Internet Semantyczny. Logika opisowa
|
|
- Franciszek Drozd
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Internet Semantyczny Logika opisowa
2 Ontologie Definicja Grubera: Ontologia to formalna specyfikacja konceptualizacji pewnego obszaru wiedzy czy opisu elementów rzeczywistości. W Internecie Semantycznym językiem służącym do zapisu ontologii jest OWL (Ontology Web Language) Teoretyczną bazę dla języka OWL stanowi logika opisowa (Description Logic)
3 Logika opisowa W logice opisowej (DL) ontologia (a raczej baza wiedzy) dzieli się na dwie części: terminologię (TBox) i opis świata (zbiór asercji - ABox).
4 Koncepty Elementarnymi opisami w logice opisowej są koncepty atomowe (atomic concepts) i relacje atomowe (atomic roles). Koncepty złożone budowane są za pomocą tzw. konstruktorów. Literami A i B będziemy oznaczali koncepty atomowe. Literami C i D będziemy oznaczali koncepty złożone. Literami R i S będziemy oznaczali relacje atomowe.
5 Język AL Języki opisowe różnią się dostępnymi konstruktorami. Minimalnym językiem mającym praktyczne zastosowanie jest język AL (Attributive Language). W języku AL koncepty złożone budowane są za pomocą następujących reguł syntaktycznych:
6 Język AL - przykład Załóżmy, że Person i Female są konceptami atomowymi. Ponadto niech haschild będzie relacją atomową. Wówczas w języku AL możemy zdefiniować koncepty złożone:
7 Język AL - semantyka W celu zdefiniowania formalnej semantyki języka AL rozważmy tzw. interpretację. Interpretacja I składa się z niepustego zbioru I oraz funkcji przypisującej: każdemu konceptowi atomowemu A zbiór A I I. każdej relacji atomowej R relację binarną R I I I.
8 Język AL - interpretacja Interpretacja jest zwykle rozszerzana na koncepty złożone w następujący sposób:
9 Język AL - interpretacja Mówimy, że dwa koncepty C i D są równoważne jeżeli dla każdej interpretacji I. C I =D I Równoważność konceptów C i D zapisujemy następująco: C D Przykład Łatwo pokazać, że koncepty są równoważne.
10 Rodzina języków AL Wzbogacając język AL o kolejne konstruktory możemy uzyskać inne języki. Suma konceptów C i D oznaczona jest przez i interpretowana następująco: Suma konceptów oznaczana jest literą U.
11 Rodzina języków AL Pełna kwantyfikacja egzystencjalna oznaczona jest przez i interpretowana następująco: Pełna kwantyfikacja egzystencjalna oznaczana jest literą E.
12 Rodzina języków AL Ograniczenia liczbowe oznaczone są przez i interpretowane następująco: Ograniczenia liczbowe oznaczane są literą N.
13 Rodzina języków AL Negacja dowolnego konceptu C znaczona jest przez i interpretowana następująco: Negacja dowolnego konceptu oznaczana jest literą C.
14 Rodzina języków AL Przykład Wykorzystując wprowadzone powyżej dodatkowe konstruktory możemy zdefiniować następujący koncept złożony: (osoby posiadające co najwyżej jedno dziecko lub więcej niż trójkę dzieci z których jedno jest kobietą)
15 Rodzina języków AL Dowolny język z rodziny AL określamy następująco: gdzie obecność danej litery związana jest z obecnością w języku odpowiedniego konstruktora. Okazuje się, że nie wszystkie uzyskane w ten sposób języki są między sobą różne.
16 Rodzina języków AL Można pokazać, że: Zatem suma i pełna egzystencjalna kwantyfikacja może być określona przy pomocy negacji. Przeciwnie za pomocą sumy i pełnej egzystencjalnej kwantyfikacji może określić negację. Przyjmujemy zatem, że suma i pełna egzystencjalna kwantyfikacja może być określona przy pomocy negacji i odwrotnie.
17 DL - FOL Semantyka konceptów pozwala interpretować logikę opisową (DL) jako fragment logiki pierwszego rzędu (FOL). Każdy koncept C może być rozumiany jako formuła FOL: z jedną zmienną wolną (free) x. Dla każdej interpretacji I zbiór elementów I spełniających C (x) jest równy C I.
18 DL - FOL Koncept atomowy A odpowiada formule FOL: Przecięciu, sumie i negacji w DL odpowiadają w FOL odpowiednio: koniunkcja, alternatywa i negacja. Kwantyfikacji egzystencjalnej i ogólnej w DL odpowiadają następujące formuły w FOL:
19 DL - FOL Ograniczeniom liczbowym odpowiadają formuły: (zapis w języku DL jest oczywiście bardziej zwarty).
20 Terminologia Aksjomaty terminologiczne opisują jak powiązane są między sobą koncepty (i relacje) i mają postać inkluzji lub równości gdzie C i D są konceptami (R i S relacjami). Semantyka aksjomatów jest określona następująco: Interpretacja I spełnia jeżeli odpowiednio
21 Terminologia Jeżeli interpretacja I spełnia aksjomat (aksjomaty) wówczas mówimy, że jest modelem aksjomatu (aksjomatów). Dwa aksjomaty są równoważne jeżeli posiadają te same modele. Równość (aksjomat) w przypadku której po lewej stronie znaku występuje koncept atomowy nazywamy definicją. Za pomocą definicji możemy wprowadzać nazwy (symboliczne) dla złożonych opisów.
22 Terminologia Przykład Przykładowe definicje:
23 Terminologia Skończony zbiór definicji nazywamy terminologią (TBox) jeżeli każda nazwa symboliczna jest zdefiniowana co najwyżej jeden raz. Innymi słowy dla każdego konceptu atomowego istnieje co najwyżej jedna definicja w której koncept ten występuje po lewej stronie.
24 Terminologia Przykład
25 Opis świata Opis świata (ABox) przyporządkowuje elementy uniwersum (indywidua) poszczególnym konceptom i pokazuje powiązania pomiędzy indywiduami za pomocą relacji. Niektóre z konceptów wykorzystanych w opisie świata mogą być zdefiniowane w terminologii.
26 Opis świata Indywidua oznaczamy małymi literami a, b, c. Używając koncepty C i relacje R możemy w opisie świata umieszczać następujące asercje: - asercja koncepcyjna - a należy do (interpretacji) C. - asercja relacyjna - b jest w relacji R z c.
27 Opis świata Przykład
28 Opis świata Interpretację terminologii możemy rozszerzyć na opis świata. Zakładamy, że interpretacja I sładająca się z niepustego zbioru I przypisuje elementy zbioru I indywiduom tzn: a przypisuje element a I I. Zakładamy, że indywiduom o różnych nazwach przypisywane są różne elementy (UAN - unique name assumption).
29 Opis świata Mówimy, że interpretacja I spełnia asercje koncepcyjną: jeżeli: Mówimy, że interpretacja I spełnia asercje relacyjną: jeżeli:
30 Pytanie 1 Jaki jest związek terminologii (Tbox) i opisów świata (ABox) z poznanymi językami RDF i OWL? OWL TBox opisy zasobów w RDF ABox
31 Pytanie 2 Jakie konstruktory są potrzebne do zbudowania języka OWL DL? czyli jakim językiem logicznym jest OWL DL? Język ten jest bardziej złożony niż języki przez nas poznane. OWL SHOIN(D)
32 Nasza ontologia Jakiego języka logiki wymaga nasza ontologia związana z książkami?
33 Nasza ontologia
34 Nasza ontologia
35 Nasza ontologia
36 Nasza ontologia Ekspresyjność naszej ontologii:
37 Wnioskowanie Systemy reprezentacji wiedzy oparte na logice opisowej umożliwiają wnioskowanie. Baza wiedzy składająca się z TBox i ABox posiada semantykę, dzięki której równoważna jest zbiorowi aksjomatów w logice pierwszego rzędu. W konsekwencji baza ta zawiera pewną wiedzę niejawną (implicite knowledge), która dzięki wnioskowaniu może się stać wiedzą jawną (explicite knowledge).
38 Wnioskowanie TBox ABox Grandmother(Mary)
39 Wnioskowanie Niech T będzie pewną terminologią (TBox). Spełnialność (satisfability) Koncept C jest spełnialny (ze względu na T) jeżeli istnieje model I terminologii T taki, że zbiór C I jest niepusty. Zawieranie (subsumption) Koncept C jest zawarty w koncepcie D jeżeli C I D I dla każdego modelu I terminologii T. Zapisujemy: lub
40 Wnioskowanie Przykład
41 Wnioskowanie Przykład
42 Wnioskowanie Przykład
43 Wnioskowanie Przykład
44 Wnioskowanie Równoważność (equivalence) Dwa koncepty C i D są równoważne jeżeli C I =D I dla każdego modelu I terminologii T. Zapisujemy: lub Rozłączność (disjointness) Dwa koncepty C i D są rozłączne jeżeli C I D I = dla każdego modelu I terminologii T.
45 Redukcja do zawierania Dla konceptów C i D mamy: Koncept C jest niespełnialny C jest zawarty w. Koncepty C i D są równoważne C jest zawarty w D i D jest zawarty w C. Koncepty C i D są rozłączne C D jest zawarty w. Większość istniejących systemów DL dostarcza operator oraz koncept niespełnialny. W konsekwencji systemy pozwalające sprawdzić zawieranie mogą przeprowadzić wszystkie powyższe wnioskowania.
46 Redukcja do spełnialności Jeżeli dodatkowo system dostarcza operatora negacji ( ) wówczas wymienione wnioskowania mogą być zredukowane do spełnialności. Dla konceptów C i D mamy: Koncept C jest zawarty w D C D jest niespełnialny. Koncepty C i D są równoważne C D oraz C D są niespełnialne. Koncepty C i D są rozłączne C D jest niespełnialny.
47 Semantyka zamknięta vs. otwarta Analogia między opartymi na DL: bazami danych i bazami wiedzy Schemat bazy danych Instancja bazy danych TBox ABox Istnieje jednak istotna różnica między semantykami instancji bazy danych i ABox!
48 Semantyka zamknięta vs. otwarta Brak informacji w instancji bazy danych interpretowany jest jako informacja negatywna. Brak informacji w Abox interpretowany jest jako brak wiedzy. Przykład DB Peter ma tylko jedno dziecko!
49 Semantyka zamknięta vs. otwarta Przykład (cd) ABox Peter ma dziecko o imieniu Harry! Instancja bazy danych reprezentuje jedną interpretacje schematu bazy. Abox reprezentuje wiele różnych interpretacji (wszystkie swoje modele).
50 Semantyka zamknięta vs. otwarta Przykład Według mitu Edyp został wyrzucony z domu w niemowlęctwie, ponieważ prorok ogłosił, że Edyp popełni ojcobójstwo i ożeni się z matką. Przygarnęli go pasterze. Po jakimś czasie Edyp powraca, zabija ojca i poślubia Jokastę, nie wiedząc o swoim pochodzeniu. Z tego związku rodzą się dwaj synowie: Polinik i Eteokles, oraz dwie córki: Antygona i Ismena. Kiedy wieszcz Tejrezjasz wyjawia obojgu prawdę, Jokasta popełnia samobójstwo, a Edyp wykłuwa sobie oczy i opuszcza miasto.
51 Semantyka zamknięta vs. otwarta Rozważmy następujący ABox: (Jokasta, Edyp, Polinik, Tejrezjasz)
52 Semantyka zamknięta vs. otwarta Załóżmy, że interesuje nas odpowiedź na następujące pytanie: Czy Jokasta ma dziecko, które jest patrycjuszem i samo posiada dziecko nie będące patrycjuszem? Formalnie:
53 Semantyka zamknięta vs. otwarta Rozwiązanie 1 (semantyka zamknięta) Dzieckiem Jokasy jest Edyp. Edyp jest patrycjuszem. Edyp posiada jedno dziecko (Polinik) Nie wiemy czy Polinik jest patrycjuszem. Edyp nie jest dzieckiem o które nam chodzi. Dzieckiem Jokasy jest Polinik. Nie wiemy czy Polinik jest patrycjuszem. Polinik nie jest dzieckiem o które nam chodzi. Odpowiedź na pytanie jest zatem negatywna.
54 Semantyka zamknięta vs. otwarta Rozwiązanie 2 (semantyka otwarta) Wszystkie modele naszego ABox mogą być podzielone na dwie grupy: A. Modele w których Polinik nie jest patrycjuszem. B. Modele w których Polinik jest patrycjuszem. W modelach z grupy A to Edyp jest dzieckiem o które chodzi w pytaniu. W modelach z grupy B to Polinik jest dzieckiem o które chodzi w pytaniu. Odpowiedź na pytanie jest zatem pozytywna.
55 Open World Assumption W Internecie Semantycznym obowiązuje następująca zasada: Nie możemy założyć, że coś nie istnieje (nie jest prawdą) dopóki nie jest wprost stwierdzone że to coś nie istnieje (nie jest prawdą)! Powyższa zasada ma istotne konsekwencje dla działania resonerów przetwarzających ontologie.
Internet Semantyczny i Logika II
Internet Semantyczny i Logika II Ontologie Definicja Grubera: Ontologia to formalna specyfikacja konceptualizacji pewnego obszaru wiedzy czy opisu elementów rzeczywistości. W Internecie Semantycznym językiem
Bardziej szczegółowoReprezentacja wiedzy ontologie, logiki deskrypcyjne
Reprezentacja wiedzy ontologie, logiki deskrypcyjne Agnieszka Ławrynowicz 24 listopada 2016 Plan wykładu 1 Powtórka: sieci semantyczne, RDF 2 Definicja ontologii 3 Logiki deskrypcyjne Semantyczny Internet
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoInternet Semantyczny. Wstęp do OWL 2
Internet Semantyczny Wstęp do OWL 2 RDFS Podstawowymi elementami które określamy w RDFS są klasy (ang. class) zasobów i właściwości (ang. property) zasobów charakterystyczne dla interesującego nas fragmentu
Bardziej szczegółowoINSTYTUT AUTOMATYKI I INŻYNIERII INFORMATYCZNEJ POLITECHNIKI POZNAŃSKIEJ. Adam Meissner. Elementy logik deskrypcyjych
INSTYTUT AUTOMATYKI I INŻYNIERII INFORMATYCZNEJ POLITECHNIKI POZNAŃSKIEJ Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy logik deskrypcyjych Literatura [1] Baader F.
Bardziej szczegółowoOntologie Wiedza semantyczna Semantic Web Inżynieria ontologii. Zarządzanie wiedzą. Wykład Sieci semantyczne. Joanna Kołodziejczyk.
Wykład Sieci semantyczne czerwiec 2010 Ontologie Struktura sieci semantycznej Plan wykładu Ontologie Definicja ontologii Jest to formalna reprezentacja wiedzy przez zbiór konceptów z zadanej dziedziny
Bardziej szczegółowoInternet Semantyczny i Logika I
Internet Semantyczny i Logika I Warstwy Internetu Semantycznego Dowód Zaufanie Logika OWL, Ontologie Podpis cyfrowy RDF, schematy RDF XML, schematy XML przestrzenie nazw URI Po co nam logika? Potrzebujemy
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoInternet Semantyczny. Schematy RDF i wnioskowanie
Internet Semantyczny Schematy RDF i wnioskowanie Ewolucja Internetu Internet dzisiaj Internet Semantyczny Jorge Cardoso, The Syntactic and the Semantic Web, in Semantic Web Services: Theory, Tools, and
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoWykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowo1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoRachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Bardziej szczegółowoOntologie, czyli o inteligentnych danych
1 Ontologie, czyli o inteligentnych danych Bożena Deka Andrzej Tolarczyk PLAN 2 1. Korzenie filozoficzne 2. Ontologia w informatyce Ontologie a bazy danych Sieć Semantyczna Inteligentne dane 3. Zastosowania
Bardziej szczegółowoDefinicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoKultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1
FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru
Bardziej szczegółowoBazy danych. Ontologie. Bazy wiedzy. Agenty
Definicja Ontologie Logiki deskrypcyjne yj Joanna Józefowska Ontologia jest to jawny opis pewnej dziedziny zawierający: pojęcia, własności i atrybuty pojęć, ograniczenia własności i atrybutów, instancje
Bardziej szczegółowoKARTOGRAFICZNA METODA REPREZENTACJI WIEDZY W SYSTEMIE KASEA
KARTOGRAFICZNA METODA REPREZENTACJI WIEDZY W SYSTEMIE KASEA Wojciech WALOSZEK* Streszczenie. Niniejszy rozdział prezentuje opracowaną przez autora metodę reprezentacji wiedzy, nazwaną kartografią wiedzy,
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowoWykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Bardziej szczegółowoProgramowanie deklaratywne i logika obliczeniowa
Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,
Bardziej szczegółowo3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowo1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria
Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z.... 2. Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory
Bardziej szczegółowoDODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoDowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoRachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Bardziej szczegółowoSkładnia rachunku predykatów pierwszego rzędu
Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka
Bardziej szczegółowoPraca dyplomowa magisterska
Politechnika Gdańska WYDZIAŁ ELEKTRONIKI TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI Katedra: Architektury Systemów Komputerowych Imię i nazwisko dyplomanta: Andrzej Jakowski Nr albumu: 97015 Forma i poziom studiów:
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany
Bardziej szczegółowoWstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w
Bardziej szczegółowoKlasyczny rachunek predykatów
Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoInterpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior
Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje
ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania. 1. Operacje arytmetyczne Operacja arytmetyczna jest opisywana za pomocą znaku operacji i jednego lub dwóch wyrażeń.
Podstawy programowania Programowanie wyrażeń 1. Operacje arytmetyczne Operacja arytmetyczna jest opisywana za pomocą znaku operacji i jednego lub dwóch wyrażeń. W językach programowania są wykorzystywane
Bardziej szczegółowoJak wnioskują maszyny?
Jak wnioskują maszyny? Andrzej Szałas informatyka + 1 Plan wykładu Plan wykładu Modelowanie wnioskowania Wyszukiwanie, a wnioskowanie Klasyczny rachunek zdań Diagramy Venna Wprowadzenie do automatycznego
Bardziej szczegółowoLogika dla archeologów Część 5: Zaprzeczenie i negacja
Logika dla archeologów Część 5: Zaprzeczenie i negacja Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zaprzeczenie 2 Negacja 3 Negacja w logice Sprzeczne grupy
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.
RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego
Bardziej szczegółowo4 Klasyczny rachunek zdań
4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo
Bardziej szczegółowoInteligentne wyszukiwanie wiedzy diagnostycznej wykorzystujące rozmytą logikę opisową na przykładzie wybranej klasy obiektów diagnozowanych
POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT: Automatyki i Informatyki Autoreferat rozprawy doktorskiej Inteligentne wyszukiwanie wiedzy diagnostycznej wykorzystujące
Bardziej szczegółowoPodstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie
Bardziej szczegółowozłożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa
Zadanie 1. Rozważmy jezyk złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa równe. Narysować diagram minimalnego automatu deterministycznego akceptujacego
Bardziej szczegółowoIntegracja heterogenicznych źródeł wiedzy z wykorzystaniem logiki opisowej
Politechnika Gdańska Wydział Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki Katedra InŜynierii Oprogramowania Teresa Zawadzka Integracja heterogenicznych źródeł wiedzy z wykorzystaniem logiki opisowej Rozprawa
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium
Bardziej szczegółowoTechnologie i systemy oparte na logice rozmytej
Zagadnienia I Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie zbudowanie
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Bardziej szczegółowoRozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które
Bardziej szczegółowoJacek Czekaj. Rodziny równoważne z bazodanową rodziną relacji
UNIWERSYTET ŚLĄSKI W KATOWICACH WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I CHEMII Jacek Czekaj Rodziny równoważne z bazodanową rodziną relacji Praca magisterska napisana pod kierunkiem dra Przemysława Koprowskiego KATOWICE
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami
Bardziej szczegółowo