GEOMETRIA W PRZESTRZENI (STEREOMETRIA)

Transkrypt

1 GEOMETRIA W RZESTRZENI (STEREOMETRIA) Treść: 1. roste, płszzyzny i kąty w przestrzeni: Wzjemne połoŝenie prostyh w przestrzeni ołoŝenie płszzyzn w przestrzeni Kąty w przestrzeni Wielośiny wiomośi ogólne: Rozje wielośinów Grnistosłupy: ojęi i włsnośi związne z grnistosłupem Klsyfikj grnistosłupów Sześin rostopłośin Grnistosłup prwiłowy trójkątny Grnistosłup prwiłowy zworokątny Grnistosłup prwiłowy sześiokątny Grnistosłupy proste Grnistosłup pohyły Ostrosłupy: ojęi i włsnośi związne z ostrosłupem Klsyfikj ostrosłupów Czworośin foremny Ostrosłup prwiłowy trójkątny Ostrosłup prwiłowy zworokątny Ostrosłup prwiłowy sześiokątny Inne ostrosłupy Bryły orotowe: Rozje i określeni efiniyjne postwowyh rył orotowyh Wle StoŜek Kul Inne ryły orotowe rzekroje rył Kąty w ryłh zgnienie elementrne - zgnienie wykrzjąe poz progrm 1

2 GEOMETRIA W RZESTRZENI (STEREOMETRIA) 1. ROSTE, ŁASZCZYZNY I KĄTY W RZESTRZENI Wzjemne połoŝenie prostyh w przestrzeni: N płszzyźnie wyróŝni się w główne połoŝeni prostyh: proste równoległe (w tym proste pokrywjąe się) i proste przeinjąe się (w tym proste prostopłe). W przestrzeni moŝn określić jeszze jeno połoŝenie: proste skośnie. roste przeinjąe się. roste nzywmy przeinjąymi się, jeŝeli mją jeen punkt wspólny. unkt ten nzywmy punktem przeięi się prostyh. roste przeinjąe się leŝą n jenej płszzyźnie. l k π roste k i l leŝą n płszzyźnie π i przeinją się w punkie. JeŜeli proste k i l tworzą kąt prosty, to mówimy, Ŝe są to proste prostopłe. roste równoległe. roste nzywmy równoległymi, jeŝeli leŝą n jenej płszzyźnie i nie mją punktów wspólnyh. l k π roste k i l leŝą n płszzyźnie π i nie przeinją się ze soą, są wię równoległe (szzególną sytują równoległośi jest połoŝenie, gy oie proste pokrywją się ze soą, zyli prost k jest tą smą prostą o prost l). roste skośne. roste nzywmy skośnymi, jeŝeli nie leŝą n jenej płszzyźnie. roste skośne nie przeinją się, ni nie są równoległe. l π k rost k leŝy n płszzyźnie π, prost l nie leŝy n tej płszzyźnie. roste nie mją wspólnyh punktów, nie są teŝ równoległe. ołoŝenie płszzyzn w przestrzeni. łszzyzny równoległe: Dwie płszzyzny są równoległe, jeŝeli nie mją punktów wspólnyh. π 1 π

3 łszzyzny przeinjąe się: Dwie płszzyzny nzywmy przeinjąymi się, jeśli mją wspólną prostą (zwną krwęzią). krwęź π 1 π roste przeinjąe się mogą yć prostopłe. Kąty w przestrzeni. W przestrzeni, opróz kątów płskih, wyróŝnimy kilk innyh rozjów kątów. Kąt płski to zęść płszzyzny ogrnizon przez wie półproste o wspólnym pozątku. ółproste tworząe kąt nleŝą o kąt i nzywją się rmionmi. Wspólny pozątek półprostyh to wierzhołek kąt. A O B Kąt pomięzy prostą płszzyzną: Kątem nhyleni pomięzy prostą płszzyzną nzywmy mirę kąt płskiego ostrego, który tworzy prost z jej rzutem prostokątnym n płszzyznę ( ieniem prostej n płszzyźnie). k π k rost k to rzut prostokątny prostej k n płszzyznę π. Kąt nhyleni miezy prostą k płszzyzną π, jest równy kątowi mięzy prostą k i swoim rzutem k.

4 rost prostopł o płszzyzny: rost jest prostopł o płszzyzny, jeśli jest prostopł o kŝej prostej płszzyzny, z którą m punkt przeięi. k π Kąt wuśienny: krwęzi. Kątem wuśiennym nzywmy zęść przestrzeni ogrnizoną przez wie półpłszzyzny o wspólnej π 1 Mir kąt wuśiennego ółpłszzyzn kąt π Krwęź kąt ółpłszzyzn kąt Mirą kąt wuśiennego jest mir kąt, jki tworzą wie półproste (kŝ leŝą n innej półpłszzyźnie kąt) prostopłe o krwęzi o wierzhołu n krwęzi kąt.. WIELOŚCIANY WIDOMOŚCI OGÓLNE Wielośin to rył geometryzn, któr jest zęśią przestrzeni ogrnizoną przez powierzhnię zmkniętą, utworzoną z wielokątów o wspólnyh okh. UWAGA! owyŝsze znie nie jest efiniją lez jeynie opisem wystrzjąym l potrze szkolnyh. wierzhołek krwęź śin krwęź śin krwęź wierzhołek śin 4

5 Rozje wielośinów. Wśró wielośinów wyróŝnimy kilk rozjów figur: Grnistosłup: Wielośin, którego wszystkie wierzhołki znjują się n wóh równoległyh płszzyznh, i którego wszystkie krwęzie ozne są równoległe. Rozje grnistosłupów (przykły i określeni efiniyjne): ) grnistosłup prosty grnistosłup, którego krwęzie ozne są prostopłe o postw, wszystkie śiny ozne są prostokątmi, ) grnistosłup prwiłowy grnistosłup prosty, którego postwą jest wielokąt foremny, np. kwrt, trójkąt równoozny, sześiokąt foremny, it., ) grnistosłup pohyły grnistosłup, którego krwęzie ozne nie są prostopłe o postw i śiny ozne są równoległookmi, ) sześin wielokąt foremny grnistosłup, którego wszystkie śiny są ientyznymi (przystjąymi) kwrtmi, e) prostopłośin grnistosłup, którego wszystkie śiny są prostokątmi. Ostrosłup: Wielośin, którego jen śin (zwn postwą) jest owolnym wielokątem, wszystkie pozostłe śiny (zwne śinmi oznymi) są trójkątmi o wspólnym wierzhołku. Rozje ostrosłupów (przykły): ) ostrosłup prosty ostrosłup, którego wierzhołek znjuje się pon śrokiem postwy (wyznzonym przez śroek okręgu wpisnego w postwę lu gy nie m tkiego okręgu śroek symetrii figury), ) ostrosłup prwiłowy ostrosłup prosty, którego postwą jest wielokąt foremny, np. kwrt, trójkąt równoozny, sześiokąt foremny, it., ) ostrosłup pohyły ostrosłup, który nie jest ostrosłupem prostym, ) zworośin foremny ostrosłup foremny, którego wszystkie ztery śiny są ientyznymi (przystjąymi) trójkątmi równooznymi. Wielośin foremny: Wielośin, którego wszystkie śiny są ientyznymi (przystjąymi) wielokątmi foremnymi i wszystkie kąty wuśienne mięzy śinmi są równe. Rozje wielośinów foremnyh (istnieje tylko pięć tkih wielokątów): ) zworośin foremny m ztery śiny, które są przystjąymi trójkątmi równooznymi, ) sześin m sześć śin, które są przystjąymi kwrtmi, ) ośmiośin foremny m osiem śin, które są przystjąymi trójkątmi równooznymi, ) wunstośin foremny m wnśie śin, które są przystjąymi pięiokątmi foremnymi, e) wuziestośin foremny m wzieśi śin, które są przystjąymi trójkątmi równooznymi. CZWOROŚCIAN SZEŚCIAN OŚMIOŚCIAN DWUNASTOŚCIAN DWUDZIESTOŚCIAN Inne rozje wielośinów: Inne rozje wielośinów (przykły): ) ostrosłup śięty ) grnistosłup skręony, ) grnistosłup śięty, ) kopuły, e) pirmiy, pirmiy wyłuŝone, f) wupirmiy, g) rotuny, rotuny wyłuŝone, h) wurotuny, i) eltośiny, j) sfery i półsfery geoezyjne. DELTOŚCIAN CZWOROŚCIAN ŚCIĘTY DWUKOUŁA SFERA GEODEZYJNA GRANIASTOSŁU SKRĘCONY 5

6 . GRANIASTOSŁUY. Grnistosłup: Wielośin, którego wszystkie wierzhołki znjują się n wóh równoległyh płszzyznh, i którego wszystkie krwęzie ozne są równoległe. ojęi i włsnośi związne z grnistosłupem. postw górn krwęź postwy górnej krwęź ozn przekątn grnistosłup krwęź ozn śin ozn postw oln krwęź postwy olnej Wysokość grnistosłup: Oległość pomięzy postwą olną, postwą górną grnistosłup. W przypku grnistosłupów prostyh wysokość jest równ ługośi krwęzi oznej. Ojętość grnistosłup: Ojętość kŝego grnistosłup olizmy ze wzoru: ole powierzhni oznej grnistosłup: Sum pól wszystkih śin oznyh grnistosłup. ole powierzhni oznej oznzmy zwykle jko. ole powierzhni łkowitej grnistosłup: Sum pól wszystkih śin grnistosłup, zyli sum pól wóh postw i wszystkih śin oznyh. + rzekątn grnistosłup: Oinek łąząy w wierzhołki grnistosłup, które nie nleŝą o jenej śiny. Włsnośi grnistosłup: Jeśli grnistosłup m postwę, którą jest n kąt (wielokąt o n okh), to: ilość śin grnistosłup wynosi n +, ilość krwęzi grnistosłup wynosi n, ilość wierzhołków grnistosłup wynosi n. p Klsyfikj grnistosłupów: GRANIASTOSŁUY GRANIASTOSŁUY ROSTE GRANIASTOSŁUY OCYŁE GRANIASTOSŁUY RAWIDŁOWE ROSTOADŁOŚCIANY SZEŚCIANY 6

7 SZEŚCIAN D Definij sześinu wielokąt foremny grnistosłup, którego wszystkie śiny są ientyznymi (przystjąymi) kwrtmi. Włsnośi: wszystkie śiny są przystjąymi kwrtmi, wszystkie kąty mięzy śinmi wynoszą 90. Sześin m ztery przekątne równej ługośi. Ojętość sześinu: ole powierzhni łkowitej sześinu: 6 rzekątn sześinu: D Sitk sześinu: ROSTOADŁOŚCIAN D Definij prostopłośinu grnistosłup, którego wszystkie śiny są prostokątmi. Włsnośi: prostopłośin m trzy pry śin ientyznyh (przystjąyh) i równoległyh. Wszystkie kąty mięzy śinmi wynoszą 90. rostopłośin m ztery przekątne równej ługośi. Ojętość prostopłośinu: ole powierzhni łkowitej: + + rzekątn sześinu: ługość olizmy korzystją z twierzeni itgors. Sitk prostopłośinu: 7

8 GRANIASTOSŁU RAWIDŁOWY TRÓJKĄTNY: Definij grnistosłup prwiłowego trójkątnego grnistosłup prwiłowy, którego postwą jest trójkąt równoozny. Włsnośi: grnistosłup prwiłowy trójkątny m trzy ientyzne (przystjąe) śiny ozne. Grnistosłup prwiłowy trójkątny nie m przekątnyh. Ojętość grnistosłup: ole postwy: olizmy ze wzoru n pole trójkąt równooznego: p 4 ole powierzhni łkowitej: p + Sitk grnistosłup prwiłowego trójkątnego: GRANIASTOSŁU RAWIDŁOWY CZWOROKĄTNY: Definij grnistosłup prwiłowego zworokątnego grnistosłup prwiłowy, którego postwą jest kwrt. D Włsnośi: grnistosłup prwiłowy zworokątny m ztery ientyzne (przystjąe) śiny ozne. Grnistosłup prwiłowy zworokątny m ztery równe przekątne. Ojętość grnistosłup: ole postwy: olizmy ze wzoru n pole kwrtu: ole powierzhni łkowitej: p + 4 p Sitk grnistosłup prwiłowego zworokątnego: 8

9 GRANIASTOSŁU RAWIDŁOWY SZEŚCIOKĄTNY: Definij grnistosłup prwiłowego sześiokątnego grnistosłup prwiłowy, którego postwą jest sześiokąt foremny. Włsnośi: grnistosłup prwiłowy sześiokątny m sześć ientyznyh (przystjąyh) śin oznyh. Grnistosłup prwiłowy sześiokątny m w rozje przekątnyh: sześć łuŝszyh (D 1) i wnśie krótszyh (D ). Ojętość grnistosłup: ole postwy: olizmy ze wzoru n pole sześiokąt foremnego: p 6 4 ole powierzhni łkowitej: p + 6 Sitk grnistosłup prwiłowego sześiokątnego: GRANIASTOSŁUY ROSTE: rzykły: h GRANIASTOSŁU ROSTY O ODSTAWIE TRAEZU RÓWNORAMIENNEGO GRANIASTOSŁU ROSTY O ODSTAWIE TRÓJKĄTA ROSTOKĄTNEGO h GRANIASTOSŁU ROSTY O ODSTAWIE RÓWNOLEGŁOBOKU 9

10 Włsnośi: kŝy grnistosłup prosty m prostokątne śiny ozne (śiny w ksztłie prostokąt). Ojętość grnistosłup: ole postwy: olizmy ze wzoru włśiwego l figury znjująej się w postwie. W ryłh, któryh rysunki są przestwione powyŝej, wzory n pole postwy są nstępująe: p + h p p h ole powierzhni łkowitej: wszystkih śin oznyh. + p, gzie oznz pole powierzhni oznej, zyli sumę pól Sitki grnistosłupów prostyh (zgonie z rysunkmi powyŝej): GRANIASTOSŁU OCYŁY: Włsnośi: krwęzie ozne grnistosłup pohyłego nie są prostopłe o płszzyzny postwy. Śiny ozne są równoległookmi. Długość krwęzi oznej grnistosłup nie jest jego wysokośią. ostwą grnistosłup pohyłego moŝe yć owolny wielokąt (n rysunku wielokątem tym jest równoległook). Ojętość grnistosłup: Sitk grnistosłup pohyłego (zgonie z rysunkiem powyŝej): ole powierzhni łkowitej: Sum pól wszystkih śin, zyli sum pól wóh postw i wszystkih śin oznyh. + p 10

11 4. OSTROSŁUY. Ostrosłup: Wielośin, którego jen śin (zwn postwą) jest owolnym wielokątem, wszystkie pozostłe śiny (zwne śinmi oznymi) są trójkątmi o wspólnym wierzhołku. ojęi i włsnośi związne z ostrosłupem. wierzhołek ostrosłup krwęź ozn wysokość śin ozn krwęź ozn śin ozn wierzhołek postwy postw krwęź postwy Wysokość ostrosłup: Oległość pomięzy wierzhołkiem ostrosłup postwą olną. Ojętość ostrosłup: Ojętość kŝego ostrosłup olizmy ze wzoru: 1 ole powierzhni oznej ostrosłup: Sum pól wszystkih śin oznyh ostrosłup. ole powierzhni oznej oznzmy zwykle jko. ole powierzhni łkowitej ostrosłup: Sum pól wszystkih śin ostrosłup, zyli sum pol postwy i wszystkih śin oznyh. + p Włsnośi ostrosłup: Jeśli ostrosłup m postwę, którą jest n kąt (wielokąt o n okh), to: ilość śin ostrosłup wynosi n + 1, ilość krwęzi ostrosłup wynosi n, ilość wierzhołków ostrosłup wynosi n + 1. Klsyfikj ostrosłupów: OSTROSŁUY OSTROSŁUY ROSTE OSTROSŁUY OCYŁE OSTROSŁUY RAWIDŁOWE CZWOROŚCIANY FOREMNE 11

12 CZWOROŚCIAN FOREMNY Definij zworośinu foremnego wielokąt foremny ostrosłup, którego wszystkie ztery śiny są ientyznymi (przystjąymi) trójkątmi równooznymi. h Włsnośi: wszystkie śiny są przystjąymi trójkątmi równooznymi, wszystkie sześć krwęzi m tką smą ługość. Kąty mięzy sąsienimi śinmi są równe i wynoszą około 70,5. Wysokość jest opuszzon n punkt postwy, który jest punktem przeięi się wysokośi tej postwy. oniewŝ postw jest trójkątem równooznym, to wysokośi te zielą się wzjemnie w stosunku : 1 (łuŝsz zęść wysokośi to wie trzeie, krótsz to jen trzei wysokośi). Ojętość zworośinu foremnego: 1 ole powierzhni łkowitej zworośinu foremnego: Wysokość zworośinu foremnego: 6 Sitk zworośinu foremnego: OSTROSŁU RAWIDŁOWY TRÓJKĄTNY Definij ostrosłup prwiłowego trójkątnego ostrosłup prosty, którego postwą jest trójkąt równoozny. Włsnośi: wszystkie trzy śiny ozne są przystjąymi trójkątmi równormiennymi. Wysokość jest opuszzon n punkt postwy, który jest punktem przeięi się wysokośi tej postwy. oniewŝ postw jest trójkątem równooznym, to wysokośi te zielą się wzjemnie w stosunku : 1 (łuŝsz zęść wysokośi to wie trzeie, krótsz to jen trzei wysokośi). Ojętość ostrosłup prwiłowego trójkątnego: 1 h ole postwy to pole trójkąt równooznego: ole powierzhni łkowitej ostrosłup prwiłowego trójkątnego: p + p 4 1

13 Sitk ostrosłup prwiłowego trójkątnego: OSTROSŁU RAWIDŁOWY CZWOROKĄTNY: Definij ostrosłup prwiłowego zworokątnego ostrosłup prosty, którego postwą jest kwrt. Włsnośi: wszystkie ztery śiny ozne są przystjąymi trójkątmi równormiennymi. Wysokość jest opuszzon n punkt postwy, który jest punktem przeięi się przekątnyh tej postwy. Ojętość ostrosłup prwiłowego zworokątnego: 1 ole postwy to pole kwrtu: p lu p ole powierzhni łkowitej ostrosłup prwiłowego zworokątnego: + p 4 Sitk ostrosłup prwiłowego zworokątnego: 1

14 OSTROSŁU RAWIDŁOWY SZEŚCIOKĄTNY: Definij ostrosłup prwiłowego sześiokątnego ostrosłup prosty, którego postwą jest sześiokąt foremny. Włsnośi: wszystkie sześć śin oznyh to przystjąe trójkąty równormienne. Wysokość jest opuszzon n punkt postwy, który jest punktem przeięi się łuŝszyh przekątnyh tej postwy. Ojętość ostrosłup prwiłowego sześiokątnego: 1 ole postwy to pole sześiokąt foremnego: ole powierzhni łkowitej ostrosłup prwiłowego sześiokątnego: + p 6 p 6 4 Sitk ostrosłup prwiłowego sześiokątnego: INNE OSTROSŁUY e e f h OSTROSŁU OCYŁY O ODSTAWIE RÓWNOLEGŁOBOKU OSTROSŁU ROSTY O ODSTAWIE ROMBU OSTROSŁU OCYŁY O ODSTAWIE TRÓJKĄTA ROSTOKĄTNEGO OSTROSŁU ROSTY O ODSTAWIE ROSTOKĄTA 14

15 Włsnośi: kŝy ostrosłup m śiny ozne w ksztłie trójkątów. Ojętość ostrosłup: 1 ole postwy: olizmy z włśiwego wzoru l figury znjująej się w postwie. W ryłh, któryh rysunki są przestwione powyŝej, wzory n pole postwy są nstępująe: p h p e f p p ole powierzhni łkowitej: + p gzie oznz pole powierzhni oznej, zyli sumę pól wszystkih śin oznyh. Sitki grnistosłupów prostyh (zgonie z rysunkmi powyŝej): 15

16 5. BRYŁY OBROTOWE. Brył orotow to figur geometryzn w przestrzeni, któr jest ziorem wszystkih punktów przestrzeni wyznzonyh przez orót figury płskiej wokół owolnej osi orotu o kąt 60. UWAGA! owyŝsze znie nie jest efiniją lez jeynie opisem wystrzjąym l potrze szkolnyh. Rozje i określeni efiniyjne postwowyh rył orotowyh: Wle rył orotow powstją n skutek orotu prostokąt wzglęem osi zwierjąej jeen z oków prostokąt. Sposó powstwni wl w wyniku orotu prezentuje rysunek: Orjąy się prostokąt zkreśl w przestrzeni figurę geometryzną zwną wlem. Osią orotu jest prost zwierją jeen z oków prostokąt. StoŜek rył orotow powstją n skutek orotu trójkąt prostokątnego wzglęem osi zwierjąej jeną z przyprostokątnyh tego trójkąt. Sposó powstwni stoŝk w wyniku orotu prezentuje rysunek: Orjąy się trójkąt zkreśl w przestrzeni figurę geometryzną zwną stoŝkiem. Osią orotu jest prost zwierją jeen z oków przyprostokątnyh trójkąt. Kul rył orotow powstją n skutek orotu koł (lu półkol) wzglęem prostej zwierjąej śrenię. Orjąe się koło zkreśl w przestrzeni figurę geometryzną zwną kulą. Osią orotu jest prost zwierją śrenię tego koł. 16

17 WALEC oś wl tworzą wl powierzhni ozn wl promień postwy r postw ole postwy wl (pole koł): p π r Ojętość wl: π r zyli ole powierzhni oznej wl: π r ole powierzhni łkowitej wl: π r + π r Sitk wl: owierzhni ozn wl jest prostokątem (po rozłoŝeniu n płszzyznę), którego ługość jest równ owoowi postwy wl, szerokość jest równ wysokośi (tworząej) wl. 17

18 STOśEK oś stoŝk tworzą stoŝk l powierzhni ozn stoŝk promień postwy r postw ole postwy stoŝk (pole koł): p π r Ojętość stoŝk: 1 zyli 1 π r ole powierzhni oznej stoŝk: π r l ole powierzhni łkowitej stoŝk: π r + π r l Sitk stoŝk: πr r l l owierzhni ozn stoŝk, po rozłoŝeniu n płszzyznę, jest wyinkiem koł, którego promień jest równy tworząej stoŝk, łuk n którym oprty jest wyinek m ługość równą ługośi owou postwy stoŝk. 18

19 KULA sfer (powierzhni kuli) promień kuli R śroek kuli koło wielkie oś kuli Ojętość kuli: 4 π R ole powierzhni kuli (pole sfery): 4 π R INNE BRYŁY OBROTOWE rzykły: 19

20 6. RZEKROJE BRYŁ rzekrój ryły: rzekrojem ryły nzywmy figurę geometryzną płską, któr jest zęśią wspólną pewnej płszzyzny i ryły. Typowe przekroje rył (przykły): rzekrój sześinu płszzyzną zwierjąą przekątne postw. rzekrój jest prostokątem, którego wymiry to: krwęź sześinu, przekątn postwy, którą moŝn olizyć ze wzoru: rzekrój sześinu płszzyzną zwierjąą trzy przekątne sąsiująyh ze soą śin. rzekrój jest trójkątem równooznym, którego oki to: przekątne śin, którą moŝn olizyć ze wzoru: rzekrój prostopłośinu płszzyzną zwierjąą przeiwległe krwęzie ou postw. rzekrój jest prostokątem, którego oki to: krwęź postwy, przekątn śiny oznej, którą moŝn olizyć z twierzeni itgors. rzekrój grnistosłup prwiłowego zworokątnego płszzyzną zwierjąą przekątną postwy i okłnie jeen wierzhołek przeiwległej postwy. 1 1 rzekrój jest trójkątem równormiennym, którego oki to: przekątn postwy, którą moŝn olizyć ze wzoru 1 przekątn śiny oznej, którą moŝn olizyć z twierzeni itgors. 0

21 rzekrój grnistosłup prwiłowego trójkątnego płszzyzną zwierjąą wysokośi postw. rzekrój jest prostokątem, którego oki to: krwęź ozn, h wysokość postwy, któr moŝn olizyć ze wzoru: h rzekrój ostrosłup prwiłowego trójkątnego płszzyzną zwierjąą wysokość postwy i wierzhołek ryły. rzekrój jest trójkątem, którego oki to: h 1 h h wysokość postwy, któr moŝn olizyć ze wzoru: h krwęź ozn h 1 wysokość śiny oznej, którą moŝn olizyć z twierzeni itgors. Wysokośią przekroju jest wysokość ostrosłup. rzekrój ostrosłup prwiłowego zworokątnego płszzyzną zwierjąą przekątną postwy i wierzhołek ryły. rzekrój jest trójkątem równormiennym, którego oki to: przekątn postwy, którą moŝn olizyć ze wzoru krwęź ozn. Wysokośią przekroju jest wysokość ostrosłup. rzekrój osiowy wl. rzekrój jest prostokątem, którego oki to: tworzą wl (równ wysokośi), śreni postwy. rzekrój osiowy stoŝk. rzekrój jest trójkątem równormiennym, którego oki to: l tworzą stoŝk, śreni postwy. Wysokośią przekroju jest wysokość stoŝk. 1

22 7. KĄTY W BRYŁAC. Rozje kątów w ryłh: W ryłh moŝn wyróŝnić kilk postwowyh rozjów kątów: kąty płskie pomięzy krwęzimi, kąty nhyleni krwęzi lu przekątnyh o płszzyzn zwierjąyh śiny, kąty pomięzy śinmi (kąty wuśienne). Typowe kąty w ryłh(przykły): Kąt nhyleni przekątnej grnistosłup prwiłowego zworokątnego o płszzyzny postwy. D Kąt ten jest równy kątowi, jki tworzy przekątn ryły D z przekątną postwy. Kąt nhyleni przekątnej prostopłośinu o płszzyzny postwy. D Kąt ten jest równy kątowi, jki tworzy przekątn ryły D z przekątną postwy. Kąt nhyleni przekątnej prostopłośinu o płszzyzny śiny oznej. D Kąt ten jest równy kątowi, jki tworzy przekątn ryły D z przekątną śiny oznej. Kąt nhyleni krwęzi oznej ostrosłup prwiłowego trójkątnego o płszzyzny postwy. Kąt ten jest równy kątowi, jki tworzy krwęź ozn z wysokośią postwy h. h

23 Kąt nhyleni śiny oznej ostrosłup prwiłowego trójkątnego o płszzyzny postwy. h 1 Kąt ten jest równy kątowi, jki tworzy wysokość śiny oznej h 1 z wysokośią postwy h. h Kąt nhyleni krwęzi oznej ostrosłup prwiłowego zworokątnego o płszzyzny postwy. Kąt ten jest równy kątowi, jki tworzy krwęź ozn z przekątną postwy. Kąt nhyleni śiny oznej ostrosłup prwiłowego zworokątnego o płszzyzny postwy. h Kąt ten jest równy kątowi, jki tworzy wysokość śiny oznej h z oinkiem postwy łąząym konie wysokośi śiny oznej z końem wysokośi ostrosłup (oinek ten m ługość równą połowie oku ). Kąt nhyleni śin oznyh ostrosłup prwiłowego zworokątnego i trójkątnego. Kąt ten jest równy kątowi, jki tworzą ze soą wie wysokośi h sąsienih śin oznyh. Wysokośi te opuszzone są n wspólną krwęź ou śin, zyli krwęź ozną. h h

24 Kąt, jki tworzy przekątn przekroju osiowego wl z płszzyzną postwy. D Kąt ten jest równy kątowi, jki tworzy przekątn przekroju osiowego D z śrenią postwy. Kąt rozwri stoŝk. l l Kąt ten jest równy kątowi, jki tworzą wie przeiwległe tworząe stoŝk l, nleŝąe o jenego przekroju osiowego. Kąt nhyleni tworząej stoŝk o płszzyzny postwy. l Kąt ten jest równy kątowi, jki tworzy promień postwy (śreni postwy) z opowienią tworząą stoŝk. 4

25 Oprowł: weł Górlzyk Wszelkie prw zstrzeŝone Gimnzjum Społezne im. Ly Sue Ryer w Woli Btorskiej 5