Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z10A, 1 7. Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Twierdzenia o rozpadzie linii przenikania W zastosowaniach technicznych interesujc ace s a przypadki, w których linia przenikania dwu powierzchni stopnia drugiego rozpada siȩ na dwie krzywe stopnia drugiego czyli dwie stożkowe. Mówi a o tym dwa nastȩpuj ace twierdzenia. Rys. Z10A-1: Za lożenia do zadania 1: Znaleźć cień do wnȩtrza naczynia kulistego przy oświetleniu: a) środkowym; b) równoleg lym Twierdzenie 1 Jeżeli linia przenikania dwu powierzchni stopnia drugiego rozpada siȩ na dwie czȩści i jedna nich jest stożkow a, to i druga jest stożkow a. Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok
2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A Rys. Z10A-02: Za lożenia do zadania 1: Znaleźć cień do wnȩtrza naczynia stożkowego przy oświetleniu: a) środkowym; b) równoleg lym (cdn) Rys. Z10A-02: Cień do wnȩtrza naczynia stożkowego przy oświetleniu równoleg lym: b1 b2) znajdujemy rzut (cień) górnej krawȩdzi (okrȩgu) na dno naczynia (cdn) Twierdzenie 2 Linia przenikania dwu powierzchni stopnia drugiego opisanych na wspólnej sferze rozpada siȩ na dwie stożkowe. Korzystaj ac z tego twierdzenia rozwi ażemy nastȩpuj ace zadanie.
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A 3 Rys. Z10A-02: Cień do wnȩtrza naczynia stożkowego przy oświetleniu równoleg lym: b3) znajdujemy rzut pionowy drugiej czȩści linii przenikania (przek atna trapezu utowrzonego przez tworz ace konturowe); b4) znajdujemy rzuty poziome końców jednej z osi elipsy oraz rzut pionowy drugiej osi (punkt - środek odcinka) (cdn) Rys. Z10A-02: Cień do wnȩtrza naczynia stożkowego przy oświetleniu równoleg lym: b5) znajdujemy rzut poziomy drugiej osi elipsy (za pośrednictwem przekroju poprzecznego stożka - okrȩgu o promieniu r); b6) konstruujemy elipsȩ (metod a siatkow a) (cdn) Zadanie 1 Wykreślić cień rzucowny do wnȩtrza naczynia kulistego (stożkowego) przy oświetleniu punktowym i równoleg lym (rys. Z10A-02).
4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A Rys. Z10A-02: Cień do wnȩtrza naczynia stożkowego przy oświetleniu równoleg lym: b7) zaznaczamy kontur cienia do wnȩtrza naczynia w rzucie poziomym; b8) kreskujemy cień do wnȩtrza naczynia (cdn) Rozwi azanie zadania 1. Rozważmy zbiór bȩd acy sum a wszystkich promieni świetlnych przechodz acych przez okr ag krawȩdzi górnej naczynia, czyli powierzchni walcowej. Powierzchnia ta jest powierzchni a stopnia drugiego (walcem nieobrotowym). Wraz z powierzchni a stożka obrotowego, który tworzy naczynie, przenikaj a siȩ w okrȩgu. Zgodnie z twierdzeniem 1 druga czȩść linii przenikania jest stożkow a. Ponieważ jedn a z powierzchni jest walec, musi to być elipsa. Najpierw znajdujemy cień krawȩdzi naczynia na jego dno. Jest to fragment okrȩgu (rys. Z10A-2b1). Przed lużamy tworz ace konturowe powierzchni walca świetlnego i powierzchni stożka (naczynia), by wyznaczyć rzut pionowy drugiej stożkowej (rys. Z10A- 2b2). Jest to druga z przek atnych trapezu (rys. Z10A-2b3). Przek atna ta jest równocześnie rzutem pionowym jednej z osi elipsy przekroju, a jej środek jest rzutem pionowym drugiej osi. Znajdujemy rzut poziomy tej osi (rys. Z10A-2b4). W celu znalezienia drugiej osi (w rzucie poziomym) przez środek przek atnej w rzucie pionowym prowadzimy p laszczyznȩ poziom a, by w przekroju otrzymać okr ag (o promieniu r) (rys. Z10A-2b5). Na okrȩgu tym leż a końce drugiej osi elipsy. Znajdujemy je w rzucie poziomym. Konstruujemy elipsȩ metod a siatkow a (rys. Z10A-2b6). Zaznaczamy grub a lini a (rys. Z10A-2b7) i kreskujemy (rys. Z10A-2b8). Zadanie 2 Wykreślić liniȩ przenikania powierzchni stożka obrotowego z walcem obrotowym opiosanymi na wsplnej sferze (rys. Z10A-03). Rozwi azanie zadania 2. Niech dane bȩd a stożek obrotowy i walec, opisane na wspólnej sferze (rys. Z10A-03a). W rzucie pionowym tworz ace konturowe obu powierzchni s a styczne do okrȩgu bȩd acego rzutem sfery. Wszystkiej trzy ustawione s a wzglȩdem rzutni tak, że p laszczyzna symetrii obu powierzchni opisanych na sferze jest równoleg la do rzutni pionowej. St ad linia przenikania rozpadaj aca siȩ, na podstawie twierdzenia 2, na dwie krzywe p laskie (stożkowe) rzutuje siȩ na dwa przecinaj ace siȩ odcinki (rys. Z10A-03a1). Ponieważ jedn a z powierzchni jest walec, krzywymi rozpadu lini przenikania s a elipsy, których rzuty pionowe
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A 5 Rys. Z10A-03: Konstrukcja linii przenikania stożka z walcem opisanych na wspólnej sferze: a) w rzucie pionowym tworz ace konturowe s a styczne do sfery; a1) linie przenikania s a przek atnymi trapezu utworzonego przez tworz ace konturowe (cdn) Rys. Z10A-03: Konstrukcja linii przenikania stożka z walcem opisanych na wspólnej sferze: a2) przek atne trapezu s a równocześnie rzutami pionowymi osi elips. Znajdujemy rzut poziomy osi jednej elipsy, nastȩpnie rzut poziomy drugiej pamiȩtaj ac, że jej rzutem pionowym jest punkt; a3) znajdujemy rzuty obu osi drugiej elipsy (cdn) s a przek atnymi trapezu utworzonego przez tworz ace konturowe (rys. Z10A-03a1). Przek atne trapezu s a równocześnie rzutami pionowymi osi elips. Środki tych odcinków stanowi a rzuty pozosta lych osi elips. Znajdujemy rzut poziomy osi jednej elipsy (rys. Z10A-03a2), nastȩpnie rzut poziomy drugiej (rys. Z10A-03a2) pamiȩtaj ac, że jej rzutem pionowym tej drugiej jest
6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A Rys. Z10A-03: Konstrukcja linii przenikania stożka z walcem opisanych na wspólnej sferze: a4) w rzucie pionowym znajdujemy punkty wspólne obu elips - punkt przeciȩcia siȩ przek atnych czworok ata, prowadzimy przez niego p laszczyznȩ poziom a sieczn a i wyznaczamy promień r okrȩgu przekroju; a5) konstruujemy rzut poziomy okrȩgu przekroju i na odnosz acych znajdujemy rzuty poziome punktów wspólnych obu elips (w rzucie pionowym zaznaczono k lad tego okrȩgu) (cdn) Rys. Z10A-03: Konstrukcja linii przenikania stożka z walcem opisanych na wspólnej sferze: a6) stosuj ac konstrukcjȩ siatkow a rysujemy obie elipsy; a7) zaznaczamy widoczność punkt. Nastȩpnie znajdujemy rzuty obu osi drugiej elipsy (rys. Z10A-03a3). Drugie osie elips latwo siȩ wyznaczaj a, gdyż ich końce (w rzucie poziomym) leż a na tworz acych konturowych walca. Pozostaje jeszcze znaleźć punkty wspólne obu elips. W rzucie pionowym pokrywaj a siȩ one z punktem przeciȩcia przek atnych trapezu. Dlatego też przez punkty te (w rzucie
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A 7 przez punkt ten) prowadzimy p laszczyznȩ poziom a i wyznaczamy okr ag przekroju (wcześniej jego promień) (rys. Z10A-03a4). Znajdujemy rzut poziomy tego okrȩgu i punkty wspólne elips w rzucie poziomym (rys. Z10A-03a5). Także dla jasności konstruujemy k lad okrȩgu w rzucie pionowym. Konstruujemy w zrucie poziomym elipsy przenikania metod a siatkow a (rys. Z10A-03a6). Uwzglȩdniamy widoczność elips (rys. Z10A-03a7), pamiȩtaj ac że na stożku widoczne s a wszystkie punkty zaś na walcu wszystkie punkty po lożone powyżej tworz acych konturowych w rzucie poziomym. Rys. Z10A-04: