GRANIASTOSŁUPY

.. GRANIASTOSŁUPY. Grnistosłupy H Postwy grnistosłup - w równoległe i przystjąe wielokąty Śin ozn - równoległook Grnistosłup prosty grnistosłup, w którym wszystkie krwęzie ozne są prostopłe o postw. W grnistosłupie prostym wszystkie śiny ozne są prostokątmi. H Grnistosłup, który nie jest prosty nzywmy grnistosłupem pohyłym Przekątn grnistosłup oinek łąząy w wierzhołki nie leŝąy n Ŝnej ze śin. Wysokość grnistosłup H oinek łąząy postwy, prostopły o nih. W grnistosłupie prostym wysokość jest równ krwęzi oznej Grnistosłup prwiłowy grnistosłup, którego postwy są wielokątmi foremnymi, śiny ozne prostokątmi. Wzory n pole powierzhni łkowitej i ojętość grnistosłup: P P P V P H p p

Kąty w grnistosłupie Grnistosłup prwiłowy zworokątny α kąt nhyleni przekątnej śiny oznej o krwęzi postwy γ β kąt nhyleni przekątnej grnistosłup o postwy γ kt nhyleni przekątnej grnistosłup o śiny oznej α β Grnistosłup prwiłowy trójkątny β α kąt nhyleni przekątnej śiny oznej o krwęzi oznej β kąt nhyleni przekątnej śiny oznej o sąsieniej śiny oznej α Przykł... Postwą grnistosłup prostego jest równoległook o okh i 6 orz kie 0. Oliz ojętość tego grnistosłup wiezą, Ŝe jego pole powierzhni łkowitej jest równe 7. Rozwiąznie Komentrz Anliz zni. Przy olizniu ojętośi grnistosłup wykorzystujemy wzór V Pp H. PoniewŜ postwą grnistosłup jest równoległook, to Ztem V sin α H P p sinα. ne: Szukne: Wzory: 6 V? V sin α H P sinα H H α 0 P 7 Piszą wzór n pole powierzhni łkowitej grnistosłup wykorzystujemy wzór P P P. PoniewŜ p P p sinα orz powierzhnię ozną tworzą w prostokąty o okh i H orz w prostokąty o okh i H, ztem P sinα H H

P sinα H H 7 6 sin 0 6H H 7 8 H 8H 7 0H 0H 0H 7 8/ : ( 0) H, V sin α H V 6 sin 0, V, V 8,8 Wykorzystują wzór n pole powierzhni łkowitej olizmy H Olizmy ojętość grnistosłup. Sześin ( grnistosłup foremny) grnistosłup, którego wszystkie śiny są kwrtmi. - krwęź sześinu przekątn sześinu przekątn śiny sześiny Wzór n pole powierzhni łkowitej sześinu: Wzór n ojętość sześinu: V P 6 Przykł... Oliz kosinus kąt jki tworzy przekątn sześinu z jego postwą. Rozwiąznie Komentrz Anliz zni. WykŜemy, Ŝe przekątn sześinu wyrŝ się wzorem.

Szukne: Wzory: os α? Korzystmy z twierzeni Pitgors: Z postwimy wzór ( ) Olizmy os α. os α osα osα osα 6 Korzystmy z efiniji kosinus: przyprostoktn_ przy_α osα przeiwprostoktn Po postwieniu wzorów,, skróeniu orz usunięiu niewymiernośi z minownik otrzymujemy wrtość os α Prostopłośin grnistosłup, którego wszystkie śiny są prostokątmi.,, krwęzie prostopłośinu przekątn prostopłośinu Wzór n pole powierzhni łkowitej prostopłośinu: P Wzór n ojętość prostopłośinu: V

Przykł... ługośi krwęzi wyhoząyh z jenego wierzhołk prostopłośinu są lizmi tworząymi iąg geometryzny, w którym njmniejszy wyrz jest równy. Przekątn tego prostopłośinu m ługość 5. Oliz pole powierzhni i ojętość prostopłośinu. Rozwiąznie Anliz zni. Komentrz Przy olizniu ojętośi prostopłośinu wykorzystujemy wzór V Pp H. PoniewŜ postwą prostopłośinu jest prostokąt, to P p prostopłośinu ztem V H.,, wysokość Śinmi prostopłośinu są w prostokąty o okh i ; w prostokąty o okh i orz w prostokąty o okh i, ztem P ne: Szukne: Wzory: V? V 5 P? P,, - iąg geometryzny Wykorzystują zleŝność mięzy trzem kolejnymi wyrzmi,, iągu geometryznego:, zpisujemy pierwsze równnie z niewiomymi i Wykorzystują twierzeni Pitgors zpisujemy wzór n przekątną postwy prostopłośinu.

8 5 5 Wykorzystują twierzeni Pitgors zpisujemy rugie równnie z niewiomymi i 8 0 8 8 ( ) 96 9 8 R 8 6 96 6 96 6 Rozwiązujemy metoą postwini ukł równń z niewiomymi i. Rozwiązują równnie kwrtowe stosujemy wzory: x x ; PoniewŜ 8 nie spełni wrunków zni, ztem 6. Olizmy 6 V 8 6 6 P Olizmy V i P

Grnistosłup prwiłowy zworokątny grnistosłup, którego postwy są kwrtmi, śiny ozne prostokątmi. - krwęź postwy krwęź ozn ( wysokość grnistosłup) przekątn postwy przekątn grnistosłup prwiłowego zworokątnego Wzór n pole powierzhni łkowitej grnistosłup prwiłowego zworokątnego: Wzór n ojętość grnistosłup prwiłowego zworokątnego: V P Przykł... Krwęź postwy grnistosłup prwiłowego zworokątnego wynosi, przekątn tego grnistosłup 8. Oliz ojętość, pole powierzhni łkowitej tego grnistosłup orz sinus kąt jki tworzy przekątn grnistosłup z krwęzią postwy mjąą z nią punkt wspólny. Rozwiąznie Anliz zni. Komentrz Przy olizniu ojętośi grnistosłup wykorzystujemy wzór V Pp H. PoniewŜ postwą grnistosłup jest kwrt, to P p, wysokość grnistosłup H., Ztem V Piszą wzór n pole powierzhni łkowitej grnistosłup wykorzystujemy wzór P Pp P. PoniewŜ P p orz powierzhnię ozną tworzą ztery prostokąty o okh i,ztem P. ne: Szukne: Wzory: V? V 8 P? P sin α? W olizeni wykorzystujemy równieŝ wzór n przekątną kwrtu

Korzystją z twierzeni Pitgors olizmy ługość krwęzi oznej. Wykorzystujemy równieŝ wzór n przekątną kwrtu ( ) ( ) 6 8 8 6 56 56 V 8 P 8 6 Olizmy V i P Korzystją z twierzeni Pitgors olizmy ługość przekątnej śiny oznej ( 56) 56 60 60 5 5

Korzystją z efiniji sinus sin α przyprostoktn _ nprzeiw_ α przeiwprostoktn olizmy sinus kąt jki tworzy przekątn grnistosłup z krwęzią postwy. sinα 5 8 5 Grnistosłup prwiłowy trójkątny grnistosłup, którego postwy są trójkątmi równooznymi, śiny ozne są prostokątmi. h - krwęź postwy krwęź ozn ( wysokość grnistosłup) h wysokość postwy h Wzór n pole powierzhni łkowitej grnistosłup prwiłowego trójkątnego: Wzór n ojętość grnistosłup prwiłowego trójkątnego: V P

Przykł..5. Oliz ojętość i pole powierzhni łkowitej grnistosłup prwiłowego trójkątnego,w którym ługość krwęzi postwy jest równ 0 orz kąt nhyleni przekątnej śiny oznej o sąsieniej śiny oznej m mirę 5. Rozwiąznie Komentrz Anliz zni. Przy olizniu ojętośi grnistosłup wykorzystujemy wzór V Pp H. PoniewŜ postwą grnistosłup jest trójkąt równoozny, to P p, wysokość grnistosłup H., Ztem V ne: Szukne: Wzory: 0 V? V α 5 P? P h h 0 0 Piszą wzór n pole powierzhni łkowitej grnistosłup wykorzystujemy wzór P P P. PoniewŜ p P p trzy prostokąty o okh i, ztem orz powierzhnię ozną tworzą P W olizeni wykorzystmy równieŝ wzór n wysokość trójkąt równooznego h Olizmy wysokość postwy grnistosłup. Korzystją z efiniji sinus : sin α przyprostoktn _ nprzeiw_ α przeiwprostoktn olizmy przekątną śiny oznej.

sinα 0 sin 5 0 0 0 h 0 6 / 6 / : Korzystją z twierzeni Pitgors olizmy ługość krwęzi oznej. 0 00 ( 0 6) 600 00 0 V 0 0 00 0 Olizmy V i P 0 P 0 0 00 600 00 600

Grnistosłup prwiłowy sześiokątny grnistosłup, którego postwmi są sześiokąty foremne, śiny ozne są prostokątmi. - krwęź postwy krwęź ozn ( wysokość grnistosłup) krótsz przekątn postwy łuŝsz przekątn postwy Wzór n pole powierzhni grnistosłup prwiłowego sześiokątnego: P 6 6 Wzór n ojętość grnistosłup prwiłowego sześiokątnego: V 6 Przykł..6. W grnistosłupie prwiłowym sześiokątnym wszystkie krwęzie mją ługość. Oliz pole powierzhni łkowitej i ojętość grnistosłup orz ługośi przekątnyh grnistosłup. Rozwiąznie Komentrz Anliz zni. Postwą grnistosłup jest sześiokąt foremny. Łązą wierzhołki sześiokąt otrzymujemy sześć trójkątów równooznyh, ltego P p 6.

ne: Szukne: Wzory: V? V 6 P? P 6 6?? 6 V 6 6 6 6 96 łuŝsz przekątn sześiokąt foremnego jest równ ługośi wóh oków trójkąt równooznego: Krótsz przekątn sześiokąt foremnego jest równ ługośi wóh wysokośi trójkąt równooznego: Przy olizniu ojętośi grnistosłup wykorzystujemy wzór V Pp H. PoniewŜ postwą grnistosłup jest sześiokąt foremny, to P p 6, wysokość grnistosłup Ztem V H., Piszą wzór n pole powierzhni łkowitej grnistosłup wykorzystujemy wzór P P P. PoniewŜ p P p 6 tworzy sześć prostokątów o okh i orz powierzhnię ozną, ztem P 6 6 Olizmy V i P P 6 6 6 96 8 96 6 Wykorzystują twierzenie Pitgors olizmy ługość krótszej przekątnej grnistosłup.

6 8 6 8 Wykorzystują twierzeniu Pitgors olizmy ługość łuŝszej przekątnej grnistosłup. Korzystmy ze wzoru ( ) 6 6 80 80 6 5 5 ĆWICZENIA Ćwizenie... (pkt.) Oliz pole powierzhni łkowitej i ojętość sześinu o przekątnej ługośi m. shemt oenini Numer opowiezi Opowieź Liz punktów Ponie ługośi krwęzi sześinu Ponie pol powierzhni łkowitej sześinu. Ponie ojętośi sześinu.

Ćwizenie... (pkt.) Postwą grnistosłup prostego jest prostokąt o okh ługośi m; m.oliz ojętość i pole powierzhni tego grnistosłup wiezą, Ŝe jego przekątn jest nhylon o postwy po kątem 60. shemt oenini Numer Opowieź Liz punktów opowiezi Ponie ługośi przekątnej postwy grnistosłup Ponie wysokośi grnistosłup. Ponie pol powierzhni łkowitej grnistosłup Ponie ojętośi sześinu grnistosłup. Ćwizenie... (5pkt.) W grnistosłupie prwiłowym zworokątnym przekątn postwy m ługość m i tworzy z przekątną śiny oznej wyhoząą z tego smego wierzhołk kąt 60. Oliz pole powierzhni i ojętość tego grnistosłup. shemt oenini Numer Opowieź Liz punktów opowiezi Ponie ługośi krwęzi postwy. Ponie ługośi przekątnej śiny oznej Ponie ługośi krwęzi oznej. Ponie pol powierzhni łkowitej grnistosłup 5 Ponie ojętośi sześinu grnistosłup. Ćwizenie... (pkt.) W grnistosłupie prwiłowym trójkątnym przekątn śiny oznej jest nhylon o krwęzi postwy ługośi 6 m po kątem 0. Oliz pole powierzhni i ojętość grnistosłup. shemt oenini Numer Opowieź Liz punktów opowiezi Ponie ługośi krwęzi oznej Ponie pol powierzhni łkowitej grnistosłup Ponie ojętośi sześinu grnistosłup. Ćwizenie..5. (pkt.) Oliz pole powierzhni i ojętość grnistosłup prwiłowego sześiokątnego, którego krwęź postwy m ługość i njłuŝsz przekątn. shemt oenini Numer Opowieź Liz punktów opowiezi Ponie ługośi krwęzi oznej Ponie pol powierzhni łkowitej grnistosłup Ponie ojętośi sześinu grnistosłup.