Dokładność pomiaru: Ogólne informacje o błędach pomiaru

Transkrypt

1 Dokładność pomiaru: Rozumny człowiek nie dąży do osiągnięcia w określonej dziedzinie większej dokładności niż ta, którą dopuszcza istota przedmiotu jego badań. (Arystoteles) Nie można wykonać bezbłędnego wyznaczenia wielkości fizycznej tzw. pomiaru absolutnie dokładnego. Ogólne informacje o błędach pomiaru Wynik pomiaru na ogół różni się od wartości prawdziwej (rzeczywistej) wielkości mierzonej. Różnica między wynikiem a wartością prawdziwą nazywana jest błędem pomiaru. W praktyce wartość prawdziwa nie jest znana i zastępowana jest wartością umownie prawdziwą (poprawną) akceptowalną w danych okolicznościach. W praktyce pomiarowej wyróżnia się trzy rodzaje błędów: błędy systematyczne, przypadkowe oraz nadmierne.

2 Błędami systematycznymi są błędy, które podczas pomiarów tej samej wartości pewnej wielkości, wykonywanych w tych samych warunkach, pozostają stałe zarówno co do wartości bezwzględnej jak i co do znaku lub błędy zmieniające się według określonego prawa wraz ze zmianą warunków. Źródłami błędów systematycznych są metody i przyrządy pomiarowe, niezachowanie wymaganych warunków pomiaru, obserwator. Charakterystyczną cechą błędów systematycznych jest możliwość całkowitego lub częściowego ich usunięcia z wyniku pomiaru. Wśród błędów systematycznych wyróżnia się trzy ważne grupy: Błędy podstawowe -są to błędy przyrządów pomiarowych występujące podczas stosowania ich w tzw. warunkach odniesienia (lub inaczej znamionowych) podanych przez producenta. Głównymi ich przyczynami są: niedokładność wzorcowania i niedokładności konstrukcyjne oraz technologiczne narzędzi pomiarowych. Błędy podstawowe są błędami stałymi i mogą być w czasie pomiaru kompensowane przez stosowanie poprawek do wskazań przyrządów. Poprawka jest równa wartości oszacowanego błędu systematycznego ze znakiem przeciwnym. Błędy dodatkowe - są to błędy, których źródłem są zmiany właściwości przyrządów pomiarowych i obiektu pomiaru pod wpływem zmian warunków pomiaru w stosunku do przyjętych jako warunki odniesienia. Cechą charakterystyczną błędów dodatkowych jest to, że ich wartości zmieniają się przy ustalonej wartości wielkości mierzonej, według znanego prawa jako funkcje wielkości wpływowych. Normalne warunki wpływowe i wartości błędów dodatkowych podawane sa przez producentów aparatury pomiarowej. Błędy metody wynikające głównie z oddziaływania przyrządów pomiarowych na obiekt pomiaru, np. powodowane poborem energii przez przyrząd ze źródła sygnału mierzonego. Wśród błędów metody ważną grupę stanowią błędy związane ze stosowaniem przybliżonych modeli badanych zjawisk lub wzorów empirycznych. Błędy metody można na ogół sprowadzić do wartości pomijalnych przez stosowanie odpowiednich poprawek rachunkowych lub właściwy dobór warunków pomiaru.

3 Przykład błędu systematycznego związanego z metodą pomiarową Pomiar prądu w obwodzie elektrycznym złożonym ze źródła napięcia i obciążenia: a) obwód pierwotny; b) obwód pomiarowy po włączeniu amperomierza Włączenie do obwodu amperomierza powoduje zmianę warunków pracy obwodu i prądu płynącego w obwodzie Spowoduje to powstanie błędu względnego gdzie: Błąd ten będzie mało istotny przy spełnieniu warunku R a <<R o +R z Można również wyznaczyć odpowiednią poprawkę i skorygować wynik

4 Błędami przypadkowymi są błędy zmieniające się w sposób nieprzewidziany podczas wykonywania dużej liczby pomiarów tej samej wielkości w warunkach praktycznie niezmiennych. Główne przyczyny powstawania: niedoskonałość zmysłów obserwatora i brak dostatecznej koncentracji podczas pomiarów, rozrzut wskazań przyrządów pomiarowych powodowany niestałością ich właściwości statycznych i dynamicznych, krótkotrwałe zmiany wielkości wpływowych. Ograniczenie wpływu błędów przypadkowych uzyskuje się przez wielokrotny pomiar tej samej wartości wielkości i przyjęcie średniej arytmetycznej jako wyniku ostatecznego. Osobną grupą błędów są błędy nadmierne, zwane omyłkami lub błędami grubymi. Powodują one jawne zniekształcenie wyniku pomiaru. Najczęstszymi przyczynami pojawienia się tych błędów są: nieprawidłowy odczyt lub błędny zapis wyniku pomiaru, zastosowanie niewłaściwego przyrządu lub pomiar przyrządem uszkodzonym.

5 Rozróżniamy następujące rodzaje błędów pomiarowych ze względu na źródła ich powstania: a) błędy powodowane przez przyrządy pomiarowe, np. skończona rezystancja wewnętrzna woltomierzy, nieliniowość wskazań przyrządów pomiarowych lub niedoskonałość ich wzorcowania, b) błędy powodowane przez metody pomiarowe, c) błędy powodowane przez mierzącego, np. brak doświadczenia, zmęczenie, skłonności, nawyki, d) błędy powodowane przez obliczenia to błędy przy niewłaściwym zaokrągleniu, niewłaściwe metody wyrównywania błędów, e) błędy powodowane przez wpływ otoczenia na mierzącego, na przyrządy i na mierzoną wielkość. Czynnikami wywołującymi te błędy to temperatura ciśnienie, wilgotność powietrza, zakłócenia elektromagnetyczne.

6 Zapis wyniku pomiaru powinien umożliwiać ocenę dokładności z jaką została określona wartość wielkości mierzonej. W tym celu podaje się jednocześnie z wynikiem pomiaru x wartość błędu x g x p = x ± x g gdzie x p jest poprawną wartością wielkości x. Zaleca się obliczania błędu zgodnie z następującymi zasadami: wartość liczbową błędu należy zaokrąglać "w górę" i zapisywać liczbą o jednym miejscu znaczącym, np.: 2; 0,02; zapis błędu pomiaru w postaci dwu cyfr znaczących jest zalecany w pomiarach dokładnych oraz wówczas, gdy wskutek zaokrąglenia do jednej cyfry znaczącej wartość błędu zwiększyłaby się więcej niż o 10%. Wynik pomiaru oblicza się z jednym miejscem dziesiętnym więcej niż to, na którym zaokrąglono błąd, po czym zaokrągla go się (zgodnie z regułą zaokrąglania liczb) tak, aby ostatnia cyfra wyniku odpowiadała miejscem wartości liczbowej błędu, np.: (121±1) cm, (19,45±0,13) ma.

7 Błąd bezwzględny definiowany jest jako różnica wyniku pomiaru X i wartości rzeczywistej X R Niedokładność pomiaru wynika głównie z istnienia dopuszczalnego błędu systematycznego narzędzia pomiarowego określonego jego klasą dokładności. Błąd względny definiowany jest jako stosunek błędu bezwzględnego do wartości rzeczywistej Wyniki pomiarów w serii rozkładają się wokół wartości średniej Histogram Miarą rozproszenia wyników jest odchylenie standardowe

8 Rozkład pomiarów w serii wokół wartości średniej X jest rozkładem Gaussa. Prawdopodobieństwem, z jakim w zadanym przedziale znajdzie się dowolny pomiar z serii, nazywa się poziomem ufności, a przedział przedziałem ufności. W przedziale <X-σ, X+σ> mieści się 68,26% wyników z serii. W przedziale <X-2σ, X+2σ> mieści się 95,45% wyników z serii. W przedziale <X-3σ, X+3σ> mieści się 99,73% wyników z serii. Średni błąd kwadratowy wartości średniej wyraża się wzorem:

9 Niepewność pomiaru jest parametrem związanym z wynikiem pomiaru charakteryzującym rozrzut wartości, które można w sposób uzasadniony przypisać wielkości mierzonej. Wielkości mierzone są szczególnymi wielkościami, których wartość należy określić poprzez pomiar. Przy wzorcowaniu mamy zwykle do czynienia tylko z jedną wielkością mierzoną, nazywaną również wielkością wyjściową Y, która jest związana z wielkościami wejściowymi X i (i = 1, 2,..., N) funkcją Y = f (X 1, X 2,..., X N ) Funkcja pomiaru f opisuje zarówno metodę pomiarową jak i metodę obliczeniową. Podaje ona, jak z wartości wielkości wejściowych X i otrzymuje się wartość wielkości wyjściowej Y. Niepewność pomiaru związana z estymatami wielkości wejściowych jest obliczana metodą typu A lub typu B. Metoda typu A obliczania niepewności standardowej jest metodą, w której niepewność jest obliczana za pomocą analizy statystycznej serii obserwacji. Niepewność standardowa jest w tym przypadku odchyleniem standardowym eksperymentalnym średniej otrzymanej metodą uśredniania lub odpowiednią analizą regresji. Metoda typu B obliczania niepewności standardowej jest metodą, w której niepewność jest obliczana innym sposobem niż analiza statystyczna serii obserwacji. W takim przypadku obliczanie niepewności oparte jest na innego rodzaju przesłankach naukowych.

10 Metodę typu A obliczania niepewności standardowej stosuje się wtedy, gdy istnieje możliwość przeprowadzenia w identycznych warunkach pomiarowych wielu niezależnych obserwacji jednej z wielkości wejściowych. Jeżeli rozdzielczość procesu pomiarowego jest wystarczająca, otrzymane wyniki charakteryzuje zauważalny rozrzut. Obliczanie niepewności standardowej metodą typu B jest obliczaniem niepewności związanej z estymatą x i wielkości wejściowej X i inną metodą niż analiza statystyczna serii obserwacji. Niepewność standardowa u(x i ) jest określana za pomocą analizy naukowej opartej na wszystkich dostępnych informacjach nt. możliwej zmienności X i. W tej kategorii informacji mogą znajdować się: dane uzyskane z wcześniej przeprowadzonych pomiarów, posiadane doświadczenie lub ogólna znajomość zachowania się i właściwości odpowiednich materiałów i przyrządów pomiarowych, specyfikacje producenta, dane uzyskane ze świadectw wzorcowania i z innych certyfikatów, niepewności związane z danymi odniesienia, uzyskane z podręczników.

11 W praktyce istnieje wiele możliwych źródeł niepewności pomiaru, są to m.in.: (a) niepełna definicja wielkości mierzonej, (b) niedoskonała realizacja definicji wielkości mierzonej, (c) niereprezentatywne pobieranie próbek, tzn. mierzona próbka nie jest reprezentatywna dla definiowanej wielkości mierzonej, (d) niepełna znajomość wpływu warunków środowiskowych na procedurę pomiarową lub niedoskonały pomiar parametrów charakteryzujących te warunki, (e) subiektywne błędy w odczytywaniu wskazań przyrządów analogowych, (f) skończona rozdzielczość lub próg pobudliwości przyrządu, (g) niedokładnie znane wartości przypisane wzorcom i materiałom odniesienia, (h) niedokładnie znane wartości stałych i innych parametrów, otrzymanych ze źródeł zewnętrznych i stosowanych w procedurach przetwarzania danych, (i) upraszczające przybliżenia i założenia stosowane w metodach i procedurach pomiarowych, (j) rozrzut wartości wielkości mierzonej uzyskanych podczas obserwacji powtarzanych w warunkach pozornie identycznych.

12 Analiza dokładności pomiarów bezpośrednich W charakterze najlepszej oceny wartości rzeczywistej X przyjmuje się średnią arytmetyczną Za miarę niepewności pojedynczego pomiaru z próby {x 1, x 2,,, x n } przyjmujemy odchyleniem standardowym pojedynczego pomiaru Niepewnością pomiarową s x, zwaną niepewnością standardową, obarczona jest również wartość średnia x Jeśli chcesz zwiększyć dokładność dwukrotnie, liczność próbki musisz zwiększyć cztery razy Jeśli dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru lub wyniki pomiarów nie wykazują rozrzutu, to w charakterze niepewności wartości średniej przyjmujemy gdzie d.e. jest wartością działki elementarnej przyrządu. W przypadkach, gdy w pomiarach uwzględniamy niepewność statystyczną i niepewność przyrządu pomiarowego, to należy wyznaczyć oszacowanie całkowitej niepewności standardowej wartości średniej ze wzoru

13 Błędy przypadkowe w pomiarach pośrednich Niech wynik pomiaru y będzie funkcją N różnych pomiarów x i, których niepewności u i potrafimy oszacować Złożona niepewność standardowa Jeżeli zmienne losowe x 1,x 2, są parami niezależne to drugi człon jest równy zeru i wzór uproszczony nazywany jest metodą różniczki zupełnej. Podane prawa propagacji niepewności obowiązują, gdy niepewności cząstkowe są małe (pominięcie mniej znaczących wyrazów szeregu Taylora). Oszacowanie niepewności metodą najgorszego przypadku

14 Przykład: Obliczanie przyspieszenia grawitacyjnego za pomocą wahadła matematycznego. Okres drgań wahadła matematycznego dany jest wzorem: stąd: Obliczamy pochodne cząstkowe i podstawiamy do wzoru: otrzymując