Grudzidz 007
Ą SPIS TREŚCI REGULAMIN GRUDZI DZKIEGO KONKURSU MATEMATYCZNEGO KATEGORIE KONKURSU KLASA PIERWSZA Rachunek zbiorów Liczby rzeczywiste 5 Funkcja liniowa 5 4 Własnoci funkcji 7 5 Zadania tekstowe 9 KLASY II ORAZ III POZIOM PODSTAWOWY Obliczenia procentowe Funkcja kwadratowa Wielomiany 4 Geometria analityczna 5 5 Trygonometria w trójkcie prostoktnym 8 KLASY II ORAZ III POZIOM ROZSZERZONY Funkcja kwadratowa Wielomiany Geometria analityczna 4 Geometria 5 5 Równania i nierównoci z wartoci bezwzgldn 7
ń GKM 07 - Regulamin Grudzi Rozdział Regulamin dzkiego Konkursu Matematycznego Grudzi dz 007 I Organizator Organizatorem Grudzidzkiego Konkursu Matematycznego jest zespól nauczycieli szkół ponadgimnazjalnych w Grudzidzu i Łasinie Patronat nad konkursem objło Polskie Towarzystwo Matematyczne - Oddział Toruń II Cel konkursu Celem konkursu jest rozwijanie zainteresowań matematycznych wród uczniów szkół ponadgimnazjalnych oraz aktywacja rodowiska nauczycieli matematyki na rzecz pracy z młodzie uzdolnion matematycznie III Przebieg konkursu Konkurs organizowany jest dla uczniów klas niematuralnych wszystkich typów szkół ponadgimnazjalnych w trzech kategoriach: klasy pierwsze, klasy drugie i trzecie - poziom podstawowy, klasy drugie i trzecie - poziom rozszerzony Dla kadej kategorii powołani zostan koordynatorzy oraz zespoły organizacyjne, które opracuj przygotowawcze zestawy zadań A) Wyłanianie reprezentacji Do dnia 0007 r szkoły zainteresowane udziałem w konkursie musz przesłać do koordynatorów list uczniów reprezentujc dan szkoł oraz nazwisko ich opiekunów Skład reprezentacji oraz wybór jej opiekunów ley w gestii nauczycieli matematyki danej szkoły IV B) Finał Finały odbd si 00407 r na terenie wytypowanych szkół w Grudzidzu w trzech kategoriach Kady uczeń bdzie miał 0 minut na rozwizanie 5 zadań W czasie konkursu nie mona korzystać z kalkulatorów, tablic matematycznych oraz innych pomocy naukowych, oprócz przyrzdów geometrycznych Nie naley uywać koloru czerwonego ani korektorów Zasady oceniania Powołane zostan komisje konkursowe dla poszczególnych kategorii Członkami komisji s wszyscy opiekunowie reprezentacji Warunkiem udziału uczniów danej szkoły jest obligatoryjne podjcie pracy w komisji przez ich opiekunów w poniedziałek 04007 r Kada z komisji powoła pić zespołów oceniajcych Kade zadanie oceniane bdzie w skali od 0 5 punktów Nie przyznaje si ułamków punktów 4 Wynikiem uczestnika jest suma punktów uzyskanych za rozwizania poszczególnych zadań 5 Wszelkie odwołania rozpatrywane bd przez koordynatorów do dnia 704007 r V Nagrody Uroczyste ogłoszenie wyników odbdzie si w terminie podanym przez organizatorów Tytuły laureatów zostan przyznane w nastpujcych kategoriach: klasy pierwsze, klasy drugie i trzecie - poziom podstawowy, klasy drugie i trzecie - poziom rozszerzony Ustalenia ko cowe Wszelkie sprawy, które nie s uwzgldnione w tym regulaminie rozstrzygaj koordynatorzy VI
ń GKM 07 Kategorie konkursu Rozdział Kategorie konkursu Kategoria Dział matematyki Autorzy zestawu zada Klasa pierwsza Klasy II i III poziom podstawowy Klasy II i III poziom rozszerzony Rachunek zbiorów Liczby rzeczywiste Funkcja liniowa 4 Własnoci funkcji 5 Zadania tekstowe Obliczenia procentowe Funkcja kwadratowa Wielomiany 4 Geometria analityczna 5 Trygonometria w trójkcie prostoktnym Funkcja kwadratowa Wielomiany Geometria analityczna 4 Geometria 5 Równania i nierównoci z wartoci bezwzgldn Wojciech Kirejczyk (ZSE) Mariola Drozdowska, Urszula Wtorek, Jarosław Jasiński, Wiesław Dobosz (ZST) Mariola Kaczmarek, Róa Lewandowska (ZSR) 4 Boena Góralska, Małgorzata Piłat, Jolanta Schoenwald (IV LO) 5 Mirosław Wgrzynowski (ZSM) Mirosław Wgrzynowski (ZSM) Wojciech Kirejczyk (ZSE) Mariola Kaczmarek, Róa Lewandowska (ZSR) 4 Michał Lewandowski (V LO) 5 Boena Góralska, Małgorzata Piłat, Jolanta Schoenwald (IV LO) Katarzyna Toppmayer, Wioleta Wichrowska, Józef Kołodziejski (I LO) Katarzyna Toppmayer, Wioleta Wichrowska, Józef Kołodziejski (I LO) Piotr Drozdowski (II LO) 4 Sławomir Lipa (II LO) 5 Mariola Drozdowska, Urszula Wtorek, Jarosław Jasiński, Wiesław Dobosz (ZST)
ć ń GKM 07 klasy pierwsze Rozdział Klasa pierwsza Rachunek zbiorów Liczby rzeczywiste Funkcje 4 Zadania tekstowe 5 Geometria a) Ilu uczniów liczy klasa? b) Ilu uczniów uczy si francuskiego? c) Ilu uczniów uczy si dwóch j zyków? d) Ilu uczniów uczy si dwóch j zyków? j zyka dokładnie co najmniej e) Ilu uczniów uczy si j zyka angielskiego lub niemieckiego, ale nie uczy si francuskiego? 6) Niech A = {x: x C x 4 9}, B = {x: x N x jest liczb pierwsz jednocyfrow } Wyznacz zbiory: A B, A B 7) Jakie działania nale y wykona zacieniowany na rysunku? na zbiorach, aby otrzyma zbiór Rachunek zbiorów ) W ród 400 badanych osób 65% zna j zyk angielski, 47% zna j zyk francuski, a 4% zna oba j zyki Oblicz, ile osób spo ród badanych nie zna adnego z tych j zyków ) W zbiorze A jest elementów, w B jest 9 elementów, a w A B jest 7 elementów Ile elementów nale y do zbioru A - B? ) Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory A i B spełniaj ce jednocze nie warunki: A B = < 0,), A B = (-5,+ ), A B = (-5,0) 4) A i B oznaczaj zbiory niepuste Jaki jest zwi zek pomi dzy tymi zbiorami, je li: a) ( A B ) A b) A ( A B ) 5) Ka dy ucze pierwszej klasy licealnej uczy si co najmniej jednego z wymienionych j zyków: j zyk niemiecki, j zyk angielski, j zyk francuski Liczb uczniów ucz cych si danego j zyka ilustruje diagram 8) Który z wymienionych zbiorów jest przedstawiony na rysunkach -?: a) ( X Y ) Z, b) ( X Y ) ( X Z ), c) ( X Z) Y, d) Y ( X Z ), e) ( X Y ) Z, f) ( X Z) Y, g) Z ( X Y ), h) X ( Y Z)
ń GKM 07 klasy pierwsze 4 9) Dane s zbiory A, B, C Zacieniuj zbiór: a) ( A B) ( B C), b) ( A B) C, c) ( A B) C, d) [ A ( B C)] ( B C) 0) W układzie współrz dnych zaznacz zbiór A, gdy: a) A = {(x,: x R y R y = x + b b < -, - > }, b) A = {(x,: x R y R a <, > y = ax} ) Dane s zbiory; A zbiór cyfr arabskich, B zbiór dzielników liczby 48, C zbiór liczb naturalnych podzielnych przez i nie wi kszych od 4 Wyznacz zbiory: a) A ( B C), b) ( A B) ( B C) ) Zapisz w prostszej postaci wyra enie: ( A B ) (B C ) przy zało eniu, e A C ) Czy mo liwe s równo ci: a) A B = A B, b) A B = A, c) A B = A 4) Niech przestrzeni X b dzie zbiór liczb całkowitych Wyznacz iloczyn zbiorów A i B oraz dopełnienie zbioru B, je eli: a) = { x : x N x 5 x 0}, A b) = { x : x C x > 9} B 5) Wyznacz zbiory A i B, je eli: A B = {0,,,, 4, 5 }, A B =, B A = {,, 4 } 6) Przestrze X jest kwadratem EFGH Niech: A zbiór punktów kwadratu KLMN powstałego przez poł czenie rodków boków kwadratu EFGH, B zbiór punktów koła opisanego na kwadracie KLMN Wyznacz zbiory: A B, A B, A - B, A,B 7) Wyznacz zbiory A, B, C, wiedz c, e :A B = {0,,,, 4, 5}, A C = {,, 7}, B C = {,, 7}, A B = {, 9}, B C = {4, 5, 6}, C A = {, 8, 0, } 8) Z ilu elementów składa si ( ) zbiór A = {x: x = n i n C} 9) Dane s zbiory: A = {x: x R x }, B = {x : x R x 7 < } Wyznacz A B, A B, A - B, B - A, A, B 0) Udowodnij prawa De Morgana dla zbiorów
ć ć ć ć GKM 07 klasy pierwsze 5 Liczby rzeczywiste ) Uwolnij mianownik od niewymierno a) ( )( + ) b) c) ) Upro 5 ) Wyka 6 +, + +, wyra, 5 enie, 4 + e dane liczby s + d) e) + + 4 + ci: 4 +, + + 4 6 + całkowite: 8 a) 6 + + 6, b) + + 4) Rozstrzygnij, czy liczba 7 + 5 7 5 5 niewymierna 5) Jak liczb mo była wymierna? 6) Wyka, na wstawi miejsce a, aby liczba jest wymierna, czy e liczba 4 + 8 0 jest wymierna a 7) Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych, których najwi kszy wspólny dzielnik jest równy 8, a najmniejsza wspólna wielokrotno jest równa 44 8) Dane s dwie kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 4 daj odpowiednio reszty i Wyznacz reszt z dzielenia sumy kwadratów tych liczb przez 8 9) Poka 0) Udowodni, e liczba, + 00 + + + dzieli si przez 5 e liczba 55 + jest podzielna przez ) Wyka, e suma sze cianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez ) Wyka, e dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n liczba 76 n - 76 jest podzielna przez 00 ) Wyznacz ostatni cyfr liczby 00 + 00 + 5 00 4) Ró nica kwadratów dwóch liczb naturalnych wynosi 9 Znajd te liczby 5) Jaka jest najmniejsza liczba naturalna n taka, n jest podzielny przez 50? e iloczyn 6) Wyka, e dla ka dej liczby naturalnej n liczba n- + 7 n- jest podzielna przez 0 7) Dla jakich warto ci x i y liczba xxyy jest kwadratem liczby naturalnej 8) Udowodnij, wymierna 9) Znajd naturaln 0) Dane s postaci: e je li liczby x i y s wszystkie liczby wymierne x dla których liczby x < ;5) oraz y ( : 4 > a) x + y, b) x y, c) x y Funkcja liniowa wymierne, to liczba x+y jest x + jest liczb x Wyznacz zbiór liczb ) Uzasadnij, e punkty A = (-, ), B = (, 5), C = (000, 00) nale do jednej prostej ) Dana jest prosta k o równaniu y = x 4 oraz punkt A = (4; ) a) wyznacz równanie prostej l prostopadłej do prostej k i przechodz cej przez punkt A b) wyznacz współrz dne punktu przeci cia si prostych k i l,
ć⅓ ć ć ć ć ćń ń ć ć GKM 07 klasy pierwsze 6 c) oblicz pole trójk ta ograniczonego tymi prostymi i osi ) Liczba jest miejscem zerowym funkcji y = ax + a) wyznacz wzór funkcji, OX b) wykonaj wykres tej funkcji dla tych x, które spełniaj nierówno ½ (x + 6) + ( 6 4x ) > 0 4) Dana jest funkcja f(x) = x+b oraz wiadomo, a) wyznacz wzór funkcji funkcji f, b) narysuj wykres funkcji g(x) = f(x)+, c) dla jakich argumentów warto ci funkcji g s 5) Punkty A=(6;-5), B=(-;9), C=(-;), D=(;-5) s trapezu ABCD a) wyznacz równania prostych zawieraj trapezu, e f(x ) = x 5 ujemne wierzchołkami cych podstawy tego b) uzasadnij, e prosta o równaniu y = 0,5x 6,5 zawiera wysoko trapezu poprowadzon z wierzchołka D 6) Zebrano 6 kg wie ych grzybów zawieraj cych 90% wody Ile b d wa yły te grzyby po wysuszeniu, je li zawarto wody spadnie do 40% 7) Ojciec polecił synowi rozwi za 7 zada i powiedział, e za ka de poprawnie rozwi zane zadanie ma zł, a za ka de bł dnie rozwi zane zadanie zabierze mu 4 zł Ile zada syn rozwi zał poprawnie, je li od ojca otrzymał tylko zł? 8) Dwie siostry maj razem 4 lat, a ich matka jest dwa razy starsza od starszej z sióstr Za 5 lat wszystkie razem b d miały 00 lat Ile lat ma ka da z sióstr, a ile ich matka? 9) W ci gu trzech godzin samolot przeleciał z wiatrem drog długo ci 4 km Lec c pod wiatr z tak sam pr dko ci przeleciał w czasie jednej godziny 4 km Jaka jest pr dko samolotu, a jaka wiatru? 0) Oblicz pole figury wyznaczonej przez układ nierówno ci: x y + x 5, y x 4 o, ) Ci nienie powietrza podgrzewanego w szczelnie zamkni tym naczyniu jest funkcj liniow jego temperatury W tabeli przedstawiono wyniki dwóch bardzo dokładnych pomiarów Temperatura [ w C ] 0 0 Cinienie [ w h Pa ] 96, 996, a) wyznacz wzór tej zale no b) wyznacz miejsca zerowe otrzymanej funkcji, c) pod jakim k tem prosta b o odci tych? ci, d ca wykresem tej funkcji przecina ) Pewna spółka produkuje długopisy Funkcja f okre lona wzorem f(x)=0,5x+00 podaje ł czny dzienny koszt działalno ci formy w zale no ci od liczby x wyprodukowanych długopisów (00zł to koszty stałe) Funkcja okre lona wzorem g(x)=,5x wyra a ł czny przychód ze sprzeda y długopisów Ile długopisów nale y dziennie produkowa, przy zało eniu, e wszystkie zostan sprzedane, by ich produkcja była opłacalna? ) Pan Anatol na autostradzie osi ga swoim samochodem redni pr dko 0km/h, na pozostałych drogach 50km/h Ile kilometrów przejechał autostrad pan Anatol, je li na tras o tej samej długo ci poza autostrad potrzebowałby dodatkowo,5 godziny? 4) Oblicz cen dyskietki i ta my do drukarki, wiedz c, e ta ma jest o zł dro sza od dyskietki, a za pi dyskietek i ta m zapłacono zł 5) Miara k ta nachylenia wykresu funkcji liniowej f do osi OX jest równa 5 º Wykres funkcji f przecina o OY w punkcie o rz dnej równej Oblicz współrz dne punktu przeci cia wykresu funkcji f i wykresu funkcji okre lonej wzorem g(x)=x - 0,5 6) Współczynniki we wzorze funkcji liniowej f s liczbami całkowitymi Dla argumentów mniejszych od 6, warto ci funkcji
ć ć ć ń ć ń ń ń ć ć ć ń GKM 07 klasy pierwsze 7 f s ujemne Wyznacz wzór funkcji f, wiedz f() > c, e f() < 7 i 7) Trzy miasta A, B, C s tak poło one, e długo drogi z A do C przez miasto B jest równa 90 km, z B do A przez C -6 km, a z C do B przez A -69 km Oblicz odległo mi dzy tymi miastami 8) Znajd t warto parametru k, dla której zbiorem rozwi nierównosci kx + 9 > ( x + k) jest przedział ( ;) 9) Dla funkcji f ( x ) = ax + b wyznacz takie liczby a i b, f() = 4 i f(m ) = f(-+m) za eby 0) (zad Szymona Lhuilliera z XVIII w) Uciekajacy złodziej przebiega na dzie 5 mil Pogo w 8 dni po ucieczce za nim wysłana uje d a na dzie 7 mil Za ile dni dogoni złodzieja pogo i jak wiele mil ucieknie złodziej, nim b dzie dogoniony 4 Własno ci funkcji ) Dla jakich x R funkcja f okre lona f ( x) = x + x przyjmuje warto najmniejsz wynosi? wzorem: i ile ona ) Funkcja f okre lona na zbiorze liczb całkowitych nieujemnych przyporz dkowuje ka dej liczbie n reszt z dzielenia liczby n+ przez 5 a) okre l zbiór warto ci funkcji f, b) podaj zbiór miejsc zerowych funkcji f, c) naszkicuj wykres funkcji f dla n 0 ) Korzystaj c z definicji funkcji rosn cej, udowodnij, e funkcja f o x wzorze f ( x) = jest rosn ca w zbiorze liczb rzeczywistych x + dodatnich 4) Zbadaj liczb rozwi za zale no ci od parametru a równania x + = a + 4 w 5) Figura jest kwadratem o wierzchołkach A=(;), B=(-;), C=(-;-), D=(;-) W figurze tej wyci to cz płaszczyzny ograniczon wykresami funkcji o równaniach: y = x oraz y = ( x ) Oblicz pole pozostałej cz ci kwadratu 6) Wykresy funkcji punkcie, którego rz a) oblicz odci b) oblicz k, t f ( x) = i g( x) = x przecinaj x k dna równa si punktu przeci c) dla wyznaczonego k rozwi cia si wykresów funkcji f i g, równanie f ( x) = g( x) 4 7) Znale funkcj f(x) liniow przedziałami, je eli wiadomo, f ( x ) = x 4 Obliczy f() i f(0) 8) Rozwi niewiadomej x a + x b a b x = a x b + x a b o równanie ( )( ) ( )( ) 9) Wyznacz takie warto ci m dla których funkcja liniowa f x = m x + jest malej ca i nieparzysta ( ) ( ) m = sgn x = 0 g x = sgn x + + 0) Niech f ( x) ( ) ( ) dla dla dla x < 0 si w x > 0 x = 0 Narysuj wykres funkcji ) Znajd wzór funkcji liniowej f : R R aby dla ka dej liczby rzeczywistej spełnione były nierówno ci: f ( x) = f ( x) i f x + = f x + ( ) ( ) 9 ) Dana jest funkcja f ( x) = x + b, x R oraz wiadomo, f ( x ) = x 5 a) wyznacz współczynnik b i podaj wzór funkcji f, e e
ć ć ć ć ń ć ć ć ć GKM 07 klasy pierwsze 8 b) narysuj wykres funkcji g ( x) = f ( x) + i oblicz dla jakich argumentów warto ci funkcji g s ujemne ) Wyznacz dziedzin 4) Zbadaj parzysto x 4 = x funkcji: y = x 6 + x x 6x + 9 (nieparzysto ) funkcji: a) f ( x), b) f ( x) x + x 5) Udowodnij, e funkcja rzeczywistej warunek ( ) okresowa = f : R R spełniaj ca dla ka dej liczby f ( x) f x + a =, gdzie a 0 jest f x ( ) 6) Zadaie polegaj ce na wyznaczeniu wszystkich funkcji f : R R, dla których zachodzi równo f ( x) + f ( x) = x, mo emy rozwi za w nast puj cy sposób: podstawiamy do danego równania w miejsce x wyra enie - x: f ( x) + f ( x) = x ; rozwi zuj c układ równa f ( x) + f ( x) = x (traktuj c f(x) i f ( x) + f ( x) = x f(-x) jako niewiadome) otrzymujemy wzór funkcji f: f ( x) = x Stosuj c powy sz metod, znajd f : R R, dla których zachodzi równo wszystkie funkcje xf ( x) + f ( x) = 7) Wykres funkcji f ( x) = x + x + przekształcono w symetrii wzgl dem prostej x= i otrzymano wykres funkcji g Wzór funkcji g mo emy wyznaczy w nast puj cy sposób: prost x = i wykres funkcji f przesuwamy o wektor u = ;0 : otrzymujemy prost x = 0 (o OY) i wykres funkcji [ ] f ( x) = ( x + ) + ( x + ) ; + wykres funkcji f przekształcamy w symetrii wzgl osi OY; otrzymujemy wykres funkcji f ( x) = ( x + ) + ( x + ) ; + wykres funkcji f przesuwamy o wektor - = [ ;0] dem u otrzymuj c w ten sposób wykres szukanej funkcji g: g ( x) = ( x + 4) + ( x + 4) +, czyli g ( x) = x + x 5x + 77 x Wykres funkcji f ( x) = przekształcono w symetrii wzgl dem x + prostej x = i otrzymano wykres funkcji g Stosuj c przedstawion wy ej metod wyznacz wzór funkcji g 8) Wyznacz miejsca zerowe funkcji: a) b) 5 x ( x ) gdy x < 4 f ( x) = ( x )( x 6), gdy x 4 ( x)(5 x) 6 x, gdy x < f ( x) = x + 7 x x, gdy x 9) Dana jest funkcja a) Narysuj wykres funkcji f x dla x < 4 f ( x) = x dla x 4 b) Na podstawie wykresu funkcji f okre l monotoniczno ci funkcji oraz jej zbiór warto ci c) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f przedziały 0) Zale no mi dzy temperatur wyra on w stopniach Fahrenheita a wyra on w stopniach Celsjusza jest zale no ci liniow a) znajd t zale no wiedz c, e º F to 0 º C, a 5 º F to -5 º C
ć ć ć ć ć ć ć ć ń GKM 07 klasy pierwsze 9 b) 5 stycznia w miejscowo ci Point Lay na Alasce dwa termometry wskazywały t sam temperatur mimo, e jeden pokazywał, temperatur w º C a drugi w º F Jaka temperatura była tego dnia w Point Lay ) Dany jest zbiór, którego elementami s zbiory: D = { 4,0,};{ 7,,5}; { 4,0, }; {, 5, 7 } 4 Narysuj graf funkcji f i opisz j słownie, je eli: a) f ( P) = max P, gdy P D, b) f ( P) = min P, gdy P D 5 Zadania tekstowe ) Podziel 94 i 848 przez t sam liczb, aby reszta w pierwszym dzieleniu była równa 9, a w drugim ) Kamila ma zapas cukru w ilo ci kg i zapas miodu w ilo ci,5 kg Codziennie u ywała 5 dkg cukru i 5 dkg miodu Po ilu dniach stosunek pozostałej ilo ci cukru do pozostałej ilo ci miodu b dzie równy :? ) Ciocia jest razy starsza od Basi Za 6 lat Basia b dzie miała tyle lat, ile ciocia przed 6 laty Ile lat ma obecnie ciocia, a ile Basia? 4) Gdy ojciec b dzie w wieku babci, b dzie miał razem z córk 8 lat Gdy córka b dzie w wieku ojca, b dzie miała z ojcem razem 79 lat, a ojciec z babci 6 lat Ile lat ma obecnie córka, ojciec, a ile babcia? 5) Karol idzie do szkoły 0 minut, a Ania 5 minut Ania wyszła do szkoły o minuty wcze niej ni Karol Po ilu minutach Karol dogoni Ani? 6) Je li do pewnej liczby dwucyfrowej dopisa na pocz tku i na ko cu cyfr, to powstała liczba czterocyfrowa b dzie razy wi ksza Wyznacz t liczb 7) Liczba sze ciocyfrowa maj ca dwie pierwsze cyfry, 0 ma ciekaw własno Je eli przesuniemy w niej cyfr jedno ci na pocz tek, otrzymamy 4-krotno pierwotnej liczby Co to za liczba? 8) Je li miedzy cyfry liczby dwucyfrowej wstawimy t liczb, to otrzymamy liczb czterocyfrow, która jest 77 razy wi ksza od wyj ciowej Jaka to liczba? 9) Pies goni zaj ca, który znajduje si w odległo ci 60 swoich skoków od psa Gdy zaj c zrobi 9 skoków, w tym czasie pies zrobi ich 6 Wielko psich skoków jest równa 7 skokom zaj ca Ile skoków musi zrobi pies, aby dogoni zaj ca? 0) W dkarz złowił taaak ryb : Ogon wa ył 6 razy mniej ni głowa z tułowiem Gdyby tułów był o 6 kg ci szy, to głowa z tułowiem wa yłaby 0 razy wi cej ni ogon Ró nica mi dzy wag tułowia i wag głowy była,5 razy wi ksza od wagi ogona Ile wa yła ryba? ) Zespół robotników mo e wykona pewn prac w ci gu okre lonej liczby dni Gdyby było o 5 robotników wi cej, to wykonaliby oni t prac o 4 dni wcze niej, gdyby za było ich o 0 mniej, to pracowaliby o dni dłu ej Ilu było robotników i ile dni pracowali? ) Dwa samochody wyjechały jednocze nie z miejscowo ci A do B Pierwszy połow czasu przebył z pr dko ci 40 km/h, a potem dwukrotnie zwi kszył pr dko Drugi połow drogi przebył z pr dko ci 80 km/h, a nast pnie dwukrotnie zmniejszył pr dko Który z nich wcze niej pokonał tras? Jaki jest stosunek czasów przejazdu? ) Turysta szedł najpierw w gór ze schroniska A na szczyt B, a potem w dół do schroniska C Po południu wracał t sam tras z C przez B do A Pod gór turysta szedł z pr dko ci,5 km/h, za w dół schodził z pr dko ci 4 km/h Drog ABC pokonał w czasie o 5 minut dłu szym ni drog CBA Ile kilometrów przeszedł turysta tego dnia, je eli stosunek odległo ci AB do BC jest równy 4:?
Ś ć ć ć ć GKM 07 klasy pierwsze 0 4) rednia wieku 7-osobowej grupy dzieci jest równa 4 lat Gdy do obliczenia redniej doliczymy wiek opiekuna, to rednia wzro nie do 5 lat Ile lat ma opiekun? 5) Dwa stopy złota i miedzi, jeden próby 950, a drugi próby 800, stopiono z g czystego złota i otrzymano 5 g nowego stopu próby 906 Oblicz ile wa dwa pierwsze stopy? 6) Odległo rodków dwóch stycznych zewn trznie okr gów wynosi 9 cm Gdyby te okr gi były styczne wewn trznie, to odległo ich rodków wynosiłaby cm Oblicz długo promienia ka dego z okr gów 7) W dwóch naczyniach znajduje si woda Je eli z pierwszego naczynia przelejemy do drugiego 8 litrów, to w obu naczyniach b dzie tyle samo wody Je eli za z drugiego naczynia przelejemy do pierwszego 6 litrów, to w pierwszym b dzie razy wi cej wody ni w drugim Ile jest wody w ka dym naczyniu? 8) Przed 0 laty ojciec był 4 razy starszy od syna Za 0 lat obaj b d mieli razem 00 lat Ile lat ma obecnie ka dy z nich? 9) Po okr gu o długo ci 80 cm poruszaj si dwa punkty Je eli poruszaj si w tym samym kierunku, to punkt pierwszy wyprzedza drugi o 5 s, je eli poruszaj si w przeciwnych kierunkach, to punkty mijaj si co s Oblicz pr dko ci tych punktów 0) Płyn c pod pr d rzeki, statek spacerowy przepłynie drog w ci gu 4 godzin, płyn c za z pr dem, przepłynie t sam drog w czasie o godzin krótszym Jaka jest pr dko statku, a jaka pr du rzeki?
ń ń ń ń ń GKM 07 klasy II oraz III poziom podstawowy Rozdział 4 Klasy II oraz III poziom podstawowy Obliczenia procentowe Funkcja kwadratowa Wielomiany 4 Geometria analityczna 5 Trygonometria w trójk cie prostok Obliczenia procentowe tnym ) Na Ksi ycu przyci ganie grawitacyjne jest słabsze ni na Ziemi, wi c wszystko wa y tam kilka razy mniej Kosmonauta na Ksi ycu wa y kg i to stanowi 6 % jego wagi ziemskiej Oblicz, ile wa y kosmonauta w warunkach ziemskich? ) Dwie małe winki wa yły ł cznie 65 kg Po pewnym czasie waga jednej z nich wzrosła o 0%, a drugiej o 4% Przyrost na wadze pierwszej winki był razy wi kszy ni drugiej Ile przybyła na wadze ka da z nich? ) Sknerus zło ył 500 zł na dwóch kontach Oprocentowanie w stosunku rocznym pierwszego wkładu wynosiło %, a drugiego 0% Odsetki po rocznym oprocentowaniu uzyskane z pierwszego wkładu były 6 razy mniejsze ni odsetki uzyskane z drugiego wkładu Ile pieni dzy, na ka dym z kont zło ył Sknerus? 4) O ile procent powi zwi kszymy o 40%? kszy si pole koła, gdy jego promie 5) Koszyk truskawek był o 80 gr dro szy od kg pomara czy Gdy ceny truskawek spadły o 5%, a ceny pomara czy wzrosły o,5%, wtedy za koszyk truskawek i kg pomara czy płaciło si razem o 0% mniej Ile kosztował koszyk truskawek, a ile kg pomara czy przed zmian cen? 6) Do 0 litrów 7% syropu owocowego dolano 5 l wody Ile procent soku zawiera otrzymany roztwór? 7) Jeden z boków kwadratu zwi kszono o 7%, a drugi zmniejszono o 7% Jaki jest procentowy stosunek pola powstałego prostok ta do pola kwadratu? 8) Firma kosmetyczna Pachn ce mydełko zanotowała w 006 roku 7-procentowy wzrost w stosunku do sprzeda y z roku 005 b d ce na poziomie 40 000 sztuk Konkurencyjna firma Cudowny zapach sprzedała w roku 005 a 50 000 sztuk mydła, jednak w 006 zanotowała 4-procentowy spadek Która z nich sprzedała wi cej sztuk mydła w roku 006 i o ile? 9) Bank przyj ł kwot 0 tys Zł na 4% w skali roku i wypo yczył t kwot na % Ile bank zarobi na tej operacji w ci gu lat, przy półrocznej kapitalizacji odsetek? 0) Sprzedawca samochodów przewidywał, e w 006 roku sprzeda wzro nie i zakupił o 45% wi cej pojazdów ni w roku poprzednim Jego przewidywania okazały si nie cisłe i nie sprzedał 8% zakupionych pojazdów O ile procent wzrosła sprzeda samochodów w roku 006 w porównaniu z rokiem 005? ) Zapisz liczb liczby x, która stanowi 0% liczby o 0% wi kszej od ) W 00 g wody rozpuszczono 0 g soli kuchennej Jaki procent soli zawiera otrzymana solanka? Ile gramów soli zawiera 0 g solanki 0-procentowej?
ć ć ć ć GKM 07 klasy II oraz III poziom podstawowy ) O ile procent zmieni si 5 cm i cm, je eli dłu krótszy zmniejszymy o 0 %? pole prostok szy bok powi ta o bokach o długo ci kszymy o 0 %, a 4) Spadochroniarz wyskoczył z samolotu na wysoko ci, km nad ziemi, otworzył spadochron w odległo ci 60 m od ziemi Oblicz, jaki procent drogi przebył spadochroniarz nie otwieraj c spadochronu 5) Z dwóch brył ró nych stopów ołowiu, wa cych 6 kg i kg, odci to kawałki o tym samym ci arze Ka dy z odci tych kawałków stopiono z pozostał cz ci drugiej bryły Oba otrzymane w ten sposób nowe stopy zawierały ten sam procent ołowiu Znajd ci ar odci tych kawałków 6) Pani Cecylia zaci gn ła w banku kredyt w wysoko ci 80 000 zł, oprocentowany w wysoko ci 7,6% w skali rocznej Pani Cecylia ustaliła z bankiem, e zapłaci 0 równych miesi cznych rat kapitałowo-odsetkowych w wysoko ci 04,8 zł ka da Oprócz tego bank pobiera prowizj w wysoko ci,8% kwoty kredytu i obci a pani Cecyli kosztami ubezpieczenia kredytu w kwocie 74,5zł Oblicz koszt kredytu, tj ró nic pomi dzy sum wpłat, jakich ma dokona pani Cecylia, a kapitałem (kwot zaci gni tego kredytu) Oblicz, jaki procent kapitału stanowi koszt kredytu 7) W styczniu mleczarnia sprzedała 8 000 litrów mleka, w tym 40% mleka o zawarto ci,% tłuszczu, a w lutym 74 500 litrów mleka, w tym 4% mleka o zawarto ci,% tłuszczu Jaki procent mleka sprzedanego w dwóch pierwszych miesi cach roku stanowiło mleko,-procentowe? 8) Pewien samochód miał pocz tkowo u dwóch sprzedawców t sam cen Nast pnie jeden ze sprzedawców podniósł cen o p%, aby j nast pnie obni y o p% Drugi sprzedawca najpierw podniósł cen o q%, a potem obni ył o q% Wiadomo, e p < q U którego sprzedawcy ostatecznie samochód był dro szy? 7 9) Turysta przebył jednego dnia całej drogi, drugiego dnia 0% 4 drogi pozostałej Jak drog miał do przebycia turysta, je eli po dwóch dniach pozostało mu jeszcze 59,5 km? 0) Podczas pierwszej jazdy samochodem zu yto 0% benzyny znajduj cej si w zbiorniku paliwa Podczas drugiej jazdy zu yto 0% ilo ci benzyny, która pozostała w zbiorniku po pierwszej je dzie Po dwóch jazdach pozostało w zbiorniku 9 litrów benzyny Ile litrów benzyny znajdowało si w zbiorniku przed pierwsz jazd? Funkcja kwadratowa ) Wiedz c, e f(x)=x +x, gdzie x R, rozwi f(x) = f(+x) i podaj jego całkowite rozwi zania równanie ) Miejscami zerowymi pewnej funkcji kwadratowej f s liczby i 5, a zbiorem warto ci tej funkcji jest przedział < ; ) a) podaj wzór funkcji, b) okre l przedziały monotoniczno ci funkcji ) Wyznacz najmniejsz i najwi ksz warto funkcji okre lonej wzorem f(x) = -(x + )(x - 4) w przedziale < ; > 4) Dana jest funkcja f(x)= x +bx+cwyznacz współrz dne wierzchołka paraboli, je li miejscami zerowymi tej funkcji s liczby i 5 5) Funkcja f okre lona jest wzorem: f(x) = mx +4x+ Wyznacz te warto ci parametru m, dla których wierzchołek paraboli, b d cej wykresem funkcji f, le y nad prost y = - x 5 6) Napisz wzór funkcji kwadratowej, która jest parzysta oraz jej wykres przechodzi przez punkt (,4) i ma najwi ksz warto równ 6
ć ć ć ć ć GKM 07 klasy II oraz III poziom podstawowy 7) Na podstawie szkicu wykresu funkcji kwadratowej (Rys ) podaj wzór tej funkcji w postaci ogólnej 8) Dana jest funkcja f(x)= - x +x+8 a) podaj wzór funkcji g, gdzie g(x)=f(x-)+7, b) wyznacz zbiór warto ci funkcji g 9) Wykres funkcji kwadratowej f przecina o rz dnych w punkcie (0;-), natomiast wierzchołek paraboli ma współrz dne (, ) 4 8 a) podaj wzór funkcji f, b) wyznacz przedziały, w których funkcja przyjmuje warto ci ujemne 0) Dana jest funkcja f okre a) wyznacz zbiór warto lona wzorem f(x)= x - x + 4 ci funkcji h(x)=8x - f(x), b) wyznacz równanie osi symetrii funkcji h ) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f: a) wyznacz wzór funkcji, c) podaj zbiór warto ci funkcji b) podaj przedziały monotoniczno ci, ) Dla jakich warto ci parametru m funkcja okre lona wzorem f(x) = (m - )x - x+m+ przyjmuje warto ci dodatnie dla ka dego x R? ) Dane s funkcje f(x)=x i g(x)= - x a) Dla jakich x zachodzi równo b) Przedstaw w układzie współrz y x układu nierówno ci y x f(x) = g(x)?, dnych graficzne rozwi zanie 4) Funkcja kwadratowa f okre lona jest wzorem f(x) = ax - x+c Wiedz c, e dla x =,5 funkcja f osi ga warto najmniejsz równ 4, wyznacz a i c oraz sprowad j do postaci iloczynowej 5) Liczb 0 przedstaw w postaci sumy dwóch takich liczb, aby suma kwadratów tych liczb była najmniejsza 6) W trójk cie suma długo ci podstawy i wysoko ci opuszczonej na t podstaw jest równa 8 cm Przy jakiej wysoko ci pole tego trójk ta ma najwi ksz warto? 7) Ratownik maj cy stumetrow lin chce przy brzegu pla y wytyczy dla dzieci k pielisko w kształcie prostok ta o najwi kszym obszarze Jakie wymiary powinno mie to k pielisko? 8) Funkcja kwadratowa okre lona wzorem f(x) = x + bx+c przyjmuje warto ci ujemne tylko dla x (-;)Wyznacz zbiór warto ci funkcji 9) Dla jakich warto ci parametru m prosta o równaniu x = 4 jest osi symetrii funkcji kwadratowej f okre lonej wzorem: f(x) = - 4x + (m-5)x - 5? 0) Napisz wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji okre lonej wzorem f(x) = x x - wzgl dem prostej y = Wielomiany ) Wyznacz współczynniki a i b wielomianu W(x) =x ax x+b, wiedz c, e W() = oraz W(0) = -
ć ć ć ć ć ć ń ć GKM 07 klasy II oraz III poziom podstawowy 4 ) W wyniku dzielenia wielomianu W(x) = x 5x + x + przez wielomian p(x) otrzymano iloraz q(x) = x x + i reszt r(x) = -Wyznacz wielomian p(x) ) Dla jakich warto ci parametru k wielomian W(x) = a x - 4ax +5 jest podzielny przez dwumian p(x) = x + 4) Dany jest wielomian W(x)Wiedz c, e reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez x+ wynosi, przez x-8 wynosi -7, podaj wielomian, który jest reszt z dzielenia W(x) przez (x + )(x 8) 5) Niech W(x)=x 9x 8x + a) Wyka e x + jest dzielnikiem wielomianu W(x) b) Wielomian W(x) rozłó całkowitych 6) Wiedz c, e liczby oraz 4 s x 4 +mx +9x + n, znajd nierówno W(x) 0 7) Wyznacz najmniejsz x +y = na czynniki liniowe o współczynnikach warto pierwiastkami wielomianu W(x) = pozostałe pierwiastki i rozwi wyra enia x + y, wiedz 8) Dane s wielomiany: Q(x) = x 4-8x + x -4x+9 oraz P(x) = x 9x +7x +6 Oblicz warto ci m i n dla których wielomian W(x) = x 4 + ( m 4 )x ( n + 6 )x 8x jest równy wielomianowi Q(x) P(x) 9) Pierwiastkiem równania x ( m )x +7x m = 0 jest liczba (-) Wyznacz warto m oraz pozostałe pierwiastki tego równania 0) Liczby (-) i s pierwiastkami wielomianu W(x) = x 4 + ax + bx +cx Wiedz c, e suma wszystkich współczynników tego wielomianu jest równa (-), rozwi nierówno W(x) 0 ) Wielomian W(x) czwartego stopnia ma nast 0, -4, 5, ½ Rozwi nierówno : W(x) W() = c, e puj ce pierwiastki: 0 wiedz c, e: ) Rozwi nierówno ci: a) x 4 5x +6x > 0, b) x 8x + x <0 ) Dane s wielomiany: W(x) = x - x, P(x) = ax - 0,5b, Q(x) = x - x x + Dla jakich warto ci parametrów a oraz b spełniona jest równo : W(x) * P(x) = Q(x) 4) Zbuduj wielomian stopnia n, który ma dokładnie dwa pierwiastki r,s, gdy: a) n=, r=, s=-, b) n=4, r=, s= 5) Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x - jest równa 5, za reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x - jest równa 7 wyznacz reszt z dzielenia W przez (x - )(x - ) 6) Dla jakich warto ci parametru m rzeczywistego wielomian W (x)= (x-)(x-+m)(x--m): a) ma jeden pierwiastek, b) ma dwa ró ne pierwiastki, c) ma trzy ró ne pierwiastki? 7) Dla jakich warto ci parametru m całkowitego wszystkie pierwiastki równania (x - m)(x -m -)(x+0m - 9) s dodatnie? Dla znalezionej warto ci m rozwi nierówno (x - m)(x -m -)(x+0m - 9)>0 8) Napisz wielomian najni szego stopnia maj pierwiastków: a) {, -,, -4 }, c zbiór jego b) {, -, m-, 5-m }, uzasadnij odpowied, w tym przypadku, od warto ci parametru m 9) Dla jakiej warto ci liczby m suma pierwiastków równania (x+)(x-m+)(x-m-)= 0 jest najmniejsza? 0) Dla podanego wielomianu W(x) = (x+)(x-)(x+,5) okre l stopie, oblicz jego pierwiastki i podaj dla jakich warto ci x wielomian przyjmuje warto ci nieujemne
ć ć GKM 07 klasy II oraz III poziom podstawowy 5 4 Geometria analityczna ) Napisz równanie prostej przechodz a) (0 ; 0), ( ; 4) b) (0 ; 0), ( ; ) c) (0 ; 0), ( ; ) d) (0 ; 0), ( ; 7) e) ( ; ), ( ; 4) f) ( ; 7), ( ; 4) g) ( ; ), ( ; 4) h) ( ; ), (4 ; 8) i) ( ; ), ( ; ) j) ( ; ), ( ; 4) k) (0 ; 0), ( ; ) l) ( ; 4), ( ; 7) m) (7 ; ), ( ; ) cej przez punkty: n) ( 7 ; 7), ( 4 ; 4), o) ( ; 5), (0 ; ) p) ( ; ), (5; ) q) ( ; ), ( ; 7), ) Znajd współczynnik kierunkowy prostej przechodz punkty: a) ( ; 5), (5; 9), b) ( ;), (4 ; 8), ) Narysuj wykres funkcji: a) b) c) ( ; 8), (; ), x + dla x ( ; > y = 5 dla x (;4 > x dla x (4; + ) x + 4 y = x + x x dla x < -;0) dla x < 0;) dla d) ( ; 0), ( 6 ; ) dla x < 4; ) x < ;4 > 4) Napisz równanie prostej przechodz równoległej do osi a) OX, b) OY c) d) e) ( ; 5), (5; 9), cej przez f) ( 5 ; ), (5 ; 7) x dla x ( ; > y = x + dla x (-;0 > x + dla x (0;) x dla x < ; + ) x y = x + x + x dla x ( ; > dla x (-;0 > dla x (0; > dla x (; + ) cej przez punkt ( 4 ; 6) i 5) Dany jest czworok t ABCD, gdzie A=(0 ; 0), B=(6 ; 0), C=(4 ; 8) i D=( ; 8) Znajd współczynniki kierunkowe prostych, w których zawieraj si boki tego czworok ta 6) Znajd c, je łi prosta o współczynniku kierunkowym 0,75 przechodzi przez punkty C=(c ; 5) i D=( ; ) 7) Pewien obiekt porusza si po linii prostej przez ounkty o współrz dnych ( ; 0) i ( ; ) Punkt ten przejdzie tak e przez punkt o wsółrz dnych (0 ; k) Znajd warto k 8) Znajd warto parametru t, wiedz dz, e punkt (4 ; ) le y na prostej o równaniu 5x+ty= Znajd równanie prostej prostopadłej do danej i przechodz cej przez pocz tek układu współrz dnych 9) Punkt A=(6 ;) nale y do prostej prostopadłej do prostej x+y= Znajd punkt wspólny obu prostych 0) Dane s punkty A=( ; ), B=(4 ; 0), C=( ; ) i D=(0 ; ) Sprawd czy s one wierzchołkami równoległoboku ABCD ) Znajd równanie symetralnej odcinka AB, gdzie A=( ; ), B=(5 ; ) ) Równaniem ogólnym prostej nazywamy równanie Ax+By+C=0, gdzie A, B, C R s współczynnikami oraz A +B 0 Napisz warunek a) równoległo ci, b) prostopadło ci prostych w postaci ogólnej ) Uzasadnij, e trójk t, którego boki zawieraj x+y=6, y 4x=0, y+0,75x= jest prostok tny si w prostych 4) Dla jakich warto ci k linia prosta o równaniu x+ky= jest a) prostopadła, b) równoległa do prostej o równiu x+y=? 5) Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodz cej przez punkt P: 4 a) k : y= x +, P=( ; ), b) k : y= x, P=( 8 ; ),
ć ć GKM 07 klasy II oraz III poziom podstawowy 6 c) k : y= 7, P=(0 ; 5), d) k : x=4,5, P=( ; ) 6) Znajd równania prostych prostopadłych k, k przecinaj cych si w punkcie ( ; 4), je li jedna z nich przecina os OX dla x= 6 O ile procent wi ksze jest pole trójk ta ograniczonego tymi prostymi i osi OX od pola trójk ta ograniczonego tymi prostymi i osi OY? 7) Dla jakich warto ci parametru m proste k, k s a) k : x+my -9=0, k : 0,x 0,0y+=0, b) k : 4x 9y 7=0, k : (4m 4)x m y+7=0 prostopadłe? 8) Dla jakich warto ci parametru m proste x y =0 i x+my 4=0 przecinaj w tym samym punkcie : c) o OX, b) o OY c) prost 9) Jeden z wierzchołków kwadratu ma współrz punkt (4 ; ) jest rodkiem symetrii kwadratu a) Znajd równania prostych, w których zawieraj kwadratu y+4=0 dne (0 ; 0), a si przek tne ) Znajd wspóln na płaszczy nie z układem współrz zbiorów A i B: a) A = {( x; : y }, B = {( x; : < x < 4}, b) A = {( x; : x = y}, B = {( x; : x = y}, c) A = {( x; : x < ; > y < 0; > }, B = {( x; : x ( ;) y (;) }, dnych cz d) A = {( x; : x = y }, B = {( x; : x = y = }, e) = {( x; : x = y }, B = {( x; : x = 0 y = } A ) Znajd na płaszczy nie z układem współrz zbiorów A i B: dnych ró a) A = {( x; : x R y < ;4 > }, B = {( x; : x ( ;) y R}, b) A = {( x; : x < ; > y < ; > }, B = {( x; : x < 0; > y < ;0 > }, c) A = {( x; : x (;) y < ; > }, { } b) Oblicz obwód i pole kwadratu B = ( x; : x (0;) y < ;0 >, 0) Punkty A=(0 ; 0), B=( ; 8), s wierzchołkami prostok ta d) A = {( x; : x > y + }, B = {( x; : x y } ABCD Jego przek tna BD zawiera si w prostej y=-0,5x+4,5 Oblicz obwód i pole tego prostok ta 4) Oblicz odległo mi dzy punktami o współrz dnych: ) Zaznacz na płaszczy nie z układem współrz dnych zbiory: a) ( ; ), (5; 5), b) ( ; ), ( 8 ; 7) a) A = {( x; : x R y = }, 5) Sprawd czy punkty A, B, C s współliniowe: a) A=( ; 8), B=( ; ), C=(0 ; 5), b) B = {( x; : x = y = }, b) A=( ; ), B=( ; 6), C=(0 ; 90), c) C = {( x; : x < ; + ) y ( ; > }, c) A=( ; ), B=( ; 5), C=( 00 ; 400), d) D = {( x; : x = y}, d) A=( ; ), B=( ; 0), C=(40 ; 7), e) E = {( x; : x = y }, e) A=( ; ), B=( ; ), C=(00 ; 00), f) F = {( x; : x = 4 y = } f) A=( ; ), B=( ; 4), C=( ; 00), g) A=(4 ; 4), B=( ; 4), C=(00 ; 4), nic
ć ć ć ć ć ń Ś GKM 07 klasy II oraz III poziom podstawowy 7 h) A=( ; ), B=( ; 7), C=(50 ; 0) 6) Oblicz odległo prostej a) y=x, 7) Oblicz odległo mi punktów A=( ; ), B=( ; 6), C=(5 ; ) od b) y= x+ dzy prostymi: a) y=x, y=x+4, b) 6x 4y 7=0, x 8y+=0 8) Podaj równania prostych odległych o 6 od prostej: a) x= 5, b) y = 4, c) y = x 9) Wyznacz współrz dne rodka odcinka AB, je a) A=( ; 4), B=(4 ; 4), b) A=( ; ), B=(5 ; 4), c) A=(x ; y ), B=(x ; y ) 0) Prostok t ma przeciwległe wierzchołki w punktach ( ; ) i (4; ) Podaj długo przek tnej tego prostok ta oraz współrz dne pozostałych wierzchołków, skoro wiadomo, e jeden z nich le y na osi OY ) Znajd odległo c punktu P=( 4 ; 7) od prostej przechodz przez punkty A=( ; ) i B=( ; 8) ) Punkty A, B, C, D s czworok t mo na wpisa a) A=( ; ), B=(5 ; ), C=(0 ; 0), D=( 4 ; 0) li: cej wierzchołkami czworok ta Czy ten w okr g? Oblicz obwód tego okr gu b) A=( ; ), B=(7 ; ), C=(0 ; ), D=(0 ; ) ) Punkty A=( 7 ; ), B=( ; 7), C=(4 ; 5) i D=(5 ; ) s wierzchołkami boków czworok ta Znajd punkty w których przetn si przedłu enia jego przeciwległych boków 4) Na trójk cie o wierzchołkach w punktach A=( ; ), B=(4 ; 4), C=(6 ; ) opisano okr g Znajd jego promie 5) rodkami okr gów o promieniach 5 oraz s odpowiednio punkty o współrz dnych (; 4) i ( ; ) Jakie jest wzajemne poło enie tych okr gów? 6) Dana jest prosta o równaniu y=x oraz okr g o rodku w punkcie (0 ; 7) i promieniu Jakie jest wzajemne poło enie okr gu i prostej? 7) Prosta y=x jest styczna do okr gu o promieniu Podaj równanie prostej na której le rodki takich okr gów Czy taka prosta jest tylko jedna? 8) Prosta y=x jest w punkcie ( ; 4) styczna do okr gu o promieniu r Na jakiej prostej le y rodek tego okr gu? Ile jest takich okr gów? Znajd ich równania, je li r= 5 9) Zaznacz w układzie współrz dnych t cz c płaszczyzny, w której zawieraj si wykresy funkcji y=ax+b, gdy: a) a i b = 0 b) a 0 i b = 0 c) 0 b i a = d) b i a = 40) Wyznacz najmniejsz i najwi okre lonej w danym przedziale: ksz a) y=x, x < ; 4 >, b) y= x, x < ; > warto c) y=x+, x ( ; 5 >, d) y= x+6, x < ;6) 4) Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres: funkcji y=f(x) a) jest równoległy do wykresu funkcji y= x i przechodzi przez punkt A=( ; 6), b) jest równoległy do wykresu funkcji y=4x i przechodzi przez punkt B=( ; 0), 4) Wyznacz zbiór argumentów dla których dana funkcja przyjmuje warto ci nieujemne: a) y=4x, b) y= x+6, c) y=(x )+6, d) y= (x+)+6x 4) Dana jest funkcja y=f(x) okre lona w dziedzinie D Wyznacz zbiór warto ci tej funkcji a) f(x)=x+6, D= < ; 4 > b) f(x)= x+, D= < 0 ; 5 > c) f(x)= 8x+, D= < 00 ; 00 > d) f(x)=4x 8, D= < 00 ; 60 > 44) Dane s punkty A=( ; ), B=( ; 5), C=( ; ), b d ce wierzchołkami pewnego równoległoboku Wyznacz współrz dne czwartego wierzchołka równoległoboku
ń ć ć ń GKM 07 klasy II oraz III poziom podstawowy 8 45) Wyznacz wierzchołki trójk ta, znaj c 5 5 7 trójk ta: S = ;, S =( 4 ;0), S = ; rodki boków tego 46) Punkty A=( ; ), B=(5 ; ), C=(4 ; 5), D=( ; 7) s kolejnymi wierzchołkami sze ciok ta, w którym boki przeciwległe s równe i równoległe Wyznacz współrz dne pozostałych wierzchołków 47) Znajd współrz dne dwóch punktów, które nale do odcinka o ko cach A=(4 ; ) i B=(6 ; 4) i dziel ten odcinek na trzy równe cz ci 48) Dane s punkty A=(4 ; ) i B=(7 ; ) Znajd współrz dne punktu P, który nale y do odcinka AB i spełnia warunek: AP=PB 49) Punkty A=( ; ) i B=( ; ) s kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD, a punkt S=( ; 4) jest jego rodkiem symetrii Znajd współrz dne wierzchołków C, D 50) Sprawd które z trójk tów ABC s a) A=( ; ), B=( ; 7), C=( ; ) b) A=( ; ), B=( ; 4), C=( ; 4) c) A=( ; ), B=( ; ), C=( ; 4) d) A=( ; ), B=( ; ), C=( ; 5) prostok tne: 5) Sprawd, czy punkty A=( ; ), B=( ; ) nale półpłaszczyzny o kraw dzi y= x+ do tej samej 5) Dany jest punkt K=(00 ; 98) Sprawd, które spo ród punktów: A=( ; ), B=( ; ), C=( ; ) nale do tej samej półpłaszczyzny, co punkt, je łi kraw d tej półpłaszczyzny jest prost o równaniu: a) y=x+, b) y= 0,5x+, c) x=, d) y=, e) y= 0,5x+,5 5) Sprawd, czy odcinek o ko cach K=( ; ) i K=( ; 4) jest zawarty w jednej z półpłaszczyzn wyznaczonych przez prost o równaniu: 5 a) y=x, b) y=x+, c) x=, d) y=0,, e) y= x 8 54) Oblicz pole i obwód kwadratu ABCD, którego dwa przeciwległe wierzchołki maj współrz dne: A=( ; ), C=(5 ; ), 55) Jak s poło one wzgl dem siebie okr gi o danych współrz dnych rodków S i S oraz, odpowiednio, długo ciach promieni r i r : a) S =( ; 0), S =( ; ), r =, r =, b) S =( ; ), S =( ; ), r =4, r =, c) S =(0 ; 4), S =(0 ; 0), r =, r =5, d) S =( ; ), S =( ; 4), r =, r =, e) S =(0 ; ), S =(0 ; ), r =, r =, d) S =(0 ; 0), S =(0 ; ), r =6, r =, d) S =( ; ), S =( ; ), r =, r =, d) S =( ; ), S =( ; 4), r =4, r =, 56) Wyznacz warto r promienia okr gu o rodku S =( 6 ; 8) tak, aby był on styczny zewn trznie do okr gu o rodku S =( ; ) i promieniu r=5 57) Wyznacz warto r promienia okr gu o rodku S =(0 ; 0) tak, aby miał dwa punkty wspólne z okr giem o rodku S =(4 ; 0) i promieniu r= 58) Wyznacz rodek S okr gu o promieniu, stycznego do osi OY, wiedz c, e punkt S le y na prostej y=x ) Wiedz 5 Trygonometria w trójk c, e sin α + cosα = 5 cie prostok, oblicz: a) sin α cosα b) sinα cosα tnym
ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć GKM 07 klasy II oraz III poziom podstawowy 9 ) Uzasadnij, e dla dowolnego α sinα cosα ) Wał ochronny ma przekrój w kształcie trapezu równoramiennego, przy czym górna szeroko wału wynosi 5 m, natomiast boczne nasypy o długo ci 6 m s nachylone do poziomu pod k tem 40 0 Oblicz doln szeroko wału Ile m ziemi potrzeba do usypania takiego wału o długo ci km? 4) Z punktu odległego od drzewa o 0 m zmierzono k t wzniesienia podstawy korony drzewa i wierzchołka korony 0 0 otrzymuj c k ty α = 45 β = 70 Oblicz wysoko korony i wysoko drzewa Sporz d rysunek pomocniczy 5) Długo ci boków prostok ta s równe 6 cm i 8 cm Oblicz miary k tów utworzonych przez jego przek tne 6) Wysoko wie y przedstawionej na rysunku mo na obliczy zgodnie ze wzorem tgα tgβ h = l tgβ tgα Uzasadnij wzór 7) Waflowy ro ek ma kształt sto ka, w którym k t rozwarcie jest równy 0 0, a tworz ca ma długo 5 cm Oblicz ile cm lodów mo na wło y do roztworu, przyjmuj c, e zostanie napełniony w 95% 8) Trójk t równoramienny w którym wysoko ma długo k t przy podstawie ma miar 0 0, wpisano okr długo promienia tego okr gu 9) Z sufitu na nitce o długo a) O jaki k t nale y odchyli nitk kulki od podłogi wzrosła o 0,5m? ci m zwisa metalowa kulka 0 cm, a g Oblicz od poziomu, aby odległo b) Nitk odchylono od poziomu o 5 0 O ile zmieniła si kulki od podłogi 0) W trójk cie ABC poprowadzimy dwusieczn odcinka CD mo emy obliczy nast puj co: P ABC = P ADC + P BCD AC BC sin0 4 = = 4 CD CD = ( cm) 0 = 4 CD AC CD sin 60 + 0 CD k odległo ta ACB Długo 0 + CD CB sin 60 W analogiczny sposób oblicz długo odcinka poprowadzonej z wierzchołka k ta prostego w trójk cie prostok tnym o przeciwprostok tnej 5 cm i jednej z przyprostok tnych o długo ci 5 cm ) Trójk t prostok tny o przeciwprostok tnej obraca si dookoła prostej zawieraj cej przeciwprostok tn Wiedz c, e jeden z k tów ostrych trójk ta ma miar 0 0, oblicz obj to otrzymanej bryły ) W koło o promieniu dm został wpisany 0 trójk t o k cie α = 40 Oblicz pole zamalowanej cz ci koła
ć ć ć ć ć ć ć GKM 07 klasy II oraz III poziom podstawowy 0 ) Na rysunku obok przedstawiony jest trójk t równoboczny i kwadrat Oblicz stosunek pola trójk ta do pola kwadratu 0 sin 4) Rozstrzygnij, która z liczb a = czy 0 cos 0 0 cos89 + tg b =, jest wi ksza 0 tg 5) Uzasadni, równo 6) Oblicz warto 7) Sprawd 8) Upro e dla dowolnego k ta w trójk cie prawdziwa jest + + cosα = tg tgα ctgα sinα : ( )( ) α (cos 7 wyra 0 tg enia: 5 0 + cos 7, czy prawdziwa jest równo wyra 9) W matematyce u Korzystaj cos ec 0 0 tg : 0 5 ) tg 4 ctg α + ctg α + = 4 sin α 55 enie: sin α( + ctg α) + cos α( + tgα) ywa si sec α = cos c z powy sec77 0 = 0 α poj cia sekans i kosekans, gdzie cos ec α = sin α szych definicji, uzasadnij, 0) Do szkoły wchodzi si po czterech stopniach Ka dy z nich ma 5 cm wysoko ci Zaplanowano zbudowanie pojazdu dla osób niepełnosprawnych o nachyleniu 6 0 Oblicz długo pojazdu Zaokr glij wynik do 0 cm ) W równoległoboku dany jest k t ostry równy 60 0 Krótsza przek tna równoległoboku o długo ci e = 8 jest prostopadła do 0 e = boków krótszych Oblicz długo równoległoboku dłu szej przek tnej ) Obwód prostok ta jest równy 8 cm, a przek tna tego prostok ta ma długo 9 Podaj z dokładno ci do 0 k t jaki tworzy przek tna z dłu szym bokiem tego prostok ta
ć ć ć GKM 07 klasy II oraz III poziom rozszerzony Rozdział 5 Klasy II oraz III poziom rozszerzony Funkcja kwadratowa Wielomiany Geometria analityczna 4 Geometria 5 Równania i nierówno ci z warto Funkcja kwadratowa ci bezwzgl ) Liczb 0 przedstaw w postaci sumy trzech liczb takich, e trzecia z nich jest o 4 wi ksza od pierwszej tak, by suma ich kwadratów była najmniejsza ) Wła ciciel ksi garni sprzedaje miesi cznie 0 egzemplarzy danej ksi ki w cenie 40 zł Obni ka ceny ksi ki o zł powoduje przeci tnie zwi kszenie sprzeda y o jeden egzemplarz miesi cznie Jak cen ksi ki powinien ustali sprzedawca, aby jego utarg był maksymalny? ) Drut długo ci 0 m podzielono na dwie cz ci: z jednej zrobiono ramk prostok tn, w której stosunek długo ci boków wynosi :, z drugiej zrobiono okr g Jak nale y podzieli drut, aby suma pól okr gu i prostok ta była najmniejsza? 4) Podaj wzór funkcji f wiedz c, e jest to funkcja kwadratowa, która ma nast puj ce własno ci: a) Wykres funkcji f jest obrazem paraboli o równaniu pewnej translacji, dn y = x w b) Prosta o równaniu x = jest osi symetrii wykresu funkcji f c) Iloczyn miejsc zerowych funkcji f jest równy 5) Wyka, ze je li dwie liczby, z których jedna jest odwrotno ci drugiej, s miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f takiej, e f ( x) = x + bx + c, to punkt P(0,) nale y do wykresu funkcji f 6) Dana jest funkcja f ( x) = x + ax a + a) Dla a = 4 napisz wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f wzgl dem prostej x = 7 b) Wyznacz wszystkie warto ci parametru a, dla których dwa ró ne pierwiastki równania f ( x) = 0 s ujemne c) Wyznacz wszystkie warto ci parametru a, dla których suma kwadratów pierwiastków równania f ( x) = 0 jest mniejsza od 0 7) Dane s funkcje f ( x) k a) Dla k= rozwi nierówno interpretacj geometryczn = x kx i ( x) = x 4 g f ( x) < g( x) i podaj jej b) Wyznacz te warto ci parametru k, dla których suma odwrotno ci kwadratów pierwiastków równania f ( x) = 0 jest wi ksza ni 5 c) Dla ilu całkowitych warto ci parametru k pierwiastki równania f ( x) = 0 s mniejsze od 0? 8) Rozwi równanie: x + x x = x x 9) Dana jest funkcja f ( x) = x kx +, gdzie k jest parametrem Wyznacz wszystkie warto ci parametru k, dla których miejsca zerowe funkcji f nale do przedziału ; 0) Dana jest funkcja f ( x) = x + px + q
ć ć ć ń ć ń ć ń ń ć ć ć ń ć ń ń ć GKM 07 klasy II oraz III poziom rozszerzony a) Funkcja f ma dwa miejsca zerowe, których suma kwadratów równa si i dla x = 5 funkcja ta przyjmuje warto 6 Wyznacz p i q b) Dla q = wyznacz zbiór wszystkich warto ci parametru p, dla których równanie f ( x) = 0 ma tylko dodatnie rozwi zania Dla najwi kszej znalezionej warto ci p sporz d wykres funkcji g ( x) = f x ( ) ) Zbadaj liczb rozwi za równania ze wzgl du na warto parametru k Napisz wzór i narysuj wykres funkcji y = g(k), która ka dej warto ci parametru k przyporz dkowuje liczb rozwi za równania: kx (k + ) x + k + = 0 ) Zbadaj liczb rozwi za równania ze wzgl du na warto parametru k Napisz wzór i narysuj wykres funkcji y = g(k), która ka dej warto ci parametru k przyporz dkowuje liczb rozwi za równania: x + x = k ) Dla jakich warto ci parametru m suma kwadratów pierwiastków równania: x + ( m ) x m = 0 jest najmniejsza? 4) Dla jakich warto ci parametru m odwrotno sumy pierwiastków równania x + m( x ) = + x jest dodatnia? 5) Dla jakich warto ci parametru m nierówno ( x m)( x m ) < 0 jest spełniona przez ka d liczb rzeczywist nale c do przedziału,? 6) Narysuj wykres funkcji: f ( x) = x x 4 7) Zbadaj liczb rozwi za równania w zale no ci od warto ci parametru m: x 4 = m + 8) Dla jakich warto ci parametru m, najmniejsza warto funkcji y = (m 5) x (m ) x + 0,5(m 5) jest liczb dodatni? 9) Dla jakiej warto ci parametru a okr g o równaniu ( x a) + ( y ) = b dzie styczny do prostej x + 4y = 0 0) Dla jakich m i p parabole y = x + ( m + ) x + m y = ( m ) x + mx + m + p przecinaj dwóch punktach Wyznacz odległo parabol Wielomiany o OX w tych samych wierzchołków tych ) Dany jest wielomian postaci W ( x) ( x )( x kx + k ) a) dla k= rozwi nierówno = W ( x) 0 b) Wyznacz zbiór wszystkich warto ci parametru k, dla których dany wielomian ma wi cej ni jeden pierwiastek c) Dany wielomian W (x) ma dwa pierwiastki ujemne, których suma kwadratów jest równa Wyznacz k ) Rozwi ) Rozwi nierówno nierówno : 4 x x 0 : x 6x x 4 4) Wyznacz liczb rozwi za równania x + ( m ) x + m + = 0 w zale no ci od warto ci parametru m 5) Dla jakich warto ci parametrów a i b liczba jest dwukrotnym 4 pierwiastkiem wielomianu W ( x) = x x + 6x + ax + b 6) Wiedz c, e wykres funkcji o równaniu f ( x) = x x ma wierzchołki w punktach o odci tych x = i x, sporz d wykres liczby rozwi za warto ci parametru m równania ( x) m = f = w zale no i ci od
ć GKM 07 klasy II oraz III poziom rozszerzony 7) Dla jakich parametrów m, n wielomian W ( x) = x + mx + nx + 0 przyjmuje warto ci ujemne tylko w 5? zbiorze, (,) 8) Dla jakich warto ci parametru m równanie 4 x + ( m ) x + m = 0 ma dwa ró ne rozwi zania? 9) Dla jakich warto ci parametru a pierwiastki x, x, x równania x 9x + ax 5 = 0 spełniaj warunki: x = x + i x = x + 4? Znajd wszystkie pierwiastki tego równania 0) Wyka, e dla ka przez dwumian (x r), je dego n N + wielomian W(x) jest podzielny n+ n li: W ( x) = nx ( n ) x, r = ) Oblicz sum wszystkich współczynników wielomianu 000 00 W ( x) = ( x x + ) + ( x + x ) ) Dla jakich warto ci parametrów a, b reszta z dzielenia 4 wielomianu W ( x) = x + ( a + b) x + x + bx + 6 przez wielomian P ( x) = x + 4x + jest równa R ( x) = x + 9 ) Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian ( ) = x P x + 8 jest trójmianem kwadratowym R ( x) = x 5x + Wyznacz reszt z dzielenia tego wielomianu przez dwumian ( x + ) 4) Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany ( x ), ( x + ), ( x ) daje reszty odpowiednio równe 5,, 7 Wyznacz reszt z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) = ( x )( x + )( x ) 5) Rozwi równanie: x 8 = x + x + 4 6) Dla jakich warto ci parametru m i n wielomian P ( x) = x + mx + n ma trzy pierwiastki, takie e x = x i x = x 4 Znajd te pierwiastki 7) Udowodnij, e je eli wielomian P( x) = ax ax + 9bx b, gdzie a, b R i a 0 ma trzy pierwiastki dodatnie, to s one równe 4 8) Udowodnij, ze nierówno x x + x 8x + 6 > 0 zachodzi dla ka dej liczby rzeczywistej x 9) Wyznacz takie warto ci parametru m dla których równanie 4 m x m + x + m = : ( ) ( ) ( ) 0 a) ma cztery pierwiastki rzeczywiste b) ma trzy pierwiastki rzeczywiste c) ma dwa pierwiastki rzeczywiste d) nie ma pierwiastków rzeczywistych 0) Rozwi równania: 4 a) 9x 5x x 5x + 9 = 0 4 b) 0x + 8x 05x + 8x + 0 = 0 Geometria analityczna ) Oblicz pole trójk C = 4, ( ) ) Dany jest trójk a) długo b) długo A = B = ta o wierzchołkach (, 7) ; (, ); ta ABC: A = ( 6, 4) ; B = (,8) ; C = ( 4, 8) ci boków tego trójk ci jego rodkowych c) stosunek sumy kwadratów długo ci kwadratów długo ci boków ta Oblicz: rodkowych do sumy