Paulina Kurnyta-Mazurek Maciej Henzel Wojskowa Akademia Techniczna Artur Kurnyta Instytut Techniczny Wojsk Lotniczych PRACE NAUKOWE ITWL Zeszyt 37, s. 183 194, 2015 r. 10.1515/afit-2015-0033 ANALIZA METODY STEROWANIA PREDYKCYJNEGO DLA AKTYWNEGO ZAWIESZENIA MAGNETYCZNEGO Syntezę regulatorów klasycznych przeprowadza się na podstawie znajomości parametrów modelu obiektu regulacji. Jednak wyznaczenie tych parametrów nie zawsze jest możliwe lub jest niezwykle trudne, zwłaszcza gdy zmieniają się one w trakcie okresu eksploatacji. W takim przypadku wykorzystuje się bardziej złożone metody sterowania, np. metodę sterowania predykcyjnego. W artykule przedstawiona została metoda sterowania predykcyjnego w układzie regulacji aktywnego zawieszenia magnetycznego, model matematyczny i symulacyjny takiego układu sterowania oraz wyniki wstępnych badań symulacyjnych analizowanego układu sterowania. Słowa kluczowe: aktywne zawieszenie magnetyczne, sterowanie predykcyjne, sterowanie adaptacyjne. 1. Wstęp Aktywne zawieszenia magnetyczne (AZM) wykorzystują zjawisko lewitacji magnetycznej, polegające na zrównoważeniu siły przyciągania pomiędzy elektromagnesem a ferromagnetycznym rdzeniem (rys. 1). Stanowią one podstawę działania aktywnych łożysk magnetycznych, tj. układów wykorzystujących siły przyciągania lub odpychania do zapewnienia stabilnej lewitacji wirnika. Zastosowanie takich układów eliminuje tarcie między współpracującymi parami kinematycznymi, umożliwia monitorowanie i diagnostykę stanu technicznego układów poprzez pomiar poziomu drgań i wartości sił. W silnikach lotniczych zawieszenia magnetyczne pracują jako elementy łożyskowania wału silnika. Aktywne zawieszenia magnetyczne są układami strukturalnie niestabilnymi, dlatego do ich poprawnej pracy konieczne jest zaprojektowanie układu sterowa-
184 Paulina Kurnyta-Mazurek, Maciej Henzel, Artur Kurnyta nia zapewniającego jego stabilność oraz uzyskanie wymaganych wskaźników jakości regulacji. Syntezę regulatorów klasycznych takich układów przeprowadza się na podstawie znajomości parametrów modelu obiektu. Im dokładniejsza jest ich znajomość, tym lepszą można uzyskać jakość regulacji. Czasami dokładne wyznaczenie parametrów modelu jest niezwykle trudne lub niemożliwe. W przypadku takich systemów należy wykorzystać zaawansowane metody sterowania. Dotyczy to w szczególności obiektów rzeczywistych, których parametry pracy ulegają zmianie w okresie eksploatacji. SIŁOWNIK ELEKTROMECHANICZNY ELEKTROMAGNES i m WZMACNIACZ MOCY STATOR WIRNIK F m F g ALGORYTM STERUJĄCY CZUJNIK POŁOŻENIA Z S Rys. 1. Schemat układu sterowania położeniem wirnika w aktywnym zawieszeniu magnetycznym [3] Rozwój techniki cyfrowej umożliwił realizację zaawansowanych metod sterowania, takich jak sterowanie adaptacyjne, predykcyjne, ślizgowe [8] czy też odporne. Algorytmy te oparte są na analizie czasowej oraz syntezie regulatorów
Analiza metody sterowania predykcyjnego dla aktywnego zawieszenia... 185 wykorzystującej zmienne stanu, dzięki temu można uzyskać optymalny układ sterowania. Algorytmy takie uwzględniają jawnie niepewności pomiarowe oraz nie wymagają dokładanej znajomości modelu obiektu regulacji. Sterowanie adaptacyjne umożliwia zmianę parametrów regulatora na podstawie zaimplementowanych praw sterowania oraz ciągłej identyfikacji parametrów obiektu sterowania. Natomiast sterowanie odporne daje możliwość projektowania układu regulacji z uwzględnieniem modeli niepewności [8]. 2. Model aktywnego zawieszenia magnetycznego W czasie pracy aktywnego zawieszenia magnetycznego wirnik znajduje się w szczelinie powietrznej w punkcie pracy, tj. w równej odległości od nabiegunników. Odległość ta jest jednym z głównych parametrów zawieszenia, który decyduje o innych parametrach układu, takich jak sztywność prądowa k i oraz przemieszczeniowa k s. Parametry te określają siłę przyciągania elektromagnesu F m. W homopolarnym aktywnym zawieszeniu magnetycznym przemieszczenie wirnika w szczelinie powietrznej opisane jest równaniem różniczkowym [1, 2]: gdzie: m masa wirnika, ii prąd sterujący, xx przemieszczenie wirnika z punktu pracy, F z zewnętrzna siła zakłócająca. mm dd2 xx ddtt 2 = FF mm ± FF zz = kk ss xx + kk ii ii ± FF zz (1) Po dokonaniu przekształcenia Laplace a równania (1) uzyskuje się funkcję przejścia opisaną zależnością (2). Z równania tego wyznaczono transmitancje operatorowe opisujące właściwości układu dla sygnału wejściowego, którym jest wartość prądu sterującego (3) lub siła zewnętrzna (4). XX(ss) = kk ii II(ss) ± 1 FF mmss 2 kk ss mmss 2 kk zz (ss) (2) ss GG xx,ii (ss) = XX(ss) = kk ii (3) II(ss) mmss 2 kk ss GG xx,ffzz (ss) = XX(ss) FF zz (ss) = ± 1 mmss 2 kk ss (4)
186 Paulina Kurnyta-Mazurek, Maciej Henzel, Artur Kurnyta W analizowanym układzie sterowania sygnałem wejściowym jest zmiana prądu sterującego I(s), a sygnałem wyjściowym przemieszczenie wirnika w szczelinie powietrznej X(s). Model takiego układu opracowanego w środowisku Matlab-Simulink przedstawiono na rys. 2. Dla takiego układu zostanie przeprowadzony proces syntezy regulatora predykcyjnego. Rys. 2. Model AZM w środowisku Matlab-Simulink 3. Analiza sterowania predykcyjnego Sterowanie predykcyjne można zastosować do sterowania obiektami strukturalnie niestabilnymi, nieliniowymi i niestacjonarnymi. Celem tej metody regulacji jest wyznaczenie ciągu przyszłych wartości sygnału sterującego według modelu odniesienia. Opracowany algorytm umożliwia stabilną pracę obiektów nieminimalnofazowych bez konieczności uwzględniania tej właściwości podczas syntezy regulatora [5, 7]. Istnieje wiele metod sterowania opartych na algorytmach predykcyjnych. Do najpopularniejszych i najszerzej wykorzystywanych należą algorytmy bazujące na modelach parametrycznym i nieparametrycznym. Do pierwszej grupy zalicza się algorytm regulacji predykcyjnej minimalnoenergetycznej (ang. EHAC Extended Horizon Adaptive Control), algorytm regulacji predykcyjnej minimalnowariancyjnej prostej (ang. EPSAC Extended Prediction Self-Adaptive Control) oraz algorytm uogólnionej regulacji predykcyjnej (ang. GPC Generalized Predictive Control). Natomiast do drugiej grupy algorytmów należą algorytm prostej regulacji adaptacyjnej z modelem odpowiedzi impulsowej (ang. MAC Model Algorithmic Control), algorytm regulacji przyrostowej z modelem odpowiedzi impulsowej (ang. MPC Model Predictive Control) oraz algorytm regulacji predykcyjnej z modelem odpowiedzi skokowej (ang. DMC Dynamic Matrix Control). Metodologia stosowania algorytmów predykcyjnych została przedstawiona na rys. 3. Algorytm ten dokonuje predykcji przyszłych wartości sygnału wyjściowego yy (ii + jj), jj = 1,, HH 1 dla horyzontu predykcji (H) oraz wartości sygnału sterującego uu(ii + jj), jj = 1,, LL 1 dla horyzontu sterowania (L) w każdej chwili czasu i,
Analiza metody sterowania predykcyjnego dla aktywnego zawieszenia... 187 w taki sposób, aby spełnić cel sterowania (np. minimalizacja uchybu regulacji). Z rys. 3 wynika, że przyrosty sterowania od chwili i =i+l są z założenia równe zero, u(i+l) = u(i+l). Dla poprawnego działania regulatorów predykcyjnych powinien być spełniony warunek L H. u(i) Przyszłość u(i+j) w(i+j) (i+j) i-1 i i+1 i+j i+l i+h Horyzont sterowania Horyzont predykcji Rys. 3. Sterowanie predykcyjne z przesuwnym horyzontem Do algorytmów regulacji predykcyjnej wykorzystujących modele obiektu w postaci odpowiedzi skokowej oraz impulsowej zaliczany jest algorytm predykcyjny z modelem odpowiedzi impulsowej (ang. MPC Model Predictive Control). W algorytmie tym przyjmuje się model układu regulacji w postaci równania (5). Współczynniki wielomianu odpowiedzi impulsowej V z zależności (5) wyznacza się poprzez iloczyn dyskretnej transmitancji obiektu oraz transformaty Z impulsu Diraca [4, 7]. yy(ii) = VVVV(ii 1) (5) gdzie: VV = vv oo + vv 1 zz 1 + + vv nn zz nnnn wielomian odpowiedzi impulsowej; vv oo, vv 1,, vv n kolejne wartości odpowiedzi impulsowej elementu B/A. AA = 1 + aa 1 zz 1 + + aa nnnn zz nnnn, BB = b 0 + bb 1 zz 1 + + bb nnnn zz nnnn wielomiany opisujące obiekt regulacji. Podstawowym celem tego algorytmu jest minimalizacja odległości pomiędzy przewidywaną trajektorią sygnału wyjściowego a trajektorią odniesienia według wskaźnika (6) z uwzględnieniem wagi nałożonej na odchylenie sterowania od wartości u(i-1). HH JJ = jj=1 {[yy (ii + jj) ww(ii + jj)] 2 + ρρρρuu 2 (ii + jj 1)} (6)
188 Paulina Kurnyta-Mazurek, Maciej Henzel, Artur Kurnyta gdzie: δδδδ(ii + jj) = uu(ii + jj) uu(ii 1) Algorytm predykcyjny z modelem odpowiedzi impulsowej można napisać w ogólnej postaci za pomocą wielomianów regulatora RST [7]: RRRR(ii) = TTTT(ii) SSSS(ii) (7) gdzie: RR = (1 + zz 1 HH jj qq jj 2 jj=1 ss=1 VV ss ) funkcja sterowania (8) HH TT = KK mm jj=1 qq jj funkcja komplementarnej wrażliwości (9) HH SS = jj=1 qq jj funkcja wrażliwości (10) Oznaczenie K m występujące w równaniu wielomianu T oznacza trajektorię odniesienia, która dla układu pierwszego rzędu opisana jest równaniem (11). W równaniu tym A m oraz B m stanowią wielomiany opisujące model odniesienia, natomiast współczynnik ρρ jest parametrem wagowym sygnału sterującego, od którego zależy szybkość osiągnięcia sygnału wyjściowego wartości zadanej. BB mm = (1 ρρ)zz 1 AA mm 1 ρρzz 1 (11) Parametry qq jj występujące w równaniach (8 10) są elementami wektora q, opisanego zależnością (12), natomiast VV ss 2 są współczynnikami wielomianu odpowiedzi impulsowej przekształconego zgodnie z równaniem (13). Elementy macierzy Q oznaczone jako h j są parametrami odpowiedzi skokowej obiektu. gdzie: qq TT = [qq 1, qq 2,, qq HH ] = ii TT [QQ TT QQ + ρρii] 1 QQ TT (12) vv 0 0 0 vv 1 vv 0 0 QQ = vv LL 1 vv LL 2 h 0 vv HH 1 vv HH 1 h HH LL ii TT = [1,0,0,,0] VV = VV jj 1 + zz jj VV jj 2 (13)
Analiza metody sterowania predykcyjnego dla aktywnego zawieszenia... 189 gdzie: VV jj 1 = vv oo + vv 1 zz 1 + + vv jj 1 zz jj+1 VV jj 2 = vv jj + vv j+1 zz 1 + + vv nn zz nn Podczas syntezy regulatora predykcyjnego na podstawie modelu obiektu (4) wyznacza się wielomian odpowiedzi impulsowej i skokowej obiektu. Następnie na podstawie parametrów wielomianu V wyznacza się macierz Q, której ostatnia kolumna składa się z parametrów odpowiedzi skokowej h j. Do syntezy regulatora MPC wystarczają współczynniki wielomianu V oraz współrzędne wektora q, który jest wyznaczany z macierzy Q. 4. Model symulacyjny algorytmu sterowania w środowisku Matlab-Simulink Do realizacji badań symulacyjnych predykcyjnego algorytmu sterowania z aktywnym zawieszeniem magnetycznym wykorzystano środowisko Matlab-Simulink z pakietem Model Predictive Control Toolbox [9]. Na rys. 4 przedstawiono model symulacyjny takiego układu sterowania. Model zawieszenia magnetycznego opracowano na podstawie równania ruchu wirnika w szczelinie powietrznej (2) homopolarnego zawieszenia magnetycznego z magnesami trwałymi. Podczas symulacji oceniono wpływ parametrów wejściowych projektowanego regulatora predykcyjnego na charakterystyki skokowe układu. Parametrami tymi były horyzont sterowania oraz horyzont predykcji. Rys. 4. Model symulacyjny układu sterowania AZM z regulatorem predykcyjnym (Matlab- Simulink)
190 Paulina Kurnyta-Mazurek, Maciej Henzel, Artur Kurnyta Na rys. 5 przedstawiono otrzymane charakterystyki skokowe zamkniętego układu sterowania. Sygnałem wymuszającym/wejściowym układu było skokowe przemieszczenie wirnika w szczelinie powietrznej o wartość 10 4 m. Syntezę regulatora przeprowadzono dla wybranych wartości horyzontu sterowania (L = 1, L = 2, L = 5) oraz stałej wartości horyzontu predykcji (H = 10). Największą wartością przeregulowania charakteryzuje się układ z największą wartością horyzontu sterowania (L = 5). Dla takiego układu oraz dla układu z horyzontem sterowania równym 2 odpowiedź ma charakter oscylacyjny z przeregulowaniem równym odpowiednio 6% oraz 1%. Natomiast czas regulacji poszczególnych zamkniętych układów sterowania (L = 1, L = 2, L = 5) jest równy odpowiednio 0,045 s, 0,012 s oraz 0,015 s. Dla każdego przebadanego układu zamkniętego wartość uchybu regulacji w stanie ustalonym jest równa zero [6]. 1.2 x 10-4 Przemieszczenie wirnika [m] 1 0.8 0.6 0.4 0.2 t r L=2 t r L=5 t r L=1 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Czas [s] Wymuszenie MPC L=1 MPC L=2 MPC L=5 Rys. 5. Charakterystyka skokowa zamkniętego układu sterowania AZM z regulatorem predykcyjnym dla różnych wartości horyzontu sterowania L Na rys. 6 przedstawiono przebiegi sygnałów sterujących w zamkniętym układzie sterowania aktywnym zawieszeniem magnetycznym z regulatorem predykcyjnym. Największa wartość sygnału sterującego przypada dla układu z regulatorem o największej wartości horyzontu sterowania (L = 5).
Analiza metody sterowania predykcyjnego dla aktywnego zawieszenia... 191 0.2 0.1 MPC L=1 MPC L=2 MPC L=5 Sygnał sterujący 0-0.1-0.2-0.3 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Czas [s] Rys. 6. Przebieg sygnałów sterujących w zamkniętym układzie sterowania AZM z regulatorem predykcyjnym dla różnych wartości horyzontu sterowania Na rys. 7 przedstawiono charakterystyki czasowe zamkniętego układu sterowania aktywnym zawieszeniem magnetycznym z regulatorem predykcyjnym. Sygnałem wejściowym układu było skokowe przemieszczenie wirnika w szczelinie powietrznej o wartość 10 4 m. Syntezę regulatora przeprowadzono dla różnych wartości horyzontu predykcji (H = 5, H = 10, H = 15) i stałej wartości horyzontu predykcji (L = 1). Najkrótszym czasem regulacji, równym 0,005 s, oraz największą wartością przeregulowania, wynoszącą 5%, charakteryzuje się układ z najmniejszą wartością horyzontu predykcji (H = 5). Jego odpowiedź skokowa ma charakter oscylacyjny. Odpowiedzi skokowe dwóch pozostałych układów mają charakter elementu inercyjnego, posiadają zerowe przeregulowanie oraz czas regulacji równy 0,04 s oraz 0,18 s dla horyzontu sterowania wynoszącego odpowiednio H = 10 i H = 15. Dla każdego przebadanego układu zamkniętego wartość uchybu regulacji w stanie ustalonym jest równa zero. Na rys. 8 przedstawiono przebiegi sygnałów sterujących w zamkniętym układzie sterowania aktywnym zawieszeniem magnetycznym z regulatorem predykcyjnym opracowanym dla różnych wartości horyzontu predykcji H. Największa wartość sygnału sterującego przypada dla układu z regulatorem o najmniejszej wartości horyzontu predykcji (H = 5).
192 Paulina Kurnyta-Mazurek, Maciej Henzel, Artur Kurnyta -4 x 10 1.2 Przemieszczenie wirnika [m] 1 0.8 0.6 0.4 0.2 t r H=5 t r H=10 t r H=15 Wymuszenie H=5 H=10 H=15 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Czas [s] Rys. 7. Charakterystyka skokowa zamkniętego układu sterowania AZM z regulatorem predykcyjnym dla różnych wartości horyzontu predykcji 0.2 0.1 H=5 H=10 H=15 Sygnał sterujący 0-0.1-0.2-0.3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Czas [s] Rys. 8. Przebieg sygnałów sterujących w zamkniętym układzie sterowania AZM z regulatorem predykcyjnym dla różnych wartości horyzontu predykcji
Analiza metody sterowania predykcyjnego dla aktywnego zawieszenia... 193 5. Podsumowanie Algorytmy sterowania predykcyjnego należą do zaawansowanych metod sterowania, które wykorzystują identyfikację modelu parametrycznego lub modelu nieparametrycznego obiektu. Pierwszą grupę algorytmów predykcyjnych stanowią metody wykorzystujące model transmitancyjny obiektu. Są to: algorytm regulacji minimalnoenergetycznej EHAC, algorytm minimalnowariancyjny EPSAC oraz algorytm regulacji predykcyjnej uogólnionej GPC. Drugą grupę algorytmów stanowią metody wykorzystujące charakterystykę skokową lub impulsową obiektu. Do grupy tej należą: algorytm MPC, algorytm prostej regulacji predykcyjnej z modelem odpowiedzi impulsowej MAC oraz algorytm predykcyjny z modelem odpowiedzi skokowej DMC. Właściwości dynamiczne regulatora predykcyjnego zależą od zdefiniowanego horyzontu sterowania, horyzontu predykcji, funkcji wagowych sygnałów, ograniczeń nałożonych na sygnały sterujący oraz wyjściowy. Podczas badań symulacyjnych opracowanych algorytmów sterownia predykcyjnego sprawdzono wpływ wartości horyzontu sterowania i horyzontu predykcji na parametry określające jakość układu regulacji. Zwiększenie horyzontu sterowania w układzie AZM zmniejsza czas regulacji układu, ale powoduje wzrost wartości przeregulowania. Natomiast zwiększenie horyzontu predykcji zwiększa czas regulacji i zmniejsza wartość przeregulowania. W przypadku wszystkich badanych algorytmów zamknięty układ regulacji z regulatorem predykcyjnym charakteryzował się zerowym uchybem ustalonym. Wyniki przeprowadzonych analiz stanowią wstęp do doświadczalnych badań weryfikacyjnych. Znajomość zjawisk fizycznych występujących w AZM oraz metod syntezy parametrów regulatora predykcyjnego dla układów niestabilnych umożliwia określenie typowych parametrów pracy analizowanego układu. W kolejnym etapie badań na podstawie obserwacji zmian sygnałów sterujących w zakresie horyzontu sterowania i horyzontu predykcji będzie możliwa ocena stanu technicznego aktywnego zawieszenia magnetycznego. Otrzymane wyniki będą mogły zostać zaadaptowane do bardziej złożonych obiektów technicznych, takich jak magnetyczne układy łożyskowania wałów turbinowych silników odrzutowych. Literatura 1. Gosiewski Z., Falkowski K.: Wielofunkcyjne łożyska magnetyczne. Warszawa 2003.
194 Paulina Kurnyta-Mazurek, Maciej Henzel, Artur Kurnyta 2. Henzel M.: Mathematical Analysis and Investigation Results of the Bearingless Electric Motor with Permanent Magnets. Solid State Phenomena 2013, vol. Mechatronic Systems and Materials IV. 3. Henzel M., Mazurek P.: Układ sterowania aktywnym zawieszeniem magnetycznym w lotniczym układzie wykonawczym. Problemy Mechatroniki, Uzbrojenie, Lotnictwo, Inżynieria Bezpieczeństwa 2012, nr 2 (8), Warszawa 2012. 4. Holkar K.S., Waghmare L.M., An Overview of model predictive controller. International Journal of Control and Automation 2010, Vol. 3 No. 4. 5. Horla D.: Podstawy automatyki ćwiczenia laboratoryjne, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2003. 6. Mazurek P.: Predictive control methods for aerial bearingless electric machine. Book of Abstracts of XI International Scientific Conference New Trends in Aviation Development, 11-12.09.2014. 7. Niederliński A., Mościński J., Ogonowski Z.: Regulacja adaptacyjna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995. 8. Żokowski M., Gosiewski Z.: Sliding Mode Control for Active Magnetic Bearings. The 10th International Symposium on Magnetic Bearings, Martigny, Switzerland, 21 23 August 2006. 9. http://www.mathworks.com/help/mpc/getting-started-with-model-predictive-controltoolbox.html.