Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
. Elementy rachunku prawdopodobieństwa.. Kombinatoryka Permutacje bez powtórzeń Niech A = {a,..., a n }. Permutacją bez powtórzeń n-elementowego zbioru A (lub permutacją bez powtórzeń n różnych elementów) nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg, w którym każdy element zbioru A występuje dokładnie jeden raz. Liczba wszystkich możliwych permutacji bez powtórzeń n-elementowego zbioru wynosi: Wariacje bez powtórzeń P n = n! Niech A = {a,..., a n }. Każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z k różnych elementów zbioru A (k n) nazywamy k-wyrazową wariacją bez powtórzeń z n-elementowego zbioru A. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń n-elementowego zbioru wyraża się wzorem: Wariacje z powtórzeniami V k n = n! = n(n ) (n k + ) (n k)! Niech A = {a,..., a n }. Każdy k-wyrazowy ciąg (mogących się powtarzać) elementów zbioru A (k n) nazywamy k-wyrazową wariacją z powtórzeniami z n-elementowego zbioru A. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami n-elementowego zbioru wyraża się wzorem: Kombinacje W k n = n k Niech A = {a,..., a n }. Każdy k-elementowy (k n) podzbiór zbioru A nazywamy k-elementową kombinacją n-elementowego zbioru A. Liczba wszystkich k-elementowych kombinacji n-elementowego zbioru wyraża się równością: Trójkąt Pascala C k n = ( ) n = k n! k!(n k)! 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6 7 35 35 7 ( 0 ( 0) ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ( 0 ) 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 0 3) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ( 0 3 4) 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 0 3 4 5) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ( 0 3 4 5 6) 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 0 3 4 5 6 7) 60
Dwumian Newtona (a + b) n = (a b) n = n k=0 n k=0 ( ) n a k b n k k ) ( ) k ( n k a k b n k.. Przestrzeń zdarzeń elementarnych i σ-ciało zdarzeń Niech A będzie doświadczeniem (eksperymentem lub obserwacją). Doświadczenie A nazywamy losowym, jeżeli pomimo sprecyzowania warunków, w których jest ono realizowane nie jesteśmy w stanie przewidzieć jego wyniku. W każdym doświadczeniu losowym możemy wyróżnić najprostsze, nierozkładalne zdarzenia (wyniki doświadczenia). Zdarzenia te nazywamy elementarnymi. Zdarzenie elementarne w rachunku prawdopodobieństwa jest pojęciem pierwotnym. Zdarzenia elementarne mają następujące własności: dane zdarzenie elementarne może zajść lub nie zajść; jedno ze zdarzeń elementarnych na pewno zajdzie; zajście jednego zdarzenia elementarnego wyklucza zajście innego zdarzenia (w tym samym doświadczeniu). Z każdym doświadczeniem losowym związany jest zbiór odpowiadających mu zdarzeń elementarnych, który nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy przez Ω. Przestrzeń Ω może być zbiorem skończonym, przeliczalnym albo nieprzeliczalnym. Przykład.. Dla rzutu monetą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {O, R}, dla rzutu kostką do gry Ω = {,, 3, 4, 5, 6}. W zagadnieniach praktycznych najczęściej interesujące są nie pojedyncze zdarzenia elementarne rozpatrywanego doświadczenia A, lecz ich zbiory, czyli podzbiory przestrzeni Ω. Każdy taki podzbiór, gdy przestrzeń Ω jest skończona albo przeliczalna, nazywamy zdarzeniem losowym. Gdy przestrzeń Ω jest nieprzeliczalna, wtedy z różnych względów nie każdy jej podzbiór przyjmuje się jako zdarzenie losowe. Spośród wszystkich jej podzbiorów wyróżnia się pewną klasę Σ podzbiorów zwaną σ-ciałem zdarzeń i tylko elementy tej klasy nazywamy zdarzeniami losowymi. Definicja.. σ-ciałem zdarzeń przestrzeni Ω nazywamy klasę (rodzinę) Σ jej podzbiorów spełniającą następujące warunki: ) Ω Σ, Ω; ) A Σ Ω\A Σ; 3) A, A,..., A n,... Σ n= A n Σ. W przypadku, gdy przestrzeń Ω jest skończona lub przeliczalna, wówczas Σ = P(Ω), gdzie P(Ω) = {A : A Ω}. Przykład.3. Dla rzutu monetą Σ = {, {O}, {R}, Ω }. Dla rzutu symetryczną kostką do gry 6
Σ = {, {}, {}, {3}, {4}, {5}, {6}, {, }, {, 3}, {, 4}, {, 5}, {, 6}, {, 3}, {, 4}, {, 5}, {, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {,, 3}, {,, 4}, {,, 5}, {,, 6}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 3, 6}, {, 4, 5}, {, 4, 6}, {, 5, 6}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 3, 6}, {, 4, 5}, {, 4, 6}, {, 5, 6}, {3, 4, 5}, {3, 4, 6}, {3, 5, 6}, {4, 5, 6}, {,, 3, 4}, {,, 3, 5}, {,, 3, 6}, {,, 4, 5}, {,, 4, 6}, {,, 5, 6}, {, 3, 4, 5}, {, 3, 4, 6}, {, 3, 5, 6}, {, 4, 5, 6}, {, 3, 4, 5}, {, 3, 4, 6}, {, 3, 5, 6}, {, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}, {,, 3, 4, 5}, {,, 3, 4, 6}, {,, 3, 5, 6}, {,, 4, 5, 6}, {, 3, 4, 5, 6}, {, 3, 4, 5, 6}, Ω }. Na zdarzeniach wykonuje się analogiczne działania jak na zbiorach. Zbiór Ω nazywamy zdarzeniem pewnym, natomiast zbiór zdarzeniem niemożliwym. Niech A, B Σ, wówczas: A B = {ω Σ : ω A ω B} nazywamy alternatywą (sumą) zdarzeń A, B; A B = {ω Σ : ω A ω B} nazywamy koniunkcją (iloczynem) zdarzeń A, B; A \ B = {ω Σ : ω A ω / B} nazywamy różnicą zdarzeń A, B; A = Ω \ A lub A = Ω \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A; Jeżeli A B, to mówimy, że zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B..3. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przypuśćmy, że liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa n (n < ). Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo możliwe, to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest ilorazem zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu i liczby wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli: P (A) = k n, gdzie k liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa odznacza się szczególną prostotą i jest intuicyjnie zrozumiała. Pomimo tych zalet nie może ona służyć do obliczania prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia losowego. Wadami tej definicji są: błąd idem per idem w definicji użyte jest słowo definiowane; mówiąc o zdarzeniach jednakowo możliwych mamy na myśli zdarzenia jednakowo prawdopodobne; przestrzeń zdarzeń elementarnych i zbiór zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A muszą być zbiorami skończonymi, co nie zawsze ma miejsce w praktyce; przestrzeń zdarzeń elementarnych i zbiór zdarzeń elementarnych muszą być znane..4. Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Załóżmy, że przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = [a, b], a interesujące nas zdarzenie polega na losowym wyborze punktu ze zbioru [c, d] Ω. Losowość wyboru oznacza, że wybory punktów z różnych części odcinka Ω są jednakowo możliwe. Prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczymy wówczas ze wzoru: P (A) = d c b a. Ogólnie możemy stwierdzić, że jeśli przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem o znanej mierze (długości, polu, objętości), to prawdopodobieństwa losowego wyboru punktu ze zbioru A Ω jest ilorazem miar: P (A) = m(a) m(ω). Prawdopodobieństwo określone przez powyższy wzór nazywamy prawdopodobieństwem geometrycznym. 6
.5. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Niech Ω przestrzeń zdarzeń elementarnych, Σ σ-algebra zdarzeń na Ω. Funkcję P : Σ R + nazywamy funkcją prawdopodobieństwa, jeśli spełnia następujące warunki: ) P (Ω) = ; ) Jeżeli A, A,..., A n,... Σ, A i A j = dla dowolnych i, j N (i j), to: Własności prawdopodobieństwa:. P ( ) = 0;. A, B Σ, A B P (A) P (B); 3. A, B Σ, A B P (B \ A) = P (B) P (A); 4. P (A) + P (A ) = ; ( ) P A n = P (A n ). n= n= 5. A, B Σ, P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Definicja.4. Trójkę (Ω, Σ, P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną..6. Schemat Bernoulliego Wykonujemy n niezależnych doświadczeń, czyli takich, że przebieg każdego z nich nie zależy od przebiegu innych i od kolejności, w jakiej doświadczenia te wykonujemy. Przy każdym z tych doświadczeń możemy uzyskać wynik pomyślny, czyli sukces, albo wynik niepomyślny, czyli porażkę. Niech prawdopodobieństwo sukcesu dla każdego z tych doświadczeń będzie równe p, a prawdopodobieństwo porażki q = p. Wówczas prawdopodobieństwo, że w liczbie n niezależnych doświadczeń otrzymamy k sukcesów wyraża się wzorem: P n (k) = ( ) n p k q n k. k Wzór ten nazywamy wzorem Bernoulliego, a opisany powyżej schemat schematem Bernoulliego..7. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Definicja.5. Jeśli B Σ, P (B) > 0, to prawdopodobieństwem warunkowym pod warunkiem B dowolnego zdarzenia A Σ nazywamy liczbę P (A B) określoną następującą równością: P (A B) = P (A B). P (B) Definicja.6. Mówimy, że zdarzenia A, B Σ są niezależne, gdy P (A B) = P (A)P (B)..8. Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa Twierdzenie.7 (wzór na prawdopodobieństwo całkowite). Jeżeli (Ω, Σ, P ) jest przestrzenią probabilistyczną oraz A,..., A n Σ spełniają warunki: (a) P (A i ) > 0 dla dowolnego i =,..., n, 63
(b) A i A j = dla dowolnych i, j =,..., n, i j, n (c) A i = Ω, i= to dla każdego B Σ zachodzi równość: n P (B) = P (B A i )P (A i ). i= Twierdzenie.8 (wzór Bayesa). Jeżeli B jest dowolnym zdarzeniem o prawdopodobieństwie dodatnim, tzn. P (B) > 0, zdarzenia A,..., A n zaś spełniają warunki (a) (c) z twierdzenia.7, to dla dowolnego k =,..., n zachodzi równość: P (A k B) = P (B A k)p (A k ) P (B) = P (B A k)p (A k ). n P (B A i )P (A i ) i=.9. Zadania. Egzaminator przygotował 0 pytań, z których zdający losuje 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń dobrze odpowie na 3 pytania, jeżeli umie odpowiedzieć na połowę pytań?. Z urny, w której jest 3 kul białych i 7 czarnych losujemy kule: a) ze zwrotem, b) bez zwrotu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obie kule będą białe. 3. Z grupy studenckiej liczącej 30 osób, w tym 0 chłopców wybrano delegację złożoną z 5 osób, przy czym rozważano różne możliwości liczby chłopców i dziewcząt w delegacji, w każdym razie liczby różne od zera. Obliczyć prawdopodobieństwo, że do delegacji będą wybrane najwyżej 3 dziewczyny. 4. Z talii złożonej z 5 kart losujemy jedną. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest damą lub królem. 5. Rzucamy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w jednym rzucie uzyskano liczbę oczek podzielną przez trzy lub pięć? 6. Spośród liczb 5, 6, 7, 8, 9 losujemy kolejno dwie bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest nie większa od 3? 7. W przetargu bierze udział 5 firm. Prawdopodobieństwo tego, że wygra firma A jest równe 0,5, natomiast, że wygra firma B wynosi 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przetarg wygra firma A lub B? 8. Wykonujemy jeden rzut kostką sześcienną do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia polegającego na tym, że otrzymaliśmy jedno lub trzy oczka? 9. Z cyfr,,..., 9 losujemy bez zwracania trzy cyfry x, y, z i tworzymy liczbę trzycyfrową xyz. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy liczbę mniejszą od 555. 0. Na dziesięciu klockach wyrzeźbiono litery: a, a, k, s, s, t, t, t, y, y. Bawiąc się nimi dziecko układa je w rząd. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przypadkowo złoży ono słowo statystyka.. Wybieramy losowo punkt (x, y) z kwadratu [0, ] [0, ]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jego współrzędne będą spełniały nierówność y < x? 64
. Na koło o promieniu R losowo rzucono punkt. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że punkt trafi do wnętrza: a) kwadratu wpisanego w koło, b) trójkąta równobocznego wpisanego w koło. Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia punktu w daną część koła jest proporcjonalne do pola tej części i nie zależy od jej położenia w kole. 3. Na odcinku OA o długości L na osi liczbowej OX losowo wybrano punkt B. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że mniejszy z odcinków OB i BA będzie miał długość większą niż 3L. Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia punktu na odcinek jest proporcjonalne do długości odcinka i nie zależy od jego położenia na osi liczbowej OX. 4. Wewnątrz danego odcinka o długości a obieramy losowo punkty: jeden na lewo, a drugi na prawo od środka odcinka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między wybranymi punktami jest mniejsza niż 3 a? 5. Wewnątrz danego odcinka o długości a obieramy na chybił trafił dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między punktami jest mniejsza niż 3 a? 6. Parę liczb (b, c) wybrano losowo z prostokąta [0, ] [0, 4]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x + bx + c = 0 są rzeczywiste? 7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x +bx+c = 0 są rzeczywiste, jeśli liczby b i c zostały wybrane losowo z przedziału [0, ]? 8. Parę liczb (a, b) wybrano losowo z prostokąta [, ]. Obliczyć prawdopodobieństwo, że równanie ax + bx + = 0 ma: a) pierwiastki rzeczywiste, b) pierwiastki równe, c) pierwiastki rzeczywiste dodatnie. 9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt kwadratu { x <, y < } jest punktem leżącym wewnątrz okręgu x + y =? 0. Dziesięciu wyborowych strzelców celuje do lecącego samolotu. Prawdopodobieństwo trafienia samolotu dla każdego z nich jest stałe i wynosi p. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że samolot zostanie trafiony.. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie 3 razy przy rzucie 5 razy monetą symetryczną?. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A w każdym doświadczeniu jest równe 0,. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu 9 niezależnych doświadczeń zdarzenie A zajdzie 6 razy w dowolnej kolejności. 3. Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy w pojedynczym strzale wynosi 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 6 strzałów będą trafione? 4. Badania wskazują, że prawdopodobieństwo wystąpienia powikłań po zabiegu przetaczania krwi wynosi 0,. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 0 chorych powikłania pojawią się u: a) co najmniej chorego, b) co najwyżej chorego, c) od do 5 chorych? 65
5. Prawdopodobieństwo wystąpienie pewnej choroby genetycznej wynosi w pewnej populacji 0, 0 u jednego osobnika. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 5 osób chore będą: a) 4 osoby, b) co najmniej osoba, c) lub 3 osoby? 6. Na czerniaka choruje % liści klonu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 0 liści będą: a) 4 chore, b) co najmniej chore, c) co najwyżej chory? 7. Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca jest równe 0,49. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 6 noworodków będzie 4 chłopców? 8. Ile co najmniej razy należy rzucić kostką do gry, aby można było oczekiwać z prawdopodobieństwem mniejszym, niż 3, że ani raz nie wypadnie 6 oczek? 9. Małżeństwo, kobieta i mężczyzna, posiadają po jednym allelu warunkującym anemię sierpowatą i po jednym allelu normalnym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród czwórki ich dzieci: a) co najmniej będzie heterozygotami, b) żadne nie będzie homozygotą? 30. Prawdopodobieństwo wystąpienia pewnej choroby genetycznej wynosi w populacji 0, 00. Ile co najmniej osób należy wylosować z populacji, aby mieć pewność większą, niż 90%, że jest wśród nich przynajmniej jedna osoba chora? 3. Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Niech zdarzenie A polega na tym, że wypadła co najmniej jedna reszka, a zdarzenie B, że wypadły same reszki. Znaleźć P (A B) oraz P (A B). 3. W urnie znajduje się 6 kul czarnych i 4 białe. Wyciągamy losowo dwa razy po jednej kuli: a) ze zwrotem kuli do urny po pierwszym wyjęciu, b) bez zwrotu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula będzie biała, jeśli wiadomo, że pierwsza wylosowana była biała. 33. Z liczb, 3, 5, 30 losujemy jedną liczbę. Sprawdzić, czy zdarzenia: A wylosowana liczba jest podzielna przez, B wylosowana liczba jest podzielna przez 3 są niezależne. 34. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech A oznacza zdarzenie suma wyrzuconych oczek równa się 8, zaś B zdarzenie w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek. Ustalić, czy zdarzenia A i B są niezależne. 35. Z talii 5 kart wyciągamy losowo jedną. Czy zdarzenia: A wyciągnięcie asa, B wyciągnięcie karty koloru czerwonego są niezależne? 36. Prawdopodobieństwo, że cena pewnego towaru pójdzie jutro w górę wynosi 0,3, a prawdopodo- 66
bieństwo, że cena srebra pójdzie w górę wynosi 0,. Wiadomo ponadto, że w 6% przypadków obie ceny towaru i srebra idą w górę. Czy cena towaru i cena srebra są niezależne? 37. W magazynie znajdują się żarówki pochodzące z dwóch fabryk, przy czym 6% pochodzi z fabryki I. Wśród żarówek z fabryki I jest % wadliwych, a spośród żarówek z fabryki II % wadliwych. Z magazynu pobrano losowo jedną żarówkę, która okazała się wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że ta żarówka została wyprodukowana przez fabrykę II? 38. Wiadomo, że 55% mężczyzn i 70% kobiet nie zdaje egzaminu praktycznego na prawo jazdy za pierwszym razem. Wybrana losowo osoba nie zdała egzaminu. Zakładając, że liczba zdających egzamin kobiet i mężczyzn była taka sama, obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wybraną osobą jest kobieta. 39. Dane są trzy urny. W pierwszej urnie są 3 kule białe i czarna, w drugiej 4 białe i czarne, w trzeciej białe i czarne. Zakładając, że wylosowanie kuli z każdej urny jest jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana kula, która okazała się koloru białego pochodzi z urny pierwszej. 40. Firma poszukująca złóż ropy naftowej zamówiła test sejsmiczny w celu ustalenia, czy jest prawdopodobne, że w pewnym rejonie wierceń znajdują się złoża. Znana jest wiarygodność testu: jeżeli w miejscu wiercenia ropa występuje, test wskazuje to w 85% przypadków, jeżeli ropy nie ma, test omyłkowo wykazuje jej występowanie w 0% przypadków. Firma poszukująca złóż jest przekonana, że prawdopodobieństwo wystąpienia ropy w badanym terenie wynosi 0,4. Jeżeli test wykazał występowanie ropy, jakie jest prawdopodobieństwo, że w badanym terenie ropa rzeczywiście występuje? 4. W zakładzie znajdują się maszyny typu A, B, C produkujące odpowiednio 5%, 3% i % braków. Z całej masy towarowej wybieramy losowo jedną sztukę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że a) jest ona brakiem, b) pochodzi od B, jeśli nie okazała się brakiem? 4. Pewna drużyna futbolowa rozgrywa 70% meczów po południu, a 30% późnym wieczorem. Wiadomo ponadto, że wygrywa 50% meczów popołudniowych i 90% wieczornych. Drużyna wygrała mecz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mecz grany późnym wieczorem? 43. Na 00 mężczyzn pięciu, a na 000 kobiet dwie nie rozróżniają kolorów. Z grupy, w której jest 3 razy więcej mężczyzn niż kobiet wylosowano jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba a) jest daltonistą, b) jest kobietą, jeśli jest daltonistą, c) jest mężczyzną, jeśli nie jest daltonistą? 44. Na egzaminie z matematyki 40% stanowią zadania z algebry, 30% zadania z geometrii, natomiast pozostałe to zadania z rachunku prawdopodobieństwa. Wśród tych zadań łatwe stanowią odpowiednio: %, %, i 3%. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jeśli losowo wybrane zadanie jest trudne, to jest zadaniem z rachunku prawdopodobieństwa. 67