TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman
Wykład 2 Optymalizacja a podejmowanie decyzji Liniowe modele zadań decyzyjnych Programowanie liniowe 2
Typy problemów decyzyjnych w zarządzaniu Wybór poziomu produkcji, Problem struktury produkcji, Problem alokacji zasobów, Sterowanie zapasami, Plany inwestycji prostych i rozwojowych, Harmonogramy, Problemy transportowe, Projektowanie sieci Zadania: znaleźć rozwiązanie(a) dopuszczalne, wśród dopuszczalnych znaleźć rozwiązanie preferowane 3
Przeszkody na drodze do optimum Ograniczenia decyzyjne (brak uprawnień lub dostępu), Konieczność uwzględnienia ograniczeń fizycznych (bilanse), Brak możliwości lub wysoki koszt zmiany aktualnego stanu na optymalny, Zmiana położenia optimum szybsza niż realizacja decyzji, Nieprzewidywana zmiana położenia optimum 4
otoczenie decyzje Obiekt zarządzania rezultaty Kryteria oceny ocena 5
otoczenie Obiekt zarządzania Model obiektu rezultaty modelu optymalizacja 6
otoczenie decyzje Obiekt zarządzania Model obiektu rezultaty modelu optymalizacja 7
otoczenie decyzje Obiekt zarządzania rezultaty Model obiektu rezultaty modelu optymalizacja 8
otoczenie decyzje Obiekt zarządzania rezultaty? Model obiektu rezultaty modelu optymalizacja 9
Wieloetapowy problem optymalizacji Stan aktualny 10 Obszar dopuszczalny Obszar osiągalny ze stanu aktualnego stan pośredni optimum Obszar osiągalny ze stanu pośredniego
Przykład zadania liniowego: Zminimalizuj f = x 1 + 2x 2 funkcja celu z zachowaniem warunków x 2 x 1 + 2 2x 1 + x 2 4 ograniczenia 2x 2 + x 1 0 (obszar rozwiązań dopuszczalnych) x 2 0 x 1, x 2 zmienne decyzyjne 11
Ogólna postać programu liniowego Program liniowy w postaci rozwiniętej: I zminimalizuj c i x i i= 1 z zachowaniem warunków: a a 11 m1 x x 1 1 + a + a 12 m2 x x 2 2 + L+ a M + L+ a 1n mn x n x n b 1 b m lub w postaci macierzowej: zminimalizuj c T x z zachowaniem warunków: Ax b W zbiorze warunków mogą występować również ograniczenia ze znakiem = lub a także ograniczenia x 0 12
Postać standardowa programu liniowego Programy liniowe modelujące problemy algorytmiczne bardzo często są w następującej postaci (jest to szczególny przypadek postaci kanonicznej): zminimalizuj c T x z zachowaniem warunków: Ax b x 0 Lemat: Każdy PL można sprowadzić do postaci standardowej. 13
Postać kanoniczna PL Program w postaci kanonicznej wygląda następująco: zminimalizuj c T x z zachowaniem warunków Ax = b oraz x 0 gdzie c Rn, b R m Zauważmy, że z dokładnością do zamiany równości na pary nierówności możemy powiedzieć, że PL w postaci dopełnieniowej jest w postaci standardowej. Lemat Każdy PL można sprowadzić do postaci dopełnieniowej. 14
a 3 *x 1 +x 2 = b 3 x 2 a 2 *x 1 +x 2 = b 2 x1 +x 2 = b 1 c 1 x 1 +c 2 x 2 x 1 15
a 3 *x 1 +x 2 = b 3 x 2 a 2 *x 1 +x 2 = b 2 x1 +x 2 = b 1 c 1 x 1 +c 2 x 2 x 1 16
a 3 *x 1 +x 2 = b 3 x 2 a 2 *x 1 +x 2 = b 2 x1 +x 2 = b 1 c 1 x 1 +c 2 x 2 x 1 17
x 1 +x 2 b 1 a 2 x 1 +x 2 b 2 a 3 x 1 +x 2 b 3 x 1 +x 2 s 1 = b 1 a 2 x 1 +x 2 s 2 = b 2 a 3 x 1 +x 2 s 3 = b 3 18
Rozwiązywanie programów liniowych - Metoda sympleksów Sympleksem n-wymiarowym o n+1 wierzchołkach będących punktami przestrzeni liniowej n wymiarowej nazywamy najmniejszy zbiór wypukły zawierający te punkty, o ile wymiar tego zbioru wynosi n. Metoda sympleksów jest podstawową metoda obliczeniowa w optymalizacji liniowej. Mimo teoretycznie odstraszajacej złożoności obliczeniowej (dla n=20 i m=10, rozwiązań bazowych może być 184 756), w praktyce jest to metoda najszybsza i obecnie dysponujemy jej wygodnymi implementacjami komputerowymi. 19
Zadanie prymalne i dualne Dla każdego programu liniowego można sformułować odpowiadający mu (sprzężony) program liniowy dualny. Cechy wiążące oba programy: - Minimalizacji funkcji celu jednego z nich odpowiada maksymalizacja funkcji celu drugiego, - Każdemu ograniczeniu nierównościowemu jednego z nich odpowiada zmienna decyzyjna drugiego, - Każdej zmiennej decyzyjnej jednego z nich odpowiada ograniczenie w drugim. - Wagi funkcji celu jednego z nich są wyrazami wolnymi w ograniczeniach drugiego - Macierz współczynników jednego jest transpozycją macierzy drugiego. Ogólnie można w sferze ekonomii interpretować takie pary programów jako rozważania decyzji w dziedzinie materialnej surowców i produktów z jednej strony i dziedzinie cen i produktywności z drugiej. 20
c T x max ZP z zachowaniem warunków: Ax b dim b = m x 0 dim x = n b T y min ZD z zachowaniem warunków: A T y c dim c = n y 0 dim y = m 21
Twierdzenia o dualności Twierdzenie o istnieniu, Twierdzenie o optymalności b T y d = c T x d y d i x d są optymalne w pozostałych przypadkach b T y d c T x d Twierdzenie o równowadze Warunki optymalności rozwiązań dopuszczalnych: dla każdego ograniczenia nieaktywnego (spełnionego nierównościowo) w zadaniu ZP, w zadaniu ZD odpowiednia zmienna y j = 0, dla każdego ograniczenia nieaktywnego (spełnionego nierównościowo) w zadaniu ZD, w zadaniu ZP odpowiednia zmienna x i = 0, dla każdej zmiennej y j > 0 odpowiednie ograniczenie w zadaniu ZP jest spełnione równościowo, dla każdej zmiennej x i > 0 odpowiednie ograniczenie w zadaniu ZD jest spełnione równościowo, 22