Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania 1

Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}. Dla x l (T ), definiujemy normę x = sup{ x(t) : t E} (1) W szczególności jeżeli T = N, to l (T ) oznaczamy przez l. Tak więc l = {(x k ) : (x k ) ciąg ograniczony}, (x k ) = sup x k. k N Dla dowolnego p [1, ) wprowadzamy przestrzenie l p = {(x k ) K N : x k p < }. k=1 Jeżeli (x k ) l p, to (x n ) p = ( k=1 x k p ) 1 p. (2) Przez c oznaczmy zbiór wszystkich ciągów zbieżnych o wyrazach należących do K, a przez c zbiór ciągów zbieżnych do zera o wyrazach z K. Przez c, oznaczamy przestrzeń ciągów prawie wszędzie równych. W przestrzeniach c, c, c, rozpatrujemy takie normy jak w l. Dla dowolnych a, b R takich, że a < b przez C([a, b]) oznaczamy przestrzeń złożoną ze wszystkich funkcji ciągłych określonych na [a, b]. W przestrzeni tej rozpatrujemy normę x = sup x(t). t [a,b] Dla dowolnego m N przez C (m) ([a, b]) oznaczamy przestrzeń wszystkich funkcji klasy C (m). W przestrzeni tej wprowadzamy normę x = sup x(t) + sup x (t) +... + sup x (n)(t). t [a,b] t [a,b] t [a,b] Jeżeli (X, ) jest przestrzenią unormowaną, to X traktujemy jako przestrzeń metryczną jeżeli metrykę zdefiniować wzorem. d(x, y) = x y. W dowolnej przestrzeni unormowanej rozpatrujemy topologię i zbieżność generowaną przez metrykę d. 1

Mówimy, że podzbiór A przestrzeni unormowanej jest zbiorem ograniczonym jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista M, że x < M. W szczególności ciąg (x n ) elementów X jest ciągiem ograniczonym, jeżeli ciąg ( x n ) jest ciągiem ograniczonym w R. Jeżeli X jest przestrzenią liniową, a 1, 2 są dwoma normami w X, to mówimy, że norma 1 jest słabsza od normy 2 i piszemy 1 2 jeżeli topologia generowana przez pierwszą normę jest słabsza od topologii generowanej przez drugą. Jeżeli natomiast topologie generowane przez obie normy są identyczne, to mówimy, że obie normy są równoważne i piszemy 1 2. 2

1 Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha Zadanie 1 Niech funkcje 1, 2 będą normami w przestrzeni X. Czy funkcja f(x) musi (może) być normą w X.? (a) f(x) = 2x 1 (b) f(x) = 2 x 1 + x 2 (c) f(x) = max( x 1, x 2 ) (d) f(x) = min( x 1, x 2 ) (e) f(x) = 2 x 1 x 2 (f) f(x) = ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 (g) f(x) = x 1 x 2 (q) f(x) = 3 ( x 1 ) 3 + ( x 2 ) 3. Zadanie 2 Pokazać, że jeżeli jest normą w R, to istnieje taka stała α >, że x = α x dla dowolnego x R. Zadanie 3 Udowodnij, że w dowolnej przestrzeni liniowej można wprowadzić normę. Zadanie 4 Pokazać, że jeżeli X jest przestrzenią liniową a (x n ) ciągiem liniowo niezależnym w X, to istnieje norma w X taka, że x n. Czy założenie o liniowej niezależności ciągu (x n ) jest konieczne. Zadanie 5 Udowodnij, że kula w dowolnej przestrzeni unormowanej jest zbiorem wypukłym. Podaj przykład metryki w R i R 2 takiej, że żadna kula w tych przestrzeniach nie jest zbiorem wypukłym. Zadanie 6 Udowodnij, że w dowolnej przestrzeni unormowanej X dla dowolnego x X oraz ε > zachodzi równość K(x, ε) = K(x, ε), gdzie K(x, ε) = {y X : y x ε}. Zadanie 7 Niech 1, 2 będą dwiema normami w przestrzeni X. Pokazać, że (a) jeżeli dla dowolnego x X z warunku x 1 1 wynika, że x 2 1, to x 2 x 1 dla dowolnego x X. (b) jeżeli dla dowolnego x X warunek x 1 1 jest równoważny temu, że x 2 1, to x 2 = x 1 dla dowolnego x X. 3

Zadanie 8 Pokazać, że ciąg (x n ) przestrzeni unormowanej jest ciągiem ograniczonym wtedy i tylko wtedy gdy λ n x n dla dowolnego ciągu liczbowego (λ n ) takiego, że λ n. Zadanie 9 Pokazać, że dla dowolnego ciągu (x n ) w przestrzeni unormowanej istnieje ciąg liczb dodatnich (λ n ) taki, że λ n x n. Zadanie 1 Udowodnić, że jeżeli (x n ) jest ciągiem elementów przestrzeni unormowanej takim, że x n to istnieje ciąg liczb rzeczywistych λ n takie, że λ n oraz λ n x n. Zadanie 11 Udowodnić, że przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha dla dowolnego ciągu (x n ) w X jeżeli x n < to szereg jest zbieżny w X. x n Zadanie 12 Udowodnić, że jeżeli X jest przestrzenią Banacha, to dla dowolnego ciągu (x n ) w X takiego, że x n istnieje podciąg (x kn ) taki, że szereg jest zbieżny. x kn Zadanie 13 (*) Podać przykład przestrzeni w która ma własność z poprzedniego zadania ale nie jest przestrzenią zupełną. Zadanie 14 Niech X będzie przestrzenią Banacha i załóżmy, że (x n ) jest takim ciągiem elementów przestrzeni X, że x n <. Niech Z = { n A x n : A N}. (a) Udowodnić, że Z jest zwartym podzbiorem X. (b) Pokazać, że jeżeli nieskończona ilość elementów ciągu (x n ) jest niezerowa, to moc(z) = c. (c) (*) Udowodnić, że jeżeli wektory (x n ) są liniowo niezależne, to zbiór Z zawiera c liniowo niezależnych wektorów. W zadaniach 23-32 zakładamy, że (X, ) jest dowolną przestrzenią unormowaną. Dla dowolnych zbioru A X i dowolnego λ K definiujemy λa = {λx : x A} Dla dowolnych zbiorów A, B X przyjmujemy A + B = {x + y : x A, y B}. 4

Zadanie 15 Pokazać, że dla dowolnego zbioru A X i dowolnego λ K zachodzą równości (a) λa = λa; (b) int(λa) = λint(a). Zadanie 16 Pokazać, że jeżeli jeden ze zbiorów A, B jest skończony, to (a) A + B = A + B; (b) int(a + B)=int(A)+int(B). Zadanie 17 Podać przykłady pokazujący, że równości z poprzedniego zadania nie muszą zachodzić jeżeli oba zbiory A, B są nieskończone. Zadanie 18 Pokazać, że jeżeli U jest zbiorem otwartym w X to A + U jest zbiorem otwartym dla dowolnego A X. Zadanie 19 Udowodnić, że punkt (a) zadania 16 jest prawdziwy jeżeli założyć, że jeden ze zbiorów A, B jest zwarty w X. Zadanie 2 Udowodnić, że jeżeli K jest zwartym a F domkniętym podzbiorem przestrzeni X, to suma K + F jest domkniętym podzbiorem X. Zadanie 21 Przy założeniach poprzedniego zadania pokazać, że jeżeli oba zbiory F, K są zwarte, to zbiór K + F jest zwarty. Zadanie 22 Pokazać, że w poprzednim zadaniu założenia, że zbiór K jest zbiorem zwartym, nie można zastąpić założeniem, że jest on zbiorem domkniętym. Zadanie 23 Niech A będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni X. Udowodnić, że A = {A + U; U otoczenie zera w X}. Zadanie 24 Udowodnić, że jeżeli E jest podprzestrzenią liniową X, to E jest również podprzestrzenią liniową X. Zadanie 25 Udowodnić, że jeżeli E jest podprzestrzenią przestrzeni X taką, że codim(e; X) = 1, to E jest albo domkniętą, albo gęstą podprzestrzenią X. Zadanie 26 Pokazać, że jeżeli E jest dowolną podprzestrzenią przestrzeni X, to dla dowolnego otoczenia zera U w przestrzeni X mamy U X {}. Czy jest tak również dla dowolnego zbioru otwartego i niepustego. 5

Zadanie 27 Udowodnić, że jeżeli E jest podprzestrzenią liniową właściwą X, to int(e) =. Zadanie 28 Niech E będzie podprzestrzenią domkniętą X i niech x X \ E. Dla dowolnego µ > niech Udowodnić, że µ> E µ =. E µ = {x + λx ; λ µ}. Zadanie 29 Udowodnić, że dowolna podprzestrzeń skończenie wymiarowa przestrzeni unormowanej jest domkniętym podzbiorem tej przestrzeni. Zadanie 3 Korzystając z twierdzenia Baire a i zadania 29 pokazać, że jeżeli X jest przestrzenią Banach, to albo dim(x) < ℵ, albo dim(x) > ℵ. Zadanie 31 (*) Pokazać, że jeżeli X jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha to dim(x) c. Zadanie 32 Udowodnić, że jeżeli E jest domkniętą a H skończenie wymiarową podprzestrzenią X, to E + H jest domkniętą podprzestrzenią X. Zadanie 33 Udowodnić, że dla dowolnej przestrzeni unormowanej (X, ) istnieje jej uzupełnienie, które jest przestrzenią Banacha. To znaczy, że istnieje taka przestrzeń Banacha ( X, 1 ) że X X, x 1 = x dla dowolnego x X, oraz X jest gęstą podprzestrzenią X. 6

2 Własności podstawowych przestrzeni Banacha Zadanie 34 Sprawdzić, do której z przestrzeni l p, (p [1, ]), c, c należy ciąg (x k ) zadany podanym wzorem: a) x k = 1 k, b) x k = ln k k, c) x k = k 2 1. d) x k = k k 1, e) x k = 2 arc tg k π, f) x k = arcctg k. ( ) g) x k = k sin 1 k 1, h) x k = 1 cos 1 k, i) x k = ln k+1 k. j) x k = k1 ( 2 k, k) x k = sin π ) k 2 + 1, l) x k = sin k. m) x k = k sin k. Zadanie 35 Obliczyć normę ciągu (x k ) w podanej przestrzeni X. ( kπ a) x k = sin 4 ) + 1 ( kπ k, X = l, b) x k = ( 1) k + cos 4 ( 1 ) k 1, c) x k = X = l 1, X = l 2, d) x k = 2 ), X = l. ( 1 2) 3k, X = l 1, X = l 2. e) x k = sin kπ 2 2 k, X = l 1, X = l, f) x k = k + 1 2k sin kπ 4, X = l. g) x k = k 2 k, X = l, X = l 1, h) x k = 1 k, X = l2. i) x k = sin kπ 2 k 2, X = l 1, j) x k = sin k, ( ) X = l. Zadanie 36 Pokazać, że przestrzeń c, ma wymiar równy ℵ. Zadanie 37 Pokazać, że podane rodziny ciągów {(x α )} α T są liniowo niezależne w l 1. ( ) ( ) a) x α = 1 k, T = (1, ), b) x α α = 1. T = (, ). e αk Zadanie 38 Udowodnić, że każda z przestrzeni c, c, l, l p (p > ) ma moc i wymiar równy c. Zadanie 39 Udowodnić, że jeżeli zbiór T jest skończony, to dim l (T ) <, natomiast jeżeli E jest zbiorem nieskończonym, to dim B(E) = c. 7

Zadanie 4 ( 1 ) Udowodnić że istnieje rodzina R 2 N taka, że (i) jeżeli A, B R i A B to A B jest zbiorem skończonym. (ii) R = c. Zadanie 41 Niech R będzie rodziną spełniającą warunki zadania 4. Dla dowolnego A R niech { 1 gdy k A x A (k) = gdy k A. Pokazać, że ciągi x A (A R) tworzą układ liniowo niezależny w l. Zadanie 42 Dla dowolnej liczby rzeczywistej α niech x α : [, 1] R będą funkcjami określonymi wzorem x α (t) = e αt. Pokazać, że tworzą one układ liniowo niezależny w C([, 1]). Zadanie 43 Udowodnić, że jeżeli 1 p < q to l p l q i odwzorowanie identycznościowe z l p w l q jest ciągłe. Zadanie 44 Podaj przykład ciągu (x n ) c takiego, że (x n ) l p dla dowolnego p [1, ). Zadanie 45 Czy jest prawdą, że l p = l 1. p>1 Zadanie 46 Pokazać, że jeżeli x l 1 to x 1 = lim p 1 + x p. Zadanie 47 Podać przykład pokazujący, że jeżeli p (, 1), to funkcja nie spełnia warunku trójkąta. ( ) 1 (x n ) p = x n p p Zadanie 48 Załóżmy, że p (, 1). Udowodnić, że funkcja (x n ) p = x n p na l p spełnia warunek trójkąta, ale nie jest normą. 1 Rodzinę R spełniającą warunki zadania nazywa się rodziną Sierpińskiego. 8

Zadanie 49 Udowodnić, że jeżeli X jest jedną z przestrzeni c, c, l p (p [1, ]) zbieżność według normy implikuje zbieżność po współrzędnych. Inaczej: dla dowolnego ciągu (x n ) = (x n,k ) X oraz x = (x k ) X jeżeli x n x, to lim n x k,n = x k dla dowolnego k N. Zadanie 5 Załóżmy, że X jest jedną z przestrzeni l p (p [1, )). Udowodnić, że jeżeli (x n ) = (x n,k ) jest ciągiem w X zbieżnym po współrzędnych do pewnego ciągu x X (patrz poprzednie zadanie), to przy założeniu, że istnieje ciąg (y k ) X taki, że x k,n y k dla dowolnego n N, to x X oraz x n x. Zadanie 51 Udowodnić, że twierdzenie z poprzedniego zadania jest prawdziwe w przestrzeni c natomiast nie jest prawdziwe w c (a więc również w l ). Zadanie 52 Pokazać, że w przestrzeni c, nie można wprowadzić normy takiej, że zbieżność według tej normy jest równoważna ze zbieżnością po współrzędnych. Zadanie 53 Uzasadnić, że przestrzeń c nie jest gęsta w c a przestrzeń c w l. Zadanie 54 Pokazać, że c, jest gęstym podzbiorem przestrzeni c oraz każdej z przestrzeni l p (p [1, )). Zadanie 55 Podaj przykład przeliczalnego zbioru ciągów który jest gęsty w każdej z przestrzeni c, l p (p [1, )). Zadanie 56 Podaj przykład gęstego i przeliczalnego podzbioru w c. Zadanie 57 Pokazać, że przestrzeń l nie jest przestrzenią ośrodkową. Zadanie 58 Udowodnić, że jeżeli 1 p < q, to l p z normą z l q nie jest przestrzenią Banacha. Zadanie 59 Udowodnić, że podane wzory definiują normę w podanej przestrzeni X ale przestrzeń ta nie jest przestrzenią zupełną. x k a) (x k ) = 2 k, X = l. b) (x k ) = k=1 k=1 x k k, X = l2. x k c) (x k ) = sup k N k, X = c. d) (x k ) = sup k x k, X = l 2. k N 9

Zadanie 6 Pokazać, że jeżeli T jest zbiorem skończonym to przestrzeń l (T ) jest przestrzenią ośrodkową. Zadanie 61 Udowodnić, że jeżeli zbiór T jest nieskończony to przestrzeń l (T ) nie jest przestrzenią ośrodkową. Zadanie 62 Niech T będzie dowolnym zbiorem niepustym. Niech E = {x : T R : x przyjmuje skonczoną ilość wartości} jest gęstym podzbiorem l (T ). Zadanie 63 Podaj przykład przeliczalnego podzbioru gęstego w C([, 1]). Zadanie 64 Uzasadnij, że zbiór wielomianów o współczynnikach wymiernych jest gęsty w każdej z przestrzeni C (n) ([, 1]), n N. Zadanie 65 Niech Dla x C b (R) niech C b (R) = {x : R R : x ciągła i ograniczona}. x = sup x(t). t R Pokazać, że C b (R) z tak określoną normą jest przestrzenią Banacha. Uzasadnić, że nie jest to przestrzeń ośrodkowa. Zadanie 66 Niech C (R) = {x : R R : x ciągła lim x(t) = lim x(t) = }. x x Pokazać, że C (R) z normą określoną tak jak w zdaniu 65 jest przestrzenią Banacha. Uzasadnić, że jest to przestrzeń ośrodkowa. Zadanie 67 Pokazać, że przestrzeń C (1) ([, 1]) z normą z C([, 1]) nie jest przestrzenią zupełną. Zadanie 68 Udowodnij, że wzór x = 1 x(t) dt definiuje normę w C([, 1]) ale norma ta nie jest normą zupełną. 1

Zadanie 69 Udowodnić, że dla dowolnych funkcji ciągłych x, y C([, 1]) zachodzi nierówność Schwarza 1 ( 1 x(t)y(t) dt i korzystając z tej nierówności pokazać, że wzór ( 1 x = ) 1 ( x(t) 2 2 1 ) 1 dt y(t) 2 2 dt ) 1 x(t) 2 2 dt definiuje normę w C([, 1]) ale norma ta nie jest normą zupełną. Zadanie 7 Udowodnić, że podane przestrzenie są przestrzeniami unormowanymi ale nie są przestrzeniami Banacha: (a) X = {x : [, 1] R : x przyjmuje skończoną ilość wartości}. z normą x = sup x(t). t [,1] (b) X = {x : [, 1] R : x ograniczona i przyjmuje przeliczalną ilość wartości} z normą taką jak w (a), (c) Przestrzeń funkcji ciągłych na [, 1] z normą x = sup t x(t). t [,1] Zadanie 71 Pokazać, że w żadnej z przestrzeni z poprzedniego zadania nie zachodzi teza twierdzenia Baire a. Zadanie 72 Pokazać, że w przestrzeni c, nie można wprowadzić normy takiej aby zbieżność generowana przez tą normę pokrywała się ze zbieżnością po współrzędnych. Zadanie 73 Pokazać, że w przestrzeni C(R) wszystkich funkcji ciągłych na zbiorze liczb rzeczywistych R nie można wprowadzić normy w ten sposób, żeby zbieżność według tej normy pokrywała się ze zbieżnością niemal jednostajną. Zadanie 74 (*) Niech X = C ([, 1]). Pokazać, że nie istnieje norma na X taka, że dla dowolnego ciągu (x n ) w x zachodzi: x n x wtedy i tylko wtedy gdy ciąg x (k) n jest jednostajnie zbieżny do x (k) dla dowolnego k N. 11

3 Równoważność norm Zadanie 75 Pokazać, że w dowolnej przestrzeni nieskończenie wymiarowej można wprowadzić dwie normy które nie są równoważne. W zadaniach 76-8 zakładamy, że 1, 2 są normami w pewnej przestrzeni liniowej X. Zadanie 76 Załóżmy, że dla dowolnego ciągu (x n ) w X i dowolnego x X spełniony jest warunek Udowodnić, że 2 1. x n x 1 y x x n y 2. Zadanie 77 Pokazać, że jeżeli dla dowolnego ciągu (x n ) w X takiego, że x n 1 1 ciąg ( x n ) 2 jest ograniczony, to 2 1. Zadanie 78 Pokazać, że jeżeli spełniony jest warunek to 2 1. x n 1 ciąg ( x n ) jest ciągiem ograniczonym, Zadanie 79 Udowonić, że jeżeli dla dowolnego ciągu (x n ) w X ciąg ( x n 1 ) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy ciąg ( x n 2 ) jest ograniczony, to normy 1 i 2 są równoważne. Zadanie 8 Załóżmy, że jeżeli istnieje taki ciąg liczb rzeczywistych dodatnich (α n ) taki, że dla dowolnego ciągu (x n ) w X, ciąg ( x n 1 ) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy ciąg (α n x n 2 ) jest ograniczony, to normy 1 i 2 są równoważne. Zadanie 81 (*) Pokazać, że jeżeli 1, 2 są dwiema normami w X takimi, że 1 2 oraz (X, ) 1 jest przestrzenią Banacha, to 1 2. Zadanie 82 Pokazać, że normy w C([, 1]) zdefiniowane zadaniach 68, 69 są istotnie słabsze od zwykłej normy w tej przestrzeni. Zadanie 83 Pokazać, że norma z zadania 69 jest słabsza od normy z zadania 68, ale nie jest jej równoważna. Zadanie 84 Niech (α k ) będzie ograniczonym ciągiem liczb dodatnich. Pokazać, że wzór (x k ) = α k x k definiuje normę w l 1. Przy jakim założeniu o ciągu (α k ) norma ta jest równoważna zwykłej normie w l 1. k=1 12

Zadanie 85 Niech (α k ) będzie ograniczonym ciągiem liczb dodatnich. Pokazać, że wzór (x k ) = sup α k x k k N definiuje normę w l. Przy jakim założeniu o ciągu (α k ) norma ta jest równoważna zwykłej normie w l. Zadanie 86 Co należy założyć o funkcji g : [, 1] R aby wzór x = sup g(t)x(t) t [,1] definiował normę w C([, 1]). Przy jakim dodatkowym założeniu o funkcji g norma ta jest słabsza od zwykłej normy w C([, 1]). Co dodatkowo założyć aby obie normy były równoważne. Zadanie 87 Niech x = 1 x(t) t dt, (3) dla dowolnego x C([, 1]). Udowodnić, że wzór (3) definiuje normę w przestrzeni C([, 1]) (całka jest rozumiana w sensie całki niewłściwej). Pokazać, że tak zdefiniowana norma jest słabsza od zwykłej normy w C([, 1]). Zadanie 88 Udowodnić, że każda z podanych norm jest równoważna zwykłej normie w w C 1 ([, 1].) (a) x 1 = x() + sup x (t). t [,1] (b) x 2 = x(1) + sup x (t). t [,1] (c) x 3 = x() + x(1) + sup x (t). t [,1] (d) x 4 = 1 ( 1 (e) x 5 = x(t) dt + sup x (t). t [,1] x(t) dt) 1 2 + sup x (t). t [,1] 13

4 Operatory liniowe na przestrzeniach unormowanych Zadanie 89 Niech L(x) = ax dla x R. Obliczyć normę L. Zadanie 9 Niech Λ : R 2 R będzie funkcjonałem określonym wzorem Λ((x, y)) = ax + by. Wyznaczyć Λ. Zadanie 91 Znaleźć normę operatora L : R 2 R 2 określonego wzorem a) L((x, y)) = (x, ), b) L((x, y)) = (x + y, ), c) L((x, y)) = (x y, 2x 2y), d) L((x, y)) = (x, 2x + 3y), e) L((x, y)) = (2x + y, x + y), f) L((x, y)) = (3x y, 2x 3y), jeżeli w dziedzinie i przeciwdziedzinie przyjmujemy normę euklidesową. Zadanie 92 Rozwiązać poprzednie zadanie przyjmując, że w dziedzinie lub przeciwdziedzinie rozpatrywana jest norma (x, y) = x + y. Zadanie 93 Pokazać, że podane wzory definiują operator liniowy i ciągły na każdej z przestrzeni l p (p [1, ]), c, c. W każdym przypadku znaleźć normę tego operatora. a) L((x k )) = (x 1, x 2,..., x l,,,,...). b) L((x k )) = (x 1,, x 2,, x 3,...). c) L((x k )) = (x 2, x 1, x 4, x 3,...). d) L((x k )) = (x k + 2x k+1 ). e) L((x k )) = (2x k x k+1 + 2x k+2 ). Zadanie 94 Pokazać, że operator L określony wzorem ( ) x1 + x 2 +... x k L((x k )) = k jest operatorem liniowym i ciągłym na każdej z przestrzeni l, c, c. Znaleźć jego normę Zadanie 95 Niech L : l 1 c będzie odwzorowaniem określonym wzorem: ( ) L((x k )) = x n. Pokazać, że L jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym. Znaleźć jego normę. 14 n=k

Zadanie 96 Załóżmy, że (a k ) l p (p [, ].) Udowodnić liniowość i ciągłość operatora L : l l p określonego wzorem: Wyznaczyć L. L((x k )) = (a k x k ). (4) Zadanie 97 Pokazać, że jeżeli (a k ) l 2, to wzór (4) określa operator liniowy i ciągły z l 2 w l 1. Ile wynosi norma tego operatora. Zadanie 98 Załóżmy, że 1 p < q. Udowodnić, że odwzorowanie identycznościowe z l p w l q jest ciągłe. Znaleźć jego normę. Zadanie 99 Pokazać, że odwzorowanie L : c c określone wzorem L((x n )) = (x n+1 + x 1 ) jest izomorfizmem. Pokazać, że L i L 1 są ciągłe. Znaleźć ich normę. Zadanie 1 Niech g będzie funkcją ciągłą na [, 1]. Pokazać, ze operator L zdefiniowany na C([, 1]) wzorem jest operatorem liniowym i ciągłym. L(f) = f g Zadanie 11 Załóżmy, że g jest funkcją całkowalną w sensie Riemann a na [, 1]. Pokazać, że operatory zdejmowane wzorem a) L(f)(x) = b) L(f)(x) = są ciągłe. x x f(t)g(t)dt, dla x [, 1]. f(t)g(x t)dt, dla x [, 1]. Zadanie 12 Wyznaczyć normę operatorów z zadania (11) przy założeniu, że g jest funkcją ciągłą nieujemną. Zadanie 13 Pokazać, że operatory z zadania?? są ciągłe jeżeli w C([, 1] rozpatrywać normę Wyznaczyć ich normę. f = 1 f(t) dt. 15

Zadanie 14 Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi nad ciałem R, a L : X Y takim odwzorowaniem, że L(x + y) = L(x) + L(y), dla dowolnych x, y X. Pokazać, że jeżeli L jest odwzorowaniem ciągłym, to jest liniowe. Jeżeli X jest dowolną przestrzenią unormowaną to przestrzeń L(X, X) oznaczamy przez L(X). Zadanie 15 Udowodnić,że jeżeli X jest przestrzenią unormowaną i L 1, L 2 L(X), to L 1 L 2 L(X, X) oraz L 1 L 2 L 1 L 2. Zadanie 16 Załóżmy, że X jest przestrzenią Banacha. Dla dowolnego L L(X), i n N niech: L n = L} L{{ L}, n razy oraz L = Id. Udowodnić, że jeżeli L < 1, to szereg L n jest zbieżny w przestrzeni L(X, Y ) i jego suma jest operatorem liniowym i ciągłym odwracalnym. Jaki jest operator odwrotny do tego operatora? Zadanie 17 Niech X będzie przestrzenią Banacha. Udowodnić, że jeżeli L L(X)) oraz L < 1, to dla dowolnego y X równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. x L(x) = y Zadanie 18 Udowodnić, że jeżeli φ : [, 1] R jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna, taką, że równanie całkowe 1 ma rozwiązanie f C([, 1]). n= φ(t) dt < 1, to dla dowolnej funkcji ciągłej g x f(x) f(x t)φ(t)dt = g(x) Zadanie 19 Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi nad ciałem R, a L : X Y takim odwzorowaniem, że L(x + y) = L(x) + L(y), dla dowolnych x, y X. Pokazać, że jeżeli L jest odwzorowaniem ciągłym, to jest liniowe. Zadanie 11 Pokazać, że teza zadania 19 nie jest prawdziwa gdy rozpatrywać przestrzenie nad ciałem liczb zespolonych. 16

Zadanie 111 Załóżmy, że X, Y są przestrzeniami unormowanymi. Pokazać, że odwzorowanie liniowe L : X Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy L 1 (K(, 1)) jest zbiorem otwartym. Zadanie 112 Załóżmy, że X, jest przestrzenią Banacha a Y przestrzenią unormowaną. Pokazać, że odwzorowanie liniowe L : X Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy L 1 (K(, 1)) jest zbiorem domkniętym. Zadanie 113 Podać przykład, że w zadaniu 112 założenia, że X, jest przestrzenią Banacha nie można zastąpić założeniem, że X jest przestrzenią unormowaną. Zadanie 114 Niech X będzie przestrzenią c, rozpatrywaną z normą z l 1. Udowodnić, że funkcjonał liniowy Λ określony wzorem Λ((x n )) = nx n nie jest funkcjonałem ciągłym, ale Λ 1 ([ 1, 1]) jest zbiorem domkniętym w X. Pokazać, że Λ 1 (( 1, 1)) nie jest zbiorem otwartym w X. Zadanie 115 Udowodnić, że jeżeli X, Y są przestrzeniami unormowanymi a (L n ) takim ciągiem operatorów liniowych i ciągłych z X w Y, że (a) Ciąg ( L n ) jest ciągiem ograniczonym; (b) Istnieje zbiór gęsty A X taki, że ciąg L n (x) jest zbieżny dla dowolnego x A. Pokazać, że ciąg L n (x) jest zbieżny dla dowolnego x X. Zadanie 116 Załóżmy, że (Λ n ) jest ciągiem funkcjonałów liniowych i ciągłych na ośrodkowej przestrzeni unormowanej X takim, że ciąg norm ( Λ n ) jest ciągiem ograniczonym. Pokazać, że istnieje podciąg (Λ kn ) ciągu (Λ n ). Taki, że dla dowolnego x X istnieje granica Λ(x) = lim n Λ k n (x). Pokazać, że Λ jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na X. Zadanie 117 Przy założeniach i oznaczeniach poprzedniego zadania czy zawsze Λ kn Λ. Zadanie 118 Niech X będzie dowolną przestrzenią unormowaną, Y podprzestrzenią X a Λ funkcjonałem liniowym i ciągłym na Y. Pokazać, że jeżeli x Y, to dla dowolnego a K funkcjonał Λ określony na Y (x ) wzorem Λ(y + λx ) = Λ (y) + λa, dla λ K, y Y jest funkcjonałem liniowym i ciągłym. 17

Zadanie 119 Udowodnić, że dla niezerowego funkcjonału Λ określonego na przestrzeni unormowanej X nstp. warunki są równoważne (a) Λ jest ciągły; (b) Ker(Λ) = Λ 1 ({}) jest domkniętą podprzestrzenią X; (c) Ker(Λ) nie jest gęstą podprzestrzenią X. 18

5 Przestrzenie Hilberta Zadanie 12 Udowodnić, że w nierówności Schwartza zachodzi równość wtedy i tylko wtedy gdy wektory x, y są liniowo niezależne. Zadanie 121 Niech X będzie przestrzenią unitarną i niech x, y, z będą dowolnymi elementami X. Pokazać, że równość x z = x y + y z zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje λ [, 1] takie, że y = λx + (1 λ)z. Zadanie 122 Pokazać, że w przestrzeni unitarnej X równość x y = x y zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = lub y = λx przy pewnym λ. Zadanie 123 Udowodnić, że w dowolnej przestrzeni unitarnej zachodzi prawo równoległoboku x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). Pokazać, że w żadnej z przestrzeni c, c, C([, 1]), l p (p [1, ] \ 2 równość ta nie musi zachodzić. Zadanie 124 Udowodnić, że w dowolnej rzeczywistej przestrzeni unitarnej zachodzi równość x, y = 1 4 ( x + y 2 x y 2), a w przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych x, y = 1 4 ( x + y 2 x y 2) 1 4 i ( ix + y 2 ix y 2). Zadanie 125 (*) Pokazać, że jeżeli w przestrzeni unormowanej X dla dowolnych x, y X zachodzi prawo równoległoboku, to w X można wprowadzić iloczyn skalarny generujący normę z przestrzeni X. Zadanie 126 Mówimy, że dwa wektory x, y przestrzeni Hilberta są ortogonalne (co zapisujemy x y) jeżeli x, y =. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne: (i) x y, 19

(ii) x + λy = x λy dla dowolnej liczby λ, (iii) x + λy x dla dowolnej liczby λ. Zadanie 127 Załóżmy, że {x 1,... x m } są parami ortogonalne. Pokazać, że dla dowolnego x X zachodzi równość: m m x 2 = x, x n 2 + x x n, x x n 2. Zadanie 128 Pokazać, że w przestrzeni Banacha X = C([, 1]) zbiór W = {x X : 1 2 1 x(t)dt jest zbiorem wypukłym a dla każdego x W mamy 1 2 inf x < x. x W x(t)dt = 1} Zadanie 129 Podać przykład zbioru wypukłego W w przestrzeni C([, 1]) takiego, że inf x = y x W dla nieskończenie wielu y W. Zadanie 13 Udowodnić, że zbiór {(x 1,... x k ) C k : k x n = 1} jest zbiorem wypukłym i domkniętym w C k. Znaleźć element tego zbioru o najmniejszej normie. Zadanie 131 Niech X będzie przestrzenią unitarną. Udowodnić, że (a) A jest domkniętą podprzestrzenią X; (b) A B B A ; (c) (A B) = A B ; (d) A A dla dowolnych zbiorów A, B X. Zadanie 132 Pokazać, że jeżeli A jest dowolnym podzbiorem przestrzeni Hilberta X, to A jest najmniejszą domkniętą podprzestrzenią liniową X zawierającą A. W szczególności jeżeli E jest podprzestrzenią liniową X, to E = E. 2

W zadaniach 133 i 134 symbol dist oznacza odległość danego elementu przestrzeni od podzbioru tej przestrzeni. Zadanie 133 Niech X = L 2 ([ π, π]). Obliczyć w tej przestrzeni dist(f, E). jeżeli E = lin{1, sin t, cos t, sin 2t, cos 2t}, a f(t) = sign(t). Zadanie 134 Niech X będzie przestrzenią Hilberta funkcji całkowalnych z kwadratem na kwadracie [ π, π] [ π, π]. Znaleźć w tej przestrzeni dist(sin(x + y), E) jeżeli E = lin{sin x sin y, cos x cos y, sin x cos y}. 21

Rozwiązania niektórych zadań Zadanie?? Udowodnimy, że jeżeli (X, ) jest przestrzenią unormowaną i dim X = ℵ to X nie jest przestrzenią Banacha. Załóżmy nie wprost, że dim X = ℵ i niech {e n } (n N) będzie bazą X. Wówczas X n, gdzie X n = lin{e 1,... e n }, Z zadania 29 wynika, że X n jest domkniętą podprzestrzenią X a więc na podstawie twierdzenia Baire a wnioskujemy, że wynika, że int(x n ) dla pewnego n N. Z zadania 27 wynika, że X n = X co prowadzi do sprzeczności. Zadanie 33 Niech X = {(x n ) X N : (x n ) spełnia warunek Cauchy ego w X}. Wprowadźmy w X relację przyjmując, (x n ) (y n ) lim n x n y n =. Łatwo zauważyć, że jest relacją równoważności w X. Niech X będzie zbiorem wszystkich klas abstrakcji [(x n )] gdzie (x n ) X. W zbiorze X wprowadzamy działania przyjmując [(x n )] + [(y n )] = [(x n + y n )]; λ[(x n )] = [(λx n )]. dla dowolnych [(x n )], [(y n )] X oraz λ K. Jak łatwo zauważyć tak zdefiniowane działanie jest poprawne to znaczy nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji. Zauważmy ponadto, że jeżeli (x n ) X to z nierówności x n x m x n x m zachodzącej dla dowolnych n, m N wynika, że ciąg x n spełnia warunek Cauchy ego w R zatem jest zbieżny. Przyjmijmy [(x n )] = lim n x n. Jeżeli (x n ) ( x n ) to x n x n x n x n zatem ciągi ( x n ) i ( x n ) są zbieżne do tej samej granicy. Z tego wynika, że definicja normy w X jest poprawna i jak łatwo sprawdzić jest normą w X. Zauważmy ponadto, że funkcja L : X X zdefiniowana wzorem L(x) = [(x)] jest włożeniem X w X oraz L(x) = x dla dowolnego x X. Zadanie 34 l) Załóżmy, że x jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas (sin kx) l. Udowodnimy, że jeżeli x nie jest wielokrotnością π (tzn. sin x, to (sin kx) c. 22

Załóżmy nie wprost, że sin kx g i sin x. Udowodnimy najpierw, że g =. Ponieważ sin 2kx = 2 sin kx cos kx więc w przypadku gdy g dostajemy cos kx 1/2. Ale ponieważ cos 2kx = 2 cos 2 kx 1, więc cos 2kx 1/2 co prowadzi do sprzeczności bo podciąg ciągu nie może być zbieżny do innej granicy niż ciąg. Przypuśćmy więc, że sin kx. Wówczas sin(k + 1)x ale sin(k + 1)x = sin kx cos x + cos kx sin x, zatem cos kx sin x z czego wynika, że albo sin x = albo cos kx. Drugi przypadek jest niemożliwy bo sin 2 kx + cos k nx = 1. Zadanie 34 m) Udowodnimy, że jeżeli φ jest liczbą rzeczywistą taką, że φ/π Q to zbiór wszystkich liczb postaci sin nφ gdzie n N jest gęstym podzbiorem przedziału [ 1, 1]. Wystarczy udowodnić że zbiór liczb zespolonych postaci e inφ gdzie n N jest gęstym podzbiorem okręgu jednostkowego S na płaszczyźnie Gaussa. Jeżeli A jest dowolnym podzbiorem S to piszemy dla dowolnej liczby rzeczywistej ψ piszemy ψ A (mod2π) jeżeli dla pewnego k Z mamy ψ 2kπ A. Zadanie 43 Udowodnimy, że jeżeli p < q to l p l q oraz x p x p. W przypadku gdy q = jest to oczywiste wystarczy. Załóżmy więc założyć, że q <. Jeżeli (x k ) l p, to z warunku koniecznego zbieżności szeregu mamy x k a więc w szczególności x k 1 dla p. w. k. Stąd dla p. w. k. zachodzi nierówność x k q = x k q p x k p x k p (5) dla p. w.k. Z kryterium porównawczego wynika więc, że (x k ) l q. Zauważmy dalej, ze jeżeli (x k ) 1, to x k 1 dal dowolnego k N, zatem z (5) wynika, że (x k ) q 1 Na podstawie zadania 7 wnioskujemy więc, że x q x p dla dowolnego x l p. Zadania 72, 73 Skorzystać z zadania 9. Zadanie 83 Skorzystać z nierówności Schwarza (patrz zadanie 69). Zadanie 81 Niech X n = {x X : x 2 n}. Ponieważ X n = X, więc z twierdzenia Baire a wynika, że dla pewnego n N mamy int(x n ), przy czym domknięcie i wnętrze są brane w przestrzeni (X, 1 ). Inaczej mówiąc istnieje takie x X, że Zadanie 111 Z liniowości operatora L wynika, że dla dowolnego ε > mamy: L 1 (K(, ε)) = εl 1 (K(, 1)), 23

oraz L 1 = K(y, ε) = L 1 ({y }) + L 1 (K(, 1). Zatem przeciwobraz dowolnej kuli otwartej a więc również zbioru otwartego jest zbiorem otwartym. Z tego wynika ciągłość L. Zadanie 112 Ponieważ ( ) X = L 1 (Y ) = L 1 K(, n) = L 1 (K(, n)). (6) Ponieważ dla dowolnego r > mamy L 1 (K(, r)) = rl 1 (K(, 1)), więc każdy ze zbiorów występujących po ostaniec równości w (6) jest zbiorem domkniętym. Na podstawie twierdzenia Baire a jeden z tych zbiorów ma wnętrze niepuste, tzn. zawiera pewną kulę. Załóżmy, że K(x, δ) K(, n ). Stąd wynika, że jeżeli x K(x, δ), to L(x) < n. Załóżmy, że x < δ. Wówczas x x K(x, δ), a ponieważ również x K(x, δ), więc L(x) L(x ) + L(x x ) 2n. Pokazaliśmy, więc że jeżeli x < δ, to L(x) < 2n, zatem z założenia x < 1, wynika nierówność L(x) < 2n co dowodzi, że operator L jest operatorem ograniczonym. 24