WPROWADZENIE DO TEORII BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARU

Transkrypt

1 Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego WPROWADZENIE DO TEORII BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARU 1. Błąd a niepewność pomiaru Pojęcia błędu i niepewności pomiaru są bardzo często ze sobą mylone. Zasadniczą różnicą między nimi jest fakt, że na błędy mamy wpływ i możemy je naprawić, ulepszając tym samym pomiar. Z kolei niepewność pomiaru jest parametrem, który charakteryzuje wątpliwość odnośnie wyniku przeprowadzonego pomiaru Błąd pomiaru W znaczeniu ilościowym przez błąd pomiaru rozumiemy różnicę między wartością zmierzoną x i i rzeczywistą x 0, błąd pomiaru = x i x 0 (1.1.1) Rozróżniamy trzy podstawowe rodzaje błędów: przypadkowy, systematyczny i gruby. Przy błędzie przypadkowym obserwujemy rozrzut wyników pomiaru wokół wartości rzeczywistej. Najczęściej źródłem błędu przypadkowego jest niedokładność i przypadkowość działania ludzkich zmysłów. Wykonując kolejny pomiar człowiek zrobi to nieco inaczej, stąd powstanie statystyczny rozrzut wyników. Celem zmniejszenia błędu przypadkowego można wielokrotnie powtórzyć pomiar i jako wynik przyjąć wartość średnią z uzyskanych wyników (równanie 3.1.1). Z błędem systematycznym mamy do czynienia, gdy przy powtarzaniu pomiaru występuje ta sama różnica między wartościami zmierzonymi a wartością rzeczywistą, natomiast rozrzut wyników poszczególnych pomiarów jest niewielki lub nie występuje w ogóle. O błędzie grubym mówimy, gdy różnica między wynikiem pomiaru i wartością rzeczywistą jest duża lub drastycznie duża. Błąd gruby pojawia się na skutek nieumiejętności użycia danego przyrządu, pomyłek przy odczytywaniu i zapisie wyników itp Niepewność pomiaru Zasady rachunku niepewności opisane zostały w pozycji Guide to the Expression of Uncertainty In Measurement opracowanej przez połączoną grupę roboczą organizacji standaryzacyjnych. W języku polskim pozycja ta została wydana w 1996 roku przez Główny Urząd Miar pod tytułem Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik. Zgodnie ze wspomnianym wyżej przewodnikiem [1] niepewność pomiaru definiuje się jako: związany z rezultatem pomiaru parametr, charakteryzujący rozrzut wyników, który można w uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej. W nomenklaturze występują dwa rodzaje niepewności: graniczna (zakreślająca maksymalny przedział, w którym z bardzo dużym prawdopodobieństwem znajdzie się wartość mierzona) oraz Biuro Projektu Politechnika Gdaoska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej kierunekzamawiany.im@gmail.com ul. G. Narutowicza 11/12, pok. 103 d tel.: Gdaosk

2 standardowa (będąca oszacowaniem odchylenia standardowego, a więc miarą średniego odchylenia wartości mierzonych od wartości rzeczywistej). Ta druga jest oficjalnie przyjętym i stosowanym terminem zgodnie z [1]. Niepewność standardowa 1 oznaczana jest symbolem u(x), gdzie symbol w nawiasie definiuje wielkość mierzoną i posiada taki sam wymiar jak wielkość mierzona. Analiza odchyleń pojedynczych pomiarów pozwala zauważyć, że nie są one jednakowo prawdopodobne. Zależność prawdopodobieństwa częstości występowania odchyleń od ich wartości zwana jest rozkładem prawdopodobieństwa. Opis dwóch najważniejszych rozkładów oraz zasadę przyjmowania poziomu ufności omówimy w oparciu o wstęp do obowiązującego obecnie na laboratorium fizycznym skryptu [2]. Dla dużej ilości prób (pomiarów) stosujemy rozkład Gaussa (normalny) natomiast dla małej ilości pomiarów stosujemy rozkład Studenta. Na Rys.1 przedstawione są wykresy obu rozkładów. Odchylenie standardowe S x w rozkładzie Gaussa należy rozumieć w tym sensie, że wartość rzeczywista x 0 znajduje się w przedziale <, > z prawdopodobieństwem p wynoszącym około 0,683 (prawdopodobieństwo to nazywa się poziomem ufności). Jest to wartość pola pod krzywą w granicach <, >. Gdy liczba przeprowadzonych pomiarów jest stosunkowo duża (n>9), zgodnie z rozkładem Gaussa odchylenie standardowe oblicza się ze wzoru (3.1.4) szerzej omówionego w dalszej części niniejszego opracowania. Rys.1: Wykresy obrazujące rozkłady prawdopodobieństwa: a) Rozkład Gaussa, b) Rozkład Studenta Jak wynika z Rys.1, krzywa Studenta jest bardziej spłaszczona w stosunku do krzywej Gaussa. Dlatego odchylenie standardowe w rozkładzie Studenta jest t n razy większe od odchylenia standardowego w rozkładzie normalnym. Wartość współczynnika t n (zwanego współczynnikiem krytycznym rozkładu Studenta) zależy od ilości pomiarów i od poziomu ufności. W Tab.1 przedstawione są wartości t n w zależności od liczby pomiarów n dla poziomu ufności p=0,683. Taki poziom ufności przyjmujemy przy opracowaniu pomiarów w laboratorium studenckim: n t n 1,84 1,32 1,20 1,14 1,11 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 Tab.1: Wartości współczynników krytycznych w zależności od ilości przeprowadzonych pomiarów dla rozkładu Studenta. W praktyce laboratoryjnej przyjmujemy założenie, że gdy liczba n pomiarów jest niewielka (6 n 11), do analizy statystycznej otrzymanych rezultatów i oceny niepewności przypadkowej wartości średniej stosuje się rozkład Studenta. Wówczas odchylenie standardowe S x wartości średniej oblicza się ze wzoru: (1.2.1) 1 W dalszej części instrukcji do określenia niepewności standardowej może być używane samo słowo niepewność bez przymiotnika. 2

3 Niepewność względna Jeśli niepewność standardowa (bezwzględna) zostanie podzielona przez wartość mierzoną, to uzyskamy niepewność względną, która jest z kolei wielkością bezwymiarową: ( ) Niepewność względna może być również wyrażona w procentach: ( ) Daje ona bardzo dobre wyobrażenie o stosunku niepewności do wartości mierzonej (a więc o dokładności pomiaru) i umożliwia porównywanie wielkości mających różny wymiar Niepewność rozszerzona Niepewność rozszerzona U została wprowadzona w [1] jako wielkość służąca do wnioskowania o zgodności wyników pomiarów z innymi rezultatami. Jest to niepewność standardowa rozszerzona tak, by w przedziale y U(y), y+u(y) znalazła się przeważająca część wyników pomiaru potrzebna do określonych zastosowań. Oblicza się ją poprzez przemnożenie wielkości złożonej u c (y) przez bezwymiarowy czynnik rozszerzenia k: ( ) W praktyce powszechnie przyjętą wartością jest k=2. 2. Prawo propagacji niepewności W związku z tym, że wiele wielkości fizycznych wyznacza się drogą pomiarów pośrednich, wielkości te stają się funkcją wielu zmiennych wyznaczanych bezpośrednio: y (x 1, x 2,., x k ). Przykładem może być wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego, gdzie w trakcie eksperymentu dokonywane są pomiary długości i okresu drgań wahadła, a dopiero z nich wyliczane jest przyspieszenie ziemskie. W konsekwencji niepewność każdego z dokonywanych pomiarów u(x 1 ), u(x 2 ) itd. przenosi się na niepewność ostatecznie poszukiwanej wielkości fizycznej zgodnie z tzw. prawem propagacji niepewności. Sposób obliczania niepewności w tego typu sytacjach przedstawiony został poniżej: 2.1. Funkcja jednej zmiennej W przypadku funkcji jednej zmiennej y=f(x) niepewność u(y) obliczamy jako różniczkę funkcji y(x), czyli jako iloczyn pochodnej funkcji i niepewności u(x): (2.1.1) 2.2. Funkcja wielu zmiennych 3

4 W przypadku funkcji wielu zmiennych obliczamy różniczki cząstkowe dla poszczególnych zmiennych x 1, x 2,, x k (jak w przypadku funkcji jednej zmiennej) i tworzymy z nich sumę geometryczną: gdzie są kolejnymi pochodnymi cząstkowymi. (2.2.1) Obliczona w ten sposób niepewność nosi nazwę niepewności złożonej i oznaczana jest symbolem u c lub u c (y). Szczególnie wygodne zastosowanie prawa propagacji niepewności uzyskuje się, gdy zamiast niepewności bezwzględnych obliczamy złożoną niepewność względną: w(y)=u c (y)/ y. Robi się to zgodnie ze wzorem: (2.2.2) Niepewność maksymalna pomiaru wielkości złożonej W laboratorium studenckim dla uproszczenia bardzo często oblicza się tzw. niepewność maksymalną pomiaru wielkości złożonej y (x 1, x 2,., x k ). Robi się to zgodnie ze wzorem: ( ) Daje to szczególnie wygodne podejście do rachunku niepewności w przypadku funkcji o postaci iloczynu: ( ) Wówczas względna maksymalna niepewność pomiaru wielkości złożonej y (x 1, x 2,., x k ) wyraża się wzorem: ( ) 3. Ocena niepewności pomiarów bezpośrednich 3.1. Ocena niepewności pomiarowych typu A Niepewności pomiarowe typu A dotyczą serii pomiarów danej wielkości. Wykonywanie n pomiarów bezpośrednich jednej wielkości odpowiada w tej metodzie losowaniu n {x 1, x 2, x 3,, x n } elementów z nieskończonego zbioru, w którego skład wchodzą wszelkie możliwe wartości pomiaru. Wynikowi pomiarów w takiej sytuacji odpowiada zatem średnia arytmetyczna ze wszystkich wykonanych pomiarów. (3.1.1) W dalszej części rozważań będziemy przyjmować, że granice sum podanych we wzorach są zgodne z tymi w równaniu (3.1.1). Warto zauważyć, że korzystanie z zależności na średnią arytmetyczną jest zgodne z intuicją, przy im większa jest ilość przeprowadzonych pomiarów, tym wartość średniej coraz bardziej zbliża się do wartości x. 4

5 W celu podania rozrzutu wyników od wartości oczekiwanej x 0 (w przypadku pomiaru odpowiadającej właściwej jego wartości) musimy posłużyć się pojęciem estymatora odchylenia standardowego, który zgodnie z prawami statystyki możemy obliczyć ze wzoru: (3.1.2) Estymator ten jednak odpowiada niepewności jednego konkretnego pomiaru naszej mierzonej wielkości (odchyleniu od wartości oczekiwanej jednego losowego elementu zbioru). W celu obliczenia odchylenia standardowego dla wyniku całej serii pomiarów należy uwzględnić fakt, że w przypadku liczenia wartości średniej dochodzi do kompensacji odchyleń wynikających z rozbieżności pomiarów z wartością oczekiwaną. W związku z tym zależność pomiędzy estymatorem odchylenia standardowego, a estymatorem odchylenia standardowego średniej może być zapisana w następujący sposób: (3.1.3) Podstawiając we wzorze (3.1.3) zależność (3.1.2) otrzymujemy jawną zależność na estymator odchylenia standardowego średniej, który w naszym przypadku będzie odpowiadał niepewności pomiaru oznaczanej jako u(x). (3.1.4) Podane wyżej wielkości nazywane są estymatorami ze względu na to, że podają wartość właściwą odchylenia standardowego tylko w przypadku kiedy n co sprawia, że dla pomiarów skończonych podana przez nie wartość jest tylko wartością przybliżoną Ocena niepewności pomiaru typu B Ocenę niepewności pomiaru typu B stosujemy w wypadku, kiedy niemożliwa jest ocena niepewności metodami statystycznymi np. w przypadku wykonania tylko jednego pomiaru, bądź gdy pomiary nie wykazują rozrzutu. W celu oceny niepewności w tej metodzie eksperymentator zmuszony jest to wykorzystania tylko i wyłącznie wiedzy na temat badanego zjawiska i aparatury pomiarowej. W praktyce należy wykorzystać do oceny niepewności następujące elementy: Wiedzę na temat badanego obiektu, zjawiska, wielkości, Doświadczenie wynikające z poprzednich pomiarów daną oraz inną aparaturą, Informacji dotyczących sprzętu pomiarowego dostarczonych przez producenta, Wszelkie inne informacje mogące być pomocne w ocenie niepewności Zatem przy dokładnej analizie pomiaru możliwe jest uzyskanie dobrego przybliżenia niepewności pomiaru metodą typu B (w wielu przypadkach może ona być lepsza od oceny niepewności metodą typu A ze względu na uwzględnienie empirycznych zależności). W celu oceny niepewności typu B w największej mierze należy się skupić na sprzęcie pomiarowym, który eksperymentator będzie używał. Ważnym pojęciem w analizie niepewności pomiaru typu B jest niepewność wzorcowania Niepewność wzorcowania Niepewność wzorcowania jest głównym powodem rozbieżności wyników doświadczalnych z teorią w momencie, kiedy nie jest możliwa analiza statystyczna wyników. 5

6 W przypadku najprostszych przyrządów pomiarowych takich jak np. linijka, suwmiarka czy prosty termometr alkoholowy, producenci zwykle nie podają niepewności wzorcowania bądź kolokwialnie mówiąc dokładności pomiaru. W takim przypadku przyjmujemy, że niepewność wzorcowania jest równa tzw. działce elementarnej, czyli najmniejszej działce skali na danym przyrządzie. Na przykład w przypadku linijki będzie to 1mm, a w przypadku termometru lekarskiego 0,1 C. W przypadku pomiaru z niepewnością wzorcowania możemy przyjąć, że odchylenie standardowe takie pomiaru odpowiada odchyleniu standardowemu w rozkładzie jednostajnym prawdopodobieństwa. W związku z tym odchylenie standardowe takiego pomiaru wynosi: ( ) Oczywiście oprócz tak prostych przyrządów jak wymienione powyżej eksperymentator ma do czynienia również z innego rodzaju miernikami zarówno analogowymi jak i cyfrowymi. Dla różnych typów mierników wyznaczanie niepewności wzorcowania przebiega trochę inaczej Niepewność wzorcowania przyrządów analogowych W przypadku przyrządów analogowych niepewność wzorcowania jest obliczana w pierwszej kolejności na podstawie tzw. klasy przyrządu. Klasa przyrządu wyraża stosunek procentowy niepewności maksymalnej x do pełnego wychylenia miernika w danym zakresie. Oznacza to, że wartości odczytana z miernika może się różnić od wartości prawdziwej x 0 maksymalnie o. Niestety w większości przypadków pomiar miernikiem analogowym nie jest dokładny w tym sensie, że wskazówka miernika nie pokrywa się działką, ale znajduje się na przykład w jej 1/3. W związku z tym przy wyznaczaniu niepewności wzorcowania takiego miernika musimy uwzględnić to, że w sposób subiektywny oceniamy położenie wskazówki. Eksperymentator musi w takim przypadku sam ocenić o ile mógł się pomylić w odczycie. Niepewność wzorcowania (niepewność maksymalna) przyrządu analogowego jest sumą niepewności wynikającej z klasy i z odczytu, a niepewność standardową obliczamy ze wzoru: ( ) Niepewność wzorcowania przyrządów cyfrowych W przypadku przyrządów cyfrowych nie mamy do czynienia z niepewnością wynikającą z niedokładnego odczytu danej wielkości. Jednakże należy wziąć pod uwagę dokładność z jaką wyświetlacz cyfrowy podaje nam wartość mierzoną. Przeskok ostatniej cyfry na wyświetlaczu możemy nazwać działką elementarną miernika, jednakże istotnym faktem jest to, że nie możemy go utożsamać z niepewnością pomiaru miernika. W celu ustalenia niepewności wzorcowania miernika cyfrowego należy zwrócić się do instrukcji obsługi. Dla każdego miernika cyfrowego producent jest zobowiązany podać jego niepewność wzorcowania. Najczęściej jest to kombinacja wielkości mierzonej i zakresu miernika. ( ) Gdzie współczynniki C 1 i C 2 są wyznaczane przez producenta miernika. W celu obliczenia niepewności standardowej pomiaru takim miernikiem musimy skorzystać z zależności: ( ) Niepewność eksperymentatora 6

7 Poza niepewnościami wzorcowania wynikającymi z niedoskonałości używanych przyrządów pomiarowych sam eksperymentator może prowadzić do rozbieżności wyników pomiarów od wartości właściwej x 0. Eksperymentator na podstawie własnej wiedzy na temat pomiaru i jego warunków ocenia wartości niepewności maksymalnej eksperymentatora. W celu wyznaczenia odchylenia standardowego w przypadku niepewności eksperymentatora należy posłużyć się wzorem: ( ) Całkowita niepewność standardowa W większości przypadków przy ocenie niepewności typu B należy uwzględnić zarówno niepewność wzorcowania jak i niepewność eksperymentatora. W związku z tym całkowitą niepewność standardową w przypadku występowania tylko niepewności typu B obliczamy ze wzoru: ( ) W przypadku gdy obydwa typy niepewności występują jednocześnie korzystamy ze wzoru: ( ) Maksymalna niepewność W wielu przypadkach w celu uproszczenia obliczeń zamiast korzystać z całkowitej niepewności standardowej można skorzystać z niepewności maksymalnej opisanej w rozdziale niniejszego opracowania. 4. Metody zapisu niepewności pomiarowych 4.1. Metoda zapisu liczbowego W celu dokładnego zapisu wyniku liczbowego pomiaru doświadczalnego należy stosować się do ogólnie przyjętego kanonu zapisu. Pierwszą istotną kwestią jest ustalenie tzw. ostatniej cyfry znaczącej. Kiedy dokonujemy pomiaru, bądź gdy na podstawie pomiarów pośrednich wyznaczamy daną wielkość, w wielu przypadkach otrzymujemy wyniki w dużą ilością miejsc po przecinku co wcale nie musi oznaczać, że z taką dokładnością dokonaliśmy pomiaru. Wynik podajemy z taką liczbą miejsc po przecinku jaką obejmuje dokładność. Niepewność podajemy z dokładnością do dwóch cyfr znaczących. Zapisując wynik należy ponadto pamiętać, że zarówno wielkość mierzona jak i niepewność muszą posiadać tą samą jednostkę. Przykładem może być prosty pomiar przyspieszenia grawitacyjnego. Załóżmy, że wynik pomiaru g=9, m/s 2 przy niepewności maksymalnej bezwzględnej g=0.02 m/s 2. Wynik takiego pomiaru z uwzględnieniem niepewności pomiaru możemy zapisać jako: 7

8 4.2. Metoda zapisu graficznego W części eksperymentów ich wynikiem może nie być wartość liczbowa, ale wykres danych pomiarowych. Może on być wykonany zarówno na papierze milimetrowym jak i przy pomocy komputera. W obu przypadkach sposób oznaczenia niepewności pomiarów oraz zasady prezentacji wyników pozostają takie same. Pierwszym etapem przy sporządzaniu wykresu danych pomiarowych jest obranie odpowiedniej skali. Musi ona być dobrana w taki sposób, aby punkty pomiarowe znajdowały się na całym jego obszarze. Niedopuszczalne jest, aby punkty zajmowały np. ¼ obszaru. Istotnym faktem jest to, że osie na wykresie nie muszą rozpoczynać się od zera. Ponadto, na każdym wykresie, bez względu na to jaką metodę prezentacji wybierzemy, muszą znajdować się słupki bądź pola niepewności pomiarów dotyczące obu osi. Większość programów wykorzystywanych do obróbki danych pozwala na dodanie wielkości niepewności pomiarów do wykresów. Przykładowo możemy wykonać prosty wykres wielkości Y, której jednostkę przyjmujemy jako y od wielkości X, której jednostką jest x. Punkty pomiarowe, które należy nanieść na wykres to: Lp. X[x] Y[y] 1 13,7 116, ,2 2155, ,2 3472,4 6 33,7 838,2 7 63,1 5187,6 8 80, , ,7 Ponadto wiemy, że niepewność rozszerzona procentowa wynosi 10% dla wartości X oraz 15% dla Y. Wykres zależności możemy wykonać za pomocą programów komputerowych służących do obróbki danych, takich jak np. Origin for Windows 8

9 Y [y] X [x] Jedynymi liniami, które mogą się pojawić na wykresie, są proste bądź krzywe pochodzące z dopasowań punktów pomiarowych do znanych równań za pomocą aproksymacji, np. aproksymacji liniowej metodą najmniejszych kwadratów. 9

10 Y [y] ZLE X [x] Każdy przygotowywany wykres bez względu na wybraną metodę musi być wykonany w sposób dokładny i estetyczny. Ma on ilustrować wyniki pomiarów w sposób jasny dla osoby postronnej. 5. Regresja liniowa. Metoda najmniejszych kwadratów. Regresja liniowa jest to metoda estymowania zmiennej wartości y przy znanych wartościach innej zmiennej lub zmiennych x. Regresja w ogólności to problem estymacji warunkowej wartości oczekiwanej. Regresja liniowa jest nazywana liniową, gdyż zakładanym modelem zależności między zmiennymi zależnymi, a niezależnymi, jest funkcja liniowa. W przypadku jednej zmiennej y można wyznaczyć prostą regresji linowej w postaci: (5.1) Parametry prostej a i b można wyznaczyć, za pomocą tzw. metody najmniejszych kwadratów. Metoda najmniejszych kwadratów jest najpowszechniej stosowaną metodą analityczną. Swoją nazwę zawdzięcza kryterium jakości dopasowania takiego doboru parametrów prostej, by suma kwadratów różnic wartości eksperymentalnych y i obliczonych ax+b była jak najmniejsza. (5.2) To kryterium jest spełnione przy założeniu, że wszystkie punkty pomiarowe są obarczone jednakowym błędem przypadkowym o rozkładzie Gaussa. Zgodnie z zasadami analizy matematycznej w celu obliczenia kryterium minimum funkcji należy obliczyć pochodne po obu zmiennych oraz przyrównać je do zera: (5.3) 10

11 Wyznaczenie rozwiązania równań odpowiada rozwiązaniu układu równań liniowych dla a i b: (5.4) (5.5) gdzie n jest liczbą punktów pomiarowych. Rozwiązanie tego układu można zapisać w następujący sposób: 1. Wyznaczamy średnie wartości x oraz y (5.6) 2. Parametry a i b obliczamy na podstawie wzorów: (5.7) gdzie: (5.8) W celu obliczenia odchylenia standardowego dla dopasowania prostej metodą najmniejszych kwadratów obliczamy wielkość S y za pomocą wzoru: (5.9) Na podstawie obliczonej wartości S y można określić niepewność wyznaczenia współczynników prostej: (5.10) Powyższe wzory służą do ręcznego obliczania współczynników nachylenia prostej dla danego zbioru punktów pomiarowych. Dopasowania prostej można również dokonać za pomocą programu komputerowego np. Origin dla Windows 11

12 Y[y] X[x] y = ax+b Parametr Wartość Odchylenie stand A B R= Należy zwrócić uwagę, że program komputerowy w przypadku zdefiniowania niepewności pomiaru dla punktów pomiarowych przy wyliczaniu niepewności dopasowania prostej wkalkuluje je w wyniku. Ponadto poda również wartość R, która mówi o dokładności dopasowania prostej do punktów pomiarowych. Im wartość tego parametru jest bliższa jedności, tym dopasowanie jest lepsze. Literatura: [1] Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, ISO, Switzerland Tłumaczenie: Wyrażanie niepewności pomiaru: Przewodnik, Główny Urząd Miar, Warszawa [2] J. Dudkiewicz, B. Kusz, I laboratorium z fizyki. Część 2, Gdańsk