Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

Transkrypt

1 Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl

2 Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS to semantycznie motywowana metoda dowodowa, którą od większości podobnych narzędzi (tabel semantycznych Betha, metody Hintikki czy tabel analitycznych) odróżnia to, że MTS jest metodą wprost. Dowód w formie tabeli analitycznej dla formuły A opiera się na jej konstrukcji, opartej na zbiorach składników bazowych A (w przypadku KRZ zmiennych zdaniowych i ich negacji). Jeśli derywacje, oparte na wszystkich możliwych zbiorach takich składników (interpretowanych są jako podstawowe założenia dowodu ) prowadzą do A, formułę tę uznaje się za udowodnioną (rzecz jasna owe zbiory muszą charakteryzować się pewnymi szczególnymi własnościami w przypadku KRZ muszą być np. niesprzeczne). kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 2 / 15

3 Metoda tabel syntetycznych (MTS) W odróżnieniu od tabeli analitycznej, tabela syntetyczna definiowana jest nie jako jedno, rozgałęziające się drzewo, lecz jako zbiór ciągów syntetycznych inferencji pozostających w określonych relacjach strukturalnych, dobrze reprezentowanych za pomocą drzewopodobnej budowy. MTS została zdefiniowana jako metoda dowodowa oraz jako metoda poszukiwania modeli dla zbiorów formuł dla KRZ, Ł3 (i innych ekstensjonalnych logik skończenie wielowartościowych) i pewnych logik parakonsystentnych. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 3 / 15

4 Preliminaria Rozważać będziemy KRZ z negacją, alternatywą, koniunkcją i implikacją jako spójnikami pierwotnymi. Mówiąc o formułach i zbiorach formuł będziemy mieć na myśli formuły i zbiory formuł języka KRZ. Symbolem Sub(A) oznaczać będziemy zbiór podformuł formuły A. Symbolem Sub(X ) oznaczać będziemy zbiór podformuł wszystkich formuł, należących do zbioru X Literałami nazywać będziemy zmienne zdaniowe i negacje zmiennych zdaniowych. Literały p i i p i nazywać będziemy komplementarnymi. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 4 / 15

5 Syntetyczne inferencje Skończony ciąg formuł s = s 1,..., s n nazywamy syntetyczną inferencją zbioru formuł zdaniowych X = {A 1,..., A k } wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki: 1 warunek podformuły: dla każdego wyrazu s i ciągu s, s i jest elementem zbioru Sub(X ) lub negacją elementu zbioru Sub(X ); 2 warunek startowy: s 1 jest literałem; 3 dla każdego wyrazu s g ciągu s: 1 wprowadzanie literałów: s g jest literałem, a literał komplementarny do s g nie występuje w ciągu s albo 2 wprowadzanie formuł złożonych: s g jest wyprowadzalny z takiego zbioru formuł, że wszystkie jego elementy poprzedzają s g w ciągu s; 4 spełniony jest jeden z następujących warunków zamykających: 1 wszystkie spośród formuł A 1,..., A k są wyrazami ciągu s albo 2 istnieje co najmniej jedna formuła A i X, taka że A i jest wyrazem ciągu s. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 5 / 15

6 Sukcesy i porażki O syntetycznej inferencji zbioru formuł zdaniowych X powiemy, że jest sukcesem wtw spełnia ona warunek 4.a powyższej definicji, czyli gdy jej wyrazami są wszystkie elementy zbioru X. O syntetycznej inferencji zbioru formuł zdaniowych X powiemy natomiast, że jest porażką wtw spełnia ona warunek 4.b, czyli wśród jej wyrazów znajduje się negacja przynajmniej jednego elementu zbioru X. Syntetyczną inferencję zbioru {A} nazwiemy syntetyczną inferencją formuły A. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 6 / 15

7 Reguły A A B A A B A (A B) A A B A B B A B B (A B) A, B (A B) A, B (A B) A, B A B Na przykład: będąca porażką syntetyczna inferencja s zbioru formuł X = {p (q r), (p q) (p r)}: s = p, q, (q r), r, p r, (p q) (p r), (p (q r)) kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 7 / 15

8 Reguły A A B A A B A (A B) A A B A B B A B B (A B) A, B (A B) A, B (A B) A, B A B Na przykład: będąca porażką syntetyczna inferencja s zbioru formuł X = {p (q r), (p q) (p r)}: s = p, q, (q r), r, p r, (p q) (p r), (p (q r)) kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 7 / 15

9 Syntetyczną inferencję s zbioru formuł X interpretować można jako próbę znalezienia modelu dla X. Ponieważ w przypadku KRZ wszystkie formuły złożone występujące w s wyprowadzane są z formuł poprzedzających, więc ostatecznie wszystkie one są wyprowadzalne z literałów, które z kolei są jedynymi formułami wprowadzanymi do tabeli bez inferencyjnego uzasadnienia (tzn. nie są wyprowadzane z żadnych formuł wcześniejszych). Literały stanowią zatem w gruncie rzeczy przesłanki rozumowania zakładane na danej ścieżce. Warunek podformuły ogranicza zbiór formuł, które mogą pojawić się w s, co jest istotne z punktu widzenia tak złożoności obliczeniowej MTS, jak i możliwości algorytmizacji metody. Warunki zamykające umożliwiają określenie, czy rozważana inferencja charakteryzuje model zbioru X, czy też nie. Zauważmy, że z uwagi na przyjęte reguły inferencyjne oraz warunek wprowadzania literałów zbiór wyrazów inferencji s zawsze jest semantycznie niesprzeczny. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 8 / 15

10 Tabele syntetyczne Rodzinę Ω skończonych ciągów formuł zdaniowych nazywamy tabelą syntetyczną dla zbioru formuł X = {A 1,..., A k } wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element Ω jest syntetyczną inferencją zbioru X (będziemy je nazywać ścieżkami tabeli Ω) oraz gdy spełnione są następujące warunki: 1 warunek jednolitego startu: istnieje taka zmienna zdaniowa p i, że pierwszym wyrazem każdej syntetycznej inferencji należącej do Ω jest literał bazujący na p i ; 2 dla każdego ciągu należącego do Ω zachodzi: jeżeli s i jest literałem, to: 1 warunek semantycznej poprawności rozgałęzień: do Ω należy syntetyczna inferencja s, taka że s i s nie różnią się na miejscach o wskaźnikach mniejszych od i oraz s i jest literałem komplementarnym do s i ; 2 warunek binarnych rozgałęzień: jeżeli i > 1, to dla każdej syntetycznej inferencji s, takiej że s i s nie różnią się na miejscach o wskaźnikach mniejszych od i: albo s i = s i, albo s i jest literałem komplementarnym do s i. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 9 / 15

11 Przykład Tabela syntetyczna Ω dla zbioru formuł X = {p (q r), (p q) (p r)}: q p q (p q) (p r) r q r p (q r) p r (q r) (p (q r)) q (p q) (q r) (p (q r)) p p (q r) p q (p q) (p r) Podkreśleniem zaznaczono ostatnie formuły ścieżek będących porażkami. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 10 / 15

12 Tabele syntetyczne Tabela syntetyczna dla zbioru formuł X jest zatem rodziną syntetycznych inferencji zbioru X, powiązanych ze sobą w sposób określony warunkami jednolitego startu, binarnych rozgałęzień i semantycznej poprawności rozgałęznień. Warunek jednolitego startu łącznie z warunkiem binarnych rozgałęzień gwarantuje, że tabela rozgałęzia się jedynie na literałach. Warunek semantycznej poprawności rozgałęzień gwarantuje natomiast, że konstrukcja tabeli jest poprawna z uwagi na zakładaną semantykę: wprowadzenie na dowolnej ścieżce literału wymusza, zgodnie z tym warunkiem, rozgałęzienie owej ścieżki i wprowadzenie na powstałej w ten sposób ścieżce równoległej literału komplementarnego. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 11 / 15

13 Różne ważne twierdzenia Dla każdego zbioru formuł X istnieje tabela syntetyczna dla X (w dowodzie tego twierdzenia wprowadza się algorytm konstrukcji tzw. tabel syntetycznych o postaci kanonicznej). Zbiór wyrazów syntetycznej inferencji s zbioru X jest semantycznie niesprzeczny. Zbiór formuł zdaniowych X jest spełnialny wtw istnieje tabela syntetyczna Ω dla X, taka że co najmniej jedna ścieżka tabeli Ω jest sukcesem. Jeśli istnieje tabela syntetyczna Ω dla zbioru formuł zdaniowych X taka, że co najmniej jedna ścieżka tabeli Ω jest sukcesem, to każda tabela syntetyczna dla X zawiera przynajmniej jedną ścieżkę będącą sukcesem. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 12 / 15

14 Różne ważne twierdzenia Dla każdego zbioru formuł X istnieje tabela syntetyczna dla X (w dowodzie tego twierdzenia wprowadza się algorytm konstrukcji tzw. tabel syntetycznych o postaci kanonicznej). Zbiór wyrazów syntetycznej inferencji s zbioru X jest semantycznie niesprzeczny. Zbiór formuł zdaniowych X jest spełnialny wtw istnieje tabela syntetyczna Ω dla X, taka że co najmniej jedna ścieżka tabeli Ω jest sukcesem. Jeśli istnieje tabela syntetyczna Ω dla zbioru formuł zdaniowych X taka, że co najmniej jedna ścieżka tabeli Ω jest sukcesem, to każda tabela syntetyczna dla X zawiera przynajmniej jedną ścieżkę będącą sukcesem. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 12 / 15

15 Różne ważne twierdzenia Dla każdego zbioru formuł X istnieje tabela syntetyczna dla X (w dowodzie tego twierdzenia wprowadza się algorytm konstrukcji tzw. tabel syntetycznych o postaci kanonicznej). Zbiór wyrazów syntetycznej inferencji s zbioru X jest semantycznie niesprzeczny. Zbiór formuł zdaniowych X jest spełnialny wtw istnieje tabela syntetyczna Ω dla X, taka że co najmniej jedna ścieżka tabeli Ω jest sukcesem. Jeśli istnieje tabela syntetyczna Ω dla zbioru formuł zdaniowych X taka, że co najmniej jedna ścieżka tabeli Ω jest sukcesem, to każda tabela syntetyczna dla X zawiera przynajmniej jedną ścieżkę będącą sukcesem. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 12 / 15

16 Różne ważne twierdzenia Dla każdego zbioru formuł X istnieje tabela syntetyczna dla X (w dowodzie tego twierdzenia wprowadza się algorytm konstrukcji tzw. tabel syntetycznych o postaci kanonicznej). Zbiór wyrazów syntetycznej inferencji s zbioru X jest semantycznie niesprzeczny. Zbiór formuł zdaniowych X jest spełnialny wtw istnieje tabela syntetyczna Ω dla X, taka że co najmniej jedna ścieżka tabeli Ω jest sukcesem. Jeśli istnieje tabela syntetyczna Ω dla zbioru formuł zdaniowych X taka, że co najmniej jedna ścieżka tabeli Ω jest sukcesem, to każda tabela syntetyczna dla X zawiera przynajmniej jedną ścieżkę będącą sukcesem. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 12 / 15

17 Różne ważne twierdzenia Dla każdego zbioru formuł X istnieje tabela syntetyczna dla X (w dowodzie tego twierdzenia wprowadza się algorytm konstrukcji tzw. tabel syntetycznych o postaci kanonicznej). Zbiór wyrazów syntetycznej inferencji s zbioru X jest semantycznie niesprzeczny. Zbiór formuł zdaniowych X jest spełnialny wtw istnieje tabela syntetyczna Ω dla X, taka że co najmniej jedna ścieżka tabeli Ω jest sukcesem. Jeśli istnieje tabela syntetyczna Ω dla zbioru formuł zdaniowych X taka, że co najmniej jedna ścieżka tabeli Ω jest sukcesem, to każda tabela syntetyczna dla X zawiera przynajmniej jedną ścieżkę będącą sukcesem. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 12 / 15

18 Wynikanie logiczne, tautologiczność Formuła B wynika logicznie ze zbioru formuł Y (symbolicznie: Y B) wtw istnieje tabela syntetyczna Ω dla zbioru Y {B}, taka że dla każdej ścieżki s tabeli Ω spełniony jest co najmniej jeden z następujących warunków: 1 istnieje co najmniej jedna formuła D Y, taka że D jest wyrazem ścieżki s; 2 formuła B jest wyrazem ścieżki s. Formuła B jest tautologią (symbolicznie: B) wtw istnieje tabela syntetyczna Ω dla zbioru {B}, taka że formuła B jest wyrazem każdej ścieżki tabeli Ω. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 13 / 15

19 Wynikanie logiczne, tautologiczność Formuła B wynika logicznie ze zbioru formuł Y (symbolicznie: Y B) wtw istnieje tabela syntetyczna Ω dla zbioru Y {B}, taka że dla każdej ścieżki s tabeli Ω spełniony jest co najmniej jeden z następujących warunków: 1 istnieje co najmniej jedna formuła D Y, taka że D jest wyrazem ścieżki s; 2 formuła B jest wyrazem ścieżki s. Formuła B jest tautologią (symbolicznie: B) wtw istnieje tabela syntetyczna Ω dla zbioru {B}, taka że formuła B jest wyrazem każdej ścieżki tabeli Ω. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 13 / 15

20 Wynikanie logiczne, tautologiczność Formuła B wynika logicznie ze zbioru formuł Y (symbolicznie: Y B) wtw istnieje tabela syntetyczna Ω dla zbioru Y {B}, taka że dla każdej ścieżki s tabeli Ω spełniony jest co najmniej jeden z następujących warunków: 1 istnieje co najmniej jedna formuła D Y, taka że D jest wyrazem ścieżki s; 2 formuła B jest wyrazem ścieżki s. Formuła B jest tautologią (symbolicznie: B) wtw istnieje tabela syntetyczna Ω dla zbioru {B}, taka że formuła B jest wyrazem każdej ścieżki tabeli Ω. kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 13 / 15

21 Zagadnienia KRP? Logiki intensjonalne? (pewne wyniki w przypadku logik temporalnych) Złożoność obliczeniowa: optymalizacja algorytmu? heurystyki? kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 14 / 15

22 Literatura Urbański, M. [w druku]. Rozumowania abdukcyjne, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań. Urbański, M. [2004]. How to Synthesize a Paraconsistent Negation. The Case of CluN, Logique et Analyse, , s Urbański, M. [2002]. Tabele syntetyczne a logika pytań, Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin. Urbański, M. [2002]. Synthetic Tableaux for Łukasiewicz s Calculus Ł3, Logique et Analyse, , s Urbański, M. [2001]. Synthetic Tableaux and Erotetic Search Scenarios: Extension and Extraction, Logique et Analyse, , s kognitywistyka, rok V (IP UAM) MDTiAR 15 / 15