Długo łuku kzwj Kzw ( L : [, ] f ( Jli dn js ównni wkoow kzwj pochodn (, ( s cigł w pzdzil W współzdnch igunowch:, kls C, m długo L ( f ( ( α;, pz czm funkcj (, ( oz ich ( ; oz łuk ni m czci wilokonch, o długo łuku α w si wzom α d ] dϕ L α L [ ( ϕ] [ dϕ [ ( ] [ ( ] d Pzkłd 9 Oliczm długo łuku sinusoid sin, [, ] Cłk oliczono n kompuz! Pzkłd Oliczm długo kzwj L [(sin ] cos, 8, gdzi, ] [ Dl funkcji mm Zm L [ f '( ] [csin ] 6 ( cos Pzkłd Oliczm długo soid [,] ( sin - - L [ ( ] [ ( ] d α [ cos ( sin ] [ sin cos] d cos sin [sin cos ] d sin cos d sin d sin d sin d sin d sin d cos cos cos cos 6 S Kowlski, Wkłd z mmki (dl sudnów kiunku Mchnik wkłd 7
Nich f (,, dzi pdkoci (innswnoci wpłwu owów w chwili do mgznu Wówczs f ( d js zpsm owów w mgzni po upłwi czsu od do Nich funkcj z ( opisuj zsk, jki pznosi uzdzni U w chwili, nich funkcj k ( opisuj kosz ksplocji uzdzni U w chwili Funkcj f ( z( k( opisuj zczwis zsk osign z zinslowni uzdzni U w chwili ; nich ozncz chwil uuchomini uzdzni U, mksmln czs ksplocji Wówczs zinslowni uzdzni U f ( d js ówn zskowi, jki dło nm, Ocjc wks funkcji f dookoł osi, ozmujm ł ooow, kój ojo liczm z wzou Vol f ( Wm funkcj f : [, ] cigł n pzdzil [ ] z pol powizchni - ( Pol f ( ( f ( Pzkłd Oliczm ojo i pol powizchni kuli o pominiu Kul k powsj pzz oó kzwj,, wokół osi odcich Dlgo Vol ( f ( Pol f ( ( f ( ( [ ] Pzkłd Oliczm ojo i pol powizchni powsłj pzz oó wksu funkcji Vol sin sin cos ( f ( ( f ( sin,, wokół osi Pol f ( ( f ( cos sin cos d d d sin I Olicz długoci kzwch: ln cos cos k k k ln k C ( ln( ( ln( ( ln( ln, ln cos,, ( csin 6 cos II Olicz ojo i pol powizchni powsłj pzz oó wksu funkcji f, wokół osi cos,, S Kowlski, Wkłd z mmki (dl sudnów kiunku Mchnik wkłd 7
Cłki niwłciw f ( f ( Jli gnic js włciw, cłk niwłciw nzwm zin; w pzciwnm pzpdku mówim, cłk niwłciw js ozin [ ln ] ( ln ln f ( f ( Jli gnic js włciw, cłk niwłciw nzwm zin; w pzciwnm pzpdku mówim, cłk niwłciw js ozin [ cg] ( cg [ ( ] f ( f ( f ( Jli oi cłki niwłciw po pwj soni wzou isnij, cłk niwłciw nzwm zin; w pzciwnm pzpdku mówim, cłk niwłciw js ozin Funkcj js niogniczon w lwosonnm ssidzwi gónj gnic cłkowni f ( f ( Jli gnic isnij, cłk niwłciw nzwm zin; w pzciwnm pzpdku mówim, cłk niwłciw js ozin Funkcj js niogniczon w pwosonnm ssidzwi dolnj gnic cłkowni f ( f ( Jli gnic isnij, cłk niwłciw nzwm zin; w pzciwnm pzpdku mówim, cłk niwłciw js ozin Funkcj js niogniczon n ssidzwi punku c połoongo wwnz pzdziłu cłkowni, o pzjmujm c ( f ( f f ( c S Kowlski, Wkłd z mmki (dl sudnów kiunku Mchnik wkłd 7
[ cg ] cg ( Funkcj f ( ni js ogniczon w ssidzwi punku c Mm ( ( ( ( ( ( ( Poniw js on ozin, wic dn cłk js ówni ozin ni oliczm dugij cłki ln ln d d ln C ln ln ln d Kozsm z dfinicji cłki niwłciwj n półposj: Wjciow cłk js ozin ln [ln ln ] ln C cg cg cg d d C ( cg C ; d Kozsm z dfinicji cłki niwłciwj n półposj: Wjciow cłk js zin cg cg [ (cg ] [ (cg ] [ (cg ] 6 ( 6 Kozsm z dfinicji cłki niwłciwj n półposj: Wjciow cłk js ozin [ ln ] 7 S Kowlski, Wkłd z mmki (dl sudnów kiunku Mchnik wkłd 7
d d Kozsm z dfinicji cłki niwłciwj n półposj: Wjciow cłk js zin d [ C ] ( C 8 Kozsm z dfinicji cłki niwłciwj n posj: [ln Poniw cłk js ozin, wic wjciow cłk js ozin (w kim pzpdku ni musim olicz dugij cłki ] 9 ( ( ( [cg( ] ( ( [cg( ] ( B ( B B B, z 9 ( ( Oliczm f (, jli [ ( ( f ( 9 ( ( ( [ cg ] cg dl dl dl ] > <,, 9 f ( Do wznczni funkcji piwonj dl funkcji podcłkowj zsosowno wzó, csin C Oliczm f (, jli f ( cos dl dl dl <, >, S Kowlski, Wkłd z mmki (dl sudnów kiunku Mchnik wkłd 7
f ( cos cos [sin ] Oliczm f (, jli f ( 7 dl <, dl 8, dl > 8 8 f ( 7 7 8 8 Funkcj podcłkow ni js ogniczon w pwosonnm ssidzwi dolnj gnic cłkowni W kim pzpdku zgodni z dfinicj mm [ ] Funkcj podcłkow ni js ogniczon w lwosonnm ssidzwi gónj gnic cłkowni W kim pzpdku zgodni z dfinicj mm [csin ] 6 cg Funkcj podcłkow ni js ogniczon w pwosonnm ssidzwi dolnj gnic cłkowni W kim pzpdku zgodni z dfinicj mm Cłk js ozin 7 cg cg [ln sin ] Funkcj podcłkow ni js ogniczon w lwosonnm ssidzwi gónj gnic cłkowni W kim pzpdku zgodni z dfinicj mm [ ] 8 Olicz pol oszu ogniczongo wksm funkcji f ( i osi odcich Poniw D f (;, wic D Funkcj podcłkow ni js ogniczon w lwosonnm ssidzwi gónj gnic cłkowni, ni w pwosonnm ssidzwi dolnj gnic cłkowni W kim pzpdku zgodni z dfinicj mm [csin ] [csin ] D,, S Kowlski, Wkłd z mmki (dl sudnów kiunku Mchnik wkłd 7 6
9 Olicz pol oszu ogniczongo wksm funkcji f (, gdzi <, i osi odcich ln D ln Funkcj podcłkow ni js ogniczon w pwosonnm ssidzwi dolnj gnic cłkowni W kim pzpdku zgodni z dfinicj mm D [ ln ] ln ln Olicz ( Rozwizni Funkcj podcłkow ni js oklon w punkci W kim pzpdku pospujm nspujco ( ( ( Tz funkcj podcłkow w piwszj cłc js niogniczon w lwosonnm ssidzwi gónj gnic cłkowni, funkcj podcłkow w dugij cłc js niogniczon w pwosonnm ssidzwi dolnj gnic cłkowni Poniw, ( ( wic wjciow cłk js ozin (w kim pzpdku ni musim olicz dugij cłki ln Funkcj podcłkow ni js ogniczon w pwosonnm ssidzwi dolnj gnic cłkowni W kim pzpdku zgodni z dfinicj mm 6 [ ] ( ln ln ln ln 8 7 9 8 9 sin 6 Chk zmin nni pdu lkczngo pwngo impulsu wwołngo w owodzi js oklon zlnoci Wzncz cłkowi łdunk lkczn q i d, jki pzpłni w owodzi wskuk wwołni jdngo impulsu 9 i S Kowlski, Wkłd z mmki (dl sudnów kiunku Mchnik wkłd 7 7