ROZDZIAŁ 1 Opracowanie danych pomiarowych 1

ROZDZIAŁ 1 Opracowanie danych pomiarowych 1 Andrzej Zięba Pomiary wielości fizycznych mogą być doonywane tylo ze sończoną doładnością. Powodem tego jest niedosonałość przyrządów pomiarowych i nieprecyzyjność naszych zmysłów biorących udział w obserwacjach. Podawanie samego tylo wyniu pomiaru jest niewystarczające, opracowanie pomiarów winno zawierać taże miarę ich wiarygodności, czyli niepewność pomiaru. Z potrzeby rozwiązania powyższych problemów powstała teoria niepewności pomiaru (zwana wymiennie rachuniem niepewności pomiaru). Stanowi umiejętność profesjonalną potrzebną wszystim wyonującym pomiary. W tym opracowaniu przedstawiono jej najważniejsze rezultaty, ilustrowane przyładami. Teoria niepewności pomiaru nie należy do dziedziny nau ścisłych, jest raczej przybliżonym matematycznym opisem niedosonałości esperymentu. Jej metody i rezultaty nie ograniczają się do fizyi, lecz są taie same lub bardzo podobne dla wszystich nau doświadczalnych. Międzynarodowa społeczność nauowa od dawna dążyła do uzgodnienia terminologii i metod szacowania niepewności. Rezultatem jest doument Guide to Expression of Uncertainty in Measurement przyjęty w r. 1995 przez Międzynarodową Organizację Normalizacyjną ISO w porozumieniu z szeregiem światowych organizacji nauowotechnicznych. W teście niniejszym doument będzie cytowany jao Przewodni. Jest najważniejszym ale nie jedynym doumentem międzynarodowej onwencji dot. oceny niepewności pomiaru, oreślanej jao onwencja GUM 3. Używane nazewnictwo, symbolia i metody obliczania niepewności są zgodne z zaleceniami Przewodnia. Stanowią umiejętność profesjonalną potrzebną wszystim wyonującym pomiary. Zrozumienie treści związanych ze statystyą matematyczną wymaga znajomości niewielu elementarnych pojęć. Potrzebne rezultaty tego działu matematyi przedstawiono srótowo w Dodatach statystycznych A, B i C (osobny pli). 1 Test stanowi zmodyfiowany rozdział 1 sryptu: red. A. Zięba, PRACOWNIA FIZYCZNA Wydziału Fizyi i Technii Jądrowej AGH, Część I, Wydanie trzecie zmienione. Wydawnictwa AGH, Kraów 00. Udostępniony za zgodą Autora. Oficjalne tłumaczenie polsie: Wyrażanie Niepewności Pomiaru. Przewodni. Warszawa, Główny Urząd Miar 1999. 3 Zwięzłą informację nt. historii onwencji GUM i jej obecnego statusu można znaleźć w internecie: http://physics.nist.gov/uncertainty

1.1. Błąd pomiaru i jego rodzaje Do niedawna słowa błąd i niepewność były używane wymiennie. Przewodni wprowadza jasne rozgraniczenie tych pojęć. W znaczeniu ilościowym przez błąd pomiaru rozumiemy różnicę między wartością zmierzoną x i i rzeczywistą x 0, błąd pomiaru = x i x 0. (1.1) Czynimy przy tym milczące założenie, że wartość rzeczywista istnieje. W pratyce wartość rzeczywistą można utożsamiać z wyniiem pomiaru wyonanego przy pomocy innej, znacznie doładniejszej metody. Zasadnicze znaczenie słowa błąd jest jaościowe, jao nazwa dla fatu, że wartość mierzona różni się od wartości rzeczywistej. Rysune 1.1 poazuje na osi liczbowej wzajemną relację między wartością rzeczywistą x 0 i szeregiem wartości x i uzysanych w esperymencie, ilustrując trzy rodzaje błędu pomiaru. Rys. 1.1. Wzajemna relacja wartości rzeczywistej x 0 i zbioru wyniów pomiaru (zaznaczonych resami) na osi liczbowej dla: a) błędu przypadowego, b) błędu systematycznego, c) ombinacji błędu przypadowego i błędu grubego. Na rysunach c) i a) poazano, w różnej sali, rezultaty liczbowe użyte w przyładach 1.1 i 1. Przy błędzie przypadowym obserwujemy rozrzut wyniów pomiaru woół wartości rzeczywistej (rys. 1.1). Wyni olejnego pomiaru jest inny, przy czym występuje w przybliżeniu taa sama szansa uzysania wyniów ta więszych, ja i mniejszych od x 0. Jaie są przyczyny statystycznego rozrzutu wyniów pomiaru w fizyce lasycznej, gdzie więszość zjawis jest opisywana przez prawa deterministyczne? Najczęściej źródłem błędu przypadowego jest niedoładność i przypadowość działania ludzich zmysłów. Wyonując olejny pomiar człowie wyona go nieco inaczej, stąd powstanie statystyczny rozrzut wyniów. Na przyład wynii pomiaru czasu spadania uli z dwumetrowej wysoości przy użyciu stopera cechuje pewien rozrzut pomimo tego, że sam stoper chodzi równo. Źródłem

statystycznego rozrzutu wyniów pomiaru mogą być też szumy generowane w samym uładzie pomiarowym i załócenia zewnętrzne. Z błędem systematycznym mamy do czynienia, gdy przy powtarzaniu pomiaru występuje ta sama różnica między wartościami zmierzonymi a wartością rzeczywistą, natomiast rozrzut wyniów poszczególnych pomiarów jest niewieli lub nie występuje w ogóle. Jeżeli np. za pomocą omomierza zmierzymy wartość opornia wzorcowego (będącego realizacją wartości rzeczywistej), to stwierdzimy występowanie systematycznej różnicy, tej samej przy olejnym powtarzaniu pomiaru. O błędzie grubym mówimy, gdy różnica między wyniiem pomiaru i wartością rzeczywistą jest duża lub drastycznie duża. Błąd gruby pojawia się na sute nieumiejętności użycia danego przyrządu, pomyłe przy odczytywaniu i zapisie wyniów itp. Z przypadiem występowania błędu grubego w serii pomiarów mamy do czynienia, gdy jeden z wyniów odbiega znacznie od pozostałych. Przyład 1.1 ilustruje dwa z najróżniejszych możliwości popełnienia błędu grubego. Przyład 1.1. Wahadło błędy grube przy pomiarze oresu Integralną częścią wyładu rachunu niepewności pomiaru są przyłady. Więszość z nich (przyłady 1.1, 1., 1.3, 1.5, 1.6 i 1.7) dotyczą jednego prostego esperymentu: badania ruchu wahadła prostego. Wahadłem prostym (lub: matematycznym) nazywamy punt materialny o masie m zawieszony na nieważiej i nierozciągliwej nici o długości l (rys. 1.). Pratyczną realizacją tego wyidealizowanego obietu może być np. metalowa ula zawieszona na zwyłej nici rawieciej. Gdy ąt wychylenia θ jest mały, ores wahadła T 0 zależy tylo od jego długości l i przyspieszenia ziemsiego g, T 0 l = π (1.) Rys. 1.. Wahadło proste g Dla zmierzenia oresu wahadła zastosowano seundomierz z odczytem cyfrowym. Mierzono 9 razy czas trwania 50 oresów. Rezultaty spisano z ona przyrządu w postaci liczb: 103,88 104,16 105,6 104,03 103,90 103,97 103,85 104,0 103,85 104,0 103,9 Obliczone na podstawie tych danych przyspieszenie ziemsie oazało się trzy razy za małe. Esperymentator spojrzał na seundomierz i zrozumiał, że źle odczytał: pierwsza cyfra w onie (jedyna) oznacza liczbę minut. Czas 50 oresów wyrażony w seundach wynosi w rzeczywistości: 63,88 64,16 65,6 64,03 63,90 63,97 63,85 64,0 63,9 Ta wyryto i poprawiono pierwszy błąd gruby. Przyjrzenie się wyniom poazuje, że 8 liczb supia się w pobliżu 64 seund, ale trzeci wyni, 65,6 s, jest o ponad seundę więszy. Zaczynamy podejrzewać, że zmierzyliśmy 51 oresów zamiast 50. Upewnia nas w tym przeonaniu fat, że rezultat 65,6 s różni się od pozostałych o wartość zbliżoną do jednego oresu. Wątpliwy rezultat odrzucamy. 3

1.. Co to jest niepewność pomiaru? Ilościowy opis jaiegoolwie zjawisa rozpocząć musimy od zdefiniowania charateryzujących go miar. Błąd pomiaru zdefiniowany wzorem (1.1) nie stanowi miary doładności metody pomiarowej, gdyż podobny pomiar, ale wyonany innym przyrządem, w innym czasie i miejscu, da inną wartość. Zatem x i jest liczbą losową, tórej wartości przewidzieć się nie da, podobnie ja nie można przewidzieć rezultatu rzutu ostą. Ale o rezultatach rzutu ostą można wiedzieć, że zawierają się w szeregu liczb całowitych od 1 do 6. Podobnie, celem rachunu niepewności jest choćby przybliżone oszacowanie rozrzutu wyniów pomiarów i miarą tego rozrzutu jest niepewność pomiaru 4. Przewodni przyjmuje definicję: Niepewność pomiaru jest związanym z rezultatem pomiaru parametrem, charateryzującym rozrzut wyniów, tóry można w uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej. Definicja sugeruje, że możliwe są różne miary niepewności. Dla oreślenia niepewności pomiaru bezpośredniego wyorzystujemy dwie miary: podstawową jest niepewność standardowa u(x), drugą miarą przydatną w oreślonych sytuacjach jest niepewność graniczna x. W przypadu niepewności granicznej 5 x staramy się oreślić przedział x 0 x < x i < x 0 + x, (1.3) w tórym mieszczą się wszystie wynii pomiaru x i, atualnie wyonane i przyszłe (rys. 1.3). Rys. 1.3. Ilustracja niepewności standardowej u(x) i niepewności granicznej x 4 Dawniej słowo błąd było używane w różnych znaczeniach, również zamiast obecnej niepewności. Robią to nadal ci, tórzy nie znają lub nie przyjmują do wiadomości ustaleń onwencji GUM. 5 Nazwa tradycyjna to błąd graniczny lub błąd masymalny. Konwencja GUM jest w przypadu tego terminu nieonsewentna, gdyż dla tej niezbędnej w technice pomiarowej wielości nie wprowadza żadnej nazwy. W opracowaniu używa się słowa niepewność graniczna by pozostać w zgodzie z zapostulowanym rozgraniczeniem znaczenia słów błąd i niepewność. 4

Niepewność graniczna jest miarą deterministyczną, gdyż twierdzimy, że wartość prawdziwa zawarta jest na pewno w przedziale x 0 ± x. Niepewność graniczna jest stosowana w oreślonych sytuacjach, np. jao miara doładności eletrycznych przyrządów pomiarowych. Miarą doładności pomiaru najpowszechniej stosowaną i uznaną za podstawową przez Przewodni jest niepewność standardowa. Jej najrótszą definicją jest zdanie: Niepewność standardowa jest oszacowaniem odchylenia standardowego. Somentujmy luczowe słowa tej definicji: (i) W przedstawionym sformułowaniu ryje się założenie, że rezultat pomiaru jest zmienną losową, tórej rozrzut charateryzuje parametr zwany odchyleniem standardowym. Odchylenie standardowe zdefiniować można jao pierwiaste z średniej wartości wadratu różnicy wartości zmierzonej i rzeczywistej. (Wzór (A6a) w Dodatu A, tamże podane są podstawowe informacje nt. tego parametru statystycznego.) (ii) Doładnej wartości odchylenia standardowego nie znamy, niepewność standardowa jest jego niezbyt doładnym oszacowaniem (estymatorem, oceną). Dwie podstawowe metody szacowania niepewności pomiaru bezpośredniego, typu A oraz typu B, omówione będą w pt. 1.3 oraz 1.4. Rysune 1.3 porównuje graficznie obydwie miary niepewności. Niepewność standardowa u jest miarą średniego odchylenia wyniów pomiarów od wartości rzeczywistej, zatem część wyniów (ooło 1/3) znajdziemy poza przedziałem ( x 0 u(x), x 0 + u(x) ). W dalszym ciągu testu słowo niepewność bez przymiotnia oznacza zawsze niepewność standardową. Niepewność standardową oznaczamy jao u(x). Symbol u pochodzi od ang. uncertainty, symbol wewnątrz nawiasu oreśla, co jest wielością mierzoną 6. Zaletą wprowadzonej przez Przewodni notacji jest przejrzystość i unianie indesów. Możliwość zapisu wielości mierzonej w postaci słownej, ja np. u(stężenie NaCl), ułatwia tworzenie doumentacji pomiaru. Niepewność u posiada wymiar, tai sam ja wymiar wielości mierzonej. Niepewnością względną nazywamy stosune niepewności (bezwzględnej) do wielości mierzonej, u ( x) x (1.4) Niepewność względna jest wielością bezwymiarową, często wyrażaną w %. Daje lepsze wyobrażenie o doładności pomiaru niż niepewność bezwzględna u. Umożliwia też porównanie niepewności wielości fizycznych posiadających różny wymiar. Pojęciem jaościowym, związanym ze słowem niepewność jest doładność (pomiaru). Pomiar doładniejszy, to pomiar o mniejszej niepewności. 6 Przyjęte oznaczenie wyorzystuje nieprawnie symbol funcji matematycznej. Pamiętajmy, że u(x) jest liczbą, a nie funcją. Nie jest możliwe np. obliczenie pochodnej du/dx! 5

1.3. Ocena niepewności typu A Może być stosowana w pomiarach, w tórym występuje błąd przypadowy. Najprostszym przypadiem jest analiza serii n obserwacji x 1,..., x i,..., x n.tratujemy je jao n realizacji zmiennej losowej o wartości oczeiwanej µ (tórą utożsamiamy z wartością rzeczywistą x 0 ) oraz odchyleniu standardowym σ (Dodate A). Do obliczenia przybliżonych wartości tych parametrów wyorzystujemy rezultaty teorii estymacji (Dodate B). W więszości przypadów za wyni pomiaru x (najbliższy nieznanej wartości rzeczywistej x 0 ) przyjmujemy wartość średniej arytmetycznej x x = 1 n xi. (1.5) We wzorze 1.5, ja i we wszystich wzorach w rozdziale 1, zna sumy bez wsaźniów oznacza sumowanie od i = 1 do n. Miarą rozrzutu wyniów pomiaru jest wielość zwana estymatorem odchylenia standardowego, ( x i x) s =. (1.6) x n 1 Wielość s x można by utożsamiać z niepewnością pomiaru, gdybyśmy za jego wyni przyjęli tórąolwie z wartości x i. Przy obliczaniu średniej następuje jedna częściowa ompensacja odchyłe x i x różnych znaów, dzięi czemu jest ona bliższa wartości rzeczywistej x 0 niż wyni pojedynczej obserwacji. Ilościowo, estymator odchylenia standardowego średniej s x jest n razy mniejszy od estymatora s x, sx sx =. (1.7a) n Ponieważ za wyni pomiaru przyjmujemy średnią, niepewnością pomiaru u(x) utożsamiamy z estymatorem odchylenia standardowego średniej, u( x) sx. Łącząc ze sobą wzory (1.6) i (1.7a) otrzymujemy u(x) s x = ( x) x i n( n 1). (1.7b) Wielości s x oraz s x nazywamy estymatorami dlatego, że choć obliczane z jednoznacznych wzorów, są równe prawdziwym wartościom odchylenia standardowego tylo w granicy n. Gdy liczba pomiarów n jest sończona, odchylenie standardowe średniej czyli niepewność pomiaru znamy ze sończoną, niezbyt wielą doładnością (tab. 1.1). 6

Tabela 1.1 Względna niepewność oceny odchylenia standardowego s x i s x dla serii n pomiarów Liczba pomiarów 3 4 5 6 8 10 100 Niepewność oceny 43% 38% 34% 31% 8% 5% % 7% Powtarzanie pomiaru przynosi zatem dwie orzyści: zmniejsza niepewność spowodowaną błędem przypadowym i umożliwia oszacowanie niepewności. Na pytanie, ile pomiarów warto wyonywać, nie sposób odpowiedzieć jednoznacznie. Uważa się, że dla oreślenia odchylenia standardowego, trzeba wyonać co najmniej 5 10 pomiarów. Pozwala to na ocenę niepewności z doładnością rzędu 30 0% (por. tab. 1.1). Ponadto dla serii np. 9 pomiarów niepewność średniej jest 3-rotnie mniejsza od niepewności pojedynczego pomiaru. Na ogół nie opłaca się wyonywanie zbyt dużej liczby pomiarów, gdyż zwięszenie doładności ze wzrostem n jest powolne. Wyonywanie zupełnie małej liczby pomiarów, na przyład lub 3, ma sens jao sprawdzian powtarzalności. Za wyni pomiaru przyjmujemy średnią arytmetyczną, ale dla uzysania niepewności lepiej stosować ocenę typu B (pt. 1.4). Przyład 1.. Obliczenie niepewności pomiaru oresu drgań wahadła (ciąg dalszy przyładu 1.1) Po odrzuceniu wyniu 50 T = 65,6 s obarczonego błędem grubym i po podzieleniu pozostałych wartości przez 50 uzysujemy osiem wartości oresu wahadła (w seundach): 1,776 1,83 1,806 1,780 1,794 1,770 1,804 1,784 Wartości te przedstawiono w odpowiedniej sali na rysunu 1.3. Schemat obliczeń średniej oraz niepewności standardowych pojedynczego pomiaru i średniej wygląda następująco: T 0 = (1,776 + 1,83 +... + 1,784)/8 = 1,7933 s, (1,776 1,7933) + (1,783 1,7933) +... + (1,784 1,7933) s ( T0 ) = = 0,000 s, 8 1 u(t 0 ) = 0,000 s 8 = 0,00071 s. Obliczenie T 0 oraz u(t 0 ) za pomocą alulatora omówione jest w podrozdziale 1.11. 7

1.4. Ocena niepewności typu B Stosowana jest, gdy statystyczna analiza serii obserwacji nie jest możliwa. Na przyład dla błędu systematycznego lub gdy występuje błąd przypadowy, ale dysponujemy tylo jednym rezultatem pomiaru. Ocena niepewności typu B opiera się na nauowym osądzie esperymentatora wyorzystującym wszystie informacje o pomiarze i źródłach jego niepewności. Do oceny typu B wyorzystać można między innymi: dane z pomiarów poprzednich, doświadczenie i wiedzę nt. przyrządów i obietów mierzonych, informacje producenta przyrządów, niepewności przypisane danym zaczerpniętym z literatury. Gdy informacja ta jest dobra, doładność oceny typu B jest porównywalna z doładnością oceny typu A. (Ocena statystyczna jest też niezbyt doładna, por. tabela 1.1). W trudniejszych sytuacjach ocena typu B pozwala oszacować tylo rząd wielości niepewności. Najczęściej ocena typu B dotyczy oreślenia niepewności wyniających ze sończonej doładności przyrządów. W wyniu rewolucji w miernictwie wyniającej z postępów eletronii prawie wszystie używane współcześnie przyrządy pomiarowe to albo proste przyrządy mechaniczne, albo też eletroniczne miernii cyfrowe. Niemniej zostanie również podany sposób oreślenia niepewności dla nadal używanych przyrządów wsazówowych. Proste przyrządy mechaniczne Producenci przyrządów taich ja przymiar milimetrowy, suwmiara czy termometr cieczowy na ogół nie oreślają ich doładności. Powszechnie uważa się, że niesprecyzowana bliżej doładność jest równa wartości najmniejszej działi sali, zwanej dalej działą elementarną. Jej wartość wynosi dla liniji 1 mm, suwmiari 0,05 mm, śruby mirometrycznej 0,01 mm, termometru learsiego 0,1 C. Jao pierwsze przybliżenie dla niepewności standardowej przyjmujemy: u(x) działa elementarna. (1.8) Ocena ta może być sorygowana w górę lub w dół zgodnie z posiadaną wiedzą i doświadczeniem. Na przyład, jeżeli mierzymy liniją średnicę monety jednogroszowej i oceniamy na oo również dziesiąte części milimetra, to niepewność standardowa może zmniejszyć się do 0, mm. Z drugiej strony, przy pomiarze rozmiarów pooju taśmą mierniczą, niepewność należy przyjąć więszą niż 1 mm, choć salę z podziałą milimetrową mamy na całej pięciometrowej taśmie. Eletryczne miernii cyfrowe i analogowe W przyrządach z odczytem cyfrowym wartość odpowiadająca zmianie ostatniej cyfry, zwana umownie również działą elementarną, oreśla rozdzielczość przyrządu. Niepewność pomiaru jest więsza i podawana jest przez producenta w instrucji przyrządu. Pod nazwą błąd graniczny, doładność, itp., ryje się niepewność graniczna, definiowana najczęściej jao oreślony ułame wielości mierzonej plus ułame zaresu, 8

x = C1 x + C zares (1.9a) Na przyład dla używanych w Pracowni omomierzy typu 131 mamy C 1 = 0,%, C = 0,1%. Przy pomiarze opornia 10 Ω na zaresie 0 Ω otrzymujemy x = 0,04 Ω, równowartość 4 działe elementarnych. W przypadu mierniów analogowych (wsazówowych) wartość niepewności granicznej oreśla wzór lasa przyrzadu (1.9b) x = zares 100 gdzie parametr zwany lasą przyrządu, równy 0,5; 1; 1,5 lub,5, można znaleźć jao jeden z symboli oreślających własności przyrządu (pod szybą). Zauważmy, że również w przypadu mierniów wsazówowych wartości x nie należy utożsamiać z elementarną działą sali przyrządu. Uzysaną z wzorów (1.9a) lub (1.9b) niepewność graniczną Przewodni zaleca zamienić na niepewność standardową 7 przy użyciu wzoru x u( x) = (1.10) 3 Wzór (1.10) wynia z upraszczającego założenia, że jeżeli x jest wartością zmierzoną, to nieznana wartość rzeczywista może wystąpić z jednaowym prawdopodobieństwem w przedziale ( x x, x + x). Innymi słowy, załadamy, że mamy do czynienia z rozładem jednostajnym, dla tórego odchylenie standardowe jest równe połowie szeroości funcji gęstości prawdopodobieństwa podzielonej przez 3. (Dodate A, wzór (A7)). Przyład 1.3. Ocena niepewności typu B dla pomiaru długości wahadła Długość wahadła mierzymy przymiarem milimetrowym uzysując wartość l = 410 mm. Przyjmujemy niepewność równą działce sali: u(l) = 1 mm. Ocena ta bierze pod uwagę trudność dobrego przyłożenia przymiaru do odcina: środe uli punt zawieszenia wahadła. 7 Zamianę tę wyonujemy tylo wtedy, gdy jest to potrzebne, w szczególności w celu zastosowania prawa przenoszenia niepewności (pt. 1.5). 9

1.5. Prawo przenoszenia niepewności Wiele wielości fizycznych nie da się zmierzyć pojedynczym przyrządem, lecz wyznacza się metodą pomiaru pośredniego. Na przyład przyspieszenie ziemsie można wyznaczyć na podstawie pomiaru długości i oresu drgań wahadła. Przypuśćmy, że interesującą nas wielość y obliczamy z wzoru funcyjnego y(x 1,..., x,...), gdzie olejne zmienne x dadzą się zmierzyć bezpośrednio. Niepewności u(x 1 ),..., u(x ) wielości mierzonych bezpośrednio przenoszą się na wielość obliczaną y powodując, że jest ona obarczona sończoną niepewnością. Dlatego sposoby obliczania niepewności wielości y noszą nazwę prawa przenoszenia niepewności (lub: prawa propagacji niepewności). Funcja jednej zmiennej Analizę problemu rozpoczniemy od funcji jednej zmiennej y = f(x). Niepewność u(x) jest mała w porównaniu z wartością mierzoną x, zatem niepewność y obliczyć można jao wartość bezwzględną z iloczynu pochodnej funcji i niepewności u(x), dy u( y) = u( x). (1.11) dx (Iloczyn pochodnej i małego przyrostu zmiennej niezależnej jest w matematyce nazywany różniczą. Bierzemy jej wartość bezwzględną, by niepewność u(y) była liczbą dodatnią.) Prawo przenoszenia niepewności dla funcji jednej zmiennej ilustruje rys. 1.4 oraz przyład 1.4. Rys. 1.4. Ilustracja prawa przenoszenia niepewności 10

Przyład 1.4. Niepewność objętości uli o znanej średnicy Zmierzyliśmy średnicę D stalowej uli suwmiarą, otrzymując wartość D =,45 mm z niepewnością u(d) = 0,05 mm. Objętość uli obliczamy z wzoru (4/3)π r 3 = (π/6) D 3 = 7,70 mm 3. Niepewność objętości uli wynosi d π 3 π u ( V ) = D u( D) = D u( D) = dd 6 3,1416 (,45 mm) 0,05 mm = 0,47 mm 3. Funcja wielu zmiennych W przypadu funcji wielu zmiennych obliczamy za pomocą wzoru (1.11) różniczi cząstowe dla olejnych zmiennych x 1... x... i tworzymy z nich sumę geometryczną 8 y u c ( y) = u( x ). (1.1) x Obliczoną wartość niepewności funcji y nazywamy niepewnością złożoną i oznaczamy symbolem 9 u c lub u c (y). Sumowanie geometryczne jest onsewencją twierdzenia o odchyleniu standardowym sumy zmiennych losowych, przy założeniu, że zmienne losowe są niesorelowane. Warune brau orelacji jest spełniony, jeżeli ażda z wielości x mierzona jest innym przyrządem. Najprostszy przypade prawa przenoszenia niepewności (bezwzględnej) zachodzi, gdy funcja y jest sumą lub różnicą dowolnej liczby sładniów. Pochodne cząstowe y/ x są równe jedności i w rezultacie niepewność złożona jest sumą geometryczną niepewności poszczególnych sładniów: y = x1 + x x3 +... uc ( y) = u ( x1 ) + u ( x ) + u ( x ) +... (1.13) Przenoszenie niepewności względnej Prawo przenoszenia niepewności przyjmuje postać szczególnie przejrzystą i wygodną do pratycznych obliczeń, gdy zamiast niepewności bezwzględnych obliczymy złożoną niepewność względną u c (y)/y. W tym celu równanie (1.1) dzielimy obustronnie przez y, a następnie, wewnątrz nawiasu wadratowego, mnożymy i dzielimy przez x, uc ( y) y = 1 y y x u( x ) = y x x y u( x x ). Uzysane wyrażenie zapisujemy w zwartej postaci 8 Suma geometryczna to pierwiaste z sumy wadratów sładniów. 9 Indes c pochodzi z ang. combined. 11

u c ( y) = y p u( x x ) (1.14a) wyrażającej prawo przenoszenia niepewności względnych: Złożona niepewność względna u c,r (y) = u c (y)/y jest sumą geometryczną niepewności względnych u(x )/x wielości mierzonych bezpośrednio pomnożonych przez bezwymiarowe współczynnii wrażliwości p równe p x y =. (1.14b) y x Formuła (1.14) wydaje się bardziej sompliowana niż wzór (1.13) wyrażający zwyłe prawo przenoszenia niepewności. Rzecz w tym, że przy obliczaniu wag więszość symboli sraca się (patrz przyład 1.5) i wzory na p oazują się zdumiewająco proste. Zebrano je w tabeli 1.. Tabela 1.. Współczynnii wrażliwości p dla najważniejszych funcji Postać funcji p x = y y = const x 1 const y = 1 x y x y = const n x y = const exp(a x ) y = const ln(a x ) n a x const y W olumnie postać funcji symbol const oznacza nie tylo stałą, lecz również pozostałą część wzoru funcyjnego nie zawierającą zmiennej x, tórą tratuje się jao czynni stały przy obliczaniu odpowiedniej pochodnej cząstowej. Najprostszy a ważny w pratyce przypade prawa przenoszenia niepewności względnej zachodzi, gdy wielość y jest iloczynem lub ilorazem wielości mierzonych bezpośrednio. Współczynnii p są wtedy równe +1 lub 1 (tabela 1.). W efecie złożona niepewność względna jest sumą geometryczną względnych niepewności czynniów x : y = x1 x... x... 3 uc ( y) u( x1) u( x ) u( x3) = + + +.... (1.15) y x1 x x3 Wniosiem jaościowym z prawa przenoszenia niepewności jest oreślenie, tóra wielość x daje najwięszy przyczyne do niepewności złożonej. Jest to zwyle, ale nie zawsze, zmienna, tórej niepewność względna jest najwięsza. 1

Przyład 1.5. Niepewność wartości przyspieszenia ziemsiego wyznaczonego z pomiaru oresu drgań i długości wahadła prostego. Oreśliliśmy dla wahadła wartości i niepewności oresu drgań T = 179,33 ms, u(t) = 0,7 ms i długości l = 410 mm, u(l) = 1 mm (przyłady 1. i 1.3). Przyspieszenie ziemsie obliczamy jao 4π l 4 3,1416 410 mm mm m g = = = 9890 = 9,890. T (1,7933 s) s s Uwaga: W obliczeniu zapisujemy ta wielości liczbowe, ja i jednosti. Wyni zapisujemy z liczbą cyfr dopasowaną do przewidywanej niepewności pomiaru. W więszości przypadów wystarcza zapis 4 cyfr znaczących. Obliczenie niepewności złożonej za pomocą wzoru (1.1) wymaga obliczenia wyrażenia 4π 8π l u c ( g) = u( l ) + ( ) u T 3. T T Stosując wzór (1.14a) na niepewność względną otrzymujemy: u ( g) c = g 4π T l 4π l T u( l) l + T 8π l 3 T 4π l T u( T) T = u( l) + l u( T ) T. Uzysane współczynnii p, równe 1 i odpowiednio dla l i T, można wypisać od razu orzystając z tabeli 1.. Numeryczne obliczenia i zapis niepewności wyonujemy z doładnością cyfr znaczących. (patrz pt. 1.7). Wygodnie jest zestawić je w tabeli: x u(x ) u ( x ) x p p u( x ) x długość l 409 mm 1 mm 0,4% 1 0,4% ores T 179 ms 0,7 ms 0,056% 0,11% Suma geometryczna: 0,6% Z uzysanej niepewności względnej obliczamy niepewność bezwzględną 0,8% m u c ( g) = 9,890 = 0,08. 100% s u( x ) Porównanie przyczynów p pochodzących od u(l) i u(t) poazuje, że więszym źródłem x niepewności przyspieszenia ziemsiego jest niepewność pomiaru długości wahadła. 13

1.6. Niepewność rozszerzona Własnością niepewności standardowej jest, że w przedziale od x u(x) do x + u(x) wartość rzeczywista znajduje się z prawdopodobieństwem ooło /3 (doładnie: 68% dla rozładu Gaussa, 58% dla rozładu jednostajnego). Niepewność standardowa jest miarą doładności pomiarów, umożliwia porównywanie doładności różnych metod pomiarowych, ta miara niepewności jest poazywana na wyresach (o czym w pt. 1.8). Do wniosowania o zgodności wyniu pomiaru z innymi rezultatami Przewodni wprowadza pojęcie niepewności rozszerzonej. Ja nazwa wsazuje, jest to powięszona niepewność standardowa, wybrana ta, by w przedziale (y U(y), y + U(y)) znalazła się przeważająca część wyniów pomiaru potrzebna do oreślonych zastosowań w przemyśle, medycynie, ochronie środowisa. Wartość U obliczamy mnożąc niepewność złożoną przez bezwymiarowy współczynni rozszerzenia U ( y) = u ( y) (1.16) c Zgodnie z międzynarodową pratyą do obliczenia U przyjmuje się najczęściej umowną wartość =. Wartości inne niż mogą być stosowane tylo w przypadu szczególnych zastosowań i winny być dytowane przez ustalone i udoumentowane wymagania 10. Wartości = odpowiada prawdopodobieństwo realizacji zmiennej losowej w przedziale (y U(y), y + U(y)) równe 95% dla rozładu Gaussa i 100% dla jednostajnego. Typowe zastosowania niepewności rozszerzonej, to wniosowanie o zgodności uzysanego wyniu z wartością doładną, względnie z inną wartością zmierzoną o znanej niepewności. Porównanie z wartością doładną (teoretyczną lub tabelaryczną) Wartością teoretyczną jest wielość, przeważnie bezwymiarowa, tórą można oreślić bezbłędnie lub z niepewnością pomijalnie małą przy pomocy teorii. Przyładowo, za pomocą giętiej taśmy mierniczej i orągłej miednicy można wyznaczyć esperymentalnie stosune obwodu do średnicy oła. Wartość zmierzoną można porównać z wartością teoretyczną π = 3,141597... Doładne wartości tabelaryczne to m.in. stałe fizyczne, tórych wartości pochodzą z pomiaru, ale znane są z bardzo dużą doładnością. Sprawdzanie zgodności polega na sprawdzeniu, czy wartość doładna y 0 mieści się w przedziale (y U(y), y + U(y)). Równoważny matematycznie sposób polega na sprawdzeniu, czy spełniona jest nierówność y y 0 < U(y). Negatywny wyni porównania (przy założeniu, że obliczenia były bezbłędne) wsazuje z reguły na występowanie niewyrytego błędu systematycznego lub grubego. 10 Dwa ostatnie zdania cytują oficjalne stanowiso National Institute of Standards and Technology USA, najważniejszego w świecie instytutu metrologicznego. 14

Porównanie wyniów dwóch pomiarów Wynii dwu niezależnych pomiarów tej samej wielości (np. współczynnia załamania szła) mają z zasady różne wartości. Pojawia się pytanie: czy wielości te rzeczywiście się różnią (bo mierzono różne gatuni szła), czy też są równe w granicach niepewności pomiaru. Teoria niepewności pomaga odpowiedzieć na nie w sposób ilościowy. Rachune przebiega następująco. Do dyspozycji mamy dwie wartości zmierzone, y 1 i y, oraz ich niepewności standardowe, u(y 1 ) i u(y ). Zgodnie z prawem przenoszenia niepewności (wzór (1.13)) różnica y 1 y posiada niepewność równą sumie geometrycznej u(y 1 ) i u(y ). Niepewność rozszerzona wynosi zatem [ u( y )] [ u( ] U ( y + y (1.17) 1 y) = 1 ) Wynii pomiaru uważamy za zgodne ze sobą, jeżeli y 1 y < U(y 1 y ). Przyład 1.6. Porównanie uzysanej wartości przyspieszenia ziemsiego z wartością tabelaryczną Uzysaliśmy za pomocą wahadła prostego wartość g = 9,866 m/s z niepewnością u(g) = 0,08 m/s. Wartość tabelaryczna dla Kraowa wynosi g 0 = 9,811 m/s. Obliczamy różnicę g g0 = 9,890 m/s 9,811 m/s = 0,079 m/s. Obliczamy niepewność rozszerzoną, przyjmując wartość =, U ( g) = u( g) = 0,08 m/s = 0,056 m/s. Ponieważ g g 0 > U(g) uznać trzeba, że zmierzone przyspieszenie ziemsie jest niezgodne z wartością tabelaryczną. Celowo podajemy tai wyni, by poazać że i taie przypadi mogą pojawić się w pratyce pomiarowej. Stwierdzenie niezgodności winno być bodźcem do analizy możliwych przyczyn jej wystąpienia i poszuania możliwości udosonalenia pomiaru. Różnica g g 0 jest niewiela, co wsazuje, że błędu grubego nie popełniono. Raczej nieuninione niepewności pomiaru zostały ocenione zbyt niso. Na przyład, że przy pomiarze oresu mógł występować dodatowy błąd systematyczny, tórego nie można wyryć przez statystyczną analizę wyniu 8 pomiarów. Radyalne zmniejszenie u(t) jest możliwe przez zastosowanie eletronicznego pomiaru czasu. Również niepewność pomiaru długości mogła być oceniona zbyt optymistycznie, biorąc pod uwagę trudność oreślenia na oo, gdzie jest środe uli. Sposobem podniesienia doładności pomiaru l może być np. zmierzenie liniałem odległości punt zawieszenia górny punt uli i dodanie połowy średnicy uli, zmierzonej przy użyciu suwmiari. 15

1.7. Zapis niepewności pomiaru Zalecane sposoby zapisu niepewności przedstawiamy na przyładzie. Przyład nasz wyróżnia zapis słowny (i), przy użyciu symboli (ii) i srócony (iii), ale stosować można dowolną ombinację przedstawionych elementów zapisu. Niepewność standardowa (i) przyspieszenie ziemsie jest równe 9,866 m/s z niepewnością 0,08 m/s ; (ii) g = 9,866 m/s ; u(g) = 0,08 m/s ; (iii) g = 9,866(8) m/s. Niepewność rozszerzona (i) przyspieszenie ziemsie wynosi 9,866 m/s z niepewnością rozszerzoną 0,056 m/s ; (ii) g = 9,866 m/s ; U(g) = 0,056 m/s ; (iii) g = (9,866 ± 0,056) m/s. Przyład ilustruje zasady zapisu niepewności zalecane przez Przewodni. Niepewność zapisujemy z doładnością dwu cyfr znaczących 11. Przy zaorąglaniu do dwu cyfr znaczących niepewność graniczna spowodowana zaorąglaniem wynosi od 5% do 0,5% (odpowiednio, dla cyfr 10 i 99). Taa doładność wystarcza, gdyż ocena niepewności jest bardziej niedoładna (patrz tab. 1.1). Wartość mierzoną zaorąglamy do tego samego miejsca, co niepewność. Jeżeli ostatnią cyfrą wyniu jest zero, należy ją pozostawić, jao cyfrę znaczącą. Przy zapisach sróconych (iii) symbol ± należy stosować do niepewności rozszerzonej, zapis z użyciem nawiasów do niepewności standardowej. Dodatowe uwagi nt. zapisu liczb i jednoste Wynii pomiarów i obliczeń najlepiej podawać w jednostach, dla tórych wartość liczbowa zawarta jest w przedziale mniej więcej od 0,1 do 1000. Liczby z tego przedziału można nazwać przyjaznymi są łatwe do wypowiedzenia i zapamiętania, zaś ich zapis wymaga najmniejszej liczby znaów druarsich. Aby zawrzeć wyni liczbowy w tym przedziale, wprowadzono do uładu SI przedrosti taie ja: p 10 1, n 10 9, µ 10 6, m 10 3, 10 3, M 10 6, G 10 6,... (nie wymieniliśmy wszystich). Dołączyć je można do ażdej jednosti posiadającej własny symbol (m, s, A, W, F, Hz etc.). Gdy jednosta uładu SI jest ombinacją symboli (np. g/m 3, V/m, W/(K m) jednosti gęstości, natężenia pola eletrycznego i przewodności termicznej), przedrosti można dołączyć do ażdego symbolu. Przyładowo, zapis gęstość rtęci jao 13,6 g/cm 3 jest bardziej przyjazny niż 13,6 10 3 g/m 3. 11 Użyta w przyładzie wartość niepewności u(g) = 0,08 m/s ma dwie cyfry znaczące. Zera z przodu nie są cyframi znaczącymi mogą zninąć przy innym doborze jednoste, np. u(g) = 8 mm/s. Długoletni zwyczaj (potwierdzony przez inny doument Konwencji GUM z r. 009) dopuszcza też zapis jednej cyfry znaczącej. Niepewność pomiaru znamy przecież ta niedoładnie! Nie należy natomiast podawać trzech i więcej cyfr, gdyż nie ma sytuacji, w tórej dodatowe cyfry miały by realne znaczenie. 16

1.8. Wyresy zależności funcyjnych Istotą metodologii fizyi jest esperyment i jego teoretyczna interpretacja. W wyresach obrazujących zależności funcyjne dwu lub więcej zmiennych odzwierciedla się to w wyraźnym zaznaczeniu zarówno puntów doświadczalnych, ja i interpretującej przebieg zjawisa rzywej teoretycznej. Sporządzanie wyresów stanowi ważną umiejętność, przydatną w innych nauach doświadczalnych. Przedstawione zasady obowiązują zarówno w przypadu wyresów wyonywanych ręcznie ja i sporządzanych przy użyciu omputera. Standardowe elementy wyresu omówiono poniżej. Uład współrzędnych Uład współrzędnych musi posiadać podziałę oraz oznaczenie wielości i jednoste. Salę wyresu należy ta dobrać, by był on przejrzysty i dobrze wyorzystywał powierzchnię papieru. Aby to spełnić, podziała nie musi zaczynać się od zera (np. pionowe osie rysunów 1.5 i 1.9). Rys. 1.5. Zależność względnej zmiany oresu drgań wahadła od amplitudy drgań. Przyład porównania puntów doświadczalnych z rzywą teoretyczną Przyzwyczajeni jesteśmy z matematyi do rysowania uładu współrzędnych w postaci dwóch prostopadłych odcinów (rys. 1.9). Drugi sposób polega na zamnięciu pola wyresu w prostoątną ramę (rys. 1.5, 1.6, 1.8). Symbole lub opis słowny umieszcza się wtedy w środu bou rami (jednosti w nawiasach prostoątnych). Opis wyonujemy pismem technicznym. Kresi podziałi, sierowane do wewnątrz rami, powtarzają się na pozostałych dwu boach. W razie potrzeby równoległe boi rami można wyorzystać do poazania różnych podziałe (rys. 1.8b). Zachęcamy do sporządzania wyresów w postaci rami, gdyż jest to obecnie standardowy sposób przedstawienia rezultatów esperymentalnych w doumentacji technicznej i publiacjach nauowych. Wyresy sporządzane ręcznie wyonujemy ołówiem na papierze milimetrowym. Zwyły papier milimetrowy posiada siatę liniową. Nabyć też można papier do wyresów z siatą logarytmiczną na jednej (rys. 1.6, 1.8b) lub obydwu osiach. Sale nieliniowe różnych typów można również zrealizować przy użyciu omputera. 17

Wyresy ze salą logarytmiczną stosujemy z dwu różnych powodów. Po pierwsze, dla sensownego przedstawienia wielości, tóra zmienia się o wiele rzędów wielości (rys. 1.6). Po drugie, w celu linearyzacji funcji wyładniczych i potęgowych (o czym w podrozdziale 1.9). Rys. 1.6. Charaterystyi prądowo-napięciowe diod półprzewodniowych różnych typów, spolaryzowanych w ierunu zaporowym. Przyład zależności, tórych nie da się opisać prostą funcją matematyczną Punty doświadczalne Podstawą do sporządzenia wyresu jest tabela (przyład 1.7). Punty doświadczalne są obrazem odpowiednich par liczb z tabeli. Punty, naniesione ołówiem na wyres są słabo widoczne. W wielu nauach (np. eonomia) łączy się te punty linią łamaną. W fizyce i innych nauach ścisłych z zasady postępujemy inaczej punty uwidaczniamy przez otoczenie symbolem w ształcie óła, wadracia itp. (rys. 1.7). Do estetycznego ręcznego rysowania symboli warto używać plastyowych szablonów zaopatrzonych w stosowne otwory. Różny ształt symboli wyorzystać można do przeazania dodatowej informacji, np. odróżnienie puntów należących do różnych rzywych. Rys. 1.7. Przyładowe symbole puntów dośw. i sposoby rysowania odcinów niepewności 18

Na wyresie możemy poazać również niepewności pomiaru. Powszechnie przyjęty sposób, to rysowanie odcina niepewności o długości ± u(y) lub ± u(x), ja to poazują rysuni 1.5 i 1.8b. Nanosimy je, gdy są duże w sali rysunu, tzn. rozmiar odcina niepewności przewyższa rozmiary symbolu puntu doświadczalnego. Również dobre programy omputerowe umożliwiają nanoszenie zadanych odcinów niepewności. Zaznaczanie niepewności służy m.in. do wniosowania o zgodności esperymentu z teorią. Jeżeli wartości odcinów niepewności zostały ocenione prawidłowo, przeciętnie /3 z nich winno przecinać się z rzywą teoretyczną. Krzywa interpretująca wynii esperymentu Zasady rysowania rzywej zależą od jaości opisu teoretycznego, jai mamy do dyspozycji. Dysponujemy algorytmem pozwalającym obliczyć rzywą teoretyczną w sposób niezależny od położenia puntów doświadczalnych. Wyres słada się z tychże puntów i obliczonej rzywej (rys. 1.5). Krzywa doświadczalna nie jest potrzebna! Znamy z teorii typ funcji (np. wiemy, że jest to funcja wyładnicza y = A e ax ), ale nie znamy jej parametrów A i a. Wtedy należy funcję zadanego rodzaju ja najlepiej dopasować ( dofitować ) do położenia puntów doświadczalnych, parametry dopasowanej funcji są rezultatami pomiaru (rys. 1.8). Metody dopasowania prostej y = ax + b omówione są w pt. 1.10. Nie dysponujemy oreślonym wzorem funcyjnym (np. dla zależności napięcia termopary od temperatury). Wtedy przez punty doświadczalne przeprowadzamy odręcznie (lub z pomocą rzywi) gładą rzywą doświadczalną (rys. 1.6). Procedura wygładzania wyniów pomiaru oparta jest na założeniu, że nieznana głada funcja y(x) istnieje, zatem może być przybliżona szeregiem potęgowym. Dlatego w przypadu użycia omputera (tóry niczego nie potrafi na oo ), jednym ze sposobów wygenerowania gładiej rzywej jest dopasowanie szeregu potęgowego, czyli wielomianu, tórego stopień dobieramy metodą prób i błędów. Obo rzywej, w polu wyresu można i należy umieszczać dodatowe napisy, linie, strzałi etc., ułatwiające jego zrozumienie. Powyższe, nieco schematyczne uwagi nie wyczerpują oczywiście wszystich możliwości i form wyresu. Przyład 1.7. Wyres zależności oresu wahadła od amplitudy Opracowany w przyładzie 1. pomiar oresu wahadła wyonany został przy małej amplitudzie drgań. Przypomnijmy rezultat: T 0 = 1,793 s, u(t 0 ) = 0,007 s. Następnie wyonano jednorotne pomiary 50 oresów dla wahadła wyonującego drgania, w funcji wzrastającej amplitudy drgań θ. Poniższa tabela przedstawia zmierzone wartości oresu T oraz obliczone wartości względnej zmiany oresu (T T 0 )/T 0. Wielość (T T 0 )/T 0 wprowadzamy dlatego, że nie zależy ona od długości wahadła i przyspieszenia ziemsiego, co więcej, zależność (T T 0 )/T 0 od ąta wychylenia θ jest taa sama dla wahającego się ciała o dowolnym ształcie. 19

θ [deg] 5 9,5 14 18,5,5 8 3,5 37 41 T [s] 1,808 1,780 1,86 1,96 1,950 1,986 1,3090 1,3158 1,308 T T T 0 0 0,001 0,0010 0,0054 0,0104 0,013 0,0151 0,03 0,085 0,034 Ponieważ ażdy pomiar oresu T wyonano tylo raz, za niepewność pomiaru można przyjąć estymator odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru: u(t) = 0,000 s (vide przyład 1.). Zastosowaliśmy zatem ocenę niepewności typu B, na podstawie wyniów poprzedniego pomiaru. Niepewność złożoną wielości (T T 0 )/T 0 wyznaczony z prawa przenoszenia niepewności u c T T T0 0 = 1 T0 T u ( T) + u ( T T 0 0 ) = 0, 00s 1, 793s 1, 3s 0, 007s + 1, 793 ( s) = 0, 017. Obliczając u c dla różnych wartości T stwierdzamy, że niepewność jest pratycznie taa sama dla wszystich puntów wyresu. Została zaznaczona na wyresie (rys. 1.5). Natomiast zrezygnowano z poazania relatywnie małej niepewności pomiaru ąta. Teoretyczną wartość względnej zmiany oresu wahadła można obliczyć, niezależnie od wyniów esperymentu, za pomocą wzoru ( T T0) / T0 = θ /16 + (11θ ) / 307... (vide ćwiczenie, ąt wychylenia θ trzeba podstawiać w radianach). Potrzebne do wyrysowania rzywej dane, zestawione w poniższej tabeli, obliczamy w równych odstępach ąta. θ [deg] 5 10 15 0 5 30 35 40 45 T T T 0 0 0,0005 0,0019 0,0043 0,0076 0,0119 0,017 0,034 0,0305 0,0387 Naniesionych puntów teoretycznych nie uwidaczniamy, lecz prowadzimy przez nie gładą rzywą. W przypadu użycia omputera najprościej obliczyć więcej puntów teoretycznych (np. co 0,5 stopnia) i naazać maszynie poprowadzenie przez nie linii łamanej wrażenie gładiej rzywej zapewnione! Ponieważ na wyresie zaznaczamy niepewność standardową, tylo część odcinów niepewności (circa /3) winna przecinać się z rzywą teoretyczną. Rysune 1.5 demonstruje zatem zgodność teorii i esperymentu. 0

1.9. Linearyzacja nieliniowych zależności funcyjnych Linia prosta jest rzywą najłatwiejszą do narysowania, a nasze oo łatwo odróżnia rzywą od prostej. Ponieważ ta rysowanie, ja i analiza matematyczna nieliniowych zależności jest trudniejsza niż liniowych, powszechną pratyą jest sprowadzanie nieliniowych zależności funcyjnych do postaci liniowej. Przyładowo, jeżeli mamy do czynienia z zależnością typu wyładniczego y = Aexp( ax), (1.18a) to w celu jej zlinearyzowania obliczamy logarytm lny = lna ax. (1.18b) Odładając na osi pionowej ln y, a na osi poziomej x, uzysujemy prostą o współczynniu nachylenia równym a, przecinającą oś pionową w puncie ln A (rys. 1.8). Rys. 1.8. Zależność napięcia U od czasu t podczas rozładowania ondensatora C przez opór R, poazana na wyresie zwyłym (a) i zlinearyzowanym (b). Niepewność pomiaru U wynosi 0,005 V. 1

Przy rysowaniu wyresów wyorzystujących operację logarytmowania powszechną pratyą zamiast poazywania na danej osi wyresu wartości logarytmu jest równoważne tej operacji wprowadzenie nieliniowej sali logarytmicznej (papier półlogarytmiczny lub opcja sali logarytmicznej w programie graficznym). Rysune 1.8b posiada oś pionową opisaną z jednej strony przez wartości samego logarytmu naturalnego, z prawej zaś przy użyciu sali logarytmicznej. W ogólności, ta sama możliwość linearyzacji, ja i rodzaj współrzędnych, jaie trzeba w tym celu zastosować, zależą od postaci funcji. Do postaci liniowej dają się doprowadzić prawie wszystie funcje zawierające dwa nieznane parametry. Natomiast nie można zlinearyzować funcji zależnych od trzech i więcej parametrów (np y = ax + bx + c). Przy linearyzacji funcji, obo zmiany wartości współrzędnych puntów, ulegają również zmianie wartości odcinów niepewności. Nowe wartości u obliczamy za pomocą prawa przenoszenia niepewności dla funcji jednej zmiennej (wzór (1.1)). Zestawienie rysunów 1.8a i 1.8b uwidacznia, że rozmiary odcinów niepewności, jednaowe (i niewidoczne) w sali liniowej, stają się relatywnie duże w ogonie zależności zlogarytmowanej.

1.10. Dopasowanie prostej do zbioru puntów doświadczalnych Tematem tego rozdziału jest zagadnienie poprowadzenia prostej y = ax + b ja najlepiej dopasowanej do zbioru n puntów doświadczalnych (x 1 y 1, x y,... x n y n ). Celem dopasowania jest nie tylo uzysanie efetu wizualnego, ale przede wszystim uzysanie wartości parametrów a i b opisujących prostą, oraz ich niepewności u(a) i u(b). Metoda graficzna polega na wyonaniu wyresu, a następnie na przyłożeniu liniji (najlepiej przeźroczystej) i wyreśleniu na oo prostej ta, by odległości prosta punty esperymentalnie były średnio ja najmniejsze. Wyres do metody graficznej winien być duży (formatu A4), o ta dobranych salach, by nachylenie linii prostej było zbliżone do 45 (rys. 1.9). Współcześnie wyres puntów do metody graficznej może być sporządzony przy pomocy omputera. Rys. 1.9. Wyznaczenie parametrów prostej metodą graficzną Współczynni nachylenia a = y/ x jest stosuniem przyprostoątnych y i x dużego trójąta, tórego przeciwprostoątna jest częścią poprowadzonej graficznie prostej (rys. 1.9). Parametr b wyznacza punt przecięcia prostej z osią y. Źródłem nieporozumień bywa, pochodzące z ursu matematyi, utożsamianie współczynnia nachylenia z tangensem ąta nachylenia prostej do osi x. W wyresach wielości fizycznych ąt nachylenia α prostej może być różny dla tych samych danych pomiarowych w zależności od tego, jaie podziałi zastosujemy na osiach wyresu. Jednoznacznie oreśloną wielością pozostaje współczynni nachylenia a = y/ x (zwany róto nachyleniem). W przeciwieństwie do bezwymiarowego tangensa, nachylenie a posiada wymiar, będący stosuniem wymiarów wielości y i x. Wadą metody graficznej wydawać się może subietywność ażdy poprowadzi prostą trochę inaczej. Testy wyazują jedna, że w przypadu prawidłowo wyonanego wyresu i odrobiny wprawy wartości parametrów prostej są w granicach niepewności taie same ja uzysane za pomocą metod analitycznych. Ponadto zaletą metody graficznej jest eliminacja puntów drastycznie odbiegających od prostej. Najwięszą wadą metody jest bra informacji o niepewności parametrów prostej. 3

Metoda najmniejszych wadratów jest najpowszechniej stosowaną metodą analityczną. Swoją nazwę zawdzięcza ryterium jaości dopasowania taiego doboru parametrów prostej, by suma wadratów różnic wartości esperymentalnych y i i obliczonych ax i + b była ja najmniejsza n i= 1 [ y ( ax + b) ] = min. S = (1.19) i i Kryterium (1.19) zapewnia najlepsze oszacowanie parametrów prostej przy założeniu, że wszystie punty pomiarowe obarczone są jednaowym błędem przypadowym o rozładzie normalnym. W celu znalezienia parametrów a i b orzystamy ze zwyłego warunu na minimum funcji dwu zmiennych: S a = 0, S b = 0. Obliczenie ww. pochodnych cząstowych prowadzi do uładu równań liniowych dla niewiadomych a i b: a a x i + b xi = xi yi, xi bn = + i y. Rozwiązanie tego uładu równań zapisać można na dwa równoważne sposoby. Formuły przedstawione poniżej są najwygodniejsze do obliczeń ręcznych. Zaczynamy od obliczenia średnich arytmetycznych dla zmiennych x oraz y: x 1 1 xi, y = n n = y i (1.0) oreślających położenie środa ciężości x, y puntów esperymentalnych. Parametry prostej oblicza się z wzorów: gdzie 1 a = yi ( xi x), b = y ax, (1.1) D ( x ). D = i x (1.) Zauważmy, że wzór dla parametru b, czyli puntu przecięcia prostej z osią y, wynia z poprowadzenia prostej o nachyleniu a przez środe ciężości x, y. Zastosowanie praw statystyi matematycznej pozwala wyprowadzić formuły na odchylenia standardowe obydwu parametrów prostej. Najpierw obliczamy wielość 4

[ y ( ax + b) ] = S i i s = (1.3) y n n będącą estymatorem odchylenia standardowego puntów od dopasowanej prostej. Wartość s y stanowi wyni pośredni do obliczenia niepewności parametrów prostej, tóre obliczamy z formuł: s y 1 x u( a) =, u( b) = s y +. (1.4) D n D Kryterium najmniejszych wadratów można wyorzystać do dopasowania innych zależności funcyjnych. Potrzebne algorytmy omawiane są w podręczniach statystyi matematycznej i zaimplementowane w omputerowych programach do analizy danych. Szczególne przypadi dopasowania prostej Wiele praw fizyi wyraża proporcjonalność jednej wielości do drugiej, np. prawo Ohma prądu I do napięcia U. Obrazem graficznym taiej funcji jest prosta przechodząca przez począte uładu współrzędnych. W przypadu metody graficznej rysujemy linię w tai sposób, by przechodziła przez punt (0, 0). Zastosowanie metody najmniejszych wadratów wymaga dopasowania prostej danej równaniem y = ax (tj. z wartością parametru b= 0). Wyprowadzenie wzoru na wartość nachylenia a jest bardzo proste. Szuamy minimum funcji n i= 1 [ ] = min. S = y i ax i (1.5) W wyniu podniesienia wyrażenia y ax do wadratu otrzymujemy i i yi = + S ax y a y. i i i Wyciągnięcie czynniów stałych przed zna sumy daje S = yi a xi yi + a yi Dla znalezienia minimum obliczamy pochodną względem a i przyrównujemy do zera ds = 0 xi yi + a yi da W rezultacie otrzymujemy wzór na wartość parametru = 0. xi yi a =, (1.6) y inny niż (1.1). Bez wyprowadzenia podajemy formułę na niepewność i 5

S u ( a) =, (1.7) ( n 1) gdzie wartość S oreśla suma (1.5). Drugim przypadiem szczególnym jest dopasowanie prostej poziomej, opisanej równaniem y = b. Analogiczne wyprowadzenie z warunu minimum sumy wadratów daje x i yi b = (1.8) n czyli średnią arytmetyczną. Użycie średniej jao najlepszego przybliżenia dla ciągu n obserwacji (wzór (1.5)) jest zatem przypadiem szczególnym metody najmniejszych wadratów, gdzie dopasowywaną funcją jest funcja stała y = b. Metoda najmniejszych wadratów a problem błędów systematycznych i grubych Metoda najmniejszych wadratów jest oceną typu A statystyczną analizą serii n par liczb x i, y i. Zapewnia ocenę niepewności u(a) i u(b) pochodzącej tylo od błędu przypadowego. Jednaowy dla wszystich puntów błąd systematyczny powoduje przesunięcie całego obrazu puntów esperymentalnych i prostej. Taie przesunięcie (wzdłuż ierunu x bądź y) wpływa tylo na wartość parametru b prostej. Jest więc bez znaczenia w sytuacjach, gdy naprawdę ważnym rezultatem esperymentu jest współczynni nachylenia a. Drugi, często spotyany rodzaj błędu systematycznego, polega na tym, że punty odchylają się od prostej na początu lub na ońcu zaresu pomiarowego. Przy dopasowaniu prostej, ta metodą najmniejszych wadratów ja i graficzną, należy nie brać pod uwagę puntów systematycznie odbiegających od zależności liniowej (choć wszystie punty poazujemy na wyresie). Przejawem błędu grubego jest punt wyresu drastycznie odbiegający od pozostałych. Może on być wyniiem pomyłi przy wyonywaniu esperymentu i zapisie jego wyniów oraz pomyłi przy wprowadzaniu danych do alulatora lub omputera. Nawet pojedynczy tai punt zdecydowanie psuje jaość dopasowania metodą najmniejszych wadratów. Reasumując: wyres umożliwiający wizualną ocenę danych należy wyonać (lub obejrzeć na monitorze omputera) przed przystąpieniem do obliczeń. Przyład 1.8. Dopasowanie prostej metodą najmniejszych wadratów Przedstawiony przyład liczbowy dotyczy zależności rezystancji opornia platynowego od temperatury. Zależność tą w stosowanym zaresie temperatur opisuje prosta R = at + b, gdzie t jest temperaturą mierzoną w stopniach Celsjusza. Przez 15 puntów doświadczalnych (rys. 1.9) należy przeprowadzić prostą metodą najmniejszych wadratów. Przedstawiona poniżej tabela zawiera współrzędne puntów esperymentalnych (olumny x i, y i ) i wszystie pośrednie rezultaty obliczeń 6

i x i y i (x i x ) (x i x ) y i δ y i = y i (a x i +b) δ y i 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 5 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 109,4 110,1 11 114,7 116,0 118,1 119,5 11,8 13,1 14,9 17,6 19,4 130,6 131,9 134,1 15 900 65 400 5 100 5 0 5 100 5 400 65 900 15 389 3303 800 94 1740 1181 597,5 0 615,5 149 1914 588 365 3957 4693 +0,54 0,57 0,48 +0,40 0,11 +0,18 0,3 +0,5 0,6 0,7 +0,6 +0,60 0,01 0,5 0,13 0,9 0,33 0,3 0,16 0,01 0,03 0,05 0,06 0,07 0,07 0,38 0,36 0,00 0,7 0,0 Suma 900 183, 7000 537,5,33 Obliczenie parametrów prostej: x = 900/15 = 60 C D = 7000 deg a = 537,5/7000 = 0,365 Ω/deg y = 183,/15 = 11,55 Ω b = 11,55 0,365 60 = 99,80 Ω Na podstawie obliczonych parametrów a i b możemy wyreślić dopasowaną prostą. W tym celu obliczamy współrzędne dwóch dowolnych puntów prostej, np. R(100 C) = 0,365 100 + 99,8 = = 136,05 Ω oraz R (0 C) = b = 99,8 Ω, i punty te łączymy linią prostą. Zgodność prostej i puntów doświadczalnych stanowi najlepszy sprawdzian poprawności obliczeń doonanych do tej pory! Na podstawie sumy wadratów odchyłe puntów od prostej (ostatnia olumna tabeli) obliczamy wartość, 33 s y = = 0,4 Ω 15 i niepewności standardowe parametrów prostej: u(a) = 0,4 7000 = 0,0050 Ω/deg, u(b) = 1 60 0 4 + 15 7000, = 0,4 Ω. W srócie parametry prostej regresji i ich niepewności można zapisać jao: a = 0,365(50) Ω/deg, b = 99,80(4) Ω. Fat, parametr b jest w granicach niepewności rozszerzonej równy 100 Ω nie jest przypadiem. Pomiar nasz wyonany został dla standardowego opornia Pt służącego do pomiaru temperatury, wyonanego ta, by w temperaturze 0 C jego rezystancja wynosiła doładnie 100 Ω. 7