1. Metoda tabel semantycznych Udowodnić pawdziwość fomuły metodą tabel semantycznych: (A B) ( B A) ZALECAMY podkeślanie analizowanych fomuł, W celu zbadania pawdziwości fomuły należy zanegować fomułę i udowodnić niespełnialność negacji. [(A B) ( B A)] (A B), ( B A) (A B), B, A (A B), B, A A, B, A B, B, A ODP.: Ponieważ wszystkie liście dzewa są domknięte, zatem dzewo jest domknięte, co oznacza że zanegowana fomuła jest niespełnialna (spzeczna). Stąd fomuła oyginalna jest pawdziwa. 2. Udowodnić pawdziwość fomuły metodą tabel semantycznych: (((A B) A) A) W celu zbadania pawdziwości fomuły należy zanegować fomułę i udowodnić niespełnialność negacji. [((A B) A) A] ((A B) A), A (A B), A A, A A, B, A ODP.: Ponieważ wszystkie liście dzewa są domknięte, zatem dzewo jest domknięte, co oznacza że zanegowana fomuła jest niespełnialna (spzeczna). Stąd fomuła oyginalna jest pawdziwa.
3. Zbadać spełnialność fomuły metodą tabel semantycznych: (((A B) B) A) ((A B) B) A ((A B) B) A (A B), B A, B B, B ODP.: Ponieważ istnieją liście otwate, zatem fomuła jest spełnialna. Z liści otwatych można odczytać modele. Z liścia ( A, B) odczytamy model: v(a) = 0 i v(b) = 0. Z liścia (A) odczytamy modele: v(a) = 1 i v(b) dowolne (0 lub 1). Liście te nie mają modeli wspólnych, zatem wszystkich modeli fomuły mamy 3. Komentaz do Metody Tabel Semantycznych Metoda tabel semantycznych poszukuje modelu (modeli) fomuły. Modele te można odczytać z liści otwatych (pzypominam, że są dwa odzaje liści i model można odczytać tylko z jednego odzaju liści). Jeżeli dany liść pozwala na odczytanie modelu fomuły, to można odczytać z tego liścia dokładnie jeden model lub więcej. Liczba modeli, któe można odczytać z takiego liścia zależy od postaci zbiou liteałów twozących liść (zbió liteałów w liściu taktujemy jako koniunkcję tych liteałów). Wystąpienie liteału w liściu definiuje bowiem watościowanie odpowiedniego atomu, twozącego ten liteał. Pzypominamy, że Metoda tabel semantycznych nie daje odpowiedzi wpost na pytanie: czy fomuła jest pawdziwa. Zatem dzewo, któe posiada wyłącznie liście otwate, nie jest dowodem na to, że fomuła jest pawdziwa można to pokazać na pzykładzie fomuły: p lub Można też zadać pytanie (dodatkowe) czy Metoda tabel semantycznych pokazuje wszystkie możliwe modele?
2. DBD 1. Niech A = ((p ) ). Spawdź czy fomuła p A jest spełniona 1) zbudować DBD dla ozważanej fomuły A, 2) w opaciu o ten diagam zbudować DWA diagamy (dla fomuły A p=0 i A p=1), 3) oaz zastosować algoytm łączenia dzew. Jeżeli kwantyfikato jest typu łączymy te dwa diagamy opeatoem, jeżeli zaś kwantyfikato jest typu łączymy te dwa diagamy opeatoem. 1. ((p ) ) 2a. ((p ) ) p=0 p 1 R p 0 2b. ((p ) ) p=1 3. ((p ) ) p=0 ((p ) ) p=1 (kolejność zmiennych: ) 1 R R oznacza REDUKCJĘ ODP.: Ponieważ w wynikowym diagamie znajduje się węzeł o watości 1 zatem fomuła p A jest spełniona (fomuła A jest spełniona dla pewnej watości atomu p).
2. Niech A = (( p) ). Spawdź czy fomuła p A jest spełniona 1) zbudować DBD dla ozważanej fomuły A, 2) w opaciu o ten diagam zbudować DWA diagamy (dla fomuły A p=0 i A p=1), 3) oaz zastosować algoytm łączenia dzew. Jeżeli kwantyfikato jest typu łączymy te dwa diagamy opeatoem, jeżeli zaś kwantyfikato jest typu łączymy te dwa diagamy opeatoem. 1. (( p) ) 2a. (( p) ) p=0 R 1 0 1 R 0 p p 2b. (( p) ) p=1 3. (( p) ) p=0 (( p) ) p=1 (kolejność zmiennych: ) 0 1 R oznacza REDUKCJĘ ODP.: Ponieważ w wynikowym diagamie znajduje się węzeł o watości 1 zatem fomuła fomuła p A jest spełniona (fomuła A jest spełniona dla każdej watości atomu p).
Komentaz do Diagamów Binanych Decyzji Diagamy Binanych Decyzji, w odóżnieniu od większości metod, pozwalają na badanie wpost nie tylko spełnialności ale także pawdziwości. Fomuła pawdziwa, pzypominam, ma w każdej intepetacji watość epezentowaną pzez symbol 1, co jest wyaźnie widoczne w zedukowanym diagamie binanych decyzji. Istnieje twiedzenie mówiące, że zedukowane diagamy UDBD dla fomuł logicznie ównoważnych są stuktualnie identyczne dla poszczególnych upoządkowań atomów. Podkeślmy: dla poszczególnych upoządkowań atomów. Kwantyfikacja jest pytaniem o spełnialność fomuły dla pewnej lub wszystkich watości kwantyfikowanego atomu. Istnieje możliwość zastosowania kilku kwantyfikatoów do fomuły, ale oznacza to, że należy zachować odpowiedni poządek analizowania tych kwantyfikatoów. Wpawdzie w mateiałach nie ma o tym wpost mowy, ale żeby dokonać analizy dowolnego kwantyfikatoa, należy najpiew poddać analizie kwantyfikatoy umieszczone na pawo (najbadziej zagnieżdżone).
3. Rachunek pedykatów - semantyka Rozważmy poblem badania spełnialności/ niespełnialności oaz pawdziwości/niepawdziwości. Rozpocznijmy od INTERPRETACJI, któa jest badziej złożona niż w achunku zdań. Musimy bowiem podać: dziedzinę intepetacji, elację, funkcję, oaz watość stałej. Watościowanie to funkcja σ I : V -> D W watościowaniu możemy podać dokładną watość podstawioną zmiennej: σ I [x<-d] Watość temu t w intepetacji I i watościowaniu σ I to v σi (t) Watość fomuły A w intepetacji I pzy watościowaniu σ I to v σi (A) i definiujemy pzez indukcję ze względu na budowę fomuły (kwantyfikatoy, opeatoy, symbole funkcyjne) TW. Niech A będzie fomułą zamkniętą. Wówczas v σi (A) NIE ZALEŻY od watościowania σi. Zadanie: zbadaj spełnialność / pawdziwość fomuły A = y x p(x,y) 1. Podajemy intepetację: I = {N, {>=}, {}, {}} 2. Fomuła w intepetacji: y N x N x>=y 3. Watość fomuły pzy watościowaniu: v σi[y<-0, x<-d] (p(x,y))=1 dla każdego d N 4. Watość fomuły zamkniętej (kozystamy z Twiedzenia) : v σi ( y x p(x,y)) =1 5. I = A Wniosek fomuła jest spełnialna ponieważ istnieje intepetacja, w któej v σi ( y x p(x,y)) = 1 A czy fomuła jest niepawdziwa? 6. Podajemy intepetację: I = {{5}, { }, {}, {}} 7. Fomuła w intepetacji: y {5} x {5} x y 8. Watość fomuły pzy watościowaniu: v σi[y<-5, x<-d] (p(x,y))=0 dla każdego d {5} 9. Watość fomuły zamkniętej (kozystamy z Twiedzenia) : v σi ( y x p(x,y)) =0 10. Wniosek fomuła jest niepawdziwa, ponieważ istnieje intepetacja, w któej v σi ( y x p(x,y)) = 0
4. Modele Hebanda Rozszezenie zbiou temów pzez wpowadzenie symboli funkcyjnych powoduje, że zbió możliwych intepetacji staje się złożony (pzeliczalnie nieskończony). Jest zadaniem tudnym (a nawet niemożliwym) ozważać wszystkie intepetacje dla wszystkich dziedzin żeby wykazać, że fomuła jest niespełnialna. Rozwiązaniem byłoby ozważanie pewnej stałej dziedziny H, takiej że zbió klauzul S odpowiadający danej fomule jest niespełnialny we wszystkich intepetacjach dla tej dziedziny H. Taką dziedziną jest uniwesum Hebanda H S. Definicja: Niech S będzie zbioem klauzul. Uniwesum Hebanda H S jest zbioem wszystkich temów ustalonych utwozonych z symboli występujących w S. Jeśli w S nie występuje stała, H S jest inicjowane wpowadzeniem dowolnej stałej a Definicja: Temem (atomem, fomułą) ustalonym nazywamy tem (atom, fomułę), któy nie zawiea zmiennych. Pzykład: Dany jest zbió klauzul S = {p(x) (x), (f(y))} H S = {a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a)), f(f(f(f(a))), f(f(f(f(f(a)))), } Definicja: Niech H S będzie uniwesum Hebanda zbiou klauzul S. Bazą Hebanda B S nazywamy zbió atomów ustalonych utwozonych z symboli pedykatywnych występujących w S oaz temów należących do H S. Baza Hebanda jest także nazywana zbioem atomów. Pzykład cd. B S = {p(a), (a), (a), p(f(a)), (f(a)), (f(a)), p(f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), } Definicja: Intepetacją Hebanda dla zbiou klauzul S nazywamy intepetację, któej dziedziną jest uniwesum Hebanda zbiou S, a stałym i symbolom funkcyjnym są pzypoządkowane te same symbole: v(a) = a, v(f(t 1, t n )) = f(v(t 1 ),, v(t n )). Nie nakłada się oganiczeń na pzypoządkowanie symbolom pedykatywnym elacji okeślonych nad uniwesum Hebanda. Niech B S = {A 1,A 2, } będzie bazą Hebanda. Intepetacja Hebanda może być pzedstawiona jako zbió {m 1,m 2, } gdzie m j jest albo A j albo ~A j. Pzykład cd. I1 = {p(a), (a), (a), p(f(a)), (f(a)), (f(a)), p(f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), } I2 = {~p(a), (a), (a), p(f(a)), (f(a)), (f(a)), p(f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), } I3 = {p(a), ~(a), (a), p(f(a)), (f(a)), (f(a)), p(f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), } I3 = {~p(a), ~(a), (a), p(f(a)), (f(a)), (f(a)), p(f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), (f(f(f(a)))), } Definicja: Modelem Hebanda zbiou klauzul S nazywamy intepetację Hebanda spełniającą S. Model Hebanda można utożsamić z podzbioem bazy Hebanda, zawieającym atomy, dla któych v(p(t 1,,t n )) = 1.
Zastosowanie podstawienia do wyażenia 5. Podstawienia ZADANIE: E = p(x) (y) θ = {x y, y f(a)} oblicz Eθ Odp. Eθ = p(y) (f(a)) Składanie podstawień ZADANIE: złóż podstawienia θ = {x f(y), y f(a), z u} δ = {y g(a), u z, v f(f(a))} Odp. θδ = { x f(g(a)), y f(a)} u {u z, v f(f(a))} 6. Uzgadnianie ZADANIE: Znajdź mgu dla wyażeń: A = p( g(y), f(x,h(x),y) ) oaz A = p( x, f(g(z),w,z) ) Są 4 eguły postepowania (wybó eguł dowolny) g(y) = x f(x,h(x),y) = f(g(z),w,z) x = g(y) x = g(z) h(x) = w y = z x = g(y) g(y) = g(z) h(g(y)) = w y = z x = g(z) g(z) = g(z) h(g(z)) = w y = z zamiana ston zastąpienie ównania ównaniami dla każdej pay agumentów użycie temu g(y) w innych ównaniach, gdzie wystąpi x użycie temu z w innych ównaniach, gdzie występuje y usuwamy ównanie, w któym obie stony są identyczne zamiana ston x = g(z) w = h(g(z)) y = z Odp. mgu to {x g(z), w h(g(z)), y z }
7. Skolemizacja 1. Spowadzić do postaci klauzulowej: z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) (Zakładamy, że wszystkie wystąpienia zmiennych są związane!!!) Dla pzypomnienia zasięg kwantyfikatoów: z : z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) u : z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) u: z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) : z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) y: z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) v : z ( u p(z,u) u ( (,u) y v (y,v) ) ) Kok 1: pzemianowanie zmiennych z ( u p(z,u) s ( (,s) y v (y,v) ) ) Kok 2: zmiana opeatoów z ( u p(z,u) s ( (,s) y v (y,v) ) ) Kok 3: pzesunięcie negacji z ( u p(z,u) s ( (,s) y v (y,v) ) ) Kok 4: wydobycie kwantyfikatoów: z ( u p(z,u) s ( (,s) y v (y,v) ) ) z u ( p(z,u) s ( (,s) y v (y,v) ) ) z u ( p(z,u) s ((,s) y v (y,v) ) ) z u s ( p(z,u) ((,s) y v (y,v) ) ) z u s ( p(z,u) ((,s) y v (y,v) ) ) z u s ( p(z,u) y ((,s) v (y,v) ) ) z u s y ( p(z,u) ((,s) v (y,v) ) ) z u s y ( p(z,u) v ((,s) (y,v) ) ) z u s y v ( p(z,u) ((,s) (y,v) ) ) możemy u, s,, y, nie możemy v możemy s,, y, nie możemy v możemy s, y, nie możemy, v możemy, y, nie możemy v możemy y, nie możemy v możemy y, v możemy v możemy v Kok 5: koniunkcyjna postać nomalna z u s y v ( ( p(z,u) (,s)) ( p(z,u) (y,v)) ) Kok 6: Funkcja Skolema - u s y v ( ( p(a,u) (,s)) ( p(a,u) (y,v)) ) - - s y v ( ( p(a,b) (,s)) ( p(a,b) (y,v)) ) - - s - y v ( ( p(a,b) (f 1 (s),s)) ( p(a,b) (y,v)) ) - - s - y - ( ( p(a,b) (f 1 (s),s)) ( p(a,b) (y, f 2 (s,y))) ) Powyższą fomuła jest w postaci klauzulowej, ale można ją pzedstawić także jako zbió klauzul, pomijając kwantyfikatoy (gdyż wszystkie zmienne są kwantyfikowane uniwesalnie): { { p(a,b), (f 1 (s),s)}, { p(a,b), (y, f 2 (s,y)) } }
Komentaz do Skolemizacji Skolemizacja pzekształca fomułę do postaci klauzulowej. Postać nomalna dopuszcza bowiem kwantyfikatoy egzystencjalne. Jednakże my jesteśmy zainteesowani wyłącznie kwantyfikatoami uniwesalnymi, stąd ostatni kok skolemizacji, pzekształcający postać nomalną do klauzulowej. Postać klauzulową można zapisać w postaci zbiou klauzul. Skolemizacja, do pzedostatniego koku zachowuje logiczną ównoważność. Zastosowanie funkcji Skolema nie zachowuje już logicznej ównoważności, lecz spełnialność. W większości pzypadków badamy jednak spełnialność fomuł, stąd Skolemizacja jest użyteczna. Tw. Fomuła uzyskana na dodze Skolemizacji jest niespełniana wtw, gdy wyjściowa fomuła jest niespełnialna Skolemizacja wymaga fomuły zamkniętej. Fomuła jest zamknięta, jeżeli nie ma zmiennych wolnych. Zmienna jest wolna, jeżeli chociaż jedno jej wystąpienie jest wolne. Zmienna jest związana, jeżeli wszystkie jej wystąpienia są związane. Wystąpienie zmiennej jest związane wtw, gdy znajduje się w zakesie odpowiedniego kwantyfikatoa. Wystąpienie zmiennej jest wolne wtw, gdy nie jest związane.
8. Rezolucja w achunku pedykatów a) Udowodnij za pomocą metody ezolucji, że następujący zbió klauzul jest niespełniany; C1: p(x1) (x1) s(x1) C2: (b) C3: (b) (x3) C4: p(a) C5: s(x5) Rezolwenta dla C5 i C1 to C6: p(x5) (x5) podstawienie uzgadniające s1: {x1 <- x5} Rezolwenta dla C6 i C4 to C7: (a) podstawienie uzgadniające s2: {x5 <- a} Rezolwenta dla C7 i C3 to C8: (b) podstawienie uzgadniające s3: {x3 <- a} Rezolwenta dla C8 i C2 to C9: podstawienie uzgadniające s4: {} ODP. Zbió klauzul jest niespełniany b) Podaj najbadziej ogólne podstawienie uzgadniające ( mgu ) z uzyskanych podstawień ODP. MGU (złączenie wszystkich podstawień czyli: s1s2s3s4) = {x1<-a, x5<-a, x3<-a} Komentaz do Rezolucji Zauważmy, że C5 to zanegowany cel, któy jest badany i na początku jest on łączony z dowolną inną klauzulą. Następnie dla uzyskanej ezolwenty szukamy klauzuli z oyginalnego zbiou klauzul. Jest to poponowana stategia poszukiwanie klauzuli pustej. MGU pozwala odczytać, dla jakiej watości zmiennej nasz cel jest konsekwencją logiczną zbiou klauzul tzeba jedynie znaleźć odpowiednie podstawienie, będące elementem mgu.
1) Jaś na wycieczce w ZOO zobaczył pingwina. Po powocie do domu zaczął zastanawiać się, czy pingwin jest ptakiem czy ssakiem. Pamiętał, że pingwin z ZOO miał dziób i skzydła. Niestety Jaś nie pamiętał, czy pingwin miał pióa (a tylko ptaki mają pióa). Natomiast Jaś z lekcji biologii pamiętał, że dzioby mają nie tylko ptaki ale też ssak dziobak. Ponadto pzypomniał sobie, że skzydła mają nie tylko ptaki ale też ssak nietopez. Zapisał to w postaci eguł: x [ma(x,dziób) -> (ptak(x) ssak(x))] y [ma(y,skzydła) -> (ptak(y) ssak(y))] Jaś nie pzypominał sobie, żeby istniał ssak, któy miałby jednocześnie dziób i skzydła, zatem zapisał: z [ssak(z) -> (ma(z,dziób) ma(z,skzydła))] Jaś zapisał fakty, pzekształcił eguły do postaci klauzulowej i otzymał zbió (koniunkcja) klauzul U: C1: ma(pingwin, dziób) C2: ma(pingwin, skzydła) C3: ma(x,dziób) ptak(x) ssak(x) C4: ma(y,skzydła) ptak(y) ssak(y) C5: ssak(z) ma(z,dziób) ma(z,skzydła) 2) Spawdź, za pomocą metody ezolucji, czy fomuła ptak(pingwin) jest logiczną konsekwencją w.w zbiou klauzul U (2p.) Czy fomuła ptak(pingwin) jest logiczną konsekwencją pustego zbiou klauzul? Uzasadnij odpowiedź Rozwiązanie: fomuła A jest logiczną konsekwencją zbiou U wtw, gdy U -> A jest fomułą pawdziwą. Będziemy badać pawdziwość nie wpost badamy niespełnialność fomuły: (U -> A) któa jest logicznie ównoważna fomule U A. Dodajemy zatem do zbiou U klauzulę C6: ptak(pingwin) i stosujemy metodę ezolucji Rezolwenta C6 i C3 to C7: ma(pingwin,dziób) ssak(pingwin) Rezolwenta C7 i C1 to C8: ssak(pingwin) Rezolwenta C8 i C5 to C9: ma(pingwin,dziób) ma(pingwin,skzydła) Rezolwenta C9 i C1 to C10: ma(pingwin,skzydła) Rezolwenta C10 i C2 to C11: podst.(x<- pingwin) podst.(z<- pingwin) Odp. 1. Ponieważ U A i zaazem (U -> A) jest niespełniana, zatem (U -> A) jest pawdziwa co jest dowodem na to że fomuła ptak(pingwin) jest logiczną konsekwencją zbiou U Odp. 2 fomuła A jest logiczną konsekwencją zbiou U wtw gdy U -> A jest fomułą pawdziwą. W naszym wypadku U jest pustym zbioem klauzul, czyli jest fomułą pawdziwą. Zatem, żeby fomuła (U -> A) była pawdziwa, fomuła A musi być pawdziwa. Fomuła A jest fomułą zamkniętą. Możemy podać intepetację w któej pedykat ptak(x) epezentuje elację, że x jest ptakiem a stała pingwin epezentuje zwieze pingwin. W tej intepetacji fomuła A jest spełniona, ale można podać inne intepetacje, w któych fomuła A nie będzie spełniona (np. stała pingwin epezentuje osobę, któa wygała w ping-ponga). Zatem A nie jest pawdziwa i nie jest logiczną konsekwencją pustego zbiou klauzul.
9. Równoważność logiczna W logice fomuły mają więcej niż jedną watość logiczną. Stąd poównywanie fomuł nie może być opate o elację ówności. Wpowadzona została elacja ównoważności logicznej. Istnieje definicja ównoważności logicznej oaz Twiedzenie, któe jest stosowane w badaniu fomuł: Tw. A1 A2 wtw, gdy fomuła A1 A2 jest pawdziwa. 10. Konsekwencja logiczna Definicja konsekwencji logicznej: Niech U będzie zbioem fomuł, A zaś fomułą. Jeżeli w każdym modelu U watością A jest 1, to A nazywamy konsekwencją logiczną U, co zapisujemy U =A Jeżeli zbió U jest pusty, to pojęcie konsekwencji logicznej jest tożsame z pojęciem pawdziwości. Zauważmy, że fomuła A może mieć więcej modeli niż U (fomuła A może mieć modele, któe nie są modelami dla U). Ale, te modele, któe są modelami dla U muszą być także modelami dla A Pzypominamy, że zbió fomuł U ma model, jeżeli istnieje intepetacja taka, że model ten jest modelem każdego elementu zbiou U. Zatem możemy spowadzić poszukiwanie modelu dla zbiou U do poszukiwania modelu dla fomuły będącej koniunkcją fomuł twozących U. Istnieje ponadto twiedzenie, któe pozwala badać konsekwencję logiczną: Tw. U =A wtw, gdy =U A (gdzie U to koniunkcja fomuł twozących U), czyli gdy U A jest tautologią Badanie czy =U A (badanie pawdziwości fomuły U A) ealizowane jest nie wpost badamy niespełnialność fomuły: (U -> A) któa jest logicznie ównoważna fomule U A. Konsekwencja logiczna jest czasami nazywana implikacją logiczną