ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone 6 4 Wielomiany i funkcje wymierne 1 5 Macierze i wyznaczniki 13 6 Układy równań liniowych 17 7 Geometria analityczna w R 3 18 8 Pierwsze kolokwium 1 9 Drugie kolokwium 10 Egzamin 3 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1. Uprość wyrażenie a b ( a (a a ab + b b 1 ( b a b (b a b a + 1 (c a4 + a 3 b + a b ( b a 3 b 3 a 1 ( a b ( a 4 a 3 b + a b ab 3 + b 4 (d a 6 b 6 + ab 5 ba 5.. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f(x wyznacz współczynnik przy α jeśli (a f(x = (x + sin(x 7 α = x 4 sin 3 (x (b f(x = (1 e x 10 α = e 3x 1
( (c f(x = x 4 1 9 x α = x 4 (d f(x = k=0 ( 99 1 x + 3 x α = 3 x x 98. 3. Zapisz w prostszej postaci liczbę n [( ] n (a 3 k k k=0 n [( ] n (b ( k k k=0 n [ n k ] (k + 1(k +... n (c (n k! k=0 n [ ( 1 k ] (n k + 1(n k +... n (d k! n n k. 4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij że dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich n N + : (a 1 + + 3 +... + n n(n + 1(n + 1 = 6 (b 1 3 + 3 + 3 3 +... + n 3 = n (n + 1 4 (c 3 n + 1 (n + 1 (d liczba 4 n 4 jest podzielna przez 1. Odpowiedzi wskazówki 1. (a 1 b (b 1 a (c a b (d 1.. (a a 4 = ( 7 3 = 35 (b a 3 = ( 10 3 = 10 (c a = ( 9 = 36 (d a 1 = ( 99 1 = 99. 3. (a 4 n (b ( 1 n (c (1 + n n (d ( 1 n n. n 4. Najpierw przez podstawienie sprawdź że teza zachodzi dla n = 1; prawdziwe zatem jest twierdzenie T 1. Następnie z prawdziwości twierdzeń T 1 T... T n (może wystarczyć użycie tylko T n wywnioskuj prawdziwość twierdzenia T n+1 gdzie n N +.
Geometria analityczna w R 1. Wyznacz w mierze łukowej kąt ϕ pomiędzy wektorami u v jeśli ( (a u = 1 ( 3 v = 1 3 ( (b u = ( 3 1 v = 1 3 ( ( (c u = v = 1 3 ( (d u = ( v = 3 1. Aby nie używać funkcji trygonometrycznych kąta otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów.. Wyznacz kąt ϕ przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach ( ( (a A = (1 1 B = 3 + 3 C = 1 + 3 ( (b A = ( 1 B = (3 oraz C = 3 1 + 3 ( (c A = 1 1 ( B = 1 + 6 1 + + 3 C = (0 1 ( (d A = 0 3 ( B = 4 C = ( 1 3. π w dwóch ostatnich przykładach wyniki można 1 3. Oblicz długość h wysokości opuszczonej z wierzchołka B w trójkącie o wierzchołkach (a A = (3 5 B = (0 6 oraz C = ( (b A = (5 5 B = ( 1 oraz C = ( 1 3. 4. Wyznacz punkt P 0 przecięcia oraz kąt ϕ pod jakim przecinają się proste na płaszczyźnie określone równaniami { { x = 3 t x = 3 (a oraz y = t y = 1 + s { { x = 3 3 t x = s (b oraz y = 5 + t y = 1 3 s gdzie t s R. 5. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty (a A = (4 6 B = (5 5 i C = (6 (b A = (1 3 + 7 B = (0 3 + 1 i C = ( 1 3 15. 6. Nazwij i opisz równaniem zbiór tych punktów płaszczyzny których (a odległość od punktu A = (1 jest dwa razy większa od odległości od punktu B = (4 5 (b odległość od punktu A = ( 0 jest trzy razy mniejsza od odległości od punktu B = ( 0. 7. Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S którego jedną ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A B jeśli (a S = (1 3 A = ( 1 B = ( 4 (b S = ( 1 A = (1 B = (4 1. 8. Napisz równania tych stycznych do danego okręgu które przecinają się z prostą przechodzącą przez punkty A B pod kątem ϕ jeśli (a równaniem okręgu jest x x + y + 6y + 5 = 0 oraz A = ( B = (1 1 ϕ = π 4 ( (b równaniem okręgu jest x + x + y 3 = 0 oraz A = 3 4 B = (0 1 ϕ = π 3. 3
Odpowiedzi wskazówki 1. (a ϕ = π 3 (b ϕ = π 6 (c 11 1 π (d ϕ = 7 1 π.. (a ϕ = π (b ϕ = π 6 (c ϕ = 3 π (d ϕ = π 4. 3. (a h = 10 (b h =. 4
4. (a P 0 = ( 3 1 ϕ = 1 3 π (b P 0 = ( 3 4 ϕ = π 6. 5. (a (x 1 + (y = 5 (b (x + + (y 3 = 16. 6. Okrąg zwany okręgiem Apoloniusza o równaniu (a (x 1 + (y = 5 (b ( x 5 + y = ( 3. 5
7. (a (x 1 + (y + 3 = 19 13 (b (x + + (y + 1 = 1 10. 8. (a y = 1 y = 5 x = 1 x = 3 (b y = y = y = 3 x 3 + 4 y = 3 x 3 4. 3 Liczby zespolone 1. Zapisz w postaci algebraicznej oraz zaznacz na płaszczyźnie liczbę zespoloną (a z 1 = 1 + i i 6
(b z = + 3i 4 + 5i.. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a Re( iz + 4 0 (b Im(z i = Im(( iz + i (c Re ( z = [Im(iz] 4 (d iz + = iz i (e z = 4z 4. 3. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną (a z 1 = (1 + 3i 0 (1 i 40 (b z = (c z 3 = (1 + i40 ( 3 i 0 ( 3 i 4 (1 3i 14 (1 i 0 (d z 4 = ( 3 + i 1 (1 i 4 (e z 5 = (1 i 3 700 ( 1 + i 1400. 4. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a 0 arg(1 + iz π/ (b Im ( z 4 < 0 (c 0 arg( iz π (d Im ( z 4 > 0. 5. Wyznacz pole figury (a F 1 = { z C : Im ( z 3 0 1 Im(z < 0 } { (b F = z C : 0 Im(z 1 } Re(z z. 3 6. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie (a z z + 4 = 0 (b z + 8z + 5 = 0 (c z + 10z + 34 = 0 (d z 4 = ( 1 + z 4. 7. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby (a z = 1 (b z = i (c z = + i (d z = 1 + i (e z =. 7
8. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby (a z = 81 (b z = 16 (c z = 8 + 8 3 i. Odpowiedzi wskazówki 1. (a z 1 = 1 5 + 3 5 i (b z = 3 41 + 41 i.. (a półpłaszczyzna y (b prosta y = 1 3 x 3 8
(c proste y = y = (d prosta y = x (e okrąg o środku w punkcie ( 4 3 0 i promieniu 3. 3. (a z 1 = 1 + 3 i (b z = 1 3 i (c z 3 = 1 3 i (d z 4 = 1 (e z 5 = 1 + 3 i. 9
4. (a Zbiór A składa się z liczb zespolonych z określonych przez warunki Re(z 0 Im(z 1 z i (przesunięta o wektor (0 1 czwarta ćwiartka układu współrzędnych z brzegiem i bez punktu (0 1 (b arg(z ( π kątów. 4 π ( 3π 4 π ( 5π 4 ( 3π 7π 4 π co na płaszczyźnie przedstawia sumę wnętrz czterech (c Jest to zbiór {z C : Rez 0 Imz z i} 10
(d arg(z ( 0 π 4 ( π 3π 4 ( ( π 5π 4 3π 7π 4 co na płaszczyźnie jest sumą wnętrz czterech kątów. 5. (a P = 3 3 (b P = π 3. 11
6. (a z { 1 + 3 i 1 3 i } (b z { 4 + 3 i 4 3 i} (c z { 5 + 3 i 5 3 i} (d z { 1 5 1 5 i 1 3 5 + 1 5 i}. 7. (a w 0 = 1 + 3 w 1 = 1 w = 1 3 (b w 0 = 3 + 1 i w 1 = 3 (c w 0 = 1 + i w 1 = 1 3 + ( (d w 0 = 1+ 3 3 + 3 1 3 i w 1 = 1 Wskazówka: cos ( π 1 + 1 i w = i 1 + 3 3 + 1 3 i w = 1 3 = 1+cos( π 1 = (e w 0 = + i 6 w 1 = w = i 6. 8. (a z = 3 z = 3i z = 3 z = 3i i w = 1 + 3 + ( 3 1+ 3 3 i. + 3 = 1+ 3 sin ( π 1 1 3 (b z = + i z = + i z = i z = i (c z = 3 + i z = 1 + 3i z = 3 i z = 1 3i. 4 Wielomiany i funkcje wymierne 1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x przez Q(x jeśli (a P (x = x 5 x 4 + 3x 3 + x + 7 Q(x = x 3 + x + 1 (b P (x = x 4 + x 3 + x + x + 1 Q(x = x + x + 3.. Rozłóż na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian (a W (x = x 4 + x 3 3x 4x 4 (b W (x = x 4 + x 3 x. i = 3 1. 3. Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę R(x z dzielenia wielomianu P (x przez Q(x jeśli (a P (x = x 4 + x 3 + x + x + 1 Q(x = x 1 (b P (x = x 5 + x 4 Q(x = x + 4. 4. Rozłóż na czynniki liniowe wielomian zespolony W (z jeśli (a W (z = z 3 z + 4z 8 1
(b W (z = z 3 + 5z + 8z + 6. 5. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną właściwą x + 3 (a f(x = x 3 + x + 5x + 4 x + (b f(x = x 3 + 3x + 4x + 4 (c f(x = 3x + 5x + 1 x 3 + 3x + 3x + (d f(x = x3 + 4x + 5x + 5 x 4 + 3x 3 + 3x + 3x +. 6. Rozłóż na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną (a f(x = x4 5x 3 + 5x 19x 1 x 3 5x + 4x 0 (b f(x = x5 x 4 5x 3 +3x x 3 x. 5x 3 Odpowiedzi wskazówki 1. (a I(x = x x + R(x = 5 (b I(x = x + x 3 R(x = x + 10.. (a W (x = (x + (x ( x + x + 1 (b W (x = (x 1(x + (x + x + 1. 3. (a R(x = x + 3 (b R(x = 16x + 14. 4. (a W (z = (z (z + i(z i (b W (z = (z + 3(z + 1 + i(z + 1 i. 5. (a f(x = 1 x +x+4 + 1 x+1 (b f(x = x x +x+ + 1 x+ (c f(x = x x +x+1 + 1 x+ (d f(x = 1 x+1 + 1 x+ + 1 x +1. 6. (a f(x = x + 1 x 5 + 1 x +4 (b f(x = x + 1 (x+1 + 1 x 3. 5 Macierze i wyznaczniki 1. Rozwiąż równanie macierzowe ( ( 1 0 1 6 (a A 3 = 0 1 1 0 1 3 0 0 1 1 1 (b 1 0 0 0 1 + A T = 0 1 0 1 0 (c 1 1 1 1 1 0 1 A T = 4 0. 1 3 3 1 13
. Trzema sposobami: za pomocą odpowiedniego wzoru przez rozwinięcie Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej oblicz wyznacznik (a W = 1 3 5 (b W = 1 7 1 1 1 1 (c W = 1 1 4 8 10 7 (d W = 9 7 9 5 5 5. 3. Dwoma sposobami: z użyciem rozwinięcia Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej oblicz wyznacznik 1 1 1 1 (a W = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 4 4 (b W = 5 3 4 4 3 1 3. 5 5 0 5 4. Wyznacz te wartości parametru a C dla których macierz A jest nieosobliwa jeśli ( a a (a A = a a 1 1 (b A = 1 1 a 1 a 1 a 1 1 1 (c A = 1 a 1 1 1 1 1 a. 1 1 a 1 5. Dwoma sposobami za pomocą dopełnień algebraicznych oraz przez przekształcanie razem z macierzą jednostkową wyznacz macierz odwrotną do macierzy A jeśli ( 1 1 (a A = 1 4 1 1 1 (b A = 1 1 1 1 1 1 (c A = 1 1 1 1 1 1 1 (d A = 1 1 1 3 1. 1 6. Zbadaj dla jakich parametrów a C istnieje macierz odwrotna A 1 do macierzy A a następnie wyznacz ogólny wzór na A 1 jeśli 14
( a + 1 (a A = a + 4 a + 4 (b A = 1 1 1 1 1 1 1 a. 7. Wyznacz rząd r(a macierzy A jeśli 1 1 (a A = 3 4 (b A = 1 i i 1 i 1 + i (c A = 3 5 1 1 4 3 3 3 3 5 i 0 (d A = 3 i 0 3 0 1. 1 0 0 1 8. W zależności od parametru a C wyznacz rzędy macierzy z zadania 4. 9. Dla macierzy A wyznacz wartości własne λ C i odpowiadające im nieskomplikowane przykłady wektorów własnych v C jeśli ( 1 (a A = 4 5 ( 1 3 (b A = ( 1 1 (c A = 1 ( 7 (d A =. 17 3 Odpowiedzi wskazówki ( 1 0 1 1. (a A = 0 1 0 ( 0 1 1 (b A = 1 1 1 (c A = ( 1 1 1.. (a W = 1 (b W = 13 (c W = (d W = 10. 3. (a W = 1 (b W = 5. 4. (a a C \ {0 } 15
(b a C \ { 1} (c a C \ { 3 1}. 5. (a A 1 = ( 4 5 1 5 (b A 1 = (c A 1 = (d A 1 = 1 1 5 5 1 1 0 1 1 0 1 1 0 3 1 1 1 1 0 1 0 1 4 1 1 1 0 1 0 1. 6. (a Macierz odwrotna istnieje dla a C \ {1 4} wtedy A 1 = (b macierz odwrotna istnieje dla a C \ {1} wtedy A 1 = 7. (a r(a = (b r(a = 1 (c r(a = (d r(a = 3. ( 1 a 1 (a 1(a+4 1 a+1 a 1 (a 1(a+4 a 1 1 a 1 1 a 1 1 1 0 1 1 a 1 0 a 1. 8. (a r(a = dla a C \ {0 } r(a = 1 dla a {0 } (b r(b = 3 dla a C \ { 1} r(b = dla a = r(b = 1 dla a = 1. (c r(c = 4 dla a C \ { 3 1} r(c = 3 dla a = 3 r(c = 1 dla a = 1. ( α 9. (a wartości własnej λ 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α C \ {0} na ( α ( 1 α przykład v 1 = wartości własnej λ 1 1 = 6 odpowiadają wektory własne postaci 4α ( 1 gdzie α C \ {0} na przykład v = 4 ( α (b wartości własnej λ 1 = 4 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α C \ {0} na przykład α ( ( 1 3α v 1 = wartości własnej λ 1 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α α C \ {0} na przykład v = (c wartości własnej λ 1 na przykład v 1 = ( α (1 + iα ( 3 ( α = i odpowiadają wektory własne postaci gdzie α C \ {0} ( (1 iα 1 wartości własnej λ 1 i = i odpowiadają wektory własne postaci gdzie α C \ {0} na przykład v = ( 1 1 + i 16
( (d wartości własnej λ 1 = +3i odpowiadają wektory własne postaci ( na przykład v 1 = ( α ( 5 3iα 5 + 3i gdzie α C \ {0} na przykład v = 6 Układy równań liniowych 1. Rozwiąż układ równań { x + y = 3 (a x 3y = 5 (b (c (d (e x + y + z = 0 x y + z = 0 x + y z = x + y + z t = 4 x + y z + t = 4 x y + z + t = x + y + z + t = x y + z + t = 4 x y z + t = 0 x y z t = 8 x + y + z = 1 x + y + z = 1 3x + y + 3z = 3. α ( 5 + 3iα gdzie α C\{0} wartości własnej λ = 3i odpowiadają wektory własne postaci (. 5 3i Pierwsze dwa przykłady rozwiąż trzema sposobami: metodą eliminacji Gaussa ze wzorów Cramera i metodą macierzy odwrotnej.. W zależności od parametru a C rozwiąż układ równań { x + 3y = 8 (a x ay = 8 (a + 6x + y + z = 4 (b x + (a + 5y + z = 4 x + z = 4. 3. Wyznacz te wartości parametru a C dla których poniższy układ równań ma przynajmniej jedno rozwiązanie: { x + 3y = a (a 8x 1y = 36 x + y + 4z = a (b 4y z = 5 7x + y + 10z = 8. 4. W zależności od parametru a C określ ilość rozwiązań układu { x + y = 1 (a 7x + ay = a x + y + az = 1 (b x + ay + z = a ax + y + z = a 1. 17
Odpowiedzi wskazówki 1. (a x = 1 y = (b x = 1 y = 0 z = 1 (c x = 1 y = 1 z = t =. (d y = t = 4 z = x + z C dowolne (e układ sprzeczny (brak rozwiązań.. (a Dla a C \ { 3} układ{ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = y = 0 a dla a = 3 nieskończenie x = 4 3 wiele rozwiązań postaci y y C (b dla a C \ { 5} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = y = 0 z = a dla a = 5 nieskończenie x = 4 z wiele rozwiązań postaci y = 0 z C. 3. (a a = 3 lub a = 3 (b a = 1. 4. (a Dla a C\{14} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a = 14 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań (b dla a C\{ 1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a = nieskończenie wiele rozwiązań a dla a = 1 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań. 7 Geometria analityczna w R 3 1. Wyznacz te wartości parametru a R dla których (a równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = ( 5 1 B = ( 1 C = (3 a 3 i wierzchołku E = ( a 5 4 18 nad A jest prostopadłościanem (b kąt pomiędzy wektorami u = (a 16 4 oraz v = (a 1 4 jest prosty (c wektory u = (1 a 1 v = (3 1 3 są równoległe.. Poniżej parametry t s R. Podaj przykład (a równania ogólnego płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = ( 1 1 1 B = (0 1 C = (3 0 5 x = 1 + t + s (b równania ogólnego płaszczyzny o równaniu parametrycznym y = + t s z = 1 + t + s (c równania ogólnego płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 1 + t + s y = t + s z = 1 t + s (d równania parametrycznego płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + z + 1 = 0 { x + y + z 1 = 0 (e równania parametrycznego prostej o równaniu krawędziowym x + y + 3z = 0 x = 1 + t (f równania krawędziowego prostej o równaniu parametrycznym y = t z = 4 + t (g równania ogólnego płaszczyzny zawierającej proste m : wyznacz punkt przecięcia tych prostych x = 1 + t y = 1 z = 1 + t oraz l : x = 3 s y = s z = 5 s; 18
x = t (h równania parametrycznego prostej prostopadłej do prostych m : y = 1 z = 1 + t w punkcie ich przecięcia. l : x = s y = + s z = 1 s 3. Wyznacz odległość d(p S punktu P od płaszczyzny S jeśli (a P = ( 1 3 S : x + y + z 3 = 0 x = 1 + s + t (b P = (1 1 S : y = + s gdzie t s R. z = 1 + s t 4. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy x = 1 + t + s (a płaszczyznami S 1 : y = t s gdzie t s R oraz S : y z 1 = 0 z = t + s { x + y + z + = 0 (b prostą l : i płaszczyzną S : x + y + 5 = 0. x y + z + 3 = 0 5. Wyznacz pole P (a równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = ( 4 B = (0 C = ( 1 (b równoległoboku o środku w punkcie O = ( 1 i końcach jednego z boków A = ( 4 B = (0 (c trójkąta o wierzchołkach A = ( 4 B = (0 C = ( 1. 6. Wyznacz objętość V (a czworościanu o wierzchołkach A = (1 1 1 B = ( C = (1 i D = ( 1 1 1 (b równoległościanu rozpietego na wektorach u = (1 1 1 v = (1 1 oraz w = ( 1 1 3 (1 3. Odpowiedzi wskazówki 1. (a a = 3 (b a = 4 lub a = 4 (c a = lub a =.. (a x z + = 0 19
(b x z = 0 (c x + 3y z + 1 = 0 (d (e (f x = 1 + t + s y = t z = s x = 1 + t y = 1 t z = 1 + t { x + y 4 = 0 y + z 6 = 0 (g punktem wspólnym prostych jest P = ( 1 4 (dla t = 3 i s = 1 a płaszczyzna ma równanie x z + = 0 x = 1 + t (h y = 1. z = t. 3. (a d(p S = 1 (b równaniem ogólnym płaszczyzny jest na przykład x y + z + 4 = 0 a odległość d(p S = 3. 0
4. (a ϕ = π 3 (b ϕ = π 6. 5. (a P = 6 (b P = 4 5 (c P = 6. 6. (a V = 1 (b V = 15. 8 Pierwsze kolokwium Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału. Zestaw A 1. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierzchołkach A = ( B = ( 4 oraz C = (7 1.. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = ( 3 + i 5 (1 i 50. 3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x = x + 5 x 3 + 4x 5. Odpowiedzi wskazówki 1. h = 34.. z = 1 3 i. 3. f(x = 1 x 1 + Zestaw B x x +x+5. 1. Wyznacz ( w mierze łukowej kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = ( 6 B = (3 7 oraz C = 3 6 + 3.. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (1 i 3 50 ( 1 + i 100. 1
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f(x = 3x + 6x + 3 x 3 + 3x + 3x +. Odpowiedzi wskazówki 1. π 6.. z = 1 + 3 i. 3. f(x = 1 x+ + x+1 x +x+1. 9 Drugie kolokwium Zestaw A 1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 5 1 3 1 1. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 5 + t + s y = + t gdzie t s R. z = t + s 3. Dla jakich wartości parametru a R układ równań 3x + (1 + ay + ( + az = 1 + a x + ay + z = a nie ma rozwiązań? ax + y + z = a 1. Odpowiedzi wskazówki 4 6 1 1. A 1 = 1 0 1 1 1. x + 3y z 11 = 0.. 3. a = 1. Zestaw B 1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 5 1 3 1 1. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 5 + t + s y = gdzie t s R. z = t + s 3. Dla jakich wartości parametru a R układ równań 3x + (1 + ay + ( + az = 1 + a x + ay + z = a ma nieskończenie wiele rozwiązań? ax + y + z = a 1.
Odpowiedzi wskazówki 8 1 1. B 1 = 3 1 0 1 0 1. y =.. 3. a =. 10 Egzamin Zestaw A 1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek Im ( z 3 <. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 4 11 4 3 7 5 1 Sprawdź otrzymany wynik wykonując mnożenie macierzy.. 3 z 3. 3. Oblicz wysokość (tzn. długość odcinka w czworościanie o wierzchołkach A = (1 1 1 B = ( 3 4 C = ( 5 8 D = ( 1 1 1 opuszczoną z wierzchołka D. 5x 7y 5z + t = 0 4. Rozwiąż układ równań x y z = 8 x y z t = 8. 5. W zależności od parametru a R wyznacz rząd macierzy A = Odpowiedzi wskazówki a 1 1 a + 1 a 1 a + 1 1 1. Otrzymujemy Im ( z 3 = z 3 sin(3ϕ < 3 z 3 stąd z 0 oraz sin(3ϕ < 3 (. Otrzymujemy 3ϕ 4 3 π 1 3 π ( 3 π 7 3 π ( 8 13 3π 3 π zatem ϕ ( 4 9 π 1 9 π ( 9 π 7 9 π ( 8 13 9π 9 π co przedstawia sumę wnętrz trzech kątów. 4 14 7. A 1 = 1 4 8. 1 3 5 3. Równanie x y + z = 0 opisuje płaszczyznę podstawy wysokość to odległość wierzchołka D od tej płaszczyzny i wynosi h = 3. 4. x = z y = z R t = 4 nieskończenie wiele rozwiązań. 5. r(a = 3 dla a R \ { 1 1 } r(a = dla a = 1 r(a = 1 dla a = 1. Zestaw B 1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek Re ( z 3 1 z 3.. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A = 4 11 4 1 3 1 1 Sprawdź otrzymany wynik wykonując mnożenie macierzy... 3
3. Wyznacz odległość punktu P = ( 1 1 od płaszczyzny x = 1 + t + s y = 1 + s gdzie t s R. z = t + s 4x 6y 4z + 6t = 4 4. Rozwiąż układ równań x y z + t = 0 x y z t = 8. 5. Wyznacz wartości własne macierzy ( A a następnie dla nich podaj po jednym nieskomplikowym przykładzie 6 wektora własnego jeśli A =. 1 1 Odpowiedzi wskazówki 1. Otrzymujemy Re ( z 3 = z 3 cos(3ϕ 1 z 3 stąd z = 0 lub cos(3ϕ 3. W tym drugim przypadku 3ϕ [ 1 3 π 1 3 π] [ 5 3 π 7 3 π] [ 11 13 3 π 3 π] zatem ϕ [ 1 9 π 1 9 π] [ 5 9 π 7 9 π] [ 11 13 9 π 9 π]. Zbiór A jest sumą trzech kątów wraz z brzegami.. A 1 = 4 14 1 1 4 0 1 3 1. 3. Równanie 4x 5y + z 3 = 0 jest równaniem ogólnym danej płaszczyzny odległość d = 6 5. 4. x = z y = z R t = 4 nieskończenie wiele rozwiązań. ( 3α 5. wartości własnej λ 1 = 4 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α 0 na przykład v α 1 = ( ( 3 α wartości własnej λ 1 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci gdzie α 0 na przykład ( α v =. 1 Zestaw C 1. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek 0 arg( iz π.. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny µ o równaniu pomiędzy płaszczyzną µ i prostą l o równaniu 3. Rozwiąż równanie macierzowe X 1 = ( 1 0 1 0 1 1 x = 1 + t + s y = t + s z = 1 t + s x = 3 t y = 6t z = 1 + 4t gdzie X 1 oznacza macierz odwrotną do macierzy X. 1 0 0 1 1 0 4. Określ dla jakich wartości parametru a R układ równań x + (1 + ay + (1 + az = 1 + a x + ay + z = a ax + y + z = a 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań? gdzie t s R. a następnie w mierze łukowej kąt 5. Wyznacz wartości własne macierzy ( A a następnie dla nich podaj po jednym nieskomplikowym przykładzie 1 wektora własnego jeśli A =. 1 1 4
Odpowiedzi wskazówki 1. Jest to (przesunięta ćwiartka płaszczyzny bez wierzchołka A = {z C : Re(z 0 Im(z } \ { i}.. x + 3y z + 1 = 0 α = π. ( 1 3. X = 0 1. 1 4. a =. 5. Wartości własnej λ 1 = i odpowiada na przykład wektor własny v 1 = ( λ = i odpowiada na przykład wektor własny v =. 1 i ( 1 + i 1 wartości własnej 5