Studa doktorancke Wydzał Budownctwa Lądowego Wodnego Poltechnk Wrocławskej KONSPEKT WYKŁADU nt. MECHANIKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH Potr Konderla paźdzernk 2014
2 SPIS TREŚCI Oznaczena stosowane w konspekce... 6 I. Rachunek tensorowy... 9 1. Parametryzacja przestrzen przyjęce układu współrzędnych... 9 2. Pojęce tensora... 10 3. Tensor metryczny... 10 4. Operacje na tensorach... 12 5. Współrzędne fzyczne tensora... 12 6. Pochodna kowarantna... 12 7. Przemenność różnczkowana kowarantnego... 13 8. Tensory welopunktowe... 13 9. Operatory różnczkowe... 14 10. Twerdzene Gaussa-Ostrogradzkego... 14 11. Tensory kartezjańske 2-go rzędu... 14 Przykład 1.1... 15 II. Ops procesu dynamcznego, podstawowe termny pojęca... 18 1. Kontnuum materalne... 18 2. Rozmatość różnczkowalna... 18 3. Cało materalne... 19 4. Mara borelowska... 20 5. Przykłady mar borelowskch... 20 6. Ruch cała... 21 7. Przestrzeń zdarzeń... 21 8. Opsy analtyczne stosowane w MOC... 22 III. Knematyka ośrodka odkształcalnego... 23 1. Ops ruchu cała odkształcalnego... 23 2. Pole przemeszczeń... 24 3. Gradenty deformacj... 26 4. Tensory deformacj odkształcena... 27 5. Dyskusja mar deformacj... 28 6. Mary deformacj odkształcena jako funkcje przemeszczena... 29
Konderla P. Mechanka ośrodków cągłych 3 7. Aproksymacja stanu odkształcena... 30 8. Warunk zgodnośc wewnętrznej warunk nerozdzelnośc... 30 9. Pochodna materalna, pochodne czasowe... 31 Przykład 3.1... 32 IV. Dynamka ośrodka cągłego, prawa ewolucyjne... 36 1. Pole gęstośc masy... 36 2. Gęstość sł zewnętrznych... 36 3. Gęstość sł wewnętrznych naprężena... 37 4. Zasady zachowana... 39 5. Zasada zachowana masy... 39 6. Zasada zachowana pędu... 40 7. Zasada zachowana momentu pędu... 41 8. Zasada zachowana energ... 42 9. Waracyjne sformułowane zasad zachowana... 42 V. Termodynamka klasyczna... 45 1. Układ termodynamczny... 45 2. Proces termodynamczny... 45 3. Perwsze prawo termodynamk... 46 4. Druge prawo termodynamk. Pojęce entrop... 47 5. Termodynamka kontnuum materalnego... 48 6. Potencjały termodynamczne... 50 7. Lnowa teora procesów neodwracalnych... 51 VI. Równana konstytutywne... 53 1. Wprowadzene... 53 2. Sposoby metody defnowana równań konstytutywnych... 53 3. Ogólne zasady konstruowana równań konstytutywnych... 54 4. Ogólna postać równań konstytutywnych... 56 5. Ogranczena równań konstytutywnych wynkające z postulatów... 57 6. Materał klasy n... 59 7. Materał prosty... 60 8. Materały z zankającą pamęcą... 61 9. Podsumowane klasyfkacja materałów... 64 10. Klasyfkacja materałów względem grup nezmennośc... 64 VII. Materały sprężyste... 65
4 1. Wprowadzene... 65 2. Materały hpersprężyste... 65 3. Lnowa sprężystość... 68 4. Uproszczena równań konstytutywnych... 69 VIII. Zagadnena granczne nelnowej teor sprężystośc... 74 1. Nelnowy model teor sprężystośc... 74 2. Metody rozwązywana nelnowych zagadneń teor sprężystośc... 75 IX. Zagadnena granczne lnowej teor sprężystośc... 76 1. Model lnowy zagadnena teor sprężystośc... 76 2. Metody rozwązywana lnowych zagadneń teor sprężystośc... 77 3. Równana teor sprężystośc w zagadnenach statycznych elastostatyka... 81 4. Twerdzene o wzajemnośc prac- zasada Bettego... 82 5. Rozwązana podstawowe elastostatyk. Tensor przemeszczenowy Greena... 84 X. Ważnejsze twerdzena lnowej teor sprężystośc... 86 1. Zasada prac wrtualnych... 86 2. Twerdzene o mnmum energ potencjalnej... 86 3. Twerdzene Castglano o mnmum energ komplementarnej (uzupełnajacej)... 88 4. Funkcjonał Ressnera. Twerdzene waracyjne Ressnera... 89 XI. Termosprężystość... 91 1. Naprężena ceplne. Klasyfkacja zagadneń termosprężystych... 91 2. Podstawowe równana termosprężystośc... 91 3. Efekty ceplne wywołane odkształcenem. Wzór Kelvna... 93 4. Izotermczne adabatyczne moduły sprężystośc... 93 5. Przewodnctwo ceplne... 94 6. Cało obcążone termczne... 95 7. Zasady waracyjne termosprężystośc nesprzężonej... 96 XII. Lepkosprężystość... 98 1. Lnowe cała z pamęcą... 98 2. Mechanczne modele materału lepkosprężystego... 99 3. Równana konstytutywne cała lepkosprężystego... 105 4. Równana konstytutywne w forme równań różnczkowych... 106 5. Zagadnene granczne (początkowo-brzegowe)... 109 XIII. Mechanka płynów... 111 1. Wprowadzene. Podstawowe pojęca... 111
Konderla P. Mechanka ośrodków cągłych 5 2. Knematyka płynów... 114 3. Modele płynów... 118 4. Zagadnene granczne mechank płynów... 119 5. Statyka płynów... 120 6. Zagadnene nterakcj płyn-cało stałe... 121 Lteratura... 123
6 OZNACZENIA STOSOWANE W KONSPEKCIE { z I } kartezjańsk układ współrzędnych, predefnowany w E 3, e I wektor bazy kartezjańskego układu współrzędnych, {X } układ współrzędnych materalnych, { x } układ współrzędnych przestrzennych, R, r promene wektory, X, x punkty w układach współrzędnych: materalnym przestrzennym, X punkt cała fzycznego, G,G, G, G, G wektory bazowe tensory metryczne współrzędnych materalnych, j j j g,g, g, g, g wektory bazowe tensory metryczne współrzędnych przestrzennych, gˆ, gˆ translatory, klm, klm symbole: Lev Cvata, Rccego, j 3 E delta Kroneckera, przestrzeń Eukldesa, T, t przedzał czasu, czas t T 0, t, oznaczene konfguracj (odnesena, w chwl t, aktualna), ( ), u u 1 G ( ) u g funkcja ruchu, odwrotna funkcja ruchu, wektor przemeszczena F F. g G gradent deformacj, J = det(f) 1 F F G g odwrotny gradent deformacj, C C G G tensor deformacj Greena, I C1, I C2, I C3 nezmennk tensora C, j j c c g g tensor deformacj Cauchy ego, E E G G tensor odkształcena Greenade Sant Venanta, j j e e g g tensor odkształcena AlmasegoHamela, R R G G tensor obrotu, j j nfntezymalny tensor odkształcena, nfntezymalny tensor względnych obrotów, C jkl macerz stałych materałowych,, stałe materałowe Lame go, K moduł odkształcena objętoścowego,
Konderla P. Mechanka ośrodków cągłych 7 D( ) ( ), Dt t v v G a a G kl k v g a l g pochodna materalna pochodna cząstkowa po czase, wektor prędkośc, wektor przyśpeszena, d d g g prędkość deformacj, V, V 0 obszar cała w E 3 w konfguracj aktualnej odnesena, S, S 0 brzeg obszaru cała w E 3 w konfguracj aktualnej odnesena, ρ, ρ 0 gęstość masy, f f g gęstość sł masowych (na jedn. masy), F ρf gęstość sł objętoścowych (na jedn. obj.) t (n) gęstość sł powerzchnowych, j t t g g tensor naprężena Cauchy ego (symetryczny), T ~ T B j R T R G g tensor naprężena Pol Krchoffa I-go rodzaju, R ~ T G G tensor naprężena Pol - Krchoffa II rodzaju (symetryczny), R cało materalne, M, m masa cała materalnego, gęstość masy cała materalnego, P K F c, M c K pęd cała materalnego, moment pędu cała materalnego, wypadkowa sła, wypadkowy moment, energa knetyczna, E, e energa wewnętrzna, gęstość energ wewnętrznej, L moc sł zewnętrznych, W, w moc sł wewnętrznych, gęstość mocy sł wewnętrznych, Q energa potencjalna, cepło S, entropa, gęstość entrop, h, q strumeń cepła, gęstość źródeł cepła na jednostkę masy, s0 temperatura bezwzględna, temperatura odnesena, temperatura w odnesenu do..., N..., E..., H... s0 s0 T funkcjonały konstytutywne, s0 s t czas hstor, T R, T K współobrotowy T K T F TF konwekcyjny T R T R TR tensor naprężena, U j k j C v c(t), k(t) prawy tensor rozcągnęca: F=RU, tensor modułów termcznych, tensor współczynnków przewodnctwa ceplnego, cepło właścwe na jednostkę objętośc przy stałym odkształcenu, funkcja pełzana, funkcja relaksacj,
8 J jkl G jkl współczynnk lepkośc, tensorową funkcją pełzana, tensorowa funkcja relaksacyjna,