Chemia teoretyczna. Postulaty mechaniki kwantowej. Katarzyna Kowalska-Szojda

Chemia teoretyczna Postulaty mechaniki kwantowej Katarzyna Kowalska-Szoja Spis treści 1 Postulaty mechaniki kwantowej 2 1.1 Postulat pierwszy.......................... 2 1.2 Postulat rugi............................. 4 1.3 Postulat trzeci............................ 9 1.4 Postulat czwarty........................... 9 1.5 Postulat piąty............................. 11 2 Zaania la stuentów 12 2.1 Normalizacja funkcji falowej...................... 12 2.2 Konstrukcja operatorów mechaniki kwantowej............ 12 2.3 Liniowość operatorów.......................... 12 2.4 Hermitowskość operatorów....................... 12 2.5 Komutatory............................... 13 2.6 Wartość własna. Funkcja własna.................... 13 2.7 Wartość śrenia............................. 13 3 Rozwiązania zaań 14 3.1 Normalizacja funkcji falowej...................... 14 3.2 Konstrukcja operatorów mechaniki kwantowej............ 16 3.3 Liniowość operatorów.......................... 17 3.4 Hermitowskość operatorów....................... 18 3.5 Wartość własna. Funkcja własna.................... 2 3.6 Wartość śrenia 3............................ 2 1

1 Postulaty mechaniki kwantowej 1.1 Postulat pierwszy Stan ukłau kwantowomechanicznego opisuje funkcja falowa Ψ(r 1, r 2,..., r N, t) zwana także funkcją stanu taka, że kwarat jej moułu: Ψ 2 = Ψ Ψ pomnożony przez element objętości τ określa prawopoobieństwo, że w chwili t cząstka znajuje się w elemencie objętoęci τ. gzie: W (r 1, r 2,...; t) = Ψ(r 1, r 2,...; t) 2 τ = ρ(r 1, r 2,...; t)τ (1) Ψ(r, t) to funkcja falowa, najczęsciej zespolona, zależna o położenia cząstki i czasu Ψ (r, t) to funkcja falowa sprzężona o Ψ. Jeżeli funkcja Ψ jest funkcją rzeczywistą, to Ψ 2 = Ψ Ψ = Ψ 2. ρ oznacza gęstość prawopoobieństwa ρ = W τ r i to współrzęne (x,y,z) i-tej cząstki τ= V 1 V 2 V N τ = V 1 V 2 V 3 (la jenej cząstki τ = V 1, a la trzech cząstek Funkcje używane w mechanice kwantowej to funkcje porząne (klasy Q - ang. quantum), czyli takie które spełniają warunki: jenoznaczne (jenemu argumentowi opowiaa jena wartość) całkowalne w kwaracie ciągłe Normalizacja funkcji falowej Funkcja jest unormowana gy: Ψ(r 1, r 2,..., t) 2 τ = 1 (2) Całkujemy po całej ostępnej la cząstki przestrzeni (normalizujemy o 1).Tak więc la moelu jenowymiarowego warunek unormowania funkcji falowej możemy zapisać tak: Ψ(x, t) 2 V = 1 (3) 2

Całkowite prawopoobieństwo znalezienia cząstki w przestrzeni jenowymiarowej jest równe jeności. Ale co zrobić, jeżeli to prawopoobieństwo nie jest równe 1? Czyli: Ψ(r 1, r 2,..., t) 2 τ = A Opowieź: Należy unormować funkcję falową, czyli znaleźć stałą normalizacyjną. Ψ = 1 A Ψ W jaki sposób wyznacza się stałą normalizacyjną? Przykła Wyznacz stałą normalizacyjną i poaj postać funkcji unormowanej: Ψ = Nexp(imx) la x [, 2π] Opis sposobu rozwiązania zaania krok po kroku: 1. Zaczynamy o napisania warunku unormowania poanej funkcji falowej: 2π Ne imx 2 x = 1 (4) 2. Pamiętając efinicję kwaratu moułu funkcji falowej ( Ψ 2 = Ψ Ψ): Ne imx 2 = (Ne imx ) Ne imx = oraz, że funkcja sprzężona o Ψ różni sie znakiem części urojonej, (Ne imx ) = Ne imx, a stała normalizacyjna N jest z efinicji rzeczywista: = N 2 e 3. Postawiamy powyższy wynik o równania: 2π N 2 e x = 1 4. Wyciągamy stałą normlizacyjną N prze znak całki: 2π N 2 e x = 1 2π N 2 1x = 1 3

5. Obliczamy N 2 : 6. Obliczamy N: N 2 = N = 1 2π 1x 1 2π 1x Op. 1.2 Postać funkcji unormowanej: 2 Ψ = 2 exp(imx) la x [, 2π] π Na koniec można sprawźmy, czy otrzymany wynik jest poprawny. Postawiając stała normalizacyjną N o warunku unormowania funkcji falowej (4), oraz po rozwiązaniu tej całki, powinniśmy otrzymać wartość 1. 1.2 Postulat rugi Każej wielkości mechanicznej zapisanej jako funkcja f współrzęnych i pęów, f(r 1, r 2,..., p 1, p 2,...) przypisujemy operator kwantowomechaniczny ˆF zgonie z następującymi regułami (Joran): Operatorowi skłaowej x (y, z) pęu przyporząkowyjemy opowienio wyrażenia: p xi i x i (5) p yi i y i (6) p zi i z i (7) Operatorem położenia cząstki ˆx jest operator mnożenia funkcji przez x (analogicznie ŷ, ẑ: x i x i (8) y i y i (9) z i z i (1) 4 (11)

Definicja operatorów, liniowości i hermitowskości Czym różni się operator o funkcji? Funkcja: x y przyporząkowuje wartości zmiennej niezależnej (liczbie) wartość zmiennej zależnej (liczbę) Operator: f(x) g(x) przyporząkowuje funkcji funkcję: ˆF f(x) = g(x) (12) W wyniku ziałania operatora ˆF na funkcję f(x) otrzymujemy inną funkcję g(x) Operatorem jest np.: operator różniczkowania wzglęem x: ˆF f(x) = x f(x) operator mnożenia funkcji np. przez 5: ˆF f(x) = 5 f(x) Operatory w mechanice kwantowej muszą być liniowe. Operator ˆF jest liniowy, jeżeli la owolnych funkcji porząnych f i g spełnione są jenocześnie warunki: gzie c - owolna stała (najczęściej zespolona) ˆF (f + g) = ˆF f + ˆF g (13) Operatory w mechanice kwantowej są hermitowskie. ˆF (cf) = c ˆF f (14) Operator jest hermitowski jeżeli la owolnych wóch funkcji klasy Q (f, g) spełniony jest warunek: f ˆF gτ = g( ˆF f) τ (15) Przykła Sprawź, czy operator Rozwiązanie: x jest operatorem hermitowskim 1. Zaczynamy o napisania warunku hermitowskości operatorów: f ˆF gτ = g( ˆF f) τ (16) 5

2. Postawiamy w miejsce operatora ˆF, operator 3. Rozpisujemy lewą stronę równania: ( ) ( ) f (x) g(x)x = g(x) x x f(x) x (17) L = x : f (x) x g(x)x = (całkowanie przez części uv = uv vu ): u = f = (x) u = f (x) + x v = g(x) v = g(x) = i f (x)g(x) x = g(x) x f (x)x 4. Rozpisujemy prawą stronę równania (17): P = pamiętając, że ( ) x = x : = g(x) ( ) x f(x) x = g(x) x f (x)x + g(x) x f (x)x = 5. Sprawzamy, czy L - lewa strona równania = P - prawej stronie równania: L = P = L P g(x) x f (x)x g(x) x f (x)x Op. NIE. Poany operator nie jest operatorem hermitowskim. Działania na operatorach: a. suma: ( ˆF + Ĝ)f = ˆF f + Ĝf b. iloczyn: ˆF Ĝf = ˆF (Ĝf) c. potęga: ˆF 2 f = ˆF ( ˆF f). owrotność: ˆF = Ĝ 1 ˆF Ĝf = f 6

Konstrukcja operatorów Znając rugi postulat mechaniki kwantowej można konstruować operatory innych zmiennych ynamicznych (znając ich wyrażenie klasyczne) zastępując te zmienne opowienimi operatorami. Aby np. zapisać operator energii kinetycznej elektronu należy: 1. Poać wyrażenie klasyczne: T = p 2 2m = 1 ( p 2 2m x + p 2 y + pz) 2 2. Zastąpić zmienne ynamiczne (p 2 x, p 2 y, p 2 z) opowienimi operatorami (pamiętając, że ( i)( i) = i 2 = 1): ˆp 2 x = ˆp xˆp x = ( i ) x ( i ) x ˆp 2 y = ˆp y ˆp y = ( i ) y ( i ) y ˆp 2 z = ˆp z ˆp z = ( i ) z ( i ) ( z ˆp 2 = ˆp 2 x + ˆp 2 y + ˆp 2 z = 2 2 = 2 2 2 x = 2 2 2 y = 2 2 2 z 2 x + 2 2 y + 2 2 z ) = 2 2 ˆT = 1 2 (ˆp 2m x + ˆp 2 y + ˆp z) 2 2 ( ) 2 = 2m x + 2 2 y + 2 = 2 2 z 2 2m 2 Barzo ważnym operatorem jest operator energii całkowitej - hamiltonian. Jest sumą energii całkowitej i potencjalnej: Ĥ = ˆT + ˆV (18) la jenego wymiaru: 2 Ĥ = + V (x) (19) 2m x2 Komutatory Iloczyn operatorów. ˆF Ĝf = ˆF ( Ĝf ) 7

W przypaku iloczynu wóch operatorów ( ˆF i Ĝ) ważna jest kolejność ziałania tych operatorów. Na ogół iloczyn ten jest nieprzemienny: najpierw operator Ĝ ziała na funkcję f (czyli ten operator który stoi najbliżej funkcji f, po lewej stronie tej funkcji), a opiero na wynik tego ziałania ziała kolejny operator ˆF, Tak więc: ˆF Ĝ Ĝ ˆF Przykła Wyznacz wynik ziałania operatora Ŝ1 = ˆF Ĝ oraz Ŝ2 = Ĝ ˆF na funkcję f(x) jeżeli: ˆF = x, Ĝ = x Ŝ 1 f(x) = ˆF Ĝf(x) = (xf(x)) = 1f(x) + x x x f(x) Ŝ 2 f(x) = Ĝ ˆF f(x) = x x f(x) Ŝ 1 f(x) Ŝ2f(x) = 1f(x) W przykłazie tym wiać, że iloczyn operatorów nie jest przemienny. O takich operatorach mówi się, że nie komutują ze sobą. W przeciwnym przypaku - czyli, gy iloczyn operatorów jest przemienny, operatory komutują ze sobą. Komutatorem operatorów ˆF i Ĝ nazywa się operator ˆK, który wyraża różnicę iloczynów ˆF Ĝ i Ĝ ˆF : ˆK = [ ˆF, Ĝ ] { = f ˆF Ĝ Ĝ ˆF = wtey operatory komutują ze sobą wtey operatory nie komutują ze sobą Operatory są przemienne: ˆF Ĝ = Ĝ ˆF (czyli komutują ze sobą), jeżeli: ˆK = [ ˆF, Ĝ ] = ˆF Ĝ Ĝ ˆF = Własności komutatorów [Â, ˆB + Ĉ ] = [ Â, ˆB ] + [ Â, Ĉ] (2) [Â ˆB, Ĉ ] = Â [ ˆB, Ĉ ] + [ Â, Ĉ] ˆB (21) [Â, ˆBĈ ] = ˆB [ Â, Ĉ] + [ Â, ˆB ] Ĉ (22) [Â, a ˆB] = a [Â, ˆB] (23) [ a Â, a ˆB ] = a 2 [ Â, ˆB ] (24) 8

1.3 Postulat trzeci Zmiana funkcji falowej Ψ w czasie jest opisana równaniem Schröingera zawierającym czas: ĤΨ = i Ψ (25) t E jest energią całkowitą ukłau. Ĥ Ψ = i Ψ t (26) Ψ(r 1, r 2,..., t) = Ψ(r 1, r 2,..., r N )e i E t (27) Niezależna o czasu wersja równania Schröingera: jest zaanieniem własnym hamiltonianu, gzie: - Ψ jest funkcją falową stanu stacjonarnego - E jest energią tego stanu Stany stacjonarne: - hamiltonian nie zależy o czasu lub (równoważnie) - gęstość prawopoobieństwa nie zależy o czasu 1.4 Postulat czwarty ĤΨ = EΨ (28) Ogólnie równanie własne operatora ˆF zapiszemy w postaci: f i - wartość własna ˆF Φ i = f i Φ i (29) Φ i - funkcja własna. (operator) ziała na (funkcję własną) = (wartość własna) (ta sama funkcja własna) Wynikiem pomiaru wielkości ˆF może być tylko jena z wartości własnych operatora ˆF. Jeżeli Φ i jest funkcją stanu ukłau to zmienna ˆF ma w tym stanie okłanie wartość f i. 9

Jenoczesna mierzalność wielkości fizycznych: Kiey wie wielkości fizyczne (obserwable), którym opowiaają operatory ˆF i Ĝ sa równocześnie okłanie mierzalne? Z postulatu IV wynika, że ostro można określić wartość wielkości F, gy funkcja stanu Ψ jest funkcją własną operatora ˆF. Zatem jeśli wie wielkości F i G mają być równocześnie ostro mierzalne to funkcja Ψ winna być funkcją własną obu operatorów ˆF i Ĝ. Równanie Schröingera: ĤΨ = EΨ jest równaniem własnym hamiltonianu. W równianiu tym wartością własną jest energia (E), a funkcja Ψ to funkcja własna operatora Hamiltona. Wartości własne operatorów hermitowskich (a takim jest operator Hamiltona) są rzeczywiste. Przykłay 1. Sprawź, czy funkcja e ax jest funkcją własną operatora x? Rozwiązanie: Działamy operatorem na funkcję i sprawzamy, czy wynik jest iloczynem stałego czynnika i wyjściowej funkcji, pamiętając, że równanie własne można zapisać: operator * funkcja = (wartość własna) * (ta sama funkcja) x eax = teraz musimy zaziałać operatorem na funkcję, czyli policzyć pochoną z poanej funkcji: = ae ax Op. TAK. Funkcja e ax jest funkcją własną operatora, a wartość własna x tego operatora wynosi a. 2. Sprawź, czy funkcja e ax2 jest funkcją własną operatora x? Rozwiązanie: x eax2 = 2axe ax2 Op. NIE. W wyniku ziałania operatora na funkcję eax2 otrzymujemy x tę samą funkcję, ale jest ona mnożona przez inną funkcję x (i przez czynnik stały 2a). 1

1.5 Postulat piąty O wartości śreniej Znając funkcję falową możemy wyznaczyć wartości spoziewane różnych wielkości fizycznych. Wartość spoziewana (śrenia) f wielkości mechanicznej F, której opowiaa operator ˆF ana jest wyrażeniem: f = Ψ ˆF Ψτ (3) (zakłaamy, że funkcja falowa Ψ jest unormowana) Wynika pośrenio z zasay superpozycji. Jeżeli prawopoobieństwo uziału funkcji Φ i w funkcji opisującej stan ukłau, czyli prawopoobieństwo wystąpienia wielkości f i wynosi c i 2 to śrenia wartość wielkości F, zgonie z zasaami statystyki wynosi: f = c i 2 f i i W oparciu o postulat V obliczymy wartość śrenią operatora f: f = Ψ ˆF Ψτ = c i c j Φ ˆF i Φ j τ = c i c i f i i,j i 11

2 Zaania la stuentów 2.1 Normalizacja funkcji falowej Zaanie Wyznacz stałą normalizacyjną N i poaj postać funkcji unormowanej: 1. Ψ = Ncos(αx) la x [, a] 2. Ψ = Nsin [ ] nπx l la x [, l] 3. Ψ = Nexp ( Zr a ) (w całej przestrzeni) 2.2 Konstrukcja operatorów mechaniki kwantowej Zaanie Poaj postać operatorów poanych wielkości fizycznych: 1. skłaowej z-towej momentu pęu (Wyrażenie klasyczne: M z = xp y yp x ) 2. kwaratu całkowitego operatora pęu (Wyrażenie klasyczne: p 2 = ( p 2 x + p 2 y + p 2 z) ) 3. energii potencjalnej (Wyrażenie klasyczne: V = Ze2 r ) 2.3 Liniowość operatorów Zaanie Sprawź, czy następujące operatory są liniowe: 1. operator różniczkowania 2. operator całkowania 3. operator potęgowania 4. operator sprzężenia 2.4 Hermitowskość operatorów Zaanie Sprawź hermitowskość operatora ˆp x = i x 12

2.5 Komutatory Zaanie Oblicz komutatory: 1. ˆK = [ˆx, ˆpx ] 2. ˆK = [ˆx, ˆpy ] 3. ˆK = [ˆx, ˆp 2 x ] 4. ˆK = [ˆpy, ˆp x ] 2.6 Wartość własna. Funkcja własna Zaanie: 1. Oblicz wartości własne operatora p x ziałającego na: a) funkcję Ψ = e ikx b) funkcję Ψ = e ikx 2. Oblicz wartości własne operatora p 2 x ziałającego na: a) funkcję Ψ = e ikx b) funkcję Ψ = e ikx 3. Oblicz wartości własne operatora p x ziałającego na: 4. Sprawź, czy funkcja Ψ = 2 nπx sin l l a) ˆp x b) ˆp 2 x 2.7 Wartość śrenia jest funkcją własną operatora: Zaanie: ( Oblicz) wartość śrenią operatora pęu p x la cąstki w pule potencjału Ψ = 2 nπx sin l l 13

3 Rozwiązania zaań 3.1 Normalizacja funkcji falowej Zaanie 1. Wyznacz stałą normalizacyjną i poaj postać funkcji unormowanej: Ψ = Ncos(αx) la x [, a] Opis sposobu rozwiązania zaania krok po kroku: 1. Zaczynamy o napisania warunku unormowania poanej funkcji falowej ( Ψ(r 1, r 2,..., t) 2 τ = 1): a Ncos(αx) 2 x = 1 (31) 2. Pamiętając efinicję kwaratu moułu funkcji falowej ( Ψ 2 = Ψ Ψ): Ncos(αx) 2 = (Ncos(αx)) Ncos(αx) = w rozpatrywanym przypaku funckcja cos(αx) jest funkcją rzeczywistą (a stała normalizacyjna N jest z efinicji rzeczywista), latego możemy zapisać: = N 2 cos(αx) 2 3. Postawiamy powyższy wynik o równania 4: a N 2 cos(αx) 2 x = 1 4. Wyciągamy stałą normlizacyjną N prze znak całki: a N 2 cos(αx) 2 x = 1 5. Obliczamy N 2 : 6. Obliczamy N: N 2 = N = 1 a cos(αx)2 x 1 a cos(αx)2 x Op. Postać funkcji unormowanej: 2α Ψ = cos(αx) la x [, a] aα + sin (aα) cos (aα) 14

Zaanie 2. Wyznacz stałą normalizacyjną i poaj postać funkcji unormowanej: 1 [ ] nπx Ψ = Nsin la x [, l] l Zaanie 3. Wyznacz stałą normalizacyjną (w całej przestrzeni) i poaj postać funkcji unormowanej: ( Ψ = Nexp Zr ) a Opis sposobu rozwiązania zaania krok po kroku: 1. Zaczynamy o napisania warunku unormowania poanej funkcji falowej: Ne Zr 2 π a r 2 r 2π sinθθ φ = 1 (32) 2. Pamiętając efinicję kwaratu moułu funkcji falowej ( Ψ 2 = Ψ Ψ): Zr 2 ( ) a Ne = Ne Zr a Ne Zr a = oraz, że funkcja sprzężona o Ψ różni sie znakiem części urojonej (funkcja w tym ( przypaku ) jest rzeczywista): ( Ne Zr a = Ne Zr a ), a stała normalizacyjna N jest z efinicji rzeczywista: 3. Postawiamy powyższy wynik o równania: Uwaga: Ską się bierze 4π? 2 = N 2 e 2Zr a (33) 4πN 2 e 2Zr a r 2 r = 1 4. Wyciągamy stałą normlizacyjną N prze znak całki: 5. Obliczamy N 2 : N 2 4π N 2 = e 2Zr a r 2 r = 1 1 4π e 2Zr a r 2 r 1 Rozwiązanie zobacz w: icse Chemteor7 z26 postulaty ROZWIAZANIA 2 π sinθθ = 2 natomiast 2π φ = 2π 15

6. Obliczamy N: 1 N = 4π e 2Zr a r 2 r Op. Postać funkcji unormowanej: Ψ = Z 3 2 πa ( 3 2) ( exp Zr a 3.2 Konstrukcja operatorów mechaniki kwantowej Zaanie. Poaj postać operatorów poanych wielkości fizycznych: 1. Skłaowej z-towej momentu pęu (Wyrażenie klasyczne: M z = xp y yp x ) Opowieź: Przyporząkowujemy (zgonie z rugim postulatem) w wyrażeniu klasycznym: M z = xp y yp x zmiennym opowienie operatory: ) ˆM z = ˆxˆp y ŷˆp x ˆx x ŷ y ˆp y i y ˆp x i x w wyniku takiej zamiany otrzymujemy postać operatora skłaowej z-towej momentu pęu: ˆM z = ˆxˆp y ŷˆp x = ( ) = x i y ( y i ) x 2. Kwaratu całkowitego operatora pęu (Wyrażenie klasyczne: p 2 = ( p 2 x + p 2 y + p 2 z) ) Opowieź: Przyporząkowujemy (zgonie z rugim postulatem) w wyrażeniu klasycznym: p 2 = ( p 2 x + p 2 y + p 2 z) zmiennym opowienie operatory (pamiętając, że 16

( i)( i) = i 2 = 1): ˆp 2 x = ˆp xˆp x = ( i ) x ( i ) x ˆp 2 y = ˆp y ˆp y = ( i ) y ( i ) y ˆp 2 z = ˆp z ˆp z = ( i ) z ( i ) ( z ˆp 2 = ˆp 2 x + ˆp 2 y + ˆp 2 z = 2 2 = 2 2 2 x = 2 2 2 y = 2 2 2 z 2 x + 2 2 y + 2 2 z ) = 2 2 3. Energii potencjalnej (Wyrażenie klasyczne: V = Ze2 r ) Opowieź: 3.3 Liniowość operatorów ˆV = Ze2 r Operator ˆF jest liniowy, jeżeli la owolnych funkcji porząnych f i g spełnione są jenocześnie warunki: gzie c - owolna stała (najczęściej zespolona) ˆF (f + g) = ˆF f + ˆF g (34) ˆF (cf) = c ˆF f (35) Zaanie. Sprawź, czy następujące operatory są liniowe: 1. operator różniczkowania Sprawzamy, czy spełnione są jenocześnie warunki na liniowość operatorów: warunek (34): x (f + g) =? x f + x g Warunek ten jest spełniony: Pochona sumy funkcji równa jest sumie pochonych. warunek (35): x cf? = c x f 17

Warunek spełniony. c- to stała, można ją wyciągnąć prze znak pochonej. Op.: TAK. Operator różniczkowania jest liniowy. 2. operator całkowania Sprawzamy, czy spełnione są jenocześnie warunki na liniowość operatorów: (f + g) τ cfτ? =? = c fτ + gτ fτ Op.: TAK. Operator całkowania jest liniowy. 3. operator potęgowania Sprawzamy, czy spełnione są jenocześnie warunki na liniowość operatorów: NIE jest spełniony ten warunek, ponieważ: (f + g) 2? = f 2 + g 2 Drugiego warunku już nie musimy sprawzać. Op.: NIE. Operator potęgowania NIE jest liniowy. (f + g) 2 = f 2 + 2fg + g 2 4. operator sprzężenia Sprawzamy, czy spełnione są jenocześnie warunki na liniowość operatorów: (f + g)? = f + g TAK (cf) = cf NIE NIE:, bo stała c jest stałą zespoloną. Gyby c była stałą rzeczywistą, to c = c i wtey warunek byłby spełniony. Op.: NIE. Operator sprzężenia NIE jest liniowy. 3.4 Hermitowskość operatorów Zaanie. Sprawź hermitowskość operatora ˆp x = i x 1. Zaczynamy o napisania warunku hermitowskości operatorów: f ˆF gτ = g( ˆF f) τ (36) 18

2. Postawiamy w miejsce operatora ˆF, operator ˆp x : ( x f (x) ˆp x g(x)x = g(x) ˆp x f(x)) (37) ( f (x) i x ) g(x)x = g(x) ( i ) x f(x) x (38) 3. Rozpisujemy lewą stronę równania (wyciągając wszystkie stałe prze znak całki): L = i f (x) g(x)x = (39) x (całkowanie przez części uv = uv vu ): u = f = (x) u = f (x) + x v = g(x) v = g(x) = x = i f + (x)g(x) g(x) x f (x)x = = i g(x) x f (x)x 4. Rozpisujemy prawą stronę równania (3): ( P = g(x) i ) x f(x) x = pamiętając, że i = i = g(x)i x f (x)x = wyciągamy stałe prze znak całki, otrzymujemy: = i g(x) x f (x)x 5. Sprawzamy, czy L (równanie 6) = P (równanie 9): L = i P = i L = P g(x) x f (x)x g(x) x f (x)xr Op. TAK. Poany operator jest operatorem hermitowskim. 19

3.5 Wartość własna. Funkcja własna Zaanie 3 : 1. Oblicz wartości własne operatora p x ziałającego na: a) funkcję Ψ = e ikx b) funkcję Ψ = e ikx 2. Oblicz wartości własne operatora p 2 x ziałającego na: a) funkcję Ψ = e ikx b) funkcję Ψ = e ikx 3. Oblicz wartości własne operatora p x ziałającego na: 4. Sprawź, czy funkcja Ψ = 2 nπx sin l l a) ˆp x b) ˆp 2 x 3.6 Wartość śrenia 3 jest funkcją własną operatora: Zaanie: ( Oblicz) wartość śrenią operatora pęu ˆp x la cąstki w pule potencjału Ψ = 2 nπx sin l l 3 Rozwiązanie zobacz w: icse Chemteor7 z26 postulaty ROZWIAZANIA 2