NUMERYCZNE OBLICZANIE OSOBLIWYCH CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH DLA ZAGADNIEŃ PRZESTRZENNYCH W PURC

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 896-77X 39, s. 27-224, Gliwice 200 NUMERYCZNE OBLICZANIE OSOBLIWYCH CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH DLA ZAGADNIEŃ PRZESTRZENNYCH W PURC EUGENIUSZ ZIENIUK, KRZYSZTOF SZERSZEŃ Istytut Iformatyki, Zakład Metod Numeryczyc, Uiwersytet w Białymstoku e-mail: ezieiuk@ii.uwb.edu.pl, kszersze@ii.uwb.edu.pl Streszczeie. W pracy dokoao szczeółoweo opisu sposobu umeryczeo obliczaia całek powierzciowyc w parametryczym układzie rówań całkowyc PURC). W pracy rozpatrywao całki reulare, ale łówie skocetrowao się a sposobie obliczaia całek osobliwyc. Na bazie przytoczoeo alorytmu opracowao pakiet oproramowaia, praktyczie przetestoway a zaadieiac brzeowyc związayc z wyzaczaiem pola temperatury. Przeprowadzoa aaliza dotyczyła wpływu liczby współczyików w kwadraturac a ostateczą dokładość otrzymywayc rozwiązań oraz czas obliczeiowy.. WSTĘP W realizowayc przez autorów pracac badawczyc w celu uproszczeia sposobu modelowaia obszarów w zaadieiac brzeowyc dokoao alteratyweo, w stosuku do klasyczyc metod elemetowyc, opisu kształtu przestrzeeo brzeu. W tym celu użyto szeroko stosowae w rafice komputerowe parametrycze krzywe i płaty powierzci [3]. Taki sposób modelowaia brzeu w zaadieiac brzeowyc był możliwy po wcześieszym aalityczym zmodyfikowaiu klasyczyc brzeowyc rówań całkowyc BRC). W wyiku modyfikaci otrzymae wyrażeie matematycze było w pracy [0] opublikowae pod azwą parametryczeo układu rówań całkowyc PURC). W przypadku rozwiązywaia przestrzeyc zaadień brzeowyc iezwykle istotym problemem okazało się opracowaie efektyweo i dokładeo sposobu obliczaia całek odoszącyc się łówie do dużyc płatów powierzciowyc. Całki te zostały matematyczie zdefiiowae w dwuwymiarowe płaszczyźie odwzorowaia dla czworokątyc płatów powierzciowyc. Efektywe wyzaczeie takic całek wprowadziło możliwość zastosowaia płatów parametryczyc do bezpośredieo opisu brzeu w zaadieiac przestrzeyc. Pozwoliło to a wydate uproszeie opisu brzeu, p. w porówaiu z siatką elemetów brzeowyc. W początkowym etapie badań abardzie aturalym podeściem wydawało się bezpośredie wykorzystaie zayc kwadratur umeryczeo całkowaia, stosowayc w tradycye metodzie elemetów brzeowyc MEB). Niestety dostępe w literaturze stabelaryzowae wartości współczyików waowyc dla tyc kwadratur zawieraą

28 E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ oraiczoą ic liczbę. Związae est to ze specyfiką MEB poleaącą a podziale brzeu a dużą ilość iewielkic elemetów brzeowyc. W przypadku propoowaeo sposobu modelowaia brzeu wprowadzoo mieszą liczbę płatów, ale o zdecydowaie większym polu powierzci iż w przypadku tradycyyc elemetów brzeowyc stosowayc w MEB. Stąd też bezpośredie wprowadzeie tradycyyc kwadratur umeryczeo całkowaia, o iewielkie liczbie współczyików waowyc, okazało iewystarczaące w celu uzyskaia rozwiązań z zadawalaącą dokładością. Wobec teo zacodziła koieczość wprowadzeia bardzo duże liczby współczyików waowyc w kwadraturac oraz przebadaie ic wpływu a dokładość rozwiązań i czas obliczeiowy. 2. MODELOWANIE BRZEGU PŁATAMI POWIERZCHNI W PURC W ramac prowadzoyc prac badawczyc podęto próbę modelowaia brzeu dla zaadień przestrzeyc w sposób zaczerpięty wprost z rafiki komputerowe. Mówimy tuta o możliwości wykorzystaia różeo rodzau parametryczyc płatów powierzci, iezwykle popularyc w przypadku komputerowe wizualizaci trówymiarowyc obiektów eometryczyc [3]. Jedocześie taki sposób modelowaia est szeroko wykorzystyway w proektowaiu struktur mecaiczyc w systemac CAD [6]. Realizaca takieo modelowaia est bardzo efektywa, poieważ praktyczie została sprowadzoa do zadawaia iewielkieo zbioru puktów arożyc i kotrolyc. Zadae pukty matematyczie defiiuą parametrycze płaty powierzci, w przypadku obszarów wielokątyc, ak pokazao a rys. a, są oe fizyczie puktami arożymi. W przypadku obszarów krzywoliiowyc rys.b) dodatkowo zadawae są też pukty kotrole, służące do efektyweo wykrzywiaia płatów w zależości od rzeczywisteo kształtu brzeu rozpatrywaeo zaadieia brzeoweo. a) b) Rys.. Modelowaie obszarów płatami powierzci: a) wielokąteo za pomocą 2 prostokątyc płaskic płatów Coosa i po zadaiu 7 puktów arożyc, b) krzywoliioweo za pomocą 4 płatów Béziera oraz 2 Coosa i po zadaiu 48 puktów arożyc oraz kotrolyc składowyc płatów powierzci Wykreoway a podstawie odpowiedic zestawień parametryczyc płatów powierzci przestrzey model obszaru ie est uż w żade sposób dzieloy a akiekolwiek elemety. Taki sposób modelowaia brzeu est możliwy tylko do bezpośredieo zastosowaia w zmodyfikowaym BRC, akim est PURC. Formuła PURC w przypadku problemów brzeowyc opisayc rówaiem Laplace a przedstawiaa est w astępuące postaci []

NUMERYCZNE OBLICZANIE OSOBLIWYCH CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH 29 { U v, w, v, p v, P v, w, v, u v, } J v, dvdw, 0.5u v, w ) = ) l v w l = v w < ν ν ν w < w w < w, przy czym ν, <,, l l =,2,3.... Fukce podcałkowe v, w, v, ), v, w, v, ) postaci U U l w * l P l w są przedstawiae w astępuące ν, w, ν, =, 2) 2 2 2 0. 4π [ η + η + η ] 5 l{} l{2} l{3} ηl{ } {} + ηl{2} {2} + ηl{3} {3} v,w,v,w ) =. 3) 2 2 2 5 4π [ η + η + η ] * P l. l{} l{2} l{3} Pozwalaą oe a uwzlędieie w swoim formalizmie matematyczym brzeu za pomocą płatów parametryczyc P v, η = P v, P v,, η {} = P{} v, P {} v, ), 4) l {} l{} {} l 2 l 2 2 w 2 2 2 [ ] 0. 5 l = ηl + ηl 2 ηl 3. η l{} 3 = Pl{} 3 v, P{} 3 v,, η {} {} + {} Fukca v J, est akobiaem, atomiast { }, {2}, {3} ormaleo do brzeu. są składowymi wektora 3. NUMERYCZNE OBLICZANIE CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH W PURC Rozwiązywaie zaadień brzeowyc a podstawie przedstawioyc w poprzedim pukcie modelowaiu brzeu i zamieszczoeo aparatu matematyczeo ) wymaa obliczaia poawiaącyc się całek reularyc i osobliwyc w formule PURC. Poiże przedstawioo wykorzystaą do umeryczeo całkowaia kwadraturę Gaussa-Leedre'a dla fukci dwóc zmieyc [] przy czym ξ ξ ) G G f, ξ2) dξdξ2 f, = = ξ, ξ to węzły kwadratury, ω, G ξ ω ω, 5) ω, są powiązaymi z węzłami wartościami fukci waowyc współczyikami), zaś G liczbą wprowadzoyc węzłów kwadratury. 3. Obliczaie całek reularyc Do obliczeia całek powierzciowyc zdefiiowayc a dwuwymiarowe płaszczyźie odiesieia dla płatów prostokątyc Coosa oraz Béziera zastosowao kwadratury Gaussa- Leedre'a 5). Dostępe w literaturze [2] stosowae w MEB) stabelaryzowae wartości współczyików waowyc dla tyc kwadratur w stosowaym PURC są iewystarczaące. Dlateo też w pracy wprowadzoo rekurecye procedury eerowaia dowole liczby współczyików w kwadraturze Gaussa-Leedre'a [9]. Następie a podstawie wzoru 5) obliczao całki powierzciowe dla fukci podcałkowyc odpowiedio wzorami 2, 3). U l, P l przedstawioyc

220 E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ Zodie z rrys. 2każdy z płatów powierzciowyc modeluącyc rzeczywistą część brzeu est w PURC odwzorowyway do dwuwymiarowe płaszczyzy ze zmieymi v, w, o zormalizowayc bokac o dłuości rówe ede rys. 2b), a astępie płaszczyza ta est odwzorowywaa do płaszczyzy ze zmieymi ξ,ξ 2 rys. 2a). W płaszczyźie te est zdefiiowaa stadardowa kwadratura Gaussa-Leedre'a, dla które są astępie wyliczae węzły i współczyiki waowe a podstawie wzoru rekurecyeo [9]. a) b) c) Rys. 2. Scemat całkowaia umeryczeo w PURC dla całek zdefiiowayc a płatac prostokątyc Coosa, Béziera): a) kwadratura Gaussa-Leedre'a, b) lokala prostokąta płaszczyza odwzorowaia v, w płata, c) płat powierzci Ostateczie w takim przypadku formuła ) est przekształcaa do postaci 05. u ν,w ) = l N M G G = p= 0 r = 0 = = T p ) ) * { p U,w,, ) u P l,w,, )} pr ) * l pr ν ξ ξ ν ξ ξ ξ )T r ) ξ )J ξ, ξ ) ω ω, 6) dzie est liczbą modeluącyc powierzcię brzeu płatów powierzci, N, M liczbą wprowadzoyc a każdym z płatów puktów kolokaci zastosowae do umeryczeo rozwiązaia PURC metody pseudospektrale [4], atomiast G, liczbą wprowadzoyc G węzłów dla kwadratur a każdym ze składowyc płatów powierzci. 3.2 Obliczaie całek osobliwyc W wyrażeiac podcałkowyc 2) i 3) w przypadku l = poawiaą się pukty osobliwe, dlateo też bezpośredie zastosowaie kwadratur dla całek reularyc w tym przypadku est iemożliwe. W przypadku MEB w literaturze [5] zae są astępuące strateie obliczaia całek osobliwyc dla zaadień przestrzeyc: wyzaczaie wartości tyc całek w sposób aalityczy, stosowaie kwadratur dedykowayc dla całek osobliwyc, przekształceia reularyzacye takic całek, obliczeia takic całek we współrzędyc polaryc, izolaca puktu osobliweo poprzez podział obszaru całkowaia a składowe płaszczyzy całkowaia z zastosowaiem stadardowyc kwadratur całkowaia dla całek reularyc. W celu obliczaia całek osobliwyc występuącyc w PURC zastosowao strateię aprostszą poleaącą a wydzieleiu puktu osobliweo poprzez podział lokale płaszczyzy odwzorowaia rys. 2b) a 4 płaszczyzy składowe wzlędem puktu

NUMERYCZNE OBLICZANIE OSOBLIWYCH CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH 22 osobliweo. Następie oddzielie do każde z czterec płaszczyz zastosowao sposób całkowaia omówioy w pukcie 3.. Taki sposób postępowaia est sposobem aprostszym a zarazem uiwersalym i iezależym od rodzau płata stosowaeo do modelowaia brzeu, tz. płata Coosa czy Béziera. Sposób te został raficzie zaprezetoway a rys. 3. Rys. 3. Wydzieleie puktu osobliweo dla powierzci prostokąte poprzez podział a 4 płaszczyzy składowe A, B, C, D wzlędem puktu osobliweo Zodie z rys. 3 lokalą płaszczyzę odwzorowaia ze zmieymi v, w podzieloo a 4 płaszczyzy składowe A, B, C, D, a astępie zastosowao dla każde z płaszczyz składowyc kwadratury Gaussa-Leedre'a z dużą liczbą współczyików waowyc. Wartości całek dla podobszarów A, B, C, D zostały astępie zsumowae. 4. WPŁYW LICZBY WSPÓŁCZYNNIKÓW KWADRATUR CAŁKOWANIA NA DOKŁADNOŚĆ ROZWIĄZAŃ Poiże przedstawioo wyiki przeprowadzoe aalizy wpływu liczby współczyików kwadratury całkowaia umeryczeo a dokładość rozwiązań oraz czas obliczeń. Aaliza była przeprowadzaa a bazie problemu brzeoweo dla ćwiartki obszaru cylidryczeo z otworem, pokazaym a rys. 4. Rys. 4. Kotur brzeu, waruki brzeowe oraz pukty w któryc porówywao rozwiązaia

222 E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ Dla teo przykładu zae est rozwiązaie aalitycze [8] T r) U + [ U U ) / l R / R )] l r / R ) =, 7) I O I co umożliwiło oceę dokładości uzyskayc wyików umeryczyc. Rozpatryway obszar zaadieia brzeoweo wykreowao w sposób przedstawioy uż wcześie a rys. b. Na każdym ze składowyc płatów obliczeie całek powierzciowyc zrealizowao a podstawie róże liczby w przedziale od 6 do 024) współczyików waowyc. Obliczeia całek osobliwyc zrealizowao a podstawie przedstawioe w pkt 3.2 strateii, poleaące a wydzieleiu puktu osobliweo oraz wprowadzeiu rówież zmiee liczby współczyików waowyc w kwadraturze, oddzielie stosowae do każde z czterec składowyc płaszczyz pokazayc a rys 3. Na wykresac słupkowyc rys. 5 i 6) zestawioo miarę błędów z wykorzystaiem ormy E 2 [7] dla rozwiązań umeryczyc uzyskayc w 9 puktac obszaru zazaczoyc a rys. 4 kropkami dla r = 6. 0, w porówaiu z rozwiązaiem aalityczym 7). Taką aalizę przeprowadzoo w wyiku umeryczeo rozwiązywaia PURC przy zastosowaiu 9 oraz 6 puktów kolokaci a każdym z płatów modeluącyc brze. Na rys. 5 przedstawioo wyiki uzyskae przy zastosowaiu 9 puktów kolokaci a każdym z płatów. a) O I I b) Rys. 5. Wpływ liczby wprowadzoyc współczyików kwadratury Gaussa-Leedre'a dla całek: a) reularyc, b) osobliwyc a dokładość oraz czas obliczeń

NUMERYCZNE OBLICZANIE OSOBLIWYCH CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH 223 W przypadku wykresu z rys. 5a przyęto stałą liczbę współczyików kwadratury dla całek osobliwyc rówą 024, przy zmiee liczbie wprowadzoyc współczyików kwadratury dla całek reularyc w zakresie od 6 do 024. Z kolei wyiki z rys. 5b uzyskao dla sytuaci odwrote tym razem przyęto stałą liczbę współczyików waowyc w kwadraturze dla całek reularyc rówą 024, atomiast zmieiao liczbę współczyików w kwadraturze dla całek osobliwyc, rówież w zakresie od 6 do 024. Aaloiczą aalizę przeprowadzoo przy zastosowaiu do rozwiązywaia PURC 6 puktów kolokaci a każdym z płató, zaś uzyskae wyiki zaprezetowao a rys. 6. Na rys. 6a wyiki uzyskao dla stałe liczby współczyików kwadratury dla całek osobliwyc rówe 024, atomiast a rys. 6b przy stałe liczbie współczyików waowyc w kwadraturze dla całek reularyc także rówe 024. a) b) Rys. 6. Wpływ liczby wprowadzoyc współczyików kwadratury Gaussa-Leedre'a dla całek: a) reularyc, b) osobliwyc a dokładość oraz czas obliczeń 5. WNIOSKI Na podstawie aalizy rysuków moża stwierdzić, że zaczący wpływ a dokładość rozwiązań, ma dokładość obliczeń całek osobliwyc w PURC, z kolei wzrost czasu obliczeioweo est łówie uzależioy od liczby współczyików w kwadraturze dla całek reularyc. Jest to podyktowae zaczą przewaą takic całek w PURC w porówaiu

224 E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ z całkami osobliwymi. Dlateo też w praktyczym zastosowaiu PURC wskazae est stosowaie: ze wzlędu a dokładość obliczeń duże liczby współczyików dla całek osobliwyc, atomiast ze wzlędu a czas obliczeń zastosowaie miesze liczby współczyików w przypadku obliczaia całek reularyc. Wioski te potwierdzaą też ie przykłady, które ie zostały zamieszczoe w pracy. Praca fiasowaa ze środków a aukę w latac 200-202 ako proekt badawczy. LITERATURA. Becker A.A.: Te boudary elemet metod i eieeri: a complete course. Cambride : McGraw-Hill Book Compay, 992. 2. Brebbia C.A., Telles J.C.F., Wrobel L.C.: Boudary elemet teciques: teory ad applicatios i eieeri. New York : Sprier-Verla, 984. 3. Fari G., Hoscek J., Kim M.S.: Hadbook of computer aided eometric desi. Amsterdam : Elsevier, 2002. 4. Gottlieb D., Orsza S.A.: Numerical aalysis of spectral metods: teory ad applicatios. Piladelpia : SIAM, 977. 5. Hall W.S.: Iteratio metods for siular boudary elemet iterads. Boudary Elemets X Ed. C. A. Brebbia), Vol.. Berli: Sprier-Verla, 988, p. 29-236. 6. Hoscek J., Lasser D.: Fudametals of computer aided eometric desi. AK Peters, Wellesley MA 993. 7. Mukeree S., Mukeree X.Y.: Boudary metods elemets, cotours ad odes. CRC Press 2005. 8. Provatidis C.G.: Tree-dimesioal coos macroelemets i Laplace ad acoustic problems. Computer & Structures 2005, 83, p. 572-583. 9. Stroud A.H.: Gaussia quadrature formulas. Pretice-Hall 966. 0. Zieiuk E.: A ew iteral idetity for potetial polyoal domai problems described by parametric liear fuctios. Eieeri Aalysis wit Boudary Elemets 2002, 026), p. 897-904.. Zieiuk E., Szerszeń K.: Modelowaie kształtu brzeu bikubiczymi płatami Béziera w wielospóyc potecalyc zaadieiac brzeowyc. Zesz. Nauk. Kat. Mec. Stos. Pol. Śl.2005, r 29, s. 539-545. NUMERICAL CALCULATION OF SINGULAR INTEGRALS IN 3D PROBLEMS IN THE PIES Summary. Te paper presets a detailed descriptio of computer calculati of te siular surface iterals i parametric iteral equatio systems PIES). Te problem as bee divided to te issues of iteratio o te reular ad siular iterals over parametric patces. O te basis of te cosideratios software packae was developed ad tested i practice o issues relati to te appoitmet of temperature fields. Te aalysis cocered te impact of te umber of coefficiets itroduced by umerical quadrature for reular ad siular iterals o te accuracy of solutios ad computatio time.