OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ

Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (dostawcy) a punktami odbioru (odbiorcy). podaż a 1 punkty nadania (i) D 1 x 11 c 11 punkty odbioru (j) O 1 popyt b 1 x 12 c 12 x 1n c 1n x 21 c 21 a 2 D 2 x 22 c 22 O 2 b 2 x 2n c 2n x m1 c m1 x m2 c m2 a m D m x mn c mn O n b n

Założenia klasycznego zadania transportowego: Klasyczne zagadnienie transportowe 2 x ij a i b j - zmienne decyzyjne; ilość przewożonego jednorodnego dobra na trasie pomiędzy i-tym dostawcą a j-tym odbiorcą [i=1,2,,m; j=1,2,,n;] - parametr problemu; zasób dobra u i-tego dostawcy (podaż) [i=1,2,,m] a = [a 1,a 2,,a m ] - parametr problemu; zapotrzebowanie na dobro j-tego odbiorcy (popyt) [j=1,2,,n] b = [b 1,b 2,,b n ] c ij - parametr problemu; koszt przewozu jednostki dobra na trasie pomiędzy i-tym dostawcą a j-tym odbiorcą [i=1,2,,m; j=1,2,,n;] c11 c12 c1 n m a n c 21 c22 c2n i b C j i1 j1 cm1 cm2 cmn

Klasyfikacja zadań transportowych: 1. Zamknięte ( zbilansowane ) m a n i bj i1 j1 2. Otwarte ( niezbilansowane ) - przypadek 1 m i1 n a i b j1 j Otwarte Zamknięte: a) dodać n+1 punkt odbioru b) zapotrzebowanie b n+1 dodanego punktu odbioru różnica między całkowitą podażą a całkowitym popytem: b n1 m a i1 i n b j1 j Klasyczne zagadnienie transportowe 3

Klasyczne zagadnienie transportowe 4 jednostkowe koszty transportu podaż jednostkowe koszty transportu podaż O1 O2 O3 O1 O2 O3 O4 D1 4 2 3 60 D2 3 1 2 30 D3 1 3 1 30 120 popyt 30 35 45 110 D1 4 2 3 0 60 D2 3 1 2 0 30 D3 1 3 1 0 30 120 popyt 30 35 45 10 120 Jeżeli założymy, że na n+1 punkt odbioru składają się magazyny w punktach nadania, to możemy przyjąć, że jednostkowe koszty transportu do punktu n+1 są równe zero, a przewozy do niego odpowiadają ilościom dobra pozostawionego w punktach nadania.

Klasyczne zagadnienie transportowe 5 2. Otwarte ( niezbilansowane ) - przypadek 2 1 1 n j j m i a i b Otwarte Zamknięte: a) dodać m+1 punkt nadania b) zapotrzebowanie a m+1 dodanego punktu nadania różnica między całkowitym popytem a całkowitą podażą: m i i n j j m a b a 1 1 1 -

Klasyczne zagadnienie transportowe 6 jednostkowe koszty transportu podaż jednostkowe koszty transportu podaż O1 O2 O3 O1 O2 O3 D1 4 2 3 60 D2 3 1 2 30 D3 1 3 1 20 D1 4 2 3 60 D2 3 1 2 30 D3 1 3 1 20 popyt 40 35 45 120 110 D4 0 0 0 10 120 popyt 40 35 45 120 Dodatkowy m+1 punkt nadania nazywamy fikcyjnym dostawcą, a jednostkowe koszty transportu z nim związane są równe zero ponieważ dobra, które on oferuje faktycznie nie ma. Ilość dobra zaplanowana do dostarczenia od fikcyjnego dostawcy do dowolnego odbiorcy w praktyce oznacza, że jego popyt w takiej wielkości nie zostanie zrealizowany.

Funkcja celu: (łączny koszt transportu) m n F ( x ) c ij x ij Ograniczenia: n x i1 m ij x i1 ij i1 j1 a b Warunki brzegowe: i j i = 1,2,,m j = 1,2,,n Klasyczne zagadnienie transportowe 7 model decyzyjny min (bilanse dla punktów nadania) (bilanse dla punktów odbioru) x ij 0 i = 1,2,,m j = 1,2,,n Rozwiązać można tylko zbilansowane zagadnienie transportowe!!!!

Klasyczne zagadnienie transportowe 8 Przykład Pewien jednorodny produkt należy dostarczyć z trzech hurtowni do trzech sklepów. Hurtownie dysponują następującymi ilościami produktu: 60, 30 i 20 jednostek. Zapotrzebowanie sklepów to: 30,35 i 45 jednostek. Jednostkowe koszty transportu między każdą hurtownią a sklepem ( w zł za sztukę ) dane są w następującej macierzy kosztów: C 4 3 1 2 1 3 3 2 1 Należy znaleźć taki plan przewozów, przy którym łączne koszty transportowe będą najniższe.

Klasyczne zagadnienie transportowe 9 Przykład jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D1 4 2 3 60 D2 3 1 2 30 D3 1 3 1 20 popyt 30 35 45 110

popyt podaż Klasyczne zagadnienie transportowe 10 Przykład F() = 4x 11 +2x 12 +3x 13 +3x 21 +x 22 +2x 23 +x 31 +3x 32 +x 33 min x 11 +x 12 +x 13 = 60 +x 21 +x 22 +x 23 = 30 +x 31 +x 32 +x 33 = 20 x 11 +x 21 +x 31 = 30 x 12 +x 22 +x 32 = 35 x 13 +x 23 +x 33 = 45 x 11 0 x 12 0 x 13 0 x 21 0 x 22 0 x 23 0 x 31 0 x 32 0 x 33 0

Klasyczne zagadnienie transportowe 11 Algorytm transportowy 1 Początkowy program przewozowy 1 6 Skoryguj program przewozowy 2 Program optymalny? NIE 5 Ustal maksymalny przewóz na trasie ustalonej w [3] TAK 4 Zbuduj cykl Korygujący przewozy KONIEC 3 Wybierz trasę dającą największą obniżkę kosztów

Klasyczne zagadnienie transportowe 12 Algorytm transportowy 2 Początkowy program przewozowy Metoda kąta północno-zachodniego 1. Wprowadź maksymalny przewóz na trasie (i,j): x ij = min(a i,b j ) - rozpoczynamy od trasy D1 O1 2. Skoryguj podaż w i-tym punkcie nadania: a i = a i x ij i popyt w j-tym punkcie odbioru: b i = b i x ij Każdy program przewozowy nie może się składać z większej ilości tras, po których przewozimy towary niż m+n-1 (gdzie: m ilość dostawców, n ilość odbiorców. W niektórych przypadkach program przewozowy może się składać z mniejszej ilości tras niż m+ n -1, po których przewozimy towary. Mamy wówczas do czynienia z rozwiązaniem zdegenerowanym.

Klasyczne zagadnienie transportowe 13 Algorytm transportowy 3 jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D1 30 30 60 30 0 D2 25 30 25 0 D3 20 20 0 popyt 30 35 45 110 0 0 20 0 Koszty = 30*4 +30*2 + 5*1 + 25*2 + 20*1 = 255

Klasyczne zagadnienie transportowe 14 Algorytm transportowy 4 Początkowy program przewozowy Metoda minimalnego elementu macierzy 1. Wybierz trasę o najmniejszym jednostkowym koszcie transportu. Jeżeli jest ich kilka wybór jest dowolny. 2. Wprowadź maksymalny przewóz na wybranej trasie (i,j): x ij = min(a i,b j ) 3. Skoryguj podaż w i-tym punkcie nadania: a i = a i x ij i popyt w j-tym punkcie odbioru: b i = b i x ij

Klasyczne zagadnienie transportowe 15 Algorytm transportowy 5 jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D1 4 2 3 60 D2 3 1 2 30 D3 1 3 1 20 popyt 30 35 45 110

Klasyczne zagadnienie transportowe 16 Algorytm transportowy 6 jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D1 60 D2 30 D3 20 20 0 popyt 30 35 45 110 10

Klasyczne zagadnienie transportowe 17 Algorytm transportowy 7 jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D1 4 2 3 60 D2 3 1 2 30 D3 20 popyt 30 35 45 110

Klasyczne zagadnienie transportowe 18 Algorytm transportowy 8 jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D1 60 D2 30 30 0 D3 20 20 0 popyt 30 35 45 110 10 5

Klasyczne zagadnienie transportowe 19 Algorytm transportowy 9 jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D1 10 5 45 60 D2 30 30 D3 20 20 popyt 30 35 45 110 Koszt= 10*4 + 5*2 + 45*3 + 30*1 + 20*1 = 235 porównaj wynik z poprzednią metodą

Klasyczne zagadnienie transportowe 20 Algorytm transportowy 10 Model decyzyjny klasycznego zagadnienia transportowego jest zadaniem programowania liniowego. W celu ustalenia optymalnego programu przewozowego można posłużyć się metodą simpleks. Nie jest to jednak efektywne podejście z uwagi na dużą liczbę zmiennych ( m x n ) i ograniczeń ( m + n ). Dlatego do rozwiązywania klasycznego zagadnienia transportowego opracowano efektywniejsze numerycznie postępowanie tzw. algorytm transportowy. Oznaczenia: u i - zmienna dualna związana z bilansem dla i tego punktu nadania (i=1,2, m) v j - zmienna dualna związana z bilansem dla j tego punktu odbioru (j=1,2,,n) Tak jak w metodzie simpleks w algorytmie transportowym, dokonuje się uporządkowanego przeglądu rozwiązań bazowych wykorzystując do oceny każdego z nich wskaźniki optymalności. Wskaźniki optymalności w klasycznym zagadnieniu transportowym dają się przedstawić następująco: ij c ij u v i 1,2,..., m j 1,2,..., n i j

Klasyczne zagadnienie transportowe 21 Algorytm transportowy 11 Interpretacja wskaźnika optymalności: Jeżeli w aktualnym programie przewozowym pojawiłby się przewóz na trasie (i,j), to każda jednostka dobra przewożona na niej powodowałaby zmianę łącznych kosztów transportu o ij jednostek. Przy ij < 0 byłby to spadek łącznych kosztów, a przy ij > 0 - wzrost. Do wyznaczenia wskaźników optymalności dla aktualnego programu przewozowego należy obliczyć wartości wszystkich m+n zmiennych dualnych u i oraz v j. Do tego celu wykorzystuje się własność, że wskaźniki optymalności dla zmiennych bazowych (tras z przewozami, których jest m+n-1) są równe zero. Można zatem skonstruować układ m+n-1 równań z m+n niewiadomymi u i oraz v j i jednostkowymi kosztami transportu c ij jako wyrazami wolnymi : u i v j c ij ( i, j): x 0 ij Jest to układ z jednym stopniem swobody. W celu rozwiązania go dla dowolnie wybranej zmiennej u i lub v j należy przyjąć wartość zerową i rozwiązać układ ze względu na pozostałe m+n-1 zmiennych. Przyjęło się, że wartość zero nadajemy zmiennej u 1.

Klasyczne zagadnienie transportowe 22 Algorytm transportowy 12 Sprawdzenie optymalności programu przewozowego - tabela wskaźników optymalności 1. pola tabeli wskaźników optymalności, dla których x ij >0 zawierają jedną liczbę: jednostkowy koszt transportu c ij 2. pozostałe pola tabeli wskaźników optymalności zawierają dwie liczby: (u i +v j ) oraz wskaźnik optymalności ij = c ij (u i +v j ) 3. program przewozowy jest optymalny, jeżeli wszystkie ij 0 ( gdy wszystkie ij dla zmiennych niebazowych - tras po których nie przewozimy towarów są ij >0 to rozwiązanie jest optymalne jednoznacznie, jeżeli przynajmniej jeden z tych wskaźników optymalności jest równy 0 to rozwiązanie jest optymalne niejednoznacznie. 4. wyznaczenie trasy dającej największą obniżkę kosztów (jeżeli uzyskany program przewozowy nie jest optymalny): dla wszystkich ij <0 kl = min{ ij }

Klasyczne zagadnienie transportowe 23 Algorytm transportowy 13 Sprawdzenie optymalności programu przewozowego uzyskanego metodą kąta północno - zachodniego O1 O2 O3 u i 3 D1 4 2 D2 3 0 1 2 2 0 D3-1 3 1 0 0-1 -2 v j 4 2 3

Klasyczne zagadnienie transportowe 24 Algorytm transportowy 14 Korekta programu przewozowego 1. postaw znak + na wytypowanej trasie dającej największą obniżkę kosztów 2. w rozpatrywanym programie przewozowym znakuj trasy o przewozie niezerowym znakami + i - w taki sposób, aby w każdym wierszu i każdej kolumnie była para + - lub nie było ich w ogóle 3. wyznacz wielkość korekty poprzez wybór wartości najmniejszej oznaczonej znakiem - : = min(x ij - ) 4. skoryguj rozpatrywany program przewozowy poprzez: x * ij = x ij + dla tras oznaczonych znakiem + x * ij = x ij - dla tras oznaczonych znakiem - x * ij = x ij dla tras nieoznaczonych

Klasyczne zagadnienie transportowe 25 Algorytm transportowy 15 Korekta programu przewozowego O1 O2 O3 podaż D1 30 30 60-5 + +5 D2 5 25 30-5 + +5 D3 20 + +5-5 20 popyt 30 35 45 110 min{30,5,20} = 5

Klasyczne zagadnienie transportowe 26 Algorytm transportowy 16 Poprawiony program przewozowy O1 O2 O3 podaż D1 25 35 60 D2 30 30 D3 5 15 20 popyt 30 35 45 110 Koszt = 425 + 235 + 230 + 115 + 15 = 250 lub Koszt = 255 + 5( 1 )= 255 5 = 250

Klasyczne zagadnienie transportowe 27 Algorytm transportowy 17 Sprawdzenie optymalności programu przewozowego iteracja 2 O1 O2 O3 u i D1 4 2 4-1 0 D2 2 0 2 1 1-1 D3 1 4 1 v j 4 2 4-2 -3

Korekta programu przewozowego Klasyczne zagadnienie transportowe 28 Algorytm transportowy 18 O1 O2 O3 podaż D1-25 35 + 60 D2 30 30 D3 + 5-15 20 popyt 30 35 45 110 min{25,15} = 15

Poprawiony program przewozowy Klasyczne zagadnienie transportowe 29 Algorytm transportowy 19 O1 O2 O3 podaż D1 10 35 15 60 D2 30 30 D3 20 20 popyt 30 35 45 110 Koszt = 410 + 235 + 315 + 230 + 120 = 235 lub Koszt = 250 + 15( 1) = 250 15 = 235

Klasyczne zagadnienie transportowe 30 Algorytm transportowy 20 Sprawdzenie optymalności programu przewozowego iteracja 3 O1 O2 O3 u i D1 4 2 3 D2 3 1 0 0 2-1 0 D3 1 4 1 0-1 -3 v j 4 2 3 Rozwiązanie optymalne niejednoznacznie

Klasyczne zagadnienie transportowe 31 Algorytm transportowy 21 O1 O2 O3 podaż D1-10 -10 35 + 15 +10 60 D2 + +10-30 -10 30 D3 20 20 popyt 30 35 45 110 min{10,30} = 10

Pierwszy alternatywny program przewozowy Klasyczne zagadnienie transportowe 32 Algorytm transportowy 22 O1 O2 O3 podaż D1 35 15 60 D2 10 20 30 D3 20 20 popyt 30 35 45 110 Koszt = 235 + 315 + 310 + 220 + 120 = 235

Klasyczne zagadnienie transportowe 33 Algorytm transportowy 23 O1 O2 O3 podaż D1 10-35 -30 + 15 +30 60 D2 + +30-30 -30 30 D3 20 20 popyt 60 60 60 110 min{35,30} = 30

Drugi alternatywny program przewozowy Klasyczne zagadnienie transportowe 34 Algorytm transportowy 24 O1 O2 O3 podaż D1 10 5 45 60 D2 30 30 D3 20 20 popyt 30 35 45 110 Koszt = 410 + 25 + 345 + 130 + 120 = 235

Klasyczne zagadnienie transportowe 35 Algorytm transportowy 25 Kombinacja liniowa rozwiązania niejednoznacznego: 0,, 1 20 30 45 5 10 20 20 10 25 35 20 30 15 35 10 X 3 2 1 3 2 1 3 2 1 opt

Klasyczne zagadnienie transportowe 36 Całkowita blokada trasy Załóżmy, że z trzeciej hurtowni nie można dostarczyć towaru do pierwszego sklepu. W celu całkowitej blokady wybranej trasy zwiększamy odpowiadający jej jednostkowy koszt transportu. O1 O2 O3 podaż D1 4 2 3 60 D2 3 1 2 30 M D3 M 3 1 20 popyt 30 35 45 110

Klasyczne zagadnienie transportowe 37 Częściowa blokada trasy Załóżmy, że z pierwszej hurtowni do trzeciego sklepu można dostarczyć nie więcej niż 10 sztuk towaru. W celu częściowej blokady wybranej trasy podwajamy odbiorcę lub dostawcę, który jej odpowiada. Przypadek I podwojenie odbiorcy: O1 O2 O3 O3 podaż D1 4 2 3 M 60 D2 3 1 2 2 30 M D3 1 3 1 1 20 popyt 30 35 10 35 110

Klasyczne zagadnienie transportowe 38 Częściowa blokada trasy Przypadek II podwojenie dostawcy: O1 O2 O3 podaż D1 4 2 3 10 D1 4 2 M 50 M D2 3 1 2 30 D3 1 3 1 20 popyt 30 35 10 110

Rozważmy następujący problem transportowy: Klasyczne zagadnienie transportowe 39 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego O1 O2 O3 Podaż D1 5 3 1 70 D2 1 3 4 40 D3 1 3 4 80 Popyt 70 90 30 190

Klasyczne zagadnienie transportowe 40 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego Wyznaczamy wyjściowy program przewozowy metodą kąta północnozachodniego O1 O2 O3 Podaż D1 70 70 D2 40 40 D3 50 30 80 Popyt 70 90 30 190 Należy zauważyć, że pierwszy program przewozowy składa się z się z m+n-2 zmiennych bazowych (tras po których przewozimy towar). Z tego powodu nie jesteśmy w stanie wyznaczyć wartości zmiennych dualnych u i oraz v j, a tym samym obliczyć wskaźników optymalności ij.

Klasyczne zagadnienie transportowe 41 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego Jeżeli degeneracja wystąpi na etapie wyznaczania rozwiązania początkowego, należy zaburzyć strukturę popytu i podaży poprzez dodanie do każdej ze składowych wektora podaży pewnej stałej ξ (ξ>0, ξ 0). Powstanie wówczas nadwyżka podaży w kwocie m*ξ, o którą należy zwiększyć popyt w dowolnym punkcie odbioru (na przykład w n-tym). O1 O2 O3 Podaż D1 5 3 1 70+ξ D2 1 3 4 40+ξ D3 1 3 4 80+ε Popyt 70 90 30+3ξ 190+3ξ

Klasyczne zagadnienie transportowe 42 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego Wyznaczamy wyjściowy program przewozowy metodą kąta północnozachodniego: Sprawdzamy optymalność: O1 O2 O3 Podaż D1 70 - ξ + 70+ξ D2 40+ξ 40+ξ D3 + 50-2ξ - 30+3ξ 80+ε Popyt 70 90 30+3ξ 190+3ξ O1 O2 O3 u i D1 5 3 4-1 0 D2 5-4 3 4 0 0 D3 5-4 3 4 0 v j 5 3 4

Korygujemy program przewozowy: Klasyczne zagadnienie transportowe 43 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego O1 O2 O3 Podaż D1 20+2ξ - 50-ξ + 70+ξ D2 40+ξ 40+ξ D3 50-2ξ + 30+3ξ - 80+ξ Popyt 70 90 30+3ξ 190+3ξ Sprawdzamy optymalność: O1 O2 O3 u i D1 5 3 8-7 0 D2 5-4 3 8-4 0 D3 1-1 4 4-4 v j 5 3 8

Korygujemy program przewozowy: Sprawdzamy optymalność: Klasyczne zagadnienie transportowe 44 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego O1 O2 O3 Podaż D1 50-ξ - 20+2ξ + 70+ξ D2 40+ξ 40+ξ D3 70 + 10+3ξ - 80+ξ Popyt 70 90 30+ξ 190+3ξ O1 O2 O3 u i D1-2 7 3 1 0 D2-2 3 3 4 0 0 D3 1 6-3 4 3 v j -2 3 1

Korygujemy program przewozowy: Klasyczne zagadnienie transportowe 45 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego O1 O2 O3 Podaż D1 40-2ξ 30+3ξ 70+ξ D2 + 40+ξ - 40+ξ D3 70-10+ξ + 80+ξ Popyt 70 90 30+ξ 190+3ξ Sprawdzamy optymalność: O1 O2 O3 u i D1 1 6 3 1 0 D2 1 0 3 1 3 0 D3 1 3 1 3 0 v j 1 3 1 Rozwiązanie niejednoznaczne. Przyjmujemy ξ=0 Koszt =40*3+40*3+10*1+70*1+30*1=370

Generujemy rozwiązanie alternatywne: Klasyczne zagadnienie transportowe 46 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego O1 O2 O3 Podaż D1 40-2ξ 30+3ξ 70+ξ D2 40+ξ 40+ξ D3 30-ξ 50+2ξ 80+ξ Popyt 70 90 30+ξ 190+3ξ Przyjmujemy ξ=0 Koszt =40*1+30*1+40*3+50*3+30*1=370 Kompletne rozwiązanie przedstawiamy w postaci kombinacji liniowej. X opt 0 40 30 0 40 30 0 40 0 1 40 0 0 2 1, 2 0 1 2 1 70 10 0 30 50 0

Rozważmy następujący problem transportowy: Klasyczne zagadnienie transportowe 47 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania O1 O2 O3 O4 Podaż D1 2 2 3 5 100 D2 3 1 1 2 150 D3 2 4 4 4 200 Popyt 50 100 150 150 450

Klasyczne zagadnienie transportowe 48 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania Wyznaczamy pierwsze rozwiązanie metodą kąta północno-zachodniego: Sprawdzamy optymalność: O1 O2 O3 O4 Podaż D1 50-50 + 100 D2 50-100 + 150 D3 + 50-150 200 Popyt 50 100 150 150 450 O1 O2 O3 O4 u i D1 2 2 2 1 2 3 0 D2 1 1 1 1 1-1 1 D3 4 4-2 0 4 4 2 v j 2 2 2 2 0

Klasyczne zagadnienie transportowe 49 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania O1 O2 O3 O4 Podaż D1 50-50 + 100 D2 50-100 + 150 D3 + 50-150 200 Popyt 50 100 150 150 450

Korygujemy program przewozowy: Klasyczne zagadnienie transportowe 50 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania O1 O2 O3 O4 Podaż D1 0 100 100 D2 0 150 150 D3 50 150 200 Popyt 50 100 150 150 450 W nowym programie przewozowym występują tylko cztery zmienne bazowe (cztery trasy po których przewozimy towary) mamy więc do czynienia z degeneracją ponieważ m+n-1=6. W takim przypadku należy wpisać zera w te pola tabeli przewozów, z których zniknęły one w wyniku korekty przewozów in minus. Oczywiście liczba wpisanych zer musi być taka, aby liczba tras przewozowych wyniosła dokładnie m+n-1. Podstawowym zaleceniem przy wyborze tras do wpisywania zer jest wybór tras o najniższych kosztach c ij. W tym przypadku po korekcie przewozy zniknęły z tras : (1,1) (c 11 =2), (2,2)(c 22 =1),(3,3)(c 33 =4). Mamy do czynienia z degeneracją drugiego stopnia, co oznacza, że musimy do tabeli przewozów wpisać dwa zera. Z pośród trzech możliwych tras wybieramy dwie o najniższych kosztach jednostkowych przewozu: X 11 =0 i X 22 =0

Klasyczne zagadnienie transportowe 51 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania Sprawdzamy optymalność: O1 O2 O3 O4 u i D1 2 2 2 4 1 0 D2 1 2 1 1 3-1 -1 D3 2 2 2 2 2 4 0 v j 2 2 2 4 Korygujemy program przewozowy: O1 O2 O3 O4 Podaż D1 0-100 + 100 D2 0-150 + 150 D3 50 + 150-200 Popyt 50 100 150 150 450

Klasyczne zagadnienie transportowe 52 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania Nowy program przewozowy: O1 O2 O3 O4 Podaż D1 100 100 D2 0 150 0 150 D3 50 150 200 Popyt 50 100 150 150 450 Ponownie zadanie jest zdegenerowane ponieważ wyzerowały się przewozy na trasach (1,1) i (2,2). Pozostawiamy trasę (2,2) jako bazową z zerowym przewozem. O1 O2 O3 O4 u i D1 1 2 2 2 1 3 2 0 D2 0 1 1 2-1 3 D3 2 3 3 1 1 4 1 v j 1 2 2 3

Klasyczne zagadnienie transportowe 53 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania Otrzymaliśmy rozwiązanie optymalne jednoznacznie: O1 O2 O3 O4 Podaż D1 100 100 D2 150 150 D3 50 150 200 Popyt 50 100 150 150 450 Koszt= 100*2+150*1+50*2+150*4=1050

Zagadnienie transportowo-produkcyjne 1 W zagadnieniu transportowo-produkcyjnym dostawcami są producenci towaru. Ogólnie rozważamy m producentów pewnego jednorodnego produktu, z których każdy ma zdolność produkcyjną A i (i=1,,m) jednostek towaru i zaopatruje w swoją produkcję n odbiorców. Każdy odbiorca zgłasza zapotrzebowanie na B j jednostek (j=1,,n). Zakłada się, że łączne zdolności produkcyjne zakładów przekraczają zapotrzebowanie. Dane są ponadto jednostkowe koszty transportu c ij oraz jednostkowe koszty produkcji h i. W praktyce można także założyć, że zdolności produkcyjne wytwórców będą w pełni wykorzystane, a ich nadwyżka będzie magazynowana u producentów w celu zaspokojenia przyszłego popytu przy jednostkowych kosztach magazynowania z i. Mamy więc do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym, które bilansujemy wprowadzając fikcyjnego odbiorcę. Należy zauważyć, że zmienne decyzyjne x ij oznaczają ilości towaru wyprodukowane w i-tym zakładzie, dostarczone j-temu odbiorcy, natomiast x i,n+1 to nie wykorzystane zdolności produkcyjne lub ilości towaru pozostające w magazynach u producentów. Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

Zagadnienie transportowo-produkcyjne 2 Sposób postępowania: 1. Bilansowanie wprowadzamy fikcyjnego odbiorcę, którego popyt będzie oznaczał: nie wykorzystane możliwości produkcyjne, nadwyżkę produkcyjną zmagazynowaną u producentów. B n1 m i1 A i n j 1 B j 2. Konstruowanie macierzy łącznych kosztów działalności: koszty produkcji i transportu : k ij h i koszty produkcji i magazynowania: c ij (i 1,...,m; j 1,..., n) ki n1, 0 k ij h i c ij ( i 1,..., m; j 1,..., n) k i, n1 h i z i Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

Zagadnienie transportowo produkcyjne 3 Przykład Trzy młyny dostarczają mąkę do czterech piekarń. Jednostkowe koszty produkcji, transportu, magazynowania oraz popyt i podaż są następujące: Młyny Piekarnie A i h i z i P1 P2 P3 P4 M1 50 40 50 20 100 1080 5 M2 40 80 70 30 50 1060 5 M3 60 40 70 80 80 1100 6 B j 40 60 50 50 Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

Zagadnienie transportowo-produkcyjne 4 Przykład Przypadek I nie wykorzystujemy nadwyżki zdolności produkcyjnych. Młyny Piekarnie A i P1 P2 P3 P4 F M1 1130 1120 1130 1100 0 100 M2 1100 1140 1130 1090 0 50 M3 1160 1140 1170 1180 0 80 B j 40 60 50 50 30 Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

Zagadnienie transportowo-produkcyjne Metoda węgierska 5 5 Przykład 1 Funkcja celu : (łączne koszty produkcji i transportu) F(X) = 1130x 11 +1120x 12 +1130x 13 +1100x 14 +0x 15 +1100x 21 +1140x 22 +1130x 23 + 1090x 24 +0x 25 +1160x 31 +1140x 32 +1170x 33 +1180x 34 +0x 35 min x 11 +x 12 +x 13 +x 14 +x 15 = 100 x 21 +x 22 +x 23 +x 24 +x 25 = 50 x 31 +x 32 +x 33 +x 34 +x 35 = 80 x 11 +x 21 +x 31 = 40 x 12 +x 22 +x 32 = 60 x 13 +x 23 +x 33 = 50 x 14 +x 24 +x 34 = 50 X 15 +x 25 +x 35 =30 X ij 0 i=1,,m j=1,,n Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

Zagadnienie transportowo-produkcyjne 6 Przykład Rozwiązanie: [ x ij ] = 0 40 0 10 0 50 50 0 0 40 10 0 0 0 30 Łączny koszt produkcji i transportu: F(X) = 10*1120+50*1130+40*1100+40*1100+10*1090+ +50*1140+30*0=223600 PLN Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

Zagadnienie transportowo-produkcyjne 7 Przykład Przypadek II magazynujemy nadwyżki produkcyjne. Młyny Piekarnie A i P1 P2 P3 P4 F M1 1130 1120 1130 1100 1085 100 M2 1100 1140 1130 1090 1065 50 M3 1160 1140 1170 1180 1106 80 B j 40 60 50 50 30 Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

Zagadnienie transportowo-produkcyjne 8 Przykład Funkcja celu : (łączne koszty produkcji, transportu i magazynowania) F(X) = 1130x 11 +1120x 12 +1130x 13 +1100x 14 +1085x 15 +1100x 21 +1140x 22 +1130x 23 +1090x 24 +1065x 25 + +1160x 31 +1140x 32 +1170x 33 +1180x 34 +1106x 35 min x 11 +x 12 +x 13 +x 14 +x 15 = 100 x 21 +x 22 +x 23 +x 24 +x 25 = 50 x 31 +x 32 +x 33 +x 34 +x 35 = 80 x 11 +x 21 +x 31 = 40 x 12 +x 22 +x 32 = 60 x 13 +x 23 +x 33 = 50 x 14 +x 24 +x 34 = 50 X 15 +x 25 +x 35 =30 X ij 0 i=1,,m j=1,,n Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

Zagadnienie transportowo-produkcyjne 9 Przykład Rozwiązanie: [ x ij ] = 0 40 0 0 0 60 50 0 0 50 0 0 0 10 20 Łączny koszt produkcji, transportu i magazynowania: F(X) = 50*1130+50*1100+40*1100+10*1065+60*1140+ +20*1106=256670PLN Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

Zagadnienie transportowo-produkcyjne 10 Przykład Możliwość wykorzystania zmodyfikowanej metody minimalnego elementu macierzy do szybkiego uzyskania rozwiązania optymalnego. Punktem wyjścia jest przekształcenie macierzy kosztów do takiej postaci, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie występowało przynajmniej jedno zero. Można to uzyskać, odejmując od elementów poszczególnych wierszy macierzy kosztów najmniejszy element znajdujący się w danym wierszu, a następnie od poszczególnych kolumn otrzymanej w ten sposób macierzy odejmując najmniejszy element znajdujący się w danej kolumnie. Jeżeli uda się rozmieścić przewozy w miejscach, w których w macierzy występują zera, to otrzymane rozwiązanie jest optymalnym planem przewozów. Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

Zagadnienie transportowo-produkcyjne 11 Przykład Młyny Piekarnie min P1 P2 P3 P4 F M1 1130 1120 1130 1100 1085 1085 M2 1100 1140 1130 1090 1065 1065 M3 1160 1140 1170 1180 1106 1106 Młyny Piekarnie P1 P2 P3 P4 F M1 45 35 45 15 0 M2 35 75 65 25 0 M3 54 34 64 74 0 min 35 34 45 15 0 Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

Zagadnienie transportowo-produkcyjne 12 Przykład Młyny Piekarnie P1 P2 P3 P4 F M1 10 1 0 0 0 M2 0 41 20 0 0 M3 19 0 19 74 0 Młyny Piekarnie A i P1 P2 P3 P4 F M1 0 0 50 50 0 100 M2 40 0 0 0 10 50 M3 0 60 0 0 20 80 B j 40 60 50 50 30 Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010