Matematyka Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 2017/2018
kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl termin konsultacji będzie podany później strona na Niezbędniku: www.e-sgh.pl/winnicka koordynator przedmiotu: dr Maria Ekes, maria.ekes@sgh.waw.pl
Warunki zaliczenia(dokładniej na Niezbędniku) 2 kolokwia na ćwiczeniach, w każdym 5 zadań po 6 punktów, punkty za aktywność na ćwiczeniach - od 0 do 5, według uznania prowadzącego ćwiczenia, egzamin: 5 zadań po 6 punktów każde.
Warunki zaliczenia(dokładniej na Niezbędniku) 2 kolokwia na ćwiczeniach, w każdym 5 zadań po 6 punktów, punkty za aktywność na ćwiczeniach - od 0 do 5, według uznania prowadzącego ćwiczenia, egzamin: 5 zadań po 6 punktów każde. liczba punktów z przedmiotu= = 1/2 kolokwia + aktywność + egzamin.
Warunki zaliczenia(dokładniej na Niezbędniku) liczba punktów ocena końcowa 0 30 niedostateczna (2) 31 36 dostateczna (3) 37 42 dostateczna plus (3,5) 43 48 dobra (4) 49 54 dobra plus (4,5) 55 65 bardzo dobra (5)
Warunki zaliczenia(dokładniej na Niezbędniku) Osoby, które w trakcie zajęć nie napisały któregoś z kolokwiów z usprawiedliwionych powodów (zwolnienie lekarskie), mogą napisać to kolokwium w dodatkowym terminie, wyznaczonym przez prowadzącego zajęcia przed pierwszym terminem egzaminu.
Literatura Sprawy organizacyjne Podręczniki obowiązkowe J. Kłopotowski, W. Marcinkowska-Lewandowska, M. Nykowska, I. Nykowski, Matematyka dla ekonomicznych studiów zaocznych i wieczorowych, Szkoła Główna Handlowa w Warszawie M. Dędys, S. Dorosiewicz, M. Ekes, J. Kłopotowski Matematyka. e-book, Szkoła Główna Handlowa, platforma e-learningowa
Literatura Sprawy organizacyjne Podręczniki uzupełniające W. Dubnicki Matematyka. Definicje. Twierdzenia. Zadania, Wydawnictwo DRUKPOL S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D. Kołatkowski Matematyka. Tom I, pod redakcją naukową S. Dorosiewicza, Szkoła Główna Handlowa w Warszawie J. Laszuk Matematyka. Studium podstawowe, Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Handlowej
Definicja ciągu liczbowego Definicja em liczbowym nazywamy dowolną funkcję a : N R, gdzie N = {1, 2, 3,...} jest zbiorem liczb naturalnych, a R zbiorem liczb rzeczywistych. Wartość a n = a(n) nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Ciąg oznaczamy symbolem {a n : n N}, lub krócej (a n ).
Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać:
Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać: wymieniając kilka początkowych wyrazów:
Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać: wymieniając kilka początkowych wyrazów: 1, 3, 5, 7,...
Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać: wymieniając kilka początkowych wyrazów: 1, 3, 5, 7,... podając wzór na n-ty wyraz ciągu:
Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać: wymieniając kilka początkowych wyrazów: 1, 3, 5, 7,... podając wzór na n-ty wyraz ciągu: a n = 2n 1, n N,
Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać: wymieniając kilka początkowych wyrazów: 1, 3, 5, 7,... podając wzór na n-ty wyraz ciągu: a n = 2n 1, n N, podając zależność rekurencyjną (tzn. odpowiednią liczbę początkowych wyrazów oraz ogólną zależność między wyrazem tego ciągu, a wyrazami go poprzedzającymi):
Przykład Ciąg naturalnych liczb nieparzystych możemy opisać: wymieniając kilka początkowych wyrazów: 1, 3, 5, 7,... podając wzór na n-ty wyraz ciągu: a n = 2n 1, n N, podając zależność rekurencyjną (tzn. odpowiednią liczbę początkowych wyrazów oraz ogólną zależność między wyrazem tego ciągu, a wyrazami go poprzedzającymi): a 1 = 1, a n+1 = a n + 2 dla n 1.
Przykład Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej, to kapitał końcowy K n wyraża się wzorem:
Przykład Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej, to kapitał końcowy K n wyraża się wzorem: K n = K(1 + p 100 )n
Definicja Mówimy, że (a n ) jest ciągiem rosnącym
Definicja Mówimy, że (a n ) jest ciągiem rosnącym a n+1 > a n n N
Definicja Mówimy, że (a n ) jest ciągiem rosnącym a n+1 > a n (a n+1 a n > 0), n N
Definicja Mówimy, że (a n ) jest ciągiem rosnącym a n+1 > a n (a n+1 a n > 0), n N niemalejącym n N a n+1 a n, malejącym n N a n+1 < a n, nierosnącym n N a n+1 a n, stałym n N a n+1 = a n, Ciąg mający jedną z wymienionych własności nazywamy ciągiem monotonicznym.
Przykład Sprawdzimy, czy ciąg o wyrazie ogólnym a n = 2n n! jest ciągiem monotonicznym. W tym celu zbadamy znak wyrażenia dla n N. a n+1 a n
Definicja Mówimy, że ciąg (a n ) jest ograniczony z góry
Definicja Mówimy, że ciąg (a n ) jest ograniczony z góry M R n N a n M,
Definicja Mówimy, że ciąg (a n ) jest ograniczony z góry a n M, M R n N ograniczony z dołu a n m, m R n N ograniczony m a n M. m,m R n N
Przykład Zbadamy, czy ciąg a n = 2n n! jest ograniczony.
Definicja Mówimy, że liczba g R jest granicą (właściwą) ciągu (a n ), jeśli a n g < ε ε>0 N ε N n>n ε i piszemy lim n a n = g lub a n n g lub a n g.
Definicja Mówimy, że liczba g R jest granicą (właściwą) ciągu (a n ), jeśli a n g < ε ε>0 N ε N n>n ε i piszemy lim a n = g lub a n g lub a n g. n n Jeśli (a n ) ma granicę g R, to mówimy, że jest zbieżny do g. Jeśli nie ma granicy (właściwej), mówimy, że jest rozbieżny.
Przykład Pokażemy z definicji, że lim n n 2 n = 1.
Przykład Pokażemy, że ciąg a n = ( 1) n nie ma granicy.
Twierdzenie Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.
Twierdzenie Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę. Twierdzenie Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Twierdzenie Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę. Twierdzenie Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Twierdzenie Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Twierdzenie (własności granic właściwych) Jeśli lim a n = a oraz lim b n = b, gdzie a, b R, n n to lim (a n ± b n ) = a ± b, n lim a nb n = ab, n a n lim = a n b n b, gdy b 0 i b n 0, lim a n = a. n
Twierdzenie (granice wybranych ciągów) a > 0 = lim n a = 1, n n n = 1, lim n lim n an = 0 a < 1, lim a n = a b > 0 = lim n b a n = b a n a n > 0 lim a n = a a > 0 = n n N lim (a n) α = a α n
Definicja Mówimy, że ciąg (a n ) ma granicę niewłaściwą + (odp. ), jeśli a n > M (odp. a n < M) M R N M N n>n M i piszemy lim a n = + (odp. ) n lub a n + (odp. ) n lub a n + (odp. ). Jeśli (a n ) ma granicę niewłaściwą + (odp. ) to mówimy, że jest rozbieżny do + (odp. ).
Przykład Wykażemy, że ciąg o wyrazie ogólnym a n = 3n 4 jest rozbieżny do.
Przykład Wykażemy, że ciąg o wyrazie ogólnym a n = 3n 4 jest rozbieżny do. Przykład Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ) o różnicy r R.
Przykład Wykażemy, że ciąg o wyrazie ogólnym a n = 3n 4 jest rozbieżny do. Przykład Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ) o różnicy r R. Jeśli r > 0, to a n. Jeśli r < 0, to a n.
Twierdzenie (własności granic niewłaściwych) Niech (a n ) i (b n ) będą ciągami liczbowymi. Jeśli a n i b n, to a n + b n, a n b n ; jeśli a n i b n, to a n + b n, a n b n ; jeśli a n i b n, to a n b n, b n a n, a n b n ; jeśli a n a, gdzie a R i b n ±, to a a n + b n ±, n b n 0; jeśli a n a, gdzie a > 0 i b n ±, to a n b n ± ; jeśli a n a, gdzie a < 0 i b n ±, to
Skrótowy zapis + =, =, + ( ) =, ( ) ( ) =, ( ) =, ( ) =, ( ) =, a a + (± ) = ±, ± = 0, 5 (± ) = ±, 1 2 (± ) =.
Przykład (y) n n lim n 2n 1 =
Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] = 2 1
Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] [ 1 = = 2 1 ]
Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] [ 1 = = 0 2 1 ]
Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] [ 1 = = 0 2 1 ] Przykład )(3 lim n 17) = n 2(3 17n
Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] [ 1 = = 0 2 1 ] Przykład )(3 lim n 17) = [2 (3 )( 17) ] = n 2(3 17n
Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] [ 1 = = 0 2 1 ] Przykład )(3 lim n 17) = [2 (3 )( 17) ] = [2 ( ) ] = n 2(3 17n
Przykład (y) n n [ lim n 2n 1 = 1 ] [ 1 = = 0 2 1 ] Przykład lim n 2(3 17n )(3 n 17) = [2 (3 )( 17) ] = [2 ( ) ] = [2 ] = 0.
Twierdzenie (o trzech ciągach) Jeśli zachodzą warunki c n a n b n, n>n 0 lim c n = lim b n = g, n n to lim a n = g. n
Przykład Obliczymy granice i cos( nπ) lim n n lim n n 2n + 3 n + 5 n.
Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0]
Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0] a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, a n b n =
Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0] a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, a n b n = 1 1,
Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0] a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, a n b n = 1 1, a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, 2 a n b n =
Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0] a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, a n b n = 1 1, a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, 2 = n +, a n b n
Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0] a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, a n b n = 1 1, a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, 2 = n +, a n b n a n = ( 1)n n 0, b n = 1 n 0, a n b n =
Symbole (wyrażenia) nieoznaczone Przykład (symbol [ 0 0] ) a [ n 0 a n 0, b n 0, =? b n 0] a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, a n b n = 1 1, a n = 1 n 0, b n = 1 n 0, 2 = n +, [ 0 0 a n = ( 1)n n 0, b n = 1 n 0, a n b n = ( 1) n - granica nie istnieje. ] nazywamy symbolem nieoznaczonym. a n b n
Symbole (wyrażenia) nieoznaczone [ ] [ + ] [ 0 0] [ ± ] ± [0 (± )] [1 ± ] [ 0 ] [0 0 ]
Przykład (y) Sprawy organizacyjne
Przykład (ważny!) Rozważmy ciąg o wyrazie ogólnym a n = ( 1 + 1 n) n.
Przykład (ważny!) Rozważmy ciąg o wyrazie ogólnym a n = ( 1 + 1 n) n. Pokażemy, że (a n ) jest monotoniczny i ograniczony (a więc zbieżny).
Przykład (c.d.) monotoniczność a n = ( 1 + 1 n) n =
Przykład (c.d.) monotoniczność a n = ( 1 + 1 n) n = = ( n 0)( 1 n) 0 + ( n 1)( 1 n) 1 + ( n 2)( 1 n) 2 +... + ( n n)( 1 n) n =
Przykład (c.d.) monotoniczność a n = ( 1 + 1 n) n = = ( n 1 0 ( 0)( n) + n 1 1 ( 1)( n) + n 1 2 ( 2)( n) +... + n 1 n n)( n) = = 1 + n 1 n + n(n 1) 1 1 2! n +... + n! 2 n! 1 n = n
Przykład (c.d.) monotoniczność a n = ( 1 + 1 n) n = = ( n 1 0 ( 0)( n) + n 1 1 ( 1)( n) + n 1 2 ( 2)( n) +... + n 1 n n)( n) = = 1 + n 1 n + n(n 1) 1 1 2! n +... + n! 2 n! 1 n = n = 1 + 1 + 1 1 n 2! +... + (1 1 n )...(1 n 1 n ) n!,
Przykład (c.d.) a n+1 = ( 1 + 1 n+1) n+1 =
Przykład (c.d.) a n+1 = ( 1 + n+1) 1 n+1 = = ( )( n+1 1 ) 0 ( 0 n+1 + n+1 )( 1 1 ( n+1 )( 1 ) n ( n n+1 + n+1 )( 1 n+1 n+1 n+1 n+1) = ) 1 ( + n+1 )( 1 2 2 n+1) +... +
Przykład (c.d.) a n+1 = ( 1 + n+1) 1 n+1 = = ( )( n+1 1 ) 0 ( 0 n+1 + n+1 )( 1 1 ( n+1 )( 1 ) n ( n n+1 + n+1 )( 1 n+1 n+1 n+1 n+1) = ) 1 ( + n+1 )( 1 2 2 n+1) +... + 1 1+(n +1) (n+1) + (n+1)n 1 1 2! +...+ (n+1)! (n+1) 2 (n+1)! 1 (n+1) = n+1
Przykład (c.d.) a n+1 = ( 1 + n+1) 1 n+1 = = ( )( n+1 1 ) 0 ( 0 n+1 + n+1 )( 1 1 ( n+1 )( 1 ) n ( n n+1 + n+1 )( 1 n+1 n+1 n+1 n+1) = ) 1 ( + n+1 )( 1 2 2 n+1) +... + 1 1+(n +1) (n+1) + (n+1)n 1 1 2! +...+ (n+1)! (n+1) 2 (n+1)! 1 (n+1) = n+1 1 + 1 + 1 1 n+1 2! +... + (1 1 n+1 n 1 )...(1 n+1 ) n! + (1 1 n+1 )...(1 n n+1 ) (n+1)!.
Przykład (c.d.) a n = 1 + 1 + 1 1 n 2! +... + (1 1 n a n+1 = 1 + 1 + 1 1 n+1 2! +... + (1 1 n+1 )...(1 n 1 n ) n!, n 1 )...(1 n+1 ) n! + (1 1 n+1 )...(1 n n+1 ) (n+1)!.
Przykład (c.d.) a n = 1 + 1 + 1 1 n 2! +... + (1 1 n a n+1 = 1 + 1 + 1 1 n+1 2! +... + (1 1 n+1 )...(1 n 1 n ) n!, n 1 )...(1 n+1 ) n! + (1 1 Porównując kolejne wyrazy sum otrzymujemy a n a n+1. n+1 )...(1 n n+1 ) (n+1)!.
Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: Sprawy organizacyjne
Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: ciąg (a n ) jest niemalejący, a więc a n a 1 = 2 dla każdego n N,
Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: ciąg (a n ) jest niemalejący, a więc a n a 1 = 2 dla każdego n N, z góry:
Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: ciąg (a n ) jest niemalejący, a więc a n a 1 = 2 dla każdego n N, z góry: a n = 1 + 1 + 1 1 n 2! +... + (1 1 n )...(1 n 1 n ) n!
Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: ciąg (a n ) jest niemalejący, a więc a n a 1 = 2 dla każdego n N, z góry: a n = 1 + 1 + 1 1 n 2! +... + (1 1 n )...(1 n 1 n ) n! 1 + 1 + 1 2! + 1 3! +... + 1 n!
Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: ciąg (a n ) jest niemalejący, a więc a n a 1 = 2 dla każdego n N, z góry: a n = 1 + 1 + 1 1 n 2! +... + (1 1 n )...(1 n 1 n ) n! 1 + 1 + 1 2! + 1 3! +... + 1 n! 1 + 1 + 1 2 1 + 1 2 2 +... + 1 2 n 1 =
Przykład (c.d.) ograniczoność z dołu: ciąg (a n ) jest niemalejący, a więc a n a 1 = 2 dla każdego n N, z góry: a n = 1 + 1 + 1 1 n 2! +... + (1 1 n )...(1 n 1 n ) n! 1 + 1 + 1 2! + 1 3! +... + 1 n! 1 + 1 + 1 2 1 + 1 2 2 +... + 1 2 n 1 = = 1 + 1 ( 1 2 )n 1 1 2 1 + 1 1 1 2 = 3.
Definicja Granicę ciągu ( 1 + 1 n) n nazywamy liczbą Eulera i oznaczamy literą e lim n ( 1) n 1 + = e = 2.7182818... n
Definicja Granicę ciągu ( 1 + 1 n) n nazywamy liczbą Eulera i oznaczamy literą e lim n ( 1) n 1 + = e = 2.7182818... n Liczba e jest podstawą logarytmu naturalnego: ln x log e x.
Twierdzenie Jeżeli lim n a n = lub lim n a n =, to ( 1 ) an lim 1 + = e. n a n
Przykład (y) Sprawy organizacyjne