrycznych... 7 5.3.5 Analza roagacj ęknęć... 3 6 ANALIZA WRAŻLIWOŚCI UKŁADÓW Z PĘKNIĘCIAMI... 36 6. Analza wrażlwośc całk J rzy transformacj brzgu zwnętrzngo... 36 6.. Analza wrażlwośc całk J... 37 6.. Analza wrażlwośc całk J... 40 6. Analza wrażlwośc funkcjonału brzgowgo względm modyfkacj kształtu brzgu zwnętrzngo... 43 6.. Przykład numryczny... 43 6.3 Analza wrażlwośc funkcjonału brzgowgo względm kształtu ołożna ęknęca... 45
6.3. Przykłady numryczn... 46 6.4 Podsumowan wynków analzy wrażlwośc... 50 7 METODY OPTYMALIZACJI EWOLUCYJNEJ W IDENTYFIKACJI PĘKNIĘĆ W UKŁADACH MECHANICZNYCH... 5 7. Zagadnna odwrotn zadan dntyfkacj... 5 7. Klasyczn mtody dntyfkacj otymalzacj... 5 7.3 Ewolucyjn mtody rozwązywana zagadnna dntyfkacj ęknęć... 53 7.3. Klasyczn algorytmy gntyczn... 53 7.3. Algorytmy wolucyjn... 56 7.4 Hybrydow mtody dntyfkacj ęknęć... 59 7.4. Modl lnowy algorytmu hybrydowgo... 59 7.4. Modl równolgły algorytmu hybrydowgo... 60 7.5 Budowa chromosomu... 60 7.5. Idntyfkacja ojdynczych ęknęć oraz ęknęć wlokrotnych rzy znanj lczb ęknęć... 6 7.5. Idntyfkacja ęknęć wlokrotnych rzy nznanj lczb ęknęć... 6 7.5.3 Idntyfkacja ęknęć rzy stochastycznym zaburznu wlkośc mrzonych.. 6 7.6 Przykłady numryczn... 6 7.6. Idntyfkacja ojdynczych ęknęć... 6 7.6. Idntyfkacja ęknęć wlokrotnych... 67 7.6.3 Idntyfkacja nznanj lczby ęknęć... 68 7.6.4 Idntyfkacja rzy losowym zaburznu wlkośc mrzonych... 7 7.6.5 Idntyfkacja z zastosowanm lnowgo algorytmu hybrydowgo... 74 7.7 Podsumowan wynków dntyfkacj... 77 8 OPTYMALIZACJA EWOLUCYJNA KSZTAŁTU BRZEGU ZEWNĘTRZNEGO UKŁADÓW MECHANICZNYCH Z PĘKNIĘCIAMI... 78 8. Krytra otymalzacj warunk ogranczając... 78 8. Modlowan gomtr układu... 79 8.. B-slajny... 80 8.. Krzyw NURBS... 8 8.3 Algorytm numryczny otymalzacj wolucyjnj... 8 8.4 Budowa chromosomu... 83 8.5 Przykłady numryczn... 83 8.6 Podsumowan wynków otymalzacj... 9
9 PODSUMOWANIE I WNIOSKI... 93 0 LITERATURA... 96 DODATEK... 0. Algorytm numryczny rogramu komutrowgo analzy zadana brzgowgo z ęknęcam... 0. Algorytm numryczny rogramu komutrowgo analzy wrażlwośc funkcjonału brzgowgo względm modyfkacj kształtu brzgu zwnętrzngo03 3. Algorytm numryczny rogramu komutrowgo analzy wrażlwośc funkcjonału brzgowgo względm modyfkacj kształtu ołożna ęknęca 04 4. Algorytmy numryczn rogramów komutrowych dntyfkacj wolucyjnj oraz dntyfkacj hybrydowj... 05 5. Algorytm numryczny rogramu komutrowgo otymalzacj wolucyjnj. 08 SUMMARY... 09
Rozrawa doktorska WSTĘP Elmnty maszyn zawrają różngo rodzaju ęknęca, stanowąc ncągłośc matrału, owstał zarówno w wynku tchnologczngo rocsu wytwarzana jak dzałana obcążń mchancznych. Badanm wływu ęknęć na różnorodn charaktrystyk mchanczn zajmuj sę dzdzna mchank zwana mchanką ękana. Zastosowan mtod numrycznych mchank ozwala na rzyblżon rozwązan równań owstałych w wynku matmatyczngo modlowana lmntów maszyn. Jdną z mtod numrycznych jst mtoda lmntów brzgowych, która z względu na sw scyfczn cchy szczgóln nadaj sę do analzy układów srężystych, co wynka główn z łatwośc dyskrtyzacj, dużj dokładnośc oblczń wlkośc brzgowych oraz braku koncznośc dyskrtyzacj wnętrza obszaru. Zastosowan mtody lmntów brzgowych do analzy układów srężystych z ęknęcam jst szczgóln dogodn z względu na fakt, ż ęknęc jst równż brzgm. Oblczn wlkośc stotnych z unktu wdzna wytrzymałośc układu z ęknęcam wsółczynnk ntnsywnośc narężń, wartośc całk J, wartośc maksymalngo rozwarca ęknęć n wymaga dyskrtyzacj wnętrza obszaru, co owoduj zmnjszn wymaru zadana brzgowgo o jdn w orównanu n. z owszchnj stosowaną mtodą lmntów skończonych. Analza wrażlwośc zajmuj sę zagadnnam zwązanym z badanm wływu zmany kształtu ołożna ęknęć na charaktrystyk mchanczn. Pozwala równż na uzyskan nformacj nzbędnych w tradycyjnych mtodach otymalzacj, jak gradnt lub hsjan funkcj clu. W wlu rzczywstych sytuacjach ołożn, kształt oraz lczba ęknęć są nznan. Jdnym z sosobów okrślna tych wlkośc jst rozwązan gomtryczngo zagadnna odwrotngo, olgającgo na zastosowanu scyfcznych rocdur dntyfkacyjnych. W tym clu buduj sę scjalny funkcjonał, będący wną marą odlgłośc mędzy wartoścam zmnnych stanu n. rzmszczń, narężń oblczonym z modlu tortyczngo oraz zmrzonym na ralnym obkc. Mnmalzacja takgo funkcjonału względm aramtrów ołożna, kształtu oraz lczby ęknęć rowadz do dntyfkacj ęknęca. Mając zdntyfkowan ęknęc w lmnc maszyny, można zaroonować wn rocs narawczy, olgający na takj zman kształtu lmntu orzz rdystrybucję matrału, by unmożlwć rocs roagacj ęknęca. Jst to zadan z zakrsu otymalngo kształtowana. Zastosowan mtody lmntów brzgowych w zagadnnach zwązanych z otymalzacją kształtu ozwala na unknęc racochłonnj dyskrtyzacj wnętrza obszaru rzy często zmnającym sę kształc lmntu otymalzowango, co owoduj stotn skrócn czasu oblczń. Informacja o gradnc funkcj clu, ochodząca z analzy wrażlwośc, moż mć stotn znaczn w budow tracyjnych algorytmów dntyfkacj otymalzacj. Algorytmy bazując na gradnc funkcj clu są zwykl bardzo fktywn, jdnakż osadają oważną wadę: stnj duż rawdoodobństwo znalzna otmum lokalngo mast globalngo. W wlu rzyadkach uzyskan nformacj o gradnc funkcj clu jst trudn lub wręcz nmożlw. Poszukuj sę mtod, któr są woln od owyższych ndogodnośc.
Rozrawa doktorska Zastosowan algorytmów wolucyjnych zmodyfkowanych algorytmów gntycznych ozwala na rzzwycężn rzdstawonych owyżj trudnośc. Algorytm wolucyjny startuj z oulacj douszczalnych rozwązań, co ograncza możlwość utknęca w otmum lokalnym, zaś jdyną nformacją, jaka jst nzbędna w rocs otymalzacj, jst nformacja o wartośc funkcj clu. Algorytm wolucyjny stosunkowo szybko lokalzuj okolc otmum globalngo, jdnakż owol dochodz do wartośc otymalnj. Połączn algorytmów gntycznych z gradntowym mtodam otymalzacj algorytmy hybrydow, umożlwa skumulowan ozytywnych własnośc jdnych drugch rzy jdnoczsnym wylmnowanu ch wad. W fkc otrzymuj sę szybk algorytm, ozwalający na znalzn otmum, będącgo z dużym rawdoodobństwm otmum globalnym.
Rozrawa doktorska 3 CEL I TEZA ROZPRAWY. Cl rozrawy Clm rozrawy jst oracowan mtody otymalzacj wolucyjnj dla zadań z ęknęcam. Postawony cl zralzowano rozwązując nastęując roblmy cząstkow: oracowan rogramu komutrowgo analzy wrażlwośc układów z ęknęcam; zastosowan dualnj mtody lmntów brzgowych do analzy układów z ęknęcam; ołączn algorytmów wolucyjnych z dualną mtodą lmntów brzgowych, clm uzyskana wolucyjngo algorytmu otymalzacj układów z ęknęcam; Ponadto zaroonowano ołączn algorytmów wolucyjnych z klasycznym algorytmam otymalzacj otymalzacja hybrydowa. Jak wynka z analzy ltratury, zakrs tak został sformułowany o raz rwszy. Efktm jst oracowan mtody otymalzacj wolucyjnj oraz otymalzacj hybrydowj układów z ęknęcam oraz algorytmów numrycznych aktu rogramów komutrowych, któr osłużyły do ralzacj tgo clu.. Tza rozrawy Dualna mtoda lmntów brzgowych w ołącznu z analzą wrażlwośc algorytmam wolucyjnym ozwala na oracowan fktywnj mtody numrycznj, umożlwającj ralzację szroko ojętych zadań otymalzacj w budow ksloatacj maszyn, w tym w szczgólnośc zadań otymalzacj kształtu oraz dntyfkacj ołożna, kształtu lczby ęknęć. Zastosowan mtody lmntów brzgowych ozwala w znacznym stonu zmnjszyć stoń złożonośc zadana brzgowgo, a zastosowan algorytmów wolucyjnych lmnuj ndogodnośc zwązan z tradycyjnym tchnkam otymalzacyjnym. Włączn do rocsu oblczń nformacj o gradnc funkcj clu, ochodzącj z analzy wrażlwośc, ozwala na oracowan hybrydowj mtody otymalzacj łączącj zalty lmnującj wady tradycyjnj wolucyjnj tchnk otymalzacj. Tza: Mtoda otymalzacj wolucyjnj układów z ęknęcam, oarta na dualnj mtodz lmntów brzgowych, analz wrażlwośc algorytmach wolucyjnych, jst skutcznym fktywnym narzędzm szroko ojętj otymalzacj srężystych układów mchancznych, z szczgólnym uwzględnnm zadań dntyfkacj otymalzacj kształtu.
Rozrawa doktorska 4 3 WYKAZ WAŻNIEJSZYCH SYMBOLI a wktor macrz kolumnowa aramtrów kształtu b ol sł objętoścowych Cg B-slajn C*g krzywa NURBS E moduł srężystośc odłużnj E zmana skal ęknęca G wsółczynnk uwalnana nrg G r J K MCO M r n wlkość oulacj całka Rc a wsółczynnk ntnsywnośc narężń maksymaln rozwarc ęknęca lczba okolń wktor normalny, sła brzgowa, ol sł brzgowych Q r R Sj s s T wsółczynnk naoru slkcyjngo obrót ęknęca oulacja chromosomów w j-ym okolnu chromosom -ty gn chromosomu translacja ęknęca u, u rzmszczn, ol rzmszczń U U ε UP US y Γ nrga odkształcna gęstość nrg odkształcna układ odstawowy układ srzężony unkt kolokacj unkt brzgowy brzg cała
Rozrawa doktorska 5 δ I ν σ Ω Γ Π u dlta Kronckra funkcjonał zalżny od rzmszczń sł brzgowych lczba Possona tnsor narężna obszar zajmowany rzz cało nrga owrzchnowa nrga otncjalna
Rozrawa doktorska 6 4 PRZEGLĄD TREŚCI ROZPRAWY Nnjsza rozrawa składa sę z dzsęcu rozdzałów oraz dodatku. W rwszym rozdzal, będącym wstęm, scharaktryzowano krótko roblmatykę rozrawy. W rozdzal drugm rzdstawon zostały główn cl rozrawy oraz sformułowana została jj tza. Rozdzał trzc zawra ss ważnjszych symbol wystęujących w rozraw, zstawonych w orządku alfabtycznym. Czwarty rozdzał to rzgląd trśc rozrawy. Rozdzał ąty omawa zastosowan mtody lmntów brzgowych do zadań zwązanych z mchanką ękana. Przdstawono tu zarówno krótk rzgląd ltraturowy dotyczący mchank ękana oraz mtody lmntów brzgowych, jak zastosowan scjalnych tchnk umożlwających wykorzystan mtody lmntów brzgowych w zagadnnach mchank ękana. Rozdzał kończą rzykłady analz numrycznych lmntów konstrukcyjnych z ęknęcam. W rozdzal szóstym osano mtodę analzy wrażlwośc funkcjonałów brzgowych rzy transformacj brzgu zwnętrzngo, jak transformacj ęknęca z zastosowanm mtody układów srzężonych oraz rzdstawono rzykłady numryczn. Rozdzał sódmy dotyczy zastosowana algorytmów wolucyjnych w ołącznu z mtodą lmntów brzgowych do dntyfkacj ęknęć. Przrowadzono tsty numryczn dntyfkacj ęknęć o różnym kształc gdy znana jst ch lczba, dntyfkacj nznanj lczby ęknęć oraz dntyfkacj ęknęć rzy stochastycznym zaburznu wlkośc mrzonych. Zaroonowano równż ołączn dntyfkacj wolucyjnj z nformacją uzyskaną z analzy wrażlwośc, co ozwolło w znaczący sosób skrócć czas oblczń. W ósmym rozdzal skoncntrowano sę na zagadnnach otymalzacj brzgu zwnętrzngo układów z ęknęcam z zastosowanm algorytmów wolucyjnych mtody lmntów brzgowych. Zaroonowano modlowan brzgu za omocą krzywych aramtrycznych, co ozwolło znaczn zrdukować lczbę zmnnych rojktowych. Przdstawono równż szrg rzykładów numrycznych dla otymalzacj jdno- wlokrytralnj. Rozdzał dzwąty zawra odsumowan rozrawy oraz wnosk z dotychczas rzrowadzonych badań, jak równż zaroonowano dalsz krunk badań. Dzsąty rozdzał jst ssm ltratury. W Dodatku zbrano osy rogramów komutrowych wykorzystanych w nnjszj rozraw. Na końcu zamszczono strszczn rozrawy w języku anglskm.
Rozrawa doktorska 7 5 METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W MECHANICE PĘKANIA 5. Podstawow ojęca dfncj mchank ękana Mchanka ękana [45, 60, 64, 78] jst dzałm mchank zajmującym sę badanm zjawska, jakm jst rocs ękana matrału. Pozwalając oznać dfnując naturę zjawska fzyczngo, jakm jst ękan, mchanka ękana wsomaga rocs rojktowana ozwala na okrśln aramtrów ksloatacyjnych. Za rwszą ublkację z dzdzny mchank ękana uważa sę racę Grfftha z 90 roku [38], w którj rozatrywano zjawsko ękana w matrałach kruchych o strukturz amorfcznj szkło, jdnakż ntnsywny rozwój mchank ękana rozoczął sę o roku 945. Duży wływ na jj rozwój mały sr katastrof odczas o II wojn śwatowj, w szczgólnośc zaś konstrukcj sawanych, jak statk, mosty zbornk. Katastrofy t mały szrg wsólnych cch: obkty mały duż rozmary, stosowano rzy ch wykonanu sawan, ęknęca wystęowały w sosób nagły rzy obcążnach znaczn nższych od grancznych rowadzły do całkowtgo znszczna konstrukcj, katastrofy zwykl zachodzły w tmraturach obnżonych [9]. Podstawow badana rozważana tortyczn zwązan z kruchym ękanm są rowadzon w trzch krunkach: badan warunków owstawana ęknęć; badan warunków zachowana stanu równowag jj utraty oraz wzrostu ęknęca w różnych warunkach; rzwdywan kruchgo ękana. Pęknęcm szczlną nazywamy ncągłość struktury matrału o okrślonj wlkośc kształc, na którj owrzchnach n dzałają sły wązań atomowych. W stan wolnym od obcążń owrzchn ęknęca mogą sę stykać, zaś w stan obcążonym mogą sę rozwrać bądź rzmszczać względm sb. Zwykl zakłada sę równż, ż front ęknęca jst rgularny, zaś owrzchn ęknęca w stan nobcążonym są łask. Procs ękana lub wzrost ęknęca olga na zwększnu jgo charaktrystyczngo wymaru, jakm jst długość. Kruch ękan oznacza wzrost ęknęca o osągnęcu rzz ngo rozmarów krytycznych z rędkoścą do 50% rędkośc fal Raylgha lub fal orzcznj. Jst to rocs gwałtowny nkontrolowany, którmu często towarzyszy głośny, charaktrystyczny dźwęk. Kruch ękan moż zachodzć wzdłuż tzw. łaszczyzn łulwośc zarn ękan transkrystalczn bądź o grancach zarn ękan mędzykrystalczn. Nktórzy autorzy, jak n. Nmtz [60] rozróżnają ojęca: ęknęc szczlna, nazywając ęknęcm fzyczną ncągłość matrału zaś szczlną matmatyczny modl ęknęca o zrowym romnu zaokrąglna w wrzchołku. W nnjszj racy ostanowono n rozróżnać tych ojęć ozostać w obydwu rzyadkach rzy nazw ęknęc.
Rozrawa doktorska 8 Rozwązana analtyczn w rzyadku układów z ęknęcam stnją dla rzyadków szczgólnych, rzy czym zwykl zakłada sę zotroowość dalną srężystość matrału. Wdług Grfftha rozbżność omędzy wytrzymałoścą matrałów wynkającą z oblczń tortycznych, a zaobsrwowaną w raktyc wynka z stnna w ośrodku nwlkch ncągłośc matrału owodujących sętrzn narężń tym samym osłabn matrału. Pęknęc dzała jako koncntrator narężń, rzy czym sętrzn narężń jst tym wększ, m mnjszy jst romń krzywzny w wrzchołku ęknęca. Jdnoczśn Grffth sugrował, ż czas stnna lmntu wykonango z dango matrału ma zasadnczy wływ na jgo wytrzymałość: m starszy, tym jgo wytrzymałość jst mnjsza wyższ jst rawdoodobństwo stnna ęknęć. Orócz tgo stotna jst równż grubość lmntu wększa oznacza wększą objętość a tym samym najrawdoodobnj wększą lczbę ęknęć. Znszczn matrału nastęuj, gdy narężna w wrzchołku ęknęca są wyższ, nż wytrzymałość lmntu. Koljną sugstą było, ż znszczn lmntu sowodowan wzrostm ęknęca jst zdtrmnowan orzz równowagę nrg odkształcna oraz nrg owrzchnowj. Pęknęc o długośc l w równomrn rozcąganj srężystj tarczy o jdnostkowj grubośc znacznych wymarach owoduj zmanę nrg odkształcna U o wartość: πl σ U = 5. E gdz: σ narężna główn, E- moduł srężystośc odłużnj moduł Younga. Wzrasta wówczas nrga owrzchnowa nzbędna do utworzna nowgo ęknęca o wartość: Γ = 4lγ 5. gdz: γ jst nrgą narężna owrzchnowgo rzyadającą na jdnostkę owrzchn. Suma owyższych nrg jst tzw. całkowtą nrgą rozwoju ęknęca: πl σ V = Γ + U = 4lγ 5.3 E Na rys. 5. rzdstawona jst zmana nrg układu odczas zmany długośc ęknęca. Po rzkrocznu rzz nrgę rozwoju ęknęca maksmum dla długośc ęknęca równj wartośc krytycznj l kr nastęuj jgo rozwój. Dla ęknęć o długośc mnjszj od krytycznj zwększn ch długośc owoduj zwększn nrg układu n jst możlw bz dostarczna nrg z zwnątrz. Krytycznj długośc ęknęca odowada narężn krytyczn: Eγ σ kr = 5.4 πl kr
Rozrawa doktorska 9 V l kr γ l kr l Rys. 5. Zmana nrg odczas owększana sę ęknęca. Irwn [43] wrowadzł wlkość zwaną wsółczynnkm uwalnana nrg: V l G π = = σ 5.5 l E Jst on równy sum zmany rac sł zwnętrznych oraz nrg odkształcna rzy jdnostkowym rzyrośc długośc ęknęca. Wzrost ęknęca nastęuj, gdy: G γ + 5.6 gdz: - raca nodzyskwalna zwązana z stałą dformacją w wrzchołku ęknęca. 5.. Rodzaj dformacj ęknęca W mchanc ękana rozróżna sę trzy odstawow sosoby obcążna lmntu z ęknęcm dformacj ęknęca, jak rzdstawono to na rys. 5.. Dowolny sosób obcążna ęknęca moż być zralzowany jako surozycja trzch odstawowych sosobów. 3 3 3 a b c Rys. 5. Trzy sosoby obcążna lmntu z ęknęcm: a I, b II, c III
Rozrawa doktorska 0 W rwszym rzyadku mamy do czynna z rozwarcm ęknęca słam rozcągającym równolgłym do os ; w rzyadku II dochodz do wzdłużngo ścnana ęknęca słam równolgłym do os, zaś w rzyadku III wystęuj ścnan orzczn słam równolgłym do os 3. 5.. Wsółczynnk ntnsywnośc narężń Wsółczynnk ntnsywnośc narężń WIN jst marą ntnsywnośc ola narężń wokół wrzchołka ęknęca, znajdującgo sę w jdnorodnym matral, zachowującym sę zgodn z założnam lnowo-srężystj mchank ękana. Jst on funkcją obcążna zwnętrzngo, długośc ęknęca oraz aramtrów gomtrycznych róbk [67]. Wsółczynnk ntnsywnośc narężń można rzdstawć jako: K = σ πl = Eγ 5.7 WIN jst marą stotnośc dfktu, jakm jst ęknęc jgo wylczn jst zwykl rwszym krokm w oszukwanu narężń douszczalnych bądź douszczalnj długośc ęknęca. WIN jst często normalzowany orzz odzln jgo wartośc rzz wartość K 0 : K = 0 σ * πa 5.8 gdz: K 0 - WIN dla ęknęca o długośc a w nskończonj łyc rzy stałym obcążnu wywołującym narężna σ. W rzyadku, gdy l=l kr, otrzymujmy krytyczny wsółczynnk ntnsywnośc narężń K c, zwany odornoścą na ękan: K c = σ πl = Eγ 5.9 kr Wsółczynnk ntnsywnośc narężń dla I, II III sosobu obcążna ęknęca mogą być otrzyman wloma mtodam najczęścj rozwązać nalży okrślon zadan brzgow. Wsółczynnk t można rzdstawć w nastęującj ostac: K K K I II III = πr = πr kr / = πr / / lmσ r 0 lmτ r 0 lmτ r 0 kr 3 5.0 gdz: K I, K II, K III WIN dla I, II III sosobów obcążna ęknęca; r odlgłość mędzy wrzchołkm ęknęca a unktm ola narężń wytworzonych wokół ngo, w którym to unkc okrślana jst wartość WIN; składow tnsora narężń. Rozwązana WIN dla różnych gomtr można znalźć w [60] oraz w katalogach, jak n. [74, 8].
Rozrawa doktorska WIN mogą być użytczn w trzch obszarach zwązanych z mchanką ękana: okrśln wytrzymałośc statycznj układu z ęknęcam wytrzymałość ozostająca; okrśln szybkośc wzrostu ęknęca w układach oddanych zmnnmu obcążnu wytrzymałość zmęcznowa; okrśln szybkośc wzrostu ęknęca dla układów ozostających w środowsku korozyjnym ęknęca owstał na skutk korozj narężnowj. W dalszym cągu rozrawy rozważan będą zagadnna dwuwymarow zwązan z mchanką ękana w ośrodku lnowo-srężystym. 5..3 Zmęcznowy wzrost ęknęca Zmęcznowy wzrost ęknęca wydaj sę być najczęścj sotykaną formą ękana. Bardzo stotna jst umjętność wylczna lczby cykl, o którj nastą znszczn lmntu. Pars [65] ostulował rzdstawn wzrostu ęknęca sowodowango obcążnm zmnnym wzrost zmęcznowy za omocą WIN. Prędkość wzrostu ęknęca na cykl dl/dn zalży od zakrsu zmnnośc WIN K=K ma -K mn : dl dn = c f K 5. gdz: c stała wyznaczana ksrymntaln. Najrostsza forma owyższgo równana jst rzdstawana w ostac z stałym wykładnkm m: dl dn m = c K 5. Zwykl aramtr m zmna sę, w zalżnośc od matrału, w zakrs od do 7. Zalżność owyższa jst znana od nazwą rawo Parsa. Późnjsz rac [34, 45, 55, 87] sugrują jdnakż, ż rędkość wzrostu ęknęca na cykl zalży od wlu czynnków, co można w bardzj ogólny sosób rzdstawć za omocą nastęującj zalżnośc: dl dn = f K, M, R, 5.3 c χ gdz: M stał matrałow, R c =σ mn /σ ma wsółczynnk asymtr cyklu, χ - funkcja bądź funkcjonał rrzntujący hstorę obcążna. Szrg ostac funkcj f rzdstawonych jst w racach [46] [83], choć dla obcążń losowych zmnnych w czas n jst ona w dalszym cągu jdnoznaczn okrślona.
Rozrawa doktorska W raktyc zakłada sę jj rostszą formę: dl dn = f K, M, R 5.4 c Całkując owyższ równan oblczamy od warunkm, ż otrafmy wylczyć krytyczną długość ęknęca l kr lczbę cykl do całkowtgo ęknęca lmntu: N = l kr l0 f dl K, M, R c 5.5 5..4 Całka J Istotną rolę w mchanc ękana odgrywa ojęc krzywolnowj całk nzalżnj od drog całkowana, któr zostało wrowadzon do mchank ękana rzz Rc a w 968 roku [73]. Całka taka zwana całką Rc a bądź całką J jst nzalżna od konturu całkowana C w stan łaskm dla lnowych nlnowych cał srężystych, jśl kontur tn zakrślono wokół wrzchołka ęknęca zaczynając na dolnj owrzchn kończąc na górnj rys. 5.3. P 0 n d d dc a C P 0 Rys. 5.3 Schmat obrazujący kontur całkowana dla całk J. Całka J jst okrślona za omocą zalżnośc: = U J C u ε n dc 5.6 gdz: U ε - gęstość nrg odkształcna, wktor narężna dzałający na kontur C, u wktor rzmszczna okrślony w tym samym mjscu, co wktor =σ j n j, n jdnostkowy wktor normalny do konturu C,,j=,,3.
Rozrawa doktorska 3 5..5 Zalżnośc mędzy całką J a wsółczynnkam ntnsywnośc narężń Zakładając brak sł objętoścowych, zalżnośc omędzy całką J a wsółczynnkam ntnsywnośc narężń można rzdstawć nastęująco: J = K I + K II 5.7 E' gdz: E =E dla łaskgo stanu narężna, E =E-ν dla łaskgo stanu odkształcna, ν - wsółczynnk Possona. W clu rozdzlna wsółczynnków ntnsywnośc narężń w owyższym równanu można rzdstawć całkę J jako sumę dwu całk: K I K II J = J I + J II = + 5.8 E' E' Rozdzln tak jst możlw od warunkm, ż kontur całkowana jst symtryczny względm os ęknęca. Wymaga to równż rozdzlna ól rzmszczń oraz narężń na składow: symtryczną antysymtryczną. Zalżność 5.8 ozwala w nskomlkowany sosób wyznaczyć wartośc wsółczynnków ntnsywnośc narężń. 5. Mtoda lmntów brzgowych W rzyadku wększośc rzczywstych lmntów maszyn rozwązan równań będących wynkm modlowana matmatyczngo tym samym oblczn takch wlkośc jak narężna, odkształcna czy rzmszczna w sosób analtyczny jst, z względu na stoń skomlkowana, nmożlw lub raw nmożlw. Istnj szrg tchnk mtody komutrow mchank, któr ozwalają na uzyskan wynków rzyblżonych. Najbardzj znan to: mtoda różnc skończonych MRS; mtoda lmntów skończonych MES; mtoda lmntów brzgowych MEB. Os matmatyczny owyższych mtod można znalźć n. w [53] [59] Mtody t mogą być traktowan zarówno ndywdualn jak jako szczgólny rzyadk mtody odchyłk ważonych dla różnych tzw. funkcj wag [53]. Traktowan MEB jako szczgólngo rzyadku mtody odchyłk ważonych wydaj sę być bardzj naturaln. Istota mtod numrycznych srowadza sę do rozwązana zadana brzgowgo. Zadan brzgow jst to roblm osany równanm lub układm równań różnczkowych, zwykl o ochodnych cząstkowych, oraz warunkam jdnoznacznośc warunk gomtryczn, fzyczn, brzgow oczątkow. Powyższ mtody ozwalają uwzględnć w zasadz dowoln skomlkowaną gomtrę. MRS jst z nch najstarsza choć około trzydzstu lat tmu była najowszch-
Rozrawa doktorska 4 nj stosowana, obcn jst w zasadz wyarta rzz mtody MES MEB, z względu na trudnośc z doasowanm rgularnj satk do nrgularngo brzgu. Najbardzj rozowszchnona, równż w rogramach o charaktrz komrcyjnym, jst MES. Wynka to główn z bardzo dobrgo oracowana tortyczngo unwrsalnośc mtody. W nnjszj rozraw jdnakż, z względu na scyfkę układów z ęknęcam, zastosowano, jako bardzj fktywną, mtodę lmntów brzgowych. Do najważnjszych zalt MEB w orównanu z MES nalży zalczyć: zmnjszn w wlu zagadnnach o jdn rząd wymaru zagadnna rzz co dyskrtyzacj odlga jdyn brzg układu. Jst to szczgóln stotn w rzyadku koncznośc zmany dyskrtyzacj otymalzacja kształtu, modlowan wzrostu ęknęca t.; zawnn cągłgo modlu obszaru wwnętrzngo; automatyczn słnn warunków brzgowych dla obszarów nskończonych ółnskończonych; dokładnjsz wynk rzy tym samym stonu dyskrtyzacj, szczgóln w rzyadku wystęowana w cl ól o dużych gradntach. W rzyadku zagadnń łaskch, jak rozatrywan są w nnjszj rozraw, zagadnn staj sę zagadnnm jdnowymarowym, co zasadnczo zmnjsza lość danych dla oblczń numrycznych. Z względu na fakt, ż ęknęc jst równż brzgm, n wystęuj tu konczność dyskrtyzacj wnętrza obszaru. 5.. Mtoda lmntów brzgowych w zagadnnach tor srężystośc Rozatrujmy cało srężyst [, 5] zajmując obszar Ω w dwu- lub trójwymarowj rzstrzn ukldsowj osadając brzg Γ=Γ u +Γ Γ u część brzgu, na którj okrślon są rzmszczna u 0, Γ część brzgu, na którj okrślon są obcążna 0. Brzg jst owrzchną Launowa z normalną n. rys. 5.4. n u 0 u 0 Rys. 5.4 Obcążon statyczn cało srężyst
Rozrawa doktorska 5 Na cało dzała ol sł objętoścowych b=b, Γ, oraz zadan są warunk brzgow: 0 =, Γ u 0 =u, Γ u, co owoduj owstan ól rzmszczń u=u, odkształcń ε=ε j oraz narężń σ=σ j. Zalżnośc, któr ownny być słnon rzz owyższy układ to: równana równowag : zwązk konstytutywn: σ + b 0, Ω 5.9 j, j = σ = 5.0 j cjklε kl gdz: C=c jkl jst tnsorm okrślającym cchy srężyst matrału. Dla jdnorodngo ośrodka zotroowgo: cjkl = λδ + µ δ δ + δ δ 5. jkl k jl l jk gdz: λ, µ stał Lamgo, δ j dlta Kronckra zwązk omędzy odkształcnam rzmszcznam: warunk brzgow tzw. mszan: ε j = u, j + u j, 5. u = u = 0 0 dla Γ = σ n j j u dla Γ 5.3 Przy czym Γ u Γ =Γ oraz Γ u Γ =, Σ jst krzywą rozdzlającą Γ u Γ. Uwzględnając owyższ zwązk otrzymujmy równan rzmszcznow statycznj tor srężystośc w ostac: L s u = b 5.4 Dla ośrodka zotroowgo można orator L s rzdstawć w form: L = µ. λ + µ grad dv. 5.5 s Korzystając z zasady wzajmnośc rac Bttgo w ostac: v b' u d = v u nu Ω b Ω v dγ 5.6 Γ n gdz: u, v ola rzmszczń, b, b ola sł objętoścowych, n orator, rzyorządkowujący rzmszczn u sl brzgowj w nastęujący sosób: σ = n 5.7 nu = jn j cjkluk, l j W racy zastosowano konwncję sumacyjną: owtarzając sę ndksy oznaczają sumowan względm tych ndksów, rzcnk rzd ndksm oznacza ochodną cząstkową.
Rozrawa doktorska 6 otrzymujmy wzór Somglany: + + = Ω Γ Γ Ω Ω Γ Γ y y b y U y y u y P y y y U u ;, *, *, * d d d 5.8 gdz: U*,y oraz P*,y - tzw. rozwązana odstawow bądź fundamntaln tor srężystośc, unkt kolokacj, y unkt brzgowy. Dla cała zotroowgo w rzyadku zagadnń rzstrznnych są on dan zalżnoścam: + = + =,, ],, 3 [ 8, ],, 4 [3 6, * * j j j j j j n r n r r r r r P r r r U j j ν δ ν ν π δ ν µ ν π n y y 5.9 gdz: r,y=r r j /, r = y-, r r r r = = y. W rzyadku zadań łaskch rozwązana odstawow tor srężystośc rzyjmują dla łaskgo stanu odkształcna formę: + = + =,, ],, [ 4, ],, ln 4 [3 8, * * j j j j j j n r n r r r r r P r r r U j j ν δ ν ν π δ ν µ ν π n y y 5.30 Jak wynka z wzoru Somglany, znając rozkład rzmszczń sł brzgowych na brzgu Γ oraz sł objętoścowych wwnątrz obszaru Ω można wyznaczyć rzmszczn w dowolnym unkc obszaru Ω.. Narężna w unkc są dan zalżnoścą: + + = Ω Γ Γ Ω Ω Γ Γ σ y y y y y y y y y ;,, *, * * * d b D d u S d D k jk k jk k jk j 5.3 gdz: m lk jlm jk m lk jlm jk P c S U c D = =,, ;,, * * * * y y y y W tyowym zadanu brzgowym znamy rozkład rzmszczń na częśc brzgu sł brzgowych na ozostałj częśc brzgu. Wzór Somglany n umożlwa wylczna rzmszczń na brzgu aby było to możlw, nalży zdążać z unktm do brz-
Rozrawa doktorska 7 * gu. Punkt umjscawamy wówczas tak, ż jst on otoczony owrzchną Γε o romnu ε rys. 5.5. Γ ε ε Γ Γ ε Γ ε ε Γ ε Γ Γ ε Γ ε a b Rys. 5.5 Punkt źródłowy na brzgu cała a zadan rzstrznn, b zadan łask Brzg Γ można rzdstawć w ostac: Γ = + 5.3 * Γ Γ ε Γε W fkc uzyskujmy układ brzgowych równań całkowych, który w zas wktorowym rzyjmuj ostać: c u = Γ P *, y u y dγ y + Γ Ω U *, y y dγ y + U *, y b y dω y 5.33 gdz: P *, y u y dγ y = lm P *, y u y dγ y jst całką osoblwą w sn- Γ ε 0 Γ * Γ ε s wartośc głównj Cauchy go atrz rozdz. 5.3.; Błąd! Nrawdłow łącz. oraz U *, y b y dω y stnją jako całk nwłaścw; Ω c = I + lm P, y d Γ y - stała zalżna od ołożna unktu kolokacj, ε 0 * Γ ε I macrz jdnostkowa. * Analtyczn rozwązan brzgowgo całkowgo równana 5.33 jst zwykl nmożlw, w zwązku z czym jst ono rozwązywan numryczn. Brzg Γ jst wówczas dzlony dyskrtyzowany na E n lmntów, zwanych lmntam brzgowym. Sosób dyskrtyzacj dla rzyadku, gdy funkcj uy y na każdym lmnc są stał, rzdstawa rys. 5.6.
Rozrawa doktorska 8 węzł l. brzgowy węzł l. brzgowy 3 a b Rys. 5.6 Dyskrtyzacja brzgu cała: a zadan dwuwymarow, b zadan trójwymarow. Dla zadań dwuwymarowych lmnty brzgow są odcnkam rostolnowym bądź krzywolnowym, zaś dla zadań trójwymarowych są łaskm bądź zakrzywonym trójkątnym lub czworokątnym łatam owrzchnowym. W rzyadku braku sł objętoścowych brzgow równan całkow rzyjm formę: E n = Γ n c u = P *, y y dγ y U *, y u y dγ y n E = Γ n 5.34 Zarówno wsółrzędn lmntów jak ola rzmszczń oraz sł brzgowych są aroksymowan na każdym lmnc za omocą tzw. funkcj kształtu wartośc węzłowych: ξ = M w u ξ = N ξ w w w ξ u w ξ = N ξ w 5.35 w w w w w w gdz: M, N, N - macrz funkcj kształtu,, u, - wartośc, u oraz w węźl w. Funkcj kształtu są wlomanam ϑ-tgo rzędu osadającym tę własność, ż mają wartość równą w węźl w oraz równą 0 w ozostałych węzłach lmntu. Dla zagadnń łaskch najczęścj stosowanym są lmnty lnow, kwadratow oraz szścnn rys. 5.7. w w - - - a b c Rys. 5.7 Elmnty a lnow, b kwadratow, c szścnn w w w 3 0 w w 4 w 3 / w 3 - / 3
Rozrawa doktorska 9 Funkcj kształtu dla lmntów dwuwymarowych są rzdstawon w tab. 5.. Tab. 5. Funkcj kształtu dla lmntów dwuwymarowych. l = / -ξ, l = / +ξ lmnt węzł lnowy ϑ= kwadratowy ϑ=3 szścnny ϑ=4 l l l - 0.5 l 3l -3l - l 4 l l 9/ l l 3l - 3 l l - 9/ l l 3l - 4 0.5 l 3l -3l - Ostatczn węc brzgow równan całkow rzyjm ostać dogodną do oblczń numrycznych: c u = E E n = w= W W n = w= u w w Γ Γ P *[, y ξ ] N U *[, y ξ ] N w w ξ J ' ξ dξ + ξ J ' ξ dξ gdz: J' jakoban rzjśca z układu globalngo k do lokalngo ξ, W lczba węzłów brzgowych w lmnc Γ. Przy czym: 5.36 J ' ξ 5.37 = ξ + ξ W rzyadku zagadnń rzstrznnych owrzchnowy lmnt brzgowy Γ jst okrślony rzz W węzłów brzgowych, których wsółrzędn to: ξ..w 5.38 w w k = M ξ, ξ k ; k =...3; w = w gdz: M ξ, ξ - funkcj kształtu osan wlomanam rzędu ϑ. Wartośc funkcj kształtu dla różnych lmntów rzstrznnych znalźć można n. w [,, 4, 5]. Pola rzmszczń sł brzgowych są, odobn jak dla lmntów dwuwymarowych, okrślon zalżnoścam: u ξ = N w w ξ u w ξ = N ξ w 5.39
Rozrawa doktorska 0 Brzgow równan całkow rzyjmuj w tym rzyadku formę: = = = = + = n n E W w w w E W w w w d d J N d d J N u, ', ],, *[, ', ],, *[ Γ Γ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ y U y P u c 5.40 Równan owyższ o rzkształcnach można rzdstawć w ostac układu algbracznych równań lnowych. 5.. Mtoda lmntów brzgowych w układach srężystych z ęknęcam Rozatrujmy jdnorodn, zotroow lnowo-srężyst cało obcążon statyczn słam brzgowym [, 3], któr zawra ęknęc S wwnętrzn bądź krawędzow jak na rys. 5.8. Zakładamy, ż ęknęc jst woln od sł brzgowych. u 0 0 n u S Rys. 5.8 Cało z ęknęcm układ odstawowy Dla cała, któr n jst oddan dzałanu sł objętoścowych rzmszczn unktu moż być rzdstawon brzgowym równanm całkowym w ostac:, *, * y y y U y y u y P u c Γ Γ Γ Γ d d = + 5.4 Jśl unkt nalży do gładkj owrzchn ęknęca, jak jst to okazan na rys. 5.9, wówczas owyższ równan rzyjmuj ostać:, *, * y y u y P y y y U u u Γ Γ Γ Γ d d = + 5.4 gdz: unkt mający tak sam wsółrzędn, jak unkt, jdnakż lżący na rzcwlgłj owrzchn ęknęca.
Rozrawa doktorska Γ y r Rys. 5.9 Położn unktów kolokacj y całkowana, dla cała z ęknęcm Brzgow równana całkow dla unktów są dntyczn, co o dyskrtyzacj lmntam brzgowym rowadz do osoblwgo układu równań algbracznych. Dlatgo bzośrdn zastosowan MEB do układów z ęknęcam n jst możlw. Istnj jdnakż szrg tchnk, ozwalających omnąć owyższą trudność [, 69], z których częścj stosowan to: mtoda odobszarów ang. Subrgon Tchnqu; mtoda funkcj Grna ang. Grn s Functon Mthod; dualna mtoda lmntów brzgowych ang. Dual Boundary Elmnt Mthod. Mtoda odobszarów W mtodz tj [3] cało dzl sę na odobszary wzdłuż rzdłużna owrzchn ęknęca rys. 5.0. Γ Γ Rys. 5.0 Podzał cała w mtodz odobszarów. Z takm olskm nazwnctwm można sotkać sę w ltraturz n. [3] ostanowono rzy nm ozostać, choć nalży wyraźn zaznaczyć, ż n chodz tu o dualność rozumaną w sns mchank czy matmatyk, lcz o stosowan różnych równań całkowych na dwu owrzchnach ęknęca atrz rozdz. 5.3.
Rozrawa doktorska W wynku odzału otrzymujmy dwa bądź w zalżnośc od lczby ęknęć wl cał, któr są w fkc ozbawon ęknęć. Podobszary łączy sę korzystając z warunków cągłośc rzmszczń równowag sł wzdłuż ln odzału. Wrowadzn sztuczngo brzgu owoduj jdnakż zwększn lczby lmntów brzgowych tym samym rozbudowan układu równań algbracznych. Ponadto jst to szczgóln nkorzystn w rzyadku modlowana wzrostu ęknęca, gdyż wymaga onownj dyskrtyzacj rzy każdorazowj zman jgo długośc. Mtoda funkcj Grna Mtoda funkcj Grna [79] jst bardzo lgancka z względu na fakt, ż ęknęc n jst w ogól dyskrtyzowan. W tym rzyadku brzgow równan całkow rzyjmuj ostać: c u = U *, y; b y dγ y P *, y; b u y dγ y 5.43 Γ gdz: U*,y;b, P*,y;b - funkcj Grna zawrając dokładn rozwązan dla wolngo od sł owrzchnowj ęknęca rozcągającgo sę od b do b rys. 5.. Γ -b b +b Rys. 5. Pęknęc w mtodz funkcj Grna. Mtoda ta jst jdnakż ogranczona do rostolnowych łukowych ęknęć w zagadnnach łaskch. Rozwnęcm mtody funkcj Grna do ęknęć o dowolnym kształc dla statyk dynamk układów D 3D jst tzw. numryczna mtoda funkcj Grna ang. Numrcal Grn s Functon Mthod [84], która rowadz do stosunkowo nwlkgo układu równań algbracznych. Mtoda ta jst ołącznm d funkcj Grna dualnj mtody lmntów brzgowych. Dualna mtoda lmntów brzgowych z względu na jj unwrsalność została zastosowana w nnjszj rozraw jst szrzj omówona w nastęnym unkc.
Rozrawa doktorska 3 5.3 Dualna mtoda lmntów brzgowych w analz układów mchancznych z ęknęcam 5.3. Konccja odstawy tortyczn mtody Dualna mtoda lmntów brzgowych została zaroonowana rzz Portllę, Alabadgo Rook a [7] dla analzy dowolnych układów srężystych z ęknęcam. W dualnj MEB stosujmy dwa rodzaj równań na dwóch owrzchnach ęknęca [0,, 4, 70]: - brzgow równan rzmszcznow: c u + P *, y u y dγ y = U *, y y dγ y 5.44 Γ - równan sł brzgowych. Równan sł brzgowych uzyskujmy z równana 5.3 zmrzając z unktm do brzgu Γ. W tym clu unkt umjscawamy tak, ż jst on otoczony owrzchną Γε o romnu ε rys. 5.5. * Wówczas otrzymujmy: σ = lm j lm ε 0 ε 0 * Γ Γε + Γ ε * jk * Γ Γε + Γ ε S D * jk *, y u Γ, y k k y dγ y y dγ y + 5.45 gdz: D*,y oraz S*,y rozwązana odstawow lastostatyk uzyskan w wynku różnczkowana U*,y oraz P*,y, oraz są odowdno całkam osoblwym w sns wartośc głównj Cauchy go Hadamarda atrz rozdz. 5.3.. Stosując rocdury rgularyzacyjn w clu oblczna całk osoblwych [57, 7] otrzymujmy dla gładkgo brzgu: σ = D *, y y dγ y S *, y u y dγ y 5.46 Γ Mnożąc owyższ równan rzz wktor normalny uzyskujmy ostatczn równan sł brzgowych w ostac: = n D *, y y d Γ y S *, y u y dγ y 5.47 Γ Γ Zakładając, ż ęknęc jst woln od sł brzgowych, brzgow równana: rzmszcznow sł brzgowych rzyjmują rostszą ostać: Γ
Rozrawa doktorska 4 u + *, ; = 0 P y u y dγ y Γ S 5.48 n Γ S S *, y u y dγ y = 0 5.49 gdz: Γ S brzg ęknęca. Przjśc z unktm z wnętrza obszaru do brzgu zwnętrzngo owoduj, ż wystęując w równanach rzmszcznowym sł brzgowych całk stają sę całkam nwłaścwym osoblwym o różnych rzędach osoblwośc. I tak w zagadnnach łaskch w równanu rzmszcznowym są to odowdno: nwłaścw osoblw całk o osoblwoścach rzędów Olnr oraz O/r; w równanu sł brzgowych: osoblwa rzędu O/r sln osoblwa rzędu O/r. Wystęowan całk nwłaścwych osoblwych dtrmnuj sosób ch numryczngo oblczana. W oczątkowj faz stosuj sę rocdurę mającą na clu rzkształcn ch w rostsz całk, będąc co najwyżj całkam nwłaścwym mogą być on oblczon numryczn stosując n. mtodą kwadratury Gaussa oraz całk osoblw rzędu takgo, jak rwotn, lcz mnj skomlkowan w oblcznach [6]. Oblczna osoblwych mocno osoblwych całk rzrowadza sę nastęn stosując mtodę bzośrdną lub ośrdną. W mtodz bzośrdnj są on lczon jako całk w sns wartośc głównj [39]. W mtodz ośrdnj są on rzkształcan najczęścj analtyczn w co najwyżj nwłaścw całk [49, 5]. 5.3. Całk osoblw w sns wartośc głównj Osoblw mocno osoblw całk [3] n stnją w sns Rmanna z względu na nogranczon funkcj odcałkow. Całka osoblwa w sns wartośc głównj Cauchy go Rozatrywana jst całka nwłaścwa okrślona w rzdzal a t b, którj funkcja odcałkowa, nogranczona w wwnętrznym unkc a < < b, osada część osoblwą w ostac. Zakłada sę, ż właścwa część funkcj odcałkowj, funkcja t ft, słna warunk cągłośc Lschtza lub Höldra ft C 0,α, co oznacza, ż stnją stał: B < oraz 0 < α < słnając nrówność: ft- f B t- α 5.50 Całka w sns wartośc głównj Cauchy go z funkcj ft C 0,α jst dla wwnętrzngo unktu osoblwgo zdfnowana jako: b f t ε f t b f t dt = lm + a dt a dt t ε 0 t + ε t 5.5 gdz: ε symtryczn otoczn unktu osoblwgo.
Rozrawa doktorska 5 Całka owyższa jst zdfnowana jdyn dla wwnętrzngo unktu osoblwgo. Moż być ona równż oblczona jdnoczśn z obydwu stron osoblwośc jako: + = = + ε ε ε ε ε ε ln lm ln lm 0 0 f dt t t f dt t t f f dt t t f dt t t f b b a a 5.5 Całka osoblwa w sns wartośc głównj Hadamarda Rozatrywana jst całka nwłaścwa okrślona w rzdzal a t b, którj funkcja odcałkowa, nogranczona w wwnętrznym unkc a < < b, osada część osoblwą w ostac t. Zakłada sę, ż właścwa część funkcj odcałkowj, funkcja ft, osada cągłą w sns Höldra rwszą ochodną ft C,α, co oznacza, ż stnją stał: B < oraz 0 < α < słnając nrówność: ft- f- f t- B t- α + 5.53 Całka w sns wartośc głównj Hadamarda z funkcj ft C,α jst dla wwnętrzngo unktu osoblwgo zdfnowana jako: + = + b a b a f dt t t f dt t t f dt t t f 0 lm ε ε ε ε 5.54 Równż owyższą całkę można oblczyć jdnoczśn z obydwu stron osoblwośc jako: + = = + ln ' lm ln ' lm 0 0 ε ε ε ε ε ε ε ε f f dt t t f dt t t f f f dt t t f dt t t f b b a a 5.55 Sosób ostęowana rzy numrycznym rozwązywanu owyższych całk osoblwych jst rzdstawony w [7]. 5.3.3 Modlowan dyskrtyzacja cała w dualnj MEB Modlowan układów z ęknęcam z użycm dualnj MEB rzrowadza sę nastęująco rys. 5.: dla każdgo ęknęca rzmszcznow brzgow równan całkow P stosuj sę na jdnym brzgu ęknęca; na rzcwlgłych brzgach ęknęca stosuj sę brzgow równan całkow sł brzgowych T;
Rozrawa doktorska 6 na całym ozostałym brzgu stosuj sę rzmszcznow brzgow równan całkow P. P P P T P T P T P P równan rzmszcznow T równan sł brzgowych P P Rys. 5. Sosób modlowana cała w dualnj MEB. Nalży zwrócć uwagę na fakt, ż w unktach, w których nastęuj rzjśc omędzy tym dwoma rodzajam równań mamy do czynna z unktam osoblwym, w których całk n są okrślon w sns wartośc głównj. Wymusza to sosób dyskrtyzacj lmntam brzgowym. W rozraw zastosowano dyskrtyzację kwadratowym lmntam brzgowym cągłym, ółncągłym ncągłym. Elmnty ncągł mają obydwa skrajn węzły rzsunęt do końca lmntu, w rzyadku lmntów ółncągłych jdn z skrajnych węzłów jst rzsunęty do wwnątrz, zaś lmnty cągł osadają skrajn węzły okrywając sę z końcam lmntów. Brzg ęknęca modluj sę lmntam ncągłym. Poblż brzgu zwnętrzngo dla ęknęca krawędzowgo modluj sę lmntam ółncągłym. Pozostały brzg jst modlowany lmntam cągłym. rys. 5.3. cągł lmnty brzgow ółncągł lmnty brzgow ncągł lmnty brzgow Rys. 5.3 Dyskrtyzacja cała w dualnj MEB.
Rozrawa doktorska 7 Funkcj kształtu dla tych trzch rodzajów lmntu są zstawon w tab. 5.. Tab. 5. Funkcj kształtu dla lmntów kwadratowych. lmnt cągły ółncągły ncągły Wsółrzędn Funkcj kształtu ξ - - / 3 - / 3 ξ 0 0 0 0 ξ 3 - / 3 ½ξξ 9 / 0 ξξ 3 / 5 ξξ+ / 3 ξ+ξ 3 / / 3 +ξ ξ 3 / / 3 ξ+ξ 3 ½ξξ+ 3 / 5 ξξ+ / 3 9 / 0 ξξ / 3 9 / 8 ξξ / 3 9 / 4 / 3 +ξ / 3 ξ 9 / 8 ξξ+ / 3 Ponadto, clm orawna aroksymacj, stosuj sę w oblżu wrzchołka ęknęca lmnty ćwartkow o węźl środkowym rzsunętym w krunku wrzchołka ęknęca o 5% długośc lmntu. Całka w sns wartośc głównj Cauchy go wymaga cągłośc rzmszczń w unkc kolokacj słnon dla lmntów cągłych, ółncągłych ncągłych, całka osoblwa w sns wartośc głównj Hadamarda wymaga cągłośc rzmszczń ch ochodnych w unkc kolokacj słnon dla węzłów lmntów ółncągłych ncągłych lżących wwnątrz lmntu. Algorytm numryczny rogramu komutrowgo mtody rzdstawony jst w unkc Dodatku. 5.3.4 Przykłady analz numrycznych Przykład 5. Analzowany jst węzł konstrukcyjny tarcza rzdstawony na rys. 5.4 o skrajnych wymarach 0.0.m, znajdujący sę w łaskm stan narężna. Wwnątrz tarczy znajduj sę ęć ęknęć rostolnowych S- S5. Tarcza jst obcążona słam brzgowym =0MN/m. Moduł srężystośc odłużnj matrału tarczy E= 0 5 MPa, moduł Possona ν=0.5. Koljn rysunk rys. 5.5 rys. 5.6 rzdstawają odowdno: satkę lmntów brzgowych układ o odkształcnu oraz narężna główn na brzgu nodkształconym narężna główn na brzgu odkształconym. Wynk analzy dualną mtodą lmntów brzgowych zbrano w tab. 5.3.
Rozrawa doktorska 8 0.4 S4 8 7 4 S 0 6 S3 5 S 3 S5 9 0. Rys. 5.4 Tarcza z ęcoma ęknęcam gomtra układu Tab. 5.3 Wynk analzy tarczy z ęcoma ęknęcam Pęknęc Wrzchołk K I K II Całka J S 3.795869 0.58507 7.686 3.90363 0.574757 8.08398 S 3 5.068453 0.466537 3.49360 4 4.3890 0.48483 9.855436 S3 5.30579 0.3350950.87477 6 3.88980 0.5709797 5.803856 S4 7 4.7360 0.79455.69850 8 4.09044.59470 9.40557 S5 9.09694 0.780657.463030 0.096 0.7675976.849787
Rozrawa doktorska 9 a b Rys. 5.5 Tarcza z ęcoma ęknęcam: a satka lmntów brzgowych; b układ o dformacj a b Rys. 5.6 Tarcza z ęcoma ęknęcam: a narężna główn w układz nodkształconym; b narężna główn w układz odkształconym
Rozrawa doktorska 30 Przykład 5. Analzowany jst lmnt konstrukcyjny w ostac tarczy rys. 5.7 o skrajnych wymarach 0.0.m, znajdujący sę w łaskm stan narężna. Wwnątrz tarczy znajdują sę dwa ęknęca łaman S S. Tarcza jst obcążona słam brzgowym o natężnu, rzy czym =0MN/m. Moduł srężystośc odłużnj matrału łyty E= 0 5 MPa, moduł Possona ν=0.5. Zstawn wynków analzy układu rzdstawa tab. 5.4. S 0. 4 S 3 0. Rys. 5.7 Tarcza z dwoma ęknęcam gomtra układu Tab. 5.4 Wynk analzy tarczy z dwoma ęknęcam: Pęknęc Wrzchołk K I K II Całka J S 5.45554.58654 5.646 4.374636 3.09493 5.00333 S 3 6.06365 0.43747 9.4959 4 4.459459 0.93430 0.3778 Rysunk 5.8 5.9 rzdstawają odowdno: satkę lmntów brzgowych układ o odkształcnu oraz narężna główn na brzgu nodkształconym narężna główn na brzgu odkształconym.
Rozrawa doktorska 3 a b Rys. 5.8 Tarcza z dwoma ęknęcam: a satka lmntów brzgowych; b układ o dformacj a b Rys. 5.9 Tarcza z dwoma ęknęcam: a narężna główn w układz nodkształconym; b narężna główn w układz odkształconym
Rozrawa doktorska 3 5.3.5 Analza roagacj ęknęć Dualna mtoda lmntów brzgowych moż być zastosowana do analzy wzrostu ęknęca [68, 70, 7]. Zastosowan dualnj MEB wyklucza konczność onowngo odzału na lmnty brzgow, uwzględnan są jdyn now lmnty modlując rosnąc ęknęc. Założono wstęn, ż krzywa wzrostu ęknęca jst lną łamaną, a wzrost ęknęca nastęuj nwlkm krokam. Krytrów krunku wzrostu ęknęca jst co najmnj klka [60]. W nnjszj rozraw skorzystano z krytrum bazującgo na maksymalnych narężnach głównych [30]. Krytrum nnjsz ostuluj, ż wzrost ęknęca nastęuj w krunku rostoadłym do krunku najwększgo narężna główngo w wrzchołku ęknęca, co oznacza, ż krunk wzrostu ęknęca θ t jst zdtrmnowany rzz warunk, ż lokaln narężna styczn wynoszą zro: K I sn θ K 3cosθ = 0 5.56 t + II t gdz: θ t wsółrzędna kątowa stycznj do ęknęca o oczątku w wrzchołku ęknęca rys. 5.0. Z względu na założn o dyskrtnj ostac wzrostu konczn jst wrowadzn w n-tym rzyrośc ęknęca kąta korkcj β t : θ t n+ β t = 5.57 gdz: θ tn+ krunk nastęngo rzyrostu ęknęca. Procdura korkcyjna owtarzana jst tracyjn tak długo, jak długo zmnjsza sę kąt korkcj. n+ a θ tn+ P + β P n θ tn n- n aktualny rzyrost ęknęca; a wlkość rzyrostu ęknęca; numr tracj; P ołożn wrzchołka ęknęca. Rys. 5.0 Sosób okrślana krunku wzrostu ęknęca
Rozrawa doktorska 33 Numryczna analza wzrostu ęknęca rzrowadzana jst wdług nastęującgo algorytmu:. oblczn narężń w układz za omocą dualnj MEB,. oblczn WIN z zastosowanm całk J, 3. oblczn krunku wzrostu ęknęca, 4. zwększn długośc ęknęca wzdłuż oblczongo krunku wzrostu. Punkty -4 są owtarzan do osągnęca założonj lczby kroków rzyrostu ęknęca. W rzyadku mszango sosobu obcążna lmntu z ęknęcm wrowadza sę zastęczy wsółczynnk ntnsywnośc narężń, który dla krytrum maksymalnych narężń głównych wzrostu ęknęca wyraża sę jako: Przykład 5.3 K Iq 3 θ t θ t θ = t K I cos 3K II cos sn 5.58 Analzowana jst rostokątna tarcza o wymarach 0.450.4m w łaskm stan narężna, odarta oraz obcążona słam brzgowym o natężnu =0MN/m na dłuższych brzgach rys. 5.. Wwnątrz tarczy znajduj sę kołowy otwór, z którgo wychodz ęknęc krawędzow. Moduł srężystośc odłużnj matrału tarczy wynos E=. 0 5 MPa a wsółczynnk Possona ν=0.. Procs ękana rozoczęty został orzz obcążn cyklczn o wsółczynnku cyklu R = /3. Stał w równanu Parsa 5. rzyjęto: c = 4.640 -, m=3.3. Założono, ż jdnokrotny rzyrost ęknęca nastęuj o długość a równą trzykrotnj długośc lmntu brzgowgo w wrzchołku ęknęca, zaś wzrost składa sę z 0 kroków. 0.4 0.. 0.05 0.0 0.4 0.45 Rys. 5. Tarcza z otworm ęknęcm krawędzowym
Rozrawa doktorska 34 Wartośc WIN dla koljnych rzyrostów ęknęca zstawono w tab. 5.5 Rys. 5. rzdstawa całkowty kształt ęknęca o 0 rzyrostach w układz rzd odkształcnm oraz zrowy, dwunasty dwudzsty rzyrost ęknęca w układz odkształconym. Tab. 5.5 WIN dla koljnych rzyrostów ęknęca Przyrost K I K II K Iq 0 0.9999963 -.6078E-03.000000.067805.40563E-03.067808.944.07475E-03.946 3.6988 3.60739E-04.6989 4.0087 5.64679E-04.0087 5.769 -.39358E-03.763 6.3685.496454E-03.3687 7.38600-4.903008E-03.3866 8.44007-3.0443E-03.4407 9.49950-5.03358E-03.49957 0.5660-6.5375E-03.5698.665-7.77737E-03.6670.69594-9.04008E-03.69566 3.77034 -.0386E-0.77035 4.853798 -.3648E-0.85390 5.949775 -.9589E-0.949885 6.0645 -.74E-0.06435 7.07 -.060940E-0.0797 8.3968-8.45999E-03.3966 9.664980-4.0607E-03.664989 0 3.08846 5.90304E-03 3.088478
Rozrawa doktorska 35 a b c d Rys. 5. Tarcza z otworm ęknęcm krawędzowym: a całkowta ścżka wzrostu ęknęca w układz nzdformowanym; oraz rzyrost ęknęca w układz o dformacj: b rzyrost 0, c rzyrost, d rzyrost 0
Rozrawa doktorska 36 6 ANALIZA WRAŻLIWOŚCI UKŁADÓW Z PĘKNIĘCIAMI Analza wrażlwośc kształtu ma nzwykl stotn znaczn w rzyadku rozwązywana zadań otymalzacj kształtu. Porzz analzę wrażlwośc kształtu rozum sę badan wływu zman kształtu brzgu na funkcję clu ogranczna układu, co umożlwa znalzn jdnoznaczngo rozwązana okrślającgo krunk oszukwań najbardzj korzystnych zman konstrukcyjnych układu [5]. Analza wrażlwośc dostarcza węcj nformacj o zachowanu sę układu nż konwncjonalna analza układu, ozwalając okrślć tndncj zman ól narężń, rzmszczń czy odkształcń wywołan rzz zmanę aramtrów rojktowych konstrukcj [4, 56]. Ponadto stanow unkt wyjścowy zarówno do tradycyjnj otymalzacj jak otymalzacj hybrydowj atrz rozdz.7.4 dostarczając nformacj o gradnc funkcj clu. 6. Analza wrażlwośc całk J rzy transformacj brzgu zwnętrzngo Konccja całk nzalżnych od drog całkowana została wrowadzona rzz Dmsa Mroza [7, 8]. Ida ołączna konccj całk nzalżnych od drog całkowana MEB została zaroonowana rzz Burczyńskgo [6] a nastęn rozwnęta rzz Burczyńskgo Polcha [8, 9] dla roblmów dtrmnstycznych oraz rzz Burczyńskgo [, ] dla roblmów stochastycznych. Jak okazano w rozdzal 5., stnj zalżność omędzy wsółczynnkam ntnsywnośc narężń a całką J. Z drugj strony całka J jst ochodną nrg otncjalnj Π u oraz jst równa wsółczynnkow uwalnana nrg: rzy czym: Π u = J Π = a u = G U ε dω o Ω Γ 6. udγ 6. W układach z ęknęcam stotna z wytrzymałoścowgo unktu wdzna jst z jdnj strony zmnjszn WIN, z drugj strony zaś ndouszczn do wzrostu ęknęca. Jdnym z krytrów wzrostu ęknęca w układach łaskch jst maksmum wsółczynnka uwalnana nrg srężystj G. Tak węc mnmalzacja mnmalzacja K bądź maksymalzacja maksymalzacja G całk J wydaj sę odgrywać stotną rolę w układach z ęknęcam. Całkę J można rzdstawć zalżnoścą [6, ]: u J = U ε n dc 6.3 C gdz: U ε = σ jε j - gęstość nrg odkształcna. u
Rozrawa doktorska 37 W rzyadku układu lnowo-srężystgo można całkę J zasać w nnj form: = C dc J u u 6.4 Ponważ C jst dowolnym konturm, możmy rzyjąć w jgo mjsc brzg zwnętrzny Γ: = Γ Γ d J u u 6.5 Całkę J można rzdstawć jako sumę J=J +J [40], gdz: = = u d d d J u Γ Γ Γ Γ Γ Γ 0 0 0 0 u u u u 6.6 = = u d d d J u Γ Γ Γ Γ Γ Γ 0 0 0 0 u u u u 6.7 Całka J rzdstawa funkcjonał, który zalży od ól rzmszczń brzgowych u oraz sł brzgowych : = Γ ϕ dγ J, u 6.8 gdz: = 0 0, ϕ u u u 6.9 Całka J rrzntuj funkcjonał zalżny od ochodnych rzmszczń brzgowych u, oraz sł brzgowych, : = Γ ϕ dγ J,,, u 6.0 gdz: = 0 0,,, ϕ u u u 6. 6.. Analza wrażlwośc całk J Infntyzymalna waracja kształtu układu z ęknęcm jst osana cągłym różnczkowalnym olm wktorowym δg=δg k w nastęujący sosób[0,, 3]: g δ Ω Ω + = * * : 6.
Rozrawa doktorska 38 Pol transformacj g=g;a rzkształca brzg zwnętrzny Γ, rzy czym a=a r, r=,,...,r jst wktorm rojktowych aramtrów kształtu okrślających aktualny kształt układu. Zmnna jst zdfnowana w obszarz n odlgającym transformacj Ω z brzgm Γ, zaś * w obszarz transformowanym Ω * = Ω a z brzgm Γ * =Γ * a rys. 6.. Układ tn będz dalj nazywany układm odstawowym UP. n * g u u 0 S 0 Rys. 6. Układ odstawowy odlgający transformacj kształtu brzgu zwnętrzngo Waracja ola transformacj δg jst okrślona wyrażnm: r r gdz: v r δ g = v, aδa 6.3 δg v = k = jst to tzw. rędkość ola odkształcna zwązana z aramtδar ram kształtu a r. Dogodn jst traktowan Ω jako mdum cągłgo zastosowan d ochodnych matralnych z mchank układów cągłych. W takm rzyadku odwzorowan 6. moż być ntrrtowan jako zalżny od czasu rocs z δa r jako czasm v r łnącym rolę ola rędkośc jśl δa r =0 oraz v r =0 wówczas otrzymujmy: Ω * =Ω oraz Γ * =Γ. Prwsza waracja J moż być rzdstawona jako: DJ δj = δar Da 6.4 r Wrażlwośc DJ /Da r są lczon jako zułn matraln ochodn wyrażna 6.8: r DJ Dϕ D dγ = dγ + ϕ 6.5 Da r Da r Da r Γ
Rozrawa doktorska 39 gdz: Dϕ ϕ Du ϕ D = + 6.6 Da u Da Da r r r D dγ r = δ kl nknl vk, ldγ 6.7 Dar Zułn matraln ochodn wktora normalngo n wyrażają sę zalżnoścą Dn Da r l k r k, = n n δ n v 6.8 Zułn matraln ochodn ól rzmszczń u, odkształcń ε narężń σ można rzdstawć jako: Dq Dar Z kol dla sł brzgowych: q = a r + q, k v r k dla q = u, ε, σ 6.9 D σ j r r = n j + σ j, k n jvk + σ j n jnl δ jl nk vk, l 6.0 Dar ar Tak węc w clu oblczna wrażlwośc J nzbędn jst wyznaczn ochodnych lokalnych u σ względm każdgo z aramtrów kształtu a r. Pochodn t można uzyskać rzz zastosowan ujęca bzośrdngo lub srzężongo. W ujęcu bzośrdnm wymagan jst rozwązan omocnczgo roblmu brzgowgo dla każdgo z aramtrów kształtu, co rzy ch wększj lczb czyn zadan rozbudowanym czasochłonnym. W nnjszj rozraw zastosowano mtodę układów srzężonych, w którj wrowadza sę układ srzężony US o gomtr zgodnj z układm odstawowym rys. 6., jdnakż nnym warunkam brzgowym, co rowadz do rozwązań srzężonych u a, ε a σ a. u u a0 S a0 Rys. 6. Układ srzężony
Rozrawa doktorska 40 Wrażlwość J moż być rzdstawona w ostac or. [8]: DJ Da r = + + + Γ Γ Γ Σ u a a a a [ σ ε + b u + ϕ + u, ϕ + u Η ] ϕ u ϕ + u a a ϕ + u o Du Dar D Da a v o r νdσ dvuv dvv r r a dγu + dγ + r n v dγ + k k 6. a a gdz: + a ϕ + u = ϕ + u + u a jst ncągłoścą ϕ + u ϕ wzdłuż krzywj Σ rozdzlającj Γ u Γ, H jst śrdną krzywzną brzgu. W zagadnnach łaskch krzywa Σ rdukuj sę do dwóch unktów brzgowych. Na brzgu układu srzężongo dan są warunk brzgow zalżn do ϕ : u ao ao ϕ u, = ϕ u, = u na Γ na Γ u 6. Zwązk konstytutywn dla układu srzężongo odstawowgo są dntyczn. Analtyczn wyrażn dla wrażlwośc J zalży tylko od zmnnych stanu układów odstawowgo srzężongo, jst zaś nzalżn od lczby aramtrów kształtu. Jśl waracj odlga jdyn brzg obcążony, wówczas wrażlwość J wyraża sę nastęująco: DJ Da r = Γ a a a a [ ε + b u + ϕ + u ϕ + u Η ] σ n v dγ 6.3, a Zakładając, ż brzg zwnętrzny Γ składa sę z trzch częśc: odartj Γ u, obcążonj Γ oraz swobodnj Γ o Γ=Γ u Γ Γ o, z których jdyn Γ o odlga transformacj kształtu, wrażlwość J jst równa: DJ Da r = Γ o a [ ε ] r σ n v dγ 6.4 k k k r k 6.. Analza wrażlwośc całk J Z względu na fakt, ż funkcja odcałkowa ϕ zalży od ochodnych rzmszczń sł brzgowych, n jst możlw traktowan J w tak sam sosób jak J. Autor nnjszj rozrawy n sotkał sę z rozwązanm analtycznym funkcjonału brzgo-